运筹学-线讲义性规划-蒯圣龙
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运筹学讲义完整版
第 2页
• 决策速度缓慢：一个人的精力是有限的， 面对大量需要决策的问题时，整体决策速 典型的问题 度大为下降。 • 决策失误增多：一旦加快决策的速度，由 于没有时间进行慎重的思考，伴随着快速 决策导致的结果是决策失误的增多。 • 决策重要性增加：决策正确与否直接关系 到组织的生存与发展。
第 3页
第 4页
（2）行为决策与有限理性假设（决策理论）
•人的理性是有限理性； •决策者在识别和发现问题 中容易受到知觉偏倚的影响； •决策者在进行决策时有时间和成本 限制； •决策者一般都厌恶风险； •决策者在决策时往往只求满意结果； •决策是一种文化现象；
不确定 性和风险
模糊 信息
信息不充分
时间限制与 信息成本
第25页
二、不确定型决策准则
由于不确定型决策问题所面临的几个 自然状态是不确定，是完全随机的，这使 得不确定型决策，始终伴随着一定的盲目 性。决策者的经验和性格常常在决策中起 主导作用。
第26页
例1 某企业，产品更新方案：
A1：彻底改型 A2：只改机芯，不改外壳 A3：只改外壳，不改机芯 问：如何决策？
第十章
教学要求：
决策论
掌握什么是决策分析；决策准则；决策分析方法；信
息价值；先验概率与后验概率；效用理论；
第 1页
管理者在做什么？
一位总经理2小时的日程
早上7:30分 早上7:37分 到达办公室制定一天计划. 一位下属来到办公司,讨论昨晚晚餐,对微型计算机成本收益 分析进行评价.
早上7:45分
早上8:00分
第21页
6.根据决策问题的重要性分类
战略决策指有关全局或重大决策，如确定 企业的发展方向、产品开发、重大技术改 造项目等，这些决策与企业的兴衰成败有 关。 战术决策又称策略决策，是为实现战略决 策服务的一些局部问题的决策。
• 决策速度缓慢：一个人的精力是有限的， 面对大量需要决策的问题时，整体决策速 典型的问题 度大为下降。 • 决策失误增多：一旦加快决策的速度，由 于没有时间进行慎重的思考，伴随着快速 决策导致的结果是决策失误的增多。 • 决策重要性增加：决策正确与否直接关系 到组织的生存与发展。
第 3页
第 4页
（2）行为决策与有限理性假设（决策理论）
•人的理性是有限理性； •决策者在识别和发现问题 中容易受到知觉偏倚的影响； •决策者在进行决策时有时间和成本 限制； •决策者一般都厌恶风险； •决策者在决策时往往只求满意结果； •决策是一种文化现象；
不确定 性和风险
模糊 信息
信息不充分
时间限制与 信息成本
第25页
二、不确定型决策准则
由于不确定型决策问题所面临的几个 自然状态是不确定，是完全随机的，这使 得不确定型决策，始终伴随着一定的盲目 性。决策者的经验和性格常常在决策中起 主导作用。
第26页
例1 某企业，产品更新方案：
A1：彻底改型 A2：只改机芯，不改外壳 A3：只改外壳，不改机芯 问：如何决策？
第十章
教学要求：
决策论
掌握什么是决策分析；决策准则；决策分析方法；信
息价值；先验概率与后验概率；效用理论；
第 1页
管理者在做什么？
一位总经理2小时的日程
早上7:30分 早上7:37分 到达办公室制定一天计划. 一位下属来到办公司,讨论昨晚晚餐,对微型计算机成本收益 分析进行评价.
