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高一数学《几类不同增长函数模型》说课稿

高一数学《几类不同增长函数模型》说课稿一、背景分析本节是高中数学必修1（人教a版）第三章《函数的应用》的起始课．该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长（衰减）差异的方法；感受数学建模的思想．对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义．在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数．本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，．因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想．二、教学目标（1）通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；（2）通过恰当地运用函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察—归纳—猜想—证明；（3）经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.三、教学重难点教学重点：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义．教学难点：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题．四、教学媒体设计要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法．因此在本节内容教学的处理上，通过学生收集数据并建立函数模型，利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．五、教学过程设计（一）创设情境，引入课题1.介绍第三章章头图，提出问题．问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只发展到5亿只？澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长.问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗？2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型．3.揭示课题：几类不同增长的函数模型．【设计意图】运用章头图，形成问题情境，产生应用函数的需要，激发学生的学习愿望．（二）分析问题，建立模型（一）提出问题例1．假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方式？（二）分析问题1.引导审题，抓住关键词“回报”问题3：你选择的是什么样的回报怎样比较回报资金的大小从解决问题的角度看：（1）比较三种方案的每日回报；（2）比较三种方案在若干天内的累计回报.2.引导分析数量关系，建立函数模型仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式.【设计意图】引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程．【备注】累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储备还不够，现在仅限于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择.（三）组织探究，感性体验1.教师提出问题问题4：你会选择哪种投资方案？请用数学语言呈现你的理由．2.学生分组操作，比较不同增长从解决问题的方式上：（1）用列表方法来比较；（2）画出函数图象来分析.【设计意图】保成学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法．（四）成果交流，阶段小结（一）学生交流让学生交流小组探究的成果（表格、图象、结论）（二）师生互动1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象（突出散点图），引导学生关注增长量，感受增长差异．2.通过教师多媒体动态演示，让学生进一步体会增长差异．在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点．他们的增长不在同一个“档次”上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多．（三）归纳小结1.通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识．常数函数（没有增长），直线上升（匀速增长），指数爆炸（急剧增长）．2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的．【设计意图】分享学生成果，达到生生互动、师生互动；借助多媒体展示，帮助学生理解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法．（五）深入探究，理性分析（一）提出问题例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％．现有三个奖励模型：求？（二）引导分析问题5：你能立刻做出选择吗选择的依据是什么问题6：公司的要求到底意味着怎样的数学关系？问题7：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件？（三）解决问题1.通过多媒体演示，发现增长差异；2.结合限制条件，初步作出选择；．其中哪个模型能符合公司的要3.通过计算，进一步确认，验证所得结论；4.体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长；5.揭示函数问题的研究方法（观察—归纳—猜想—证明）．【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点．【备注】对判断模型二是否满足限制条件“”，考虑到学生现在知识储备和接受水平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决（因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决）．（六）拓展延伸，创新设计这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.问题8：我们的奖励方案有什么弊端？问题9：你能否设计出更合理的奖励模型？【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随着销售利润某（单位：万元）的增加而增加，要求如下：10万～50万，奖金不超过2万；50万～200万，奖金不超过4万；200万～1000万，奖金不超过20万．请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案．（四人一组，合作完成）【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．（七）归纳总结，提炼升华问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想方面作一个小结．1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数（没有增长）；一次函数（直线上升）；指数函数（爆炸增长）；对数函数（平缓增长）．2.方法：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；函数问题的一般研究方法（观察—归纳—猜想—证明）3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解.【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值．（八）布置作业，巩固提高1.课本98页课后练习1，2；课本107页习题3.2（a组）第1题；2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用．【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述；培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用价值.。

人教版高中数学必修一《几种不同增长的函数模型》教案

3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标1．知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2．进程与方法在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力3．情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.（二）教学重点与难点重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.教学环节教学内容师生互动设计意图回顾复习引入深题①增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论.师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.生：回顾总结，口述回答.以旧引新导入课题实例分析例 1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？师生合作探究解答过程例1 解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y= 40 (x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y= 10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y= 0.4×2x–1(x∈N*)进行描述.三种方案所得回报的增长情况x/天方案一y/元增加量/元1 402 40 03 40 04 40 05 40 06 40 07 40 08 40 09 40 0将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y = log7x + 1，y = 1.002x，10 40 0………30 40 0x/天方案二y/元增加量/元1 102 20 103 30 104 40 105 50 106 60 107 70 108 80 109 90 1010 100 10………30 300 10x/天方案三y/元增加量/元1 0.42 0.8 0.43 1.6 0.84 3.2 1.65 6.4 3.26 12.8 6.47 25.6 12.88 51.2 25.69 102.4 51.210 204.8 102.4………30 214748364.8 107374182.4再作三个函数的图象在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.例 2 解答：作出函数y=5，其中哪个模型能符合公司的要求？y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有7log10.25xyx x+=≤成立.令f(x)=log7x+1–0.25x，x∈[10,1000]巩固练习1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表x0 5 10 15y1 5 130 505 1130y2 5 94.478 1785.2 33733y3 5 30 55 80y4 5 2.3107 1.4295 1.1407x20 25 30y1 2005 3130 4505y2 6.37×1051.2×1072.28×1081．解：y22．解：设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮……依次有a2台，a3台……被感染，依题意有a5=10×204=160.答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.动手尝试提升解题能力y3105 130 155y4 1.0461 1.0151 1.005关于x呈指数型函数变化的变量是.2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？归纳总结2．中学数学建模的主要步骤（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运师生合作反思⇒归纳⇒总结⇒完善生：通过独立思考和必要的交流，分析归纳例1、例2的解题过程，简述建模的主要步骤.师：点评、总理学生的回答，然后完善归纳步骤.师生合作：结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会.培养整理知识的学习品质.通过知识整合培养数学应用能力.例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x 台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用280020,(118)440,(18)x x x y x x ⎧-≤≤=⎨>⎩在乙商场购买，费用y = 600x .（1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2 + bx + c ，y = a21x + b ，y =ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）.（1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有⎩⎨⎧=+=+2.123.13b a b a ，解得⎩⎨⎧==11.0b a所以得y =0.1x +1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax 2 + bx + c ，将A 、B 、C 三点代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241c b a c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=7.035.005.0c b a ，所以y = – 0.05x 2+0.35x +0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x =3.5），不合实际.（3）设y =x a +b ，将A ，B 两点的坐标代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2.121b b b a ，解得⎩⎨⎧==52.048.0b a ，所以y =52.08.4+x .因此把x = 3和4代入，分别得到y =1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = ab x + c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3.12.1132c ab c ab c ab ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=4.15.08.0c b a ，所以y = – 0.8×(0.5)x +1.4.因此把x = 4代入得y = – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y = –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.。

人教版教材数学高中必修一《几类不同增长的函数模型》教学设计

课题：3.2.1几类不同增长函数模型一、教材分析1、教材的地位和作用几类不同增长的函数模型是函数应用问题的基础，又是十分贴近生活的常见问题，教科书对几类不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例让学生仔细体会直线上升、指数爆炸与对数增长，进而认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异。

函数模型本身来源于现实，并用于解决实际问题，所以必须寻找更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并体会数学在实际问题中的应用价值。

本节课是在学习了基本初等函数之后的后续内容，是对学生应用函数解决实际问题能力的进一步加强，也是对前面所学的函数知识的一种完善，有助于培养学生的学以致用的数学应用意识，让学生感受到“数学无处不在，数学就在我们生活周围”。

2、教学内容安排本节内容安排两个课时，第一课时：教科书选取了投资回投和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快。

第二课时：注重在知识教学中，让学生经历掌握数学思想和方法的过程，经历进行数学思考的过程，进一步体会到指数函数、对数函数、幂函数的增长差异。

接下来，我将重点说说第一节课的设计，并对整堂课作系统介绍。

3、教学重点、难点第一课时通过问题的提出、模型的建立、问题的解决这一过程展开，因此确定本节课的教学重点为：教学重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

