第七届校内数学建模竞赛题

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山西大学第七届数学建模竞赛试题

A 题立交桥对太原市交通状况的影响众所周知，太原市的交通路网呈棋盘状，路与路的交叉口绝大多数是平面交通模式，通行效率低下。

在今年太原这次史无前例的大规模道路改造中，最大的亮点是立交桥的修建。

这些或简易、或复杂，菱形的、圆形的、带状立交桥的集中出现，意味着太原从平面交通向立体交通的演进，意味着道路拥堵状况的缓解，意味着市民出行的畅达和便捷。

(1)查阅相关数据，说明太原市目前的人口、汽车拥有量以及道路交通状况，并预测今后太原市人口以及汽车拥有量的发展趋势。

(2)建立适当的评价体系（标准）分析立交桥的修建对太原市交通状况的影响，并说明太原市修建立交桥的必要性。

B 题零售商的划分一家大公司设有两个分部，A 和B 。

该公司的主要业务是向零售商供应两种产品甲和乙。

现在要将零售商划分给两个分部，由分部向由属于它的零售商供货。

基于两个分部的规模，这种划分要尽可能使分部A 占有40%的市场，B 占有60%的市场。

零售商共有21家，记做1221,,,M M M ，其中1M 至8M 为一区，9M 至17M 为二区，18M 至21M 为三区。

有好的发展前途的零售商作为A 类，其余的为B 类。

各零售商预计的销售额（单位略）及拥有的零售店数在附表中给出。

现要求对分部A 和B 的如上划分，在以下的七个方面，尽量接近40/60的比例。

具体的讲，A 所占有的份额在35%~45%之间，于是B 所占有的比例应在65%~55%之间。

这七个方面是：(1)货点总数；(2)产品乙市场所占份额；(3)区1的甲产品市场占有份额；(4)区2的甲产品市场占有份额；(5)区3的甲产品市场占有份额；(6)A 类零售商的个数；(7)B 类零售商的个数；请你帮助公司解决以下问题：(1)同时满足以上七个条件的划分方案存在否？若存在，给出你的分配方案，并说明你解决问题的方法；(2)给出在以上七个方面的百分比对40/60的偏差总和最小的分配方案；(3)给出在以上七个方面的百分比对40/60的偏差最大为最小的分配方案。

2023全国大学生数学建模竞赛模拟题

2023全国大学生数学建模竞赛模拟题第一部分：问题描述在2023年全国大学生数学建模竞赛中，我们将考虑以下问题：问题一：某大学计划对校园内的停车管理进行优化。

假设校园内有N个停车位（N为正整数），每个停车位只能停放一辆车。

现在需要设计一个停车系统，使得所有车辆能够尽可能高效地停放在停车位上。

请你们给出一个数学模型，以及相应的优化策略，以满足停车位利用效率最大化的要求。

问题二：某电商公司为了提高货物的配送效率，需要选址一些配送中心，以覆盖尽可能多的用户。

假设已知用户的分布情况和需求量，在这些信息的基础上，请你们设计一个数学模型，并给出选址策略，以最大化用户的满意度，同时尽量减少配送的时间和成本。

第二部分：问题分析与数学模型建立问题一：停车管理优化我们首先定义问题的目标函数，即停车位利用效率的优化目标。

假设停车场内每个停车位的编号为i（i=1,2,...,N），对于每个停车位，我们引入二进制变量x_i，表示该停车位是否被使用，其中x_i=1表示被占用，x_i=0表示空闲。

接着，我们需要确定约束条件。

显然，每个停车位只能被一辆车使用，即∑x_i ≤ 1 （i=1,2,...,N）其中，∑表示求和。

为了使停车位利用效率最大化，我们可以引入一个系数p_i，表示第i个停车位的利用效率，取值范围为[0,1]。

利用效率越高，则p_i越接近1，反之越接近0。

我们可以根据停车位距离出入口的远近、停车位所在区域的拥挤程度等因素来确定p_i的取值。

然后，我们可以构建目标函数：Maximize ∑p_i*x_i （i=1,2,...,N）最后，我们将目标函数和约束条件整合，形成一个数学模型。

问题二：配送中心选址对于问题二，我们可以将用户的需求量作为权重，即需求量越高的用户对配送中心的选择影响越大。

假设有M个可能的配送中心位置（M为正整数），每个位置编号为j（j=1,2,...,M），我们引入二进制变量y_j，表示第j个位置是否选址为配送中心，其中y_j=1表示选址，y_j=0表示不选址。

2023年全国数学建模竞赛赛试题

2023年全国数学建模竞赛赛试题一、选择题（每题3分，共30分）下列运算正确的是( )A. 3a + 2b = 5abB. a6÷a2=a3C. (a+b)2=a2+b2D. a3⋅a2=a5下列函数中，是正比例函数的是( )A. y=2xB. y=2x+1C. y=x1D. y=x2下列调查方式中，最适合采用全面调查（普查）的是( )A. 对重庆市中学生每天学习所用时间的调查B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C. 对某校七年级（1）班学生视力情况的调查D. 对“神舟十二号”飞船零部件安全性能的检查下列几何体中，主视图是三角形的是_______。

下列说法正确的是_______。

A. 有理数就是有限小数和无限小数的统称B. 一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数C. 数轴上的点仅能表示整数D. 两个数互为相反数，则它们的和为零下列计算正确的是_______。

下列事件中，是必然事件的是_______。

下列各组线段中，能组成三角形的是_______。

若分式x−1x2−1 的值为零，则 x 的值为_______。

在平面直角坐标系中，点P(−2,3)关于 y 轴对称的点的坐标是_______。

二、填空题（每题3分，共18分）若∣x−3∣=5，则 x= _______。

多项式2x2y−3xy+5是_______ 次_______ 项式。

计算：(−a2)3= _______。

若关于 x 的方程 2x+m=3 的解是正数，则 m 的取值范围是_______。

已知一个圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，则这个圆锥的侧面积为_______ cm2。

在平面直角坐标系中，点 A(2,0)，点 B(0,4)，以原点 O 为位似中心，相似比为 21，把线段 AB 缩小，则点 A 的对应点A′的坐标为_______。

三、解答题（共72分）（8分）解下列方程：（1）3(x−2)+x=4(x−1)；（2）32x−1−610x+1=1。

07-第七届全国初赛-非数学类试题参考解答

1
f x 4 或 f x 4 恒成立，与 0 f x dx 0 矛盾。
再由 f x 的连续性及(1)的结果，利用介值定理，可得 x1 0,1 使得 f x1 4.
第六题：(16 分)设 f x, y 在x2 y2 1 上有连续的二阶导数，fx2x 2fx2y fy2y M .

.
i
1
【参考解答】：由于
n
i sin

n
sin
n
1
n
i sin ,
n 1 i1
n
i i1 n
n i1
n
n
1 n i
n n i 1
2
lim
sin lim
sin sin xdx ,
n n 1 i1 n n n 1 n i1 n 0
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更多参考资料参见微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)
n3 2
n
第四题：(14 分)求级数
x 1 的收敛域与和函数.
n0 n 1!
【参考解答】：因 lim an1 lim n 13 2 0. 所以收敛半径为 R ，即收敛域为
2,
x 1.
1
1
第五题：(16 分)设函数 f 在 0, 1 上连续，且 0 f x d x 0, 0 xf x d x 1. 试证：
(1) x0 0, 1 使得 f x0 4 ;
(2) x1 0, 1 使得 f x1 4.
用 S1(x), S2 (x), S3 (x) 分别表示上式右端三个幂级数的和，依据 ex 的幂级数展开式可得到

第七届大学生数学建模邀请赛试题

第七届大学生数学建模邀请赛试题UGMCM 2005试题说明✧本次竞赛共有如下三题。

每支参赛队伍必须从以下三题中任意选取两题，并完成两篇论文，其它具体要求参阅试题附录里的竞赛手册。

✧参赛论文必须于2005年8月1日至8月5日间发送到shuxuejianmo2005@，逾期不收。

✧请同时发一份到ljingru@, 谢谢。

本次竞赛试题：（一）流感疫苗接种问题（二）楼市也疯狂（三）全球卫星通讯系统中的数学问题注：本试题版权归第七届大学生数模邀请赛组委会所有，不得擅自转作他用！（一）流感疫苗接种问题流感病毒有两种菌种，现已研制成两种疫苗。

