第16章《分式》小结与复习(3)

合集下载

分式小结与复习教学设计(三)

分式小结与复习教学设计教学设计思想这节课的主要任务是将全章的知识点加以复习，复习的目的是使学生进一步系统掌握基础知识、基本技能和基本方法，进一步提高综合运用数学知识灵活地分析和解决问题的能力。

因此，在选择教学内容时我们注意了下面两个方面：第一，既加强基础，又提高能力和发展智力；第二，既全面复习，又突出重点。

教学目标知识与技能：熟记分式的四则运算法则及它们之间的内在联系．灵活解答分式方程的解法及其应用．过程与方法：系统了解本章的知识结构及知识内容．进行分式的四则混合运算，熟悉分式方程的解法及其应用，提高综合运用知识的能力．情感态度价值观：约分、通分及四则混合运算皆渗透了化繁为简的数学美教学重难点重点：(1)熟练掌握分式的四则混合运算．(2)熟练掌握分式方程的解法．难点：(1)四则混合运算中的去括号及符号问题(2)分式方程的验根问题．对策：回顾知识内容，在做题时查漏补缺教具准备投影片课时安排1课时教学过程一、回顾内容，回答问题1．什么是分式？怎样的分式没有意义？2．分式的基本性质有哪些？3．分式的乘除法则与加减法则分别是什么？4．异分母分式的加减法，一般步骤是什么？学生活动：学生举手回答或一起回答，回顾本章主要内容师：下面请同学们自己试着画出本章的知识结构图学生活动：回顾知识，画出结构图，同桌交流，查漏补缺。

结构图：注意事项：1．因为0不能做除数，所以只有当分式的分母不为0时，分时才有意义；当分子的值等于0而分母的值不为0时，分式的值才等于0。

2．对分式进行约分时，如果分子和分母是多项式，那么要先把分子和分母分解因式。

3．几个分式通分时，一般选取较简单的公分母。

4．分式运算的结果应尽可能简单。

二、范例讲解师：依次给出题目，学生自己做答，老师根据学生的做题情况重点讲解例1 当x 取什么数时，分式32432---x x x (1)值为零?(2)分式有意义?分析：提问．⑴分式的分子、分母满足什么条件时，分式的值为零？（⎩⎨⎧≠=00分母分子）(2)分式的分子、分母满足什么条件时，分式有意义?(分母≠0)(3)分式的分子、分母满足什么条件时，分式的值为正?(分子、分母同号) 解：()()321432432-+-=---x x x x x x ⑴当()()⎩⎨⎧≠-=+-032014x x x 即4=x 或1-≠x 时，分式值为零⑵当032=-x 时，即23=x 时，分式无意义。

八年级数学下册第十六章分式知识点总结

分式的知识点解析与培优一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。

二、判断分式的依据:例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、yx +3、m a 1+中分式的个数为（）A 、 2B 、 3C 、 4D 、 5练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .（1）275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹. （7）78x π+（8）3y y （9）234x + 二、分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义；例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。

例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系时，分式x yx y-+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（） A ．122+x x B.12+x x C.133+x x D.25x x - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（）A ．2≠xB ．2-≠xC ．2->xD ．2<x例8：分式)3)(1(2-+-x x x 无意义，则x 的值为（）A. 2B.-1或-3C. -1D.3 三、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0时，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。

例1：当x 时，分式121+-a a的值为0. 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0.例3：如果分式22+-a a 的值为零,则a 的值为( )A. 2±B.2C.-2D..以上全不对例4：能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是（）A. x=0B.x-1C.x=0 或x=1D.0=x 或1±=x 例5：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（）A.3或-3B.3C.-3 D 2 例6：若01=+aa,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数例9：当X= 时，分式2212x x x -+-的值为零。

第十六章《分式》知识归纳与考点解读

第十六章《分式》一、全章知识点归纳16．1分式16.1.1从分数到分式1．重点：(1)理解分式有意义的条件:只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式B A才有意义. 当B=0时，分式B A就无意义.(2)分式的值为零的条件:必须同时满足两个条件：○1分母不能为零, 即当B ≠0时；○2分子为零当A=0时.这两个条件得到的解集的公共部分才是题目的解. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.16.1.2分式的基本性质1．重点:(1)理解分式的基本性质,基本性质:已知分式的分子、分母同乘以或除以同一个值不为0的整式，分式的值不变. AB =A MB M⋅⋅，A B =A M B M÷÷拓展符号问题：由性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.(2)运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：①约分是要找准分子和分母的公因式，[公因式：Ⅰ:当分式的分子和分母都是单项式时:数字因数的最大公约数，相同字母或因式的最低次幂;Ⅱ:当分子或分母是多项式的要先分解因式，然后再找公因式;Ⅲ当分子与分母中出现互为相反数的因式时,是偶数次方时直接写成它的相反数,当是奇数次方时,写成它的相反数乘(－1)]最后的结果要是最简分式；②通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母. ③一般的分式的分子或分母的第一项不带“－”，若有要结合有理数的除法中商的符号确定方法化简，结果为“－”时，则“－”要写在分数线的前面.2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形.(通分或约分)16．2分式的运算16．2．1分式的乘除1．重点：（1）会用分式乘除的法则进行运算. 乘法法则：,b a bd ac d c =∙ 除法法则：bcadc d b a d c b a =∙=÷ 当分式的分子分母是单项式时，能约分的可直接约分；当分式的分子分母是多项式时，能分解因式的多项式要先分解因式再约分。

华师版八下数学第16章分式知识归纳

华东师大版八年级下册数学第16章分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

新华东师大版八年级数学下册《16章分式小结》教案_2

17章《分式》小结与复习学习目标：1、进一步理解分式、最简分式、最简公分母的概念。

2、熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则；准确熟练地进行分式的运算。

3、通过练习，加强计算能力，进一步理解数学的整体思想。

教学流程：回顾（一）1、分式的定义；2、分式有意义的条件；3、分式值为0的条件；4、分式值为正数或负数的条件；学生活动：学生师友之间交流，巩固相关知识。

并自己根据所学知识按要求书写分式并对应解决。

过关练习：值为正。

时，分式当。

值为时，分式当无意义。

时，分式当有意义。

时，分式当x x x xx x xx x xx x -13______0-13______-13___-13___---=-= 回顾（二）1、约分：把分子.分母的最大公因式(数)约去.2、通分：关键是找最简公分母:各分母所有因式的最高次幂的积。

把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式.活动：师生共同回顾，约分、通分的方法及步骤。

过关练习：444)3(;)(8)(2)2(;2761223222-++-----m m m a b b a xy y x ）化简：（16121)2(;2122-++-a a a a a b a b 与与）通分：（备注：部分学生板演，其余学生自主练习，师巡视指导。

师点拨。

巩固应用回顾（三）分式的运算：分式的乘法、除法、加法、减法，乘方。

学生练习：强调分式乘除时的注意事项和因式分解的重要性。

例：222441(1)214a a a a a a -+-⋅-+-学生练习：能力提升：2121(1)11x x x x ++--+课堂小结：学生畅谈本堂收获。

1．如果把分式中的x 和y 的值都扩大３倍，则分式的值（）Ａ,扩大３倍Ｂ,不变Ｃ,缩小１／３Ｄ,缩小１／６ 2．如果把分式中的x 和y 的值都扩大３倍，则分式的值（）Ａ，扩大３倍Ｂ,不变Ｃ,缩小１／３Ｄ,缩小１／６ y x x +y x xy+分式的加减同分母相加异分母相加 43(1)a a +小试牛刀计算 x x x x -+--+11211)2(243(3)23a a +1(4)12x x x +-+。

第16章分式小结

分母，然后通分； ⑶分式的运算 ①分式的乘除法分式乘分式，用分子的积作为分子，分母的积作积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分化成最简分式。
字母表达式：
a c ac b d bd
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。 a c a d ad 字母表达式： b d b c bc 分式乘法技巧：在进行分式的乘法运算时，如果分子分母都是单项式的，最好是先相乘，再约分化简。分子分母都是多项式的分式乘法，分解因式后宜先约分后相乘。 ②分式的乘除法分式乘方，等于将分子分母分别乘方。
注意：
分式的乘除统一成乘法后先化简，后相乘，而分式的加减法则是先加减，后化简。
2.可化为一元一次方程的分式方程
⑴分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程. ⑵解分式方程的基本思路：分式方程去分母能产生增根。因此，解分式方程必须检验。检验时只须把整式方程的根代入最简公分母，看其值是否为0。若最简公分母的值不为0，这个根就是分式方程的根，若最简公分母为0，则是增根，增根必须舍去。
A A M B BM
A AM B BM
(其中M是不等于0的整式)
①分式的约分把分子分母中的公因式约去，叫做分式的约分。约分应把分式约成最简分式。分式的分子分母不再含有公因式，这种分式叫做最简分式。约分技巧：对分式进行约分时，如果分子分母都是单项式时，先找公因式，然后约成最简分式。当分子分母都是多项式时，先分解因式，再约成最简分式。 ②分式的通分
4.科学记数法
⑴定义：把一个数记成a×10n次方的形式，其中1≤a＜10 （a是整数位数是1的整数或小数），n是整数。这样的记数方法叫做科学记数法。 ⑵方法：把一个数M记成：M=a×10n （1≤a＜10）

人教版初二数学第十六章分式知识梳理

第十六章分式第一节分式一、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

*分式的分子可含可不含字母，但分母必须含字母，这是整式与分式最本质的区别。

二、分式有意义的条件：B ≠0.三、分式值为0的条件：A=0，且B ≠0.四、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变：CB C A B A ∙∙= C B C A B A ÷÷=（C ≠0，A 、B 、C 是整式） *应用分式基本性质时，注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0 例：yx y x y x y x -+=-+)（是对的，因为使其有意义隐含了x+y ≠0且x-y ≠0 yx y x y x y x -+=-+)(是错的，因为其只隐含了x-y ≠0，并没隐含x+y ≠0. 五、分式的约分与最简分式1、约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

2、最简分式：分子与分母没有公因式六、分式的通分与最简公分母1、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式2、最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母。

第二节分式的运算一、分式的乘除1、分式乘除法①乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母db c a d c b a ∙∙=∙②除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘cb d acd b a d c b a ∙∙=∙=÷ 2、分式乘方：要把分子、分母分别乘方ba b a =)（(n 是正整数，b ≠0） 3、分式乘方、乘除混合运算：先乘方，再乘除，遇到括号先算括号里的。

二、分式的加减1、同分母分式相加减：分母不变，分子相加减：ac b a c a b ±=± 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减：acad bc ac ab ac bc c d a b ±=±=± 三、整数指数幂1、零指数幂：a º=1（a ≠0)2、整数指数幂：a ⁿ=a1(a ≠0） 3、科学记数法：绝对值<1的数可表示为a ×10ⁿ的形式，n 为负整数4、整数指数幂的运算：引入负整数、0指数幂后，与整数幂法则同样适用第三节分式方程一、分式方程概念分母中含有未知数的方程二、解分式方程的一般思路把分式方程转化为整式方程，即方程两边同乘最简公分母。