由于学生对从现实生活中发现数学问题，训练较少，加上学生学习的现有函数模型的有限，确定本节课的教学难点为：教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。

而这个难点容易让学生展开讨论、探索、合作交流，加以教师适时点拨、引导来逐步突破。

二、教学目标根据教材和教学大纲要求，确定如下：1、知识目标：能够借助计算器或计算机制作数据表格和函数图象，对几种常见函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解它们的增长差异。

高中数学必修一《几类不同增长的函数模型》优秀教学设计

课题几类不同增长的函数模型课时第一课时一．教材内容分析在必修一的前两章我们学习了函数的概念及性质以及基本初等函数，这一章主要是函数模型的应用。

而这一节主要是从两个实际问题投资方案的选择问题和奖励模型的确定两个具体问题的解决，体会几类不同增长的函数模型。

这一节既是对前面函数概念及性质的综合考察又是后面进一步学习函数模型的基础，起承前启后的作用。

二．学生学情分析通过前两章的学习，学生对函数的性质有了基本掌握，可以解决一些简单问题。

但应用函数模型解决实际问题，以及通过对模型的探究发现几类不同增长的函数模型的增长差异仍然是一个难点。

因此，在教学过程中教师要通过恰当的教学手段和问题串及时恰当的引导学生如何思考。

三．教学目标（一）知识和能力目标：1.能根据实际问题选择恰当的函数模型2.通过对模型进行探究，能体会到不同函数的增长差异：常函数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数急速增长，对数函数缓慢增长。

3.通过对问题的分析掌握：解析式法、列表法、图像法是研究函数模型的基本方法。

（二）过程和方法：在引导学生建立函数模型解决实际问题的过程中，教师采用问题串的形式引导学生思考，同时充分利用信息技术手段通过对图像和表格的分析，了解不同函数模型的增长差异。

（三）情感态度价值观：通过问题的解决让学生体会到数学是有用的，并学会用科学的方法去观察、分析、研究生活中的实际问题，从而提高解决问题的能力。

四．教学重难点（一）教学重点：1.将实际问题转化为数学模型。

2。

通过对模型的探究掌握几类不同增长的函数模型的增长差异：常函数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数急速增长，对数函数缓慢增长。

（二）教学难点：1.如何根据实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决实际问题。

五．教学策略与选择设计根据本节的教学重点及难点的确定，故采取问题启发式、引导探究式的教学策略，并充分利用信息技术手段（几何画板演示函数图像，表格数据分析，计算机计算等信息技术手段），充分突出了教学的重点，以及实现了教学难点的突破。