早上7:45分
早上8:00分
第21页
6.根据决策问题的重要性分类
战略决策指有关全局或重大决策，如确定 企业的发展方向、产品开发、重大技术改 造项目等，这些决策与企业的兴衰成败有 关。 战术决策又称策略决策，是为实现战略决 策服务的一些局部问题的决策。
《运筹学线性规划》PPT课件
划问题化成如下的标准型：
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
运筹学-目标规划与整数规划-蒯圣龙共68页
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
运筹学－目标规划与整数规划-蒯圣龙 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
运筹学－目标规划与整数规划-蒯圣龙 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
运筹学基础OR6PPT课件
运筹学的发展历程
80%
起源
运筹学起源于二战时期的军事战 略和资源优化问题，当时称为“ 运作研究”。
100%
发展
随着数学方法和计算机技术的进 步，运筹学逐渐发展成为一个独 立的学科领域。
80%
应用
现代运筹学已经广泛应用于各个 领域，如物流、金融、医疗、交 通等，成为决策支持的重要工具 。
02
线性规划
模型
多目标规划的数学模型通常由决策变 量、目标函数和约束条件组成。目标 函数表示需要优化的多个目标，约束 条件包括等式约束和不等式约束。
多目标规划的求解方法
权重法
给定一组权重因子，将多目标问题转化为单目标问题，通 过求解单目标问题的最优解得到多目标问题的近似解。
层次分析法
将多目标问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解 ，然后根据子问题的最优解逐步逼近多目标问题的最优解。
在需要时进行查找。
02
自顶向下法
从原问题开始，逐步将问题分解为更小的子问题，并求解子问题直到达
到基本的最小单元。这种方法需要在递归过程中不断更新当前问题的最
优解。
03
迭代法
通过迭代的方式不断逼近最优解，每次迭代中根据当前最优解和状态转
移方程更新状态，直到达到终止条件。这种方法需要设计适当的迭代算
法和终止条件。
线性规划的求解方法
01
02
03
04
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的 求解方法，它通过不断迭代和 变换，寻找最优解。
初始解的确定
在求解线性规划问题时，需要 先确定一个初始解，然后在此 基础上进行迭代和优化。
迭代过程
在单纯形法中，迭代过程包括 检验、换基和迭代三个步骤。
运筹学第四版·清华大学出版社·运筹学教材组·2.1线性规划PPT课件
约束条件： am1 x1 am2 x2 L L amn xn bm x1 0L L xn 0
简写为：
max Z
n
cjxj
j1
s.t
n
aij x j
j1
bi
i 1,2, , m
x j 0, j 1,2, , n
§2.1 线性规划问题及其数学模型Page 26
x2
2 4
x1
z 4
表示一簇平行n
max z 2x1 4x2
x1 2x2 2
4 x1
16 4x2 12
x1, x2 0
§2.1 线性规划问题及其数学模型Page 21
（3）无界解
max z x1 x2
2x1 x 4
max z 2x1 3x2 max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 8
4
x1
16
4x2 12
x1, x2 0
x1 2x2 x3
8
4
x1
4 x2
x4 16 x5 12
据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。 因此两个工厂都需处理一部分工业污水。化工厂1处理污水 的成本是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元 /万立方米。问:在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多 少工业污水，使两个工厂处理工业污水的总费用最小？
§2.1 线性规划问题及其数学模型 Page 11
得到本问题的数学模型为：
min z 1000x1 800x2
简写为：
max Z
n
cjxj
j1
s.t
n
aij x j
j1
bi
i 1,2, , m
x j 0, j 1,2, , n
§2.1 线性规划问题及其数学模型Page 26
x2
2 4
x1
z 4
表示一簇平行n
max z 2x1 4x2
x1 2x2 2
4 x1
16 4x2 12
x1, x2 0
§2.1 线性规划问题及其数学模型Page 21
（3）无界解
max z x1 x2
2x1 x 4
max z 2x1 3x2 max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 8
4
x1
16
4x2 12
x1, x2 0
x1 2x2 x3
8
4
x1
4 x2
x4 16 x5 12
据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。 因此两个工厂都需处理一部分工业污水。化工厂1处理污水 的成本是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元 /万立方米。问:在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多 少工业污水，使两个工厂处理工业污水的总费用最小？
§2.1 线性规划问题及其数学模型 Page 11
得到本问题的数学模型为：
min z 1000x1 800x2
运筹学ppt课件
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
运筹学3
m n
（i=1，2，…，m； j=1，2，…，n）
i
a
i 1
b
j 1
j
则 Xij=aibj/Q
（i=1，2，…，m； j=1，2，…，n）
是运输问题的一个可行解,且其对应的目标函 数值可以作为目 标的一个上界,另外,问题本身有下界0,由此可以断定,运输问题 肯定有最优解.