第十六分式小结与复习

第十六章分式小结与复习知识点一分式的值为0的条件例1 若分式221-2b-3b b -的值为0，则b 的值为（） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2 【解析】：分式221-2b-3b b -的值为0，必须同时满足两个条件2210230b b b ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩ 由①得b=±1,由②得b ≠3且b ≠-1；所以b=1.故选A.【方法归纳】：分式的值为0的条件是：分子为0，而分母不为0.【拓展运用】1. 若分式20(2)(1)x x x -=--，则x 3=__________.知识点二分式的乘除例2 计算22164____________.81628a a a a a --÷=+++ 【解析】本题是分式的除法，应先对能分解因式的分子或分母进行分解因式，再利用分式的乘除法则计算，即：原式=2(4)(4)4(4)2(4)a a a a a +--÷++=2(4)(4)2(4)2(4)4a a a a a +-+⨯=-+-. 故答案为：-2.【方法归纳】在分式的乘除运算中，当分式的分子或分母是多项式时，应先进行因式的分解，然后再计算.【拓展运用】2. 阅读下列解答的过程，然后回答问题：计算：2212(4)442x x x x x +÷⋅--+- 解：原式=212(2)(2)(2)2x x x x x +÷⋅-+-- ① =212(2)(2)(2)2x x x x x -⋅⋅-+-+ ② =1 ③（1）其中①使用的公式：_________________________.（2）其中②使用法则：___________________________.① ②（3）在过程①②③中，第_____步是错误的，该题正确的计算结果是_________.知识点三分式的加减例3 化简：22142a a a +--. 【解析】两个分式相加（或减）时，分母为多项式时，应先将分母按同一个字母降幂或升幂排列，然后将能进行分解因式的分母或分子分解因式，最后把异分母转化成同分母，再进行分式的加（或减）,即：原式 = 22142a a a -=--()()21222a a a a -+--()()()()222222a a a a a a +=-+-+- ()()()2222a a a a -+=+-()()222a a a -=+-12a =+. 【方法归纳】异分母分式相加减时，先通分，化成同分母分式后，在进行加减.【拓展运用】3. 计算：6()333x x x x x x-÷-+-. 知识点四分式的混合运算例4 先化简，再求值：（x – 1x )÷ x +1x ，其中x = 2+1．【解析】本题含有分式的减法与除法运算，并且有括号，因此应先算括号里面的，然后将除法转化成乘法来计算，最后把x 的值代入最简式并求出最后的结果，即：原式= x 2–1x · x x +1= (x +1)(x –1)x · x x +1 = x –1.当x = 2+1时，原式= 2+1–1= 2．【方法归纳】分式的运算顺序与分数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要特别注意分式混合运算的关键是运算顺序和运算技巧，再有最后的计算结果要化到最简.【拓展运用】4.请你给下列分式：221244211x x x x x x x +--+-÷-+-先化简，再对x 取一个你喜欢的数，并代入求值，知识点五分式方程例5 解方程：xx x -=+--23123. 解析：先找出各分母的最简公分母，然后同乘最简公分母，从而将分式方程化成整式方程.方程两边同乘以()2-x ,得()323-=-+-x x ，即2x -５＝-３，解得x ＝１. 经检验，x ＝１是原方程的解．所以原方程的解为x ＝１.【方法归纳】在去分母时，要注意方程左右两边不含分母的项不能漏乘最简公分母.另外，还要注意解分式方程的必要步骤：检验.【拓展运用】5. 若方程322x m x x -=--无解，则m=________.误区点拨一、忽视分母不能为0，而出错例1 已知11m m --的值为0，求m 的值.错解：由11m m --=0，得10m -=，即1m =，所以m=±1.错解分析：在解题时，只注意到了分子为0，而忽视了分母不能为0这一条件，即m-1≠0,所以m≠1.正解：由11m m --=0，得1010m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，所以11m m =±⎧⎨≠⎩，所以m=1. 方法归纳：当一个分式的值为0时，首先求出使分子等于0的字母的值，在检验这个字母的值是否使的分母的值为0，当它使分母的值不为0时，就是我们所要球的字母的值.活学活用：是否存在x 的值使2122x x --的值为0？二、分式乘除时弄错或忽略符号,而出错.例2 计算2a a b b a a b+÷--的结果是（） A. 2a a b + B. 3a b a b +- C. 3a b b a +- D. 2a a b -+ 错解：选A.错解分析：在解题时忽视了b-a 与a-b 互为相反数，因此在进行分式的乘法运算约分时，都不要丢掉“-”.正解：选D.方法归纳：在进行分式的乘除运算时，均转化为乘法来完成，但要注意运算中的互为相反数的情况.活学活用：计算2()__________.ab ab a a b-⋅=- 三、在整数指数幂的运算中对负整数指数幂的意义理解错误，而出错例3 计算：22()3--=_________.错解：22()3--=22()3=49错解分析：对负整数指数幂的意义理解不够透彻，错把分数本身的负号和指数的负号进行了“负负得正”运算.正解：22()3--=2119244()39==- 方法归纳：运用负整数指数幂的意义，将负整数指数幂转化成正整数指数幂，然后计算，即：1n n a a-=(a ≠0). 活学活用：③ 计算101322()()()__________.233--+-= 四、解分式方程时忘记检验,而出错例4 解分式方程81877x x x--=--，则方程的解为（） A. x=7 B. x=8 C. x=5 D. 无解错解：选A.错解分析：在解题的过程中忽略了验根，事实上当x=7时，分母x-7=0，所以原方程无解.正解：选D.方法归纳：解方程的一般步骤：把方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；再解该整式方程，最后一定要把解代入最简公分母，看结果是不是0，把使最简公分母为0的解舍去.活学活用：解方程214111x x x +-=--.基础盘点1. (1)5x x +; (2) πx (3)224x x y -+; (4)3546a b +; (5)212x +; (6)3811ab cd 以上各式，其中是整式的有________________，是分式的有_________________.2.（1）当x_______时，分式5x x +有意义；（2）当x_______时，分式5x x +有无意义；（3）当x_______时，分式5x x +的值为0. 3. 分式b ax ，3c ax -，25a x 的最简公分母是___________. 4. (1)分式与分式相乘，用__________作为积的分子，___________作为积的分母，用式子表达为：a c b d⋅=__________.(2)计算222324ab a b c cd ÷时，先将除式的分子、分母颠倒位置得：222423ab cd c a b ⋅，再根据分式的乘法法则得_________，约分后的结果__________.(3)计算45m m-+时，分母__________，分子___________,即：45m m-+=______=_______. (4)计算11a b-时，应先__________,把异分母变为同分母，再相减，即：11a b -=________=_______. 5. （1）整数指数幂的性质有：（m,n都是整数）a m ×a n =______;(a m )n =______;(ab)n =_______;a m ÷a n =_______(a ≠0);()n ab =_________.（2）(x-5)0=1成立的条件是________.（3）5-2011=_______，由此可得：任何一个不为0的数的-n(n 为正整数)次幂，等于这个数n 次幂的________.6. 解分式方程214111x x x +-=--时，先找出所有分母的最简公分母是____________，再两边同乘____________约去分母，得：_________________________，解得：x=_______，检验：当x=_____时，(x+1)(x-1)________，所以x=_____是增根，所以_______________.7. 张宁计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前1天读完，试求他原计划平均每天读几页？为了使同学们更好的掌握解题思路，请认真完成以下问题：设张宁原计划平均每天读x 页，（1）张宁原计划读完这本书需用_________天；（2）改变计划前，已读了______页，还剩______页；（3）读了5天后改变了计划，每天多读5页，读完剩下的部分还需________天；（4）根据问题中的相等关系，列出相应的方程_____________________;（5）张宁原计划平均每天读_______页.课堂检测1. 化简222x y x xy-+的结果为（） A. y x- B. x y x - C. x y x + D. -y 2. 下列分式运算，结果正确的是（） A.3342m n m n m n⋅= B.33322()33x x y y =C.2222()a a x y x y =++D.111b c b c⋅÷⋅= 3. 若分式22969x x x --+的值为0，则x 的值为（） A. 3B. -3C.±3D. 04. 计算：4222x x x +---=_____________. 5.若分式x-12010与1互为相反数，则x 的值是__________． 6. 已知a 2-8a+16与2b -互为相反数，则分式()()b a a b a b -÷+的值为_________. 7. 请从下列三个不为0的分式中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式.x 2-4x+4, x 2-2x, x 2-4然后请你自选一个合理的数代入求值.8.去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务. 问原计划每天修水渠多少米？跟踪训练1. 若x(a-3)2011÷(3-a)2011=2011，则（）A.x=-2011,a ≠0B. x=2011, a ≠3C. x=2011,a ≥3D. x=-2011,a ≠32. 化简24()22a a a a a a--⋅-+的结果是（） A. -2a B. 4 C. -4 D. 2a3. 若分式10(2)(1)xx x -=+-，则x 2011=__________.4. 已知x,y 为实数，且xy=1，设M=11x y x y +++，Q=1111x y +++，则M_____Q.（填“＞”“＜”或“=”）5.观察下列计算：111122=-⨯；1112323=-⨯；1113434=-⨯； 1114545=-⨯； … …从计算结果中找规律，利用规律性计算111111223344520102011++++⨯⨯⨯⨯⨯ ＝__________． 6.先化简再求值：.15621312+-+-÷+-a a a a a 请你选一个你喜欢的而且使原分式有意义的数带入并求值.7.已知关于x 的方程233x m x x -=--有一个正数解，试求m 的取值范围.8.已知.1,12,112+=-=-=x x G x N x M 将它们组合成(M-N )÷G 或M-B ÷G 的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中x=4．【参考答案】考点呈现（拓展运用部分的答案）1. -82.答案：（1）完全平方公式与平方差公式；（2）除法法则；（3）③.3.解：6()333x x x x x x-÷-+-=22333()(3)(3)6x x x x x x x x +-+-⋅-+=13x -+ 4. 解：原式=212(1)(1)21(2)x x x x x x x +-+--⋅-+-=1122x x x x +----=112x x x +-+-=22x -. 当x=6时，原式=21622=-（注意：x 的取值不唯一，除2，±1以外，其他的值均可以）. 5. 【点拨】原方程去分母整理得：x-3=-m ，因为原方程无解，当原方程存在曾根满足题意，即当x=2时，该分式方程无解，所以m=1.误区点拨（活学活用部分答案） ①解：若2122x x --=0，则必须同时满足x-1=0且2x 2-2≠0,即：x=1且x ≠±1，因此不存在这样的x 的值满足题意.② -a 2b ；③16； ④解：214111x x x +-=-- 两边同乘以x 2-1得：(x+1)2-4=x 2-1解得：x=1检验：将x=1代入最简公分母，得x 2-1=0，所以x=1不是原方程的解.∴原方程无解.基础盘点（答案）1. (2)(4)(5); (1)(3)(6);2. (1)≠-5; (2) =-5; (3) =0;3. 15ax 24. (1) 分子与分子相乘；分母与分母相乘；ac bd； (2) 222423ab cd c a b ;23d a ；(3)不变；相加减；45m -+；1m ； (4)通分；b a ab ab -；b a ab-； 5. (1)a m+n ; a mn; a n b n ; a m-n ; n n a b ; (2) x ≠5; (3) 201115；倒数; 6. (x+1)(x-1)；(x+1)(x-1)；(x+1)(x+1)-4=(x+1)(x-1)；1；1；=0；1；原分式方程无解. 7. (1) 200x ; (2) 5x;200-5x; (3) 20055x x -+; (4) 200x -1=20055x x -++5 (5) 20; 课堂检测（答案） 1. B 2. A 3. B 4. -1; 5. 2011; 6. 14-7.解：答案不唯一例：x 2-4x+4作分母，x 2-2x 作分子，则：22244x x x x --+=2(2)(2)x x x --=(2)x x -.当x=1（x 的值不为一只要使原分式有意义就可以）时，原式=-1.8.解：设原计划每天修水渠 x 米.根据题意得：36003600201.8x x-=. 解得：x = 80.经检验：x = 80是原分式方程的解.答：原计划每天修水渠80米.跟踪训练（答案）1. D2.C3. -1;4. =;5. 20102011; 6.解：原式=.15)3(2)1)(1(31+-+-+÷+-a a a a a a =.15)1)(1()3(231+--++⋅+-a a a a a a =1512+-+a a =13+-a . 当a=2时，（a 的取值不唯一，只要a ≠±1、-3就可以），原式=1123-=+-. 7.解：233x m x x -=-- x-2(x-3)=mx=6-m∵原方程有解，∴6-m ≠3，即：m ≠3∵方程的解为正数∴6-m ＞0，即：m ＜6∴当m ＜6且m ≠3时，原方程有一个正数解.8.选一：（M －N ）÷G=1)1211(2+÷---x x x x =x 1 当x=3时，原式=41 选二：A －B ÷C=112112+÷---x x x x =)1(2--x x x 当x=3时，原式=61. 选做题 1.(π-3.14)0+11()42---的值是______________.答案：-12.（2010年连云港）14．化简：(a －2)·a 2－4a 2－4a ＋4＝___________．答案： 2a +3. 若x=2010,y=2011,则221()________x y x y +⋅=-. 答案：-14.为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？解：设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工1.5x 件产品，依题意得105.112001200=-xx 解得:x=40经检验：x=40是原方程的根，所以1.5x=60答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.。

