平方差导学案
七年级数学下册 2.2.1 平方差公式导学案(新版)湘教版(1)
2.2.1平方差公式一、新课引入〈一〉复习旧知1.多项式乘多项式的法则是什么？2.用简便方法计算： (1)201×199; (2)97×103〈二〉导读目标学习目标：1．经历探索平方差公式的过程．2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算重点：平方差公式的推导和应用难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式计算．二、预习导学预习课本P 42动脑筋、P43例1—例3，解答下列问题：1. 计算下列多项式的乘积：（1） (y+1)(y-1) = ；（2） (m+2)(m-2) = ；（3） (a+3)(a-3) = ；（4） (x+5)(x-5) = ．观察上述算式，①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③你发现什么规律？能不能用字母表示你的发现？2. 你能用数形结合的思想解释发现的规律吗？3. 你能用文字语言及公式表示所发现的规律吗？公式结构特征是怎样的？三、合作探究〈一〉用平方差公式计算例1运用平方差公式计算:四、解法指导五、堂上练习基础训练1.下列各式的计算对不对?如果不对，应怎样改正？(1)(x-2)(x+2)=x2-2; (2) (-2x-1)(2x-1)=4x2-12 ．运用平方差公式计算：(1) (3a+b)(3a-b); (2) (-1+5a)(-1-5a)3.计算：(1) 202×198; (2) 49.8×50.2;提高练习计算：(1) 5002-499×501. （2）（2a－b）(4a2＋b2) (2a＋b)六、课堂小结1.谈谈这节课你有哪些收获？2.你有哪些疑惑？(1) (2x+y)(2x-y); (2) (-a-b)(-a+b);＋y。
6《平方差公式》导学案
14.2乘法公式14.2.1平方差公式1.知道平方差公式,能用几何拼图的方式验证平方差公式,能灵活应用平方差公式进行计算.3.重点:平方差公式的探究及应用.问题探究平方差公式阅读教材“思考”前所有内容,解决下面的问题.1.计算: (1)(x+2)(x-2)=; (2)(y+3)(y-3)=;(3)(3y+1)(3y-1)=.2.观察上面三个等式,说说左边和右边的两个多项式各有什么特点?3.用字母表示上述几个式子反映的规律为. 【归纳总结】两个数的与这两个数的的积,等于这两个数的平方差.【讨论】根据教材“思考”中的问题验证平方差公式.1.图中②和③的面积相等吗?为什么?2.你能用a、b表示图中①和②的面积之和吗?3.由1、2中的问题,你能直接说出图中①和③的面积之和吗?4.图中①和③的面积之和还可以等于哪两个图形的面积之差?你能写出这个差吗?5.由3、4你可以得到什么结论?【预习自测】(1)(x+5)(x-5)=; (2)(a+b)(b-a)=;(3)(-3+a)(-3-a)=()2-()2=;互动探究1:下列多项式相乘时,可以用平方差公式的是() A.(a+b)(-a-b)B.(-a-b)(a-b)C.(a-b)(-a+b)D.(a-2)(a+3)互动探究2:下列计算中,结果正确的是() A.(x-3)(3+x)=x2-3 B.(3x-2)(2+x)=3x2-4C.(7ab-c)(7ab+c)=49a2b2-c2D.(-x-y)(x+y)=x2-y2【方法归纳交流】平方差公式的特征:①公式的左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项,另项;②右边是因式中的两项的平方差(减去). 互动探究3:运用平方差公式计算：(1)(7c-2b)(7c+2b) (2)(-x-1)(1-x);(3)(x+3)(x-3)-(x-1)(x+2).互动探究4:计算:(x-3)(x2+9)(x+3).。
八年级数学上册14.2.1平方差公式导学案(新版)新人教版
八年级数学上册14.2.1平方差公式导学案（新版）新人教版14、2、1 平方差公式学习目标1、探索平方差公式2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算、3、在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简洁美、学习重点：平方差公式的应用学习难点：灵活应用平方差公式【学前准备】1、计算：（1）（2）（3）（4）【导入】【自主学习，合作交流】1、算算下面的题，写出步骤及结果，看看结果有什么规律？（1）（2）（3）（4）（5）（a –b）（a+b）（6）（a+b）（a –b）2、看看结果是什么？运用平方差公式计算：（通过自学你能学会吗？）（1）；（2）；（3）、计算（注意：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算）（1）10298 （2）【精讲点拔】这个公式叫做（乘法的）平方差公式、（其实可以表示任意数，也可以表示任意单项式、多项式）、（x+2y1）（xy+1）思考？：你能根据图中的面积说明平方差公式吗？【本节小结】【当堂测试】1、下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）( )（2）、( )2、运用平方差公式计算:（1）（2）纠错栏（3）（4）【课后作业】Ⅰ必做题1、计算：（1）20011999 （2）（a2+1）(a-1)(a+1)(3)(x-3)(x2+9)(x+3)(4)(-2b-5)（2b-5）(5)(xy+1)(xy-1)(6)9981002Ⅱ选做题1、若（）=，则括号内应填入的代数式是（）A、B、C、D、2、计算：（1）（2）【评价】准确程度评价优良中差书写整洁程度评价优良中差【课后反思】。
