北京市海淀区重点中学07年寒假实验班初一数学作业8 几何问题(第2套)
北京市海淀区七年级上学期期末考试数学试卷及详细答案解析(共5套)
北京市海淀区七年级上学期期末考试数学试卷（一）一、选择题1、的相反数为（）A、2B、﹣C、D、﹣22、石墨烯（Graphene）是从石墨材料中剥离出来、由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯一层层叠起来就是石墨，厚1毫米的石墨大约包含300万层石墨烯．300万用科学记数法表示为（）A、300×104B、3×105C、3×106D、30000003、下列各式结果为负数的是（）A、﹣（﹣1）B、（﹣1）4C、﹣|﹣1|D、|1﹣2|4、下列计算正确的是（）A、a+a=a2B、6a3﹣5a2=aC、3a2+2a3=5a5D、3a2b﹣4ba2=﹣a2b5、用四舍五入法对0.02015（精确到千分位）取近似数是（）A、0.02B、0.020C、0.0201D、0.02026、如图所示，在三角形ABC中，点D是边AB上的一点．已知∠ACB=90°，∠CDB=90°，则图中与∠A互余的角的个数是（）A、1B、2C、3D、47、若方程2x+1=﹣1的解是关于x的方程1﹣2（x﹣a）=2的解，则a的值为（）A、﹣1B、1C、﹣D、﹣8、一件夹克衫先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，结果获利28元，如果设这件夹克衫的成本价是x元，那么根据题意，所列方程正确的是（）A、0.8（1+0.5）x=x+28B、0.8（1+0.5）x=x﹣28C、0.8（1+0.5x）=x﹣28D、0.8（1+0.5x）=x+289、在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若ac＜0，b+a＜0，则（）A、b+c＜0B、|b|＜|c|C、|a|＞|b|D、abc＜010、已知AB是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过PB上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是（）A、MB、NC、SD、T二、填空题11、在“1，﹣0.3，+ ，0，﹣3.3”这五个数中，非负有理数是________．（写出所有符合题意的数）12、∠AOB的大小可由量角器测得（如图所示），则∠AOB的补角的大小为________°．13、计算：180°﹣20°40′=________．14、某4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多15件，如果设此月人均定额是x件，那么这4名工人此月实际人均工作量为________件．（用含x的式子表示）15、|a|的含义是：数轴上表示数a的点与原点的距离．则|﹣2|的含义是________；若|x|=2，则x的值是________．16、某小组几名同学准备到图书馆整理一批图书，若一名同学单独做要40h完成．现在该小组全体同学一起先做8h后，有2名同学因故离开，剩下的同学再做4h，正好完成这项工作．假设每名同学的工作效率相同，问该小组共有多少名同学？若设该小组共有x名同学，根据题意可列方程为________．17、如图所示，AB+CD________AC+BD．（填“＜”，“＞”或“=”）18、已知数轴上动点A表示整数x的点的位置开始移动，每次移动的规则如下：当点A所在位置表示的数是7的整数倍时，点A向左移动3个单位，否则，点A 向右移动1个单位，按此规则，点A移动n次后所在位置表示的数记做xn．例如，当x=1时，x3=4，x6=7，x7=4，x8=5．①若x=1，则x14=________；②若|x+x1+x2+x3+…+x20|的值最小，则x3=________．三、解答题（一）19、计算：(1)3﹣6× ；(2)﹣42÷（﹣2）3﹣× ．20、如图，已知三个点A，B，C．按要求完成下列问题：(1)取线段AB的中点D，作直线DC；(2)用量角器度量得∠ADC的大小为________（精确到度）；(3)连接BC，AC，则线段BC，AC的大小关系是________；对于直线DC上的任意一点C′，请你做一做实验，猜想线段BC′与AC′的大小关系是________．21、解方程：(1)3（x+2）﹣2=x+2；(2)=1﹣．四、解答题（二）22、先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a=1，b=﹣2．23、如图所示，点A在线段CB上，AC= ，点D是线段BC的中点．若CD=3，求线段AD的长．24、列方程解应用题：为了丰富社会实践活动，引导学生科学探究，学校组织七年级同学走进中国科技馆，亲近科学，感受科技魅力．来到科技馆大厅，同学们就被大厅里会“跳舞”的“小球矩阵”吸引住了（如图1）．白色小球全部由计算机精准控制，每一只小球可以“悬浮”在大厅上空的不同位置，演绎着曲线、曲面、平面、文字和三维图案等各种动态造型．已知每个小球分别由独立的电机控制．图2，图3分别是9个小球可构成的两个造型，在每个造型中，相邻小球的高度差均为a．为了使小球从造型一（如图2）变到造型二（如图3），控制电机使造型一中的②，③，④，⑥，⑦，⑧号小球同时运动，②，③，④号小球向下运动，运动速度均为3米/秒；⑥，⑦，⑧号小球向上运动，运动速度均为2米/秒，当每个小球到达造型二的相应位置时就停止运动．已知⑦号小球比②号小球晚秒到达相应位置，问②号小球运动了多少米？五、解答题（三）25、一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=b=0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．(1)若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；(2)写出一个“相伴数对”（a，b），其中a≠0，且a≠1；(3)若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m﹣﹣[4m﹣2（3n﹣1）]的值．26、如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，∁…．例如：当α=30°时，OA1， OA2， OA3， OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1， OA2， OA3， OA4， OA3的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．解决如下问题：(1)若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2， OA3，其中∠A3OA2的度数是________；(2)若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2， OA3， OA4并求出α的值；(3)若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是________(4)（选做题）当OAi 所在的射线是∠AiOAk（i，j，k是正整数，且OAj与OAk不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】B【考点】相反数【解析】【解答】解：的相反数为﹣，故选：B．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．2、【答案】C【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：300万用科学记数法表示为3×106．故选C．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．3、【答案】C【考点】正数和负数【解析】【解答】解：A、﹣（﹣1）=1是正数，故A错误；B、（﹣1）4=1是正数，故B错误；C、﹣|﹣1|=﹣1是负数，故C正确；D、|1﹣2|=1，故D错误；故选：C．【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．4、【答案】D【考点】同类项、合并同类项【解析】【解答】解：A、合并同类项是解题关键，故A错误；B、不是同类项不能合并，故B错误；C、不是同类项不能合并，故C错误；D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D正确；故选：D．【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．5、【答案】B【考点】近似数【解析】【解答】解：0.02015≈0.020（精确到千分位）．故选B．【分析】把万分位上的数字1进行四舍五入即可．6、【答案】B【考点】余角和补角【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A互余的角的个数是2．故选：B．【分析】根据图形和余角的概念解答即可．7、【答案】D【考点】一元一次方程的应用【解析】【解答】解：解2x+1=﹣1，得x=﹣1．把x=﹣1代入1﹣2（x﹣a）=2，得1﹣2（﹣1﹣a）=2．解得a=﹣，故选：D．【分析】根据解方程，可得x的值，根据同解方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．8、【答案】A【考点】一元一次方程的应用【解析】【解答】解：设这件夹克衫的成本价是x元，由题意得，0.8（1+50%）x﹣x=28，即0.8（1+0.5）x=28+x．故选A．【分析】设这件夹克衫的成本价是x元，根据题意可得，利润=标价×80%﹣成本价，据此列出方程．9、【答案】C【考点】数轴【解析】【解答】解：由数轴可得，a＜b＜c，∵ac＜0，b+a＜0，∴如果a=﹣2，b=0，c=2，则b+c＞0，故选项A错误；如果a=﹣2，b=﹣1，c=0，则|b|＞|c|，故选项B错误；如果a=﹣2，b=0，c=2，则abc=0，故选D错误；∵a＜b，ac＜0，b+a＜0，∴a＜0，c＞0，|a|＞|b|，故选项C正确；故选C．【分析】根据数轴和ac＜0，b+a＜0，可以判断选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．10、【答案】B【考点】几何体的展开图，线段的性质：两点之间线段最短，平面展开-最短路径问题【解析】【解答】解：如图所示：根据圆锥侧面展开图，此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是N，，故选B．【分析】根据圆锥画出侧面展开图，根据两点之间线段最短可得它最有可能经过的点是N．二、<b >填空题</b>11、【答案】1，+ ，0【考点】有理数的意义【解析】【解答】解：非负有理数是1，+ ，0．故答案为：1，+ ，0．【分析】根据大于或等于零的有理数是非负有理数，可得答案．12、【答案】120【考点】余角和补角【解析】【解答】解：由题意，可得∠AOB=60°，则∠AOB的补角的大小为：180°﹣∠AOB=120°．故答案为120．【分析】先根据图形得出∠AOB=60°，再根据和为180度的两个角互为补角即可求解．13、【答案】159°20′【考点】度分秒的换算【解析】【解答】解：180°﹣20°40′=179°60′﹣20°40′=159°20°．故答案为：159°20′．【分析】先变形得出179°60′﹣20°40′，再度、分分别相减即可．14、【答案】【考点】列代数式【解析】【解答】解：（4x+15）÷4= （件）．答：这4名工人此月实际人均工作量为件．故答案为：．【分析】根据4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多15件得到总工作量是（4x+15）件，再把总工作量除以4可得这4名工人此月实际人均工作量．15、【答案】数轴上表示﹣2的点与原点的距离①±2【考点】数轴，绝对值【解析】【解答】解：|﹣2|的含义是数轴上表示﹣2的点与原点的距离；|x|=2，则x的值是：±2．故答案为：数轴上表示﹣2的点与原点的距离；±2．【分析】直接利用绝对值的定义得出|﹣2|的含义以及求出x的值．16、【答案】+ =1【考点】一元一次方程的应用【解析】【解答】解：设该小组共有x名同学，由题意得，+ =1．故答案为：+ =1．【分析】设该小组共有x名同学，根据题意可得，全体同学整理8小时完成的任务+（x﹣2）名同学整理4小时完成的任务=1，据此列方程．17、【答案】＜【考点】线段的性质：两点之间线段最短【解析】【解答】解：如图所示：由两点之间线段最短可知AE+BE＞AB．同理：CE+DE＞DC．∴AE+BE+CE+DE＞AB+DC．∴AC+BD＞AB+DC，即AB+DC＜AC+BD．故答案为：＜．【分析】AC与BD的交点为E，由两点之间线段最短可知AE+BE＞AB，同理得到CE+DE＞DC，从而得到AB+CD＜AC+BD．18、【答案】7①-3【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：①由题意：x 1=2，x 2=3，x 3=4，x 4=5，x 5=6，x 6=7，x 7=4，x 8=，5，x 9=6，x 10=7，x 11=4，x 12=5，x 13=6，x 14=7．故答案为x 14=7．②由题意当x=﹣6时，x 1=﹣5，x 2=﹣4，x 3=﹣3，x 4=﹣2，x 5=﹣1，x 6=0，x 7=1，x 8=2，x 9=3，x 10=4，x 11=5，x 12=6，x 13=7，x 14=4，x 15=5，x 16=6， x 17=7，x 18=4，x 19=5，x 20=6，|x+x 1+x 2+x 3+…+x 20|=50最小， ∴x 3=﹣3．故答案为﹣3．【分析】（1）按照规律写出x 14即可．（2）当x=﹣6时，|x+x 1+x 2+x 3+…+x 20|的值最小，由此可以解决问题． 三、<b >解答题（一）</b> 19、 【答案】 （1）解：3﹣6×=3﹣6× =3﹣1 =2（2）解：﹣42÷（﹣2）3﹣ ×=﹣16÷（﹣8）﹣=2﹣1 =1【考点】有理数的混合运算【解析】【分析】（1）根据有理数的乘法和减法进行计算即可；（2）根据有理数的乘方、除法、乘法和减法进行计算即可． 20、 【答案】（1）解：如图所示：直线DC 即为所求（2）90°（3）BC=AC①BC′=AC′【考点】作图—复杂作图【解析】【解答】（2）90°（只要相差不大都给分）．故答案为：90°；（3）BC=AC，BC′=AC′，（若（2）中测得的角不等于90°，则相应地得出线段的不等关系（注意：要分类讨论），同样给分．）【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D点位置，进而得出答案；（2）利用量角器得出∠ADC的大小；（3）利用线段垂直平分线的性质得出线段BC，AC的大小关系以及线段BC′与AC′的大小关系．21、【答案】（1）解：去括号得：3x+6﹣2=x+2，移项合并得：2x=﹣2，解得：x=﹣1（2）解：去分母得：2（7﹣5y）=12﹣3（3y﹣1），去括号得：14﹣10y=12﹣9y+3，移项合并得：﹣y=1，解得：y=﹣1【考点】解一元一次方程【解析】【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解．四、<b >解答题（二）</b>22、【答案】解：原式=﹣a2b+3ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b=（﹣1﹣1+2）a2b+（3﹣4）ab2=﹣ab2，当a=1，b=﹣2时，原式=﹣1×（﹣2）2=﹣4【考点】整式的加减【解析】【分析】首先根据整式的加减运算法则将原式化简，再代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．23、【答案】解：∵点D是线段BC的中点，CD=3，∴BC=2CD=6，∵AC= ，AC+AB=CB，∴AC=2，AB=4，∴AD=CD﹣AC=3﹣2=1，即线段AD的长是1【考点】两点间的距离【解析】【分析】根据点A在线段CB上，AC= ，点D是线段BC的中点，CD=3，可以求得BC的长，从而可以求得CA的长，从而得到AD的长．24、【答案】解：设②号小球运动了x米，由题意可得方程：= ，解方程得：x=2答：从造型一到造型二，②号小球运动了2米【考点】一元一次方程的应用【解析】【分析】设②号小球运动了x米，根据图中的造型和“②，③，④号小球向下运动，运动速度均为3米/秒；⑥，⑦，⑧号小球向上运动，运动速度均为2米/秒”列出方程并解答．五、<b >解答题（三）</b>25、【答案】（1）解：∵（1，b）是“相伴数对”，∴ + = ，解得：b=﹣（2）解：（2，﹣）（答案不唯一）（3）解：由（m，n）是“相伴数对”可得：+ = ，即= ，即9m+4n=0，则原式=m﹣n﹣4m+6n﹣2=﹣n﹣3m﹣2=﹣﹣2=﹣2【考点】代数式求值，整式的加减【解析】【分析】（1）利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值；（2）写出一个“相伴数对”即可；（3）利用“相伴数对”定义得到9m+4n=0，原式去括号整理后代入计算即可求出值．26、【答案】（1）45°（2）解：如图所示．∵α＜30°，∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．∵OA4平分∠A2OA3，∴2（180°﹣6α）+ =4α，解得：（3），，（4）解：对于角α=120°不能停止．理由如下：无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OAi 是∠AiOAK是的角平分线，所以旋转会停止．但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1=120°，第二次旋转240°时，与OM重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OAi 是∠AiOAK是的角平分线这种情况，旋转不会停止【考点】角的计算【解析】【解答】解：（1）解：如图所示．aφ=45°，【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OAi 是∠AiOAK是的角平分线，但当a=120度时，只有两条射线，不会出现OAi 是∠AiOAK是的角平分线，所以旋转会中止．北京市海淀区七年级上学期期末考试数学试卷（二）一、选择题1、在实数- ，0，，π，中，无理数有（）个．A、1B、2C、3D、42、下列各式中正确的是（）A、=±4B、=﹣4C、D、=﹣43、在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限4、P（m+1，5）在y轴上，则m的值为（）A、﹣5B、0C、1D、﹣15、在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（）A、（3，6）B、（1，3）C、（1，6）D、（6，6）6、若m＞n，则下列各式中错误的是（）A、6m＞6nB、﹣5m＜﹣5nC、m+1＞n+1D、﹣2m＞﹣2n7、如图，直线a∥b，∠1=70°，那么∠2的度数是（）A、50°B、60°C、70°D、80°8、如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）A、∠1=∠3B、∠2=∠3C、∠4=∠5D、∠2+∠4=180°9、已知如图，AD∥CE，则∠A+∠B+∠C=（）A、180°B、270°C、360°D、540°10、下列命题①过一点有且只有一条直线平行已知直线；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行同一直线的两条直线互相平行；④平方根等于本身的数是0或1；⑤如果一个数有立方根，那么它一定有平方根，其中假命题的个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个二、填空题11、计算：2 ﹣=________．12、不等式组的解集是________．13、把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果________，那么________．14、中，x的取值范围是________．15、点P（2，6）到x轴的距离为________个单位长度．16、已知一个正数的两个平方根是x﹣7和3x﹣1，则x的值是________．17、如图，∠1=15°，AO⊥OC，点B、O、D在同一直线上，则∠2=________°．18、如图，AB∥CD∥EF，∠B=70°，∠E=140°，则∠BCD=________°．19、已知，点P坐标为（﹣2，3），点Q坐标为Q（m，3），且PQ=6，则m=________．20、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，M在BA的延长线上，PA平分∠MAO，PB平分∠ABO，则∠P=________．三、解答题21、解方程组和不等式(1)解方程组(2)解不等式5x+15＞4x+13并在数轴上表示它的解集．22、如图，三角形ABC的顶点坐标分别为A（2，4）、B（1，1）、C（4，1）．BC 上的一点P的坐标为P（3，1），将三角形ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到三角形A1B1C1，其中点A、B、C、P分别对应点A1、B1、C1、P1．(1)在图中画出三角形A1B1C1；(2)直接写出点P1的坐标：P1（________，________）．23、为了推动课堂教学改革，打造高效课堂，某中学对七年级部分学生就一学期以来“小组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图．试根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)求本次被调查的七年级学生的人数，(2)并补全条形统计图2(3)该校七年级级学生共有720人，请你你估计该校七年级有多少名学生支持“小组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）？24、完成下面的推理过程，并在括号内填上依据．如图，E为DF上的一点，B为AC上的一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC∥DF 证明：∵∠1=∠2（________）∠1=∠3（对角线相等）∴∠2=∠3（________）∴________∥________（________）∴∠C=∠ABD（________）又∵∠C=∠D（已知）∴∠D=∠ABD（________）∴AC∥DF（________）25、学校决定购买A、B两种型号电脑，若购买A型电脑3台，B型电脑8台共需40000元；若购买A型电脑14台，B型电脑4台共需80000元．(1)A、B两种型号电脑每台多少元？(2)若用不超过160000元去购买A、B两种型号电脑共45台，则最多可购买A型电脑多少台？26、如图所示，将△ABC沿直线BC方向平移△DEF的位置，G是DE上一点，连接AG，过点A、D作直线MN．(1)求证：∠AGE=∠GAD+∠ABC；(2)若EDF=∠DAG，∠CAG+∠CEG=180°，判断AG与DE的位置关系，并证明你的结论．27、已知，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴正半轴、X轴正半轴分别交于A、B两点，点A坐标为A（0，m），点B坐标为B（n，0），且满足（m﹣3）1+=0，(1)分别求出点A，点B的坐标(2)若点E在直线AB上，且满足三角形AOE的面积等于三角形AOB的面积的三分之一，求点E的坐标．(3)平移线段BAZ至DC，B与O是对应点，A与C是对应点，连接AC，E为BA腐乳延长线上一点，连接OE，OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F点，若∠ABO+∠OEB=α．请在图2中将图形补充完整，并求∠F（用含α的式子表示）答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】B【考点】无理数【解析】【解答】解：=2，所给数据中无理数有：，π，共2个．故选B．【分析】根据无理数的三种形式进行判断即可．2、【答案】C【考点】平方根，算术平方根【解析】【解答】解：A、=4，故A错误；B、=4，故B错误；C、± =±4，故C正确；D、负数没有算术平方根，故D错误．故选：C．【分析】依据算术平方根和平方根的定义求解即可．3、【答案】B【考点】点的坐标【解析】【解答】解：∵点P的横坐标为负，纵坐标为正，∴点P（﹣2，1）在第二象限，故选B．【分析】点P的横坐标为负，在y轴的左侧，纵坐标为正，在x轴上方，那么可得此点所在的象限．4、【答案】D【考点】点的坐标【解析】【解答】解：∵P（m+1，5）在y轴上，∴m+1=0，∴m=﹣1．故选D．【分析】根据y轴上点的横坐标为0得到m+1=0，然后解方程即可．5、【答案】B【考点】坐标与图形变化-平移【解析】【解答】解：平移后的横坐标为﹣2+3=1，纵坐标为3，∴点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，3），故选B．【分析】让横坐标加3，纵坐标不变即可得到所求的坐标．6、【答案】D【考点】不等式的性质【解析】【解答】解：A、∵m＞n，∴6m＞6n，故本选项正确；B、∵m＞n，∴﹣m＜﹣n，∴﹣5m＜﹣5n，故本选项正确；C、∵m＞n，∴m+1＞n+1，故本选项正确；D、∵m＞n，∴﹣2m＜﹣2n，故本选项错误．故选D．【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．7、【答案】C【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵a∥b，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）∵∠1=70°，∴∠2=70°．故选C．【分析】根据两角的位置关系可知两角是同位角，利用两直线平行同位角相等即可求得结果．8、【答案】B【考点】平行线的判定【解析】【解答】解：当∠1=∠3时，a∥b；当∠4=∠5时，a∥b；当∠2+∠4=180°时，a∥b．故选B．【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断．9、【答案】C【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：过B作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥CE，∴∠A+∠ABF=180°，∠C+∠CBF=180°，∴∠A+∠ABF+∠C+∠CBF=360°，即∠A+∠ABC+∠C=360°．故选C．【分析】过B作BF∥AD，推出AD∥BF∥CE，得出∠A+∠ABF=180°，∠C+∠CBF=180°，相加即可得出答案．10、【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故①是假命题；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故②是真命题；③在同一平面内，平行同一直线的两条直线互相平行；故③是假命题；④平方根等于本身的数是0；故④是假命题；⑤如果一个数有立方根，那么它不定有平方根；故⑤是假命题；其中假命题的个数有4个，故选：C．【分析】分别根据平行线的性质、垂线的性质、平方根和立方根的性质对各小题进行逐一判断即可．二、<b >填空题</b>11、【答案】﹣2【考点】二次根式的加减法【解析】【解答】解：原式=2 ﹣4=﹣2 ．故答案为：﹣2 ．【分析】先化简，然后合并同类二次根式．12、【答案】x＜2【考点】不等式的解集【解析】【解答】解：依据同小取小可知不等式组的解集为：x＜2．故答案为：x＜2．【分析】依据同小取小即可得出结论．13、【答案】两个角是对顶角①这两个角相等【考点】命题与定理【解析】【解答】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．14、【答案】x≥0【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：由题意得：x≥0，故答案为：x≥0．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0．15、【答案】6【考点】点的坐标【解析】【解答】解：∵点P到x轴的距离为其纵坐标的绝对值即|6|=6，∴点P到x轴的距离为6．故答案为：6．【分析】求得6的绝对值即为点P到x轴的距离．16、【答案】2【考点】平方根【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根是x﹣7和3x﹣1，∴x﹣7+3x﹣1=0．解得：x=2．故答案为：2．【分析】依据平方根的性质可得到关于x的方程，从而可求得x的值．17、【答案】105【考点】垂线【解析】【解答】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∴∠BOC=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°，∴∠2=180°﹣∠BOC=180°﹣75°=105°，故答案为：105．【分析】由OA⊥OC可得∠AOC=90°，易得∠BOC，再由邻补角的定义可得∠2．18、【答案】30【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B=70°，∵CD∥EF，∴∠ECD=180°﹣∠E=40°，∴∠BCD=∠BCD﹣∠ECD=30°，故答案为：30．【分析】根据平行线的性质得到∠BCD=∠B=70°，∠ECD=180°﹣∠E=40°，由角的和差即可得到结论．19、【答案】4或﹣8【考点】点的坐标【解析】【解答】解：∵点P坐标为（﹣2，3），点Q坐标为Q（m，3），∴点P、Q的纵坐标相等，PQ∥x轴，∵PQ=6，∴|﹣2﹣m|=6，∴﹣2﹣m=6或﹣2﹣m=﹣6，解得m=﹣8或m=4．故答案为：4或﹣8．【分析】根据点的纵坐标相等，两点间的距离等于横坐标的差的绝对值列方程求解即可．20、【答案】45°【考点】坐标与图形性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．∵PA平分∠MAO，∴∠PAO= ∠OA M= （180°﹣∠OAB）．∵PB平分∠ABO，∴∠ABP= ∠ABO，∴∠P=180°﹣∠PAO﹣∠OAB﹣∠ABP=180°﹣（180°﹣∠OAB）﹣∠OAB﹣∠ABO=90°﹣（∠OAB+∠ABO）=45°．【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠P的度数．三、<b >解答题</b>21、【答案】（1）解：①+②得：4x=12，解得：x=3，把x=3代入①得：3+2y=1，解得：y=﹣1，所以原方程组的解为：（2）解：5x+15＞4x+13，5x﹣4x＞13﹣15，x＞﹣2，在数轴上表示为：【考点】解二元一次方程组，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式【解析】【分析】（1）①+②得出4x=12，求出x，把x的值代入①求出y即可；（2）移项，合并同类项，求出不等式的解集，最后在数轴上表示出来即可．22、【答案】（1）解：所作图形如图所示：（2）-1①2【考点】作图-平移变换（﹣1，2）．【解析】【解答】解：（2）P1故答案为：﹣1，2．【分析】（1）分别将点A、B、C向左平移4个单位，再向上平移1个单位，然的坐标．后顺次连接；（2）根据平移的性质，结合图形写出点P123、【答案】（1）解：由题意可得，18÷ =54（人），即本次被调查的七年级学生有54人（2）解：由题意可得，非常喜欢的人数为：54× =30，故补全的条形统计图，如右图所示（3）解：由题意可得，720× =640（人），即该校七年级有640名学生支持“小组合作学习”方式【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图【解析】【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次被调查的七年级学生的人数；（2）根据（1）中的答案可以求得非常喜欢的人数，从而可以补全条形统计图；（3）根据统计图中的数据可以求得该校七年级有多少名学生支持“小组合作学习”方式．24、【答案】已知①等量代换②BD③CE④同位角相等，两直线平行⑤两直线平行，同位角相等⑥等量代换⑦内错角相等，两直线平行【考点】平行线的判定【解析】【解答】证明：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠3（对角线相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）又∵∠C=∠D（已知）∴∠D=∠ABD（等量代换）∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知，等量代换，BD，CE，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行．【分析】推出∠2=∠3，根据平行线判定推出BD∥CE，推出∠C=∠ABD，推出AC∥DF，即可得出答案．25、【答案】（1）解：设A型电脑x元/台，B型电脑y元/台．根据题意得：，解得：答：A型电脑4800元/台，B型电脑3200元/台（2）解：设购买a台A型电脑，（45﹣a）台B型电脑．根据题意得：4800a+3200（45﹣a）≤160000，解得：a≤10答：最多购买10台A型电脑【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用【解析】【分析】（1）设A型电脑x元/台，B型电脑y元/台．然后根据购买A 型电脑3台，B型电脑8台共需40000元；若购买A型电脑14台，B型电脑4台共需80000元列方程组求解即可；（2）设购买a台A型电脑，（45﹣a）台B型电脑．然后根据总费用不超过160000元列不等式求解即可．26、【答案】（1）解：由平移的性质得：△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AB∥DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD∥BF，∠ADG=∠ABC，∴∠ADG=∠DEF，∴∠ABC=∠DEF=∠ADG，∵∠AGE为△ADG的外角，∴∠AGE=∠DAG+∠ADG=∠GAD+∠ABC（2）解：AG⊥DE，理由为：由平移的性质得到∠EDF=∠BAC，∵∠EDF=∠DAG，∴∠BAC=∠DAG，∵AB∥DE，∴∠ABC+∠BEG=180°，∵∠CAG+∠CEG=180°，∴∠ABC=∠CAG，∵MN∥BC，∴∠ABC=∠MAB，∴∠MAB=∠CAG，∵∠MAB+∠BAC+∠CAG+∠DAG=180°，∴∠CAG+∠BAC=90°，即∠BAG=90°，∵AB∥DE，∴∠BAG+∠AGD=90°，则AG⊥DE．【考点】平行线的判定与性质，多边形内角与外角【解析】【分析】（1）利用平移的性质得到AB与DE平行且相等，得到四边形ABED为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对角相等，利用外角性质即可得证；（2）AG垂直与DE，理由为：由平移的性质得到∠EDF=∠BAC，根据∠EDF=∠DAG，等量代换得到∠BAC=∠DAG，由AB与DE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，等量代换得到∠ABC=∠CAG，利用等式的性质及平行线的性质即可得证．27、【答案】（1）解：由非负数的性质得，m﹣3=0，n﹣4=0，解得m=3，n=4，所以，A（0，3）B（4，0）（2）解：设点E的横坐标为a，。