2015-4-16
数不能大于m+n-1 ，迭代过程基变量个数保持为m+n-1个
2015-4-16
1
2
3 4
由于运输问题是LP问题，可设想利用迭代法求解，即
初始基可行解→最优性检验→迭代法调整→更好的解 继续检验和调整改进，直至得到最优解 迭代过程解的m×n个分量对应产销平衡表中m×n个格 基变量 xij —— (Ai , Bj) ——填有数字的格(含0)——基格 非基变量xij —— (Ai , Bj) ——不填入数字——空格——非 基格
3
Shipping cost Xij
3
1
7
0
6
2
4
2
5
Shipping amouts
2 2
A2
2
2
2
4
4
3
3
2
2
A3
4
4
3 3
3
3
3
3 3
8
8
2 2
5
5
2 2
ij
3 3
D
Test coefficient，
2015-4-16
(3) Vogel 法
1
2
3 4
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时 造成在其他处要多花几倍的运费。伏格尔法也考虑次
（i=1，2，…，m； j=1，2，…，n）
i
a
i 1
b
j 1
j
则 Xij=aibj/Q
（i=1，2，…，m； j=1，2，…，n）
是运输问题的一个可行解,且其对应的目标函 数值可以作为目 标的一个上界,另外,问题本身有下界0,由此可以断定,运输问题 肯定有最优解.
2015-4-16
数不能大于m+n-1 ，迭代过程基变量个数保持为m+n-1个
2015-4-16
1
2
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由于运输问题是LP问题，可设想利用迭代法求解，即
初始基可行解→最优性检验→迭代法调整→更好的解 继续检验和调整改进，直至得到最优解 迭代过程解的m×n个分量对应产销平衡表中m×n个格 基变量 xij —— (Ai , Bj) ——填有数字的格(含0)——基格 非基变量xij —— (Ai , Bj) ——不填入数字——空格——非 基格
3
Shipping cost Xij
3
1
7
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6
2
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2
5
Shipping amouts
2 2
A2
2
2
2
4
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3
3
2
2
A3
4
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3 3
3
3
3
3 3
8
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2 2
5
5
2 2
ij
3 3
D
Test coefficient，
2015-4-16
(3) Vogel 法
1
2
3 4
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时 造成在其他处要多花几倍的运费。伏格尔法也考虑次
《运筹学第二版》PPT课件
(4) 要有一个达到目标的要求，它可用决策 变量的线性函数(称为目标函数)来表示。 按问题的不同，要求目标函数实现最大化 或最小化。
精选ppt
16
它们的对应关系可用表格表示：
1
活
2
动
m
价值系数
决策变量
x1 x2 xn a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
a m 1 a m 2 a mn
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
精选ppt
13
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2
x1 1
0.8 x1 x2 1.6
x1 2
x2 1.4
x , x 0 1精选ppt 2
14
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
6
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利
最多?
精选ppt
7
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
•设x1,x2分别表示计 I,II产 划品 生的 产数 称它们为决策变量。
•生产 x1,x2的数量多少，有 受量 资的 源 ,限 拥 这是约束条x1 件 2x2。 8即 ;4x116;4x2 12
19
图1-2
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 2
4 x1
16 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
精选ppt
20
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 mz ax 2x13x2
精选ppt
16
它们的对应关系可用表格表示：
1
活
2
动
m
价值系数
决策变量
x1 x2 xn a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
a m 1 a m 2 a mn
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
精选ppt
13
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2
x1 1
0.8 x1 x2 1.6
x1 2
x2 1.4
x , x 0 1精选ppt 2
14
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
6
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利
最多?
精选ppt
7
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
•设x1,x2分别表示计 I,II产 划品 生的 产数 称它们为决策变量。
•生产 x1,x2的数量多少，有 受量 资的 源 ,限 拥 这是约束条x1 件 2x2。 8即 ;4x116;4x2 12
19
图1-2
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 2
4 x1
16 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
精选ppt
20
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 mz ax 2x13x2
运筹学课件第1章 线性规划与单纯形法-第2节
P1，P2，…，Pk
构成最大的线性独立向量组，其对应的解恰为X， 所以根据定义它是基可行解。
定理2 线性规划问题的基可行解X对应于可行 D的顶点.
证：不失一般性,假设基可行解X的前m个分量为
正.故
m
Pjx j b j 1
〔1-8〕
现在分两步来讨论,分别用反证法.
(1) 若X不是基可行解, 则它一定不是可行域D的顶点
引理2 若K是有界凸集,则任何一点X∈K可 表示为K的顶点的凸组合.
• 本引理证明从略,用以下例子说明这引理. • 例5 设X是三角形中任意一点,X<1>,X<2>和X<3>是
三角形的三个顶点,试用三个顶点的坐标表示X<见 图1-8>
解 任选一顶点X<2>,做一条连线XX<2>；并延长交于 X<1>、X<3>连接线上一点X′.因X′是X<1>、X<3>连
• xi±μαi≥0,i=1,2,…,m • 即X<1>,X<2>是可行解.
• 这证明了X 不是可行域 D 的顶点.