华师大版八年级数学下册数学第16章分式第16章小结与复习课件

要点梳理
一、分式 1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有
字母，那么称 A 为分式.其中A叫做分式的分子，
B
B为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式
A B
：当__B_≠_0___时分式有意义；
当__B_=__0__时分式无意义.
3.分式值为零的条件：
当__A_=_0_且___B_≠_0_时，分式
1 6
针对训练
3.下列变形正确的是( C )
A. a b
a2 b2
C. 2 x x 2 x 1 1 x
B. a b a2 b
a
a2
D.
6x2y 9 xy 2
2x 9y
例3 已知x= 1
2 ,y= 1
2，求
(
x
1
y
x
1
y
)
x2
2x 2xy
y2
值.
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简
划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依
题意列出正确的方程为（ C ）
A 90 90 3 . x x 1
C. 90 90 3 x x 1
B. 90 90 3 x 1 x
D. 90 90 3
x 1 x
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次
又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 5 倍，购进数量比第一次少了30支.求第一
考点四分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米；

(14)16章分式方程的小结与复习导学案

导学案（14）16.3 分式方程小结与复习课型:练习课主备:张代强审稿:初二数学组领导签字: 班级: 学生姓名:***安全提示：合理安排好作息，做到生活有规律；注意不要过度疲劳，防止感冒，以免抗病力下降；学习目标：1．切实掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分．2．能准确、顺畅地进行分式的乘除、加减以及混合运算．3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算．4．明确解分式方程的步骤，并能列出可化为一元一次方程的分式方程解决简单的实际问题．学习重点：目标1 学习难点：目标2：学习过程：一、预习与指导：（一）独立看书P 35—37页的复习题16结束并完成复习题16的1－12题（二）、学习指导：1、本章知识结构2、思想方法1．转化思想本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法转化为分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法转化为同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．3、知识考点：考点1：分式的概念和性质如：当x ________时，分式11x -没有意义．考点2：分式的化简与计算如：计算24111a a a a++-- 的结果是________．考点3：分式条件化简求值题如：1、先化简下列代数式，再求值：22333x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭其中71x =+（结果精确到0.01）．2、若0106222=+-++b b a a ，求b a b a 532+-的值. *3、如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---考点4：分式的混合运算如：22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+ 考点5：可化为一元一次方程的分式方程如：解方程21133x x x -=---．考点6：求待定字母的值与解含有字母系数的方程1、若关于x 的方程211=--ax a x 的解是x=2，则a= ；2、若方程441-=--x m x x 有增根，则m 的值是考点7：整数指数幂与科学记数法的计算如：*（1）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （2）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- 二、完成下列复习作业（见上面7个考点的12个题）你预习后还存在的问题:小组评价: 组长签字:三、,师生合作探究,解决问题.探究1; 分式242--x x 中当x 取何值时分式的值（1）分式有意义？（2）分式无意义？（3）分式值为0.探究2 ：先化简后求值1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .四.达标检测1、计算：=-321)(b a ；=+-203π ；若分式432--x x 与32-+x x 互为倒数，则x = ___________2、化简2214()a a +=- ； 2223b a a ab -+÷b a b a -+3 = ； 11x x x x -⎛⎫÷- ⎪⎝⎭＝ 3、某微粒的直径约为4080纳米（1纳米=109-米），用科学记数_________ ___米；4、下列等式成立的是 …………………………………………………（）A. 9)3(2-=--B. ()9132=--C. 2222b a b a ⨯=⨯--D. b a a b b a+=--225、(2008 年·重庆)若分式34922+--x x x 的值为零，则x 的值为 ( ) A.3 B.3或-3 C.-3 D.0*6、已知a 1　－b 1　＝5，则b ab a b ab a ---2232＋　的值是*7、某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元．已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格五.学习后的评价:你自己对本节学习后的评价(很好.较好.一般.差) 理由:小组评价 : 教师对你学习后的评价:。

第十六章分式全章总结

全章总结一、知识结构图二、专题总结（一）知识技能专题 ◆专题1：分式运算的常用技巧专题概说：分式的知识通过类比会发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知.由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类比引入学习分式的相关知识.从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧，无一不体现类比思想的重要性，同时运算也是中考的重要内容例1：化简 34241211111x x x x x x +++++-+解：原式=2234241211111x x x x x x x x ++++-++--=2342412121x x x x x x ++++- =2243441)1)412(12(1x x x x x x x x +--+++- =33444141x x x x -++ =344388(1)(1)4141x x x x x x +---+ =7881x x - 点拨：有些异分母分式相加，最简公分母很复杂，如果采用一般方法先通分再加减会很繁琐，甚至无法求出结果，本题先把前面两个分式相加减，再把所得结果与第三个分式相加减，顺次运算下去，即顺次相加法，就容易解决例2：计算：1111+(1)(1)(2)(2)(3)(2009)(2010)a a a a a a a a ++++++++++…解：原式=1111----12320101111+122009a a a a a a a a ++++++++++（））））（（…（ =1111----12320101111+122009a a a a a a a a ++++++++++… =120101a a +—=2010(2010)a a +=220102010a a+ 点拨：对于分子相同，分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，这样的分式无法进行通分，因此，可以用公式：111(1)1n n n n =-++，这样可以抵消一些项，即巧用裂项法；要注意裂项法计算时可能会出现公式：1111(()n n k k n n k=-++）●专题1的即时练习1．计算：2411241-111x x x x ++++++ 2．计算：1271651231222++++++++x x x x x x◆专题2：与增根有关的问题专题概说：分式方程我们通常转化为已经学习过的整式方程来解决．在去分母时，方程两边同时乘以所有分母的最简公分母．这种转化可能是等价转化，也就是说转化前的分式方程的解与转化后的整式方程的解完全一致；也可能是非等价转化，即在将分式方程转化为整式方程的过程中，x 的的取值范围发生了变化，这时整式方程的解不一定是原分式方程的解，这种解题过程中增加的根称为分式方程的增根．例3：a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？解：在方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x ax x ++=-整理，得(1)10a x -=- 如果方程有增根，则x=2或-2当x=2时，(1)210a -⨯=-，解得4a =- 当x=-2时，(1)(2)10a -⨯-=-，解得6a = 所以，当46a =-或时，原方程会产生增根点拨：分式方程的增根是使最简公分母为零的根，但增根一定是由分式方程得到的整式方程的根。

第16章--分式知识点总结与例题讲解

别指出的是为常数不是字母.
如
2a
b
就不是分式,而是整式.
1. 下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?
1 , 2 , 2x y , 5 , a b ,4a, x2
3x x y a 2
x
整式:_________________________________________;
（C） x 1 x2 1
（B） x 1 x2 1
（D） x 1 x 1
三、分式的值为 0 的条件
对于分式 A （B 中含有字母）,当 A 0 且 B 0 时, A 0 （即分式的值等于
B
B
0）.反过来,若分式 A 0 ,则有 A 0 且 B 0 . B
注意:
（1）分式的值为 0 是在分式有意义的前提下才有的,若使分子等于 0 的数也能使
第 16 章分式的学习及知识点清单第 8 页
要改变,而分式的值不变. （3）如果分式的分子或分母是多项式,利用分式的基本性质时要把分子或分母用小括号括起来,再进行变形. （4）分式的基本性质中的“可乘不变性”用于分式的通分,“可除不变性”用于分式的约分,从而把原分式化为最简分式或整式.
13. 不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数:
2
,,
,
,2x,
a 3 x 1 a2 b2
x2 1
五、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变. 用式子表示为: A A M , A A M （M 为整式,且 M 0 ）.
B BM B BM
注意:
（1）利用分式的基本性质时要正确理解分式的基本性质中的关键词 “都”“同”“不等于零”的意义,“都”说明分子与分母要同时“乘以”或“除以”,“同”说明分子与分母同时乘以或除以的整式必须是相同的,“不等于零”是对分子、分母乘以或除以的整式的限制. （2）运用分式的基本性质时,要正确理解分式的“变”与“不变”:分式的分子、分母

