有限元第二章课后题答案
(完整版)有限元第二章课后题答案
2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
有限元习题及答案
有限元习题及答案有限元习题及答案有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于求解各种工程和科学问题。
在学习有限元方法的过程中，练习习题是非常重要的，可以帮助学生巩固所学的知识，并提高解决实际问题的能力。
本文将介绍一些有限元习题及其答案，希望对学习有限元方法的同学有所帮助。
习题一：一维热传导问题考虑一个长度为L的一维杆，其两端固定，杆上的温度满足以下热传导方程：∂²T/∂x² = 0，其中T为温度，x为位置。
已知杆的两端温度分别为T1和T2，求解杆上的温度分布。
解答一：根据热传导方程，可以得到温度分布的一般解为T(x) = Ax + B，其中A和B为常数。
根据边界条件，可以得到方程组：T(0) = B = T1T(L) = AL + B = T2解方程组可得A = (T2 - T1) / L，B = T1。
因此，温度分布为T(x) = ((T2 - T1) / L) * x + T1。
习题二：二维弹性问题考虑一个矩形薄板，其长为L，宽为W，材料的弹性模量为E，泊松比为ν。
已知薄板的边界上施加了一定的边界条件，求解薄板上的位移场。
解答二：对于二维弹性问题，可以使用平面应力假设，即假设薄板内部的应力只有两个分量σx和σy，并且与z轴无关。
根据平面应力假设和胡克定律，可以得到位移场的偏微分方程：∂²u/∂x² + ν * (∂²u/∂y²) + (1 - ν) * (∂²v/∂x∂y) = 0∂²v/∂y² + ν * (∂²v/∂x²) + (1 - ν) * (∂²u/∂x∂y) = 0其中u和v分别为位移场在x和y方向上的分量。
边界条件根据具体情况给定。
通过数值方法，如有限元方法，可以求解位移场的近似解。
习题三：三维流体力学问题考虑一个三维流体力学问题，流体在一个封闭容器内流动，容器的形状为一个长方体，已知流体的速度场和压力场的初始条件，求解流体的运动状态。
有限单元法部分课后题答案
１.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的?(１)离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
(２）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
(３）有限元法的标准化程式:结构或区域离散，单元分析,整体分析,数值求解。
１.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零)。
整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。
单元Ｋiｊ物理意义Ｋij 即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第ｊ个自由度方向引起的节点力。
整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。
2．２什么叫应变能?什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
（3）势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。
对于线性弹性体,势能取最小值,即δ2∏Ｐ=δ2Uε+δ2Ｖ≥０此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
(完整版)有限元第二章课后题答案
2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
《有限元法及其应用》课后习题
《有限元法及其应用》课后习题目录第1章绪论 (3)第2章有限单元法理论基础 (4)第3章杆系结构单元 (5)第4章平面三角形单元 (7)第5章平面四边形等参数单元 (9)第6章常用有限元软件及其在岩土工程中的应用 (10)第1章绪论1-1试说明有限元法解题的基本思路。
1-2试说明用有限元法解题的主要步骤。
1-3有限元法主要有哪些优点？第2章有限单元法理论基础2-1 何为虚功，虚功原理的具体思路是什么？2-2 虚功原理的适用条件有哪些？2-3 位移模式的概念是什么？2-4 如何构造位移模式？2-5 弹性力学问题的求解需要满足哪些条件？第3章 杆系结构单元3-1 推导横截面积为A 的一维桁架结构的单元刚度矩阵。
3-2 图示（见题图3-1）为一平面超静定桁架结构，在载荷P 作用下，求各杆件的轴力。
此结构可看成由14、24、34三个杆单元组成，每个杆单元的两端为杆单元的结点，各结点的水平、铅直位移分别用u 、v 表示。
题图3-1 平面超静定桁架结构a —平面结构；b —单元组成；c —各结点位移3-3 图示（见题图3-2）刚架中，两杆为尺寸相同的等截面杆件，横截面面积为20.5m A =，截面惯性矩为41m 24I =，弹性模量7310kPa E =⨯，求解此结构。