疫苗1对菌种1有85％的预防效果，对菌种2有70％的预防效果；疫苗2对菌种1有60％的预防效果，对菌种2有90％的预防效果。

两种疫苗不能在一个人身上同时使用。

（1）为使尽可能多的居民具有免疫力，需要进一步了解那些信息？（2）为使尽可能多的居民具有免疫力，应采取何种接种疫苗的策略？（3）在采取你所推荐的策略的情况下，估计有多少居民具有免疫力(平均的估计和最坏情况的估计）。

流感疫苗接种问题摘要：本文首先就简易数学模型（1）进行合理性和实用性的评价，并指出了它的不足之处。

从该模型中我们受到启发，联想到人口预报的初步模型。

按照人口模型建立的发展过程，我们相应地建立了逐步完善的累计确症受流感病毒影响的各种模型：指数模型，Logistic模型，随机房室模型。

本文主要采用数据拟合的方法来确定各个模型中用到的参数。

我们对指数模型只作定性分析，重点讨论Logistic模型，随机房室模型。

在讨论Logistic模型时，我们从累计确诊病人数的变化和病人增长率的变化来进行研究，对每个参数的实际意义我们都作了详细的分析，特别是对预防指数r的分析。

问题1：本题中所提到的：为使尽可能多的居民具有免疫力，需进一步了解的信息有：前面几年各个月份各周“已确诊病例累积”有关数据、菌种1和菌种2在各个时期的生长模型、前期是否做好传染病患者的预报和统计工作、初始时刻健康者人数和初始病人数、疫区总人口数n、已发生阶段各个时期累计确症病人数N（t）及分析各种数据的真实性、居民对流感病毒的重视程度及卫生部门对加强公共卫生设施建设，提高医务人员业务水平，以减少误诊，漏诊人数等的重视程度等。

第七届全国大学生数学竞赛真题及答案(数学类专业答案)

于L1和L2。
......(4分)

设X −X−→Y
= =
−PP→Q+−svsv∈+Lt1w和垂Y直=于Qv+和tww
∈ L2 也使得XY ，故有 −s + (v
同时垂直于L1和L2，则有 · w)t = 0 和 −s(v · w) + t
=
0
。由于(v · w)2 < 1 ，我们得到s = t = 0 , 即X = P ，Y = Q，这样的P 和Q存在且唯
由 (1) 可得
(1 + a + · · · + an−1)M.

|gn(x)|
x
|f (x)| + |h(t)| |gn−1(t)| dt
0
+∞
M+
|h(t)|(1 + a + · · · + an−1)M dt
0
= M + a(1 + a + · · · + an−1)M
= (1 + a + · · · + an−1 + an)M.
+ λ32 + λ42
+ +
λ33 λ43
+ +
λ34 λ44
= =
3 · · · · · · · · · · · · (3) 4 · · · · · · · · · · · · (4)
由（1）和（2）得
......(10分)
a2
=
λ1λ2
+
λ1λ3
+
λ1λ4
+
λ2λ3

7全国大学生数学建模竞赛、A0607

A题之二（全国二等奖）：长江水质的评价和预测问题参赛学校：桂林电子工业学院参赛学生：杨雪洲、覃雪梅、陈伟贺指导教师：陈宝根摘要长江水质的污染程度日趋严重已成为不争的事实，保护长江就是保护我们自己。

为此对长江水质做出合理的评价和预测是非常必要的。

本文针对问题，综合分析了6种不同的水质类别，利用文中所给数据，分别建立了较为合理的数学模型，给出了问题的分析与解答。

模型Ⅰ：对问题一建立了Shepard插值模型，并集合统计分析，给出了长江水质近两年来为除了氨氮指数有一个在劣质五类，其余均在3类水以上，且75％以上的地区属于2类水及一类水的综合评价以及给出了各地区水质情况。

模型Ⅱ：对问题二建立了微分方程模型，解得近一年多长江干流高锰酸钾污染物指数的污染源主要在重庆朱沱，湖北宜昌，湖南岳阳，江西九江，江苏南京，其中湖南岳阳最多，占23%，其次是湖北宜昌占17%，然后江苏南京和重庆朱沱并排第三占16%，江西九江占15% ，最小的是四川攀枝花占4%。

全年各个地区氨氮指数占的百分比发现，湖南岳阳占总的27%，湖北宜昌占了20%，重庆朱沱占了18%,江西九江占了16%，安徽安庆占了10%,江苏南京占了6%,四川攀枝花占了3%氨氮污染物的主要污染源是湖南岳阳和湖北宜昌，占了将近一半，另外一个主要污染源就是重庆朱沱。

模型Ⅲ：对问题3经过对时间序列模型、多元线性回归模型以及插值预估模型的比较分析，采用插值预估模型对此问进行求解。

根据气候的周期性和循环性，以及题中提供的数据，进行三次样条插值计算。

对所得到的插值进行期望的运算，最后得到如数据一的预测结果。

（见附表数据1）模型Ⅳ：对问题四建立了多元线形回归模型，并集合线性规划模型与时间序列的曲线估计给出未来十年满足题目条件下需处理污水量：年份2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 163.91 179.17 195.38 212.54 230.66 249.73 269.75 291.68 313.61 337.45 需处理污水量最后针对长江水质的污染问题，我们给出了诸如加大法制力度，加强环保宣传广度和深度，加大污水处理设施的投入等一系列较为合理的建议与意见。

【必刷题】2024七年级数学下册数学建模初步专项专题训练(含答案)

【必刷题】2024七年级数学下册数学建模初步专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 下列哪个选项是数学建模的基本步骤？（）A. 提出问题B. 建立模型C. 求解模型D. 验证模型2. 在数学建模中，下列哪个环节是最关键的？（）A. 数据收集B. 模型假设C. 模型求解D. 模型分析3. 以下哪个数学方法常用于数学建模？（）A. 微积分B. 线性规划C. 概率论D. 数列4. 七年级下册数学建模初步中，以下哪个实例不属于数学建模？（）A. 计算手机话费B. 估算公交车到站时间C. 制作班级成绩分布图D. 探究植物生长规律5. 在建立数学模型时，以下哪个步骤是必不可少的？（）A. 确定变量B. 选择合适的数学工具C. 编写程序D. 绘制图表6. 以下哪个数学软件在数学建模中应用广泛？（）A. WordB. ExcelC. PythonD. Photoshop7. 在数学建模中，以下哪个环节可以帮助我们更好地理解问题？（）A. 数据分析B. 模型假设C. 模型检验D. 模型推广8. 以下哪个数学方法不适用于解决线性规划问题？（）A. 图解法B. 代数法C. 微分法D. 整数规划法9. 在数学建模中，以下哪个环节需要对模型进行优化？（）A. 模型建立B. 模型求解C. 模型检验D. 模型应用10. 以下哪个数学问题适合用数学建模方法解决？（）A. 计算圆的面积B. 解一元二次方程C. 探究温度与时间的关系D. 制作班级课程表二、判断题：1. 数学建模就是用数学方法解决实际问题。

（）2. 在数学建模过程中，数据收集是可有可无的环节。

（）3. 数学建模中，模型假设越复杂，越能准确地描述实际问题。

（）4. 数学建模的目的是为了找到唯一正确的答案。

（）5. 在数学建模中，模型的检验和评价是不可或缺的环节。

（）三、计算题：1. 已知某物体运动的距离与时间的关系为s=5t+2，其中s为距离（米），t为时间（秒）。

新余学院数学建模协会第7届“趣味数学杯”竞赛初赛试卷

说明：1.试题左侧二维码为该题目对应解析；2.请同学们在独立解答无法完成题目后再扫描二维码查看解析，杜绝抄袭；3.查看解析还是无法掌握题目的，可按下方“向老师求助”按钮；4.组卷老师可在试卷下载页面查看学生扫描二维码查看解析情况统计，了解班级整体学习情况，确定讲解重点；5.公测期间二维码查看解析免扣优点，对试卷的使用方面的意见和建议，欢迎通过“意见反馈”告之。