高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》名师教案及教学反思

高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》名师教案及教学反思高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》名师教案及教学反思高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》教学设计一、教学内容与内容解析几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容.它比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异,并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.对于函数增长的比较分为三个层次：（1）以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差异；（2）采用图、表两种方法比较三个函数（22,2,logxyxyyx===）的增长差异；（3）将结论推广到一般的指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异.其中（1）为第一课时的内容,（2）、（3）为第二课时的内容.学生在本节内容学习之前,已经有了指数函数、对数函数以及幂函数的相关知识,在这里进一步研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用.让学生在应用函数模型的过程中,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异,同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中.二、教学目标与目标解析1．教学目标：（1）借助信息技术,利用函数图像及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异.（2）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.（3）恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）,并借助信息技术解决一些实际问题.（4）在实际问题解决过程中,体会数学的作用与价值,形成分析问题、解决问题的能力.2.教学目标解析：目标（1）、（2）是教学的重点,落实好目标（1）、（2）是实现教学目标（3）、（4）的前提与保证.落实目标（1）、（2）的过程中可以创设问题情景,并通过层层递进的问题串,让学生在不断观察、思考和探究的过程中,弄清几个函数间的增长差异,并培养分析问题、解决问题的能力,实现目标（4）.目标（3）要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标,教学时通过学生自主探究,相互交流,教师适时提问引导,合作完成.另外利用信息技术工具,就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．还使学生接触到更多的数学知识和思想方法.三、教学问题诊断分析2诊断１:本课中,学生对指数爆炸的认识缺乏一定的基础,本课先让学生利用表格读表,并在分析表格的过程中发现要分析增加量,通过数据对指数爆炸有了一种感性认识,再结合图像分析,从感性认识上升到理性认识,实现自我完善.诊断２：在公司奖励模型问题的解决过程中,教材中对判断模型二1log7+=xy是否满足约束条件7log10.25xx+≤是采用了“构造函数的思想方法”,我认为就高一年级学生而言,这种处理方法在理解上会有困难,所以宜采用两种方法进行求解：方法一,利用数形结合,学生能很直观地感受xy25.0=在图像1log7+=xy的上方；有此基础后,再讲解方法二,即“构造函数的思想方法”,通过板书详细分析这一过程,帮助学生对“构造函数的思想方法”留下一个美好又深刻的第一印象.诊断３:本节课教学的内容为教材中的例１、例２,为了激发学生的学习兴趣,并保障课堂的连续性,设计了“大学生自主创业情境”、“公司奖励情境”,可将例题的题意较好地表达出来,并符合学生的认知规律.诊断４:学生在学习时,可能会因更多地关注解决数学计算问题而忽略数学思想的提炼,这个教学问题的解决,需要教师有目的地进行引导.四、教学支持条件１.在进行几类不同增长的函数模型的教学时,学生已经学习了函数概念、表示法及性质,指数函数、对数函数以及幂函数的相关知识,这些内容是学生分析不同函数增长差异的重要条件,因此教学时应予以充分注意,引导学生多进行归纳与概括.２．为了能很好地帮助学生理解、反思学习内容,体会新学知识的要点,教学中需要用函数表格、图象来帮助学生理解分析问题,所以ppt和几何画板是重要的支持条件.教学时充分注意这一条件,不仅可以加强几何直观,节省大量时间用于学生思考,而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析．五、教学设计过程：1.创设情景引入课题[问题1]在日常生活中,增长的话题比比皆是,而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数,那么它们增长的态势是否都一样呢？设计意图：通过提问比较自然地引导学生给出一次函数、指数函数、对数函数、幂函数,同时开门见山,直击主题“增长”,自然引出课题.师生活动：教师提问,学生回答,相互补充,教师点评并板书课题：几类不同增长的函数模型.2.组织引导合作探究同学们,现在越来越多的大学生毕业以后选择了自主创业,将来你们中的一些也可能会办公司,做老板.现在给大家一个模拟的投资情境.案例假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番．请问,你会选择哪种投资方案？[问题2]你会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？请用数学语言呈现你的理由.设计意图：提此问题让学生先选择好解题的依据,是每天回报量还是累计回报量？还让学生找出问题中的数量关系,也就是函数关系.师生活动：(1)教师提问,通过学生讨论,具体计算后让学生说说自己会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？用怎样的方式表达数量关系?学生1：选择累计回报量,用函数解析式表达数量关系；学生2：选择累计回报量,直接用函数图像表达数量关系；学生3：选择每天回报量,先写出函数解析式再用列表的方式表达.(2)教师针对学生的回答,点评指出：选择投资方案的依据是累计回报量,但为了看累计回报量,可以先看每天回报量；另外,用解析式、表格及图像三种方式表达数量关系均可,但表达的同时有所区别：解析式较抽象,图表较直观.(3)教师引导,学生参与并利用计算器得出：1.函数解析式；2.每天回报表；3.结论[问题３]每天回报表（表１）中“…”部分仍是方案三最大吗？设计意图：开始切入主题,通过引导使学生体会到表格中每一列数据增长的速度是不同的,从而使学生关注增加量,列出增加量,引出表２,同时也为累计回报量与每天回报量之间的关系埋下伏笔,进而培养学生分析解决数学问题的能力.4(1)学生思考并回答:我发现到第９天的时候,方案三最多,那么只要方案三数据的增长最快或者说增加量最多,即可解决这一问题.(2)教师适时给出表２,师生共同补充完整表格,让学生初步体会各种函数增长的差异.[问题４]你能根据表２中增加量的数据,概括出这几种常见函数的增长特点吗?设计意图：进一步引导学生关注增加量,感受增长差异,尤其是对“指数爆炸”含义的理解；在与学生交流和解决问题的过程中,使学生体会函数列表法的优点.师生活动：学生回答,教师加以完善.几种常见函数的增长特点：常数函数没有增长,一次函数匀速增长,指数函数爆炸增长.[问题５]通过表格比较了每天回报量的大小,得出相应结论,但这一案例解决完整了吗?设计意图：虽然本节课的主题是研究“增长”,但必须要回归问题本身,选择一个最佳的投资方案.师生活动：教师利用幻灯片快速给出累计回报表(表３),学生根据表3得出相应结论.[问题６]通过列表法己经得出案例的结论及对常见函数增长特点的初步体会,能否通过图像法来进一步认识？请大家画出这三个函数的图像？并根据图像说明结论与增长特点？设计意图：本节课的主要教学任务就是要体会几类不同函数的增长差异.让学生自己去概括总结出从图像上直观体会到的增长特点是本节课的一个重要环节,也作为一种完整的小结.与此同时,5学生良好的画图习惯,遵循列表、描点、连线画图三步骤,以及对函数定义域的关注,从中还能体会到数形结合思想是数学解题的一个重要的思想方法.(1)学生画图,教师纠错得出（图1）:1.函数图像为什么是孤立点？（定义域为N）2.为什么用光滑的虚线连接？（方便看增长趋势）(2)教师用多媒体动画演示连接孤立的点.学生１通过图像得出案例结论:学生２通过图像用不同的语言概括增长特点:常数函数保持不变,一次函数直线上升,指数函数指数爆炸.过渡语:现在你已经建好了公司,公司寻求回报,你的员工也要寻求回报.为了激励员工,你需要对他们实行奖励,你制定了这样一个公司奖励模型.公司奖励模型问题:图1你的公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y（单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：xy25.0=1log7+=xyxy002.1=．其中哪个模型能符合公司的要求？[问题７]大家认真审题,能否用数学符号语言将公司的要求（或条件）描述出来?设计意图：解决实际问题的第一步就是审题,并将之数学化.在此更进一步培养学生解决实际问题的能力.师生活动：个别学生回答,教师在黑板上列出：条件1：[10,1000]x∈；条件2：5y≤；条件3：0.25yx≤；条件４：增函数.[问题８]我们可以如何验证5y≤?设计意图：引导学生如何利用题目条件,从数和形两方面解决数学问题,既巩固应用前面学到的数学方法,又为下面问题的解决提供方向.师生活动：学生思考并个别回答：学生１：根据条件４：增函数,只需验证当1000x=时,5y≤即可,通过计算发现：xy25.0=、xy002.1=都不符,1log7+=xy符合.学生２：通过图像直观观察得出.[问题９]如何验证7log10.25xx+≤?设计意图：在7log10.25xx+≤的验证过程中,始终不脱离本课主题,回归到函数的“增长特征”上去,并充分体现数形结合、构造函数的思想方法.6师生活动:学生思考并个别回答,教师适时提问：(1)学生１:将图像放大后观察函数1log7+=xy与xy25.0=的图像,发现在[10,1000]x∈都(2)在教师的引导下,学生２加以补充．学生２：只需将10x=代入计算,是符合条件的；再结合图像发现直线的增长比对数函数快,对数函数增长较为平缓．所以[10,1000]x∈都满足.(3)教师根据以上学生回答板书方法一：数形结合法令10.25yx=,27log1yx=+当10x=时10.25102.5,y=⨯=27log1010y=+,127771.5log10loglog0yy-=-=>12yy∴>给合图(2)得7log10.25xx+≤对[10,1000]x∈恒成立图2并通过几何画板动画演示BC=12yy-的变化情况,引导学生构造函数.(4)学生三回答,教师继续板书方法二：构造函数法令7()0.25log1,[10,1000]Fxxxx=--∈由图(3)得7()0.25log1Fxxx=--在[10,1000]x∈上单调递增.所以()(10)FxF≤,即7log10.25xx+≤对[10,1000]x∈恒成立图33．总结反思归纳提升[问题１０]通过本节课的学习,你有哪些收获？请你对本节课作一总结.设计意图：归纳总结本节内容.师生活动：学生思考交流,教师帮助总结以下内容：（1）知识：对函数的性质有了解：我们体会到同是增长型函数,但其增长差异却很大:：常数函数没有增长,一次函数直线上升,指数函数爆炸增长,对数函数平缓增长.（2）方法：建模的思想,数形结合思想,构造函数思想等等.六、目标检测设计1.教科书P98,练习１、２7设计意图：让学生巩固函数增长特征这一知识点.2.探究题：请利用计算器或计算机从图、表两方面对函数222,,logxyyxyx===的增长差异进行比较.设计意图:：引出下一课时内容,为下面研究一般指数、对数、幂函数的增长差异奠定了探究的方向.七、教学体会与反思(1)数学问题解决教学应该从创设问题情景开始，本设计的情境创设比较成功.“日常生活中，增长的话题比比皆是，而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数，那么它们增长的态势是否都一样呢？”短短几句话，不但交代了本课的研究主题，而且比较自然地引导学生引出一次函数、指数函数、对数函数、幂函数，开门见山，直击“增长”.实际教学中大多以真实的或虚拟的“生活化”材料为载体创设教学情境，如用教材章头图中的兔子问题或其它情景作为素材,以迎合“能让学生体会到数学源于生活，增长学生的应用意识”，注重“数学教育应该与现实生活密切联系”这一现代教学理念.本课的教学内容是通过两个实际问题解决，让学生体会几类不同类型的函数增长的差异，执教教师就地取材，将书本中的例1为素材得到了一个虚拟的“生活化”材料，教学过程中不但自然地出示了例1，而且激发学生的学习和解决问题的兴趣，为学生的观察、归纳、猜想和证明提供了基础.(2)问题的解决围绕着“弄清问题—拟定计划—实现计划—回顾”进行教学，教学中充分发挥了学生的主体作用.在例题教学中既有动手操作的实践活动，又有动脑思考和数学思维活动.例1的教学过程中，抓隹关键词“回报”，从不同的角度看待回报，让学生辨别“每天回报量”、“累计回报量”；从函数表达的三种不同形式入手，建立函数模型，让学生经历从解析式到表格、图象的全过程.在这个过程中，让学生感受到图表的直观，解析式的抽象.在求累计回报量时，由于学生不会求等比数列的和，选取对函数模型列表计算作出判断和选择，处理有详有略，让学生体会到了常数函数、一次函数与指数型函数的增长差异.例2中在判断是否满足“约束条件7log10.25xx+≤”时，考虑到教课书上介绍的构造函数法学生理解比较困难，教师先用利用数形结合，学生能很直观地感受xy25.0=在图像1log7+=xy的上方，有此基础后，再讲解方法二，即“构造函数法”，通过板书详细分析求解过程，帮助学生对“构造函数法”的理解，给学生留下一个深刻的印象.整个例2教学让学生经历了观察、归纳、猜想、证明的完整过程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.商讨之处：(1)教学内容不能只局限于课本中两个例题,要适当进行拓展延伸,不仅巩固新知,而且让学生感觉数学是有用的,数学就在我们身边.如果对例2进行拓展延伸，效果更佳.如:为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加,要求如下：10万～50万，奖金不超过2万；50万～200万,奖金不超过4万；200万～1000万,奖金不超过20万.请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案.（四人团队合作完成）(2)更加重视与学生合作交流,让学生自己动手操作.例如,原设计中[案例]的列表画图过程,教师可事前设计好两张表格(日回报表和累计回报表)及坐标系,在课堂上由学生两人小组合作完成,再让学生分析表格和图像有哪些区别,既培养学生分析问题、解决问题的能力,又提高了整个课堂的教学效率.(3)更加重视信息技术对课堂教学的作用.例如,原设计中[案例]的图像分析过程,可利用几何画y的变化情况，使教学过程更加生动，从而调动学生的学习积极板动点演示三条曲线的增长快慢和性,更直观地体会到三个函数模型的增长差异.。