题图3-2 等截面刚架结构第4章平面三角形单元4-1 按位移求解的有限单元法中：（1）应用了哪些弹性力学的基本方程?（2）应力边界条件及位移边界条件是如何反映的？（3）力的平衡条件是如何满足的？（4）变形协调条件是如何满足的？4-2 在有限单元法中，如何应用虚功原理导出单元内的应力和结点力的关系式，并将外荷载静力等效地变换为结点荷载？4-3 为了保证有限单元法解答的收敛性，平面三角形单元位移模式应满足哪些条件？μ=，记杨氏弹性模4-4 题图4-1所示等腰直角三角形单元，设14量为E，厚度为t，求形函数矩阵[]N、应变矩阵[]B、应力矩阵[]S与单元刚度矩阵[]eK。
有限元方法基础教程第三版答案第二单元
有限元方法基础教程第三版答案第二单元1. 诉述有限元法的定义答:有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答:首先,将表示结构的连续离散为若干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答:分类:位移法、力法、混合法;步骤:结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移。
4. 有限元法有哪些优缺点答:优点:有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构,得出其近似解;通过计算机程序,可以广泛地应用于各种场合;可以从其他CAD软件中导入建好的模型;数学处理比较方便,对复杂形状的结构也能适用;有限元法和优化设计方法相结合,以便发挥各自的优点。
缺点:有限元计算,尤其是复杂问题的分析计算,所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。
对无限求解域问题没有较好的处理办法。
尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术,但在具体应用时,采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。
5. 梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答:由每个节点位移分量的总和确定6. 简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答:单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1,其他节点位移分量等于0时,对应的第m个节点力分量。
7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么P14 答:Q——整个结构的节点载荷列阵(外载荷、约束力);整个结构的节点位移列阵;结构的整体刚度矩阵,又称总刚度矩阵。
8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答:由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解,引入边界条件,使整体刚度矩阵求的唯一解。
9. 简述整体刚度矩阵的性质和特点P14 答:对称性;奇异性;稀疏性;对角线上的元素恒为正。
有限单元法课后习题全部答案-王勖成
Ω
=0
∫ ∫ = Ω w j R dΩ
∂
Ω
∂a
j
AT
(
N i
(
x)ai
)δ
(
x
−
x k
)
[
A(
N i
(
x)ai
)
−
f (x)]dΩ
∫ =
Ω
AT
(N
j (x))δ
(x
−
x k
)
[
A(
Ni
(
x)ai
)
−
f
( x)]d Ω
∑{ } m
=
k =1
AT
(
N
j
(
xk
))
[
A(
N i
(
xk
)ai )
= R( L) 3
0= , R( 2L) 3
0 ，从而可以解出待定系数 a1, a2 。带入（1）式可以得到φ 。
配点法仅考虑了有限个点的局部特性，子域法则要求在有限个子域 Ωi 内残量的积分
∫ R(x)dx = 0 为零，子域的个数仍然取决于未知函数个数，通常选取各子域的并集为整个 Ωi
待求区域，一般情况可以选择各子域大小相同，但对于某些局部变化较复杂的区域，可以缩 小子域的大小，使得子域分布更合理。例如取子域为
−
f
( xk
)]
m
m
∑ ∑ = =k
1= AT (N j )A (N i )ai − k
1
AT
(N
j)f
= Ka-P
(写成矩阵形式)
m
∑ = 因此， kij k= =1 AT (N j )A (N i ) k ji ， 系数矩阵对称，且无需积分。
《有限单元法》1-5章课后习题答案
δδ∏00且或∏,泛函极值性对于判断解的近似性质有意义,利用它可以对解的上下界做出估计。
思考题1.9什么是里兹法?通过它建立的求解方法有什么特点?里兹方法收敛性的定义是
什么?收敛条件是什么?