新余学院数学建模协会第7届“趣味数学杯”竞赛初赛试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）2013年新余学院首届学科技能颁奖大会召开，数计学院八位代表参加领奖．数学建模国家一等奖奖励20000，国二奖励4000，美赛二等2000，省一500，终于迎来了丰厚的实质奖励！师生们辛勤的付出得到了肯定和鼓励，体现了领导的充分重视和加强内涵建设的决心，希望此次颁奖会能激励同学们参加竞赛的积极性和主动性，让我院的竞赛成绩能实现新的突破！请问：我国大学生建模竞赛的形式是几个人，几天时间完成．（）A．四个人、四天B．三个人、三天人、二天D．一个人、一天2．（3分）我国首届大学生数学建模竞赛在那一年举行，每多少年一次？（）A．1986、四B．1988、三C．1990、二D．1992、一3．（3分）三只青蛙在三分钟里可以吃三只虫子，那么多少只青蛙能在二十七分钟吃掉八十一只虫子？（）A．3只B．6只C．9只D．21只4．（3分）东、西两城相距75千米，小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西每小时骑行15千米．3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，遇见小明又向西骑，这样往返，直到3人为止，则小辉共走了多少千米？（）A．30B．45C．60D．90 5．（3分）有若干卡片，每张卡片写着一个数，它是3的倍数或是4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占有，标有4的倍数的卡片占有．标有12的倍数的卡片占有15张．那么这些卡片一共有多少张？（）A．24B．36C．48D．60 6．（3分）图中间问号处应为（）A．22B．23C．24D．25 7．（3分）某商品的价格是每一个1分分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个，小李的钱比小赵的钱多多少？（）A．350B．389C．398D．390 8．（3分）找规律，求正方格中右下角的数？（）12 9 2 3 1 3 A．26B．17C．13D．11 9．（3分）有一位探险家，用6天的时间徒步横穿沙漠．如果一个人只能搬运一人四天所需的粮食和水，那么这个探险家需要雇佣几个搬运工？（）A．一个B．两个C．三个D．四个10．（3分）一组割草人要把两片草地割掉．大的一倍．上午大家在大片地上工作，午后分成两组，一半人继续在大片地上割草，到傍晚收工是恰好割完；另一半人到小片地上割草，到傍晚剩一小块．这小块改日由一个人去割．恰好需要一天的功夫，问这组割草人共有多少个？（）A．6个B．8个C．10个D．12个二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）连着撕9张日历，日期相加是54．请问：撕的第一张是几？最后一张又是几号？12．（3分）九只鸡九天一共生了九个鸡蛋，三只鸡三天应该可以生几只鸡蛋？13．（3分）一个牧场长满青草，牛在吃草而草又不断生长，已知牛27头，6天能把草吃尽，同样一片吃尽，如果有牛21头，几天能把草吃尽？14．（3分）在一次激烈的战争中，有100名士兵参战，其中70名失去了一只眼睛；75名失去了一只耳朵；80名士兵失去了一只手；85名失去了一只脚．问：同时失去了一只眼睛，一只耳朵，一只手，一只脚的士兵至少有_________个．15．（3分）试卷上有6道选择题，每题有3个选项，结果阅卷老师发现，在所有卷子中任选3张答案，都有一道题的选择互不相同，请问最多有多少人参加了这次考试？三、趣味猜猜（打一数学名词）（每一小题2分，共10分）16．（2分）谎报成绩_________．17．（2分）大甩卖_________18．（2分）婚姻法_________．19．（2分）市场无人无货_________．20．（2分）千刀万割_________．四、简答题（6+6+6+6+7+7+7=45）21．（6分）狡猾的骗子到商店用面值为100元的钞票买了9元的东西，售货员找他91元，这时，他又用自己已有的零钱给了9元钱，要回了自己的100元，那么他骗了商店_________元．22．（6分）祖孙三人的年龄加在一起正好100岁．祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数．问：祖孙三人各多大？23．（6分）如图，随从们密约，在河的任一岸，一旦随商人多，就杀人越货．目前有三个商人，三个随从，但是乘船渡河的方案由商人决定．商人们怎样才能安全过河？（写出步骤）24．（6分）三人玩游戏，输者将另两个人的钱加倍．在玩了三次游戏后，每人都恰好输了一次，且每人都有￥24.00．问：每个人在游戏之初有多少钱？25．（7分）一艘船出现了渗漏．水正以均匀的速度向船内涌入，且发现漏水时船体内已有了积水．此时，如果有12个技术相当的人，可在3小时内将积水排干；如果只有5个人，则需要10小时．如果要在2小时内排干积水，共需要26．（7分）某人正在一座铁路桥上，桥的一端为A，另一端为B，他离A处的距离为桥长的．他听到一列火车正向A处驶来，火车的速度是80kph．如果他跑向A，他将与火车在A处相遇，如果他跑向B ，火车将在B处追上他，这人的速度是多少？27．（7分）只有一个天平，一个7kg和一个2kg的砝码．如何把一堆140kg的大米，分成一堆50kg 和另一堆90kg？天平只能称4次（写出步骤）．五、附加题：28．（10分）如图，在这个形状对称的图中，有着12个圆和7个小正方形，以及连接它们的通路（圆弧与直线段）．现在请你填数了．要求分两步走．首先在各个正方形（0与正自然数），数目当然是越小越好．两个正方形之间必有一个圆．下一步，在圆中也要填入适当的数字．不过，此时填数，已经是“身不由己”了．圆中的数字，只能是它贴邻的两个正方形中所填数字的差．用数学的行话来讲：方格里的数是“自变量”，而圆中的数，只能是“函数”了．要求：所有12个圆中的数字，必须正好是从1到12，既不能重复，也不准遗漏．有一张正方形纸片，共有16格，其中已经填好10个二位数，还有6个二位数，改用6个英文字母代替．现在要求你用合适的二位数填进去，替换掉字母（I、S、H、N、O、X），使每行、每列及每条对角线上的四数之和都相等．还要求把纸片颠倒过来看时，此项性质依然成立．96 N 89 88 69 91 S 86 H 19 98 I新余学院数学建模协会第7届“趣味数学杯”竞赛初赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）2013年新余学院首届学科技能颁奖大会召开，数计学院八位代表参加领奖．数学建模国家一等奖奖励20000，国二奖励4000，美赛二等2000，省一500，终于迎来了丰厚的实质奖励！师生们辛勤的付出得到了肯定和鼓励，体现了领导的充分重视和加强内涵建设的决心，希望此次颁奖会能激励同学们参加竞赛的积极性和主动性，让我院的竞赛成绩能实现新的突破！请问：我国大学生建模竞赛的形式是几个人，几天时间完成．（）A ．四个人、四天B．三个人、三天C．二个人、二天D．一个人、一天考点：数学常识．分析：根据对数学知识的了解可知：2013年新余学院首届学科技能颁奖大会召开，数计学院八位代表参加领奖．数学建模国家一等奖奖励20000，国二奖励4000，美赛二等2000，省一500，我国大学生建模竞赛的形式是3个人，3天时间完成；由此解答即可．解答：解：2013年新余学院首届学科技能颁奖大会召开，数计学院八位代表参加领奖．数学建模国家一等奖励4000，美赛二等2000，省一500，终于迎来了丰厚的实质奖励；师生们辛勤的付出得到了肯定和鼓励，体现了领导的充分重视和加强内涵建设的决心，希望此次颁奖会能激励同学们参加竞赛的积极性和主动性，让我院的竞赛成绩能实现新的突破；我国大学生建模竞赛的形式是3个人，3天时间完成；故选：B．点评：此题考查了对数学常识的了解，注意平时数学常识的积累．2．（3分）我国首届大学生数学建模竞赛在那一年举行，每多少年一次？（）A ．1986、四B．1988、三C．1990、二D．1992、一考点：数学常识．分析：我国的数学建模竞赛是从1992年开始的，先由中国工业与应用数学学会举办，从1994年起改由与教育部高教国组委会来具体组织竞赛；我国的数学建模竞赛也是每年举办一次，竞赛在每年的9月份进行，竞赛时间为三天，采取团队参赛，每队三人；由此解答即可．解答：解：我国首届大学生数学建模竞赛在1992年举行，每一年一次；故选：D．点评：此题考查了对数学常识的了解，注意平时数学常识的积累．3．（3分）三只青蛙在三分钟里可以吃三只虫子，那么多少只青蛙能在二十七分钟吃掉八十一只虫子？（）A ．3只B．6只C．9只D．21只考点：智力问题．专题：传统应用题专题．分析：由题意，三只青蛙在三分钟里可以吃三只虫子，可得1只青蛙在三分钟里可以吃1只虫子，则1只青蛙能在二十七分钟吃掉9只虫子，9只青蛙能在二十七分钟吃掉八十一只解答：解：由三只青蛙在三分钟里可以吃三只虫子，可得1只青蛙在三分钟里可以吃1只虫子，27÷3=9（只），即1只青蛙能在二十七分钟吃掉9只虫子，81÷9=9（只），即9只青蛙能在二十七分钟吃掉八十一只虫子；故选：C．点评：解答此题关键是明确1只青蛙在三分钟里可以吃1只虫子．4．（3分）东、西两城相距75千米，小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西每小时骑行15千米．3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，遇见小明又向西骑，这样往返，直到3人在中途相遇为止，则小辉共走了多少千米？（）A ．30 B．45 C．60 D．90考点：相遇问题．专题：行程问题．分析：因为丙在不停运动．（即没有休息，不断在骑自行车运动），且匀速直线．所以丙所走路程=速度×时间，时间则是甲乙两人相遇的时间．据此完成．解答：解：75÷（6.5+6）6×15=90（千米）答：从出发到三人相遇丙一共行了90千米．故选：D．点评：此题的关键明确丙在不停运动，即没有休息，不断在骑自行车运动，且匀速直线运动．5．（3分）有若干卡片，每张卡片写着一个数，它是3的倍数或是4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占有，标有4的倍数的卡片占有．标有12的倍数的卡片占有15张．那么这些卡片一共有多少张？（）A ．24 B．36 C．48 D．60考点：分数四则复合应用题；容斥原理．专题：分数百分数应用题．分析：根据题意，把卡片总张数看作单位“1”，标有12的倍数的卡片占卡片总张数的+﹣1=，又知12的倍数的卡片有15张，那么这些卡片一共有15÷（+﹣1），解决问题．解答：=15÷=15×=36（张）答：这些卡片一共有36张．故选：B．点评：此题解答的关键在于把卡片总张数看作单位“1”，求出标有12的倍数的卡片张数占总张数的几分之几，根据数量对应，解决问题．6．（3分）图中间问号处应为（）A ．22 B．23 C．24 D．25考点：数表中的规律．专题：探索数的规律．分析：由12+2=6+8，11+14=12+13可以看出，表中的相对的两个数字的和相等由此填出？的数字即可解决问题．解答：解：因为12+2=6+8，11+14=12+1321+24=22+？，？=45﹣22=23．故选：B．点评：此题考查数表中的规律，发现数字之间的运算规律，利用规律解决问题．7．（3分）某商品的价格是每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个，小李的钱比小赵的钱多多少？（）A ．350 B．389 C．398 D．390考点：钱币问题．专题：传统应用题专题．分析：用买的个数除以9，求出最多能买9个的份数，然后用份数乘7，求出买9个的钱数，如果有余数，则再分情况进行讨论怎样买．据此解答．解答：解：50÷9=5（份）…5（个）余下的5个要用4分钱，小赵的钱是：5×7+4=35+4=39（分）500÷9=55（份）…5（个）余下的5个要用4分钱，小赵的钱是：55×7+4=385+4赵多：389﹣39=350（分）答：小李的钱比小赵的钱多350分．