高中数学必修一《几类不同增长的函数模型》教案设计

3.2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.知识点一三种函数模型的性质知识点二三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x .题型一函数模型的增长差异例1 (1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y ＝10 000x B.y ＝log 2x C.y ＝x 1 000D.y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：答案 (1)D (2)y 2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x增长速度最快.(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化.反思与感悟在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x . 跟踪训练1 下列函数中，随x 增大而增大速度最快的是( ) A.2 014ln x B.y ＝x 2 014 C.y ＝x2 014D.y ＝2 014·2x答案 D解析由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝2 014·2x 的增长速度最快.故选D.题型二几种函数模型的比较例2 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y (单位：元/102kg)与上市时间x (单位：天)的数据如下表：(1)y 与上市时间x 的变化关系：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ， y ＝a ·b x ，y ＝a log a x .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本. 解 (1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，∴a ≠0，而此时y ＝ax ＋b ，y ＝a ·b x ，y ＝a log a x 均为单调函数，与表中数据不符，因此y ＝ax 2＋bx ＋c ，将三组数据代入得⎩⎪⎨⎪⎧2 500a ＋50b ＋c ＝150，12 100a ＋110b ＋c ＝108，62 500a ＋250b ＋c ＝150，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴描述西红柿种植成本y 与上市时间x 的关系为 y ＝1200x 2－32x ＋4252. (2)当x ＝150时，y min ＝100(元/102kg).反思与感悟 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.跟踪训练2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系？解建立年产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30). (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系.对几种函数的增长趋势把握不准致误例3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).有以下结论：①当x >1时，甲走在最前面； ②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中，正确结论的序号为________.解析四个函数的图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.答案 ③④⑤纠错心得解决这类问题可以作出图象，根据图象特征使问题得解.跟踪训练3 下面对函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )A.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快答案 C解析函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的大致图象如图所示.观察图象，可知函数f (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.函数h (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( ) A.y ＝3x B.y ＝log 3x C.y ＝x 3 D.y ＝3x 答案 D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 2.当a >1时，有下列结论：①指数函数y ＝a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y ＝a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y ＝log a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y ＝log a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 答案 B3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)， ∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象.4.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( ) A.2x ＞x 2＞log 2x B.x 2＞2x ＞log 2x C.2x ＞log 2x ＞x 2 D.x 2＞log 2x ＞2x答案 B解析方法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x 在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x .方法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B.5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________. 答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)解析设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50，∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200).三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快.一、选择题1.下列函数中，增长速度最慢的是( ) A.y ＝6x B.y ＝log 6x C.y ＝x 6 D.y ＝6x 答案 B解析对数函数增长的速度越来越慢，故选B.2.今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，则三年后这种笔记本的价格是( )A.7 200×(13)3B.7 200×(23)3C.7 200×(13)2D.7 200×(23)2答案 B解析由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×13＝7 200×23，两年后，价格为7 200×23×(1－13)＝7 200×(23)2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×(23)3.3.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A.指数函数：y ＝2tB.对数函数：y ＝log 2tC.幂函数：y ＝t 3D.二次函数：y ＝2t 2答案 A解析由题中图象可知，该函数模型为指数函数.4.某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只答案 A解析由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)，得y ＝300.5.向高为H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )答案 B解析取OH 的中点(如图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半.易知B 符合题意.6.若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A.2x ＞x 21＞lg x B.2x ＞lg x ＞x 21 C.x 21＞2x ＞lg x D.x 21＞lg x ＞2x答案 A解析 ∵x ∈(1,2)，∴2x ＞2.∴x 21∈(1，2)，lg x ∈(0,1).∴2x ＞x 21＞lg x . 二、填空题7.三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 的变化情况如表：x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 35.006.106.616.957.207.40其中x 呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________. 答案 y 3 y 2 y 1解析根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y 2随着x 的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y 3随着x 的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y 1相对于y 2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.8.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析由题意得2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 9.若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 中最大的是________. 答案 a x解析由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知a x >x n >log a x . 10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a >0且a ≠1)的图象.有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于15；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________. 答案 ①③解析根据题意，函数的图象经过点(2，49)，故函数为y ＝(23)t .易知①③正确.三、解答题11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1.(1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数. 解 (1)设v ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，v ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2 700，∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位.12.现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数12的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100(个)；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100(个)；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100(个)；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100(个).可归纳出，细胞总数y (个)与时间x (小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x ，x ∈N *.由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个.13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W /m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10lg I 2I 0＝10lg 1＝0(分贝)；耳语的强度水平为L 3＝10lg I 3I 0＝10lg 102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝). (2)由题意知0≤L 1＜50，即0≤10lg I I 0＜50，所以1≤I I 0＜105，即1×10－12≤I ＜1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 的范围为[1×10－12，1×10－7).。

新人教高中数学必修1---几类不同增长的函数模型--说课稿

几类不同增长的函数模型各位老师，大家好！我是第xx组xx号考生，很高兴能够站在这里参加面试，我叫某某，毕业于某某大学某某专业，性格比较开朗，随和，能关心周围的人和事，和亲人朋友能够和睦相处，对生活充满信心，在某某公司从事某某一职，对教师这一职业非常崇敬。

我今天说课的题目是《几类不同增长的函数模型》，下面，我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教学方法、学习方法、教学过程和板书设计等方面进行说课。

一、教材分析本节内容是选自新人教A版高中数学必修1第3章第2节第1部分的内容。

函数模型的应用是函数的重要内容之一，在前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数，本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此本节内容起着承前启后的作用。

本节内容与现实生活联系紧密，它在研究运用函数思想解决现实问题中发挥着巨大的作用。

二、教学目标根据上述对教材的分析，我确定本节课的教学目标为:1、知识与技能目标：、在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题。

2、过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

3、情感、态度与价值观目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度。

[设计意图]：教学目标的设计，要简洁明了，具有较强的可操作性，容易检测目标的达成度，同时也要体现出新课标下对素质教育的要求。

三、重点与难点根据本节课的知识要求和教学目标，本节课的教学重点是：认识常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异；教学难点是：应用函数模型解决简单问题。

，[设计意图]：首先通过教学目标和难重点的展示，让学生明确本节课的任务及精髓，带着目标去学习，才能达到事半功倍的效果。

四、教学方法新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者，基于这一教学理念和本节课的教学目标，我采用如下的教学方法：（1）在教师指导下的引导发现教学法：通过这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力。

【新课标必修一】《3-2-1几类不同增长的函数模型(1)》教学案例

课题几类不同增长的函数模型（1）教学目标：1. 能够找出简单实际问题中的函数关系式，2. 初步体会应用函数模型解决实际问题.3. 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.4．进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.体会函数模型在数学和其他学科中的重要性.5.体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.教学重点难点：1．重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题..2．难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.教法与学法：1．教法选择：在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合2．学法指导：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.教学过程：一、设置情境，激发探索点作铺垫⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.生分析问题的能力虑问题的思路.实验探索辨析研讨①总价等于单价与数量的积.②面积等于边长的平方.③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象.⑤引导学生回忆学过的函数模型.⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.⑦让学生自己比较并体会.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x 1 2 3 4 5 6y=x 1 2 3 4 5 6y=x2 1 4 9 16 25 36y=(1+5%)x 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.图3-2-1-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=ka x+b(指数型).⑥从表格和图象得出它们都为增函数.⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数.引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程倡导学生合作学习，让学生体验成功的快乐。