人教版八年级数学下册第十六章分式知识点总结

一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。

例1.下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（）个。

答：本题考查学生对分式的概念的理解，从题目中我们知道11x + 和22a b a b--是分式，所以本题的答案是2个。

二、分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。

（1）2132x x ++；（2）2323x x +-。

答：本题考查学生对分式的分母不为0的掌握，因为分母为0分式无意义。

所以，（1）中我们知道3x+2≠0，得到x ≠- 2/3，（2）中我们知道2x-3≠0，得到x ≠ 3/2. 例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）。

A ．121x +B ．21x x +C ．231x x +D ．2221x x +答：本题考察学生对分母不为0的掌握，A 、B 选项当x=-1/2的时候分母为0，故排除，C 选项当X=0时分母为0 。

所以此题只能选D 。

例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。

当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。

答：当X= 4/3时分母为0，分式无意义。

有题目得，x ²-1=0且x ²+x-2≠0，解得x=-1.所以此空填-1.例5.已知1x -1y =3，求5352x xy yx xy y+---的值。

答：由已知得y-x=3xy,原式=-12xy/-5xy=12/5.三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。

C B C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷=例6.不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（•90 ）。

八年级数学第16章《分式》知识要点复习及典型练习新人教版

第16章《分式》知识要点复习一、本章主要内容本章主要内容是分式的概念；分式的基本性质；分式混合运算和可化为一元一次方程的分式方程及其应用，这些内容在今后进一步学习方程、函数等知识时占有重要地位和作用． ★（一）概念1、分式的概念：BA （注明：A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母）说明：分式比分数更具有一般性，如分式B A 可以表示为两个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数。

2、分式的表示：B A （注明： B ≠0才有意义） 3、分式的值：⑴0=B A 时，A=0且B ≠0；⑵1=BA 时，A=B 且B ≠0。

4、最简分式： ★（二）分式的基本性质（类似分数的性质，运用类比数学思想）1．分式的基本性质是分式恒等变形的依据，•正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，因此学习中要注意以下几点：（1）基本性质中的字母表示整数，（,A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，M ≠0）（2）要特别强调M ≠0，且是一个整式，由于字母的取值可以是任意的，所以M•就有等于零的可能性，因此，应用基本性质时，重点要考查M 的值是否为零．2.运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（三）分式运算（最后的结果要是最简分式，转化数学思想）1、分式的乘除法分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

（1）约分，约分的目的是化简，关键是找分子和分母的最高公因式，•即系数的最大公约数、相同因式的最低次幂．（2）如何找分子和分母的最高公因式n n n ba b a =)(bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;（3）分式的乘除法本质就是：①因式分解，②约分。

第十六章单元小结

单元小结第十六章单元小结【重点难点】：重点：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加减乘除乘方运算；能够根据具体问题的数量关系列出简单的分式方程，体会方程时刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程。

难点：应用分式方程解决实际问题。

学习本章应注意的问题：在学习过程中，要注意新旧知识的类比和衔接。

例如：回忆有理数的运算因式分解科学记数法以及一元一次方程解法，从而和本章内容环环相扣。

同时要善于总结，并注意知识的形成过程及相互联系，形成科学的思想方法，注意类比思想转化思想以及分类讨论思想的渗透，同时要善于对有关运算技巧与解题方法进行总结，多进行交流。

【知识网络图示】：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧步骤列分式方程解应用题的母为零的解分式方程中使最简公分解分式方程的步骤分式方程的概念分式方程科学记数法运算性质负整数指数幂则异分母分数的加减法法则同分母分数的加减法法分式的加减法法则分式的乘法法则分式的除法法则分式的运算分式的通分分式的约分分式的基本性质分式的基本性质分式的值为零的条件的条件分式的有意义，无意义分式的概念分式的概念分式【知识梳理】：类型一：分式的基本概念（1）分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B为分式．（2）分式有意义的条件：若B ≠0，则A B 有意义；若B=0，则A B无意义；（3）分式值为0的条件：若A=0且B ≠0，则A B=0 （4）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．（5）约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．例1：当x = 时，分式的值为0。

X=-2例2：若分式与的值相等，则x 的值为。

第十六分式小结与复习

第十六分式小结与复习知识梳理1．分式及其基本性质（1）一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B就叫_______．（2）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）一个________的整式，分式的值不变，用式子可以表示为A B =_______，A B =________（其中______）． 2．分式的运算（1）分式乘以分式，用分子的积作为分子，_________的积作为分母；分式除以分式，把除式的_______后，与被除式相乘．（2）同分母分式相加减，分母_______，分子_______；异分母分式相加减，先_____，变成的分式，然后再加减．3．分式方程（1）分母中含有________的方程叫做分式方程．（2）列分式方程解应用题的步骤：①审请题意；②设_____；③根据题意找出相等关系，列出_____；④解方程，一定要_____；⑤写出答案．4．零指数幂与负整指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于，即=0a （a ≠0）．一般地，当n 是正整数时，n a -=_____（a ≠0）．这就是说，n a -（a ≠0）是n a 的_______．考点呈现考点1 分式的概念例1（1）（20XX 年嘉兴）若分式12x x -+的值为0，则（） A ．x=－2 B ．x=0 C ．x=1或2 D ．x=1 （2）（20XX 年宁夏）当_____时，分式12a +有意义．分析：本题考查分式的概念，（1）考查分式值为0的条件，即分子为零且分母不为零；（2）考查分式有意义的条件，根据分式的定义可知，当分母不为0时，分式有意义．解：（1）要使分式12x x -+的值为0，须满足x-1=0 且x+2≠0 ，所以x=1．故选D ．（2）要使分式12a +有意义，须满足a+2≠0，解得a ≠－2．故填a ≠－2．考点2 分式的基本性质例2（20XX 年山东德州，有改动）化简：22222x xy y x y -+-．分析：本题主要是考查分式的约分，分式的分子、分母均为多项式且均可分解因式时，应先分别对分式的分子、分母分解因式，再约去分子、分母中的公因式．解：222222()()()x xy y x y x y x y x y x y x y-+--==-+-+．考点3 分式的运算例3 （20XX 年陕西）化简：22a b b a b a b a b a b --⎛⎫÷ ⎪+-+⎝⎭-．分析：本题考查分式的混合运算，进行减法运算时，应把分式化为同分母分式，把分子相减；进行分式除法运算时，应把分式除法转化为乘法，再进一步约分化简．解：原式=(2)()()()()2a b a b b a b a b a b a b a b ---++⋅+--=22222()(2)a ab ab b ab b a b a b --+---- =224()(2)a ab a b a b ---=2(2)()(2)a a b a b a b ---=2a a b-．考点4 分式的求值例4（20XX 年山东东营）先化简，再求代数式(1－32x +)÷212x x -+的值，其中x 是不等式组20,218x x ->⎧⎨+<⎩的整数解．分析：解不等式组，求出不等式组的整数解；然后将待求式化到最简，注意运算顺序；将求得的整数解代入化简后的待求式计算即可．解：解不等式组20,218,x x ->⎧⎨+<⎩得2＜x ＜27．又因为x 为整数，所以x ＝3．(1－32x +)÷212x x -+＝232x x +-+×()()211x x x ++-＝11+x ．所以当x ＝3时，原式＝41．考点5 分式方程例5 （20XX 年湖北咸宁）解方程：48122-=--x x x ．分析：观察可得最简公分母是（x ＋2）（x －2），方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．解：两边同乘以最简公分母（x+2）（x-2），得8)2)(2()2(=-+-+x x x x ．化简，得 842=+x ．解得2=x ．检验：当2=x 时，0)2)(2(=-+x x ，2=x 不是原分式方程的解，所以原分式方程无解．考点6 列分式方程解决实际问题例6 （20XX 年山东泰安）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？分析：（1）设甲公司单独完成此项工程需x 天，则乙工程公司单独完成需1．5x 天，根据合作12天完成列出方程求解．（2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x 天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x 天，根据题意，得1x +11.5x ＝112，解得x ＝20．经检验，x ＝20是所列方程的解，且符合题意．当x ＝20时，1.5x ＝30．所以甲、乙两公司单独完成此项工程分别需20天、30天．（2）设甲公司每天的施工费为y 元，则乙公司每天的施工费为(y －1500)元，根据题意，得12(y+y －1500)＝102 000，解得y ＝5000．甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000＝100 000（元）；乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×(5000－1500)＝105 000（元）；因为100 000<105 000，所以甲公司的施工费较少．考点 7 零指数幂与负整指数幂例7 计算0)1(1---的结果正确．．的是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2-分析：先计算出（﹣1）0的值，再根据有理数的加减法进行运算即可．解：原式=﹣1﹣1=﹣2．故选D ．例8 若2)12(--x 无意义，求代数式20122)14(-x 的值．分析：对于负整指数幂，要明确它成立的条件．由已知条件求出x ，然后代入求值．解：因为2)12(--x 无意义，所以012=-x ，所以21=x ．当21=x 时，00)1414(]1)21(4[)14(201220122012220122==-⨯=-⨯=-x ．例9 某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94 m ，用科学记数法表示这个数是（）A ．9.4×10－7 mB ．9.4×107mC ．9.4×10－8mD ．9.4×108m分析：与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000 000 94=9.4×10-7．故选A ．误区点拨易错点1 分式概念，模糊不清例1 下列各式：2xy π，1a a +，2x y +，2mn n．其中是分式的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个错解：选A 或C 或D ．错解剖析：出现上述错误的原因是对分式的概念理解不透彻，模糊不清．我们知道，形如AB（A 、B 都是整式，且0B ≠）的式子叫做分式．事实上，π表示圆周率，是一个常数，不能看做一个字母，所以 2xy π不是分式；1a a+由两部分组成，其中1a 的分母中含有字母a ，所以1a a +是分式；2x y +是一个整式；2mn n约分后是整式，但判断一个式子是否是分式，不是看化简后的结果，而要看原式，所以2mn n是分式．综上所述，分式有2个．正解：选B ．易错点2 忽视分式值为0的条件例2 当x 为何值时，分式2(1)(3)1x x x +--的值为0．错解：当分子（x+1）（x-3）=0时，分式2(1)(3)1x x x +--的值为0，即x=-1或x=3．错解剖析：分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，错解没有考虑分母x 2-1≠0的约束条件．正解：由题意，得（x+1）（x-3）=0，且x 2-1≠0，解得x=3．易错点3 轻易约分例3 当a 为何值时，分式)1)(3()1)(2(+++-a a a a 无意义．错解：因为32)1)(3()1)(2(+-=+++-a a a a a a ，由a+3=0，得a ＝－3，所以当a=－3时，分式无意义．错解剖析：讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．分子、分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的取值范围，即放宽了分式成立的条件．正确：由（a+3）（a+1）=0，得a=-3或a=-1，所以当a ＝-3或a=-1时，分式无意义．易错点4 分式的运算顺序错误例4 计算：()()()3323142+∙+-÷++-x x x x x x ．错解：()()()3323142+∙+-÷++-x x x x x x =()()()()()31223142++=-÷++-x x x x x x ．错解剖析：分式的乘除运算是同级运算，应从左到右依次进行．正解：()()()3323142+∙+-÷++-x x x x x x ()()()()3233122+∙-+∙++-=x x x x x x ()162132++=++=x x x x ．易错点5 解分式方程忘记验根例5 解分式方程：9122-x －32-x =31+x ．错解：方程两边同乘以（x+3）（x ﹣3），得12﹣2（x+3）=x ﹣3，解得x=3．所以原方程的解为x=3．错解剖析：解分式方程验根是必要的步骤，这样才能够排除增根，防止扩大解的范围．正解：方程两边同乘以（x+3）（x ﹣3），得12﹣2（x+3）=x ﹣3，解得x=3．检验：把x=3代入（x+3）（x ﹣3）=0，即x=3不是原分式方程的解．所以x=3是原方程的增根．故原方程无解．跟踪训练1．当x=2时，下列各式的值等于0的是（）A ．12x - B ．224x x +- C ．2232x x x --+ D ．247x x -- 2．根据分式的基本性质，分式-a a b--可变形为（） A ．a a b -- B ．a a b + C ．b a a - D ．a a b -+ 3．计算232384xy z z y的结果为（） A ．6xyz B ．12xyz C ．-6xyz D ．6x 2yz4．下列各式正确的是（）A ．（-1）0=1B ．用科学记数法表示0.000 307=3.07×10-3C ．用小数表示3×10-6=0.000 000 3D ．（-2）-3=15．若关于x 的方程1011m x x x --=--有增根，则m 的值是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-16．已知分式235x x x a --+，当x=2时，分式无意义，则a=_____． 7．分式221x y -与21x xy+的最简公分母是_____． 8．计算：222x y x y y x+--=_____． 9．若a-b=2ab ，则11a b-=______． 10．研究10，12，15这三个数的倒数发现：151121121101-=-，我们称10，12，15这三个数为一组调和数．现有一组调和数：3，5，x ()5>x ，则x 的值是____．11．先化简，再求值：25624322+-+-÷+-a a a a a ，其中a=1． 12．解分式方程：224124x x x -+=+-．13．某工程队承担了一段长为24千米的道路整治任务．为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了任务，求原计划平均每天改造道路多少千米？第十六分式小结与复习知识梳理：略．跟踪训练：1．D 2．C 3．A 4．A 5．B 6．67．x （x+y ）（x-y ） 8．1 9．-2 10．1511．解：原式=25)3(2)2)(2(32+-+-+÷+-a a a a a a =25)2)(2()3(232+--++⋅+-a a a a a a =2522+-+a a =23+-a ．当a=1时，原式=1213-=+-． 12．解：方程两边同乘以()()22+-x x ，得()()()22422+-=+-x x x ，解得3x =．检验：当3x =时，240x -≠，所以3x =是原方程的根．13．解：设原计划平均每天改造道路x 千米，根据题意，得202.12424=-xx ，解得x ＝0.2．经检验，x ＝0.2是所列方程的解，且符合题意．所以原计划平均每天改造道路0.2千米．。