<2> 若X不是可行域D的顶点,则它一定 不是基可行解
因为X不是可行域 D 的顶点,故在可行域D 中可找到不同的两点
X<1>=<x1<1>,x2<1>,…,xn<1>>T X<2>=<x1<2>,x2<2>,…,xn<2>>T 使 X=αX<1>+<1-α> X<2> , 0＜α＜1 设X是基可行解,对应向量组P1…Pm线性独
构成最大的线性独立向量组，其对应的解恰为X， 所以根据定义它是基可行解。
定理2 线性规划问题的基可行解X对应于可行 D的顶点.
证：不失一般性,假设基可行解X的前m个分量为
正.故
m
Pjx j b j 1
〔1-8〕
现在分两步来讨论,分别用反证法.
(1) 若X不是基可行解, 则它一定不是可行域D的顶点
引理2 若K是有界凸集,则任何一点X∈K可 表示为K的顶点的凸组合.
• 本引理证明从略,用以下例子说明这引理. • 例5 设X是三角形中任意一点,X<1>,X<2>和X<3>是
三角形的三个顶点,试用三个顶点的坐标表示X<见 图1-8>
解 任选一顶点X<2>,做一条连线XX<2>；并延长交于 X<1>、X<3>连接线上一点X′.因X′是X<1>、X<3>连
• xi±μαi≥0,i=1,2,…,m • 即X<1>,X<2>是可行解.
• 这证明了X 不是可行域 D 的顶点.
<2> 若X不是可行域D的顶点,则它一定 不是基可行解
因为X不是可行域 D 的顶点,故在可行域D 中可找到不同的两点
X<1>=<x1<1>,x2<1>,…,xn<1>>T X<2>=<x1<2>,x2<2>,…,xn<2>>T 使 X=αX<1>+<1-α> X<2> , 0＜α＜1 设X是基可行解,对应向量组P1…Pm线性独
运筹学(简化)
第一部分 运筹学一、什么是运筹学？实例：一公司有：三个工厂：A 、B 、C 。
各工厂分别有140吨、120吨、50吨产品待运；三个仓库：甲、乙、丙。
甲库可存货60吨，乙库可存货100吨，丙库可存货150吨；直观思路：1、距离最短A －丙。
（140吨）； 2、B －丙。
（10吨）；依此类推。
可得调运方案：总吨公里数＝140＊1.5＋60＊12＋50＊13.5＋10＊3＋50＊4.5＝1860。
最佳方案：对该问题如果利用数学符号（即建立数学模型）来表示,可如下讨论：设工厂A 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为11x 、12x 、13x ，工厂B 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为21x 、22x 、23x ，工厂C 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为31x 、32x 、33x ，则调运货物的总吨公里数（相当于运输费用）为33323133222113121195.4635.13125.169x x x x x x x x x z ++++++++=现在需要求该函数的最小值，而限制条件为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=++=++=++=++=++=++0,,,,,,,,1501006050120140333231232221131211332313322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x运筹学：以系统为研究对象，把系统的功能和特点用模型表示，通过对模型的定量分析，从总体上寻求最优策略，为决策和揭露新问题提供数量根据，并以研究结果的应用为目的，保证系统高效运行。
运筹学建立模型的最终目的是实现系统的最优化，帮助管理者作出正确的决策，使系统正常有效地运行。
这里的最优化是指在一定条件下求最优解（可以是求最大值，也可以是求最小值）。
运筹学研究系统的基本方法由以下5个阶段构成：第一阶段：观察所要研究的系统，确定存在的问题、影响问题的因素、约束、假设以及准备优化的目标。
运筹学-1-线性规划
第一章 线性规划
例一：
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、 乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设 备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种 设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 3 2 0 产品乙 2 1 3 设备能力 （h） 65 40 75
利润（元/件）
1500
2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0
A 2 2 12
B 1 2 8
C 4 0 16
D 0 4Leabharlann 12利润 （元）Ⅰ Ⅱ
有效台时
2 3
第一章 线性规划
某厂生产三种药物，这些药 物可以从四种不同的原料中 提取。下表给出了单位原料 可提取的药物量