1.7.2平方差公式(优质)导学案
学科： 数学 年级： 七年级 主备人： 刘其展 辅备人： 审批：
，
课 题
1.7.2 平方差公式(2)
课时 1 课型
新授
学
习 进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达
目 式在应用上的差异． 标
流 程 探索新知
习题分析
提高练习
拓展练习 小结
重 难 公式的应用及推广 点
教师活动 （环节、措
施）
学生活动 （自主参与、合作探究、展示交流）
探索新知 1、(1)用较简单的代数式表 讲评要点： 示下图纸片的面积．
沿HD、GD (2)沿直线裁一刀，将不规 裁开均可， 则的右图重新拼接成一个
但一定要 矩形，并用代数式表示出你
让学生在 新拼图形的面积．
裁开之前
知道 HD＝BC＝ GD＝FE＝ a-b， 这样裁开
习题分析
(3)(4x+3b)(4x-3b)＝4x2+9b2；
例1运用平方差公式计算： (1)102×98； 解：(1)102×98 ＝(100+2)(100-2) ＝1002-22＝10000-4
＝9996； 1、运用平方差公式计算： (1)103×97；
( ) (4)(4x+3b)(4x-3b)＝4x2-9b2；( )
(6) a4-m4＝(a2+m2)(
)＝(a2+m2)(
)(
)；
)( )；
思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积？
例3 计算： (1)(a+b-3)(a+b+3)； 解：(1)(a+b-3)(a+b+3) ＝[(a+b)-3][(a+b)+3] ＝(a+b)2-9＝a2+2ab+b2-9．
《平方差公式》导学案 2022年北师大版七下
平方差公式教材分析《平方差公式》是义务教育课程标准实验教科书《数学》〔北师大版〕七年级下册的教学内容。
教材在上册中安排了《有理数及运算》、《字母表示数》等内容。
在本节内容前面又安排了平方差公式产生的背景，使学生经历过实际问题“符号化〞的过程，有了一定的符号感，为探索“平方差公式〞奠定了根底。
学生分析学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感。
经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力。
本节课的教学能培养学生的推理能力，使学生通过大胆而又合情合理的推理，有条理地表达自己的思考过程。
教学目标1、经历探索平方差公式的过程，进一步开展符号感和推理能力。
2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。
3、认识平方差公式及其几何背景。
4、在合作、交流和讨论中开掘知识，并体验学习的乐趣。
教学重点：体会公式的发现的推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。
教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。
课前准备1、为每位学生准备一张正方形纸片(边长为15cm)。
2、教师准备两张正方形(一大一小)纸板和三块矩形纸板。
3、多媒体课件。
教学流程一、创设问题情境，引导学生观察、设想。
教师发给每个学生一张正方形纸片(边长15cm)并用多媒体课件(或用正方形纸板)显示正方形。
师：在一块45的红色正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15的正方形(如图)，请问剩下红色局部的面积有多少平方厘米？453015(刚开始小的正方形可以随意摆放在红色正方形的任何位置。
)小组讨论：1．可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。
2．可以把剩下红色局部切割成几个矩形来计算。
师：从今天的问题来看，用哪一种方法比拟好？你们小组能列出算式吗？或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。
师：为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方形的角落(如图)。
(同时也要求学生在他们手上的正方形纸的角落上画一个小正方形，可规定连长为3cm。
八年级数学上册 14.3.2 公式法 第1课时 平方差公式导