八年级数学下册第16章《分式》温习与小结

第16章《分式》温习与小结学习目标：了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用，并综合应用知识点解决问题。

学习重点：分式的概念、运算及分式方程的应用。

学习难点：分式方程的应用。

教学设计：一、知识点温习：1. 分式的概念（1）若是 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。

（2）分式与整式的区别：分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。

2. 分式成心义的条件：分式的分母不能为 0，即A B中， B ≠ 0 时，分式成心义。

3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，关于A B ，即00A B =⎧⎨≠⎩时，A B = 0 . 4. 分式（数）的大体性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。

A A MB B M ⋅=⋅, A A M B B M÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分（1）通分的依据是分式的大体性质; (2)通分的关键是确信最简公分母;（3）通分后的各分式的分母相同;（4）通分后的各分式别离与原先的分式相等.6. 分式通分的步骤（1）确信最简公分母①取各分母系数的最小公倍数。

②凡显现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。

③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。

（2）将各分式化成相同分母的分式。

7. 分式的约分（1）约分的依据：分式的大体性质（2）约分后不改变分式的值。

（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。

8. 分子的变号规那么分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。

用式子表示为：a a a b b b -==--；a a a a b b b b---=-==-- 分式的乘方是把分子、分母别离乘方，即na b ⎛⎫ ⎪⎝⎭= 11. 分式的加减（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