例三：
环保要求河水含污低于2‰，河水可自身净 化20%。 问：化工厂1、2每天各处理多少污水， 使总费用最少？
第一章 线性规划
已知资料如下表所示，问如 何安排生产才能使利润最大？ 或如何考虑利润大，产品好 销。
设备 产 品
习题2
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则 有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件：
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
第一章 线性规划
例二：
某混合饲料加工厂计划从市场上购买甲、乙两种原料 生产一种混合饲料。混合饲料对VA、VBl、VB2和VD的最 低含量有一定的要求。已知单位甲、乙两种原料VA、 VBl、VB2和VD的含量，单位混合饲料对VA、VBl、VB2和 VD的最低含量以及甲、乙两种原料的单位价格如表所示。 原料甲 原料乙 混合饲料最低含量 VA含量 0.5 0.5 2
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第5章 线性目标规划
11
清华大学出版社
第1节 目标规划的数学模型
目标规划的一般数学模型为
目标函数： min z Pl (lk d k lk dk ) l 1 k 1 L K
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4) (4 5)
n c x d d g k , k 1, , K kj j k k j 1 n a x (, )b , i 1, , m 满足约束条件： ij j i j 1 x j 0, j 1, , n d k , d k 0, k 1, , K
16
清华大学出版社
第2节 解目标规划的图解法
解：设x1，x2分别表示黑白和彩色电视机的产量，本问题的 目标规划模型为：
目标函数： min z P d P d P ( 2 d d 1 1 3 3 4) 2 2
x1 x2 d1 d1 40 d2 50 x1 x2 d 2 满足约束条件： x1 d3 d3 24 x d d 2 4 4 30 x , x , d , d 0, i 1,2,3,4 1 2 i i
14
清华大学出版社
第2节 解目标规划的图解法
注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最高优先 级考虑。在本例中，能依先后次序都满足d1+=0， d2++d2−=0，d3−=0，因而z*=0。但在大多数问题中并非如 此，会出现某些约束得不到满足，故将目标规划问题的 最优解称为满意解。
15
清华大学出版社
c j z j akj Pk j 1,2,, n; k 1,2,, K
清华大学出版社
第1节 目标规划的数学模型
目标规划的一般数学模型为
目标函数： min z Pl (lk d k lk dk ) l 1 k 1 L K
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4) (4 5)
n c x d d g k , k 1, , K kj j k k j 1 n a x (, )b , i 1, , m 满足约束条件： ij j i j 1 x j 0, j 1, , n d k , d k 0, k 1, , K
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清华大学出版社
第2节 解目标规划的图解法
解：设x1，x2分别表示黑白和彩色电视机的产量，本问题的 目标规划模型为：
目标函数： min z P d P d P ( 2 d d 1 1 3 3 4) 2 2
x1 x2 d1 d1 40 d2 50 x1 x2 d 2 满足约束条件： x1 d3 d3 24 x d d 2 4 4 30 x , x , d , d 0, i 1,2,3,4 1 2 i i
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第2节 解目标规划的图解法
注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最高优先 级考虑。在本例中，能依先后次序都满足d1+=0， d2++d2−=0，d3−=0，因而z*=0。但在大多数问题中并非如 此，会出现某些约束得不到满足，故将目标规划问题的 最优解称为满意解。
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c j z j akj Pk j 1,2,, n; k 1,2,, K
运筹学教学课件线性规划学习课件
降低潜在损失
通过全面、有效的风险管理策略，降低潜 在损失。
06线性规划在ຫໍສະໝຸດ 通运输中的应用线性规划在货物运输中的应用
优化运输路径
通过线性规划方法，可以优化货物的运输 路径，从而降低运输成本和时间。
车辆装载优化