北京市海淀区101中学2022-2023学年七年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
2022-2023学年七上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，从上面看到图形是：（）A．B．C．D．2．下列生活、生产现象：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②从甲地到乙地架设电线，总是沿线段架设；③把弯曲的公路改直就能缩短路程；④植树时只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（）A．①②B．②③C．①④D．③④3．关于x的方程2(x－1)－a＝0的根是3，则a的值为( )A．4 B．－4 C．5 D．－54．下列几何体中，同一个几何体从正面和上面看到的图形不相同的是（）A．B．C．D．5．|a|+|b|＝|a+b|，则a，b关系是（）A．a，b的绝对值相等B．a，b异号C．a+b的和是非负数D ．a 、b 同号或a 、b 其中一个为06．已知下列方程：①0x =；②21x y -=；③20n n +=；④532y y =+；⑤221x x -=+．其中一元一次方程的个数是（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 7．晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看钟，发现此时时针和分针在同一直线上；做完数学作业八点不到，此时时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间（ ）A ．30分钟B ．35分钟C ．42011分钟D ．36011分钟 8．下列各组数比较大小，判断正确的是（ ）A ．64->-B ．31->+C ．90->D ．2537->- 9．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．3.14159B ．0.09C ．13D ．2π10．在解方程3521x x +=--的过程中，移项正确的是（ ）A ．3215x x -=-+B ．3251x x --=-C ．3215x x +=--D ．3215x x --=--二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分)11．如图，C ，D 是线段AB 上两点，若CB=4㎝，DB=7㎝，且D 是AC 的中点，则AB 的长等于___________．12．已知x ＝2是方程2x ﹣5＝x +m 的解，则m 的值是_____．13．如图，数轴上A 、B 两点表示的数是互为相反数，且点A 与点B 之间的距离为4个单位长度，则点A 表示的数是___________.14．若代数式72x -和5x -互为相反数，则x 的值为______．15．已知21(2)0x y ++-=，则y x 的值是__________．16．如果收入500元记作500+元，那么支出200元记作____________．三、解下列各题(本大题共8小题，共72分)17．（8分）如图，∠AOC 与∠BOC 互余，OD 平分∠BOC ，∠EOC ＝2∠AOE ．（1）若∠AOD ＝75°，求∠AOE 的度数．（2）若∠DOE ＝54°，求∠EOC 的度数．18．（8分）已知点O 是直线AB 上的一点，∠COE ＝90°，OF 是∠AOE 的平分线．(1)当点C ，E ，F 在直线AB 的同侧(如图1所示)时，试说明∠BOE ＝2∠COF ；(2)当点C 与点E ，F 在直线AB 的两旁(如图2所示)时，(1)中的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由；(3)将图2中的射线OF 绕点O 顺时针旋转m °(0＜m ＜180°)得射线OD ．设∠AOC ＝n °，若∠BOD ＝(60－23n )°，则∠DOE 的度数是 (用含n 的式子表示)19．（8分）先化简，再求值：()()()322322232a b a b a b a -----+，其中：1a =-，1b =20．（8分）一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？21．（8分）如图，点O 为直线AC .上任意一点,78, AOB OD ∠=︒平分, AOB OE ∠在BOC ∠内，1.2BOE EOC ∠=∠求EOC ∠及DOC ∠的度数.22．（10分）一个角的余角比这个角的12少30°，请你计算出这个角的大小． 23．（10分）已知，70AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内部的一条射线．（1）如图1，当OC 是AOB ∠的角平分线，求AOC ∠的度数；（2）如图2，当30BOC ∠=︒时，AOD ∠是AOB ∠的余角，OE 是COD ∠的角平分线，请补全图形，并求AOE ∠的度数；（3）若把“70AOB ∠=︒，30BOC ∠=︒”改为“AOB ∠是锐角，且AOB n ∠=︒，25BOC n ∠=︒”，（2）中的其余条件不变，请直接写出AOE ∠的度数_____________________．（用含n 的式子表示）24．（12分）已知，BC ∥OA ，∠B ＝∠A ＝108°，试解答下列问题：（1）如图1所示，则∠O ＝ °，并判断OB 与AC 平行吗？为什么？（2）如图2，若点E 、F 在线段BC 上，且满足∠FOC ＝∠AOC ，并且OE 平分∠BOF ．则∠EOC 的度数等于 °；（1）在第（2）题的条件下，若平行移动AC ，如图1．①求∠OCB ：∠OFB 的值；②当∠OEB ＝∠OCA 时，求∠OCA 的度数（直接写出答案，不必写出解答过程）．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据几何体的俯视图可得．【详解】解：该集合体的俯视图为：故选：D【点睛】本题考查的是俯视图，俯视图反应的是物体的长与宽，在画视图时要对物体的长、宽进行度量，不要求百分之百与物体等大，但要控制误差．2、B【分析】根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断即可得出结果．【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故错误；②从甲地到乙地架设电线，总是沿线段架设是利用了“两点之间线段最短”，故正确；③把弯曲的公路改直就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故正确；④植树时只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故错误．故选：B【点睛】本题主要考查的是线段的性质和直线的性质，正确的掌握这两个性质是解题的关键．3、A【解析】试题分析：虽然是关于x的方程，但是含有两个未知数，其实质是知道一个未知数的值求另一个未知数的值．解：把x=3代入2（x﹣1）﹣a=0中：得：2（3﹣1）﹣a=0解得：a=4故选A．考点：一元一次方程的解．4、B【分析】从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的形状即俯视图，结合图形找出各图形的俯视图以及主视图，然后进行判断即可．【详解】解：A、主视图为正方形，俯视图为正方形，不符合题意；B、主视图为三角形，俯视图为中间有点的正方形，符合题意；C、主视图为长方形，俯视图为长方形，不符合题意；D、主视图为圆形，俯视图为圆形，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，注意从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的图形即为俯视图．5、D【解析】每一种情况都举出例子，再判断即可．【详解】解：A 、当a 、b 的绝对值相等时，如11a b ==-，，|a |+|b |＝2，|a +b |＝0，即|a |+|b |≠|a +b |，故本选项不符合题意；B 、当a 、b 异号时，如a =1，b =-3，|a |+|b |＝4，|a +b |=2，即|a |+|b |≠|a +b |，故本选项不符合题意；C 、当a +b 的和是非负数时，如：a =﹣1，b =3，|a |+|b |=4，|a +b |=2，即即|a |+|b |≠|a +b |，故本选项不符合题意；D 、当a 、b 同号或a 、b 其中一个为0时，|a |+|b |=|a +b |，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加法等知识点，能根据选项举出反例是解此题的关键6、C【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a ，b 是常数且a≠0）．【详解】①x=0是一元一次方程；②2x-y=1是二元一次方程；③n 2+n=0是一元二次方程； ④532y y =+是一元一次方程； ⑤x-2=2x+1是一元一次方程；故选C ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．7、D【分析】由题意知，开始写作业时，分针和时针组成一平角，写完作业时，分针和时针重合.设小强做数学作业花了x 分钟，根据分针追上时针时多转了180°列方程求解即可.【详解】分针速度：30度÷5分=6度/分；时针速度：30度÷60分=0.5度/分.设小强做数学作业花了x 分钟， 由题意得6x -0.5x =180,解之得x= 360 11.故选D.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用---追击问题，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．8、D【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可解答．【详解】A. 64-<-，故错误B. 31-<+，故错误C. 90-<，故错误D. ∵25371415 =-=-2121 --，又∵1415 2121<∴2537->-，故正确故选：D【点睛】本题考查了实数比较大小，解决本题的关键是根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小．9、D【解析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．【详解】A. 3.14159，B. =0.3,C. 13均为有理数，故错误；D. 2π属于无理数，本选项正确.故选：D【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握无理数的定义，即可完成.10、C【分析】按照移项规则，即可判定.【详解】由题意，得方程移项后3215x x+=--故选：C.【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，熟练掌握，即可解题.二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分)11、10cm【分析】根据线段的和差，可得DC 的长，根据线段中点的性质，可得AC 的长度进而得到答案．【详解】由线段的和差，得：DC=DB ﹣CB=7﹣4=3cm ，由D 是AC 中点，得：AC=2DC=6cm ，则AB=AC+CB=6+4=10cm ，故答案为：10cm ．【点睛】本题主要考查两点间的距离，根据线段的和差与中点的性质列出算式是解题的关键．12、-1．【分析】把x ＝2代入方程2x ﹣5＝x+m 得出﹣1＝2+m ，求出方程的解即可．【详解】解：把x ＝2代入方程2x ﹣5＝x+m 得：﹣1＝2+m ，解得：m ＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于m 的一元一次方程是解此题的关键．13、－2【分析】根据相反数在数轴上的分布特点求解即可.【详解】∵4÷2=2，点A 在原点的左边， ∴点A 表示的数是-2.故答案为-2.【点睛】本题考查了相反数的几何意义，在数轴上，表示互为相反数的两个点，分别位于原点的两旁，并且它们与原点的距离相等.14、4【解析】将72x -和5x -相加等于零，可得出x 的值．【详解】由题意得：7250x x -+-=，解得，4x =．故答案为：4.【点睛】本题考查代数式的求值，关键在于获取72x -和5x -相加为零的信息． 15、1 【解析】试题解析：∵21(2)0x y ++-=， 又∵10x +≥，2(2)0y -≥， ∴1020x y +=⎧⎨-=⎩， ∴1x =-，2y =，∴2(1)1y x =-=．故答案为1.16、-200元【分析】根据具有相反意义的量可直接得出答案．【详解】收入500元记作500+元，那么支出200元记作-200元故答案为：-200元．【点睛】本题主要考查具有相反意义的量，掌握具有相反意义的量的含义是解题的关键．三、解下列各题(本大题共8小题，共72分)17、（1）20°；（2）36°． 【解析】试题分析：设∠AOE =x ，则∠EOC =2x ，∠AOC =3x ，∠COB =90°－3x ．根据角平分线定义得到∠COD =∠DOB =45°－1.5x ． （1）根据∠AOD =75°，列方程求解即可；（2）由∠DOE =∠EOC +∠COD ，得到45°+0.5x =54°，解方程即可得到结论．试题解析：解：设∠AOE =x ，则∠EOC =2x ，∠AOC =3x ，∠COB =90°－3x ．∵OD 平分∠COB ，∴∠COD =∠DOB =12∠COB =45°－1.5x ． （1）若∠AOD =75°，即∠AOC +∠COD =75°，则3x +45°-1.5x =75°，解得：x =20°，即∠AOE =20°；（2）∵∠DOE =∠EOC +∠COD =2x +45°-1.5x =45°+0.5x ．若∠DOE =54°，即45°+0.5x =54°，解得：x =18°，则2x =36°，即∠EOC =36°． 18、（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）（30+53n ）° 【分析】（1）设∠COF =α，则∠EOF =90°-α，根据角平分线性质求出∠AOF 、∠AOC 、推出∠BOE 即可； （2）设∠AOC =β，求出∠AOF ，推出∠COF 、∠BOE 、即可推出答案；（3）根据∠DOE =180°-∠BOD -∠AOE 或∠DOE =∠BOE +∠BOD 和∠AOE =90°-∠AOC ，代入求出即可． 【详解】解：（1）设∠COF =α，则∠EOF =90°-α， ∵OF 是∠AOE 平分线，∴∠AOF =90°-α， ∴∠AOC =（90°-α）-α=90°-2α， ∠BOE =180°-∠COE -∠AOC ， =180°-90°-（90°-2α）=2α，即∠BOE =2∠COF ；（2）解：成立，设∠AOC =β，则∠AOF =902β︒-， ∴∠COF = 452 β︒+=12（90°+β）， ∠BOE =180°-∠AOE ， =180°-（90°-β），=90°+β，∴∠BOE =2∠COF ；（3）解：分为两种情况：如图3，∠DOE =180°-∠BOD -∠AOE ， =180°-（60-23n ）°-（90°-n °）， =（30+53n ）°，如图4，∵∠BOE =180°-∠AOE =180°-（90°-n °）=90°+n °，∠BOD =（60-23n ）° ∴∠DOE =∠BOE +∠BOD =（90°+n °）+（60-23n ）°=（150+13n ）° 当∠FOD ＜180°时，此时不符合题意，舍去，综上答案为：（30+53n ）°． 【点睛】 本题考查了角平分线定义，角的大小计算等知识点的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，有一定的代表性．19、222b a b --+；3【分析】先去括号，再通过合并同类项进行化简，最后将a 和b 的值代入即可．【详解】原式322324232a b a b a b a =--+-+-，222b a b =--+，将1,1a b =-=代入得：原式()2121211223=--⨯-+⨯=-++=． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则，同类项的概念，合并同类项法则是解题关键．20、x=57°【解析】设这个角为x ，根据余角和补角的定义列出方程，解方程即可得出答案．【详解】设这个角为x ， 由题意得，3（90°﹣x ）=180°﹣x ﹣24°，解得x =57°． 答：这个角的度数为57°【点睛】本题考查了余角和补角的定义及角的计算.熟练应用补角和余角的定义并根据题中的“一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°”，建立方程是解题的关键.21、∠EOC=68°，∠DOC=141°【分析】由 78, AOB OD ∠=︒平分AOB ∠，得∠BOD ，∠BOC 的度数，结合12BOE EOC ∠=∠，即可求出EOC ∠及DOC ∠的度数.【详解】∵78, AOB OD ∠=︒平分AOB ∠，∴∠BOD=12∠AOB=12×78°=39°，∠BOC=180°-78°=102°， ∵12BOE EOC ∠=∠， ∴∠EOC=23×∠BOC=23×102°=68°，∠DOC=∠BOD+∠BOC=39°+102°=141°. 【点睛】本题主要考查角的和差倍分，掌握角的和差倍分的运算，是解题的关键.22、这个角的度数是80°. 【解析】试题分析：设这个角的度数为x ，根据互余的两角的和等于90°表示出它的余角，然后列出方程求解即可．试题解析：设这个角的度数为x ，则它的余角为（90°-x ）， 由题意得：12x-（90°-x ）=30°， 解得：x=80°．答：这个角的度数是80°．考点：余角和补角．23、（1）35°；（2）作图见解析；10°或30°；（3）1(45)5n -︒或4(45)5n -︒或4(45)5n -︒． 【分析】（1）根据角平分线的定义进行计算求解；（2）利用余角的定义求得∠AOD 的度数，然后分∠AOD 在∠AOB 内部和外部两种情况画图，结合角平分线的概念及角的数量关系求解；（3）解题思路同第（2）问，分情况讨论．【详解】解：（1）当70AOB ∠=︒时，OC 是AOB ∠的角平分线， 11703522AOC AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒． （2）70AOB ∠=︒，30BOC ∠=︒，∴∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝40°．70AOB ∠=︒，AOD ∠是AOB ∠的余角，9020AOD AOB ∴∠=︒-∠=︒．如图，当AOD ∠在AOB ∠内部时，20COD AOC AOD ∠=∠-∠=︒，OE 是COD ∠的角平分线， 11201022COE COD ∴∠=∠=⨯︒=︒． 30AOE AOC COE ∴∠=∠-∠=︒．如图，当AOD ∠在AOB ∠外部时，60COD AOC AOD ∠=∠+∠=︒，OE 是COD ∠的角平分线，11603022COE COD ∴∠=∠=⨯︒=︒． 10AOE AOC COE ∴∠=∠-∠=︒．综上，∠AOE 的度数为10°或30°（3）AOB n ∠=︒，25BOC n ∠=︒， ∴∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝35n ︒． AOB n ∠=︒，AOD ∠是AOB ∠的余角，(90)AOD n ∴∠=-︒．如图，当AOD ∠在AOB ∠内部时，38909055COD AOC AOD n n n ⎛⎫∠=∠-∠=-+=- ⎪⎝⎭， OE 是COD ∠的角平分线，118490452255COE COD n n ⎛⎫⎛⎫∴∠=∠=⨯-︒=-︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 3414545555AOE AOC COE n n n ⎛⎫⎛⎫∴∠=∠-∠=--=-︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 如图，当AOD ∠在AOB ∠外部时， ()32909055COD AOC AOD n n n ⎛⎫∠=∠+∠=+-=-︒ ⎪⎝⎭， ∵OE 是COD ∠的角平分线，112190452255COE COD n n ⎛⎫⎛⎫∴∠=∠=⨯-︒=-︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 3144545555AOE AOC COE n n n ⎛⎫⎛⎫∴∠=∠-∠=--=-︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 或13445(45)555AOE COE AOC n n n ∴∠=∠-∠=--=-︒ 综上，∠AOE 的度数为1(45)5n -︒或4(45)5n -︒或4(45)5n -︒． 【点睛】本题考查角平分线的定义，余角的概念及角度的数量关系计算，结合图形进行分类讨论解题是关键．24、（1）72，OB∥AC，见解析；（2）40；（1）①∠OCB：∠OFB＝1：2；②∠OCA＝54°【分析】（1）首先根据平行线的性质可得∠B+∠O＝180︒，再根据∠A＝∠B可得∠A+∠O＝180︒，进而得到OB∥AC；（2）根据角平分线的性质可得∠EOF＝12∠BOF，∠FOC＝12∠FOA，进而得到∠EOC＝12（∠BOF+∠FOA）＝12∠BOA＝40︒；（1）①由BC∥OA可得∠FCO＝∠COA，进而得到∠FOC＝∠FCO，故∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，进而得到∠OCB：∠OFB＝1：2；②由（1）知：OB∥AC，BC∥OA，得到∠OCA＝∠BOC，∠OEB＝∠EOA，根据（1）、（2）的结果求得．【详解】解：（1）∵BC∥OA，∠B=108︒∴∠O＝180︒-108︒=72︒，∵BC∥OA，∴∠B+∠O＝180︒，∵∠A＝∠B∴∠A+∠O＝180︒，∴OB∥AC故答案为：72︒；（2）∵∠A＝∠B＝108︒，由（1）得∠BOA＝180︒﹣∠B＝72︒，∵∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，∴∠EOF＝12∠BOF，∠FOC＝12∠FOA，∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝12（∠BOF+∠FOA）＝12∠BOA＝16︒故答案为：16︒；（1）①∵BC∥OA，∴∠FCO＝∠COA，又∵∠FOC＝∠AOC，∴∠FOC＝∠FCO，∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB＝1：2；②由（1）知：OB∥AC，∴∠OCA＝∠BOC，由（2）可以设：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β由（1）知：BC∥OA，∴∠OEB＝∠EOA＝α+β+β＝α+2β∵∠OEB＝∠OCA∴2α+β＝α+2β∴α＝β∵∠AOB＝72︒，∴α＝β＝18︒∴∠OCA＝2α+β＝16︒+18︒＝54︒．【点睛】此题主要考查角度的运算关系，解题的关键是熟知角平分线与平行线的性质．。
2023-2024学年北京市海淀区七年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是.()A. B. C.5 D.2.“霜降见霜，谷米满仓”，2023年我国粮食再获丰收．据统计，去年秋粮的种植面积为亿亩，比前年增加了700多万亩，奠定了增产的基础．将1310000000用科学记数法表示应为.()A. B. C. D.3.下列各组有理数的大小关系中，正确的是.()A. B. C. D.4.方程的解是.()A. B. C. D.5.下列运算结果正确的是.()A. B.C. D.6.已知等式，则下列等式中不一定成立的是()A. B. C. D.7.如图，D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若，则线段CB的长度为.()A.2acmB.C.3acmD.8.已知有理数x，y在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是.()A. B. C. D.9.如图，在正方形网格中有A，B两点，点C在点A的南偏东方向上，且点C在点B的东北方向上，则点C可能的位置是图中的.()A.点处B.点处C.点处D.点处10.某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为2a的正方体木块中，挖去一个棱长为a的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件如图所示将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.如果单项式与是同类项，那么__________.12.若关于x的一元一次方程的解为正数，则m的一个取值可以为__________.13.小明一家准备自驾去居庸关长城游玩．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为，小明用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为，如图所示，小明发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．请你用所学数学知识说明其中的道理：__________.14.有这样一个问题：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余18本，如果每人分4本，则还缺22本．这个班有多少学生？设这个班有x名学生，则可列方程为__________只列不解15.如图所示的网格是正方形网格，则__________填“>”“<”或“=”16.记为M，为我们知道，当这两个代数式中的x取某一确定的有理数时，M和N的值也随之确定，例如当时，若x和M，N的值如下表所示．x的值2cM的值3bN的值ab则a和c的值分别是：①__________；②__________.三、计算题：本大题共2小题，共20分。
北京市海淀区2023-2024学年七年级上学期数学期末质量检测试题合集两套(含解析)
北京市海淀区2023-2024学年七年级上册数学期末专项提升试题（卷一）一、选一选（每小题4分，共48分）1.8-的相反数是（）A.18B.8C.8- D.122.某地的气温是8℃，气温是-2℃，则该地这天的温差是()A.-10℃B.10℃C.6℃D.-6℃3.我国于2016年9月15日成功发射天宫二号空间实验室．它是我国自主研发的第二个空间实验室，标志着我国即将迈入空间站时代．天宫二号空间实验室运行的轨道高度距离地球日，数据用科学记数法表示为（）A.3.93×106B.39.3×104C.0.393×106D.3.93×1054.下列计算正确的是（）A.224x x x += B.2352x x x +=C.3x ﹣2x =1D.2222x y x y x y-=-5.如果－2a m b 2与12a 5b n+1的和仍然是单项式，那么m ＋n 的值为（）.A.5B.6C.7D.86.把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（）A.祝B.你C.顺D.利7.如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则∠BAC 的度数是（）A.85°B.105°C.125°D.160°8.根据等式的性质，下列变形正确的是（）A.如果23x =，那么23x a a= B.如果x y =，那么55x y-=-C.如果x y =，那么22x y-=- D.如果162x =，那么3x =9.已知有理数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A.a•b ＞0B.a+b ＜0C.|a |＜|b|D.a ﹣b ＞010.关于x 的方程2x+5a ＝3的解与方程2x+2＝0的解相同，则a 的值是（）A.1B.4C.15D.﹣111.程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x 人，依题意列方程得（）A.()31001003xx --= B.()31001003xx +-=C.10031003xx --= D.10031003xx -+=12.如图，一副三角尺按没有同的位置摆放，摆放位置中αβ∠=∠的图形的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（每小题4分，共24分）13.比较大小：13-______25-.14.如图，从A 地到B 地共有五条路，人们常常选择第③条，请用几何知识解释原因____.15.57.32︒=_______（）'______"16.互联网“”经营已成为大众创业新途径．某平台上一件商品进价为180元，按标价的八折，仍可获利60元，求这件商品的标价为________.17.如图，C 是线段AB 上一点，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点且MN =3cm ，则AB 的长为cm.18.下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第5个图中所贴剪纸“○”的个数为__________，第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为__________．三、解答题(共78分)19.计算：(1)()131486412⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭；(2)﹣110﹣8÷（﹣2）+4×|﹣5|.20.解方程：（1）262(35)x x -=-（2）12123x x+--=21.先化简，再求值224[63(42)]1x y xy xy x y ----+，其中21(y 2)0x ++-=．22.如图，平面上有四个点A ，B ，C ，D ．（1）根据下列语句画图:①射线BA；②直线AD，BC相交于点E；③延长DC至F（虚线），使CF=BC，连接EF（虚线）．（2）图中以E为顶点的角中，小于平角的角共有__________个．23.如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在A'处，BC为折痕．（1）图①中，若∠1=30°，求∠A BD'的度数；（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA重合，折痕为BE，如图②所示，∠1=30°，求∠2以及∠CBE的度数；（3）如果在图②中改变∠1的大小，则BA'的位置也随之改变，那么问题（2）中∠CBE的大小是否改变？请说明理由．24.八达岭森林体验，由八达岭森林体验馆和450公顷的户外体验区构成．森林体验馆包括“八达岭森林变迁“、“八达岭森林大家族“、“森林让生活更美好“等展厅，户外游憩体验系统根据森林生态旅游理念，采取少设施、设施集中的点线布局模式，突破传统的“看风景“旅游模式，强调全面体验森林之美．在室内展厅内，有这样一个可以动手操作体验的仪器，如图，小明在社会大课堂中，记录了这样一组数字：交通工具行驶100公里的碳足迹（kg）100公里碳中和树木棵树飞机13.90.06小轿车22.50.10公共汽车1.30.005根据以上材料回答问题：A ，B 两地相距300公里，小轿车以90公里/小时的速度从A 地开往B 地；公共汽车以60公里/小时的速度从B 开往A 地，两车同时出发相对而行，两车在C 地相遇，相遇后继续前行到达各自的目的地．（1）多少小时后两车相遇？（2）小轿车和公共汽车分别到达目的地，计算小轿车的碳足迹为多少？公共汽车的碳中和树木棵数为多少？（3）根据观察或计算说明，为了减少环境污染，我们应该选择哪种交通工具出行更有利于环保呢？25.我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．定义：如果b a N =（a ＞0，a ≠1，N ＞0），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =．例如：因为35125=，所以5log 1253=；因为211121=，所以11log 1212=．根据“对数”运算的定义，回答下列问题：（1）填空：6log 6=，3log 81=．（2）如果()2log 23m -=，求m 的值．（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“log log log a a a MN M N =⋅（a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）”，他的说确吗？如果正确，请给出证明过程；如果没有正确，请说明理由，并加以改正．北京市海淀区2023-2024学年七年级上册数学期末专项提升试题（卷一）一、选一选（每小题4分，共48分）1.8-的相反数是（）A.18B.8C.8- D.12【正确答案】B【详解】解：-8的相反数是8．故选B ．2.某地的气温是8℃，气温是-2℃，则该地这天的温差是()A.-10℃B.10℃C.6℃D.-6℃【正确答案】B【详解】试题分析：根据题意算式，计算即可得到结果．根据题意得：8﹣（﹣2）=8+2=10，则该地这天的温差是10℃，故选：B ．考点：有理数的减法3.我国于2016年9月15日成功发射天宫二号空间实验室．它是我国自主研发的第二个空间实验室，标志着我国即将迈入空间站时代．天宫二号空间实验室运行的轨道高度距离地球日，数据用科学记数法表示为（）A .3.93×106B.39.3×104C.0.393×106D.3.93×105【正确答案】D【详解】解：=3.93×105．故选D ．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于有6位，所以可以确定n=6-1=5．4.下列计算正确的是（）A.224x x x += B.2352x x x +=C.3x ﹣2x =1 D.2222x y x y x y-=-【正确答案】D【分析】根据合并同类项的法则：系数相加字母部分没有变，可得答案．【详解】A ．2222x x x +=，错误；B ．原式没有能合并，错误；C ．3x ﹣2x =x ，错误；D ．