第16章--分式知识点总结与例题讲解

第16章分式的学习及知识点清单一．本章介绍【本章重点】分式有意义的条件、分式的四则运算和解分式方程.【本章难点】分式的基本性质、分式方程的增根及列分式方程解决实际问题. 【本章考点】对分式的概念、分式有意义、分式的值为0及科学记数法的考查,常以选择题和填空题为主,难度较小;对零指数幂和负整指数幂的考查多与整式等知识综合考查;对分式的混合运算的考查多以计算题为主（如先化简,再求值）,难度较小,但计算起来容易出错;对分式方程及其应用的考查,常以解答题的形式呈现,难度较高.【特别说明】根据近几年河南中考的命题规律,解答题的第16题为“先化简,再求值”题型,分值8分,其中化简的对象按计算的类型主要分为两种: ①整式的运算; ②分式的运算. 举例如下:（2013.河南）16. 先化简,再求值:()()()()14121222+--+++x x x x x ,其中2-=x .（2014.河南）16. 先化简,再求值:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--x x x x x 121222,其中12-=x .（2015.河南）16. 先化简,再求值:⎪⎭⎫⎝⎛-÷-+-a b b a b ab a 1122222,其中15,15-=+=b a .（2016.河南）16. 先化简,再求值:1211222++-÷⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x x x ,其中x 的值从不等式组⎩⎨⎧<-≤-4121x x 的整数解中选取.（2017.河南）16. 先化简,再求值:()()()()y x x y x y x y x --+-++522,其中12,12-=+=y x第16题作为河南中考解答题的第一个大题,难度是较小的,属于“送分题”,因此我们对本题的要求是必须做对. 【学法指导】1. 在学习的过程中要注意新旧知识的类比和衔接.例如在学习分式的基本性质、分式的运算时,可与分数的基本性质、分数的运算相比较,在类比中加深对知识的理解.2. 学习时要善于归纳总结,并注意知识的形成过程以及知识之间的相互联系.3. 体会转化的数学思想,如:分式的除法是转化为分式的乘法进行计算的;异分母分式的加减是转化为同分母分式的加减进行计算的;解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程进行求解的.（关注:转化化归思想）【知识点清单】一、分式的概念形如BA（B A ,是整式,且B 中含有字母,0≠B ）的式子,叫做分式. 其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.注意:（1）BA可以写成B A ÷的形式,如:()()2222+÷-=+-x x x x ;（2）分式的识别关键是看代数式的分母中是否含有字母,有字母的则为分式.特别指出的是π为常数不是字母. 如πba +2就不是分式,而是整式.1. 下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?xx a b a a y x y x x 2,4,2,5,2,2,31---+π 整式:_________________________________________; 分式:_________________________________________.2. 下列各式中,是分式的是【】（A ）32x （B ）15-πx （C ）x x 3 （D ）6322+y x二、分式有、无意义的条件对于分式BA（B 中含有字母）,当0≠B 时,分式有意义;当0=B 时,分式无意义. 注意:（1）根据分式有意义的条件,我们可以确定字母的取值范围. （2）根据分式无意义的条件,我们可以确定字母的值.（3）有些分式无论字母的取值如何,分式都有意义,即分母不等于0. 如分式222++x x ,因为x 无论取何值,2x ≥0,022>+x ,所以x 无论取任何实数,分式222++x x 都有意义. 类似的分式还有12++x x 等. 3. 下列分式中,当x 取何值时,分式有意义: （1）321+-x x ; （2）922-x x ; （3）22xx +.4. 当x 取何值时,下列分式无意义: （1）x x 312-; （2）273152-+x x .5. 要使分式38-x 有意义,则x 应满足的条件是【】（A ）3>x （B ）3=x （C ）3<x （D ）3≠x6. 当x 为任意实数时,下列分式一定有意义的是【】（A ）21x x - （B ）112-+x x （C ）112+-x x （D ）11+-x x三、分式的值为0的条件对于分式B A （B 中含有字母）,当0=A 且0≠B 时,0=B A（即分式的值等于0）.反过来,若分式0=BA,则有0=A 且0≠B .注意:（1）分式的值为0是在分式有意义的前提下才有的,若使分子等于0的数也能使分母等于0,则必须舍去.（2）解题时容易出现只考虑分子为0,而忽略了分母不能为0的情况. 7. 当x 取何值时,下列分式的值为0: （1）x x -+532; （2）2232+-x x; （3）414+--x x x .8. 若分式11+-x x 的值为零,则x 的值是【】（A ）1 （B ）1- （C ）1± （D ）2 9. 若代数式xx 2+有意义,则x 的取值范围是__________. 10. 若0112=--x x ,则x 的值是_________. 11. 当=x _________时,分式325+-x x 的值为零.四、有理式整式和分式统称为有理式,即有理式⎩⎨⎧分式整式.注意:（1）对于一个有理式,如果它不是整式,那么它一定是分式.（2）分式的分母必须含有字母,而整式有分母出现的,其分母中不能含有字母.这是区分整式和分式的基本方法.12. 下列各式中,哪些是分式?哪些是整式?哪些是有理式?12,2,,126,32,222+-+-+-x x b a b a x x x a b五、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示为:MB MA B A M B M A B A ÷÷=⋅⋅=,（M 为整式,且0≠M ）. 注意:（1）利用分式的基本性质时要正确理解分式的基本性质中的关键词“都”“同”“不等于零”的意义,“都”说明分子与分母要同时“乘以”或“除以”,“同”说明分子与分母同时乘以或除以的整式必须是相同的,“不等于零”是对分子、分母乘以或除以的整式的限制.（2）运用分式的基本性质时,要正确理解分式的“变”与“不变”:分式的分子、分母要改变,而分式的值不变.（3）如果分式的分子或分母是多项式,利用分式的基本性质时要把分子或分母用小括号括起来,再进行变形.（4）分式的基本性质中的“可乘不变性”用于分式的通分,“可除不变性”用于分式的约分,从而把原分式化为最简分式或整式.13. 不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数:（1）yx yx 2.025.0315.0--; （2）y x y x 31433245-+.14. 已知0432=--x x ,则代数式42--x x x的值为【】（A ）3 （B ）2 （C ）31 （D ）2115. 已知分式3312+-x x 的值等于零,那么x 的值为_________.六、分式的约分把分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分.约分后,分式的分子与分母不再含有公因式,这样的分式叫做最简分式.注意:（1）如果分式的分子与分母是多项式时,应先将多项式分解因式,再确定公因式. （2）约分时,利用分式的基本性质将分式的分子与分母同时除以它的公因式. （3）分式的约分是等式的恒等变形,约分前后分式的值不变. （4）约分所得的结果必须是最简分式或整式. 16. 约分:（1）x b a bx a 25434827; （2）44422++-a a a .17. 计算:()=-ba ab 22_________.18. 约分:（1）b ab 262-; （2）22222bab a b a ++-.19. 下列各式中,最简分式是【】（A ）1122+-x x （B ）112-+x x（C ）xyx y xy x -+-2222 （D ）122362+-x x 20. 化简:()=--222x y y x __________.21. 将分式x x x +22化简得1+x x,则x 应满足的条件是__________.22. 化简:=+-12412a a __________. 23. 化简:=+--122222x x x __________. 24. 与分式11--+-x x 的值相等的是【】（A ）11--+x x （B ）11-+-x x （C ）11+-x x （D ）11-+x x25. 分式x --11可化为【】（A ）11--x （B ）x +11 （C ）x +-11 （D ）11-x26. 约分:=--222b a aba __________. 七、与约分有关的新题型27. 已知311=-y x ,求代数式yxy x y xy x ---+232的值. 分析: 利用分式的基本性质,分式yxy x yxy x ---+232的分子、分母同时除以xy ,对式子稍作变形即可代入求值. 解: ∵311=-yx ∴431333211131121113112111232232=+-⨯=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---+=---+y x y x y x y x x y x y y xy x y xy x . 28. 若543zy x ==)0(≠xyz ,试求z y x z y x +-++23的值. 分析: 本题有两种解答方法:①可设连等式的值为k )0(≠k ,从而得到z y x ,,的值（当然是用含k 的代数式表示）,再代入求值;②可直接利用其中一个未知数表示另外两个,然后再代入求值. 解:设k zy x ===543,则 k z k y k x 5,4,3===∴261258954323==+-++=+-++kkk k k k k k z y x z y x .或解:∵543zy x == ∴35,34x z x y == ∴22435383353423==+-++=+-++x x x x x xx x zy x z y x .29. 若0≠-b a ,且032=-b a ,则代数式ba ba --2的值是__________. 30. 已知31=+x x ,则=+221xx __________. 31. 若0132=+-a a ,则=+a a 1__________,=+221aa __________.32. 若c b a 432==,且0≠abc ,则b c ba 2-+的值是【】（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 33. 已知0643≠==zy x ,求z y x z y x +--+的值. 34. 已知511=+y x ,求yxy x yxy x +++-2232的值.八、分式的通分利用分式的基本性质把异分母分式转化为同分母分式的变形叫做通分. 通分的关键在于确定最简公分母,其方法是:①若各分母是单项式,则最小公分母的系数取各分母系数的最小公倍数,相同字母取最高次幂,单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式,这样取得的因式的积就是最简公分母;②若各分母都是多项式,则先分解因式,然后按单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母.注意:（1）通分时,分子或分母中有“﹣”时,可把“﹣”号提到分数线前面.（2）确定最简公分母后,要确定分子、分母要乘的因式,这个因式就是最简公分母除以原分母的商.（3）通分后不能再进行约分.35. 通分:（1）2291,32xy x ; （2）()332,123-+a a a a ; （3）()2211,1--x x x .36. 分式b a 31,21的最简公分母是【】（A ）ab 6 （B ）ab 5 （C ）ab 61 （D ）ab 5237. 分式m n n m +-1,1的最简公分母是【】（A ）n m - （B ）n m +（C ）m n - （D ）22n m -38. 分式22225,103,54ac bb ac c b a -的最简公分母是__________.39. 分式x yx x x --23,42,12的最简公分母是__________.40. 通分:x x x x 261,91,3322----.41. 通分:11,122-+x x x .新题型42. 若2<x ,则22--x x 的值为【】（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）243. 若代数式4162--x x 的值为0,则=x __________. 44. 已知0544422=+--+y x y x ,则=-xy y x __________. 45. （全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛）若12,10-<<-<<b a ,则ba b a b b a a +++++---2211的值是【】（A ）0 （B ）1- （C ）3- （D ）4-46. 如果2=b a ,则=++-2222ba b ab a __________. 47. 若072,0634=-+=--z y x z y x ()0≠xyz ,则=---+222222103225zy x z y x __________. 48. 如果分式()()118-+-x x x 的值等于零,则=x __________.49. （整除问题）当a 是整数时,使分式1236-+a a 的值为整数的a 共有__________个. 50. 要使分式xx-24有意义,则x 的取值范围是【】（A ）0≠x （B ）2≠x 或2-≠x（C ）0≠x ,且1≠x ,且2≠x （D ）0≠x ,且2±≠x51. 若分式622+-x x 的值为负,则x 的取值范围是____________. （本题为分式的值与不等式组的联系）九、分式的乘除运算分式相乘,用分子的积作积的分子,用分母的积作积的分母,结果要化为最简分式或整式.分式相除时,先把除法转化为乘法,再进行计算,结果要化为最简分式或整式. 注意:（1）无论是分式的乘法运算还是除法运算,结果都要化为最简分式或整式（即结果的分子和分母不再含有公因式）.（2）为便于计算和约分,算式中的多项式要先进行因式分解再约分.（3）分式的分子、分母的系数是负数时,要先把负号提到分式的前面再进行计算.（4）分式的乘除法是同级运算,多个分式相乘除时应按照从左到右的顺序进行运算.（5）当除式是整式时,可以把其分母看作是1,然后按照除法法则进行运算.52. 计算:y x a xy 28512÷ 解:原式axy x a xy 103815122=⋅=. 53. 计算:xyx y x y xy x y x ++÷++-22222224 解:原式()()()()y x x y x y x y x y x ++÷+-+=2222 ()()()()()yx xy x y x y x x y x y x x y x y x y x +-=+-=++⋅+-+=222222254. 计算:xx x x x x x +-⋅-+÷+--111112122 解:原式()()()x x x x x x x +-⋅+-⋅--+=11111112xx +-=11.（对于同级运算,要按照从左到右的顺序进行计算）十、分式的乘方分式的乘方法则: 分式的乘方,等于把分子、分母分别乘方.用公式表示: n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（n b ,0≠为正整数）注意: （1）分式的乘方法则中“把分子、分母分别乘方”,这里的分子、分母是指分子、分母的整体,而不是部分.（2）在进行分式的乘方运算时,要先确定结果的符号.（3）在进行分式的乘方、乘除混合运算时,要先算乘方,再算乘除.（4）系数不要漏掉乘方.（5）注意乘方运算中的符号问题.55. 计算:221⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy x y . 解:原式4222222221y y x xy y x x y =⋅=÷=. 56. 计算:=⋅ba x xb a 422489154__________. 57. 计算:=+-⋅++-442444222a a a a a a ____________. 58. 计算:=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43222x y x y y x __________. 59. 化简: ()=-+÷+-+22213123x x x x x x ____________. 60. 计算:（1）=÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-232ab a b b a __________; （2）=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3223x yz y xz z y x __________.61. 