高中数学必修一第三章教学设计 3几类不同增长的函数模型

课题：几类不同增长的函数模型
授课时间：
教学目标
知识与技能
结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解他们的增长差异性。

方法与过程
能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长情况进行比较。

情感、态度与价值观
体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

重点难点
重点：将现实问题转化为函数模型，体验增长。

难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。

教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体。

高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案新人教版必修1

高中数学几类不一样增添的函数模型教课设计新人教版必修1教学目标：知识与技术：联合实例领会直线上涨、指数爆炸、对数增添等不一样增添的函数模型意义，理解它们的增添差别性．过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常有增添种类的函数的增添情况进行比较，初步领会它们的增添差别性；采集一些社会生活中广泛使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），认识函数模型的宽泛应用．感情、态度、价值观：体验函数是描绘宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的亲密联系及其在刻画现实问题中的作用．教课要点：要点：将本质问题转变为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增添差别，联合实例领会直线上涨、指数爆炸、对数增添等不一样函数种类增添的含义．难点：如何选择数学模型剖析解决本质问题．一、新课导入：资料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、玩耍的兔子，可是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859 年，有人从欧洲带进澳洲几个兔子，因为澳洲有旺盛的牧草，并且没有兔子的天敌，兔子数目不停增添，不到100 年，兔子们占据了整个澳大利亚，数目达到75 亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜．这使澳大利亚头痛不已，他们采纳各样方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年月，科学家采纳载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人材算松了一口气．二、师生互动，新课解说：例 1（课本 P95 例 1），假定你有一笔资本用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报以下：方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报10 元，此后每天比前一天多回报10 元；方案三：第一天回报0 .4元，此后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪一种投资方案？研究：1）在本例中波及哪些数目关系？如何用函数描绘这些数目关系？2）剖析解答（略）（见 P95--97 ）3）依据例 1 表格中所供给的数据，你对三种方案分别表现出的回报资本的增添差别有什么认识？例 2：（课本 P97 例 2）某公司为了实现1000 万元收益的目标，准备拟订一个激励销售部门的奖赏方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售收益进行奖赏，且奖金y（单位：万元）随销售收益x（单位：万元）的增添而增添但奖金不超出 5 万元，同时奖金不超出收益的25%．现有三个奖赏模型：y log 7 x 1 y 1.002 x．问：此中哪个模型能切合公司的要求？研究：1）本例波及了哪几类函数模型？2）本例的本质是什么？3）你能依据问题中的数据，判断所给的奖赏模型能否切合公司要求吗？解答：（课本 P97— 98）幂函数、指数函数、对数函数的增添差别剖析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数yx n (n 0) 、指数函数 y a x (a 1) 、对数函数)讲堂练习：（课本 P98 练习NO ：1； 2）例 3．某农家旅行公司有客房300 间，每间日房租为20 元，每天都客满．公司欲提升品位，并提升租金，假如每间客房每天增添 2 元，客房出租数就会减少10 间．若不考虑其余要素，旅社将房间租金提升到多少时，每天客房的租金总收入最高？研究：1）本例波及到哪些数目关系？2）应用如何选用变量，其取值范围又如何？3）应入选用何种函数模型来描绘所选变量的关系？4）“总收入最高”的数学含义如何理解？[略解：]设客房日租金每间提升x 个2元，则每天客房出租数为300-10 x，由 x >0，且300-10 x >0得：0< x <30设客房租金总收入元，则有：老派y (20 2x)(300 10x)20( x 10) 2 8000 （ 0< x <30）由二次函数性质可知当x =10 时，y max=8000．因此当每间客房日租金提升到20+10× 2=40 元时，客户租金总收入最高，为每天8000 元．三、讲堂小结，稳固反省三种函数模型的性质函数x ( a>1) y＝log x( a>1) ny＝ a y＝ x ( n>0)性质 a在(0 ，＋∞) 上的增减增函数增函数性增函数图象的变化随 x 的增大渐渐变随 x 的增大渐渐趋于稳随 n 值而不一样“陡”定四、部署作业：A 组：1、一公顷地等于一百五十亩，某外资公司在 A 开发区租借 x 公顷，则合多少亩地？解答：设 x 公顷合 y 亩地，则有函数关系y＝ 150x（ x＞ 0）评注：这是一个惯例的换算问题，而在我们所学的内容中恰巧是一个函数问题，由此能够理解好多换算问题都是一种惯例的函数关系。

人教版高中数学必修一教材《几种不同增长的函数模型》教案

§3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教学目标:1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2.过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、教学重点、难点：1.教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、学法与教学用具：1.学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1. 观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2. 作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