第1课时 平方差公式1.能直接利用平方差公式因式分解.2.掌握利用平方差公式因式分解的步骤.阅读教材P116-117“思考及例3、例4”，独立完成下列问题：知识准备(1)填空：4a 2=(±2a )2； 94b 2=(±32b )2； 0.16a 4=(±0.4a 2)2； a 2b 2=(±ab )2.(2)因式分解：2a 2-4a=2a(a-2)；(x+y)2-3(x+y)=(x+y)(x+y-3).(1)计算填空：(x+2)(x-2)=x 2-4;(y+5)(y-5)=y 2-25.(2)根据上述等式填空：x 2-4=(x+2)(x-2);y 2-25=(y+5)(y-5).(3)公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b).语言叙述：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.自学反馈(1)下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？①x 2+y 2;②x 2-y 2;③-x 2+y 2;④-x 2-y 2.解：①不能，不符合平方差公式；②能，符合平方差公式；③能，符合平方差公式；④不能，不符合平方差公式.判断是否符合平方差公式结构.(2)分解因式：①a 2-251b 2; ②9a 2-4b 2; ③-a 4+16.解：①(a+51b)(a-51b)； ②(3a+2b)(3a-2b)； ③(4+a 2)(2+a)(2-a).活动1 学生独立完成例1 分解因式：(1)x 2y-4y; (2)(a+1)2-1; (3)x 4-1;(4)-2(x-y)2+32; (5)(x+y+z)2-(x-y+z)2.解：(1)原式=y(x 2-4)=y(x+2)(x-2)；(2)原式=(a+1+1)(a+1-1)=a(a+2)；(3)原式=(x 2+1)(x 2-1)=(x 2+1)(x+1)(x-1)；(4)原式=-2［(x-y)2-16］=-2(x-y+4)(x-y-4)；(5)原式=［(x+y+z)+(x-y+z)］［(x+y+z)-(x-y+z)］=(x+y+z+x-y+z)(x+y+z-x+y-z)=2y(2x+2z)=4y(x+z).有公因式的先提公因式，然后再运用平方差公式；一直要分解到不能分解为止.例2 求证：当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.证明：依题意，得(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n.∵8n 是8的n 倍，∴当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.先用含n 的代数式表示出两个连续奇数，列出式子后分解因式.例3 已知x-y=2，x 2-y 2=6，求x ，y 的值.解：依题意，得(x+y)(x-y)=6.∴x+y=3.∴⎩⎨⎧=+=3.y x ,2y -x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 先将x 2-y 2分解因式后求出x+y 的值，再与x-y 组成方程组求x，y 的值.活动2 跟踪训练1.因式分解：(1)-1+0.09x 2； (2)x 2(x-y)+y 2(y-x)； (3)a 5-a ； (4)(a+2b)2-4(a-b)2.解：(1)(0.3x-1)(0.3x+1)； (2)(x+y)(x-y)2； (3)a(a 2+1)(a+1)(a-1)； (4)3a(4b-a).2.计算： （1-221）（1-231）（1-241）…（1-220071）（1-220081）. 解：40162009. 先分解因式后计算出来，再约分.活动3 课堂小结1.分解因式的步骤是：先排列，首系数不为负；然后提取公因式；再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解.2.不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
12.5.2因式分解--平方差公式 导学案 2022-2023学年华东师大版八年级数学上册
12.5.2 因式分解–平方差公式1. 学习目标•掌握平方差公式的定义和公式表达式；•能根据平方差公式将算式进行因式分解；•能够应用平方差公式解决实际问题。
2. 学前探究在了解平方差公式之前，我们需要先了解两个平方公式：•(a+b)2=a2+2ab+b2•(a−b)2=a2−2ab+b2根据这两个平方公式，可以将它们合并得到平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b23. 学习重点因式分解的方法和应用。
4. 学习难点如何应用平方差公式解决实际问题。
5. 学习方法通过解决实际问题，搭建起基础的数学知识模型，并结合所学的平方差公式进行拓展。
6. 学习内容对于以下两个式子：(a+b)2−4b2−4x2+(2y−1)2我们可以利用平方差公式进行因式分解。
对于第一个式子，我们可以分解得到：(a+b)2−4b2=[(a+b)+2b][(a+b)−2b]=a2+2ab+b2−4b2=a2+2ab−b2对于第二个式子，我们可以将其拆分为两个式子分别进行处理：−4x2+(2y−1)2=−(2x)2+(2y−1)2−(2y−1)2=−[(2x+2y−1)(2x−2y+1)]通过上述的因式分解，可以看出平方差公式在因式分解中的重要性。