当1-=x 时,计算33212⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅÷⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x 的结果为__________. 62. 化简: =-÷-11122x x __________. 十一、分式有意义的条件与分式的化简求值分式有意义的条件是分母不等于零.在进行分式的运算时,分式有意义是前提:各分母都不等于零.对于除式的分子,由于在转化为乘法运算时成为分母,所以要求除式的分子也不等于零,这一点是容易忽视和出错的地方.我们不妨把除式的分子称为“隐分母”,在分式的除法运算中, “隐分母”不能为零.63. 先化简()()12121222+++-÷--x x x x x x ,然后选择一个你喜欢的x 值代入求值. 分析: ()()()()()()()11121112121212222-=+-+⋅-+-=+++-÷--x x x x x x x x x x x x x ,由于x 的取值应使各分式都有意义,所以1±≠x 且2≠x .2,1=±=x x 这三个值不能取.解: ()()12121222+++-÷--x x x x x x ()()()()()111211122-=+-+⋅-+-=x x x x x x x ∵2,1≠≠x x∴当3=x 时原式21131=-=. 64. 化简1112+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x ,再任取一个你喜欢的数代入求值. 解: 1112+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x()1111111111111-=-+⋅+=-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x x x x x x x x x x 当2=x 时,原式2122=-=. 分析:考虑到分式有意义的条件,本题中0≠x 且1±≠x .65. 化简:aa a 214122-÷-,并任选一个你认为合适的正整数作为a 的值代入求值.66. 先化简,再求值:9612122+--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x x ,其中x 是从1 , 2 , 3中选取的一个合适的数.67. 先化简14411122-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x ,再从不等式612<-x 的正整数解中选一个适当的数代入求值.68. 先化简,再求值:1221214322+-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+x x x x x x ,其中x 是不等式组⎩⎨⎧<+>+15204x x 的整数解.十二、分式的加减运算同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减.用公式表示为:ac b a c a b ±=±（0≠a ）. 注意: （1）分式加减运算的结果能约分的一定要约分,结果必须化为最简分式或整式. 异分母分式相加减的法则:异分母分式相加减,先通分,化为同分母分式,然后再加减.用公式表示为:acad bc ac ad ac bc c d a b ±=±=±（0,0≠≠c a ）. 异分母分式相加减的一般步骤:①通分,将异分母分式化为同分母分式;②通分后的分母不变,分子相加减;③化简分子,如去括号、合并同类项等;④将结果化为最简分式或整式.注意:（1）异分母分式相加减,通分是关键.（2）若加减运算中含有整式,应视其为分母为1的分式,然后再进行加减.69. 计算:221515a aa ---.解:原式151522-+-=a aa()()()1511151552-=-++=-+=a a a a a a70. 计算:()()ab b a ab b a 22--+.71.计算:21422---a a a解:原式()()()()222222-++--+=a a aa a a()()()()212222222+=-+-=-+--=a a a a a a a a72. 计算:1624432---x x .73. 计算:x x x x ---231.解:原式()x x x x +--=231()()()()1111111111332333-=-+-=---=--+--=+--=x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x74. 计算:224-++a a .75. 先化简,再求值:a a a a a 1122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++,其中2=a .十三、分式的混合运算进行分式的混合运算时要特别注意运算法则和运算顺序,最终的结果还要化为最简分式或整式.76. 计算:2444222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+x x x x x x . 解:原式()224222-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=x x x x x ()()()()()()2222244224222222222-=-⋅-=-÷-+-=-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+=x x xx x x x x x x x x x x x x 注意: （1）注意运算顺序.（2）异分母分式相加减时,通分是关键,应正确确定最简公分母.（3）分式的除法运算要统一为乘法运算,除式的分子和分母要颠倒位置.（4）运算的最终结果应为最简分式或整式.（5）为正确确定最简公分母和约分,要对式子中出现的某些多项式进行因式分解.77. 计算:()x y y yx x y x -+-⋅+2222.78. 计算:222ba b b a a b a a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--.79. 计算:x y x y y x x y x y x x -÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅+-3232. 分析:如果先算小括号里面的,过程就比较麻烦,而用乘法分配律进行计算就简单多了.当然,这是由题目本身的特点决定的.解:原式y x x y y x y x x y x y x x -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+++⋅+-=23232 ()y x y x yx x y y x x y x x -=-⋅=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2223232 80. 计算:()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+b a b a b a b a 111122.十四、分式的值与非负性的综合81. 若()132+-=-y x ,求分式()212--y x 的值.分析:本题需要求出y x ,的值,然后代入求值.根据非负数的和为零的性质即可求出y x ,的值.解: ∵()132+-=-y x∴()0132=++-y x ∵()23-x ≥0,1+y ≥0 ∴01,03=+=-y x∴1,3-==y x∴原式()343421132-=-=---=. 82. 已知()0322=+-+-b a b a ,计算22222b a ab a b ab a --⋅+的值.83. 已知325102--=++b a a ,求代数式()2223223242bab a b b b a ab a b a b +-÷-+⋅-的值.84. 已知0544422=+--+y x y x ,则=-xy y x __________. 十五、分式的运算与方程（组）的综合 85. 已知()()212143-+-=---x B x A x x x ,求A 、B 的值. 分析:这是“部分分式”问题,有两种解法:一是待定系数法,二是采用特殊值法. 解法1: ()()212143-+-=---x B x A x x x ()()()()()()()()()()()212214*********----+=------+-=---x x B A x B A x x x x x x B x A x x x ∴⎩⎨⎧-=--=+423B A B A 解之得:⎩⎨⎧==21B A . 解法2: ()()212143-+-=---x B x A x x x 等式两边都乘以()()21--x x 得:()()1243-+-=-x B x A x由于多项式的恒等与x 的值无关,所以分别令2,1==x x .当1=x 时,1=A ;当2=x 时,2=B .∴2,1==B A .86. 已知()()122143+--=-++x B x A x x x ,其中A 、B 为常数,则=-B A 4__________.87. 已知22442-++=-x b x a x x ,则=a _________,=b _________. 88. 已知()()2222221+++=++x b x a x x ,则=+b a _________. 89. 若52107412-+-=+-+x b x a x x x ,则=ab _________. 90. 已知()()11311335-+-=---x b x a x x x ,其中b a ,是常数,求b a ,的值.91. 已知()11112222-++=--+x C x B x A x x x x ,其中A ,B ,C 为常数,求C B A ++的值.十五、分式的求值一般是对分式先化简,再求值.分式的化简求值是河南中考的重点.分式的求值方法主要有:（1）直接代入法（2）整体代入法（3）倒数法（4）设参数法直接代入法对所给的分式先化简,化为最简分式后把字母的值直接代入求值的方法.92. 先化简,再求值:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--a b ab a ab a b a 22222,其中5,2=-=b a .整体代入法首先介绍整体思想.整体思想就是考虑数学问题时,不着眼于它的局部特征,而是把着眼点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察,从宏观整体上认识问题的本质,把一些看似彼此独立但实质上联系紧密的量当作整体来处理的思想方法.整体思想在处理和解决数学问题时,有着非常广泛的应用.93. 先化简,再求值:12212122++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x xx ,其中x 满足012=--x x . 分析:由已知条件012=--x x ,得12+=x x ,整体代入化简的结果求值,而不用解方程.解: 12212122++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x xx ()()()()()()()()()12112112112112222-+⋅++--=-+⋅+---+=x x x x x x x x x x x x x x x x x ()()()221121112x x x x x x x x +=-+⋅+-= ∵012=--x x∴12+=x x ∴原式111=++=x x . 94. 先化简,再求值:⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++23221a a a a ,其中a 满足022=--a a .95. 已知511=-yx ,求y xy x y xy x ---+3353的值. 解: ∵511=-yx ∴5,5=--=-xyy x xy x y∴xy y x 5-=- ∴()()45810355153533353=--=--+-=--+-=---+xy xy xy xy xy xy xy y x xy y x yxy x y xy x .96. 已知0142=+-x x ,求221x x +的值.97. 已知12,4-==+xy y x ,求y xx y+的值.98. 已知0142=+-x x ,求()x x x x 6412+---的值.99. 已知2016,2015,2014222=+=+=+x c x b x a ,且24=abc . 求cb a abc ac b bc a 111---++的值. 提示:()()()2222222a c c b b a ab ca bc c b a -+-+-=---++.100. 已知1=abc ,求111++++++++c ac c b bc b a ab a 的值. 分析:利用分式的基本性质对和项进行变形处理.倒数法101. 已知31=+x x ,求1242++x x x 的值. 分析:易求出22224111xx x x x ++=++的值,然后再取倒数即可.本题会用到的重要结论:211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x . 解: ∵31=+x x ∴7232112222=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x ∴817111112222224=+=++=++=++xx x x x x x ∴811242=++x x x . 102. 已知51=+a a ,求1242++a a a 的值.103. 如果411242=++x x x ,求22435155xx x +-的值.104. 已知16,171,151=+=+=+ca a c c b bc b a ab ,则acbc ab abc ++的值是【】（A ）24 （B ）48（C ）241 （D ）481 105. 已知三个数z y x ,,满足34,34,2-=+=+-=+x z zx z y yz y x xy ,求yz xz xy xyz ++的值. 提示: ∵2-=+yx xy ,∴2111,21-=+-=+x y xy y x .设参数法 106. 已知543z y x ==,求z y x y x 32+-+的值. 分析:前面在讲解分式的约分时已有所涉及,见第28题的解法.107. 已知cb a b ac a c b +=+=+,求()()()a c c b b a abc +++的值. 分析:本题难度较高,应分为两种情况:①0≠++c b a ;②0=++c b a .108. 已知0623,032=--=+-z y x z y x ,且0≠xyz ,求下列各式的值:（1）z y x ::;（2）2222222zy x z y x -+++.109. 已知zx z y y x +=+=+543,求()()()z x z y y x xyz +++的值. 分析:由条件可知:543z x z y y x +=+=+,设出参数k ,再分别用参数k 表示z y x ,,的值.巩固训练 110. 已知211=+ba （b a ≠）,求()()b a a b b a b a ---的值.111. 已知311=-y x ,求322333yx y x y x xy +-的值.112. 若020162=--x x ,求分式x x x ---1201623的值.十六、从中考题,看分式的拆项113. 观察下列等式:第1个等式:⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯=311213111a ; 第2个等式:⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯=5131215312a ; 第3个等式:⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯=7151217513a ; 第4个等式:⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯=9171219714a . 请回答下列问题:（1）按以上规律列出第5个等式;（2）用含n 的代数式表示第n 个等式:=n a ____________________________;（3）求10004321a a a a a +++++ 的值.拆项技巧类型一:()11111+-=+x x x x （x 为正整数）. 类型二:()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+n x x n n x x 1111（n x ,均为正整数） 114. 观察下列等式:4131431,3121321,211211-=⨯-=⨯-=⨯. 将以上三个等式两边分别相加得:4341141313121211431321211=-=-+-+-=⨯+⨯+⨯. （1）猜想并写出:()=+11n n ____________; （2）直接写出下列各式的计算结果: ①=⨯++⨯+⨯+⨯201820171431321211 __________; ②()=+++⨯+⨯+⨯11431321211n n __________. （3）探究并计算:201820161861641421⨯+⨯+⨯+⨯ .