故选：A．点评：本题关键是理解先用钱买最多个数的那一种，然后再看不够买每9个7分钱那种的时候，再结合余数考虑剩下的买法．8．（3分）找规律，求正方格中右下角的数？（）12 9 ﹣62 3 101 3 ？A ．26 B．17 C．13 D．11考点：数表中的规律．专题：探索数的规律．分析：由表中可以看出，每一列的数字和相等都是15，由此规律解决问题即可．解答：解：12+2+1=9+3+3=15所以﹣6+10+？=15？=15+6﹣10=11．故选：D．点评：此题考查数表中的规律，题．9．（3分）有一位探险家，用6天的时间徒步横穿沙漠．如果一个人只能搬运一人四天所需的粮食和水，那么这个探险家需要雇佣几个搬运工？（）A ．一个B．两个C．三个D．四个考点：最佳方法问题．专题：优化问题．分析：画图理解：从A点出发，第一搬运工走一天将2天的生活用品放在B处就返回出发点，第二搬运工到B处先加上1天的用品到C处放下二天的用品返回到B处拿好一天的用品返回出发点探险家到C处补足2天用去的生活用品就可安全到达终点．所以只要2个人就可以了．解答：解：如图，因为从A点出发，第一个搬运工走一天，将两天的生活用品放在B处到C处，放下两天的生活用品，走到B处时拿好一天的用品返回出发点．探险家自己带四天的用品，走到C处补充2天的用品，正好是6天的用品，可以安全到达沙漠．所以探险家至少带2个搬运工．答：这位探险家至少要雇2位搬运工．故选：B．点评：做这道题关键是想一想探险家缺少几天的用品，怎样合理安排让搬运工能在C处留下两天的用品．10．（3分）一组割草人要把两片草地割掉．大的一片草地比小的一片大一倍．上午大家在大片地上工作，午后分成两组，一半人继续在大片地上割草，到傍晚收工是恰好割完；另一半人到小片地上割草，到傍晚剩一小块．这小块改日由一个人去割．恰好需要一天的功夫，问这组割草人共有多少个？（）A ．6个B．8个C．10个D．12个考点：牛吃草问题．专题：传统应用题专题．分析：设半组人半天的割草量大草地上的割草量为1+2=3份．因为大草地的面积比小草地大1倍，因此小草地上的总割草量为1.5份．在这1.5份中有半组人半天割草量1份，则剩下0.5份就是由一个人1天完成．也就是两个人半天完成0.5份；因为题中给出全组人半天的割草量为2份，所以能得出4个两个人完成2份，即得出结论．解答：解：以半组人割半天为1份来看．大的一块地正好分3份割完．则小草地上的总割草量为3÷2=1.5（份），因为半组人半天割1份，所以剩下：1.5﹣1=0.5（份），用一人割1天，即由2人割半天可以完成．答：这组割草人共有8人．故选：B．点评：这种类型的题目，分析起来较复杂，关键是抓住题中给出的量，进行推论假设，然后与问题进行比较，得出结论．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）连着撕9张日历，日期相加是54．请问：撕的第一张是几？最后一张又是几号？考点：等差数列．专题：传统应用题专题．分析：因为连着撕9张日历，则撕去的9个日期号码是一个公差为1的等差数列，又因为是奇数个，那么中间数（第5个号码）就是54÷9=6，进而求得撕的第一张和最后一张的号码．解答：解：54÷9=66﹣4=26+4=10答：第一张是2号，最后一张是10号点评：通过解答此题是一个等差数列，如果数列中由奇数个数字，等12．（3分）九只鸡九天一共生了九个鸡蛋，三只鸡三天应该可以生几只鸡蛋？考点：智力问题．专题：传统应用题专题．分析：九只鸡九天一共生了九个鸡蛋，即9只鸡1天一共生了1个鸡蛋，则9只鸡3天一共生了3个鸡蛋，9÷3=3，3÷3=1，那么3只鸡3天一共生了1个鸡蛋．解答：解：因为九只鸡九天一共生了九个鸡蛋，即9只鸡1天一共生了1个鸡蛋，则9只鸡3天一共生了3个鸡蛋，9÷3=3，3÷3=1，那么3只鸡3天一共生了1个鸡蛋．点评：解答本题关键是明确9只鸡1天一共生了1个鸡蛋．13．（3分）一个牧场长满青草，牛在吃草而草又不断生长，已知牛27头，6天能把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽，如果有牛21头，几天能把草吃尽？考点：牛吃草问题．专题：传统应用题天增长量是y，21头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a．根据原草量+每天生长的草量×放牧的天数=每头牛每天吃草量×头数×天数列出方程组：a+6y=27×6x，a+9y=23×9x，a+yz=21xz，可解得z的值即为所求．解答：解：设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，21头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a．根据题意，得：②﹣①，得y=15x④③﹣②，得（z﹣9）y=3x（7z﹣69）．⑤由④、⑤，得z=12．答：如果放牧21头牛，则12天可以吃完牧草．点评：本题考查三所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．14．（3分）在一次激烈的战争中，有100名士兵参战，其中70名失去了一只眼睛；75名失去了一只耳朵；80名士兵失去了一只手；85名失去了一只脚．问：同时失去了一只眼睛，一只耳朵，一只手，一只脚的士兵至少有10个．考点：容斥原理．专题：传统应用题专题．分析：解这道题的关键在于反其道而行，100人中，没失去眼睛的30人，没失去耳朵的25人，没失去手的20人，没失去脚的15人，所以至少有100﹣（30+25+20+15）=10人，10人同时失去了一只眼、脚；由此解答即可．解答：解：100﹣[（100﹣70）+（100﹣75）+（100﹣80）+（100﹣85）]=100﹣90=10（人）答：同时失去了一只眼睛，一只耳朵，一只手，一只脚的士兵至少有10个．故答案为：10．点评：此题属于容斥原理习题，解答此题的关键是：反其道而行，分别求出没有失去眼睛、没有失去耳朵、没有失去手、没有失去脚的人数，进而求出同时失去了一只眼睛，一只耳朵，一只手，一只脚的士兵至少的人数．15．（3分）试卷上有6道选择题，每题有3个选项，结果阅卷老师发现，在所有卷子中任选3张答案，都有一道题的选择互不相同，请问最多有多少人参加了这次考试？考点：逻辑推理．专题：逻辑推理问题．分析：第一道题有三个人分别选了1、2、3第二道题他们三个人选另外两个人选了2、3 第三道题他们五个人选了1，其他两个人选了2、3第四题他们7个选1，另两个2、3 第五题他们9个选1，另两个2、3 第六题他们11个选1，另两个2、3一共13人．只有这种情况才能保证随便三张卷子都有1题答案互不相同，这是抽屉定理中的穷举法．解答：解：首先只有一道试题的时候最多3人，只有两道试题的时候最多4人，这个很容易用穷举法知道．现在，如果有14人做这道题的话，14人中任取3人的组合共有364种，根据抽屉原理，这里至少有122种取法与第一题的答案相同．同样，在这122种取法中，至相同，5种取法与第4题答案相同，这样根据两道题时候的情况，可以知道14人是不可能的，所以最多13人．答：最多有13人参加了这次考试．点评：此题也可这样理解：第一道题有三个人分别选了1、2、3第二道题他们三个人选了同一个答案（假设是1），另外两个人选了2、3第三道题他们五个人选了1，其他两个人选了2、3第四题他们7个选1，另两个2、3第五题他们9个选1，另两个2、3第六题他们11个选1，另两个2、3一共13人．只有这种情况才能保证随便三张卷子都有1题答案互不相同．考点：数学常识．分析：根据对数学知识及对语言文字的理解，可知：谎报成绩﹣假分数；由此解答即可．解答：解：谎报成绩，打一数学名词，为：假分数；故答案为：假分数．点评：此题考查了对数学常识的了解．17．（2分）大甩卖绝对值．考点：数学常识．分析：根据对数学知识及对语言文字的理解，可知：大甩卖﹣绝对值；由此解答即可．解答：解：大甩卖，打一数学名词，为：绝对值；故答案为：绝对值．点评：此题考查了对数学常识的了解．18．（2分）婚姻法结合律．考点：数学常识．分析：根据对数学知识及对语言文字的理解，可知：婚即可．解答：解：婚姻法，打一数学名词，为：结合律；故答案为：结合律．点评：此题考查了对数学常识的了解．19．（2分）市场无人无货空集．考点：数学常识．分析：根据对数学知识及对语言文字的理解，可知：市场无人无货﹣空集；由此解答即可．解答：解：市场无人无货，打一数学名词，为：空集；故答案为：空集．点评：此题考查了对数学常识的了解．20．（2分）千刀万割分式．考点：数学常识．分析：根据对数学知识及对语言文字的理解，可知：千刀万割﹣分式；由此解答即可．解答：解：千刀万割，打一数学名词，为：分式；故答案为：分对数学常识的了解．四、简答题（6+6+6+6+7+7+7=45）21．（6分）狡猾的骗子到商店用面值为100元的钞票买了9元的东西，售货员找他91元，这时，他又用自己已有的零钱给了9元钱，要回了自己的100元，那么他骗了商店91元．考点：智力问题．专题：传统应用题专题．分析：把售货员收入的记为“+”，支出的记为“﹣”，那么售货员的先后收支可以用算式表示：+100﹣9﹣91+9﹣100=﹣91（元），所以骗子骗了商店91元．解答：解：把售货员收入的记为“+”，支出的记为“﹣”，+100﹣9﹣91+9﹣100=﹣91（元），答：他骗了商店91元．故答案为：91．点评：本题条件比较复杂比较乱，所以解答时，只以某个人的收支去研究问题的数量关系，就一目了然了．22．（6分）祖孙三人的年龄加在一起正好100岁．祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数．问：祖孙三人各多大？父年龄为x，则孙子年龄为7x÷12，根据“祖孙三人的年龄加在一起正好100岁”列方程解答即可．解答：解：设祖父年龄为x，则孙子年龄为7x÷12，由题意得：x+x÷12+7x÷12=10012x+x+7x=100×1220x=1200x=6060÷12=5（岁）60×7÷12=35（岁）答：祖父60岁，儿子35岁，孙子5岁．点评：解答此题关键是正确表示出儿子、孙子的年龄．23．（6分）如图，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货．目前有三个商人，三个随从，但是乘船渡河的方案由商人决定．商人们怎样才能安全过河？（写出步骤）考点：最佳对策问题．专题：数学游戏与证商人数在两岸都大于或等于随从人数，即商人数可以大于随从数，据此得解．解答：解：1，两个随从过去，一个随从回来．2，再两个随从过去，一个随从回来．3，两个商人过去，一个随从和一个商人回来．（这步是重点）4，两个商人过去，一个随从回来．5，两个随从过去，一个随从回来．6，最后两个随从过去．点评：能够想到两个随从可以一起过河，以及一个商人和一个随从回来，是解决此题的关键．24．（6分）三人玩游戏，输者将另两个人的钱加倍．在玩了三次游戏后，每人都恰好输了一次，且每人都有￥24.00．问：每个人在游戏之初有多少钱？考点：逆推问题．专题：还原问题．分析：最好是反向来思考．注意到所有这三个人手里拿的钱的总数总是72元．从三次游戏后，钱的分布是24元，24元，24元，进而推出最初的时候，钱的分布情况，解决问题．解答：解：第三次游戏后，钱的分布都是72÷3=24（元），即24元，24元，24元第二次游戏后，钱的分布是12元，12元，48元最初的时候，钱的分布是39元，21元，12元．答：每个人在游戏之初有39元，21元，12元．点评：解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答．25．（7分）一艘船出现了渗漏．水正以均匀的速度向船内涌入，且发现漏水时船体内已有了积水．此时，如果有12个技术相当的人，可在3小时内将积水排干；如果只有5个人，则需要10小时．如果要在2小时内排干积水，共需要几人？考点：牛吃草问题．专题：传统应用题专题．分析：此题是典型。