2222x y x y x y -=-，正确．故选：D ．5.如果－2a m b 2与12a 5b n+1的和仍然是单项式，那么m ＋n 的值为（）.A.5B.6C.7D.8【正确答案】B【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．【详解】解：∵-2a m b2与12a5b n+1是同类项，∴m=5，n+1=2，解得：m=1，∴m+n=6．故选B．本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．6.把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（）A.祝B.你C.顺 D.利【正确答案】C【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“祝”与面“利”相对，面“你”与面“考”相对，面“中”与面“顺”相对．故选：C．本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7.如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（）A.85°B.105°C.125°D.160°【正确答案】C【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故选：C ．本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．8.根据等式的性质，下列变形正确的是（）A.如果23x =，那么23x a a= B.如果x y =，那么55x y-=-C.如果x y =，那么22x y -=- D.如果162x =，那么3x =【正确答案】C【分析】根据等式的基本性质解决此题．【详解】解：A 、如果23x =，且a 0≠，那么23x a a=，故该选项没有符合题意；B 、如果x y =，那么55x y -=-，故该选项没有符合题意；C 、如果x y =，那么22x y -=-，故该选项符合题意；D 、如果162x =，那么12x =，故该选项没有符合题意；故选：C ．本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解决本题的关键．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个没有为零的数，结果仍得等式．9.已知有理数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A.a•b ＞0B.a+b ＜0C.|a |＜|b|D.a ﹣b ＞0【正确答案】D【详解】试题解析：由数轴可知：10,1 2.b a -<<<<A.0,ab <故错误.B.0.a b +>故错误.C.,a b >故错误.D.0.a b ->正确.故选：D ．10.关于x 的方程2x+5a ＝3的解与方程2x+2＝0的解相同，则a 的值是（）A .1B.4C.15D.﹣1【正确答案】A【详解】根据方程的解相同，可得关于a 的方程，解方程即可得答案．解：解方程220x +=，得1,x =-把1x =-代入253x a +=得，253a -+=，解得 1.a =故选A.11.程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x 人，依题意列方程得（）A.()31001003xx --= B.()31001003xx +-=C.10031003xx --= D.10031003xx -+=【正确答案】D【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．【详解】解：设大和尚有x 人，则小和尚有（100-x ）人，根据题意得：10031003xx -+=；故选：D ．本题考查了由实际问题抽象出一元方程，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程．12.如图，一副三角尺按没有同的位置摆放，摆放位置中αβ∠=∠的图形的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】C【分析】根据直角三角板可得个图形∠β=45°，进而可得∠α=45°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中∠α=∠β，第三个图形∠α和∠β互补．【详解】根据角的和差关系可得个图形∠α=∠β=45°，根据等角的补角相等可得第二个图形∠α=∠β，第三个图形∠α+∠β=180°，没有相等，根据同角的余角相等可得第四个图形∠α=∠β，因此∠α=∠β的图形个数共有3个，故选：C．此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．二、填空题（每小题4分，共24分）13.比较大小：13-______25-.【正确答案】>【分析】先将两个分数通分，然后进行比较即可．【详解】解：13-=515-，25-=1015-，∵515->1015-，∴13->25-，故>．本题考查了分数的大小比较，掌握知识点是解题关键．14.如图，从A地到B地共有五条路，人们常常选择第③条，请用几何知识解释原因____.【正确答案】两点之间，线段最短【详解】试题分析：在连接A、B的所有连线中，③是线段，是最短的，所以选择③的原因是：两点之间，选段最短．故答案为两点之间，线段最短．15.57.32︒=_______（）'______"【正确答案】①.57②.19③.12【详解】解：57.32°=57°19′12″．故答案为57，19，12．16.互联网“”经营已成为大众创业新途径．某平台上一件商品进价为180元，按标价的八折，仍可获利60元，求这件商品的标价为________.【正确答案】300元【详解】解：设这件商品的标价为x元，根据题意得：0.8x﹣180=60，解得：x=300．故300元．17.如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点且MN=3cm，则AB 的长为cm.【正确答案】6【详解】解：∵M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，∴AC=2MC，BC=2CN，∴AB=AC+BC=2（MC+CN）=2MN=6cm．故答案为6．18.下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第5个图中所贴剪纸“○”的个数为__________，第n个图中所贴剪纸“○”的个数为__________．【正确答案】①.17，②.3n+2【详解】解：个图案为3+2=5个窗花；第二个图案为2×3+2=8个窗花；第三个图案为3×3+2=11个窗花；…从而可以探究：第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个，当n=5时，3n+2=3×5+2=17个．故答案为17，3n+2．点睛：考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．三、解答题(共78分)19.计算：(1)()131486412⎛⎫-+⨯-⎪⎝⎭；(2)﹣110﹣8÷（﹣2）+4×|﹣5|.【正确答案】（1）24；（2）23【详解】试题分析：（1）括号内分母6，4，12都是48的因数，所以可以使用乘法的分配率简化运算；（2）先计算乘方和化简值，然后计算除法和乘法，计算加减即可．试题解析：解：（1）原式＝131(48)(48)(48)6412⨯--⨯-+⨯-＝－8＋36－4＝24；（2）原式＝－1－8÷(－2)＋4×5＝－1＋4＋20＝23．点睛：本题考查的是有理数的运算能力．注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．注意恰当的使用运算律可以简化运算．20.解方程：（1）262(35)x x -=-（2）12123x x+--=【正确答案】(1)x=1；(2)x=75.【详解】试题分析：（1）先去括号，然后把未知项移至等号左边，常数项移至等号右边，再合并同类项，两边除以未知数的系数，把系数化为1即可；（2）两边乘以6去掉分母，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．试题解析：解：（1）2x －6＝2(3x －5)，去括号得：2x －6＝6x －10，移项得：2x －6x ＝－10＋6，合并同类项得：－4x ＝－4，系数化为1得：x ＝1；（2）去分母得：3(x ＋1)－6＝2(2－x )，去括号得：3x ＋3－6＝4－2x ，移项得：3x ＋2x ＝4－3＋6，合并同类项得：5x ＝7，系数化为1得：x ＝75．点睛：本题考查了一元方程的解法，熟记解法的一般步骤和等式的性质是解决此题的关键．21.先化简，再求值224[63(42)]1x y xy xy x y ----+，其中21(y 2)0x ++-=．【正确答案】化简结果为：2565+-x y xy ,原式=-7【详解】试题分析：先根据两个非负数的和为0则这两个数都为0求出x 、y 的值，然后先去掉小括号，再去掉中括号，合并同类项后，代入x 、y 的值计算即可．试题解析：解：∵|x ＋1|＋(y －2)2＝0，∴x ＋1＝0，y －2＝0，解得：x ＝－1，y ＝2，4x 2y －[6xy －3(4xy －2)－x 2y ]＋1＝4x 2y －[6xy －12xy ＋6－x 2y ]＋1＝4x 2y －6xy ＋12xy －6＋x 2y ＋1＝5x 2y ＋6xy －5，当x ＝－1，y ＝2时，原式＝5×(－1)2×2＋6×(－1)×2－5＝10－12－5＝－7．22.如图，平面上有四个点A ，B ，C ，D ．（1）根据下列语句画图:①射线BA；②直线AD，BC相交于点E；③延长DC至F（虚线），使CF=BC，连接EF（虚线）．（2）图中以E为顶点的角中，小于平角的角共有__________个．【正确答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点画出图形即可；（2）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，根据角的概念数出角的个数即可．【详解】解：（1）画图如下：（2）(前面数过的没有再重数)以EF为始边的角有4个，以EC为始边的角有1个，以EA为始边的角有1个，以EC的反向延长线为始边的有1个，以EA的反向延长线为始边的有1个，所以以E为顶点的角中，小于平角的角共有8个．此题主要考查了角、直线、射线、线段，关键是掌握角的概念及直线、射线、线段的特点．23.如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在A'处，BC为折痕．'的度数；（1）图①中，若∠1=30°，求∠A BD（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA重合，折痕为BE，如图②所示，∠1=30°，求∠2以及∠CBE的度数；（3）如果在图②中改变∠1的大小，则BA'的位置也随之改变，那么问题（2）中∠CBE的大小是否改变？请说明理由．【正确答案】（1）120°；（2）90°．（3）结论：∠CBE没有变．【分析】（1）先根据折叠的性质求出∠ABC的度数，然后根据∠A′BD＝180°－∠ABC－∠1计算即可；（2）由∠A′BD＝120°，∠2＝∠DBE，可得∠2＝12∠A′BD＝60°，根据∠CBE＝∠1＋∠2计算出∠CBE；（3）由∠1＋∠2＝12∠ABA′＋12∠A′BD＝12(∠ABA′＋∠A′BD)计算即可．【详解】解：（1）∵∠1＝30°，∴∠1＝∠ABC＝30°，∴∠A′BD＝180°－30°－30°＝120°．（2）∵∠A′BD＝120°，∠2＝∠DBE，∴∠2＝12∠A′BD＝60°，∴∠CBE＝∠1＋∠2＝30°＋60°＝90°．（3）结论：∠CBE没有变．∵∠1＝12∠ABA′，∠2＝12∠A′BD，∠ABA′＋∠A′BD＝180°，∴∠1＋∠2＝12∠ABA′＋12∠A′BD＝12（∠ABA′＋∠A′BD）＝12×180°＝90°．即∠CBE＝90°．24.八达岭森林体验，由八达岭森林体验馆和450公顷的户外体验区构成．森林体验馆包括“八达岭森林变迁“、“八达岭森林大家族“、“森林让生活更美好“等展厅，户外游憩体验系统根据森林生态旅游理念，采取少设施、设施集中的点线布局模式，突破传统的“看风景“旅游模式，强调全面体验森林之美．在室内展厅内，有这样一个可以动手操作体验的仪器，如图，小明在社会大课堂中，记录了这样一组数字：交通工具行驶100公里的碳足迹（kg）100公里碳中和树木棵树飞机13.90.06小轿车22.50.10公共汽车 1.30.005根据以上材料回答问题：A，B两地相距300公里，小轿车以90公里/小时的速度从A地开往B地；公共汽车以60公里/小时的速度从B开往A地，两车同时出发相对而行，两车在C地相遇，相遇后继续前行到达各自的目的地．（1）多少小时后两车相遇？（2）小轿车和公共汽车分别到达目的地，计算小轿车的碳足迹为多少？公共汽车的碳中和树木棵数为多少？（3）根据观察或计算说明，为了减少环境污染，我们应该选择哪种交通工具出行更有利于环保呢？【正确答案】(1)两车2小时相遇.(2)0.015(棵)(3)通过观察得出，我们应尽量选择公共交通出行，有利于环保．【详解】试题分析：（1）x小时两车相遇，根据两车x小时行驶的路程之和为300列出方程求解即可；（2）小轿车行驶的总路程300公里除以100再乘以行驶100公里的碳足迹（Kg）22.5即可计算出小轿车的碳足迹，公共汽车行驶的总路程300公里除以100再乘以100公里碳中和树木棵数0.005计算即可；（3）根据表格中提供的数据可知小轿车行驶100公里的碳足迹（Kg）大于公共汽车行驶100公里的碳足迹（Kg），小轿车100公里碳中和树木棵数大于公共汽车100公里碳中和树木棵数，由此可知我们应尽量选择公共交通出行，有利于环保．解：（1）设x小时两车相遇，根据题意列方程得90x＋60x＝300，解得：x＝2，答:两车2小时相遇；（2）小轿车到达目的地，碳足迹为22.5×3＝67.5（Kg）；公共汽车到达目的地碳中和树木棵数为：0.005×3＝0.015(棵)；(3)通过观察得出，我们应尽量选择公共交通出行，有利于环保．点睛：本题主要考查了一元方程的实际应用，根据题意列出方程是解决此题的关键．25.我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．定义：如果b a N =（a ＞0，a ≠1，N ＞0），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =．例如：因为35125=，所以5log 1253=；因为211121=，所以11log 1212=．根据“对数”运算的定义，回答下列问题：（1）填空：6log 6=，3log 81=．（2）如果()2log 23m -=，求m 的值．（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“log log log a a a MN M N =⋅（a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）”，他的说确吗？如果正确，请给出证明过程；如果没有正确，请说明理由，并加以改正．【正确答案】（1）1，4；（2）m=10；（3）没有正确，改正见解析.【详解】试题分析：（1）根据新定义由61=6、34=81可得log 66=1，log 381=4；（2）根据定义知m ﹣2=23，解之可得；（3）设a x =M ，a y =N ，则log a M =x 、log a N =y ，根据a x •a y =a x +y 知a x +y =M •N ，继而得log a MN =x +y ，据此即可得证．试题解析：解：（1）∵61=6，34=81，∴log 66=1，log 381=4．故答案为1，4；（2）∵log 2（m ﹣2）=3，∴m ﹣2=23，解得：m =10；（3）没有正确，设a x =M ，a y =N ，则log a M =x ，log a N =y （a ＞0，a ≠1，M 、N 均为正数）．∵a x •a y =x y a +，∴x y a +=M •N ，∴log a MN =x +y ，即log a MN =log a M +log a N ．点睛：本题考查了有理数和整式的混合运算，解题的关键是明确题意，可以利用新定义进行解答问题．北京市海淀区2023-2024学年七年级上册数学期末专项提升试题（卷二）一、选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）1.-0.2的相反数是（）A.-2B.2C.0.2D.-52.下列四个数中，的一个数是（）A.2B.C.0D.﹣23.我国倡导的“”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据“”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()A.4.4×108B.4.40×108C.4.4×109D.4.4×10104.点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b.对于以下结论：甲：b−a<0；乙：a+b>0；丙：|a|<|b|；丁：ba>0；其中正确的是()A.甲乙B.丙丁C.甲丙D.乙丁5.a 是负无理数，下列判断正确的是（）A.-a a< B.2a a >C.23a a < D.2a a <6.下列各式计算正确的是（）A.5x+x=5x 2B.3ab 2﹣8b 2a=﹣5ab 2C.5m 2n ﹣3mn 2=2mnD.﹣2a+7b=5ab7.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC 等于()A.73°B.56°C.68°D.146°8.在直线AB 上任取一点O ，过点O 作射线OC ，OD ，使OC ⊥OD ，当∠AOC ＝30°时，∠BOD 的度数是()A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°9.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A.84B.336C.510D.132610.如图，在数轴上，A 1，P 两点表示的数分别是-1，-2，作A 1关于原点O 对称的点得A 2，作A 2关于点P 对称的点得A 3，取线段A 1A 3的中点M 1，作M 1关于原点O 对称的点得A 4，作A 4关于点P 对称的点得A 5，取线段A 1A 5的中点M 2，……依此规律，则A 8表示的数是（）A.4．25B.4.5C.4.75D.5二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11.2-3=__________．12.16的平方根是．13.已知关于x 的方程2x+a ﹣5=0的解是x=2，则a 的值为_______．14.如果代数式的值为5，那么代数式的值为____________．15.如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案①需要4根小棒，图案②需要10根小棒……，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒________________根(用含有n 的代数式表示)．16.书店举行购书优惠：①性购书没有超过100元，没有享受打折优惠；②性购书超过100元但没有超过200元一律打九折；③性购书200元一律打七折．小丽在这次中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是__________元．三、解答题（本题有8小题，共66分）17.计算：（1）﹣13+10﹣7（2）21—41——9—59÷（）（）18.化简：（1）222a 3a a a-++-（2）1232(6)234x x ----（19.先化简，再求值：2222332(22)x xy y x xy y -+--+（），其中21(2)0x y -++=20.解方程：（1）3(1)5x x --=（2）3121146x x --=-21.如图(1)，在5×5正方形ABCD 中，每个小正方形的边长都是1.(1)如图(2)，连结各条边上的四个点E ，F ，G ，H 可得到一个新的正方形，那么这个新正方形的边长是；(2)将新正方形做如下变换，点E 向D 点运动，同时点F 以相同的速度向点A 运动，其他两点也做相同变化；当E ，F ，G ，H 各点分别运动到AD ，AB ，BC ，CD 的什么位置时，所得的新正方形面积是13，在图(3)中画出新正方形，此时AE=；(3)在图(1)中作出一条以A 为端点的线段AP ，使得线段10，且点P 必须落在横纵线的交叉点上．22.如图1是一副三角尺拼成的图案（1）则∠EBC的度数为_________度；（2）将图1中的三角尺ABC绕点B旋转到AB⊥BD时，作∠DBC的角平分线BF，直接写出∠EBF的度数是_________度；（3）将图1中的三角尺ABC绕点B旋转α度（0°＜α＜90°）能否使∠ABE=2∠DBC？若能，则求出∠EBC的度数；若没有能，说明理由．（图2、图3供参考）23.图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小没有同的空心套管连接而成.闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图1所示)；使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2所示)．图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图，已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm，完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x cm．(1)请直接写出第5节套管的长度；(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．24.已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值．若没有存在，请说明理由？⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点P到点A、点B的距离相等？北京市海淀区2023-2024学年七年级上册数学期末专项提升试题（卷二）一、选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）1.-0.2的相反数是（）A.-2B.2C.0.2D.-5【正确答案】C的相反数是0.2.【详解】试题解析：0.2故选C.点睛：只有符号没有同的两个数互为相反数.2.下列四个数中，的一个数是（）A.2B.3C.0D.﹣2【正确答案】A【详解】根据实数比较大小的方法，可得：﹣2＜032，故四个数中，的一个数是2．故选A．本题考查实数的大小比较，无理数与有理数比较大小可平方后再比较大小.3.我国倡导的“”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据“”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()A.4.4×108B.4.40×108C.4.4×109D.4.4×1010【正确答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．【详解】解：4400000000=4.4×109，故选C．4.点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：甲：b−a<0；乙：a+b>0；丙：|a|<|b|；丁：ba>0；其中正确的是()A.甲乙B.丙丁C.甲丙D.乙丁【正确答案】C【分析】根据有理数的加法法则判断两数的和、差及积的符号，用两个负数比较大小的方法判断．【详解】甲：由数轴有，0<a<3，b<−3，∴b−a<0，甲的说确，乙：∵0<a<3，b<−3，∴a+b<0乙的说法错误，丙：∵0<a<3，b<−3，∴|a|<|b|，丙的说确，丁：∵0<a<3，b<−3，∴ba<0，丁的说法错误；故选C.此题考查值，数轴，解题关键在于数轴进行解答.5.a 是负无理数，下列判断正确的是（）A.-a a <B.2a a >C.23a a < D.2a a <【正确答案】D【详解】试题解析：a 是负无理数，20.a a >>故选D.6.下列各式计算正确的是（）A .5x+x=5x 2B.3ab 2﹣8b 2a=﹣5ab 2C.5m 2n ﹣3mn 2=2mnD.﹣2a+7b=5ab【正确答案】B【详解】试题解析:A. 56.x x x +=故错误.B.正确.C.没有是同类项，没有能合并.故错误.D.没有是同类项，没有能合并.故错误.故选B.点睛：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.7.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC 等于()A.73°B.56°C.68°D.146°【正确答案】A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE ，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE=12∠CBE ，可得出∠ABC 的度数．【详解】如图，∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE=12∠CBE=73°．故选：A考点：平行线的性质．8.在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD 的度数是()A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°【正确答案】D【详解】①当OC、OD在AB的一旁时，∵OC⊥OD，∴∠DOC=90°，∵∠AOC=30°，∴∠BOD=180°−∠COD−∠AOC=60°②当OC、OD在AB的两旁时，∵OC⊥OD，∠AOC=30°，∴∠AOD=60°，∴∠BOD=180°−∠AOD=120°．故选D．9.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A.84B.336C.510D.1326【正确答案】C【详解】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，故选：C ．点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.10.如图，在数轴上，A 1，P 两点表示的数分别是-1，-2，作A 1关于原点O 对称的点得A 2，作A 2关于点P 对称的点得A 3，取线段A 1A 3的中点M 1，作M 1关于原点O 对称的点得A 4，作A 4关于点P 对称的点得A 5，取线段A 1A 5的中点M 2，……依此规律，则A 8表示的数是（）A.4．25B.4.5C.4.75D.5【正确答案】B【详解】试题解析：∵点1A 表示-1，点P 表示-2，12A A 、关于点O 对称，∴2A 表示1，同理可知：3A 表示-5，4A 表示3，5A 表示-7，6A 表示4，7A 表示-6，6A 表示4.5.故选B.二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11.2-3=__________．【正确答案】1【详解】试题解析：231 1.-=-=故答案为1.12.16的平方根是．【正确答案】±4【详解】由（±4）2=16，可得16的平方根是±4，故±4．13.已知关于x 的方程2x+a ﹣5=0的解是x=2，则a 的值为_______．【正确答案】1。
2023-2024学年北京市海淀区中关村中学七年级(下)期中数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区中关村中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，和是邻补角的是()A. B.C.D.2.9的算术平方根是()A.3B.C. D.3.下列各数中，无理数是()A.B.C.D.4.小明读了：“子非鱼，焉知鱼之乐乎？”后，利用电脑画出了鱼儿的各种形态，请问：右图中所示的小鱼图案经过平移后得到的是()A. B.C.D.5.如图，，，则的度数为()A.B.C.D.6.如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点O，如果，那么以下四个结论中错误的是()A.B.C.D.7.下列命题中，假命题是()A.对顶角相等B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C.在同一平面内三条直线a，b，c，如果，，那么D.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补8.如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为，表示九龙壁的点的坐标为，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是()A.保和殿B.养心殿C.武英殿D.景仁宫9.在平面直角坐标系xOy中，以O，A，B，C为顶点的正方形的边长为若点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为()A. B.C.或D.或10.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点B在y轴上，对于线段AB有如下四个结论：①线段AB的最小值是2；②线段AB的最大值是2；③线段AB可能经过点；④线段AB可能经过点上述结论中，所有正确结论的序号是()A.①③B.②③C.②④D.①④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.的相反数是__________.12.点在y轴上，则P点坐标是__________.13.如图，数轴上点A，B对应的实数分别是，2，点C在线段AB上运动，如果点C表示无理数，那么点C可以是__________写出一个即可14.如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道PA、PB、PC、PD，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是__________，理由是__________.15.在平面直角坐标系中，如果过点和点B的直线平行于x轴，且，那么点B的坐标是__________.16.如图，直线，直线AB分别与直线a，b相交于点C和点B，过点C作射线于C，若，则的度数是__________.17.如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为，，船C的位置应表示为__________.18.将1，，，，按右侧方式排列.若规定表示第m排从左向右第n个数，则所表示的数是__________；与表示的两数之积是__________.三、解答题：本题共9小题，共54分。
2007年海淀区“新课程”七年级第一学期期末测评
2007年海淀区“新课程”七年级第一学期期末测评数学第一部分做一做一、相信你！都能选择对：（本题共12分，每小题3分）在四个选项中只有一个是正确的。
1．若一个数的绝对值是正数，则这个数一定是（）。
A、正数B、负数C、非零数D、任意有理数2．已知两个等角互余，则其中一个角的度数是（）。
A、30°B、45°C、60°D、75°3．下列各题中的两项是同类项的是（）。
A、2a2b与-2ab2B、-a2b2与-a2bC、ab2与b2aD、5ab与-7a2b24．下列各式中与a-(2a-3b)的值相等的是（）。
A、a-2a-3bB、a+[(-2a)-3b]C、a+(-2a+3b)D、a+[-(2a+3b)]二、希望你能填得既快又准：（本题共24分，每空3分）5．已知两数之和是11，其中一个加数是-7，则另一个加数是_______。
6．一个角的度数是36°43′，则它的补角的度数是_______。
7．一本书有96页，如果每天读x页，3天后还剩_______页。
8．如果一条线段AB的长是24cm, C是AB上一点，若D是AC的中点，且AD长是7cm, 则线段CB的长是_______cm。
9．据第五次人口普查统计，我国人口已达129533万人，请用科学记数法表示该数，并保留四位有效数字，其结果是______。
10．如图，在三角形ABC中，D是AC上一点，则在此图中与∠C是同旁内角的角的个数是_______个。
11．抛掷两枚一元的硬币，同时出现两枚硬币的国徽面朝上的可能性是_______。
12．如图，AO⊥OB于O点，CO⊥OD于O点，如果知道∠COA的度数是38°，那么∠BOD=_______度。
三、做一做，你能不出错吗？（本题共24分，13-16题中各题各4分，17、18题5分）13．计算：(1) -32+(-3)2-| |×(-10)2(2) -6×14．化简：(1) 3(x+y)-(x+y)+ (x+y)- (x+y)(2) 2(2a2+9b)+3(-5a2-4b)15．已知一个正方体的棱长是1厘米，请画出它的一个平面展开图。
北京市海淀区实验中学初一分班数学试卷和答案