线性规划可以优化车辆的装载方案，使得 车辆的装载量达到最大，减少车辆使用数 量和运输成本。
04
线性规划问题的求解方法
图解法
总结词
直观、简单、易懂
详细描述
图解法是一种用几何图形来求解线性规划问题的简单直观的方法，它通过将不等式约束条件转换为图形的限制 条件，将线性规划问题转化为在图中寻找最优解的问题。该方法适用于小规模问题，方便理解，是求解线性规 划问题的基本方法之一。
单纯形法
总结词
03
线性规划问题的数学模型
线性规划问题的标准形式
确定线性规划问题的标准形式
标准形式是由一个线性目标函数和一个线性约束条件组成的数学模型。
将非标准形式转化为标准形式
在求解线性规划问题时，通常需要将非标准形式转化为标准形式，这可以通过引入变量、转换约束条件等方式 实现。
线性规划问题的扩展形式
多目标线性规划
05
线性规划在管理决策中的应用
线性规划在生产计划中的应用
总结词
高效、低成本
确定生产计划目标
通过线性规划方法确定最优质、低 成本的生产计划。
优化生产资源配置
将有限的资源，如人力、物料、设 备等，根据不同产品或部门的需要 ，进行合理分配和优化。
提高生产效率
通过优化生产流程和布局，减少生 产过程中的浪费和等待时间，提高 生产效率。
特点
运筹学注重定量分析、优化思想和系统方法，强调理论与实践相结合，具有广泛应用性和多学科交叉 性。
运筹学教程课件
16
运筹学方法在中国使用情况
(随机抽样)
17
运筹学的推广应用前景
据美劳工局1992年统计预测:社会 对运筹学应用分析人员的需求从1990 年到2005年，其增长百分比预测为73%, 增长速度排到各项职业的前三位。
18
运筹学的推广应用前景
结论: --运筹学在国内或国外的推广应 用前景是非常广阔的。 --工商企业对运筹学应用的需求 是很大的。 --在工商企业推广运筹学方面有 大量的工作要做。
3
运筹学
1.绪论 2.线性规划建模及单纯形法 3.线性规划问题的对偶与灵敏度分析 4.运输问题 5.动态规划 6.排队论 7.决策分析
8.图与网络分析
第一章 绪 论
5
运筹学概况简述
运筹学(Operations Research) 直译为“运作研究”。
运筹学是运用科学的方法(如 分析、试验、量化等)来决定如何 最佳地运营和设计各种系统的一 门学科。
23
如何学习运筹学课程
2.要在理解了基本概念和理论的基础上
研究例题，注意例题是为了帮助理解概念、 理论的。作业练习的主要作用也是这样，它 同时还有让你自己检查自己学习的作用。因 此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出 错。因为，整个课程是一个整体，各节内容 有内在联系，只要学到一定程度，知识融会 贯通起来，你自己就能够对所做题目的正确 性作出判断。
11
运筹学的产生和发展
战后这些研究成果被应用到生产、 经济领域，并得到迅速发展——有关理 论和方法的研究、实践不断深入。
1947年美国数学家丹捷格(G.B.Dantzig）
提出了求解线性规划的有效方法——单 纯形法。
12
运筹学的产生和发展
数学对运筹学的作用——是有 关理论和方法的研究基础，是建立 运筹学模型的工具。
运筹学方法在中国使用情况
(随机抽样)
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运筹学的推广应用前景
据美劳工局1992年统计预测:社会 对运筹学应用分析人员的需求从1990 年到2005年，其增长百分比预测为73%, 增长速度排到各项职业的前三位。
18
运筹学的推广应用前景
结论: --运筹学在国内或国外的推广应 用前景是非常广阔的。 --工商企业对运筹学应用的需求 是很大的。 --在工商企业推广运筹学方面有 大量的工作要做。
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运筹学
1.绪论 2.线性规划建模及单纯形法 3.线性规划问题的对偶与灵敏度分析 4.运输问题 5.动态规划 6.排队论 7.决策分析
8.图与网络分析
第一章 绪 论
5
运筹学概况简述
运筹学(Operations Research) 直译为“运作研究”。
运筹学是运用科学的方法(如 分析、试验、量化等)来决定如何 最佳地运营和设计各种系统的一 门学科。
23
如何学习运筹学课程
2.要在理解了基本概念和理论的基础上
研究例题，注意例题是为了帮助理解概念、 理论的。作业练习的主要作用也是这样，它 同时还有让你自己检查自己学习的作用。因 此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出 错。因为，整个课程是一个整体，各节内容 有内在联系，只要学到一定程度，知识融会 贯通起来，你自己就能够对所做题目的正确 性作出判断。
11
运筹学的产生和发展
战后这些研究成果被应用到生产、 经济领域，并得到迅速发展——有关理 论和方法的研究、实践不断深入。
1947年美国数学家丹捷格(G.B.Dantzig）
提出了求解线性规划的有效方法——单 纯形法。
12
运筹学的产生和发展