高校数学模型竞赛复习资料及习题解析

高校数学模型竞赛复习资料及习题解析高校数学模型竞赛是一项重要的学术竞赛活动，旨在培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。

为了帮助参赛同学更好地准备比赛，本文将提供一些复习资料和习题解析。

一、复习资料1. 教材复习高校数学竞赛通常以大学数学课程为基础，因此熟悉相关教材是复习的基础。

首先，需要掌握大学数学分析、线性代数、概率论与数理统计等基础知识，并理解其基本概念和定理证明。

其次，需要学习相关课程的应用部分，如微分方程、最优化理论等。

2. 历年竞赛试题了解历年竞赛试题是复习的重要环节。

通过分析历年试题，可以了解竞赛的出题风格、难度以及题型变化趋势。

同时，可以找到一些典型的解题方法和思路，从而提高解题的效率和准确性。

历年试题可以通过高校数学竞赛官方网站、竞赛论坛或相关参考书籍获取。

3. 竞赛辅导材料为了帮助同学们更好地理解数学模型竞赛，一些教育机构和个人编写了一些辅导材料。

这些材料通常包括模型建立的方法、问题求解的思路以及典型题目的解析等内容。

可以选择一些受欢迎的辅导材料进行学习和参考。

二、习题解析在进行习题解析之前，有几点需要注意。

首先，对于每道习题，应该明确其所属的数学领域和解题思路。

其次，应该注重练习各种类型的题目，包括理论证明题、计算题和应用题等。

最后，要理解题目中所给条件和要求，并灵活运用所学知识进行解答。

接下来，我们将通过解析两道典型习题，来帮助大家更好地理解数学模型竞赛的解题方法。

1. 习题一：某公司生产产品A和产品B，每单位A产品需要花费2小时，每单位B产品需要花费3小时。

公司共有1000小时的生产时间。

如果公司希望利润最大化，应该生产多少单位的A产品和多少单位的B产品？解析：设生产A产品的单位数为x，生产B产品的单位数为y。

根据题目条件，可以列出如下两个方程：2x + 3y ≤ 1000目标函数：z = 3x + 2y通过解方程组可以求得最优解。

2. 习题二：某地区共有A、B、C三个汽车租赁公司，每个公司分别提供不同型号的车辆租赁服务。

山东理工大学第七届大学生数学建模竞赛

山东理工大学第七届大学生数学建模竞赛题目：搜寻黑匣子落水点方位摘要本文研究的是飞机失控后飞行的轨迹及落地点问题。

题目要求我们根据不同的目标建立数学模型，给出一些假定因子，用模型求解出飞机落地点的具体位置。

首先我们想到的时运用牛顿第二定律对其进行受力分析，然后再对物体运动状态加以分析，因为阻力因子为变量，这就要求运用数学微分方程求解的思想加以求解，来大致确定黑匣子的落水点方位，由于所借助的思想和方法都是通过严格的实验和理论所推导出来的，故本文最终所计算的结果在一定范围内具有真实可靠性。