北京市海淀区实验中学初⼀分班数学试卷和答案2012年北京市海淀区实验中学初⼀分班数学试卷⼀、填空：（每题4分）1．⼀个数的⼩数部分扩⼤4倍就变成2.6．如果这个数的⼩数部分扩⼤7倍就变成3.8，那么这个数是_________2．把⼀根8⽶长的绳⼦平均分成n段，每段长_____⽶，2段占全长的________3．⼀个质数p，使得p+2，p+4同时都是质数，则1p +1p+2+1p+4=___________4．⼀批货物第⼀次降价20%，第⼆次按降价后的价格⼜降价15%，这批货物的价格⽐原价格降低_____________5．下⾯图形是由16个边长为2cm的正⽅体组成，问该组合图形的表⾯积是_________cm2．⼆、简答题：（每题8分）6．7200×[12+13+171]=(14+15+16)÷(19?12)，其中_____内应填_________7．有甲、⼄、丙三种货物，若购甲3件、⼄7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、⼄10件、丙1件，共需27元；则购买甲、⼄、丙各1件，共需要______元．8．如下图，已知三⾓形ABC⾯积是1平⽅厘⽶，延长AB⾄D，使BD=AB，延长BC⾄E，使CE=2BC，延长CA⾄F，使AF=3AC，求三⾓形DEF的⾯积．9．学校乒乓球队⼀共有4名男⽣和3名⼥⽣．某次⽐赛后他们站成⼀排照相，请问：（1）如果要求男⽣不能相邻，⼀共有多少不同的站法？（2）如果要求⼥⽣都站在⼀起，⼀共有多少种不同的站法？三、解答题：（每题8分）10．将浓度为20%的盐⽔与浓度为5%的盐⽔混合，配成浓度为15%的盐⽔450克，需浓度为20% 盐⽔__________克，浓度为5%的盐⽔___________克．11．⼀段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之⽐是1：2：3，某⼈⾛这三段路所⽤的时间之⽐是4：5：6．已知他上坡时每⼩时⾏2.5千⽶，路程全长为20千⽶．此⼈⾛完全程需多长时间？12．⼀件⼯程，甲⼄丙三⼈合作需要13天，如果丙休息2天，⼄就要多做4天，或者由甲⼄两⼈合作多做1天．问：这项⼯程由甲独做需要多少天？13．如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个⼩圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的⾯积．（圆周率取3）14．某⼯⼚⽣产的灯泡中有 15是次品，实际检查时，只发现其中的 45被剔除，另有 120的正品也被误以为是次品⽽剔除，其余灯泡全部上市出售，那么该⼯⼚出售的灯泡中次品所占的百分⽐是多少？2012年北京市海淀区实验中学初⼀分班数学试卷答案⼀、填空1.【考点】：差倍问题．【分析】：依据题意：这个⼩数⼩数部分扩⼤4倍，这个⼩数就变成2.6，这个⼩数的⼩数部分扩⼤7倍，这个⼩数就变成3.8，可得出，⼩数部分多扩⼤7-4=3倍，⼩数部分就多3.8-2.6=1.2，据此求出这个⼩数的⼩数部分，再求出⼩数部分扩⼤4倍的值，依据整数部分=2.6-扩⼤4倍后的⼩数部分【解答】．【解答】：解：（3.8-2.6）÷（7-4），=1.2÷3，=0.4；2.6-0.4×4，=2.6-1.6，=1，答：原来这个⼩数是1.4．【故答案为】：1.4．点评：【解答】本题的关键是：根据⼩数部分多扩⼤3倍，⼩数部分就多3.8-2.6=1.2，据此求出这个⼩数的⼩数部分．2.【考点】：分数的意义、读写及分类．【分析】：把⼀根8⽶长的绳⼦平均分成n段，根据分数的意义可知，即将这根绳⼦当做单位“1”，则其中的⼀段占全长的1n ，长为8×1n= 8n⽶，其中2段占全长的1n×2=2n【解答】：解：每段长为：8×1n = 8n⽶，其中2段占全长的：1n ×2=2n【故答案为】：8n ，2n3.【考点】：质数与合数问题．【分析】：根据质数的特点分析可得，这连续三个质数分别是：3，5，7．代⼊代数式中即可计算得出结果．【解答】：解：根据题⼲【分析】可得：这三个质数分别是：3，5，7，1/3+1/5+1/7，=35/105 +21/105+5/105=71/105则1p +1p+2+1p+4=71105【故答案为】：711054.【考点】：百分数的实际应⽤．【分析】：先把这批货物的原价看做单位“1”，可以假设这批货物原价是100元，先求出第⼀次降价20%后的价格：100×（1-20%）=80（元），再把第⼀次降价后的价格看做单位“1”，求出第⼆次降价15%后的价格：80×（1-15%）=68（元），最后求出现价⽐原价降低了百分之⼏：（100-68）÷100=32%．【解答】：解：设原价为100元，第⼀次降价后的价格：100×（1-20%）=80（元），第⼆次降价后的价格：80×（1-15%）=68（元），现价⽐原价降低：（100-68）÷100=32%；答：这批货物的价格⽐原价格降低32%．【故答案为】：32%．5.【考点】：不规则⽴体图形的表⾯积．【分析】：前后⾯能看到的正⽅形的⾯的个数是：7×2=14个，左右⾯能看到的正⽅形的⾯的个数是：9×2=18个，上下⾯能看到的正⽅形的⾯的个数是：9×2=18个，然后⽤⼀个正⽅形的⾯积乘能看到的正⽅形的⾯的总个数，就是该组合图形的表⾯积，据此解答．【解答】：解：能看到的正⽅形的⾯的个数是：7×2+9×2+9×2，=14+18+18，=50（个），表⾯积是：2×2×50，=4×50，=200（平⽅厘⽶）；答：该组合图形的表⾯积是200平⽅厘⽶．【故答案为】：200．⼆、简答142，即这个分数的分母为42．【故答案为】42．7.【考点】：简单的等量代换问题．【分析】：⽤27元减去20元就是甲1件，⼄3件的钱数，我们运⽤20元乘以2就是甲6件⼄14件丙2件的钱数，然后运⽤20乘以2减去27就是甲2件，⼄4件，丙1件，最后运⽤20乘以2减去27的差减去27与20的差就是买甲、⼄、丙各1件需要的钱数．【解答】：解：20×2-27-（27-20），=13-7，=6（元）；答：买甲、⼄、丙各1件需要6元．8.【考点】：三⾓形⾯积与底的正⽐关系．【分析】：连接AE和CD，要求三⾓形DEF的⾯积，可以分成三部分来分别计算，如下图所⽰：此题关键是利⽤⾼⼀定时，三⾓形的⾯积与⾼对应的底成正⽐的关系进⾏计算的；三⾓形ABC是⼀个重要的条件，抓住图形中与它同⾼的三⾓形进⾏分析计算，即可解得下⾯⼤三⾓形的⾯积．【解答】：解：因为BD=AB，所以S△ABC=S△BCD=1（平⽅厘⽶）；则S△ACD=1+1=2（平⽅厘⽶），因为AF=3AC，所以FC=4AC，所以S△FCD=4S△ACD=4×2=8（平⽅厘⽶），同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2（平⽅厘⽶），则S△FCE=4S△ACE=4×2=8（平⽅厘⽶）；S△DCE=2S△BCD=2×1=2（平⽅厘⽶）；所以S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18（平⽅厘⽶），答：三⾓形DEF的⾯积是18平⽅厘⽶．9.【考点】：排列组合．【分析】：（1）要求男⽣不能相邻，则可以先排⼥⽣，然后把男⽣插进⼥⽣之间的空位⾥，因为有3名⼥⽣，考虑到两端也可以放⼈，所以⼀共有4个空位；然后根据乘法原理求出⼀共有多少站法；（2）根据题意，采取捆绑法，将所有的⼥⽣看成⼀个整体，那么3个⼥⽣就有A33种排法；男⽣有4⼈，就有5个空位可以让3个⼥⽣占；再根据乘法原理，它们的积就是全部的站法．【解答】：解：（1）A33×A44=6×24=144（种）；答：男⽣不能相邻，⼀共有144种不同的站法．（2）A33×A55=6×120=720（种）；答：⼥⽣都站在⼀起，⼀共有720种不同的站法．10.【考点】：浓度问题．【分析】：要求需浓度为20%盐⽔和浓度为5%的盐⽔各多少千克，由题意可知，⽤⽅程【解答】较好理解；设要20%的盐⽔x 克，5%的盐⽔（450-x）克，根据“盐的重量不变”，利⽤数量间的相对关系列出⽅程，进⾏【解答】即可；【解答】：解：设要20%的盐⽔x克，5%的盐⽔（450-x）克20%x+（450-x）×5%=450×15%，0.2x+22.5-0.05x=67.5，x=300；450-300=150（克）；答：要20%的盐⽔300克，5%的盐⽔150克．【故答案为】：300，150．11.【考点】：按⽐例分配应⽤题；简单的⾏程问题．【分析】：各段路程的长度之⽐是1：2：3，且全长为20千⽶；那么上坡、平路、下坡长度分别为 10/3千⽶、 20/3千⽶、10千⽶．那么上坡时间为： 10/3÷2.5= 4/3（⼩时），上坡：平路=4：5 那么平路时间为： 4/3× 5/4= 5/3（⼩时），上坡：下坡=4：6 那么平路时间为： 4/3× 6/4=2（⼩时），总时间为： 4/3+ 5/3+2，计算即可．【解答】：解：1+2+3=6，上坡路：20×1/6=10/3（千⽶），平路：20×2/6=20/3（千⽶），下坡路：20×3/6=10（千⽶）；平路时间为：4/3×5/4=5/3（⼩时），平路时间为：4/3×6/4=2（⼩时），总时间为：4/3+5/3+2=5（⼩时）．答：此⼈⾛完全程需5⼩时．12. 【考点】：简单的⼯程问题．【分析】：丙休息2天，⼄就要多做4天，⼄丙效率⽐ 1/4：1/2 =1：2，⼄做4天等于甲⼄合作⼀天，甲⼄效率⽐为（4-1）：1=3：1，所以甲：⼄：丙=3：1：2，则甲⼯作⼀天能完成三⼈合作⼯作量的 33+1+2，则甲单独做需要：13÷33+1+2=26天．【解答】：解：根据题意可知：⼄丙效率⽐1/4：1/2 =1：2，甲⼄效率⽐为（4-1）：1=3：1，所以甲：⼄：丙=3：1：2．则甲独做需要：13÷33+1+2=13÷1/2=26（天）；答：项⼯程由甲独做需要26天．13.【考点】：圆与组合图形．【分析】：如图，由于这两个圆与三个⼩半圆半径相等，且这两个圆与三个⼩半圆和⼤半圆都相切，⼤半圆的⾯积减去两个⼩圆的⾯积，被平均分成三份，⽤出⼤半圆的⾯积减去两个圆的⾯积，再除以3即是阴影部分的⾯积．【解答】：解：如图，1+1+1=3（厘⽶）（3×32÷2-3×12×2）÷3=3×（9÷2-1×2）÷3=3×（4.5-2）÷3=3×2.5÷3=2.5（平⽅厘⽶）【故答案为】：2.5平⽅厘⽶14.【考点】：百分数的实际应⽤．【分析】：不妨设共⽣产100个灯泡，1/5是次品，也就是有20个是次品；4/5被剔除，也就是还剩下20×（1- 4/5）=4个次品，1/20的正品被剔除，也就是80× 1/20=4（个）．出售时剩下76个正品，4个次品，所以次品所占的百分⽐是4÷（76+4），解答即可．【解答】：解：设共⽣产100个灯泡，次品数量为：100×1/5×（1-4/5），=20×1/5，=4（个）；正品数量为：80×（1-1/20），=80×19/20，=76（个）；次品所占的百分⽐是：4÷（76+4），=4÷80，=5%；答：该⼯⼚出售的灯泡中次品所占的百分⽐是5%．。
2007年全国初中数学联赛试题及答案详解
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为 （ ） （A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）. 注：本题也可用特殊值法来判断. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ） （A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ） （A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C.解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32. 【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=. 易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ； 当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___.解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a .2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____.解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是___17____.解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得 ))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）AB CD E F G M N一、 （本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥.由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅. 又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根. AB CD E F M N P解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.第二试 （B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mtx mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22. 所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程 0311)12(2=-+++a x a x （2） 必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数，而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。
2023-2024学年北京市海淀区七年级下学期期末数学练习试题
2023-2024学年北京市海淀区七年级下学期期末数学练习试题1.下列所示的图案分别是奔驰、雪铁龙、大众、三菱汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．2.如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（）A．A，O之间B．B，C之间C．C，D之间D．O，B之间3.已知是方程的一个解，则a的值为（）A．B．C．D．4.如果，那么下列不等式变形正确的是（）A．B．C．D．5.一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50km，要在12：00之前驶过A地，设车速为km/h，根据题意可列不等式为（）A．B．C．D．6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，若，，则的度数为（）A．B．C．D．7.如果点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为()A．B．C．D．8.关于x，y的二元一次方程的正整数解的组数有（）A．1组B．2组C．3组D．4组9.如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是（）A．B．C．D．10.2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示了全国2018年至2022年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（）①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；③2018—2022年进口额年增长率持续下降；④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④11.81的算术平方根是_____．12.一个正数的两个平方根是和，则的立方根为________.13.如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是______．14.已知平面直角坐标系中有两点、，且轴时，求点M的坐标为________．15.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是__________．16.规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的折线距离为．如图①点M(－2，3)与点N(1，－1)之间的折线距离为______；如图②点P(3，－4)，若点Q的坐标为(t，3)，且，则t的值为__________．17.解方程组：(1)(2)18.解一元一次不等式组：．19.已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是的整数部分，求的算术平方根．20.如图，是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）．（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；（2）分别写出教学楼、体育馆的位置；（3）若学校行政楼的位置是（﹣1，﹣1），在图中标出行政楼的位置．21.如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角及扶手与靠背的夹角的度数．22.如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为克，当右盘放有个相同的砝码时，天平处于平衡状态．(1)若，求天平处于平衡状态时的值．(2)若一个二元一次方程的解，都是正整数，我们把，称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的，的正整数值．(3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买本笔记本，支圆珠笔，共需要元，求购买本笔记本和支圆珠笔的费用．23.雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步，为进一步弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额进行统计，并用得到的数据绘制了如下统计图（不完整）．请根据相关信息，解答下列问题，(1)所抽取学生的人数为______；在扇形统计图中，捐款金额为40元所对的扇形的圆心角的度数为______，并补全条形统计图；(2)所抽取学生的捐款金额的中位数是_____元，并求出所抽取学生的平均捐款金额；(3)若该校共有1200名学生参与捐款，请你估计该校学生捐款金额不少于30元的人数．24.我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．(1)求不等式的解集．(2)若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．(3)若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围．25.在四边形中，，和的角平分线或邻补角角平分线分别为和．如图1，当，都为角平分线时，小明发现，并给出下面的理由：解：∵，，，，∴，∴．又∵，，∴，∴，∴．根据小明的发现，解决下面的问题：(1)如图2，当，都为邻补角的角平分线时，与的位置关系是什么？并给出理由．(2)如图3，当是角平分线，是邻补角的角平分线时，请你探索与的位置关系，并给出理由．（提示：两直线平行，内错角相等）26.在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横纵坐标的绝对值之和等于点Q的横纵坐标的绝对值之和，则称P，Q两点为“等和点”．下图中的P，Q两点即为“等和点”．(1)已知点A的坐标为．①在点中，与点A为“等和点”的是（只填字母）；②若点B在第一象限的角平分线上，且A，B两点为“等和点”，则点B的坐标为．(2)已知点C的坐标为，点D的坐标为，连接，点M为线段CD上一点，过点作x轴的垂线l，若垂线l上存在点M的“等和点”，求n的取值范围．。
北京市海淀区重点中学18年实验班初一寒假数学作业(两栏式,含答案)
本题考察了含有多重绝对值号的复杂计算.19[答案]D [解析] 届希望杯] 已知,,a b c 都是整数， m =|a b + |+|b c - |+|a c -一定是奇数． (B) m 一定是偶数．,b c 同奇或同偶时，m 是偶数． (D) m 的奇偶性不能确定．1111111；④若(B)①、③正确，②、④不正确．(D)①、②、③、④都不正确．x<-b15＞x－32＜x＋a只有4个整数解，则a的取值范围是（）．－143B．－5≤a＜－143C．－5＜a≤－143D．－5＜a＜－143【解析】先求不等式组的解集，根据题意，进一步确定a的范围．15＞x－3-x>b盐水浓度变为【考点】本题考察了含有参数（设而不求）的二元一次方程组的应用.年衡阳中考〗市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％和95（１）若购买树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株?（２）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗?（３）若希望这批树苗的成活率不低于92％，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗?The admission price per child at all amusement park isIf the admission prioe for 6 adults and 3 ! children is【考点】本题是针对一元一次方程的应用技巧与英语阅读能力的综合考察.届希望杯〗一次考试共需做20个小题，做对一个得8分，做错一个减5分．某学生共得13分．那么这个学生没有做的题目有个．届希望杯〗在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新盐水，它的浓度为在新盐水中加入与前述“一杯水”质量相等的纯盐后，盐水浓度变为，【考点】本题考察了含参方程组的应用，同时考察了应用加减消元法求解方程组.届希望杯〗长度相等，粗细不同的两支蜡烛，其中的一支可燃3小时．另一支可燃将这两支蜡烛同时点燃，当余下的长度中，一支是另一支的3倍时，蜡烛点燃了【考点】本题考察了一次方程在实际问题中的应用(为便于学生理解,也可以设出蜡烛长度明设而不求的本质,加深理解).[答案]C[解析] 将题目中的展开图形还原，只有答案B不能还原成正方体.中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的答案，那[答案]352.5 度5. [第13届希望杯] The radius of the four circles is one in theof the shade part is__(英汉小字典:radius:[答案]4[解析] 本题译文是：图2所示的4个圆的半径均为1，那么图中阴影部分的面积个圆中间的阴影部分及本题综合考察了学生灵活运用割补法求解面积问题的能力[考点]本题考察有关梯形的面积计算.1. [第17届希望杯] 在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是[答案]C[解析] 将题目中的展开图形还原，只有答案B不能还原成正方体.是正确的，只有D的计算是错误，∠20/3]本题考察了有关三角形的面积计算. COE,届希望杯〗中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的答案，那么[答案]352.5 度[考点]本题考察了角度的基本计算.2. [第17届希望杯] 在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是[答案]C[解析] 将题目中的展开图形还原，只有答案B不能还原成正方体.,COE∠.DOE∠BOC COD∠+∠本题考察了较复杂的面积计算.希望杯培训] 如图所示，AE=ED，年北京市中考〗[答案]选（C）[考点]本题考察了有关代数式的基本概念.[教学提示]可重点提问和讲解同解方程的概念及其方程的同解原理.答案] -36[答案]-4[教学提示]本题与例7知识点相同.[答案]选（C）[考点]本题考察了代数式的计算.(A)a = b. (B)mn = pq.为有理数，且(A)-8显然是行不通的边的中点，π[考点]本题是针对列代数式能力的考察.[考点]本题是对英语阅读能力与代数式知识掌握程度的考察. [答案]-4届希望杯〗若a=1990，b=1991，c=1992，则] 3）某人某月通话时间为x分钟，请写出两种计费方式下他分别应该支付的费用．若估计一个月通话时间为200分钟，你认为哪种方式更合算?]（1）当某人某月通话时间为x分钟时，全球通需要话费：分钟在舱内连做4个〖希望杯培训〗暗箱中混放着白、红、黄、蓝四种颜色的球各8个，至少要摸出才能确保从中摸出6个同色的球.] 21本题是已知“抽屉数”，求“元素总数”的问题．可以把四种颜色看作4抽屉原理，球的数目必须多于5×4=20，而大于20的最小整数是21，即至少要摸出确保从中摸出的球中有6个球同色．本题与各色球的具体个数无关，只要摸出的球的数量不小于的值是1-得考点] 本题是解读新定义、新运算的题目.本题是一道与质数有关的代数式求值题目.届希望杯〗,则和数的末四位数字的和为1+9+9+5=24．本题是一道有关尾数问题的数论题目.〖希望杯培训〗张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x，y，x和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为由题意可知，y不仅是3的倍数，而且是4的倍数，即y是12的倍数．]31/3本题考察了质数的有关计算.〖希望杯培训〗求19955的末三位数.125.答案] D.[][][本题是周期规律类题目.届希望杯〗If n is a positive integer, and if the units' digit of is 6 and the units' digit of is 9, the units' digit of is (英汉小词典]5届希望杯〗对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3．，所以题设的等式为x*y=5x-xy,在这个等式中，答案] D[][][]6届希望杯〗已知p，q均为质数，并且存在两个正整数m，n使得p=m+n．]31/315届希望杯〗If n is a positive integer, and if the units' digit of is 6 andis 9, the units' digit of (英汉小词典：个位数字)对同旁内角.[详解]两直线平行，同旁内角互补平行于同一条直线的两条直线平行)))(周角定义))平行于同一条直线的两条直又CF∥ED，所以要掌握直线、射线、线段的特点，直到只有将直线延长后与线段和射线相交的两个交点.(A)(3，一2) (B)(2，中，所以[详解]两直线平行，同旁内角互补)平行于同一条直线的两条直线平行) [详解]方程中未知数的系数不是整数，首先将它们化为整数，然后再求解．由④，得 4x+7y=2×(2x+3y)+y=28．⑤将③代入⑤，得2 ×12+y=28，即y=4．法2：可用元．小明买这两种纪念册共花了142元，八、综合测试120分钟姓名：得分：选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．【希望杯培训】如果不等式ax ≤2的解集是x≥－4，则a的值为（）．21- B．a ≤21- C．a ＞21- D．a＜21【答案】A那么下列不等式中成立的是( ) 【答案】C【解析】C 中图形从正面和左面看都是梯形，而从上面看是圆环. 【考点】本题考察三视图. 到目的地时油箱中还剩有【答案】 A【解析】用排除法，(C)、(D)中都出现了油箱没油的时刻，与题意不符；油量不变，也不合题意，所以选(A)．7. 【第6届希望杯】如图2，两条线段AB 、CD 将大长方形分成四个小长方形，届希望杯】设a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=l÷2÷(3÷4)，则÷a)÷(c÷d)等于（ ）．A. 255B.256C.243D.258 【希望杯培训】对所有的数a,b 把运算a ※b 定义为a ※b=ab-a+b. B.2 C. 233D.3【考点】本题考察了绝对值计算.填空题(每小题5分，共50分．)16届希望杯】用大小相同的正六边形瓷砖按如图4所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷54 图个……以此类推，设有n ，这个有理数的17届希望杯】 已知223,30,a b a b ab +=+=-则2211a ab b -++= .5022()a b ab ab a b +=+ 10=- 2211()33(10)1150ab b a b ab -++=+-⨯-+=【考点】本题考察因式分解在代数式计算中的应用.16届希望杯】计算：131711128⨯⨯÷21（－＋0.125）（－1）1316＝－－ .16【解析】原式=211681317()()138173⨯⨯-+⨯-⨯=31681317()()138173-⨯⨯⨯-⨯⨯以:DOC OC = AOD:S S【考点】本题考察有关梯形的面积计算. 清各时间段所走的路程1t +解得出发后都到达博物馆的时间不超过【答案】A [答案]C[解析]C中图形从正面和左面看都是梯形，而从上面看是圆环.[考点]本题考察三视图.a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=l÷2÷(3÷4)，则届希望杯】油箱装满油的一辆汽车在匀速行驶，当汽油恰剩油箱体积的一半时就加满油，接着又按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有体积的汽油．设油箱中所剩汽油量为分钟)，则V与t的图像是 ( )[答案] A[解析]用排除法，(C)、(D)中都出现了油箱没油的时刻，与题意不符；量不变，也不合题意，所以选(A)．[考点]本题是一道观察理解图像的题目.本题考察了绝对值数计算. 填空题(每小题5分，共50分．)届希望杯〗 从3点15分开始到时针与分针第一次成30度角，需要的时间是 【希望杯培训】如果式子 33x x --之值为1，则x 的值为 ． 0且3x ≠由题意知: 33-=-x x 且03≠-x ，解之得0x ≥且3x ≠届希望杯】一个有理数的n 倍是8，这个有理数的是2，那么这个有理数是一位老师：他教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则这个“特长班”共有学生【希望杯培训】 已知223,30,a b a b ab +=+=-则2211a ab b -++= .的面积与的面积相等为平方厘米BOC2.5被8除余6．矛盾!因此，2006(英汉词典：number axis数轴；point点；corresponding to对应于…；respectively[答案]C[解析]C中图形从正面和左面看都是梯形，而从上面看是圆环.[考点]本题考察三视图.a=b=c=d=e=100，即C得100分．到目的地时油箱中还剩有[答案] A[解析]用排除法，(C)、(D)中都出现了油箱没油的时刻，与题意不符；量不变，也不合题意，所以选(A)．本题考察了绝对值计算.[答案]352.5 度[考点]本题考察了角度的基本计算.13. 【第8届希望杯】一个有理数的n倍是8，这个有理数的是[答案]4或－4】树下有一堆桃，第一天猴子吃掉了这堆桃数的个就是第一天所剩桃数的，那么这堆桃至少剩下为正整数，x也是正整数，因为40m=9x+60．可知，必须 , 60，80，…本题是二元一次方程的应用问题.[答案]-50；30【希望杯培训】已知223,30,a b a b ab+=+=-则2211a ab b-++= .被8除余6．矛盾!因此，2006。
