《运筹学》习题集

第一章　线性规划

1．1将下述线性规划问题化成标准形式

1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4

　4x1－x2＋2x3－　x4　＝－2

st.x1＋x2－x3＋2 x4 ≤ 14

－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥ 2

x1，x2，x3≥ 0，x4　无约束

2)min z ＝2x1－2x2＋3x3

－x1＋x2＋x3＝4

st.－2x1＋x2－x3≤ 6

x1≤0 ，x2≥ 0，x3无约束

1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1)min z＝2x1＋3x2

4x1＋6x2≥6

st 2x1＋2x2≥4

x1，x2≥0

2)max z＝3x1＋2x2

2x1＋x2≤2

st 3x1＋4x2≥12

x1，x2≥0

3)max z＝3x1＋5x2

6x1＋10x2≤120

st 5≤x1≤10

3≤x2≤8

4)max z＝5x1＋6x2

2x1－x2≥2

st －2x1＋3x2≤2

x1，x2≥0

1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解

（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4

x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7

st 2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3

x1，x2，x3，x4≥0

1．4分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。1)maxz ＝10x 1＋5x 2

3x 1＋4x 2≤9

st 5x 1＋2x 2≤8

x 1，x 2≥0

2)

maxz ＝2x 1＋x 2

3x 1＋5x 2≤15st 6x 1＋2x 2≤24

x 1，x 2≥0

1．5分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。1)minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3

x 1＋4x 2＋2x 3≥8

st 3x 1＋2x 2 ≥6

x 1，x 2 ，x 3≥0

2) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3

. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4

x 1＋ x 2－ x 3＝5

3) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3

x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18st 2x 1＋x 2　－3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10

x 1，x 2 ，x 3≥0

123123

123123123

4)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨

++

≥⎪⎪≥⎩1．6

求下表中a ～l 的值。c j →（a ）

－1200C B X B b x 1x 2x 3x 4x 50x 46（b ）（c ）

（d ）100

x 5

1

-13（e ）01σj →

（a ）

-1200（a ）x 1（f ）［（g ）］2-11/200

x 5

4

（h ）

（I ）

1

1/2

1

c j→（a）－1200

C B X B b x1x2x3x4x5

σj0-7（j）（k）（l）

1.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。

1.8某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及

售价如下表所示。

问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。

甲乙丙原料成本(元/千克) 每月限量（千克）

A ≥60％≥15％ 2.00 2000

B 1.50 2500

C ≤20％≤60％≤50％ 1.00 1200

加工费（元/千克）0.50 0.40 0.30

售价 3.40 2.85 2.25

1.9某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货

售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型。

月份7 8 9 10 11 12

买进单价28 24 25 27 23 23

售出单价29 24 26 28 22 25

1.10某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外

在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.,5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。

1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作

小时数为：第一项工作10000小时。第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。使总的工资支出为最少(