文中，我们每个问题的解决都渗透着同一种思想，即首先用物理学中的物体运动分析方法，结合牛顿第二定律，对飞机的运动状态加以分析，列出与之对应的状态方程，继而转化为数学问题，然后用数学中求解微分方程的相关算法及思想，得到飞机的运动轨迹方程，最后求得给定条件下黑匣子的落水点方位。

且三个问题是环环相扣，后两个问题的求解只是在问题一的基础上附加多个变量因子，增加其求解的复杂度，但求解思想不变。

在求解过程中，我们大量运用解析法来推导公式，只在必要时采用数值法代替，同时引入一些必要的近似求解方法来降低计算量。

关键词：牛顿第二定律，微分方程，运动轨迹一、问题复述1.背景飞机是远距离航行的交通方式之一，其主要特点是速度快，安全性高，是交通方式中事故率最低的交通方式，黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用。

黑匣子记录的参数包括：飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。

因此，在飞机失事后，为了能够及时救援，分析、查找失事的原因，而能够尽快确定失事后飞机的飞行轨迹和飞机上黑匣子的所在位置就变得极为重要。

2.问题假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45°，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。

第7届全国大学生数学竞赛非数学类预赛答案

∑ ⎝ 2 2 2 第七届预赛（非数学类）参考答案一、每小题 6 分，共计 30 分。

sin π sin 2 π(1) 极限lim n n + n +L + sin π =2。

n →∞ n +1 n + 2n + n πsin iπ 1 n i n n 1 n i解：由于n +1∑sin n π ≤ ∑i ≤ n ∑sin n π , 而i =1i =1 n + ni =1lim 1 ∑n sin i π n π ∑n = lim sin i π = 1 ⎰π sin xdx = 2 ， n →∞ n +1 i =1n n →∞ (n +1)π n i =1 n π 0 πlim 1sin i π = lim 1 πnsin i π =1 π2n →∞ni =1nn →∞π ∑ i =1π ⎰sin xdx = π。

所以所求极限是 2 .π（2）设函数 z = z (x , y ) 由方程 F (x +z , y + zy x) = 0 所决定，其中 F (u , v ) 具有连续偏导∂z ∂z数，且 xF u + yF v ≠ 0 。

则 x + y =∂x ∂yz − xy。

（本小题结果要求不显含 F 及其偏导数）解：方程对 x 求导，得到⎜⎛ + 1 ∂z ⎞⎟ F+⎛⎜1 ∂z −z ⎞⎟ F = 0 ⎜1y ∂x ⎠⎟ u ⎜⎝ x ∂x x 2 ⎠⎟ v∂z y (zF − x 2F ) 即 x = v u 。

∂x xF u + yF v∂zx (zF − y 2F )同样，方程对 y 求导，得到 y = u v 。

∂y xF u + yF v于是 x∂z + y ∂z = z (xF u + yF v ) − xy (xF u + yF v ) = z − xy∂x ∂y xF u + yF v（3）曲面 z = x 2+ y 2+ 1在点 M (1,‐1,3)的切平面与曲面 z = x 2+ y 2所围区域的体积为π。

成都七中高中数学竞赛试题

成都七中高中数学竞赛试题成都七中作为中国知名的中学之一，其高中数学竞赛试题往往具有较高的难度和创新性。

以下是一套模拟的成都七中高中数学竞赛试题，供参考：一、选择题（每题4分，共20分）1. 设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则集合A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数f(x)=|x-2|+|x-3|的最小值是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若a, b, c是实数，且满足a^2+b^2+c^2=1，求a+b+c的最大值：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知等差数列的前三项和为S，若S=9，且第二项a_2=5，求首项a_1：A. 2B. 3C. 4D. 55. 对于任意实数x，不等式|x-1|+|x-2|+|x-3|≥k恒成立，求k的最小值：A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题5分，共15分）6. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，求圆心到直线x+2y-7=0的距离。

7. 已知数列{an}是等比数列，且a1=2，a3=18，求公比q。

8. 求解一元二次方程x^2-4x+4=0的根。

三、解答题（每题10分，共65分）9. 证明：对于任意正整数n，1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 < 2。

10. 解不等式：|x-1| + |x-2| + |x-3| ≥ 9。

11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求其导数f'(x)，并求在区间[0,2]上的最大值和最小值。

12. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为c元，销售价格为p元。

已知生产x件产品时，总成本为C(x)=cx，总收入为R(x)=px，利润为L(x)=R(x)-C(x)。

求利润最大化时的产量。

13. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a>b>0），求椭圆的焦点坐标。

14. 证明：对于任意实数x，e^x > 1 + x。

2013年新余学院数学建模协会第7届“趣味数学杯”竞赛初赛试卷

2013年新余学院数学建模协会第7届“趣味数学杯”竞赛初赛试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）2013年新余学院首届学科技能颁奖大会召开，数计学院八位代表参加领奖．数学建模国家一等奖奖励20000，国二奖励4000，美赛二等2000，省一500，终于迎来了丰厚的实质奖励！师生们辛勤的付出得到了肯定和鼓励，体现了领导的充分重视和加强内涵建设的决心，希望此次颁奖会能激励同学们参加竞赛的积极性和主动性，让我院的竞赛成绩能实现新的突破！请问：我国大学生建模竞赛的形式是几个人，几天时间完成．（）A．四个人、四天B．三个人、三天C．二个人、二天D．一个人、一天2．（3分）我国首届大学生数学建模竞赛在哪一年举行，每多少年一次？（）A．1986、四B．1988、三C．1990、二D．1992、一3．（3分）三只青蛙在三分钟里可以吃三只虫子，那么多少只青蛙能在二十七分钟吃掉八十一只虫子？（）A．3只 B．6只 C．9只 D．21只4．（3分）东、西两城相距75千米，小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西每小时骑行15千米．3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，遇见小明又向西骑，这样往返，直到3人在中途相遇为止，则小辉共走了多少千米？（）A．30 B．45 C．60 D．905．（3分）有若干卡片，每张卡片写着一个数，它是3的倍数或是4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占有，标有4的倍数的卡片占有．标有12的倍数的卡片占有15张．那么这些卡片一共有多少张？（）A．24 B．36 C．48 D．606．（3分）图中间问号处应为（）A．22 B．23 C．24 D．257．（3分）某商品的价格是每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个，小李的钱比小赵的钱多多少？（）A．350 B．389 C．398 D．3908．（3分）找规律，求正方格中右下角的数？（）A．26 B．17 C．13 D．119．（3分）有一位探险家，用6天的时间徒步横穿沙漠．如果一个人只能搬运一人四天所需的粮食和水，那么这个探险家需要雇佣几个搬运工？（）A．一个B．两个C．三个D．四个10．（3分）一组割草人要把两片草地割掉．大的一片草地比小的一片大一倍．上午大家在大片地上工作，午后分成两组，一半人继续在大片地上割草，到傍晚收工是恰好割完；另一半人到小片地上割草，到傍晚剩一小块．这小块改日由一个人去割．恰好需要一天的功夫，问这组割草人共有多少个？（）A．6个 B．8个 C．10个D．12个二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）连着撕9张日历，日期相加是54．请问：撕的第一张是几？最后一张又是几号？12．（3分）九只鸡九天一共生了九个鸡蛋，三只鸡三天应该可以生几只鸡蛋？13．（3分）一个牧场长满青草，牛在吃草而草又不断生长，已知牛27头，6天能把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽，如果有牛21头，几天能把草吃尽？14．（3分）在一次激烈的战争中，有100名士兵参战，其中70名失去了一只眼睛；75名失去了一只耳朵；80名士兵失去了一只手；85名失去了一只脚．问：同时失去了一只眼睛，一只耳朵，一只手，一只脚的士兵至少有个．15．（3分）试卷上有6道选择题，每题有3个选项，结果阅卷老师发现，在所有卷子中任选3张答案，都有一道题的选择互不相同，请问最多有多少人参加了这次考试？三、趣味猜猜（打一数学名词）（每一小题2分，共10分）16．（2分）谎报成绩．（打一数学名词）17．（2分）大甩卖．（打一数学名词）18．（2分）婚姻法．（打一数学名词）19．（2分）市场无人无货．（打一数学名词）20．（2分）千刀万割．（打一数学名词）四、简答题（6+6+6+6+7+7+7=45）21．（6分）狡猾的骗子到商店用面值为100元的钞票买了9元的东西，售货员找他91元，这时，他又用自己已有的零钱给了9元钱，要回了自己的100元，那么他骗了商店元．22．（6分）祖孙三人的年龄加在一起正好100岁．祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数．问：祖孙三人各多大？23．（6分）如图，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货．目前有三个商人，三个随从，但是乘船渡河的方案由商人决定．商人们怎样才能安全过河？（写出步骤）24．（6分）三人玩游戏，输者将另两个人的钱加倍．在玩了三次游戏后，每人都恰好输了一次，且每人都有￥24.00．问：每个人在游戏之初有多少钱？25．（7分）一艘船出现了渗漏．水正以均匀的速度向船内涌入，且发现漏水时船体内已有了积水．此时，如果有12个技术相当的人，可在3小时内将积水排干；如果只有5个人，则需要10小时．如果要在2小时内排干积水，共需要几人？26．（7分）某人正在一座铁路桥上，桥的一端为A，另一端为B，他离A处的距离为桥长的．他听到一列火车正向A处驶来，火车的速度是80kph．如果他跑向A，他将与火车在A处相遇，如果他跑向B，火车将在B处追上他，这人的速度是多少？27．（7分）只有一个天平，一个7kg和一个2kg的砝码．如何把一堆140kg的大米，分成一堆50kg 和另一堆90kg？天平只能称4次（写出步骤）．五、附加题：28．（10分）如图，在这个形状对称的图中，有着12个圆和7个小正方形，以及连接它们的通路（圆弧与直线段）．现在请你填数了．要求分两步走．首先在各个正方形里填写一些非负的整数（0与正自然数），数目当然是越小越好．两个正方形之间必有一个圆．下一步，在圆中也要填入适当的数字．不过，此时填数，已经是“身不由己”了．圆中的数字，只能是它贴邻的两个正方形中所填数字的差．用数学的行话来讲：方格里的数是“自变量”，而圆中的数，只能是“函数”了．要求：所有12个圆中的数字，必须正好是从1到12，既不能重复，也不准遗漏．29．（10分）有一张正方形纸片，共有16格，其中已经填好10个二位数，还有6个二位数，改用6个英文字母代替．现在要求你用合适的二位数填进去，替换掉字母（I、S、H、N、O、X），使每行、每列及每条对角线上的四数之和都相等．还要求把纸片颠倒过来看时，此项性质依然成立．2013年新余学院数学建模协会第7届“趣味数学杯”竞赛初赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）2013年新余学院首届学科技能颁奖大会召开，数计学院八位代表参加领奖．数学建模国家一等奖奖励20000，国二奖励4000，美赛二等2000，省一500，终于迎来了丰厚的实质奖励！师生们辛勤的付出得到了肯定和鼓励，体现了领导的充分重视和加强内涵建设的决心，希望此次颁奖会能激励同学们参加竞赛的积极性和主动性，让我院的竞赛成绩能实现新的突破！请问：我国大学生建模竞赛的形式是几个人，几天时间完成．（）A．四个人、四天B．三个人、三天C．二个人、二天D．一个人、一天【解答】解：2013年新余学院首届学科技能颁奖大会召开，数计学院八位代表参加领奖．数学建模国家一等奖奖励20000，国二奖励4000，美赛二等2000，省一500，终于迎来了丰厚的实质奖励；师生们辛勤的付出得到了肯定和鼓励，体现了领导的充分重视和加强内涵建设的决心，希望此次颁奖会能激励同学们参加竞赛的积极性和主动性，让我院的竞赛成绩能实现新的突破；我国大学生建模竞赛的形式是3个人，3天时间完成；故选：B．2．（3分）我国首届大学生数学建模竞赛在哪一年举行，每多少年一次？（）A．1986、四B．1988、三C．1990、二D．1992、一【解答】解：我国首届大学生数学建模竞赛在1992年举行，每一年一次；故选：D．3．（3分）三只青蛙在三分钟里可以吃三只虫子，那么多少只青蛙能在二十七分钟吃掉八十一只虫子？（）A．3只 B．6只 C．9只 D．21只【解答】解：由三只青蛙在三分钟里可以吃三只虫子，可得1只青蛙在三分钟里可以吃1只虫子，27÷3=9（只），即1只青蛙能在二十七分钟吃掉9只虫子，81÷9=9（只），即9只青蛙能在二十七分钟吃掉八十一只虫子；故选：C．4．（3分）东、西两城相距75千米，小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西每小时骑行15千米．3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，遇见小明又向西骑，这样往返，直到3人在中途相遇为止，则小辉共走了多少千米？（）A．30 B．45 C．60 D．90【解答】解：75÷（6.5+6）=75÷12.5=6（小时）6×15=90（千米）答：从出发到三人相遇小辉一共行了90千米．故选：D．5．（3分）有若干卡片，每张卡片写着一个数，它是3的倍数或是4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占有，标有4的倍数的卡片占有．标有12的倍数的卡片占有15张．那么这些卡片一共有多少张？（）A．24 B．36 C．48 D．60【解答】解：15÷（+﹣1）=15÷=15×=36（张）答：这些卡片一共有36张．故选：B．6．（3分）图中间问号处应为（）A．22 B．23 C．