数学对运筹学的作用——是有 关理论和方法的研究基础，是建立 运筹学模型的工具。
运筹学第01章线性规划
经济学家要关注线性规划。其中阿罗、萨谬尔逊、西蒙、多夫
曼和胡尔威茨等都获得了诺贝尔奖。
3
在中国，最早的运筹学思想有战国时期的田忌赛马，它是对 策论的一个典型例子，北宋时期的丁渭造皇宫，它是统筹规划 的一个例子。
50年代中期，钱学森、许国志等教授在国内全面介绍和推广 运筹学知识，1956年，中国科学院成立第一个运筹学研究室， 1957年运筹学运用到建筑和纺织业中，1958年提出了图上作 业法，山东大学的管梅谷教授提出了“中国邮递员问题”， 1970年，在华罗庚教授的直接指导下，在全国范围内推广统筹 方法和优选法。
规划问题的可行解。全部可行解的集合称为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
基解：对于某个特定的基B，非基变量均取0时的解，称为基 解。由于在基解中变量取非零的个数不大于方程数 m，所以基 解的总数不超过 C个nm 。
基可行解：满足非负条件（1.2）的基解，称为基可行解。
可行基：与基可行解相对应的基，称为可行基。
(2)目标函数，是决策变量的函数，按问题的目标不同分别在 这个函数前加上max或min；
(3)约束条件，由一组含决策变量的等式或不等式组成，表 明决策变量取值时所受到的各种资源条件的限制。
假定线性规划问题中含有 n 个决策变量 xj (j＝1，…，n)，
在目标函数中 xj 的系数为 cj (cj 通常称为价值系数)； 有m 种资源的限制，每种资源数量用 bi(i=1,...m)表示； 用 aij表示变量 xj 取值为1个单位时所消耗或含有的第 i 种资 源的数量，通常称 aij 为技术系数或消耗系数。
n
aij x j bi
(i 1,, m)
(1.1)
j1
运筹学课件第六章 非线性规划
或 x
k 1
x tk p , tk 0
k k
称p k 为 第k轮 搜 索 方 向 ， 为 第k轮 沿 搜 索 方 向 tk p k的 步 长 。
第11页
n n n 定义3 设f : R R, x R , p R , p 0， 0，使得 若
f ( x tp) f ( x ), t (0, )
2 1
令 0 得： f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 )
f ( x 2 ) f ( x1 )
第23页
x1 , x 2 S f ( x ) ( x x ) f ( x ) f ( x )
1 T 2 1 2 1
1 T 2 1 2 1
证 (1) 必要性.设f是S上的凸函数，则对 (0,1), 有
f ( x 2 (1 ) x1 ) f ( x 2 ) (1 ) f ( x1 )
x1 , x 2 S
f ( x 1 ( x 2 x 1 )) f ( x1 )
第14页
全局优化算法概述
全局优化方法可分为随机性方法和确定性方法. 确定性方法充分利用了问题的解析性质, 如函数的 凸性、单调性、稠密性等, 产生一个确定性的有限 或无限点序列, 使得该点序列收敛于全局最优解. 包 括分枝定界算法、区间算法、填充函数法、割平面 法、顶点枚举法等,这类算法在理论上有较强的可行 性, 但对较为复杂的大型优化问题却难于应用.
如果有 f ( x* ) f ( x), x D, x x* 则称 x * 是(P)的严格全局最优解或严格全局极小点， 称 f ( x * ) 是(P)的严格全局最优值或严格全局极小值。
运筹学课件1-2-1线性规划图解法
x2
4x1 ≤ 16 C D
| 1 | 2 | 3 | 4
4 x2 ≤ 16
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9
A
0
E
| 5
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； 由全部约束条件作图求出可行域； 可行域 • 作目标函数等值线，确定使目标函数最 作目标函数等值线， 等值线
E (8,0)
| 6
| 8
| | 10 12
| | | 14 16 18
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练习） 图解法 —（练习）
18 — 16 — 14 — 12 — 10 — B 8—
x2
2x1 + x2 ≤ 16 2x1 + 2x2 ≤ 18 C 4x1 + 6x2 ≤ 48 D
| 2 | 4 | 6 | 8 | | 10 12 | | | 14 16 18
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x2
6 ① ③ 4
④
2
(4,2)
Zmax ②
0
2 Z=0
4 Z=6
6
8
x1
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练习： 练习：
用图解法求解LP问题
Max Z = 34 x1 + 40 x2