数学_2007年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2007年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 若集合A ={x||x|=x}，B ={x|x 2−x >0}，则A ∩B =( ) A [0, 1] B (−∞, 0] C (1, +∞) D (∞, −1)2. 设m ，是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①若α // β，α // γ，则β // γ， ②若α⊥β，m // α，则m ⊥β， ③若m ⊥α，m // β，则α⊥β， ④若m // n ，n ⊂α，则m // α. 其中真命题的序号是( )A ①④B ②③C ②④D ①③3. “ω=2”是“函数y =sin(ωx +φ)的最小正周期为π”的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 4. 将圆x 2+y 2=1按向量a →=(2,−1)平移后，恰好与直线x −y +b =0相切，则实数b 的值为（ ）A 3±√2B −3±√2C 2±√2D −2±√2 5. 在三角形ABC 中，A ＝120∘，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC的值为（ ）A 85 B 58 C 53 D 35 6. 函数y =x sinx，x ∈(−π, 0)∪(0, π)的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D7. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心O 并交椭圆于点M ，N ，若过椭圆左焦点F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率（ ）A √3B √3+1C √3−1D 不确定8. 函数y =kx +b ，其中k ，b(k ≠0)是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数．对于非线性可导函数f(x)，在点x 0附近一点x 的函数值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)≈f(x 0)+f′(x 0)(x −x 0)．利用这一方法，m =√3.998的近似代替值（ ） A 大于m B 小于m C 等于m D 与m 的大小关系无法确定二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 若z 1=a +2i ，z 2=3−4i ，且z 1+z 2为纯虚数，则实数a 的值为________10. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积V =________．11. 已知向量AB →=(4, 0)，AC →=(2, 2)，则BC →=________；AC →与BC →的夹角的大小为________∘．12. 已知函数f(x)={(12)x ，x ≤0log 2(x +2)，x >0，若f(x 0)≥2，则x 0的取值范围是________．13. 有这样一种数学游戏：在3×3的表格中，要求每个格子中都填上1、2、3三个数字中的某一个数字，且每一行和每一列都不能出现重复的数字，则此游戏共有________种不同的填法．14. 数列{a n }，{b n }(n =1, 2, 3,…)由下列条件所确定： (I)a 1<0，b 1>0；(II)k ≥2时，a k 与b k 满足如下条件：当a k−1+b k−1≥0时，a k =a k−1，b k =a k−1+b k−12；当a k−1+b k−1<0时，a k =a k−1+b k−12，b k =b k−1．那么，当b 1>b 2>...>b n (n ≥2)时，用a 1，b 1表示{b k }的通项公式为b k =________三、解答题（共6小题，满分80分） 15. 已知α为钝角，且tan(α+π4)=−17．求：（1）tanα； （2）√2cos(α−π4)−sin2α．16. 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α+β=1)．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求ξ的期望Eξ；（2）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90∘，PA =PD =DC =CB =12AB ，E 是BD 的中点．（1）求证：EC // 平面APD ；（2）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）求二面角P −AB −D 的大小．18. 已知：f n (x)＝a 1x +a 2x 2+...+a n x n ，f n (−1)＝(−1)n ⋅n ，n ＝1，2，3，… (I)求a 1、a 2、a 3；(II)求数列{a n }的通项公式；(II)求证：f n (13)<1．19.如图，A(m,√3m)和B(n,−√3n)两点分别在射线OS 、OT 上移动，且OA →⋅OB →=−12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →=OA →+OB →． （1）求m ⋅n 的值；（2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点E(2, 0)交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且ME →=3EN →，求l 的方程． 20. 设关于x 的方程x 2−mx −1=0有两个实根α、β，且α<β．定义函数f(x)=2x−m x 2+1.（1）求αf(α)+βf(β)的值；（2）判断f(x)在区间(α, β)上的单调性，并加以证明； （3）若λ，μ为正实数，证明不等式：|f(λα+μβλ+μ)−f(μα+λβλ+μ)|<|α−β|.2007年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. D3. A4. B5. D6. D7. C8. A9. −3 10.8√23π 11. (−2, 2),9012. x 0≤−1或x 0≥2 13. 1814. a 1+(b 1−a 1)(12)k−1，(k =2, 3…,n)． 15. 解：（1）由已知：tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−17得tanα=−43（2）√2cos(α−π4)−sin2α=2cos2αsinα+cosα−sin2α=2cos2αsinα+cosα−2sinαcosα∵ α∈(π2，π)且tanα=−43∴ sinα=45，cosα=−35∴ 2cos2αsinα+cosα−2sinαcosα=2×92545−35−2×45×(−35)=182916. 14．（2）设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布为当η=2时，P(η=2)=α当η=−2时，P(η=−2)=β则Eη=2α−2β=4α−2．依题意要求4α−2≥14，又α<1．即：916≤α<1，故答案为916≤α<1．17. 解：证明（1）如图，取PA中点F，连接EF、FD，∵ E是BP的中点，∵ EF // AB且EF=12AB，又∵ DC // AB,DC=12AB∴ EF= // DC∴ 四边形EFDC是平行四边形，故得EC // FD又∵ EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD∴ EC // 平面ADE（2）取AD 中点H ，连接PH ，因为PA =PD ，所以PH ⊥AD ∵ 平面PAD ⊥平面ABCD 于AD ∴ PH ⊥面ABCD∴ HB 是PB 在平面ABCD 内的射影 ∴ ∠PBH 是PB 与平面ABCD 所成角∵ 四边形ABCD 中，∠ABC =∠BCD =90∘ ∴ 四边形ABCD 是直角梯形DC =CB =12AB设AB =2a ，则BD =√2a ，在△ABD 中，易得∠DBA =45∘，∴ AD =√2aPH =√PD 2−DH 2=√a 2−12a 2=√22a ， 又∵ BD 2+AD 2=4a 2=AB 2，∴ △ABD 是等腰直角三角形，∠ADB =90∘ ∴ HB =√DH 2+DB 2=√12a 2+2a 2=√102a ∴ 在Rt △PHB 中，tan∠PBH =PHHB =√22a √102a =√55（3）在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连接PG ，则HG 是PG 在平面ABCD 上的射影，故PG ⊥AB ，所以∠PGH 是二面角P −AB −D 的平面角，由AB =2a HA =√22a ，又∠HAB =45∘∴ HG =12a在Rt △PHG 中，tan∠PGH =PH HG=√22a 12a =√2∴ 二面角P −AB −D 的大小为arctan √2解法二：（1）同解法一（2）设AB =2a ，同解法一中的（2）可得∠ADB =90∘如图，以D 点为原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴， 过D 点且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系． 则B(0,√2a ，0)，P(√22a ，0，√22a)，则PB →=(−√22a,√2a,−√22a)， 平面ABCD 的一个法向量为m =(0, 0, 1)， 所以，cos <PB →，m →>=|PB →|⋅|m →|˙=−√22a √3a=−√66可得PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为√66所以PB 与平面ABCD 所成角的正切值为√55（3）易知A(√2a ，0，0)，则AB →=(−√2a,√2a,0)， 设平面PAB 的一个法向量为n →=(x 0,y 0,z 0)，则{n →⋅PB →=0˙⇔{−√2ax 0+√2ay 0=0−√22ax 0+√2ay 0−√22az 0=0⇔{y 0=x 0z 0=x 0，令x 0=1，可得n →=(1,1,1) 得cos <m →，n →>=√3=√33， 所以二面角P −AB −D 的大小为arccos√3318. 由已知f 1(−1)＝−a 1＝−1，所以a 1＝1f 2(−1)＝−a 1+a 2＝2，所以a 2＝3， f 3(−1)＝−a 1+a 2−a 3＝−3，所以a 3＝5(II)∵ (−1)n+1⋅a n+1＝f n+1(−1)−f n (−1)＝(−1)n+1⋅(n +1)−(−1)n ⋅n ∴ a n+1＝(n +1)+n 即a n+1＝2n +1所以对于任意的n ＝1，2，3，a n ＝2n −1 (III)f n (x)＝x +3x 2+5x 3++(2n −1)x n ∴ f n (13)=13+3(13)2+5(13)3+...+(2n −1)(13)n ①13f n (13)＝(13)2+3(13)3+5(13)4+...+(2n −1)(13)n+1② ①─②，得23f n (13)＝(13)+2(13)3+2(13)4+...+2(13)n −(2n −1)(13)n+1=13+29[1−(13)n−1]1−13−(2n −1)(13)n+1=23−2n −23(13)n∴ f n (13)=1−n+13n，又n ＝1，2，3，故f n (13)<1 19. 解：（1）由已知得OA →⋅OB →=(m,√3m)⋅(n,−√3n)=−2mn =−12∴ m ⋅n =14（2）设P 点坐标为(x, y)(x >0)，由OP →=OA →+OB →得(x,y)=(m,√3m)+(n,−√3n)=(m +n,√3(m −n))∴ {x =m +n y =√3(m −n)消去m ，n 可得x 2−y 23=4mn ，又因mn =14∴ P 点的轨迹方程为x 2−y 23=1(x >0)它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2−y 23=1的右支（3）设直线l 的方程为x =ty +2，将其代入C 的方程得3(ty +2)2−y 2=3 即(3t 2−1)y 2+12ty +9=0易知(3t 2−1)≠0（否则，直线l 的斜率为±√3，它与渐近线平行，不符合题意） 又△=144t 2−36(3t 2−1)=36(t 2+1)>0 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−12t 3t 2−1，y 1y 2=93t 2−1∵ l 与C 的两个交点M ，N 在y 轴的右侧 x 1x 2=(ty 1+2)(ty 2+2) =t 2y 1y 2+2t(y 1+y 2)+4 =t 2⋅93t 2−1+2t ⋅−12t3t 2−1+4=−3t 2+43t 2−1>0∴ 3t 2−1<0，即0<t 2<13又由x 1+x 2>0同理可得0<t 2<13由ME →=3EN →得(2−x 1, −y 1)=3(2−x 2, y 2) ∴ {2−x 1=3(2−x 2)−y 1=3y 2由y 1+y 2=−3y 2+y 2=−2y 2=−12t 3t 2−1得y 2=6t3t 2−1由y 1y 2=(−3y 2)y 2=−3y 22=93t 2−1得y 22=−33t 2−1消去y 2得36t 2(3t 2−1)2=−33t 2−1 解之得：t 2=115，满足0<t 2<13故所求直线l 存在，其方程为：√15x −y −2√5=0或√15x +y −2√5=020. 解：(1)α，β是方程x 2−mx −1=0的两个实根 ∴ {α+β=m α⋅β=−1∴ f(α)=2α−m α2+1=2α−(α+β)α2−αβ=α−βα(α−β)=1α同理f(β)=1β ∴ αf(α)+βf(β)=2 （2）∵ f(x)=2x−m x 2+1∴ f′(x)=2(x 2+1)−(2x−m)⋅2x(x 2+1)2=−2(x 2−mx−1)(x 2+1)2当x ∈(α, β)时，x 2−mx −1=(x −α)(x −β)<0 而f ′(x)>0∴ f(x)在(α, β)上为增函数 （3）∵ λ，μ∈R +且α<β ∴λα+μβλ+μ−α=λα+μβ−(λ+μ)αλ+μ=μ(β−α)λ+μ>0λα+μβλ+μ−β=λα+μβ−(λ+μ)βλ+μ=λ(α−β)λ+μ<0∴ α<λα+μβλ+μ<β由（2）可知f(α)<f(λα+μβλ+μ)<f(β)同理可得f(α)<f(μα+λβλ+μ)<f(β) ∴ f(α)−f(β)<f(λα+μβλ+μ)−f(μα+λβλ+μ)<f(β)−f(α)∴ |f(λα+μβλ+μ)−f(μα+λβλ+μ)|<|f(α)−f(β)|又由（1）知f(α)=1α，f(β)=1β，αβ=−1 ∴ |f(α)−f(β)|=|1α−1β|=|β−ααβ|=|α−β|所以|f(λα+μβλ+μ)−f(μα+λβλ+μ)|<|α−β|.。
北京市海淀区2007二模数学文
2007年北京市海淀区数学二模文科试题.doc一、选择题：1.设全集U={1，3，5，7}，集合A={3，5}，B={1，3，7}，则U A (C B)等于（ ）A ．{5}B ．{3，5}C ．{1，5，7}D ．{1，3，5，7}2.已知抛物线y x =2，则它的准线方程为（ ）A 41=x B 41-=x C 41=y D 41-=y 3．若0<<a b ，则下列结论不正确．．．的是（ ） A . 22a b < B . 2ab b < C .2b aa b+> D . a b a b -=- 4.设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ② //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭， 其中为真命题的是（ ）A ①④B ②③C ①③D ②④5.函数)1(log )(-=x x f a （)1,0≠>a a 的反函数的图象过定点 （ ） A ()2,0 B ()0,2 C ()3,0 D ()0,36.将圆122=+y x 按向量a ()1,1-=平移后，恰好与直线0=+-b y x 相切，则实数b 的值为（ ）A 2B 22±- C 23± D 23±-7.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数．若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 ( ) A21 B 21- C 23 D 23-8.三角形ABC 中，120=A ，5=AB ，7=BC ，则BCsin sin 的值为（ ） A53 B 35 C 85 D 58二、填空题：9.一个单位有业务人员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了了解这些职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则其中需抽取管理人员 人10.曲线32y x x =+-在点（1，0）处的切线的斜率为11.已知点()3,1-A 和向量a ()4,3=，若2=a ，则点B 的坐标为12.某地球仪上北纬60纬线的周长为π4cm ，则该地球仪的半径是 cm ，表面积为 cm 213.已知函数()⎩⎨⎧>≤=+0,log 0,321x x x x f x ，若()x f ≥1，则x 的取值范围是14.有这样一种数学游戏：在33⨯的表格中，要求每个格子中都填上1、2、3三个数字中的某一个数字，并且每一行和每一列都不能出现重复的数字.若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1（如左图），则此游戏有 种不同的填法；若游戏开始时表格是空白的（如右图），则此游戏共有 种不同的填法三、解答题：15(12分)已知2tan =α⎪⎭⎫⎝⎛<<20πα，求下列各式的值： （I ）ααααsin cos 4cos 2sin -+（II ）142sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+πα16(13分)在某次数学实验中，要求：实验者从装有8个黑球、2个白球的袋中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回.现有甲、乙两名同学，规定：甲摸一次，乙摸两次.求 （I ）甲摸出了白球的概率；（II ）乙恰好摸出了一次白球的概率；（III ）甲乙两人中至少有一个人摸出白球的概率.17(14分)如图，三棱锥ABC P -中，AB PA ⊥，AC PA ⊥，AC AB ⊥，2==AC PA ，1=AB ，M 为PC 的中点． （I ）求证：平面⊥PCB 平面MAB ； （II ）求点A 到平面PBC 的距离（III ）求二面角A PB C --的正切值．18(13分)设函数()()x x a ax x f 1236223++-=()R a ∈ （I ）当1=a 时，求函数()x f 的极大值和极小值;（II ）若函数()x f 在区间()1,∞-上是增函数，求实数a 的取值范围.19.(14分)已知等比数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且531=+a a ，154=S . （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n n a b 2log 25+=，求数列{}n b 的前n 项和n T （III ）比较（II ）中n T 与2213+n ( 3,2,1=n )的大小，并说明理由．20(14分)如图，在平面直角坐标系中，已知动点()y x P ,，y PM ⊥轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称， 4=⋅MN OP （1）求动点P 的轨迹W 的方程（2）若点Q 的坐标为()0,2，A 、B 为W 上的两个动点，且满足QB QA ⊥，点Q 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大值文科数学试题答案9. 2 10. 4 11. ()5,7 12. 4 ， 64πCAP13. [][)+∞-,20,1 14. 4 ， 12 三、解答题： 15.方法一：（I ）原式sin 2cos 2sin 4cos tan 2 2 54tan αααααα+=-+==-分分方法二： （I ）2cos sin tan ==ααα，且1cos sin 22=+αα，且由20πα<<，得αsin >0，0cos >α 所以552sin =α，55cos =α 2分 ∴原式2552554552552=-+= 5分 （II ）原式12cos 2sin ++=αα7分222sin cos 2cos 9622 125555ααα=+⎛=+= ⎝⎭分分16.（I ）设“甲摸出了白球”为事件A ，则()51102==A P 3分 （II ）设“乙恰好摸出了一次白球”为事件B ，则()2581010282=⨯⨯⨯=B P 8分（III ）设“甲乙两人中至少有一个人摸出白球”为事件C ，则()1256110810812=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=C P 13分17.方法一：（I ）∵AB PA ⊥，AC AB ⊥ ∴⊥AB 平面PAC ，故PC AB ⊥ ∵2==AC PA ，M 为PC 的中点∴PC MA ⊥ 2分 ∴⊥PC 平面MAB又⊂PC 平面PCB ，所以平面⊥PCB 平面MAB 4分 （II ）如图，在平面MAB 中作MB AE ⊥，垂足是E∵平面⊥PCB 平面MAB ，∴⊥AE 平面PBC ∴AE 长为点A 到平面PBC 的距离 又∵⊥AB 平面PAC ，∴AM AB ⊥ 在直角三角形ABM 中，1=AB ，2=AM ，3=MB 6分∴AM AB MB AE ⋅=⋅，∴36=AE 即为所求 9分 （III ）在平面PAB 中作PB AF ⊥，垂足是F ，连接CF ∵AC PA ⊥，AC AB ⊥，∴⊥AC 平面PAB∴AF AC ⊥∴AF 是CF 在平面PAB 内的射影，∴PB CF ⊥ ∴AFC ∠是二面角A PB C --的平面角， 11分 在直角三角形PAB 中，2=PA ，1=AB ，5=PB ，可得552=AF ∴在直角三角形AFC 中，55522tan ===∠AF AC AFC 即为所求 14分 方法二：（I ）同方法一 4分（II ）以A 为原点，建立如图的空间直角坐标系 由已知可得各点坐标为()0,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,2C ，()2,0,0P ，()1,0,1M 5分设平面PBC 的法向量为n ()z y x ,,=，且()2,1,0-=，()2,0,2-=∴n 02=-=⋅z y ，n 022=-=⋅z x ∴z x =，z y 2=，令1=z ，可得1=x ，2=y ∴n ()1,2,1=，又()0,1,0=AB ，∴点A 到平面PBC的距离3662===d 9分 （III ）∵AC PA ⊥，AC AB ⊥，∴⊥AC 平面PAB∴平面PAB 的法向量为()0,0,2=，设二面角A PB C --的大小为θP∴66622cos =⋅==θ，故5tan =θ即为所求 14分18.（I ）当1=a 时，()x x x x f 129223+-= 1分 ∴()()23612186'22+-=+-=x x x x x f ， 2分 令()0'=x f ，得11=x ，22=x ，列表∴()x f 的极大值为()51=f ，()x f 的极小值为()42=f 6分（II ）()()[]()()216212612)612(6'22--=++-=++-=x ax x a ax x a ax x f 7分 ①若0=a ，则()x x x f 1232+-=，此函数在()2,∞-上单调递增，满足题意 8分 ②若0≠a ，则令()0'=x f ，得=1x 2，ax 12=，由已知，()x f 在区间()1,∞-上是增函数， 即当1<x 时，()x f '≥0恒成立 10分若0>a ，则只须a 1≥1，即0a <≤1 11分 若0<a ，则01<a ，当1x a<时，()0'<x f ，则()x f 在区间()1,∞-上不是增函数综上所述，实数a 的取值范围是[]1,0 13分19. （I ）设数列{}n a 的公比为q ，则方法一：()512121131=+=+=+q a q a a a a ，()()1012142314=+=+=+-q q a a a a a S 2分 ∴2=q ，11=a ，则12-=n n a 4分 方法二：易知1≠q ，则()512121131=+=+=+q a q a a a a()()()()()()15111111112121414=++=-++-=--=q q a qq q q a q q a S ，则31=+q 2分 （以下同方法一） 4分 （II ）由（I ）可得，()231252log 2512+=-+=+=-n n b n n ， 所以数列{}n b 是一个以25为首项，1为公差的等差数列 5分∴()()1 6253422 922n n n b b T n n n n +=⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==分分 （III ）∵()()()()221214*********+--=+--=-⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n n n T n n 11分∴当1=n 、2时，()()()022121=+--n n n ，即=n T 2213+n 12分 当n ≥3时，()()()022121>+--n n n ，即<n T 2213+n 14分20.（I ） 由已知()y M ,0，()y x N -, 2分则()()422,,22=-=-⋅=⋅y x y x y x MN OP ，即12422=-y x 4分 （II ）设()11,y x A ，()22,y x B ，如图，由QB QA ⊥可得()()()()022,2,221212211=+--=-⋅-=⋅y y x x y x y x QB QA 5分①若直线x AB ⊥轴，则21x x =，24||||2121-==x y y 此时()()()02422221212121=---=+--x x y y x x ，则 0128121=+-x x ，解之得，61=x 或21=x但是若21=x ，则直线AB 过Q 点，不可能有QB QA ⊥所以61=x ，此时Q 点到直线AB 的距离为4 7分 ②若直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为m kx y +=，则⇒⎩⎨⎧=-+=4222y x m kx y ()042412222=+++-m kmx x k 则()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=∆≠-0421241601222222m k m k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧>+-≠-024012222k m k 又124221--=+k km x x ，12422221-+=k m x x 9分∴()()()2212122121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=124122124124222222222222222--=--+---+=k m k k m m k k m k k k m k ∴()()()()2121221122,2,2y y x x y x y x +--=-⋅-=⋅()=+++-=21212142y y x x x x 01241248128124222222222=--+--+-+-+k m k k k k km k m 则012822=++k km m ，可得k m 6-=或k m 2-=若k m 2-=，则直线AB 的方程为()2-=x k y ，此直线过点Q ，这与QB QA ⊥矛盾，舍 若k m 6-=，则直线AB 的方程为k kx y 6-=，即06=--k y kx 12分 此时若0=k ，则直线AB 的方程为0=y ，显然与QB QA ⊥矛盾，故0≠k ∴41141|4|22<+=+-=k k k d 13分由①②可得，4max =d 14分。
北京市海淀北部新区实验中学七年级数学上册第四单元《几何图形初步》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．点 A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点 A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若 BC ＝2，则 AC 等于（ ）A ．3B ．2C ．3 或 5D ．2 或 6 2．如图，O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠DOE ＝60°，∠BOE ＝13∠EOC ，则下列四个结论正确的个数有（ ） ①∠BOD ＝30°；②射线OE 平分∠AOC ；③图中与∠BOE 互余的角有2个；④图中互补的角有6对．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．一副三角板按如图方式摆放，且1∠的度数比2∠的度数小20︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．55︒4．如图，90AOB ∠=︒，AOC ∠为AOB ∠外的一个锐角，且40AOC ∠=︒，射线OM 平分BOC ∠，ON 平分AOC ∠，则MON ∠的度数为（ ）．A ．45︒B ．65︒C ．50︒D ．25︒5．如图，已知线段12AB =，延长线段AB 至点C ，使得12BC AB =，点D 是线段AC 的中点，则线段BD 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D ，E 分别在BC ，CA 边的延长线上，EH BC ⊥于点H ，EH 与AB 交于点F ．则1∠与2∠的数量关系是（ ）．A ．12∠=∠B ．1∠与2∠互余C ．1∠与2∠互补D ．12100∠+∠=° 7．如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，C 为线段MB 上一点，且MC ：CB=1：2，则线段AC 的长度为（ ）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm 8．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，E 是AC 的中点，F 是BD 的中点，若EF m =，CD n =，则AB =( )A ．m n -B ．m n +C ．2m n -D ．2m n + 9．已知线段AB=8cm ，在直线AB 上画BC ，使BC=2cm ，则线段AC 的长度是（ ） A ．6cm B ．10cm C ．4cm 或10cm D ．6cm 或10cm 10．如图，从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中，从A 地到B 地有三条水路、两条陆路，从B 地到C 地有4条陆路可供选择，走空中，从A 地不经B 地直线到C 地，则从A 地到C 地可供选择的方案有( )A ．10种B ．20种C ．21种D ．626种11．用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．如图，点O 在直线AB 上，图中小于180°的角共有（ ）A ．10个B ．9个C ．11个D ．12个二、填空题13．长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱的最大体积为___ (结果保留π). 14．如图所示，128∠=︒，272∠=︒，OC 平分BOD ∠，则COD ∠=________.15．同一条直线上有三点A ，B ，C ，且线段BC=3AB ，点D 是BC 的中点，CD=3，则线段AC 的长为______．16．植树节，只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线，这是因为两点确定_______条直线.17．要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是_________.18．如图，小颖从家到超市共有4条路可走，小颖应选择第________条路才能使路程最短，用数学知识解释为________________.19．一个几何体，从不同方向看到的图形如图所示．拼成这个几何体的小正方体的个数为______．20．如图，OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠，124EOF ︒∠=，则AOB ∠的度数为________．三、解答题21．如图，已知OE 是∠AOB 的平分线，C 是∠AOE 内的一点，若∠BOC ＝2∠AOC ，∠AOB ＝114°，则求∠BOC ，∠EOC 的度数．22．已知90AOB ∠=︒，OC 为一条射线，OE ，OF 分别平分AOC ∠，BOC ∠，求EOF ∠的度数．23．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.(1)若1AM =,4BC =，求MN 的长度．(2)若6AB =,求MN 的长度．24．线段AD=6cm ，线段AC=BD=4cm ，E 、F 分别是线段AB 、CD 中点，求EF ．25．如图，点C 在线段AB 上，点,M N 分别是AC BC 、的中点．（1）若9,6AC cm CB cm ==，求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB acm +=，其它条件不变，你能求出MN 的长度吗？请说明理由．（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC bcm M N -=分别为 AC 、BC 的中点，你能求出MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．26．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70AOC ∠=︒，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O 处.（注：90DOE ∠=︒）（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，那么COE ∠的度数为______；（2）如图2，将直角三角板DOE 绕点O 按顺时针方向转动到某个位置，如果OC 恰好平分AOE ∠，求COD ∠的度数；（3）如图3，将直角三角板DOE 绕点O 任意转动，如果OD 始终在AOC ∠的内部，请直接用等式表示AOD ∠和COE ∠之间的数量关系.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．∵点A、B表示的数分别为﹣3、1，∴AB=4．第一种情况：在AB外，如答图1，AC=4+2=6；第二种情况：在AB内，如答图2，AC=4﹣2=2．故选D．2．D解析：D【分析】根据题意首先计算出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．【详解】解：由题意设∠BOE=x，∠EOC=3x，∵∠DOE＝60°，OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD =60°-x，根据题意得：2（60°-x）+4x=180°，解得x=30°，∴∠EOC=∠AOE＝90°，∠BOE＝30°，∴∠BOD=∠AOD＝30°，故①正确；∵∠BOD ＝∠AOD ＝30°，∴射线OE 平分∠AOC ，故②正确；∵∠BOE ＝30°，∠AOB ＝60°，∠DOE ＝60°，∴∠AOB+∠BOE ＝90°，∠BOE+∠DOE ＝90°，∴图中与∠BOE 互余的角有2个，故③正确；∵∠AOE ＝∠EOC ＝90°，∴∠AOE+∠EOC ＝180°，∵∠EOC ＝90°，∠DOB ＝30°，∠BOE ＝30°，∠AOD ＝30°，∴∠COD+∠AOD ＝180°，∠COD+∠BOD ＝180°，∠COD+∠BOE ＝180°，∠COB+∠AOB ＝180°，∠COB+∠DOE ＝180°，∴图中互补的角有6对，故④正确，正确的有4个，故选：D ．【点睛】本题主要考查角平分线以及补角和余角，解答的关键是正确计算出图中各角的度数． 3．D解析：D【分析】根据题意结合图形列出方程组，解方程组即可．【详解】解：由题意得，1290,2120∠+∠︒⎧⎨∠-∠︒⎩＝＝，解得135,255.∠︒⎧⎨∠︒⎩＝＝． 故选：D ．【点睛】本题考查的是余角和补角的概念和性质，两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．4．A解析：A【分析】根据题意，先求得∠COB 的值；OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，则可求得∠AOM 、∠AON 的值；∠MON=∠AOM+∠AON ，计算得出结果．【详解】∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM 平分∠BOC ，∴∠BOM=12∠BOC=65°， ∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，∵ON 平分∠AOC ，∴∠AON=12∠AOC=20°， ∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．∴∠MON 的度数是45°．故选：A ．【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．5．A解析：A【分析】根据题意可知BC=6，所以AC=18，由于D 是AC 中点，可得AD=9，从BD=AB-AD 就可求出线段BD 的长．【详解】由题意可知12AB =，且12BC AB =， 所以6BC =，18AC =．因为点D 是线段AC 的中点， 所以1118922AD AC ==⨯=， 所以1293BD AB AD =-=-=．故选A ．【点睛】本题考查了两点间的距离以及中点的性质，根据图形能正确表达线段之间的和差关系是解决本题的关键．6．C解析：C【分析】先根据同角的余角相等得出∠1=∠BCE ，再根据∠BCE+∠2=180°，得出∠1+∠2=180°即可．【详解】∵EH ⊥BC ，∴∠1+∠B=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BCE+∠B=90°，∴∠1=∠BCE ．∵∠BCE+∠2=180°，∴∠1+∠2=180°，即∠1与∠2互补，故选：C．【点睛】本题考查了余角和补角．解题的关键是掌握余角和补角的定义，同角的余角相等的性质．7．A解析：A【分析】先根据点M是AB中点求出AM=BM=6cm，再根据MC：CB=1：2求出MC即可得到答案.【详解】∵点M是AB中点，∴AM=BM=6cm，∵MC：CB=1：2，∴MC=2cm，∴AC=AM+MC=6cm+2cm=8cm，故选：A.【点睛】此题考查线段的中点性质，线段的和差计算，正确理解图形中线段之间的数量关系是解题的关键.8．C解析：C【分析】由条件可知EC+DF=m-n，又因为E，F分别是AC，BD的中点，所以AE+BF=EC+DF=m-n，利用线段和差AB=AE+BF+EF求解.【详解】解：由题意得，EC+DF=EF-CD=m-n∵E是AC的中点，F是BD的中点，∴AE=EC，DF=BF，∴AE+BF=EC+DF=m-n，∵AB=AE+EF+FB，∴AB=m-n+m=2m-n故选：C【点睛】本题考查中点性质及线段和差问题，利用中点性质转化线段之间的倍分关系和灵活运用线段的和、差转化线段之间的数量关系是解答此题的关键.9．