圆的证明与计算题专题研究

《圆的证明与计算》专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

一、考点分析：

1.圆中的重要定理:

(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.

(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.

(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.

(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

三、解题秘笈：

1、判定切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：

（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O 的切线；

（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.

（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线.

（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.

2、与圆有关的计算：

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

3、典型基本图型：

图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点，基本结论有：

（1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC =AE 的弦心距OF （或弓形BCE 的半弦EF ）。

（3）如图（4）：若CK ⊥AB 于K ，则：

①CK=CD ；BK=DE ；CK=2

1

BE=DC ；AE+AB=2BK=2AD ;

②⊿ADC ∽⊿ACB AC 2

=AD•AB

（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG ⊥CD

于E 时（如图5），则：

①DE=GB ；②DC=CG ；③AD+BG=AB ；④AD•BG=

24

1

DG

图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC

于点E ，基本结论有：

图2

C

图1

图1A 图2A 图3A 图4A 图5

A

（1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。四个论断中，

知一推三。 （2）①G 是⊿BCD 的内心；②

；③⊿BCO ∽⊿CDE ⇒BO•DE=CO•CE=2

1

CE 2

； （3）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。 （

4）如图（3），若①BC=CE ，则：②

AD AE =2

1

=tan ∠ADE ；③BC ：AC ：AB

=3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，,则BH=2EH

图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有：

如右图：（1）DE 切⊙O ⇔E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；

②D 、O 、B 、E 四点共圆⇒∠CED =2∠A

③CD·CA=4BE 2, BA

BC BD

CD R

DE ==

图形特殊化：在（1）的条件下

如图1：DE ∥AB ⇔⊿ABC 、⊿CDE 是等腰直角三角形；

如图2：若DE 的延长线交AB 的延长线于点F ，若AB=BF ，则：

①

3

1

=EF DE ;②=R BE

图形4：如图，⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点F ，

基本结论有：

（1）DE ⊥AC ⇔DE 切⊙O ；

（2）在DE ⊥AC 或DE 切⊙O 下，有：①⊿DFC 是等腰三角形；

②EF=EC ；③D 是 的中点。④与基本图形1的结论重合。 ⑤连AD ，产生母子三角形。

图形5：：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，

（1）如图1：①AD+BC ＝CD ； ②∠COD =∠AEB =90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）

A

图1图2

B

A BF CG=GD 图1图2图3