人教课标版高中数学必修一《几类不同增长的函数模型(第1课时)》教案-新版

3.2.1几种不同增长的函数模型第一课时一、教学目标（一）核心素养本节课主要是在指、对函数及幂函数的概念和性质的基础上，进一步加以研究的.在实际的问题中，体验函数模型的实际应用，对比分析具体的函数模型.通过对“指数爆炸”和“直线上升”等函数的感性认识，提高数学探究能力、数学建模能力和数形结合的能力.（二）学习目标1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2．理借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3．体验指、对函数等与现实的密切联系，和在刻画现实问题中的作用.（三）学习重点1.将实际问题转化为函数模型.2.比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异.3.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.（四）学习难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务读一读：阅读教材第95页至第98页，找出疑惑之处：阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 2．预习自测（1）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（） A ．12+=x y B ．12-=x y C ．x y 2= D ．x y 2= 【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.【解题过程】由题知，细胞每次分裂后，数目都变为原来的2倍.故x 次分裂后，细胞个数为1222+=⨯=x x y .故选A.【思路点拨】细胞每次分裂后，数目都变为原来的2倍．【答案】A（2）某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用（）A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数【知识点】函数模型的选择与应用.【解题过程】由题意知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数函数模型来建立函数模型.【思路点拨】明确一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数的图象变化特点. 【答案】D（3）一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（） A ．）10(220≤-=x x y B ．）10(220<-=x x y C ．）105(220≤≤-=x x y D ．）105(220<<-=x x y 【知识点】一次函数的性质与图象.【解题过程】等腰三角形周长为202=+=y x C ，得x y 220-=.根据三角形的基本性质——两边之和大于第三边，x x x y 2=+<即x x 2220<-，可得5>x .又,0220>-=x y 得10<x . 【思路点拨】本题主要考查函数的建构．【答案】D（4）某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售800台，则销量y 与投放市场的月数x 之间的关系可写成（）A ．x y 100=B ．10050502+-=x x yC ．x y 250⨯=D ．100log 1002+=x y 【知识点】根据实际问题选择函数类型. 【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】将4=x 代入A 得400=y 不满足;将4=x 带入B 得700=y 不满足;将4=x 代入D 得300=y 不满足;将4=x 带入C 得800=y 满足，且当321、、=x 时也满足，所以选C. 【思路点拨】将数据与选项结合，并利用排除法求解．【答案】C (二)课堂设计 1．知识回顾（1）一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量,函数的定义域是R.（2）一般地，把函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数（logarithmic function ），其中x 是自变量,函数的定义域是（0，∞+）.（3）一般地，函数αx y =叫幂函数（power function ），其中x 是自变量,α是常数. 2．问题探究探究一回顾旧知，提出新问 ●活动① 回顾三类重要的函数问题：上一章我们学习了函数的“三巨头”，它们分别是哪三个呢？它们分别是指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且，对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且，以及幂函数αx y =.【设计意图】检验学生上章的掌握情况，并为后续函数模型的建立和应用做好铺垫. ●活动② 回顾解决应用题的一般程序问题：解决应用题的一般程序是什么？①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；【设计意图】回顾解决应用题的一般程序，可以使学生在面临接下来的实际问题时有非常清晰的思路.探究二探究常数函数、一次函数、指数函数三种不同类型的函数模型★▲ ●活动① 创设情境，提出问题假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？【设计意图】结合学生已有知识经验，通过生活中的一个实际问题激发学生的求知欲． ●活动② 互动交流，初步实践提出问题后，让学生尝试解决应用题的三部曲——审题、建模、解模. 设第x 天所得回报为y 元，则方案一：每天回报40元：)(40*N x y ∈=；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元：)(10*N x x y ∈=；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番：)(24.0*1N x y x ∈⨯=-. 【设计意图】学以致用，一方面可以加深学生对所学知识的理解，另一方面可以培养学生善于思考和解决实际问题的能力．活动③ 师生合作，突破重点为了选择投资方案，需要在建立三种投资方案对应的涵数模型基础上，再比较它们的增长情况，因此，可以先用计算器或计算机计算三种方案所得汇报的增长情况，并用表格表示.再做出三个函数的图像：问题：根据累计回报数的表格和图象所给的信息，请问，你会选择哪种投资方案？（让学生分小组讨论，并汇报小组结论）【设计意图】函数图象是分析问题的好帮手.培养学生学会数形结合，通过分析，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快.对 “指数爆炸” 有一个感性认识；通这这样，突破本节课的重点. 探究三实例应用，巩固提高★▲ ●活动1例1有一组实验数据如下表所示：A ．)1(log >=a x y aB ．)1(>+=a b ax yC ．)0(2>+=a b ax yD ．)1(log >+=a b x y a【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异值【数学思想】数形结合思想.【解题过程】通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，而B 中的函数增长速度保持不变，故选C.【思路点拨】结合表中的数据和选项中的函数增长特点，对比排除．【答案】C同类训练以下是三个变量1y ，2y ，3y 随变量x 变化的函数值表：其中，关于x 呈指数函数变化的函数是____________________．【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异值. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】从表格可以看出，三个变量1y ，2y ，3y 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量1y 的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量1y 呈指数函数变化，故填1y . 【思路点拨】通过画函数图像即可解决．【答案】1y【设计意图】再次加深学生对函数模型的理解，逐步体会如何选择恰当的函数模型来刻画简单的实际问题. ●活动2例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：x y 25.0=；1log 7+=x y ；x y 002.1=. 问：其中哪个模型能符合公司的要求？【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异值. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可.作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果.【思路点拨】明确该问题中涉及了哪几类函数模型，并挖掘出判定所给的奖励模型是否符合公司要求的实质，最后根据函数模型及其图像分析即可. 【答案】1log 7+=x y 符合公司要求.同类训练电信局为了满足客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如下图所示(其中MN ∥CD)．(1)分别求出方案A 、B 应付话费(元)与通话时间x (分钟)的函数表达式)(x f 和)(x g ； (2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A 、B 两种优惠方案的？并说明理由．【知识点】一次函数的性质与图象．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想.【解题过程】由图可得⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤=.100,10103,1000,20)(x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤=.500,1001035000,50)(x x x x g当)()(x g x f =时，5010103=-x ，即200=x .所以，当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为2000≤≤x 分钟时，)()(x f x g >，故选择方案A ；当客户通话时间为200>x 分钟时，)()(x f x g <，故选方案B.【思路点拨】根据图像即可求得)(x f 和)(x g 的解析式，再求出)()(x g x f =的解，即可得出选择方案.【答案】（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤=.100,10103,1000,20)(x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤=.500,1001035000,50)(x x x x g （2）当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为2000≤≤x 分钟时，)()(x f x g >，故选择方案A ；当客户通话时间为200>x 分钟时，)()(x f x g <，故选方案B.【设计意图】培养学生学会数形结合，列出函数表达式.利用图象从整体上把握不同的函数模型的增长，为方案选择提供依据.培养学生分析整理数据并根据其中的信息做出推理判断的能力． ●活动3例3 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数),,(为常数c b a c ab y x +=．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异值. 【数学思想】化归与转化思想．【解题过程】设两个函数：)0()(21≠++==p r qx px x f y ，c ab x g y x +==)(2.依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=.3.139)3(,2.124)2(,1)1(r q p f r q p f r q p f 解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=.7.0,35.0,05.0r q p所以，7.035.005.0)(21++-==x x x f y ,)(3.1)4(万件=f .依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=+==+==+=3.1)3(2.1)2(1)1(32c ab g c ab g c ab g ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=.4.1,5.0,8.0c b a所以，4.15.08.0)(2+⨯-==x x g y ，)(35.14.15.08.0)4(4万件=+⨯-=g .经比较，)(35.1)4(万件=g 比)(3.1)4(万件=f 更接近于4月份的产量1.37万件．所以，选4.15.08.0)(2+⨯-==x x g y 作为模拟函数较好．【思路点拨】先应用待定系数法分别求得)(x f 和)(x g 的解析式,再将4=x 分别带入)(x f 和)(x g 比较大小【答案】选4.15.08.0)(2+⨯-==x x g y 作为模拟函数较好.同类训练为了发展电信事业，方便用户，某电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月的通话时间x （分）与通话费y （元）的关系如图所示．（1）分别求出通话费21,y y 与通话时间x 之间的函数关系式；（2）根据用户的使用情况，试分析在一个月内使用哪种卡便宜．【知识点】一次函数的性质与图像.【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】（1）由题中图像可设2911+=x k y ，x k y 22=，把点B （30,35），C （30,15）分别代入21,y y 得511=k ，212=k .所以，29511+=x y ，x y 212=.（2）当3296=x 时，21y y =，两种卡收费一致；当3296<x 时，21y y >，即如意卡便宜；当3296>x 时，21y y <，即便民卡便宜．【思路点拨】先应用待定系数法分别求得21,y y 的解析式,再分情况讨论21,y y 的大小. 【答案】（1）29511+=x y ，x y 212=. （2）当3296=x 时，21y y =，两种卡收费一致；当3296<x 时，21y y >，即如意卡便宜；当3296>x 时，21y y <，即便民卡便宜．【设计意图】进一步培养数形结合的能力，锻炼分类讨论问题的能力．3.课堂总结知识梳理（1）两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；（2）几种函数模型：常数函数、一次函数、对数函数、指数函数；（3）应用建模（函数模型）；重难点归纳（三）课后作业基础型自主突破1．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )【知识点】一次函数的性质与图像．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】根据题意可得函数解析式为204,[0,5],=-∈其图像应为C.s t t【思路点拨】根据函数图像列出解析式．