4 x1 + 6 x2 ≤ 48 2 x1 + 2 x2 ≤ 18 2 x1 + x2 ≤ 16 x1、 x2 ≥ 0
A
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练习） 图解法 —（练习）
18 — 16 — 14 — 12 — 10 — B 8—
运筹学大纲
运筹学大纲1.线形规划：线性规划的求解⏹线性规划的图解法1.第一步，得到可行域，也就是满足所有约束条件的自变量组成的集合。
2.第二步，在可行域中找到使目标函数最大的那一点，也就是最优解。
3.第三步，通过最优解，求出目标函数的最优值。
⏹化标准型：松弛变量、剩余变量、右端项为正、变量为正、变量无约束化变量有约束、min化max⏹线形规划解的分析可行域：空集非空（有界、无界）最优解：无解唯一最优解无穷多最优解无界解⏹线性规划的图解法的敏感性分析⏹目标系数的灵敏度分析⏹右端值的灵敏度分析1.对偶价格的含义2.对偶价格与松弛变量、剩余变量的关系3.对偶价格与影子价格4.对偶价格的经济学解释⏹Reduced cost⏹百分百定理线性规划建模案例⏹建模步骤1.Step 1.理解及分析实际问题、资源状况、该问题要实现的目标；2.Step 2. 确定决策变量3.Step 3.确定目标函数及约束条件；4.Step 4.应用线性规划软件求解；5.Step 5.检验所求得的解决方案是否可行：如可行，则开始实施，否则，转Step 1或Step 2修改模型。
⏹建模案例1.劳动力安排问题；2.线材的套裁问题；3.投资问题；4. 混合问题2. 运输问题⏹ 运输问题模型；⏹ 运输问题拓展⏹ 目标函数求最大，如：利润最大或营业额最大的调运方案；⏹ 运输能力的限制⏹ 当生产总量不等于销量总量，即产销不平衡时，要增加一个假想的仓库或生产基地来化成产销平衡问题。
5. 供大于求：设虚拟销点配平或者让其成为松弛变量6. 供不应求：设虚拟产地配平（0/M ），变动约束条件（产地取等号、销地取小于等于）7. 有刚性需求时，将刚性需求单独剥离，运用M 阻止虚拟产地向之运输。
⏹ 运输问题的应用⏹ 生产与库存⏹ 转载问题目标函数发点中转点收点3. 整数规划：⏹ 分枝定界法一个整数规划A ，对应的线性规划问题为B ，则首先求B ，若B 最优解不符合A 的整数条件，则B 的最优目标函数为A 的上界x ，A 任意可行解的目标函数值为下界y 。
运筹学-线性规划-蒯圣龙共75页文档
运筹学－线性规划-蒯圣龙
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
பைடு நூலகம் 谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
பைடு நூலகம் 谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
运筹学讲义——精选推荐
运筹学讲义运筹学讲义引⾔1．年轻的学科：20世纪30年代，英国，美国，加拿⼤等在防空作战研究上提出的⼀种⽅法。
当时叫operational research,缩写为O.R. 是⼀门年轻的学科。
我国是在56年在中科院⼒学研究所成⽴运筹⼩组，80年成⽴运筹学会。
2。
应⽤数学：包括⼩到⽇常⽣活，如出门买东西的线路选择，⼤到国民经济建设优化组合，⽆处不在。
例如，我国北宋时代，丁渭修皇宫P 1。
3。
讲授内容：ch1.§1～5;ch3; ch7;ch8;ch12;ch13.第⼀章线性规划及单纯型法运筹学的⼀⼤分⽀是数学规划，⽽线性规划⼜是数学规划的重要组成部分。
线性规划（linear programming 简写LP ）也是运筹学最基本的内容。
相对于其他运筹学分⽀，LP 理论完善，⽅法简单，应⽤⼴泛，是任何运筹分⽀⾸先要阐明的基本知识。
§1 LP 问题及其数学模型⼀. 问题的提出及建模例1 美佳公司计划制造Ⅰ，Ⅱ两种家电产品。
已知各制造⼀件事分别占⽤的设备A ，B 的台时、调试时间、调试⼯序及每天可⽤于这两种家电的能⼒、各出售⼀件时的获利情况，如表1-1所⽰。
问该公司应各制造两种家电各多少件，使获利最⼤？解：设制造Ⅰ，Ⅱ产品数量为1x ，2x .则利润 z=21x +2x问题是：在现有设备、调试能⼒的限制下，如何确定产量1x ，2x .可使利润最⼤？我们把它数学化：⽬标函数：z max =21x +2x约束条件≥≤+≤+≤)4(0,)3(5)2(2426)1(1552121212x x x x x x x其中（1）～（3）资源限制，（4）为⾮负限制。
下⾯从数学的⾓度来归纳线性规划的模型特点：（1）每⼀个问题都有⼀组变量——称之为决策变量，⼀般记为1x ，2x …n x 。
对决策变量的每⼀组值：Tn x x x ),,()0()0(2)0(1 代表了⼀种决策⽅案。
通常要求决策变量取值⾮负，即0≥j x （j =1，2，…n ）.⾮负约束调试能⼒限制设备A 的限制设备B 的限制（2）每个问题都有决策变量须满⾜的⼀组约束条件——线性的等式或不等式。
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