24 D．25【解答】解：因为12+2=6+8，11+14=12+13，所以21+24=22+？，？=45﹣22=23．故选：B．7．（3分）某商品的价格是每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个，小李的钱比小赵的钱多多少？（）A．350 B．389 C．398 D．390【解答】解：50÷9=5（份）…5（个）余下的5个要用4分钱，小赵的钱是：5×7+4=35+4=39（分）500÷9=55（份）…5（个）余下的5个要用4分钱，小赵的钱是：55×7+4=385+4=389（分）小李就比小赵多：389﹣39=350（分）答：小李的钱比小赵的钱多350分．故选：A．8．（3分）找规律，求正方格中右下角的数？（）A．26 B．17 C．13 D．11【解答】解：12+2+1=9+3+3=15所以﹣6+10+？=15？=15+6﹣10=11．故选：D．9．（3分）有一位探险家，用6天的时间徒步横穿沙漠．如果一个人只能搬运一人四天所需的粮食和水，那么这个探险家需要雇佣几个搬运工？（）A．一个B．两个C．三个D．四个【解答】解：如图，因为从A点出发，第一个搬运工走一天，将两天的生活用品放在B处后，返回出发点，第二个搬运工走到B处时拿好一天的用品走到C处，放下两天的生活用品，走到B处时拿好一天的用品返回出发点．探险家自己带四天的用品，走到C处补充2天的用品，正好是6天的用品，可以安全到达沙漠．所以探险家至少带2个搬运工．答：这位探险家至少要雇2位搬运工．故选：B．10．（3分）一组割草人要把两片草地割掉．大的一片草地比小的一片大一倍．上午大家在大片地上工作，午后分成两组，一半人继续在大片地上割草，到傍晚收工是恰好割完；另一半人到小片地上割草，到傍晚剩一小块．这小块改日由一个人去割．恰好需要一天的功夫，问这组割草人共有多少个？（）A．6个 B．8个 C．10个D．12个【解答】解：以半组人割半天为1份来看．大的一块地正好分3份割完．则小草地上的总割草量为3÷2=1.5（份），因为半组人半天割1份，所以剩下：1.5﹣1=0.5（份），用一人割1天，即由2人割半天可以完成．则1份用4个人半天割，全组人数就是4×2=8（人）．答：这组割草人共有8人．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）连着撕9张日历，日期相加是54．请问：撕的第一张是几？最后一张又是几号？【解答】解：54÷9=66﹣4=26+4=10答：第一张是2号，最后一张是10号12．（3分）九只鸡九天一共生了九个鸡蛋，三只鸡三天应该可以生几只鸡蛋？【解答】解：因为九只鸡九天一共生了九个鸡蛋，即9只鸡1天一共生了1个鸡蛋，则9只鸡3天一共生了3个鸡蛋，9÷3=3，3÷3=1，那么3只鸡3天一共生了1个鸡蛋．13．（3分）一个牧场长满青草，牛在吃草而草又不断生长，已知牛27头，6天能把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽，如果有牛21头，几天能把草吃尽？【解答】解：每天长草：（207﹣162）÷（9﹣3）=15份原来草场的草：27×6﹣15×6=72份．21头牛，草场每天长草15分供15头牛，剩下的6头，就要吃草场原有的草，可以吃几天呢：72÷（21﹣15）=12天答：如果放牧21头牛，则12天可以吃完牧草．14．（3分）在一次激烈的战争中，有100名士兵参战，其中70名失去了一只眼睛；75名失去了一只耳朵；80名士兵失去了一只手；85名失去了一只脚．问：同时失去了一只眼睛，一只耳朵，一只手，一只脚的士兵至少有10个．【解答】解：100﹣[（100﹣70）+（100﹣75）+（100﹣80）+（100﹣85）]=100﹣90=10（人）答：同时失去了一只眼睛，一只耳朵，一只手，一只脚的士兵至少有10个．故答案为：10．15．（3分）试卷上有6道选择题，每题有3个选项，结果阅卷老师发现，在所有卷子中任选3张答案，都有一道题的选择互不相同，请问最多有多少人参加了这次考试？【解答】解：首先只有一道试题的时候最多3人，只有两道试题的时候最多4人，这个很容易用穷举法知道．现在，如果有14人做这道题的话，14人中任取3人的组合共有364种，根据抽屉原理，这里至少有122种取法与第一题的答案相同．同样，在这122种取法中，至少41种取法与第2题答案相同，接下来有14种取法与第3题答案相同，5种取法与第4题答案相同，这样根据两道题时候的情况，可以知道14人是不可能的，所以最多13人．答：最多有13人参加了这次考试．三、趣味猜猜（打一数学名词）（每一小题2分，共10分）16．（2分）谎报成绩假分数．（打一数学名词）【解答】解：谎报成绩，打一数学名词，为：假分数；故答案为：假分数．17．（2分）大甩卖绝对值．（打一数学名词）【解答】解：大甩卖，打一数学名词，为：绝对值；故答案为：绝对值．18．（2分）婚姻法结合律．（打一数学名词）【解答】解：婚姻法，打一数学名词，为：结合律；故答案为：结合律．19．（2分）市场无人无货空集．（打一数学名词）【解答】解：市场无人无货，打一数学名词，为：空集；故答案为：空集．20．（2分）千刀万割分式．（打一数学名词）【解答】解：千刀万割，打一数学名词，为：分式；故答案为：分式．四、简答题（6+6+6+6+7+7+7=45）21．（6分）狡猾的骗子到商店用面值为100元的钞票买了9元的东西，售货员找他91元，这时，他又用自己已有的零钱给了9元钱，要回了自己的100元，那么他骗了商店91元．【解答】解：把售货员收入的记为“+”，支出的记为“﹣”，+100﹣9﹣91+9﹣100=﹣91（元），答：他骗了商店91元．故答案为：91．22．（6分）祖孙三人的年龄加在一起正好100岁．祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数．问：祖孙三人各多大？【解答】解：设祖父年龄为x，则孙子年龄为7x÷12，由题意得：x+x÷12+7x÷12=10012x+x+7x=100×1220x=1200x=6060÷12=5（岁）60×7÷12=35（岁）答：祖父60岁，儿子35岁，孙子5岁．23．（6分）如图，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货．目前有三个商人，三个随从，但是乘船渡河的方案由商人决定．商人们怎样才能安全过河？（写出步骤）【解答】解：1，两个随从过去，一个随从回来．2，再两个随从过去，一个随从回来．3，两个商人过去，一个随从和一个商人回来．（这步是重点）4，两个商人过去，一个随从回来．5，两个随从过去，一个随从回来．6，最后两个随从过去．24．（6分）三人玩游戏，输者将另两个人的钱加倍．在玩了三次游戏后，每人都恰好输了一次，且每人都有￥24.00．问：每个人在游戏之初有多少钱？【解答】解：第三次游戏后，钱的分布都是72÷3=24（元），即24元，24元，24元第二次游戏后，钱的分布是12元，12元，48元最初的时候，钱的分布是39元，21元，12元．答：每个人在游戏之初有39元，21元，12元．25．（7分）一艘船出现了渗漏．水正以均匀的速度向船内涌入，且发现漏水时船体内已有了积水．此时，如果有12个技术相当的人，可在3小时内将积水排干；如果只有5个人，则需要10小时．如果要在2小时内排干积水，共需要几人？【解答】解：假设1人1小时排水量是1份，则：已有的积水量+3×每小时渗入量=12×3…①已有的积水量+10×每小时渗入量=5×10…②所以②﹣①，得；每小时渗入量=（5×10﹣12×3）÷（10﹣3）=2带入①，得：已有的积水量=12×3﹣3×2=30如果要在2小时内排干积水，共需要的人数=（30+2×2）÷2=17（人）答：共需要17人．26．（7分）某人正在一座铁路桥上，桥的一端为A，另一端为B，他离A处的距离为桥长的．他听到一列火车正向A处驶来，火车的速度是80kph．如果他跑向A，他将与火车在A处相遇，如果他跑向B，火车将在B处追上他，这人的速度是多少？【解答】解：80×（1﹣﹣）=80×=20（kph）答：这人的速度是20kph．27．（7分）只有一个天平，一个7kg和一个2kg的砝码．如何把一堆140kg的大米，分成一堆50kg 和另一堆90kg？天平只能称4次（写出步骤）．【解答】解：140÷2=70（kg）70÷2=35（kg）30+7=35+230÷2=15（kg）15+35=50（kg）5+15+70=90（kg）五、附加题：28．（10分）如图，在这个形状对称的图中，有着12个圆和7个小正方形，以及连接它们的通路（圆弧与直线段）．现在请你填数了．要求分两步走．首先在各个正方形里填写一些非负的整数（0与正自然数），数目当然是越小越好．两个正方形之间必有一个圆．下一步，在圆中也要填入适当的数字．不过，此时填数，已经是“身不由己”了．圆中的数字，只能是它贴邻的两个正方形中所填数字的差．用数学的行话来讲：方格里的数是“自变量”，而圆中的数，只能是“函数”了．要求：所有12个圆中的数字，必须正好是从1到12，既不能重复，也不准遗漏．【解答】解：如右图，分别设圆内的数字为x，y，z，正方形的数字为a，b，c，得到x=a﹣b①，y=a﹣c②，z=c﹣b③，①+②+③得x+y+z=2（a﹣b），因为2（a ﹣b）是偶数，所以x+y+z也是偶数，b是最中间的数字，并要求越小越好，所以b=0，那么x=a，c=z，所以y+z=x=a，不妨从x=12开始，则a=12，y+z=12根据数的对称性，和12相邻的数应是从小数开始，从z=1开始尝试，逐步得到答案如故答案为：29．（10分）有一张正方形纸片，共有16格，其中已经填好10个二位数，还有6个二位数，改用6个英文字母代替．现在要求你用合适的二位数填进去，替换掉字母（I、S、H、N、O、X），使每行、每列及每条对角线上的四数之和都相等．还要求把纸片颠倒过来看时，此项性质依然成立．【解答】解：19+86+91+68=264S=264﹣96﹣88﹣19=61H=264﹣61﹣86﹣99=18N=264﹣69﹣86﹣98=11O=264﹣88﹣69﹣91=16X=264﹣68﹣16﹣99=81I=264﹣19﹣98﹣81=66不难看出，A图倒过来看是B图，而B图倒过来看也是A图．。