里兹法:在某一函数空间寻找试探函数,利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化
为该函数关于权值的极值问题。其特点是:试探函数是全域的,解的精度依赖于试探函数的
5qL L 5qL
wx L x当x , w
5 4
120EI + kl 2 480EI + 4kL
4
L 5qL
精确解w ???,应该是三角级数更接近精确解。因为是最小位能原理建立的
2 384EI
泛函,因此近似解比精确解要偏小。因此只要比较三角函数和幂函数的结果,就可以知道哪
个更精确了。另外,取不同的阶数,逼近速度不同,三角函数更快。
可得最终结果(略)。3 2 2 2 w ww ww
δδw n ds?+ n dsδ dxdy?
xx?∫∫3 2∫2 2
ΓΓ?x xx ?x ?x? 2 2 2 3? ww ?
+δ dxdy?+δδ n ds w n ds? y y
∫22∫2∫2ΓΓ
?y ?x ?y ?x y xD?
0
2 2 2 3 ww ?
12
23
L LL
3
x
上式中的最后一项前面没有待定系数,这是由于使用了在xL处φ1的强制边界条件。
3
L
从物理意义上说,相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将(1 )
式代入教材(1.2.26 )式,得到残量:
x 66 xx
R x a ?6 + a 2? + + Qx
有限元习题及答案ppt课件
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
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高等有限元课后题答案
2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n =2。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
机械结构有限元分析第二章课后答案 哈工大
εz =
∂w =0 ∂z
γ xy =
∂u ∂v + =0 ∂y ∂x
γ yz =
∂v ∂w + =0 ∂z ∂y
γ zx =
∂u ∂w + = 12 × 10 2 ∂z ∂x
2.9 一具有平面应力场的物体，材料参数为 E、v。有如下位移场
u (x, y ) = ax 3 − bxy 2
v(x, y ) = cx 2 y − dy 3
εz
γ xy
γ yz
γ zx ]
T
式中， D —弹性矩阵，是一个常数矩阵。 虚位移原理：一个弹性体在外力和内力作用下处于平衡状态，则对于任何约束允许的虚位移来 说，外力所做的虚功等于内力的虚功。
2.2 说明弹性力学中的几个基本假设。
答：弹性力学中的几个基本假设有：
（1）连续性假定，指假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。 （2）完全弹性假定，指假定物体服从胡克定律，即应变与引起该应变的应力成正比。 （3）均匀性假定，指假定整个物体是由同一材料组成的。
2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ 3u ∂ 3v + = + = 2c − 2b ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y 2 ∂y∂x 2
∂ 2 γ xy ∂x∂y
= 2c − 2b
2 2 ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy 所以满足 的相容方程 + = ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2
2.10 一具有平面应力场的物体，材料参数为 E、v。有如下位移场
σy =
⎛ ∂v ∂u ⎞ 4v ⎡⎛ 3aE Eb ⎞ 2 ⎛ ⎞ 2⎤ ⎜ ⎜ ∂y + µ ∂x ⎟ ⎟ = 4v − E ⎢⎜ c + 2v − 3a ⎟ x − ⎜ 3d + 2v − b ⎟ y ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎝ ⎝ ⎠
机械有限元习题答案——哈工大
机械有限元习题答案——哈⼯⼤第⼆章习题2.1 解释如下的概念：应⼒、应变，⼏何⽅程、物理⽅程、虚位移原理。
解○1应⼒是某截⾯上的应⼒在该处的集度。
○2 应变是指单元体在某⼀个⽅向上有⼀个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变。
X U Xx ??=ε表⽰在x 轴的⽅向上的正应变，其包括正应变和剪应变。
○3⼏何⽅程是表⽰弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表⽰如下：Txz yz xy z y x x w z u zv y w y u x v z w y vx u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ??+++=+????+????+?=??????=γγγεεεε○4物理⽅程：表⽰应⼒和应变关系的⽅程某⼀点应⼒分量与应变分量之间的关系如下：=???????????????????=666564636261565554535251464545434241363534333231262524232221161514131211αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y xxz yz xy zz yy xx γγγεεε○5虚位移原理：在弹性有⼀虚位移情况下，由于作⽤在每个质点上的⼒系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为：若弹性体在已知的⾯⼒和体⼒的作⽤下处于平衡状态，那么使弹性体产⽣虚位移，所有作⽤在弹性体上的体⼒在虚位移上所做的⼯就等于弹性体所具有的虚位能。
2.2说明弹性体⼒学中的⼏个基本假设。
○1 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。
○2 完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。
○3 各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。