D解析：D【分析】由点C在直线AB上，分别讨论点C在线段AB上和在线段AB的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求出AC的长即可.【详解】∵点C在直线AB上，AB=8，BC=2，∴当点C在线段AB上时，AC=AB-BC=8-2=6cm，当点C在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=8+2=10cm，∴AC的长度是6cm或10cm.故选D.【点睛】本题考查线段的和与差，注意点C在直线AB上，要分几种情况讨论是解题关键．10．C解析：C【分析】本题只需分别数出A到B、B到C、A到C的条数，再进一步分析计算即可．【详解】观察图形，得：A到B有5条，B到C有4条，所以A到B到C有5×4=20条，A到C一条．所以从A地到C地可供选择的方案共21条．故选C．【点睛】解决本题的关键是能够有顺序地数出所有情况．11．D解析：D【解析】【分析】圆锥是由圆和扇形围成的几何体，圆锥的底面是圆，侧面是曲面，截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，据此对所给选项一一进行判断.【详解】圆锥的轴截面是B，平行于底面的截面是C，当截面与轴截面斜交时截面是A；无论如何截，截面都不可能是D.故选D.【点睛】此题考查截一个几何体，解题关键是掌握圆锥的特点进行求解.12．B解析：B【解析】【分析】利用公式：()21n n-来计算即可．【详解】根据公式：()21n n-来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数.图中角共有4+3+2+1=10个，根据题意要去掉平角，所以图中小于180°的角共有10−1=9个.故选B.【点睛】此题考查角的的定义，解题关键在于掌握其定义性质.二、填空题13．32π【分析】分情况讨论分绕长为2或是4的边旋转再根据圆柱的体积公式即可解【详解】由题意旋转构成一个圆柱的体积为π××4=16π或π××2=32π故答案为：32π【点睛】圆柱的体积公式是底面积与高的积解析：32π【分析】分情况讨论，分绕长为2或是4的边旋转，再根据圆柱的体积公式即可解【详解】由题意，旋转构成一个圆柱的体积为π×22×4=16π或π×24×2=32π，故答案为：32π【点睛】圆柱的体积公式是底面积与高的积．14．40°【解析】【分析】由题意可知∠1+∠2=100°从而得到∠BOD=80°由角平分线的定义可得到结论【详解】∵∠1=28°∠2=72°∴∠1+∠2=100°∴∠BOD=80°∵OC平分∠BOD∴∠解析：40°【解析】【分析】由题意可知∠1+∠2=100°，从而得到∠BOD=80°，由角平分线的定义可得到结论．【详解】∵∠1=28°，∠2=72°，∴∠1+∠2=100°，∴∠BOD=80°．∵OC平分∠BOD，∴∠COD=∠BOC12BOD ∠==40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，掌握图形间角的和差关系是解题的关键．15．4或8【分析】分点C在AB的延长线上与点C在BA的延长线上两种情况画出图形分别利用线段中点的定义和已知条件求出BC和AB再利用线段的和差计算即可【详解】解：（1）当点C在AB的延长线上时如图1∵点D解析：4或8【分析】分点C在AB的延长线上与点C在BA的延长线上两种情况，画出图形，分别利用线段中点的定义和已知条件求出BC和AB，再利用线段的和差计算即可．【详解】解：（1）当点C在AB的延长线上时，如图1，∵点D是线段BC的中点，CD＝3，∴BC＝2CD＝6，∵BC＝3AB，∴AB＝13BC＝13×6＝2，∴AC＝AB+BC＝2+6＝8；（2）当点C在BA的延长线时，如图2，∵点D是线段BC的中点，CD＝3，∴BC＝2CD＝6，∵BC＝3AB，∴AB＝13BC＝13×6＝2，∴AC＝BC－AB＝6－2＝4．故答案为:4或8．【点睛】本题考查了线段中点的定义、两点间的距离和线段的和差等知识，正确分类、画出图形、熟练掌握线段中点的概念和线段的和差计算是解题的关键．16．一【分析】经过两点有且只有一条直线根据直线的性质可得答案【详解】解：植树时只要定出两棵树的位置就能确定这一行树所在的直线用数学知识解释其道理是：两点确定一条直线故答案为：一【点睛】本题考查了直线的性解析：一【分析】经过两点有且只有一条直线．根据直线的性质，可得答案．【详解】解：“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”用数学知识解释其道理是：两点确定一条直线，故答案为：一．【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．17．两点确定一条直线【分析】本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答【详解】根据两点确定一条直线故答案为两点确定一条直线【点睛】本题考查了两点确定一条直线的公理难度适中解析：两点确定一条直线【分析】本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答．【详解】根据两点确定一条直线．故答案为两点确定一条直线．【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中．18．②两点之间线段最短【分析】结合两点之间线段最短以及图形信息即可解答本题【详解】根据题意可把家与超市看作两个点结合两点之间线段最短即可得出第②条为最短距离即数学知识为两点之间线段最短【点睛】本题考查两解析：② 两点之间，线段最短【分析】结合“两点之间线段最短”以及图形信息即可解答本题.【详解】根据题意，可把家与超市看作两个点，结合“两点之间线段最短”即可得出第②条为最短距离，即数学知识为“两点之间线段最短”.【点睛】本题考查两点之间的最短距离，熟练掌握“两点之间线段最短”的性质是解题关键.19．6【分析】根据从不同方位看到的图形的形状可知该几何体有2列2行底面有4个小正方体摆成大正方体上面至少2个小正方体放在靠前面的2个小正方体上面由此解答【详解】由题图可知该几何体第一层有4个小正方体第二解析：6【分析】根据从不同方位看到的图形的形状可知，该几何体有2列2行，底面有4个小正方体摆成大正方体，上面至少2个小正方体，放在靠前面的2个小正方体上面．由此解答．【详解】由题图可知，该几何体第一层有4个小正方体，第二层有2个小正方体，所以拼成这个几何体的小正方体的个数为6．故答案为：6.【点睛】本题主要考查从不同方向观察物体和几何体，关键注重培养学生的空间想象能力．20．【分析】根据角平分线的性质计算出再根据角的关系即可求解【详解】∵平分平分∴∴∴【点睛】本题考查了角的平分线定义及性质熟练掌握角平分线的意义是解本题的关键解析：112︒【分析】根据角平分线的性质计算出2AOC COE ∠=∠，2BOC COF ∠=∠，再根据角的关系，即可求解．【详解】∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠，∴2AOC COE ∠=∠，2BOC COF ∠=∠，∴2()2248AOC BOC COE COF EOF ︒∠+∠=∠+∠=∠=，∴360248112AOB ︒︒︒∠=-=．【点睛】本题考查了角的平分线定义及性质，熟练掌握角平分线的意义是解本题的关键．三、解答题21．∠BOC ＝76°，∠EOC ＝19°．【分析】由∠BOC ＝2∠AOC ，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=3∠AOC ，即∠BOC=23∠AOB ，然后求解即可;再根据OE 是∠AOB 的平分线求得∠BOE ，最后根据角的和差即可求得∠EOC ．【详解】解：∵∠BOC ＝2∠AOC ，∠AOB ＝114°， ∴∠BOC ＝23∠AOB =23×114°＝76°， ∵OE 是∠AOB 的平分线，∠AOB ＝114°， ∴∠BOE ＝12∠AOB ＝12×114°＝57°. ∴∠EOC ＝∠BOC －∠BOE ＝19°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的和差运算，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．22．45︒【分析】本题需要分类讨论，当OC 在AOB ∠内部时，根据OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠，即可求出EOF ∠的度数；当OC 在AOB ∠外部时，OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12EOC AOC ∠=∠，12FOC BOC ∠=∠，所以1122EOF FOC EOC BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠，即可解决． 【详解】 解：①如图，当OC 在AOB ∠内部时．因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠， 所以1122COE COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠， 即12EOF AOB =∠∠．又因为90AOB ︒∠=，所以45EOF ︒∠=．②如图，当OC 在AOB ∠外部时．因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12EOC AOC ∠=∠，12FOC BOC ∠=∠， 所以1111()452222EOF FOC EOC BOC AOC BOC AOC AOB ︒∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=．综上所述，45EOF ︒∠=．【点睛】本题主要考查了角度的计算和角平分线的定义，熟练分类讨论思想，并且画出图形是解决本题的关键．23．（1）3；（2）3.【分析】（1）由中点可得CN 和MC 的长，再由 MN=MC+CN 可求得MN 的长；（2）由已知可得AB 的长是NM 的2倍，已知AB 的长，可求得MN 的长度．【详解】解：(1)∵N 是BC 的中点，M 是AC 的中点，1AM =，4BC =，∴2CN =，1AM CM ==，∴3MN MC CN =+=.(2)∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，6AB =， ∴132NM MC CN AB =+==. 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．24．【分析】根据题意和图形可以求得线段EB 、BC 、CF 的长，从而可以得到线段EF 的长．【详解】∵E ，F 分别是线段AB ，CD 的中点，∴AB=2EB=2AE ，CD=2CF=2FD ，∵AD=AB+BC+CD=2EB+BC+2CF=6，AC=2EB+BC=4，∴AC+2CF=6，解得，CF=1，同理可得：EB=1，∴BC=2，∴EF=EB+BC+CF=1+2+1=4．【点睛】此题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．25．（1）7.5；（2）12a ，理由见解析；（3）能，MN=12b ，画图和理由见解析 【分析】（1）据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN=CM+CN 即可求出MN 的长度即可．（2）据题意画出图形，利用MN=MC+CN 即可得出答案．（3）据题意画出图形，利用MN=MC-NC 即可得出答案．【详解】解：（1）点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴CM=12AC=4.5cm ， CN=12BC=3cm ， ∴MN=CM+CN=4.5+3=7.5cm ．所以线段MN 的长为7.5cm ．（2）MN 的长度等于12a ， 根据图形和题意可得：MN=MC+CN=12AC+12BC=12（AC+BC ）=12a ；（3）MN 的长度等于12b ， 根据图形和题意可得：MN=MC-NC=12AC-12BC=12（AC-BC ）=12b ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等的线段，注意根据题意画出图形也是关键．26．（1）20︒；（2）20︒；（3）20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠.【分析】（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，则∠COE =20°； （2）由角平分线可得70COE AOC ∠=∠=︒，再利用角的和差进行计算即可； （3）分别用∠COE 及∠AOD 的式子表达∠COD ，进行列式即可．【详解】解：（1）∵90DOE ∠=︒，70AOC ∠=︒∴907020COE DOE AOC =∠-∠=︒-︒=︒∠故答案为：20︒（2）∵OC 平分AOE ∠，70AOC ∠=︒，∴70COE AOC ∠=∠=︒，∵90DOE ∠=︒，∴907020COD DOE COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）∵90COD DOE COE COE =∠-∠=︒-∠∠，70COD AOC AOD AOD =∠-∠=︒-∠∠∴9070COE AOD ︒-∠=︒-∠∴20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．故答案为：20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．【点睛】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键．。
北京海淀区七年级数学2017-2018学年第二学期期中考试试题解析
海淀区七年级第二学期期中调研数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1. 的相反数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可．详解：因为与只有符号不同，所以的相反数是．故选：B．点睛：本题考查了利用相反数的概念求一个数的相反数，熟记只有符号不同的两个数互为相反数是解答此题的关键．2. 如图，∠1的同位角是（）A. ∠2B. ∠3C. ∠4D. ∠5【答案】A【解析】分析：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同方向上，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，结合图形进行判断即可．详解：∠1和∠2都在两条被截线的上方，并且都在截线的左侧，所以∠1的同位角是∠2．故选：A．本题考查了同位角的知识，属于基础题，掌握同位角的定义是关键．3. 下列图形中，不能．．通过其中一个四边形平移得到的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据平移与旋转的性质得出．解：A、能通过其中一个四边形平移得到，错误；B、能通过其中一个四边形平移得到，错误；C、能通过其中一个四边形平移得到，错误；D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，正确．故选D．4. 如图，点B，C，E三点共线，且BA∥CD，则下面说法正确的是（）A. ∠2＝∠BB. ∠1＝∠BC. ∠3＝∠BD. ∠3＝∠A【答案】C【解析】分析：结合图形，找出直线BA和CD被AC和BE所截形成的同位角、内错角，然后根据平行线的性质进行判断即可．详解：∠2和∠A是直线BA和CD被AC所截形成的内错角，∵BA∥CD，∴∠2=∠A，故A、D错误；∠3和∠B是直线BA和CD被BE所截形成的同位角，∵BA∥CD，∴∠3=∠B，故C正确，B错误．故选：C．点睛：本题考查了平行线的性质，正确的找出直线BA和CD被第三条直线所截形成的同位角和内错角是解决此题的关键．5. 估算的值是在（）A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间【答案】B【解析】分析:先找出19介于哪两个整数的平方之间,依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行比较即可。
北京市海淀区重点中学07年寒假实验班初一数学作业5 一次方程、方程组与不等式、不等式组(第2套)
磋砣莫遗韶光老，人生惟有读书好北京市海淀区重点中学07年寒假实验班初一数学作业一次方程、方程组与不等式、不等式组（第2套）1.〖第17届希望杯〗初一（2）班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人，则全班同学共有______人．【答案】55或25【解析】法一：本题是发散性题目，应该分两种情况考虑.设全班一共有x个人，根据题意可知有两种情况：（一）、从右向左报数时，报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在的x=++=；（二）、从右向左报数时，报20的同学超过第一遍报数位置，则有：20201555x=-=．为20的同学所在的位置，则有401525法二：画出线段图表示出两次报数为20的点，即可得到答案．2. 〖第2届希望杯〗①若a＝0，b≠0，方程ax＝b无解．②若a＝0，b≠0，不等式ax＞b无解．③若a≠0，方程ax＝b有惟一解x＝④若a≠0，不等式ax＞b的解为x＞．则（A）①、②、③、④都正确．（B）①、③正确，②、④不正确．（C）①、③不正确，②、④正确．（D）①、②、③、④都不正确．【答案】选（B）【解析】若a＝0，b＝－1，0x＞－l，可见②有解，所以结论不真．若a≠0，如a＝－1，－x＞b x＜－b，④不真．只有①，③是正确的．选（B）．【考点】本题是对含字母系数的一元一次方程(不等式)解的情况的考察．甲乙丙维生素A（单位/千克）400 600 400维生素B（单位/千克）800 200 400 成本（元/千克） 6 5 4 某食物营养研究所将三种食物混合成110千克的混合物，使之至少需含48 400单位的维生素A及52 800单位的维生素B．求三种食物所需量与成本的关系式．【详解】设需甲、乙两种食物分别为x y ，千克，则丙需(110)x y --千克，设共需成本z 元，应有400600400(110)48400800200400(110)52800654(110)x y x y x y x y z x y x y ++--⎧⎪++--⎨⎪=++--⎩≥ ≥【考点】本题考察了列不等式组的能力，解题关键应抓住体现不等关系的关键词语.如“至少”等．4. 〖2006年威海中考〗小明和小亮共下了10盘围棋，小明胜一盘计1分，小亮胜一盘计3分．当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高于小明．他们各胜过几盘？（已知比赛中没有出现平局）【分析】此题是一道反映不等关系的应用题，抓住“当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高于小明”这样的关键语句表示不等关系；另外应当明确在比赛中，小明赢的盘数恰好等于小亮输的盘数．【详解】设下完10盘棋后，小亮胜了x 盘，根据题意得，⎩⎨⎧<-->-x x x x 310)1(310， 解得25<<x 413，则不等式组的正整数解为3=x ， 所以小亮胜3盘，小明胜7盘．5. 〖第7届希望杯〗在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新盐水，它的浓度为20％，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的质量相等的纯盐后，盐水浓度变为，那么原来盐水的浓度是 （ ） （A ）23％． （B ）25％． （C ）30％．（D ）32％．【答案】选 （B ）【解析】【考点】本题考察了含有参数（设而不求）的二元一次方程组的应用．6.〖2006年衡阳中考〗市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％和95％．（1）若购买树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株?（2）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗?（3）若希望这批树苗的成活率不低于92％，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗? 【分析】：由题意可知，第一题存在等量关系，考虑用方程来解决；后两个问题存在不等关系，可用不等式来解决．【详解】（1）设购甲种树苗x株，则乙种树苗为(500－x)株．依题意得50x＋80(500—x)＝28000 解之得：x＝400∴500－x＝500－400＝100即：购买甲种树苗400株，乙种树苗100株．（2）由题意得：50x＋80(500－x)≤34000．解之得x≥200即：购买甲种树苗不小于200株．x300（3）由题意可得90%x＋95％(500—x)≥92％·500∴≤设购买两种树苗的费用之和为y元，则y＝50x＋80(500－x)＝40000－30x 所以y＝40000－30x，其中y的值随x的增大而减小，所以x＝300时y有最小值，y＝40000－30⨯300＝31000．【考点】本题考察了方程与不等式知识在实际问题中的应用．磋砣莫遗韶光老，人生惟有读书好生于忧患，死于安乐《孟子•告子》舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。
北京市海淀北部新区实验中学七年级数学上册第四章《几何图形初步》经典复习题(含解析)
北京市海淀北部新区实验中学七年级数学上册第四章《几何图形初步》经典复习题（含解析）一、选择题1．下列说法错误的是（）A．若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面面积相等B．n棱柱有n个面，n个顶点C．长方体，正方体都是四棱柱D．三棱柱的底面是三角形B解析：B【解析】A、若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面面积相等，说法正确；B、n棱柱有n+2个面，n个顶点，故原题说法错误；C、长方体，正方体都是四棱柱，说法正确；D、三棱柱的底面是三角形，说法正确；故选B．2．观察下列图形，其中不是正方体的表面展开图的是（）A．B．C．D． B解析：B【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】解：A、C、D均是正方体表面展开图；B、是凹字格，故不是正方体表面展开图．故选：B．【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．3．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是A．美B．丽C．云D．南D【分析】如图，根据正方体展开图的11种特征，属于正方体展开图的“1-4-1”型，折成正方体后，“建”与“南”相对，“设”与“丽”相对，“美”与“云”相对．【详解】如图，根据正方体展开图的特征，折成正方体后，“建”与“南”相对，“设”与“丽”相对，“美”与“云”相对．故选D ．4．如图，90AOB ∠=︒，AOC ∠为AOB ∠外的一个锐角，且40AOC ∠=︒，射线OM 平分BOC ∠，ON 平分AOC ∠，则MON ∠的度数为（ ）．A ．45︒B ．65︒C ．50︒D ．25︒A解析：A【分析】 根据题意，先求得∠COB 的值；OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，则可求得∠AOM 、∠AON 的值；∠MON=∠AOM+∠AON ，计算得出结果．【详解】∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM 平分∠BOC ，∴∠BOM=12∠BOC=65°， ∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，∵ON 平分∠AOC ，∴∠AON=12∠AOC=20°， ∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．∴∠MON 的度数是45°．【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．5．如图，CD 是直角三角形ABC 的高，将直角三角形ABC 按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（ ）．A ．绕着AC 旋转B ．绕着AB 旋转C ．绕着CD 旋转 D ．绕着BC 旋转B解析：B【分析】 根据直角三角形的性质，只有绕斜边旋转一周，才可以得出组合体的圆锥，进而解答即可．【详解】将直角三角形ABC 绕斜边AB 所在直线旋转一周得到的几何体是：故选：B ．【点睛】本题考查了点、线、面、体，培养学生的空间想象能力及几何体的三视图．6．已知α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则有下列式子：①90β︒-∠；②90α∠-︒；③()12αβ∠+∠；④()12αβ∠-∠；⑤()1902α∠-︒；其中，表示β∠的余角的式子有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个B解析：B【分析】根据余角和补角的概念进行角度的计算即可得解.【详解】∵9090ββ︒-∠+∠=︒，∴①正确；∵α∠和β∠互补，∴180αβ∠+∠=︒，∴901809090αβ∠-︒+∠=︒-︒=︒，∴②正确，⑤错误； ∵()11180909022αββββ∠+∠+∠=⨯︒+∠=︒+∠≠︒， ∴③错误； ∵()()11118090222αββαβ∠-∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴④正确；∴①②④正确，故选：B.【点睛】 本题主要考查了余角和补角的含义，熟练掌握相关角度的计算是解决本题的关键. 7．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为A ．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B ．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱C ．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D ．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱D解析：D【分析】 根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果．【详解】根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，三棱锥，圆柱；故选：D【点睛】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．8．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中αβ∠=∠的图形的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4C解析：C【分析】根据直角三角板可得第一个图形∠β=45°，进而可得∠α=45°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中∠α=∠β，第三个图形∠α和∠β互补．【详解】根据角的和差关系可得第一个图形∠α=∠β=45°，根据等角的补角相等可得第二个图形∠α=∠β，第三个图形∠α+∠β=180°，不相等，根据同角的余角相等可得第四个图形∠α=∠β，因此∠α=∠β的图形个数共有3个，故选：C．【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．9．如图，图中射线、线段、直线的条数分别为()A．5，5，1 B．3，3，2C．1，3，2 D．8，4，1D解析：D【分析】直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点.【详解】以A点为端点的射线有2条，以B为端点的射线有3条，以C为端点的射线有2条，以D 为端点射线有1条，合计射线8条.线段：AB，BC，AC，BD ，合计4条.直线：AC，合计1条故本题 D.【点睛】直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点.10．用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是（）A．B．C．D． D 解析：D【解析】【分析】圆锥是由圆和扇形围成的几何体，圆锥的底面是圆，侧面是曲面，截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，据此对所给选项一一进行判断.【详解】圆锥的轴截面是B，平行于底面的截面是C，当截面与轴截面斜交时截面是A；无论如何截，截面都不可能是D.故选D.【点睛】此题考查截一个几何体，解题关键是掌握圆锥的特点进行求解.二、填空题11．长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱的最大体积为___ (结果保留π).32π【分析】分情况讨论分绕长为2或是4的边旋转再根据圆柱的体积公式即可解【详解】由题意旋转构成一个圆柱的体积为π××4=16π或π××2=32π故答案为：32π【点睛】圆柱的体积公式是底面积与高的积解析：32π【分析】分情况讨论，分绕长为2或是4的边旋转，再根据圆柱的体积公式即可解【详解】由题意，旋转构成一个圆柱的体积为π×22×4=16π或π×24×2=32π，故答案为：32π【点睛】圆柱的体积公式是底面积与高的积．12．若A，B，C三点在同一直线上，线段AB=21cm，BC=10cm，则A，C两点之间的距离是________．11cm或31cm【分析】分类讨论：当点C在线段AB上则有AC=AB ﹣BC；当点C在线段AB的延长线上则AC=AB+BC然后把AB=21cmBC=10cm分别代入计算即可【详解】当点C在线段AB上则解析：11cm或31cm【分析】分类讨论：当点C在线段AB上，则有AC=AB﹣BC；当点C在线段AB的延长线上，则AC=AB+BC，然后把AB=21cm，BC=10cm分别代入计算即可．【详解】当点C在线段AB上，则AC=AB﹣BC=21cm﹣10cm=11cm；当点C在线段AB的延长线上，则AC=AB+BC=21cm+10cm=31cm；综上所述：A．C两点之间的距离为11cm或31cm．故答案为11cm或31cm．【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．13．在直线AB上，点A与点B的距离是8cm，点C与点A的距离是2cm，点D是线段AB 的中点，则线段CD的长为________.2cm或6cm【分析】分两种情况：①当C在线段BA的延长线上时②当C在线段AB上时根据线段的和差可得答案【详解】①当C在线段BA的延长线上时∵点D是线段AB的中点点A与点B的距离是8cm∴DA=4c解析：2cm或6cm【分析】分两种情况：①当C在线段BA的延长线上时，②当C在线段AB上时，根据线段的和差，可得答案．【详解】①当C在线段BA的延长线上时，∵点D是线段AB的中点，点A与点B的距离是8cm，∴DA=4cm，∴CD=4+2=6cm；②当C在线段BA上时，∵点D是线段AB的中点，点A与点B的距离是8cm，∴DA=4cm，∴CD=4-2=2cm；综上所述：AC=6 cm或2cm．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的中点是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．14．已知线段AB的长度为16厘米，C是线段AB上任意一点，E，F分别是AC，CB的中点，则E，F两点间的距离为_______.8厘米【解析】【分析】根据线段的中点即把线段分成相等的两部分的点进行解答【详解】解：∵C是线段AB的中点∴AC=CB=AB=8∵EF分别是ACCB的中点∴CE=AC=4CF=CB=4∴EF=8（cm解析：8厘米【解析】【分析】根据线段的中点即把线段分成相等的两部分的点进行解答．【详解】解：∵C是线段AB的中点,∴AC=CB=1AB=8,2∵E、F分别是AC、CB的中点,∴CE=12AC=4,CF=12CB=4，∴EF=8（cm）,故答案为:8cm．【点睛】本题主要考查了线段的中点的概念和性质,解决本题的关键是要能够根据中点准确运用式子表示并进行计算．15．下面的图形是某些几何体的表面展开图，写出这些几何体的名称．正方体四棱锥三棱柱【解析】【分析】根据常见的几何体的展开图进行判断【详解】根据几何体的平面展开图的特征可知：①是正方体的展开图；②是四棱锥的展开图；③是三棱柱的展开图；故答案为：正方体四棱锥三棱柱；解析：正方体四棱锥三棱柱【解析】【分析】根据常见的几何体的展开图进行判断．【详解】根据几何体的平面展开图的特征可知：①是正方体的展开图；②是四棱锥的展开图；③是三棱柱的展开图；故答案为：正方体，四棱锥，三棱柱；【点睛】此题考查几何体的展开图，解题关键在于掌握其展开图.16．如图，点C是线段AB上一点，点M，N，P分别是线段AC，BC，AB的中点.若3AC=，1CP=，则线段PN的长为________.【解析】【分析】根据线段中点的性质计算即可CB的长结合图形根据线段中点的性质可得CN的长进而得出PN的长【详解】∵AP=AC+CPCP=1∴AP=3+1=4∵P为AB的中点∴AB=2AP=8∵CB=解析：3 2【解析】【分析】根据线段中点的性质计算即可CB的长，结合图形、根据线段中点的性质可得CN的长，进而得出PN 的长．【详解】∵AP=AC+CP ，CP=1，∴AP=3+1=4，∵P 为AB 的中点，∴AB=2AP=8，∵CB=AB-AC ，AC=3，∴CB=5，∵N 为CB 的中点，∴CN=12BC=52， ∴PN=CN-CP=32． 故答案为32． 【点睛】 本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段的中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．17．填空：（1）8.76︒=________︒________'________''；（2）41348︒'''=________︒；（3）36000''=________'=________︒；（4）0.15︒=________'=________''.4536423600109540【分析】根据题意可知（1）（2）（3）（4）都是度分秒的计算由度化度分秒的运算法则整数的度数直接填入度数小数部分乘以60即可得到分分的小数部分乘以60得到秒；度分秒化 解析：45 36 4.23 600 10 9 540【分析】根据题意可知，（1）（2）（3）（4）都是度分秒的计算，由度化度分秒的运算法则，整数的度数直接填入，度数小数部分乘以60，即可得到分，分的小数部分乘以60得到秒；度分秒化度的运算法则为分别除以60，即可得到答案；【详解】解：（1）0.766045.6'⨯=，0.6'6036⨯="∴8.76845'36︒=︒"；（2）48600.8'"÷=，'13.8600.23÷=︒∴'41348 4.23"︒=︒；（3）3600060600'"÷=，'6006010÷=︒∴'3600060010"==︒；（4）0.15609'︒⨯=，9'60540⨯="∴0.159540'︒==".