十七、分式运算中的“温柔陷阱”违背运算顺序115. 计算:ab b a a b 34433⋅÷. 错解:原式a b a b 313=÷=. 分析:错解违背了运算顺序,乘除是同级运算,应按照从左到右的顺序进行计算.正解:原式33271634343ab a b a b a b =⋅⋅=. 忽视分数线的括号作用116. 计算:xx x x --+-11213. 错解:原式111112311213=--=---=----=x x x x x x x x x . 分析:在进行分式的减法运算时,如果减式的分子是一个多项式,则应给减式的分子加上小括号.正解:原式()111123112311213-+=-+-=---=----=x x x x x x x x x x x x . 误用分配律 117. 计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷b a ab 111. 错解:原式abb a a b b ab a ab b ab a ab +=+=⋅+⋅=÷+÷=11111111. 分析:除法没有分配律. 正解:原式b a b a ab ab ab b a ab +=+⋅=+÷=111. 结果不是最简分式118. 计算:bcc b ab b a +-+.错解:原式()abcab bc abc ac ab bc ac abc c b a bc ac -=--+=+-+=. 分析:计算的结果中分子和分母还含有公因式b ,所以其结果不是最简分式,应通过约分化为最简分式.正解:原式()aca c abc a cb abc ab bc abc ac ab bc ac -=-=-=--+=.因“喜欢”而出错 119. 已知:2-≤2<a ,化简:12211112+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-a a a a a ,再选一个你喜欢的整数a 代入求值.错解: 12211112+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-a a a a a ()()()()()()112111221111122+-=-⋅+-=-⋅+--++=a a aa a a a a a a a a a 由题意得012,01,012≠+-≠+≠-a a a a ,所以1±≠a∴当0=a 时原式11010-=+-=. 分析:原代数式中,字母的取值忽略了除号变乘号后,a 2跑到分母上了,所以0≠a .正解:由题意得: 02,012,01,012≠≠+-≠+≠-a a a a a ,所以1±≠a 且0≠a . ∴当2-=a 时原式31212=+---=. 十八、可化为一元一次方程的分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程.注意:（1）理解分式方程要明确两点:①含有分母;②分母中含有未知数.（2）分式方程的解也叫作分式方程的根.（3）整式方程和分式方程统称为有理方程.（4）分式方程与整式方程的主要区别在于分母中是否含有未知数:分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方程是整式方程.120. 下列方程中是分式方程的是【】（A ）413142=+x x （B ）513126=++-x x （C ）3231=+xx （D ）51=-x 121. 下列关于x 的方程是分式方程的是【】（A ）63352x x +=-+ （B ）x ax -=+-371 （C ）bx a b b a a x -=- （D ）()1112=--x x 122. 下列关于x 的方程:①531=-x ;②141-=x x ;③()111=+-⋅x x x ;④11-=b a x .其中是分式方程的有__________（填序号）.十九、分式方程的解法分式方程的解法是数学思想中转化化归思想的又一体现:把分式方程转化为整式方程进行求解,转化的方法是利用等式的性质在分式方程的左右两边分别乘以各分母的最简公分母.解分式方程的一般步骤:（1）去分母: 在分式方程的左右两边分别乘以最简公分母,把分式方程转化为整式方程（目前只学习可转化为一元一次方程的分式方程）;（2）解整式方程;（3）检验: 把整式方程的解代入最简公分母,结果不为0的是原分式方程的解（也叫根）,否则就是增根,必须舍去.123. 解分式方程:1132-=+-x x x x . 解: ()1113-=+-x x x x （此步是为了正确确定分式方程的最简公分母）方程两边同时乘以()1-x x 得:()213x x x =-+解这个整式方程得:3=x检验:把3=x 代入()1-x x 得:()0133≠-⨯所以3=x 是原分式方程的解.124. 解方程:（1）x x 332=-; （2）275-=x x .125. 解方程:（1）1132-=+x x ; （2）01522=--+x x x x .126. 解方程:12112-=-x x . 解: ()()11211-+=-x x x 方程两边同时乘以()()11-+x x 得:21=+x解这个整式方程得:1=x检验:把1=x 代入()()11-+x x 得:()()01111=-⨯+所以1=x 是增根,原分式方程无解.注意: 解分式方程必须检验（即验根）,增根表示原分式方程无解.二十、增根在第126题的解法中,1=x 虽是整式方程21=+x 的解,但却使分式方程左右两边的分式无意义,不适合原分式方程的解,1=x 就是增根.使分式方程的最简公分母等于0的解,不是原分式方程的解,是增根.一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解可能使最简公分母为0,即产生增根,因此一定要检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,是增根,原分式方程无解.重要的事情说三遍:解分式方程要检验,解分式方程要检验,解分式方程要:检验注意:（1）增根使最简公分母等于0.（2）增根表示原分式方程无解.（3）增根是去分母后所得整式方程的解,但不是原分式方程的解.（4）解分式方程可能会产生增根,因此一定要检验.127. 解方程:()()21311+-=--x x x x .128. 解方程:（1）12422=---xx x ; （2）114112=-+-+x x x .二十一、解分式方程中的“温柔陷阱”去分母时,漏乘 129. 解方程:xx x --=+-21322. 错解:21322--=+-x x x 方程两边都乘以()2-x 得:132-=+x分析:在转化为整式方程时出错,常数3漏乘了最简公分母()2-x ,这是不符合等式的性质的,必然得到一个错解.正解:忽视分数线的小括号作用130. 解方程:013132=-+--x x x . 错解:()()011313=-++--x x x x 方程两边都乘以()()11-+x x 得:()0313=+-+x x分析:去分母后应对分子3+x 加小括号,正确的结果为()()0313=+-+x x .正解:解分式方程不检验（易忽略检验）131. 解方程:22121--=--xx x 错解:22121---=--x x x方程两边都乘以()2-x 得:()2211---=-x x解这个整式方程得:2=x分析: 2=x 并不是原分式方程的解,因为当2=x 时,原分式方程的最简公分母为0,分式无意义,2=x 是增根,所以解分式方程时必须检验,否则,不能作出结论. 正解:132. 解方程:14122=---x x x .133. 解方程:xxx --=+-21221.二十二、拆项法解分式方程知识回顾拆项技巧类型一:()11111+-=+x x x x （x 为正整数）.类型二:()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+n x x n n x x 1111（n x ,均为正整数）134. 解方程:()()()()()()()xx x x x x x x x 1120182017132121111+=+++++++++++ .135.解方程:411271651231222+=++++++++x x x x x x x .二十三、解分式方程新题型135. 如果分式方程xax x -=-+222的解为1=x ,则=a _________. 136. 如果关于x 的方程m m x x 22+=+有两个解mx m x 2,21==,那么关于x 的方程1212-+=-+m m x x 的两个解是【】（A ）mm 2, （B ）12,1++m m（C ）12,1--m m （D ）11,-+m m m137. 如果z y x ,,满足方程组:32,22,12=+=+=+xz zxz y yz y x xy . 那么可以得到关系式【】（A ）032=++z y x （B ）0257=++z y x （C ）0369=++z y x （D ）0710=++z y x 138. 对任意正整数n ,()=+21n n _________⎪⎭⎫ ⎝⎛+-211n n .139. 已知x z z z y y y xx 121,121,121222222=+=+=+,求z y x ,,的值. 分析:y xy x x y x x 211,21,12122222=+=+=+.二十四、利用分式方程“解的情况”,求字母的值或取值范围解分式方程时,时常会遇到分式方程中“有增根”、“无解”、“解为正数”、“解为负数”的情况,现逐一作出探讨.分式方程有增根140. 若关于x 的方程3312-+=-+x xm x x 有增根,求m 的值. 解:3312-+=-+x x m x x 方程两边同时乘以()3-x 得:x m x +=+12 ∴1+=x m ∵该方程有增根 ∴3,03==-x x ∴413=+=m .总结当分式方程有增根时,先把分式方程转化为整式方程,令最简公分母等于0,求出方程的增根（可能不唯一）,再代入整式方程即可求出字母的值. 特别地,当增根不唯一时,字母的值也不唯一. 141. 若关于x 的分式方程3212---=-xxx m 有增根,求m 的值.142. 当a 为何值时,关于x 的方程234222+=-+-x x ax x 会产生增根?分式方程无解143. 若关于x 的方程1242+-=-x x ax 无解,则a 的值是_________. 解:1242+-=-x x ax 方程两边同时乘以()2-x 得:24-+=x ax ∴()21=-x a 分为两种情况:（1）当01=-a ,即1=a 时,方程()21=-x a 无解,此时分式方程也无解;（2）当01≠-a ,即1≠a 时,令02=-x ,2=x ,分式方程无解.把2=x 代入()21=-x a 得:2=a .综上所述,1=a 或2=a .总结注意分式方程有增根和分式方程无解是不一样的:分式方程有增根只是分式方程无解的一种情况,分式方程无解包括有增根时无解和转化为整式方程时整式方程无解导致分式方程无解两种情况.144. 若关于x 的分式方程1317-=+-x mxx 无解,求m 的值.145. 若关于x 的分式方程1131=-+-x x m 无解,则m 的值是_________. 146. 若关于x 的方程2222=-++-x mx x 有增根,则m 的值是_________.147. 若分式方程211=---x mx x 有增根,则这个增根是_________.分式方程的解为负数148. 已知关于x 的分式方程111=--++x kx k x 的解为负数,则k 的取值范围是____________.分析:本题为易错题,易忽视分式方程有解（如负数解）时,其最简公分母不能等于0,导致求得的k 的取值范围不完整. 解:111=--++x kx k x 方程两边同时乘以()()11-+x x 得:()()()()()1111-+=+--+x x x k x k x解之得:k x 21-=∵该分式方程的解为负数 ∴021<-k 解之得:21>k ∵01,01≠-≠+x x （为什么会有这样的要求？） ∴0121≠+-k ,0121≠--k ∴0,1≠≠k k∴k 的取值范围是21>k ,且1≠k . 149. 已知关于x 的方程323-=--x m x x 有一个正数解,求m 的取值范围.150. 若关于x 的分式方程211=+-x k 的解为负数,则k 的取值范围是__________. 151. 已知关于x 的分式方程112=++x a 的解是非正数,则a 的取值范围是【】（A ）a ≤1- （B ）a ≤1-且2-≠a （C ）a ≤1且2-≠a （D ）a ≤1 152. 已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是非负数,则实数m 的取值范围是____________.二十五、分式方程的应用列分式方程解应用题可按以下步骤进行: （1）审清题意,弄清题目中的数量关系; （2）巧设未知数;（一般是求什么设什么）（3）列出分式方程;（找出等量关系很重要）（4）解分式方程;（要转化为整式方程）（5）检验;（看是否为增根,是否符合题意）（6）作答.可以简单概括为六个字:审、设、列、解、检、答.153. 用A 、B 两种机器人搬运大米,A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20袋大米,A 型机器人搬运700袋大米与B 型机器人搬运500袋大米所用时间相等.求A ,B 型机器人每小时分别搬运多少袋大米.二十六、零指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1,即10=a ()0≠a . 零的零次幂没有意义.注意:（1）10=a 的条件是0≠a .（2）根据“零的零次幂没有意义”可以确定字母的取值范围. 154. 计算:（1）()=÷-0053_________; （2）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0232x _________;（3）()=-014.3π_________.155. 式子()0212++-x x x 有意义的条件是__________. 二十七、负整指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂,等于这个数的n 次幂的倒数. 即注意:（1）负整指数幂成立的条件仍是底数不等于零.（2）以前学过的幂的运算:()()n n nmn nm n m n m b a ab a a a a a ===⋅+,,,以及同底数幂的除法n m n m a a a -=÷,对于零指数幂和负整指数幂仍然成立. （3）幂的运算结果的符号与指数的正负无关,只与指数的奇偶有关.如()()()()81212,412123322-=-=-=-=---. 156. 若()()0121-+--x x 有意义,则x 的取值范围是__________.157. 计算:()=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--0231318π_________.158. 若1512=-x ,则=x _________;若2713=x ,则=x _________. 159. 计算:=⋅-3022_________. 160. 计算:()=⎪⎭⎫ ⎝⎛---12018211_________.161. 计算:=⎪⎭⎫⎝⎛-+--+--031312829_________.162. 已知()()321,13,2-=-==-c b a ,则c b a ,,的大小关系是【】（A ）c b a >> （B ）c a b >> （C ）b a c >> （D ）a c b >>163. 已知y x m m ==5,2,则m 210-可表示为【】（A ）xy （B ）22y x （C ）xy 1（D ）221yx 164. 若n m ,满足()0201832=-+-n m ,则=+-01n m _________. 165. 若a x =-23,b y =-23,则=-y x 3_________. 166. 已知0152=+-x x ,求下列各式的值: （1）1-+x x ; （2）22-+x x .。

第16章《分式》小结与复习(3)

分式小结与复习 教学设计(三)

八年级数学下册第十六章分式知识点总结

第十六章《分式》知识归纳与考点解读

华师版八下数学第16章分式知识归纳

新华东师大版八年级数学下册《16章 分式 小结》教案_2

第16章分式小结

人教版初二数学第十六章 分式知识梳理

第十六 分式小结与复习

华师大版八年级数学下册数学第16章分式第16章小结与复习课件

(14)16章分式方程的小结与复习导学案

第十六章分式全章总结

第16章--分式知识点总结与例题讲解

人教版八年级数学下册第十六章分式知识点总结

八年级数学 第16章《分式》知识要点复习及典型练习 新人教版

第十六章单元小结

第十六分式小结与复习

八年级数学下册 第16章《分式》温习与小结

第16章--分式知识点总结与例题讲解

分式小结与复习教学设计(三)

新华东师大版八年级数学下册《16章分式小结》教案_2

人教版初二数学第十六章分式知识梳理

第十六分式小结与复习

八年级数学第16章《分式》知识要点复习及典型练习新人教版

八年级数学下册第16章《分式》温习与小结