【答案】C2．按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息4.14%，零存每月利息0.60%，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币( )A ．5.3%)14.41(2+⨯万元B ．63%)60.01(%)14.41(2+⨯+⨯万元C ．5%60.02%)14.41(23⨯⨯++⨯万元D ．633%)60.01(%)14.41(2%)14.41(2+⨯+⨯++⨯万元【知识点】指数函数的图像与性质.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息4.14%计算，而半年按6个月(月息0.60%)计算，又由于是复利问题，故只有选B.【思路点拨】结合生活实际，注意3年半应该分为3年的年息和6个月的月息.【答案】B3.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润．该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．【知识点】集合的表示法、子集与真子集.一次函数的性质与图象．【解题过程】对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获得最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的23倍时可获得最大利润．此时共获利24×0.4＋36×0.6＝31.2(万元)．【思路点拨】先分析甲乙项目各投资多少时，才使得所获利润最大，再算出最大利润．【答案】31.2．4．已知c bx x x f +-=2)(且3)0(=f ,)1()1(x f x f -=+，则有( )A ．)()(x x c f b f ≥B ．)()(x x c f b f ≤C ．)()(x x c f b f <D ．)(),(x x c f b f 大小不定【知识点】二次函数的性质.【解题过程】由)1()1(x f x f -=+，知对称轴.2,12==b b 由3)0(=f ，知3=c .此时32)(2+-=x x x f .当0<x 时，123<<x x ，函数)(x f y =在)1,(-∞∈x 上是减函数，)()(x x c f b f <；当0=x 时，)()(x x c f b f =；当0>x 时，123>>x x ，函数)(x f y =在),0(+∞∈x 上是增函数，)()(x x c f b f <．综上，)()(x x c f b f ≤．【思路点拨】先根据函数的对称性及3)0(=f 求出该函数的表达式并分析它的单调性，在比较)()(x x c f b f 和的大小．【答案】B5.如右图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，以△APM 的面积为函数值的函数的图象大致是()【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【数学思想】数形结合思想【解题过程】如题图所示，当10≤≤x 时，x x y 21121=⋅⋅=；当21≤<x 时，434141)2(41)1(211+-=-----=x x x y ；当5.22≤<x 时，x x y 21451)25(21-=⨯-=. 故⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤<+-≤≤=.5.22,4521,21,434110,21x x x x x x y 选A. 【思路点拨】根据左边的图形列出分段函数，再根据函数解析式画出图形．【答案】A ．6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为2115.006.5x x l -=和x l 22=，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51【知识点】二次函数在闭区间上的最值．【解题过程】设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售()x -15辆．由题意可知所获利润为606.45)2.10(15.0)15(215.006.522+--=-+-=x x x x l .当10=x 时，)(6.45max 万元≈l ．【思路点拨】先根据题意列出函数解析式，再利用配方法求出函数的最大值.【答案】B能力型师生共研7.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．【知识点】幂函数的图像．【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由]3,0[∈t 的图象联想到幂函数)10(<<=ααx y ，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由]8,3[∈t 的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．【思路点拨】结合图像的特点和选项选出正确的结果.【答案】②③8．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知210151000x x P ++=，bx a Q +=，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数b a 、的值．【知识点】二次函数的性质、二次函数的最值．【解题过程】设利润为y 元，则1000)5(1011)1051000()(22--+-=++-+=-⋅=x a x b x x x b x a P x Q y ）（依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==---.15040,150)1011(25b a b a 化简得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.40150,35300b a b a 解得⎩⎨⎧-==.30,45b a 即实数b a 、的值分别为45，－30.【思路点拨】列出利润与产量的函数关系式，再根据产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元两个条件求得．【答案】,45=a 30-=b .探究型多维突破9. 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y (单位：亿)．(1)求y 与x 的函数关系式)(x f y =；(2)求函数)(x f y =的定义域；(3)判断函数)(x f 是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．【知识点】指数型复合函数的性质及应用．【数学思想】函数思想．【解题过程】(1)1999年底人口数：13亿．经过1年，2000年底人口数：%)11(13%11313+⨯=⨯+亿．经过2年，2001年底人口数：2%)11(13%1%)11(13%)11(13+⨯=⨯+⨯++⨯亿．经过3年，2002年底人口数：322%)11(13%1%)11(13%)11(13+⨯=⨯+⨯++⨯亿．…因为经过的年数与%)11(+的指数相同，所以经过x 年后人口数为x %)11(13+⨯亿，即x x f y %)11(13)(+⨯==.(2)因为此问题以年作为单位时间，所以*N x ∈是此函数的定义域．(3)因为x x f y %)11(13)(+⨯==，,1%11>+013>，所以x x f y %)11(13)(+⨯==是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．【思路点拨】先写出经过1年、2年、3年，我国的人口数，再以此类推到经过x 年后我国的人数．【答案】（1）x x f y %)11(13)(+⨯== （2）*N x ∈ （3）x x f y %)11(13)(+⨯==是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．10．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x 分钟，两种通讯业务的费用分别为1y 元2y 元，那么（1）写出1y 、2y 的函数关系式；（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；（3）求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；（4）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.【知识点】集合的相等、集合关系中的参数取值问题．一次函数的性质与图象【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）设y 1代表全球通话费，y 2代表神州行话费，x 代表通话分钟.根据题意可得y 是关于x 的一次函数，实际生活中通话分钟数大于等于0，所以x 的取值范围x ≥0)0(4.0501≥+=x x y ，)0(6.02≥=x x y .（2）（3）根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.（4）当通话费为200元时，由图象可知，1y 所对应的自变量的值大于2y 所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.当2001=y 时有200504.0=+x ，所以;3751=x 当2002=y 时有2006.0=x ，310002=x ，显然31000375>.所以，若某人预计一个月内使用话费200元，应选择全球通较合算. 【思路点拨】我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.（1）全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；（2）运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；（3）可利用方程组求解，也可以根据图象回答；（4）求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.【答案】（1）)0(4.0501≥+=x x y ，)0(6.02≥=x x y .（2）（3）一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.（4）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择全球通较合算.自助餐1．一种单细胞生物以一分为二的方式进行繁殖，每三分钟分裂一次，假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中，恰好一小时这种细胞充满容器，假设开始将两个细胞放入容器，同样充满容器时间是( )A ．27分钟B ．30分钟C ．45分钟D ．57分钟【知识点】指数型复合函数的性质及应用．【解题过程】设需要经过x 分钟，由203222=⨯x ，得57=x (分钟)．【思路点拨】细胞增长是一个指数函数模型．【答案】D ．2．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润率由原来的%r 增加到)%10(+r ，那么r 的值等于( )A ．12B ．15C ．25D ．50【知识点】函数与方程的综合运用．【数学思想】【解题过程】销售利润率＝销售价－进价进价×100%. 设销售价为y ，进价为x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⨯---=⨯-)%.10(%100%)81(%)81(%,%100r x x y r x x y 解得,15=r 选B. 【思路点拨】根据销售利润的表达式列方程组求出r ．【答案】B3.某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式为( )A ．)40000(2.0≤≤=x x yB ．)40000(5.0≤≤=x x yC ．)40000(12001.0≤≤+-=x x yD ．)40000(12001.0≤≤+=x x y【知识点】一次函数的性质与图象．【解题过程】12001.0)4000(3.02.0+-=-⨯+=x x x y ）（40000≤≤x ．【思路点拨】根据总存车费等于普通车存车费与变速车存车费之和求解．【答案】C4.表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．【知识点】一次函数的性质与图象、分段函数的应用．【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．【思路点拨】将选项和图像结合，一一检验．【答案】①②③5．商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店推出两种优惠办法：①买一个茶壶送一个茶杯；②按购买总价的92%付款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x 个，付款为y (元)，试分别写出两种优惠办法中的y 与x 的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？【知识点】一次函数的性质与图象.【解题过程】由优惠办法①得函数关系式为605)4(54201+=-+⨯=x x y （*∈≥N x x ,4）. 由优惠办法②得函数关系式为),4(6.736.4%92)5420(2*∈≥+=⨯+⨯=N x x x x y ．当顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款)(260604051元=+⨯=y ；采用优惠办法②应付款)(6.2576.73406.42元=+⨯=y ;由于12y y <，因此应选择优惠办法②.【思路点拨】先写出方案①、②函数关系式，再将40代入这两个函数关系式进行比较．【答案】应选择优惠办法②．6．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨)0%(>x x ，销售数量就减少%kx (其中k 为正常数).目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个.（1）当21=k 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？（2）在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k 的取值范围.【知识点】二次函数的性质．【解题过程】依题意，价格上涨)0%(>x x 后，销售总金额为]10000)1(100[10000%)1(%)1(2+-+-=-⋅⋅+⋅=x k kx ab kx b x a y . （1）取21=k ,)100005021(100002++-=x x ab y ,则50=x ,即商品价格上涨50%，=max y ab 89. （2）]10000)1(100[10000%)1(%)1(2+-+-=-⋅⋅+⋅=x k kx ab kx b x a y ,此二次函数的开口向下，对称轴为kk x )1(50-=，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{}0|>x x 的一个子集内增大时，y 也增大.所以0)1(50>-k k ,解得10<<k .【思路点拨】根据题意列出函数表达式，当21=k 时，用配方法求得它的最大值.第二问通过分析二次函数的单调性，求解k 的取值范围．【答案】（1）上涨50%.（2）10<<k .。