故答案为（1）8，45，36；（2）4.23；（3）600，10；（4）9，540.【点睛】本题考查了度分秒之间的换算，解题的关键是掌握度分秒的运算法则.18．把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式:__________________________. 是______命题(填“真”或“假”)如果两个角是两个相等角的余角那么这两个角相等真【解析】【分析】根据命题由题设和结论组成把条件两个角是同角的余角写在如果的后面把结论这两个角相等写在那么的后面即可【详解】命题同角的余角相等改写成如果那解析：如果两个角是两个相等角的余角，那么这两个角相等. 真【解析】【分析】根据命题由题设和结论组成,把条件“两个角是同角的余角”写在如果的后面,把结论“这两个角相等"写在那么的后面即可【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果..,那么."的形式是“如果两个角是同角的余角,那么这两个角相等”如果两个角是同角的余角,那么这两个角相等是真命题【点睛】此题考查命题与定理，掌握三角形的性质是解题关键19．如图所示，直线AB，CD交于点O，∠1＝30°，则∠AOD＝________°，∠2＝________°．30【分析】根据邻补角和对顶角的定义解答【详解】∠AOD＝180°-∠1=180°-30°=150°∠2＝180°-∠AOD=180°-150°=30°故答案为:15030【点睛】此题考查邻补角的定解析：30【分析】根据邻补角和对顶角的定义解答．【详解】∠AOD＝180°-∠1=180°-30°=150°，∠2＝180°-∠AOD=180°-150°=30°．故答案为:150,30．【点睛】此题考查邻补角的定义，正确理解图形中角的位置关系是解题的关键．20．如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝_______.【分析】先求出∠CAB及∠ABC的度数再根据三角形内角和是180°即可进行解答【详解】∵C岛在A岛的北偏东60°方向在B岛的北偏西45°方向∴∠CAB+∠ABC=180°﹣（60°+45°）=75°解析：【分析】先求出∠CAB及∠ABC的度数，再根据三角形内角和是180°即可进行解答．【详解】∵C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，∴∠CAB+∠ABC=180°﹣（60°+45°）=75°，∵三角形内角和是180°，∴∠ACB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°．故答案为105．【点睛】此题主要考查了方向角的概念和三角形的内角和定理，根据题意得到∠CAB和∠ABC的度数是解题关键.三、解答题21．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）解析：见解析．【分析】根据正方体展开图直接画图即可．【详解】解：【点睛】正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．22．如图，∠AOB=∠DOC=90°，OE 平分∠AOD ，反向延长射线OE 至F.（1）∠AOD 和∠BOC 是否互补？说明理由；（2）射线OF 是∠BOC 的平分线吗？说明理由；（3）反向延长射线OA 至点G ，射线OG 将∠COF 分成了4：3的两个角，求∠AOD ．解析：（1）互补；理由见解析；（2）是；理由见解析；（3）54°或720()11【分析】（1）根据和等于180°的两个角互补即可求解；（2）通过求解得到∠COF =∠BOF ，根据角平分线的定义即可得出结论；（3）分两种情况：①当∠COG ：∠GOF =4：3时；②当∠COG ：∠GOF =3：4时；进行讨论即可求解．【详解】（1）因为∠AOD +∠BOC =360°﹣∠AOB ﹣∠DOC =360°﹣90°﹣90°=180°，所以∠AOD 和∠BOC 互补．（2）因为OE 平分∠AOD ，所以∠AOE =∠DOE ，因为∠COF =180°﹣∠DOC ﹣∠DOE =90°﹣∠DOE ，∠BOF =180°﹣∠AOB ﹣∠AOE =90°﹣∠AOE ，所以∠COF =∠BOF ，即OF 是∠BOC 的平分线．（3）因为OG 将∠COF 分成了4：3的两个部分，所以∠COG ：∠GOF =4：3或者∠COG ：∠GOF =3：4．①当∠COG ：∠GOF =4：3时，设∠COG =4x °，则∠GOF =3x °，由（2）得：∠BOF =∠COF =7x °因为∠AOB +∠BOF +∠FOG =180°，所以90°+7x +3x =180°，解方程得：x =9°，所以∠AOD =180°﹣∠BOC =180°﹣14x =54°．②当∠COG ：∠GOF =3：4时，设∠COG =3x °，∠GOF =4x °，同理可列出方程：90°+7x +4x =180°，解得：x = 90()11， 所以∠AOD =180°﹣∠BOC =180°﹣14x 720()11=． 综上所述：∠AOD 的度数是54°或720()11． 【点睛】 本题考查了余角和补角，角平分线的定义，同时涉及到分类思想的综合运用．23．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且22AB =，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()0t t >秒．（1）数轴上点B 表示的数是___________；点P 表示的数是___________(用含t 的代数式表示)（2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P Q 、同时出发，问多少秒时P Q 、之间的距离恰好等于2？（3）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．解析：（1）14-，85t -；（2）2.5秒或3秒；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，图形见解析．【分析】（1）根据点B 和点P 的运动轨迹列式即可．（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前；②点P Q 、相遇之后，分别列式求解即可． （3）分两种情况：①当点P 在点A B 、两点之间运动时；②当点P 运动到点B 的左侧时， 分别列式求解即可．【详解】（1）14-，85t -；（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前，由题意得32522t t ++=，解得 2.5t =．②点P Q 、相遇之后，由题意得32522t t -+=，解得3t =．答：若点P Q 、同时出发，2.5或3秒时P Q 、之间的距离恰好等于2；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，理由如下：①当点P 在点A B 、两点之间运动时： 11111()221122222MN MP NP AP BP AP BP AB =+=+=+==⨯=； ②当点P 运动到点B 的左侧时，1111()112222MN MP NP AP BP AP BP AB =-=-=-==； ∴线段MN 的长度不发生变化，其值为11．【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键．24．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使80BOC ∠=︒，将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处(注：90DOE ∠=︒)()1如图①，若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上，则COE ∠= ．()2如图②，将直角三角板DOE 绕点O 逆时针方向转动到某个位置，若OC 恰好平分∠BOE ，求COD ∠的度数；()3如图③，将直角三角板DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在BOC ∠的内部，试猜想BOD ∠与COE ∠有怎样的数量关系？并说明理由．解析：（1）10°；（2）10°；（3）∠COE －∠BOD ＝10°，理由见解析．【分析】（1）根据COE DOE BOC =-∠∠∠，即可求出COE ∠的度数；（2）根据角平分线的性质即可求出COD ∠的度数；（3）根据余角的性质即可求出∠COE －∠BOD ＝10°．【详解】（1）∵90DOE ∠=︒,80BOC ∠=︒∴908010COE DOE BOC =-=︒-︒=︒∠∠∠∴∠COE ＝10°（2）∵OC 恰好平分∠BOE ∴12COE COB BOE ==∠∠∠ ∴∠COD ＝∠DOE －∠COE ＝∠DOE －∠BOC ＝10°（3）猜想：∠COE －∠BOD ＝10°理由：∵∠COE ＝∠DOE －∠COD ＝90°－∠COD∠COD ＝∠BOC －∠BOD ＝80°－∠B OD∴∠COE ＝90°－（80°－∠B OD ）＝10°＋∠B OD即∠COE －∠BOD ＝10°【点睛】本题考查了角的度数问题，掌握角平分线的性质、余角的性质是解题的关键． 25．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为5cm ，长方形的长为8cm ，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.解析：（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm 2；体积为：200cm 3．【分析】（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解．【详解】解：（1）多余一个正方形，如图所示：（2）表面积为：225285450160210()cm ⨯+⨯⨯=+=，体积为：2358200()cm ⨯=【点睛】本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．26．（1）已知一个角的补角比它的余角的3倍多10︒，求这个角的度数．（2）已知α∠的余角是β∠的补角的13，并且32βα∠=∠，试求a β∠+∠的度数． 解析：（1）50°；（2）150°【分析】（1）设这个角为α，则补角为（180°-α），余角为（90°-α），再由补角比它的余角的3倍多10°，可得方程，解出即可；（2）根据互余和互补的定义，结合已知条件列出方程组，解方程组得到答案．【详解】（1）设这个角为α，根据题意，得 18039010()a α︒-=︒-+︒．解得：50α=︒．答：这个角的度数为50︒．（2）根据题意，得190(180)3αβ︒︒-∠=⨯-∠且32βα∠=∠， ∴60α∠=︒，90β∠=︒．∴ 150αβ∠+∠≡︒．【点睛】本题考查的是余角和补角的概念，掌握若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补是解题的关键．27．已知点C 是线段AB 的中点（1）如图，若点D 在线段CB 上，且BD ＝1.5厘米，AD ＝6.5厘米，求线段CD 的长度；（2）若将（1）中的“点D在线段CB上”改为“点D在线段CB的延长线上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度．解析：（1）CD=2.5厘米；（2）CD=4厘米.【分析】根据BD+AD=AB可求出AB的长，利用中点的定义可求出BC的长，根据CD=BC-BD求出CD 的长即可；（2）根据题意画出图形，利用线段中点的定义及线段的和差关系求出CD的长即可.【详解】（1）∵BD=1.5厘米，AD=6.5厘米，∴AB=BD+AD=8(厘米)，∵点C是线段AB的中点，∴BC=12AB=4(厘米)∴CD=BC-BD=2.5(厘米).（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图所示：∵BD=1.5厘米，AD=6.5厘米，∴AB=AD-BD=5(厘米)，∵点C是线段AB的中点，∴BC=12AB=2.5(厘米)∴CD=BC+BD=4(厘米)【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．28．如图是由若干个正方体形状的木块堆成的，平放于桌面上。
北京市海淀北部新区实验中学七年级数学下册第八单元《二元一次方程组》经典复习题(含解析)
一、选择题1．已知二元一次方程组2513377x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②，用加减消元法解方程组正确的（ ） A ．①×5-②×7 B ．①×2+②×3C ．①×7－②×5D ．①×3-②×2 2．如图1、图2都是由8个一样的小长方形拼（围）成的大矩形，且图2中的阴影部分（小矩形）的面积为21cm ．则小长方形的长为（ ）cm ．A ．5B ．3C ．7D ．9 3．如果2x 3n y m+4与-3x 9y 2n 是同类项，那么m 、n 的值分别为（ ）A ．m=-2，n=3B ．m=2，n=3C ．m=-3，n=2D ．m=3，n=2 4．已知方程组512x y ax by +=⎧⎨+=⎩和521613x y bx ay +=⎧⎨+=⎩的解相同，则a 、b 的值分别是（ ） A ．2，3 B ．3，2 C ．2，4 D ．3，45．解方程组232261s t s t +=⎧⎨-=-⎩①②时，①—②，得（ ） A ．31t -= ． B ．33t -= C ．93t = D ．91t = 6．方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，…”译文：“已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛，…“则一个大桶和一个小桶一共可以盛酒斛，则可列方程组正确的是（ ）A ．5253x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．5352x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．5352x y x y +=⎧⎨=+⎩D ．5=+352x y x y ⎧⎨+=⎩7．下列方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩的是（ ） A ．224x y x y -=⎧⎨+=⎩ B ．253x y x y -=⎧⎨+=⎩ C ．32x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ．2536x y x y -=⎧⎨+=⎩8．有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头，从下面数，有84条腿﹐问笼中各有几只鸡和兔？若设笼中有x 只鸡，y 只兔，则列出的方程组为（ ）A ．30284x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．302484x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．304284x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．30284x y x y +=⎧⎨+=⎩9．已知：关于x 、y 的方程组2423x y a x y a +=-+⎧⎨+=-⎩，则x-y 的值为( ) A ．－1 B ．a-1 C ．0 D ．110．已知关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ） A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．14m ,n 33==-D ．14,33m n =-= 11．已知1,2x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程24x ay +=的一组解，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-12．方程组5213310x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ） A ．31x y =⎧⎨=-⎩ B ．13x y =-⎧⎨=⎩ C ．31x y =-⎧⎨=-⎩ D ．13x y =-⎧⎨=-⎩13．若方程6kx ﹣2y=8有一组解32x y =-⎧⎨=⎩，则k 的值等于（（ ） A ．23- B ．23 C ．16- D ．1614．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）．A ．324x y z -=B ．690+=xC ．42x y =-D ．123y x+= 15．下列说法正确的是（ ）A ．二元一次方程2317x y +=的正整数解有2组B ．若52x y =⎧⎨=⎩是232x y k -=的一组解，则k 的值是12 C ．方程组23321y x x y =-⎧⎨+=⎩的解是11x y =⎧⎨=-⎩D ．若3m n x +与22112m x y --是同类项，则2m =，1n = 二、填空题16．渝北区某学校将开启“阅读节”活动，为了充实学校书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持．同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去7690元；语文组购买了A 、B 两种文学书籍若干本，用去8330元，已知A 、B 两种书的数量分别与甲、乙两种书的数量相等，且甲种书与B 种书的单价相同，乙种书与A 种书的单价相同，若甲种书的单价比乙种书的单价多8元，则乙种书籍比甲种书籍多买了______本．17．重庆某快递公司规定：寄件不超过1kg 的部分按起步价计费，超过1kg 不足2kg ，按照2kg 收费；超过2kg 不足3kg 按照3kg 收费，以此类推．某产家分别寄快递到重庆市内和北京，其中，寄往重庆市内的起步价为a 元，超过部分b 元/kg ；寄往北京的起步价为()7a +元，超过部分()4b +元/kg ．已知一个寄往重庆市内的快件，质量为2kg ，收费13元；一个寄往北京的快件，质量为4.5kg ，收费42元．如果一个寄往北京的快件，质量为2.8kg ，应收费______元．18．已知关于x ，y 的方程组35223x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩，给出下列结论：①34x y =⎧⎨=-⎩是方程组的解；②2m =时，x ，y 的值互为相反数；③无论m 的x ，y 都满足的关系式22x y +=；④x ，y 的都为自然数的解有2对，其中正确的为__________．（填正确的序号） 19．若2a m b 2m +3n 与a 2n ﹣3b 8的和仍是一个单项式，则m ＝_____n ＝_____．20．某商店准备用每千克19元的A 糖果和每千克10元的B 糖果混合成什锦糖果出售，混合后糖果的价格是每千克16元．现在要配制这种什锦糖果150千克，需要两种糖果各多少千克？设A 糖果x 千克，B 糖果y 千克，根据题意可列二元一次方程组：_____． 21．已知关于,x y 的方程组343x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩，给出以下结论：①51x y =⎧⎨=-⎩，是方程组的一个解；②当2a =-时，,x y 的值互为相反数；③当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解；④,x y 之间的数量关系是23,x y -=其中正确的是__________ (填序号)．22．若方程组18mx ny nx my -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，则m=________，n=________． 23．如果()2 x 2y 1x y 50-+++-=，那么x =______，y =____ 24．2017年复兴号的成功研制生产，标志着我国高速动车组走在了世界先进前列．2019年全世界最长的高速动车组复兴号CR 400A ﹣B 正式运营，全长约440米，如图，将笔直轨道看成1个单位长度为1米的数轴，CR 400A ﹣B 停站时首尾对应的数分别为a ，b ，向右行驶一段距离后，首尾对应的数分别为c ，d ，若c ﹣d ＝2（|a |﹣|b |），则b 的值为__．25．已知2353210x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x +y ﹣2020＝_____． 26．已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和是3，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数是_____．三、解答题27．在解方程组85ax y bx cy +=-⎧⎨-=⎩时，小聪正确的解得31x y =⎧⎨=⎩，小虎因看错a 而解得71x y =⎧⎨=-⎩，若两人的计算过程均没错误，求a ，b ，c 的值． 28．萱萱家为方便她上学，在黄冈小河中学旁边购买了一套经济适用房．她家准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题： （1）写出用含x 、y 的整式表示地面总面积；（2）已知客厅面积是厨房面积的4倍，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m 2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？29．计算：（132243273- （2）020172015(3)(1)5π--； （3）2431y x x y =-⎧⎨+=⎩； （4）3(1)55(1)3(5)x y y x -=+⎧⎨-=+⎩． 30．今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市去年外来和外出旅游的人数．。
北京市海淀北部新区实验中学七年级下册数学期末试卷综合测试（Word版 含答案）
北京市海淀北部新区实验中学七年级下册数学期末试卷综合测试（Word 版 含答案）一、解答题 1．已知AB //CD ．（1）如图1，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ；（2）如图，连接AD ，BC ，BF 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，且BF ，DF 所在的直线交于点F ．①如图2，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝50°，∠ADC ＝60°，求∠BFD 的度数． ②如图3，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，请你求出∠BFD 的度数．（用含有α，β的式子表示）2．综合与探究 （问题情境）王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，//EF MN ，点A 、B 分别为直线EF 、MN 上的一点，点P 为平行线间一点，请直接写出PAF ∠、PBN ∠和APB ∠之间的数量关系；（问题迁移）（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线//m n ，直线m 分别交OM 、ON 于点A 、D ，直线n 分别交OM 、ON 于点B 、C ，点P 在射线OM 上运动，①当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．则CPD ∠，α∠，β∠之间有何数量关系？请说明理由．②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出CPD ∠，α∠，β∠之间的数量关系． 3．阅读下面材料： 小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ． 求证：∠BED ＝∠B +∠D ．（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整． 证明：过点E 作EF //AB ， 则有∠BEF ＝ ． ∵AB //CD ， ∴ // ， ∴∠FED ＝ ．∴∠BED ＝∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．①如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； ②如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，请你求出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．4．如图，已知直线//AB 射线CD ，100CEB ∠=︒．P 是射线EB 上一动点，过点P 作PQ //EC 交射线CD 于点Q ，连接CP ．作PCF PCQ ∠=∠，交直线AB 于点F ，CG 平分ECF ∠．（1）若点P ，F ，G 都在点E 的右侧，求PCG ∠的度数；（2）若点P ，F ，G 都在点E 的右侧，30EGC ECG ∠-∠=︒，求CPQ ∠的度数； （3）在点P 的运动过程中，是否存在这样的情形，使:4:3EGC EFC ∠∠=？若存在，求出CPQ ∠的度数；若不存在，请说明理由．5．已知AB ∥CD ，线段EF 分别与AB ，CD 相交于点E ，F ．（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：如图1，当点P 在线段EF 上时，已知∠A ＝35°，∠C ＝62°，求∠APC 的度数； 解：过点P 作直线PH ∥AB ， 所以∠A ＝∠APH ，依据是 ； 因为AB ∥CD ，PH ∥AB ， 所以PH ∥CD ，依据是 ； 所以∠C ＝（ ），所以∠APC ＝（ ）+（ ）＝∠A +∠C ＝97°． （2）当点P ，Q 在线段EF 上移动时（不包括E ，F 两点）： ①如图2，∠APQ +∠PQC ＝∠A +∠C +180°成立吗？请说明理由；②如图3，∠APM ＝2∠MPQ ，∠CQM ＝2∠MQP ，∠M +∠MPQ +∠PQM ＝180°，请直接写出∠M ，∠A 与∠C 的数量关系．二、解答题6．如图1，由线段,,,AB AM CM CD 组成的图形像英文字母M ，称为“M 形BAMCD ”．（1）如图1，M 形BAMCD 中，若//,50AB CD A C ∠+∠=︒，则M ∠=______； （2）如图2，连接M 形BAMCD 中,B D 两点，若150,B D AMC α∠+∠=︒∠=，试探求A ∠与C ∠的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，且AC 的延长线与BD 的延长线有交点，当点M 在线段BD 的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出A ∠与C ∠所有可能的数量关系．7．如图1所示：点E 为BC 上一点，∠A ＝∠D ，AB ∥CD （1）直接写出∠ACB 与∠BED 的数量关系；（2）如图2，AB ∥CD ，BG 平分∠ABE ，BG 的反向延长线与∠EDF 的平分线交于H 点，若∠DEB 比∠GHD 大60°，求∠DEB 的度数；（3）保持（2）中所求的∠DEB 的度数不变，如图3，BM 平分∠EBK ，DN 平分∠CDE ，作BP ∥DN ，则∠PBM 的度数是否改变？若不发生变化，请求它的度数，若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．8．（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b ，使直线b 经过点P ，且//b a ，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：②在（1）中的步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的 线．（2）已知，如图3，//AB CD ，BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠．求证：//BE CF （写出每步的依据）．9．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线,30OC AOC ︒∠=，将一直角三角板（30M ︒∠=）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方，将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON 与OC 重合？（2）如图2，经过t 秒后，//MN AB ，求此时t 的值．（3）若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC 与OM 重合？请画图并说明理由．（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC 平分MOB ∠？请画图并说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系中，()()02A a C b ，，，，且满足()240a b a b ++-+=，过C 作CB x ⊥轴于B（1）求三角形ABC 的面积．（2）发过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠，如图2，若,90()CAB ACB a αββ∠=∠=+=︒，求AED ∠的度数．（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在；请说明理由．三、解答题11．如图所示，已知射线//,//,100CB OA AB OC C OAB ︒∠=∠=.点E 、F 在射线CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平分COF ∠ （1）求EOB ∠的度数；（2）若平行移动AB ，那么:OBC OFC ∠∠的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由.12．如图，直线m 与直线n 互相垂直，垂足为O 、A 、B 两点同时从点O 出发，点A 沿直线m 向左运动，点B 沿直线n 向上运动．(1)若∠BAO 和∠ABO 的平分线相交于点Q ，在点A ，B 的运动过程中，∠AQB 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．(2)若AP 是∠BAO 的邻补角的平分线，BP 是∠ABO 的邻补角的平分线，AP 、BP 相交于点P ，AQ 的延长线交PB 的延长线于点C ，在点A ，B 的运动过程中，∠P 和∠C 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠P 和∠C 的度数；若发生变化，请说明理由．13．Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；（3）若点P 运动到边AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.（4）若点P 运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： . 14．如图，直线//PQ MN ，一副直角三角板,ABC DEF ∆∆中，90,45,30,60ACB EDF ABC BAC DFE DEF ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=．（1）若DEF ∆如图1摆放，当ED 平分PEF ∠时，证明：FD 平分EFM ∠．（2）若,ABC DEF ∆∆如图2摆放时，则PDE ∠=（3）若图2中ABC ∆固定，将DEF ∆沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作FGQ ∠和GFA ∠的角平分线GH FH 、相交于点H （如图3），求GHF ∠的度数．（4）若图2中DEF ∆的周长35,5cm AF cm =，现将ABC ∆固定，将DEF ∆沿着CA 方向平移至点F 与A 重合，平移后的得到''D E A ∆，点D E 、的对应点分别是''D E 、，请直接写出四边形'DEAD 的周长．（5）若图2中DEF ∆固定，（如图4）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF ∆的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．15．已知AB //CD ，点E 是平面内一点，∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线交于点F ． （1）若点E 的位置如图1所示．①若∠ABE =60°，∠CDE =80°，则∠F = °； ②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是 ．（3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为 ．【参考答案】一、解答题1．（1）见解析；（2）55°；（3） 【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数； ②如图解析：（1）见解析；（2）55°；（3）1118022αβ︒-+【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点F 作//FE AB ，当点B 在点A 的左侧时，根据50ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求BFD ∠的度数；②如图3，过点F 作//EF AB ，当点B 在点A 的右侧时，ABC α∠=，ADC β∠=，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出BFD ∠的度数． 