材料力学习题及答案

r=
σ max = σ
3点
σ min = σ sin 60o =
3 σ 2
r = sin 60o = 0.866
5
B
a
C
v 2 Δ st v2 ⋅ Δ st = = Δ0 g Δ st g
g EIg = Δ0 Δ st 2Qa 3
v = Δ0
v A
2Qa
Qa
Qa
B
2Q
C
Q 2Q
2
材料力学作业（十一）
动载荷与交变应力
四、圆轴直径 d = 60 mm ，l = 2 m ，左端固定，右端有一直径 D = 400 mm 的鼓轮。 轮上绕以钢绳，绳的端点 A 悬挂吊盘。绳长 l1 = 10 m ，横截面面积 A = 120 mm 2 ， E = 200 GPa 。轴的切变模量 G = 80 GPa 。重量 Q = 800 N 的物块自 h = 200 mm 处落于 吊盘上，试求轴内最大切应力和绳内最大正应力。
v
Δ st =
1 ⎧⎛ 1 ⎞ 2 ⎛1 ⎞ ⎛2 ⎞⎫ ⎨⎜ Qa ⋅ a ⎟ ⋅ a ⋅ 2 + ⎜ ⋅ 2Qa ⋅ a ⎟ ⋅ ⎜ ⋅ 2a ⎟ ⎬ EI ⎩⎝ 2 ⎠ 3 ⎝2 ⎠ ⎝3 ⎠⎭
Q
A
a
a
2Qa 3 = (→) EI v2 Kd = g Δ st
由题意，知 Δ dA = K d ⋅ Δ st = Δ 0 即
材料力学作业（十一）
动载荷与交变应力
一、长度为 l ，重量为 G ，横截面面积为 A 的均质等直杆，放置在光滑水平面上， 杆的两端受轴向力 F1 和 F2 作用， 且 F2 > F1 。 试求杆内的正应力沿杆长的变化规律及其 最大正应力。 l
F1
G a = F2 − F1 g xG Fg = a= l g ∴a = F2 − F1 g G
A 点 σ m = 0 σ a = 400 MPa B点 C点 D点 G点
r = −1 σm = σa r =0 σ m = 900 MPa σ a = 0 r =1 σm = σa r =0 σ m = 500 MPa σ a = 100 MPa
100
0
450
G
500
C σ m (MPa) 900
3 −1 3 +1
的持久极
1− r 1 tgα = = ∴α = 30o 1+ r 3 σ m = 500 MPa σ a = 280 MPa σ r = σ m + σ a = 780 MPa
σ a (MPa )
600
400 200
0
α = 30oBiblioteka 200 400 600σ m (MPa )
800
六、求图示交变应力的循环特征 r ，应力幅 σ a 和平均应力 σ m 。
设轴内最大切应力 τ d max
Tmax = 80.8 MPa Wt 设绳子内最大正应力为 σ d max Q σ d max = K d = 142.8 MPa A
τ d max = K d
3
材料力学作业（十一）
动载荷与交变应力
五、已知某钢材的持久极限曲线如图示，试求对应于循环特征 r = 限并绘出材料的简化持久极限曲线。
Δ st = =
Ql1 D QDl + ⋅ EA 2 2GI p
800 × 10 800 × 0.2 × 2 × 32 + 0.2 × −6 9 200 × 10 ×120 × 10 80 × 109 × π × 0.064 = 0.962 mm 2h = 21.42 Δ st
Kd = 1 + 1 +
σ max = 600 MPa
500 − 100 2 = 500 + 100 3 八、重物通过轴承对圆轴作用一垂直方向的力，而轴在 ± 30 0 范围内往复摆动。试 求危险截面上的点 1、2、3 的应力变化的循环特征。 M G × 200 Ga = = σ= 30 0 30 0 W 2W 2W φ 40 1 点 σ max = −σ min 1 r = −1 30 0 2 3 3 o 200 200 σ max = σ sin 60 = σ 2点 2 σ min = 0 G r =0
σ(MPa)
120
t
40
σ max = 120 MPa σ 1 r = max = − 3 σ min
σ min = −40 MPa
1 2 1 σ m = (σ max + σ min ) = 40 MPa 2
σ a = (σ max − σ min ) = 80 MPa
4
材料力学作业（十一）
动载荷与交变应力
h
Q
Q h
l h
h
l
(a)
(b)
K =
a d
v2 = g Δ st
2 gh 2h = g Δ st Δ st
b Kd = 1+ 1+
2h Δ st
b a 故 Kd > Kd
所以 a 更安全
1
材料力学作业（十一）
动载荷与交变应力
三、重 Q 的物体水平冲击到图示结构的 A 点。各杆段的抗弯刚度皆为 EI ，且重力加速 度 g 已知。若使 A 点的水平位移等于 Δ 0 ，则冲击速度 v 等于多少？ 支反力和弯矩图如图
七、在图示的材料持久极限曲线中，求出 A 、 B 、 C 、 D 、 G 点的循环特征 r 并 求出 G 点的 σ max 。 σ a (MPa) 1 σ m = (σ max + σ min ) A 2 400 B 1 σ a = (σ max − σ min ) 2 D σ max = σ m + σ a σ min = σ m − σ a
x
F2
x ( F2 − F1 ) l x N d ( x) = F1 + ( F2 − F1 ) l F x F −F σ d ( x) = 1 + ( 2 1 ) A l A F2 σ d max = A
Fg
F1 x
N d ( x)
二、 试比较下列两梁的安全性， 两梁完全相同且皆在铅垂平面内。 （机构中的摩擦 不计）