○4 ⼩变形和⼩位移假设：就是指物体各点的位移都远远⼩于物体原来的尺⼨，并且其应变和转⾓都⼩于1。
2.3简述线应变与剪应变的⼏何含义。
有限元思考题答案
有限元思考题答案第一篇：有限元思考题答案红字为答疑时老师给的解答第一章思考题1-1 “用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制”，这种说法对吗？答：不对，有连续性要求。
1-2 “加权余量法仅适用为传热学问题建立基本的有限元方程，而基于最小势能原理的虚功原理仅适合为弹性力学问题建立基本的有限元方程”，这种说法对吗？答：不对。
虚位移原理不仅可以应用于弹性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题，虚功原理可以用来推导各种力学问题的有限元基本方法中的基本方程。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
加权残值法尤其适用于具有连续场的非力学问题，如声、电、磁学的有限元方程的建立。
1-3 现代工程分析中的数值分析方法主要有有限差分法、有限元法和边界元法。
这些方法本质上是将求解区域进行网格离散化，然后求解方程获得数值结果。
是否可以将求解区域离散成结点群，但是没有网格进行求解？答：可以，无网格方法是近年发展起来的一种新的数值计算方法。
与基于网格的方法不同，无网格方法只需要节点的信息，不需要节点的信息而不需要节点之间相互联系的信息。
典型无网格方法有配点法、Galerkin方法、Petrov-Galerkin方法等。
（无网格方法数值求解的基本思想：在每个节点上构建待求物理量近似值的插值函数，并用加权残量法和该近似函数对微分方程进行离散，形成与待求物理量相关的各节点近似值的离散方程，并求解之。
）第二章思考题2-1 ANSYS软件有哪些模块？在GUI方式下的六个窗口有何功能特点？主要包括前处理模块，分析计算模块和后处理模块①前处理模块提供了一个强大的试题建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元②分析计算模块包括结构分析、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力③后处理可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来，也可将计算记过以图表、曲线形式显示或输出。
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2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。
它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。
所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。
2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？答：(1)应变矩阵[B]中的参数m j i m j i c c c b b b 、、、、、由坐标变量x 、y 之差确定。
当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x 、y 无关，因此[B]为常量阵。
当单元的结点位移{a}确定后，由[B]转换求得的单元应变都是常量，也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的xy y x γεε、、值。
因此三结点三角形单元称为常应变单元。
(2)如果在每边中点增加一个结点，单元内的应力为线性分布。
习 题2.1试证明x 、y 与面积坐标的关系 证明:设P 点坐标为（x,y ）j jpijy x yxy x A ii11121=()()()()[]()y c x b a y x x x y y y x y x xy y x y x y x x y y x m m m i j j i i j j i j i j i j i j i ++=-+-+-=---++=212121同理可求得：由面积坐标定义得：()y c x b a A A A L i i i ijm Pjm i ++==21()()y c x b a y x y x yx A y c x b a y x y x yx A j j j iim mpmii i i mm j jpjm++==++==21111212111121()y c x b a AA A L j j j ijm Pmi j ++==21()y c x b a AA A L m m m ijmPij m ++==21由此推出坐标y x 、与面积坐标的函数关系：()()22j i i j j i i j i j j i m j j m m j m j m j j m A c L c L a c a c x b c b c A b L b L a b b a y b c b c ⎧-+-=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪-⎩式（2.1）面积：m i i m j m m j i j j i m j i c b c b c b c b c b c b a a a A -=-=-=++=2代入式（2.1）有：mj j m m j j m j m m j i j j i j i i j j i i j c b c b b a b a L b L b y c b c b c a c a L c L c x --+-=--+-=其中形状参数由下式确定：mj mji m j mji j m m j mm jji x x x x c y y y y b y x y x y x y x a +-==-=-=-==1111代入上式（2.1）可转化为：m m j j i i m m j j i i L y L y L y y L x L x L x x ++=++=再加上 m j i L L L ++=1 所以用面积坐标表示直角坐标矩阵形式如下：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j i L L L y y y x x x y x 1111 2.2 试证明两相似三角形的单元刚度矩阵相同。
证明：由于两个三角形相似，故设h A A =21， h 为一常数。