【详解】解：（1）如图1，过点E 作//EF AB ，则有BEF B ∠=∠，//AB CD ，//EF CD ∴，FED D ∴∠=∠，BED BEF FED B D ∴∠=∠+∠=∠+∠；（2）①如图2，过点F 作//FE AB ，有BFE FBA ∠=∠．//AB CD ，//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=∠+∠．即BFD FBA FDC ∠=∠+∠， BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，1252FBA ABC ∴∠=∠=︒，1302FDC ADC ∠=∠=︒，55BFD FBA FDC ∴∠=∠+∠=︒．答：BFD ∠的度数为55︒； ②如图3，过点F 作//FE AB ，有180BFE FBA ∠+∠=︒．180BFE FBA ∴∠=︒-∠，//AB CD ，//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．180BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=︒-∠+∠．即180BFD FBA FDC ∠=︒-∠+∠，BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，1122FBA ABC α∴∠=∠=，1122FDC ADC β∠=∠=，1118018022BFD FBA FDC αβ∴∠=︒-∠+∠=︒-+．答：BFD ∠的度数为1118022αβ︒-+．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．2．（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或 【分析】（1）作PQ ∥EF ，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案； ②根据题意，可对点P 进行分类讨论解析：（1）360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠，理由见解析；②图见解析，CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠ 【分析】（1）作PQ ∥EF ，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过P 作//PE AD 交CD 于E ，由平行线的性质，得到DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得到答案；②根据题意，可对点P 进行分类讨论：当点P 在BA 延长线时；当P 在BO 之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案． 【详解】解：（1）作PQ ∥EF ，如图：∵//EF MN ， ∴////EF MN PQ ，∴180PAF APQ ∠+∠=°，180PBN BPQ ∠+∠=°， ∵APB APQ BPQ ∠=∠+∠ ∴360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°； （2）①CPD αβ∠=∠+∠； 理由如下：如图，过P 作//PE AD 交CD 于E ， ∵//AD BC ， ∴////AD PE BC ，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠， ∴CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠； ②当点P 在BA 延长线时，如备用图1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=β，∠EPD=α，∴CPDβα∠=∠-∠；当P在BO之间时，如备用图2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=α，∠CPE=β，∴CPDαβ∠=∠-∠．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．3．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，解析：（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣11 22 aβ+【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数；②如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数．【详解】解：（1）过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案为：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝12∠ABC＝30°，∠EDC＝12∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度数为65°；②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝12∠ABC＝12α，∠EDC＝12∠ADC＝12β，∴∠BED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ＝180°﹣1122a β+． 答：∠BED 的度数为180°﹣1122a β+． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 4．（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG 的度数； （2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠G解析：（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG 的度数；（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG =∠GCF =25°，再根据PQ ∥CE ，即可得出∠CPQ =∠ECP =65°；（3）设∠EGC =4x ，∠EFC =3x ，则∠GCF =4x -3x =x ，分两种情况讨论：①当点G 、F 在点E 的右侧时，②当点G 、F 在点E 的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．【详解】解：（1）∵∠CEB =100°，AB ∥CD ，∴∠ECQ =80°，∵∠PCF =∠PCQ ，CG 平分∠ECF ，∴∠PCG ＝∠PCF +∠FCG ＝12∠QCF +12∠FCE =12∠ECQ =40°；（2）∵AB ∥CD∴∠QCG =∠EGC ，∠QCG +∠ECG =∠ECQ =80°，∴∠EGC +∠ECG =80°，又∵∠EGC -∠ECG =30°，∴∠EGC =55°，∠ECG =25°，∴∠ECG =∠GCF =25°，∠PCF =∠PCQ =12（80°-50°）=15°，∵PQ ∥CE ，∴∠CPQ =∠ECP =65°；（3）设∠EGC =4x ，∠EFC =3x ，则∠GCF=∠FCD =4x -3x =x ，①当点G 、F 在点E 的右侧时，则∠ECG=x，∠PCF=∠PCD=32 x，∵∠ECD=80°，∴x+x+32x+32x=80°，解得x=16°，∴∠CPQ=∠ECP=x+x+32x=56°；②当点G、F在点E的左侧时，则∠ECG=∠GCF=x，∵∠CGF=180°-4x，∠GCQ=80°+x，∴180°-4x=80°+x，解得x=20°，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°，∴∠PCQ＝12∠FCQ＝60°，∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．解析：（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．【详解】解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如图3，过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．二、解答题6．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．（2）延长BA，DC交于E，解析：（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可；【详解】解：（1）过M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；故答案为：50°；（2）∠A+∠C=30°+α，延长BA，DC交于E，∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°，∵∠BAM +∠DCM =360°-（∠EAM +∠ECM ）=360°-（360°-∠E -∠M ）=30°+α；即∠A +∠C =30°+α；（3）①如下图所示：延长BA 、DC 使之相交于点E ，延长MC 与BA 的延长线相交于点F ，∵∠B +∠D =150°，∠AMC =α，∴∠E =30°由三角形的内外角之间的关系得：∠1=30°+∠2∠2=∠3+α∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A -∠C =30°+α．②如图所示，210-∠A =（180°-∠D CM ）+α，即∠A -∠DCM =30°-α．综上所述，∠A -∠DCM =30°+α或30°-α．【点睛】本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l ∥AB ，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M 与已知角∠A 、∠C 的数量关系联系起来，从而求得∠M 的度数．7．(1) ；(2) ；(3)不发生变化，理由见解析【分析】(1)如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据平行线的性质推出；(2)如图2，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ，根据AB ∥CD ，AB ∥E 解析：(1) +180ACB BED ∠∠=︒；(2) 100︒；(3)不发生变化，理由见解析【分析】(1)如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据平行线的性质推出+180ACB BED ∠∠=︒；(2)如图2，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ，根据AB ∥CD ，AB ∥ES 推出BED ABE CDE ∠=∠+∠，再根据AB ∥TH ，AB ∥CD 推出GHD THD THB ∠=∠-∠，最后根据BED ∠比BHD ∠大60︒得出BED ∠的度数；(3)如图3，过点E 作EQ ∥DN ，根据DEB CDE ABE ∠=∠+∠得出βα-的度数，根据条件再逐步求出PBM ∠的度数．【详解】(1)如答图1所示，延长DE 交AB 于点F ．AB ∥CD ，所以D EFB ∠=∠，又因为A D ∠=∠，所以A EFB ∠=∠，所以AC ∥DF ，所以ACB CED ∠=∠．因为+180CED BED ∠∠=︒，所以+180ACB BED ∠∠=︒．(2)如答图2所示，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ．设ABG EBG α∠=∠=，FDH EDH β∠=∠=，因为AB ∥CD ，AB ∥ES ，所以ABE BES ∠=∠，SED CED ∠=∠，所以21802BED BES SED ABE CDE αβ∠=∠+∠=∠+∠=+︒-，因为AB ∥TH ，AB ∥CD ，所以ABG THB ∠=∠，FDH DHT ∠=∠，所以GHD THD THB βα∠=∠-∠=-，因为BED ∠比BHD ∠大60︒，所以2+1802()60αββα︒---=︒，所以40βα-=︒，所以40BHD ∠=︒，所以100BED ∠=︒(3)不发生变化如答图3所示，过点E 作EQ ∥DN ．设CDN EDN α∠=∠=，EBM KBM β∠=∠=，由(2)易知DEB CDE ABE ∠=∠+∠，所以2+1802100αβ︒-=︒，所以40βα-=︒， 所以180()180DEB CDE EDN EBM PBM PBM αβ∠=∠+∠+︒-∠+∠=+︒--∠， 所以80()40PBM βα∠=︒--=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．8．（1）①见解析；②垂；（2）见解析【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；②步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．（2）先根据解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析【分析】（1）①过P 点折纸，使痕迹垂直直线a ，然后过P 点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线b ；②步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的垂线．（2）先根据平行线的性质得到ABC BCD ∠=∠，再利用角平分线的定义得到23∠∠=，然后根据平行线的判定得到结论．【详解】（1）解：①如图2所示：②在（1）中的步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的垂线． 故答案为垂；（2）证明：BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠（已知），12∠∠∴=，33∠=∠（角平分线的定义），//AB CD （已知），ABC BCD ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等），2223∴∠=∠（等量代换），23∴∠=∠（等式性质），//BE CF ∴（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．9．（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）秒，画图见解析【分析】（1）用角的度数除以转动速度即可得；（2）求出∠AON=60°，结合旋转速度可得时间t ；（3）设∠AON=3解析：（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）703秒，画图见解析 【分析】（1）用角的度数除以转动速度即可得；（2）求出∠AON=60°，结合旋转速度可得时间t；（3）设∠AON=3t，则∠AOC=30°+6t，由题意列出方程，解方程即可；（4）根据转动速度关系和OC平分∠MOB，由题意列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵30÷3=10，∴10秒后ON与OC重合；（2）∵MN∥AB∴∠BOM=∠M=30°，∵∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=60°，∴t=60÷3=20∴经过t秒后，MN∥AB，t=20秒．（3）如图3所示：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠BOM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON=3t，则∠AOC=30°+6t，∵OC与OM重合，∵∠AOC+∠BOC=180°，可得：（30°+6t）+（90°-3t）=180°，解得：t=20秒；即经过20秒时间OC与OM重合；（4）如图4所示：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON=3t，∠AOC=30°+6t，∵∠BOM+∠AON=90°，∴∠BOC=∠COM=12∠BOM=12（90°-3t），由题意得：180°-（30°+6t）=12（ 90°-3t），解得：t=703秒，即经过703秒OC平分∠MOB．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．10．（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）【分析】（1）根据非负数的性质得到a＝−b，a−b＋4＝0，解得a＝−2，b＝2，则A （−2，0），B（2，0），C（2，2），即可计算出解析：（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）【分析】（1）根据非负数的性质得到a＝−b，a−b＋4＝0，解得a＝−2，b＝2，则A（−2，0），B （2，0），C（2，2），即可计算出三角形ABC的面积＝4；（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB＝∠ABD，即∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，过E作EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，所以∠AED＝∠1＋∠2＝12×90°＝45°；（3）先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y＝12x＋1，则G点坐标为（0，1），然后利用S△PAC＝S△APG＋S△CPG进行计算．【详解】解：（1）由题意知：a＝−b，a−b＋4＝0，解得：a＝−2，b＝2，∴ A（−2，0），B（2，0），C（2，2），∴S△ABC＝1AB BC=42；（2）∵CB∥y轴，BD∥AC，∴∠CAB＝∠ABD，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，过E作EF∥AC，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，∴∠AED ＝∠1＋∠2＝12×90°＝45°；（3）存在．理由如下：设P 点坐标为（0，t ），直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A （−2，0）、C （2，2）代入得： -2k+b=02k+b=2⎧⎨⎩，解得1k=2b=1⎧⎪⎨⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝12x ＋1，∴G 点坐标为（0，1），∴S △PAC ＝S △APG ＋S △CPG ＝12|t−1|•2＋12|t−1|•2＝4，解得t ＝3或−1，∴P 点坐标为（0，3）或（0，−1）．【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．三、解答题11．（1）40°；（2）的值不变，比值为;（3）∠OEC=∠OBA=60°.【分析】（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA ，从而得出答案；（2解析：（1）40°；（2）:OBC OFC ∠∠的值不变，比值为12;（3）∠OEC=∠OBA=60°.【分析】（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COA ，从而得出答案；（2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA ，∠OFC=∠FOA ，再根据∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB ，即可得出∠OBC ：∠OFC 的值为1：2．（3）设∠AOB=x ，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC ，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA ，然后列出方程求解即可．【详解】（1）∵CB∥OA∴∠C+∠COA=180°∵∠C=100°∴∠COA=180°-∠C=80°∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF∴∠FOB+∠EOF=12（∠AOF+∠COF）=12∠COA=40°;∴∠EOB=40°;（2）∠OBC：∠OFC的值不发生变化∵CB∥OA∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA∵∠FOB=∠AOB∴∠FOA=2∠BOA∴∠OFC=2∠OBC∴∠OBC：∠OFC=1：2（3）当平行移动AB至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA．设∠AOB=x，∵CB∥AO，∴∠CBO=∠AOB=x，∵CB∥OA，AB∥OC，∴∠OAB+∠ABC=180°，∠C+∠ABC=180°∴∠OAB=∠C=100°．∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+40°，∠OBA=180°-∠OAB-∠AOB=180°-100°-x=80°-x，∴x+40°=80°-x，∴x=20°，∴∠OEC=∠OBA=80°-20°=60°．【点睛】本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．12．(1)∠AQB的大小不发生变化，∠AQB＝135°；(2)∠P和∠C的大小不变，∠P=45°，∠C=45°.【分析】第(1)题因垂直可求出∠ABO与∠BAO的和，由角平分线和角的和差可求出∠BA 解析：(1)∠AQB的大小不发生变化，∠AQB＝135°；(2)∠P和∠C的大小不变，∠P=45°，∠C=45°.【分析】第(1)题因垂直可求出∠ABO与∠BAO的和，由角平分线和角的和差可求出∠BAQ与∠ABQ 的和，最后在△ABQ中，根据三角形的内角各定理可求∠AQB的大小．第(2)题求∠P的大小，用邻补角、角平分线、平角、直角和三角形内角和定理等知识求解．【详解】解：(1)∠AQB的大小不发生变化，如图1所示，其原因如下：∵m⊥n，∴∠AOB＝90°，∵在△ABO中，∠AOB+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，又∵AQ、BQ分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠BAQ＝12∠BAC，∠ABQ＝12∠ABO,∴∠BAQ+∠ABQ＝12 (∠ABO+∠BAO)＝190452⨯=又∵在△ABQ中，∠BAQ+∠ABQ+∠AQB＝180°，∴∠AQB＝180°﹣45°＝135°．(2)如图2所示：①∠P的大小不发生变化，其原因如下：∵∠ABF+∠ABO＝180°，∠EAB+∠BAO＝180°∠BAQ+∠ABQ＝90°，∴∠ABF+∠EAB＝360°﹣90°＝270°，又∵AP、BP分别是∠BAE和∠ABP的角平分线，∴∠PAB＝12∠EAB，∠PBA＝12∠ABF，∴∠PAB+∠PBA＝12 (∠EAB+∠ABF)＝12×270°＝135°，又∵在△PAB中，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，∴∠P＝180°﹣135°＝45°．②∠C的大小不变，其原因如下：∵∠AQB＝135°，∠AQB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣135°，又∵∠FBO＝∠OBQ+∠QBA+∠ABP+∠PBF＝180°∠ABQ＝∠QBO＝1∠ABO，∠PBA＝∠PBF＝∠ABF，2∴∠PBQ＝∠ABQ+∠PBA＝90°，又∵∠PBC＝∠PBQ+∠CBQ＝180°，∴∠QBC＝180°﹣90°＝90°．又∵∠QBC+∠C+∠BQC＝180°，∴∠C＝180°﹣90°﹣45°＝45°【点睛】本题考查三角形内角和定理，垂直，角平分线，平角，直角和角的和差等知识点，同时，也是一个以静求动的一个点型题目，有益于培养学生的思维几何综合题．13．（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【详解】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2解析：（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【详解】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案为140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.14．（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s 【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性解析：（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；（4）根据平移性质可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再结合DE＋EF＋DF＝35cm，可得出答案；（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．【详解】（1）如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，∵ED平分∠PEF，∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，∵PQ∥MN，∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，∴∠MFD＝∠DFE，∴FD平分∠EFM；（2）如图2，过点E作EK∥MN，∵∠BAC＝45°，∴∠KEA＝∠BAC＝45°，∵PQ∥MN，EK∥MN，∴PQ∥EK，∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，又∵∠DEF＝60°．∴∠PDE＝60°−45°＝15°，故答案为：15°；（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，∴FL∥PQ∥HR，∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，∴∠QGH＝12∠FGQ，∠HFA＝12∠GFA，∵∠DFE＝30°，∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，∴∠HFA＝12∠GFA＝75°，∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，∴∠RHG＝∠QGH＝12∠FGQ＝12（180°−105°）＝37.5°，∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；（4）如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，∵DE＋EF＋DF＝35cm，∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45（cm），即四边形DEAD′的周长为45cm；（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，∴∠CAE＝∠DFE＝30°，∴3t＝30，解得：t＝10；BC∥EF时，如图6，∵BC∥EF，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，∴3t＝90，解得：t＝30；BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，∴∠BKA＝∠DRM＝75°，∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，∴3t＝120，解得：t ＝40，综上所述，△ABC 绕点A 顺时针旋转的时间为10s 或30s 或40s 时，线段BC 与△DEF 的一条边平行．【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．15．（1）①70；②∠F=∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED=360°；（3）【分析】（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠A解析：（1）①70；②∠F =12∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED =360°；（3）3045α︒≤<︒ 【分析】（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，利用角平分线的定义得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF ），求得∠ABF+∠CDF=70︒，即可求解； ②分别过E 、F 作EN//AB ，FM//AB ，利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE ，利用角平分线的定义得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF ），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF ，即可求解；（2）根据∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线相交于点F ，过点E 作EG ∥AB ，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB ∥CD ，EG ∥AB ，所以CD ∥EG ，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合①的结论即可说明∠BED 与∠BFD 之间的数量关系；（3）通过对1452E F ∠≥∠+︒的计算求得30α≥︒，利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得45α<︒，即可求得3045α︒≤<︒．【详解】（1）①过F 作FG//AB ，如图：∵AB ∥CD ，FG ∥AB ，∴CD ∥FG ，∴∠ABF=∠BFG ，∠CDF=∠DFG ，∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，∵BF 平分∠ABE ，∴∠ABE=2∠ABF ，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF）=60︒+80︒=140︒，∴∠ABF+∠CDF=70︒，∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70︒，故答案为：70；∠BED，②∠F=12理由是：分别过E、F作EN//AB，FM//AB，∵EN//AB，∴∠BEN=∠ABE，∠DEN=∠CDE，∴∠BED=∠ABE+∠CDE，∵DF、BF分别是∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线，∴∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，即∠BED=2（∠ABF+∠CDF）；同理，由FM//AB，可得∠F=∠ABF+∠CDF，∴∠F=1∠BED；2（3）2∠F+∠BED=360°．如图，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，∵AB∥CD，EG∥AB，∴CD∥EG，∴∠DEG+∠CDE=180°，∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF ，∴∠BED=360°-2∠BFD ，即2∠F+∠BED=360°；（3）∵1452E F ∠≥∠+︒，∠F =α，∴2452αα≥+︒， 解得：30α≥︒，如图，∵∠CDE 为锐角，DF 是∠CDE 的角平分线，∴∠CDH=∠DHB 190452<⨯︒=︒， ∴∠F <∠DHB 45<︒，即45α<︒，∴3045α︒≤<︒，故答案为：3045α︒≤<︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．。
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北京市海淀区重点中学07年寒假实验班初一数学作业
几何问题（第2套）
1. [第17届希望杯] 在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（）
[答案]C
[解析] 将题目中的展开图形还原，只有答案B不能还原成正方体．
[考点] 本题考察了对正方体展开图形的理解．
2.[2004年青海中考]如图4－1－16，直线AB、CD相交于点0，OE⊥AB于点0，OF平分
1530'，则下列结论中不正确的是（）
∠AOE，∠1＝0
A．∠2＝450
B．∠1＝∠3
C．∠AOD与∠1互为补角
7530'
D．∠1的余角等于0
[答案]D
[解析]由角平分线，对顶角，互补的定义可知A、B、C是正确的，只有D的计算是错误，∠1 ．
的余角应等于7430'
3．[第13届希望杯] 下列四个命题：
①如果两个角是对顶角，则这两个角相等．
②如果两个角相等，则这两个角是对顶角．
③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角．
其中正确的命题有 （ ）
（A ）1个．
（B ）2个． （C ）3个． （D ）4个． [答案]B
[解析]只有①④是正确的．
[考点]本题考察学生对对顶角概念的理解和认识．
4.[第11届希望杯]右图所示，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF ＝
13BC ，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的（ ）倍．
A .2
B .3
C .4
D .5
[答案]B
[解析]设矩形长为a ，宽为b ，
则ABCD S ab
=矩形，而1
212,,236B E F A
S b a a =⨯÷= 阴影部分而＝ab- [考点]本题考察了有关矩形的面积计算．。