高中人教版数学必修一《几类不同增长的函数模型》教案

3.2.1几类不同增长的函数模型教案教学目标知识与技能掌握指数函数、对数函数以及幂函数等的图象和性质，会比较它们的增长差异。

过程与方法通过比较上面几类函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。

情感、态度与价值观提高学生的观察、分析、比较能力，以及总结的能力，培养数学思维的逻辑性。

教学重点与难点：利用函数模型分析问题。

教学过程设计第一课时一、材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋。

1859年，有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲，由于澳洲茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只。

可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。

这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。

二、例题分析例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？分析：问题1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？问题2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？解：设第x 天所得回报是y 元，方案一可以用函数40(*)y x N =∈进行描述；确实能符合公司的要求。

数学高一-3.6-1《几类不同增长的函数模型》学案(必修1)

几类不同增长的函数模型（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。

教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。

建立实际问题的函数模型是难点。

教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。

投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。

再看累计回报数表P114。

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。

例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。

现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝xlog＋1，y＝1.002x。

其中哪个模型2能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。

不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。

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最新整理高一数学教案高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》名师教案及教学反思高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》教学设计
一、教学内容与内容解析
几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容.它比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异,并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
对于函数增长的比较分为三个层次：（1）以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差异；（2）采用图、表两种方法比较三个函数（22,2,logxyxyyx===）的增长差异；（3）将结论推广到一般的指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异.
其中（1）为第一课时的内容,（2）、（3）为第二课时的内容.
学生在本节内容学习之前,已经有了指数函数、对数函数以及幂函数的相关知识,在这里进一步研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用.让学生在应用函数模型的过程中,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异,同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中.
二、教学目标与目标解析
1．教学目标：
（1）借助信息技术,利用函数图像及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异.
（2）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
（3）恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）,并借助信息技术解决一些实际问题.
（4）在实际问题解决过程中,体会数学的作用与价值,形成分析问题、解决问题的能力.
2.教学目标解析：
目标（1）、（2）是教学的重点,落实好目标（1）、（2）是实现教学目标（3）、（4）的前提与保证.
落实目标（1）、（2）的过程中可以创设问题情景,并通过层层递进的问题串,让学生在不断观察、思考和探究的过程中,弄清几个函数间的增长差异,并培养分析问题、解决问题的能力,实现目标
（4）.
目标（3）要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标,教学时通过学生自主探究,相互交流,教师适时提问引导,合作完成.另外利用信息技术工具,就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．还使学生接触到更多的数学知识和思想方法.
三、教学问题诊断分析
2诊断１:本课中,学生对指数爆炸的认识缺乏一定的基础,本课先让学生利用表格读表,并在分析表格的过程中发现要分析增加量,通过数据对指数爆炸有了一种感性认识,再结合图像分析,从感性认识上升到理性认识,实现自我完善.
诊断２：在公司奖励模型问题的解决过程中,教材中对判断模型二1log7+=xy是否满足约束条件7log10.25xx+≤是采用了“构造函数的思想方法”,我认为就高一年级学生而言,这种处理方法在理解上会有困难,所以宜采用两种方法进行求解：方法一,利用数形结合,学生能很直观地感受xy25.0=在图像
1log7+=xy的上方；有此基础后,再讲解方法二,即“构造函数的思想方法”,通过板书详细分析这一过程,帮助学生对“构造函数的思想方法”留下一个美好又深刻的第一印象.
诊断３:本节课教学的内容为教材中的例１、例２,为了激发学生的学习兴趣,并保障课堂的连续性,设计了“大学生自主创业情境”、“公司奖励情境”,可将例题的题意较好地表达出来,并符合学生的认知规律.
诊断４:学生在学习时,可能会因更多地关注解决数学计算问题而忽略数学思想的提炼,这个教学问题的解决,需要教师有目的地进行引导.
四、教学支持条件
１.在进行几类不同增长的函数模型的教学时,学生已经学习了函数概念、表示法及性质,指数函数、对数函数以及幂函数的相关知识,这些内容是学生分析不同函数增长差异的重要条件,因此教学时应予以充分注意,引导学生多进行归纳与概括.
２．为了能很好地帮助学生理解、反思学习内容,体会新学知识的要点,教学中需要用函数表格、图象来帮助学生理解分析问题,所以ppt和几何画板是重要的支持条件.教学时充分注意这一条件,不仅可以加强几何直观,节省大量时间用于学生思考,而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析．
五、教学设计过程：
1.创设情景引入课题
[问题1]在日常生活中,增长的话题比比皆是,而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数,那么它们增长的态势是否都一样呢？
设计意图：通过提问比较自然地引导学生给出一次函数、指数函数、对数函
数、幂函数,同时开门见山,直击主题“增长”,自然引出课题.
师生活动：教师提问,学生回答,相互补充,教师点评并板书课题：几类不同增长的函数模型.
2.组织引导合作探究
同学们,现在越来越多的大学生毕业以后选择了自主创业,将来你们中的一些也可能会办公司,做老板.现在给大家一个模拟的投资情境.
案例假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番．
请问,你会选择哪种投资方案？
[问题2]你会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？请用数学语言呈现你的理由.
设计意图：提此问题让学生先选择好解题的依据,是每天回报量还是累计回报量？还让学生找出问题中的数量关系,也就是函数关系.
师生活动：
(1)教师提问,通过学生讨论,具体计算后让学生说说自己会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？用怎样的方式表达数量关系?
学生1：选择累计回报量,用函数解析式表达数量关系；
学生2：选择累计回报量,直接用函数图像表达数量关系；
学生3：选择每天回报量,先写出函数解析式再用列表的方式表达.
(2)教师针对学生的回答,点评指出：选择投资方案的依据是累计回报量,但为了看累计回报量,可以先看每天回报量；另外,用解析式、表格及图像三种方式
表达数量关系均可,但表达的同时有所区别：解析式较抽象,图表较直观.
(3)教师引导,学生参与并利用计算器得出：1.函数解析式；2.每天回报表；
3.结论
表１
[问题３]每天回报表（表１）中“…”部分仍是方案三最大吗？
设计意图：开始切入主题,通过引导使学生体会到表格中每一列数据增长的速度是不同的,从而使学生关注增加量,列出增加量,引出表２,同时也为累计回报量与每天回报量之间的关系埋下伏笔,进而培养学生分析解决数学问题的能力.
师生活动：
4(1)学生思考并回答:我发现到第９天的时候,方案三最多,那么只要方案三数据的增长最快或者说增加量最多,即可解决这一问题.
(2)教师适时给出表２,师生共同补充完整表格,让学生初步体会各种函数增长的差异.
表２
[问题４]你能根据表２中增加量的数据,概括出这几种常见函数的增长特点吗?
设计意图：进一步引导学生关注增加量,感受增长差异,尤其是对“指数爆炸”含义的理解；在与学生交流和解决问题的过程中,使学生体会函数列表法的优点.
师生活动：学生回答,教师加以完善.
几种常见函数的增长特点：常数函数没有增长,一次函数匀速增长,指数函数爆炸增长.
[问题５]通过表格比较了每天回报量的大小,得出相应结论,但这一案例解。