三角形：()111121i j ji i c b c b A -=111111i m j m j i y y b y y b -=-=111111i m j m j i x x c x x c +-=+-=参数 j i j i c c b b 、、、，只与坐标差有关，所以hb b i i 121=hc c i i 121=单元刚度矩阵通式为：hb b b b s r s r 12211=h A A 121= 故[][]21rs rs K K =所以[][][][][][][][][][][][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==mm mjmijm jjjiimij iiT e K K K K K K K K K tA B D B K [][]eeK K 21=因此两相似三角形的单元刚度矩阵相同。
2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。
若按一个单元计算，水的容重g γ，三角形平面构件容重g ρ,取泊松比v =1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。
解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3建立坐标())0,0(3)3,0(20,21:a a xoy（1） 求形函数矩阵：[]()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-+=-=s r s r s r s r s r s r s r s r rsb bc c c b b c b c c b c c b b A Et K 21212121142νννννννa a a a 600321===a b b a b 303321-===a c a c c 220321-===图（2.14） 形函数:)(21y c x b a A N i i i i ++=233221a a a A =⨯⨯=所以：ay a x N a yN a xN 32132321--===形函数的矩阵为：[][][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==a y a x a y a x a y a x a y a x N N N N m ji3210302003210302（2） 刚度矩阵[][][][][][][][][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211K K K K K K K K K K e[]()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-+=-=s r s r s r sr s r s r s r s r rsb bc c c b b c b c c b c c b b A Et K 21212121142ννννννν()125213531416122=-=-==νννa EA Et t可得：[][]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=400353534150093532211EK E K [][]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0251035343127273323531233E K E K[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=215251935313E K []⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=41253535323E K（3）位移列向量和右端项由边界条件可确定：{}{}Te u a 000022υ=水压力和构件厚分别为：10==t ghp γ[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=43127425215127332135259414001253503525021525025415019109353E K e{}T Te t l q h q hq R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=0320310020360001自重为W 与支座反力：{}Ty x y x eW R R W WR R R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=330333112所以：{}Ty x y x eW R h q R W h q W R R R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=33363303011由[]{}{}eeeR a K =得到下列矩阵方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+--=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧33363000030301122W R h q R W h q W R R u y x y x υ 化简得：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡3640035353022W h q u E υ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353E K e可得：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧E W E h q u 363567022υ将⎭⎬⎫⎩⎨⎧22υu 代入下式： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----333425135025103533031122W R h q R W R R u E y x y x υ 固定面上的反力：a h ga gh q 330===γγ从而可得支座反力为：4322123412033011h q W R h q W R W h q R WR y x y x -=-=+=-=2.4 试从式（2.69）说明对角线元素改1法只能用于给定零位移的情形，而对角元素充大数法可以适用任意指定位移的情形。