应用平方差公式可以简化计算，提高效率，让我们更轻松地解决问题。
7. 学习总结在实际问题中，运用基础的数学知识，利用平方差公式进行因式分解，能大大提高我们的计算效率，让我们更快速地解决问题。
平方差公式是一个重要的数学工具，在以后的学习中还将继续运用到。
因此在今后的学习中，我们需要深入理解这个公式的含义，熟练掌握它的运用技巧，才能更好地应用到实际问题中。
八年级数学上册《14.2.1+平方差公式》导学案+新人教版
【学习目标】1．经历探索平方差公式的过程，会运用平方差公式。
2．在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力。
学习重点：会运用平方差公式。
学习难点：会运用平方差公式。
【知识准备】1．单乘单法则：2．单乘多法则：3．多乘多法则：【自习自疑文】一、预习与新知（阅读教材P107-P108内容，并思考回答下列问题）1．计算下面各式（1）（x+3）(x-3) (2)(-2a-2)(2a-2)平方差公式：二、预习评估1．计算下列各题。
（1）（x+1）(x-1) (2)(a+2)(a-2)我想问：请你将预习中遇见的问题和疑问写下来，等待课堂上与同学、老师共同探究解决。
等级 组长（或家长）签字【自主探究文】【探究一】验证平方差公式请用剪刀从边长为a 的正方形纸板上，剪下一个边长为b 的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？【探究二】平方差公式的直接应用：①（a-2b 2）(a+2b 2) ② (3x+2y)(2y-3x)③(m-3n)(-m-3n)【探究三】灵活运用平方差公式2111(1)()()()242y y y -++ 2(2)201120092010⨯- (3)911101⨯⨯【探究四】a-b=10b-c=15c+a=20.a-c)(a+c)已知，，求(的值。
【自测自结文】1. 下列各式哪些可用平方差公式计算？能用的请在括号内写出结果，不能的化×.(1)(2)(2)a b b a -+（ ） (2)(1)(2)x x ++ （ ） (3)()()x y x y ---+ （ ） (4)(5)(5)a a --+（ ） (5)(23)(32)x y x y +- （ ）(6)()()a b b a -- （ ） 2. 直接写出结果：（1）(23)(23)x y x y +-= （2）22(51)(51)xx -+=（3）22(34)(34)b a b a +-= （4）=+-+)2)(2(b a a b（5）)(221(y x +- )22441y x -= 3.利用平方差公式计算：（1）(ab+1)(-ab+1) （2）(-2xy+z)(-2xy-z)4.如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63,那么a+b 的值等于多少？【自我小结】通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑呢？。
沪科版七年级数学下册导学案 8.3平方差公式
课题：整式乘除与因式分解8.3平方差公式主备人：杨明 时间：2011年4月 日年级 班 姓名：学习目标：1.经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．2.在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．3.在计算过程中发现规律，培养学生观察、归纳、概括的能力．学习重点：平方差公式的推导和应用．学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 一、学前准备1.用语言表述完全平方公式的内容：. 公式为： ；。
2.计算：① ()22y x + ② 2)23(b a -- ③ 2)22(-+n m3.计算下列多项式的积． （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y ）（x-5y ）4.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差. 5.猜一猜：()()=-+b a b a －平方差公式语言叙述：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差.6.练一练下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 （1）()()c a b a -+ （2）()()x y y x +-+（3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +-- 判断：（1）()()22422b a a b b a -=-+（ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x（ ） （3）()()22933y x y x y x -=+--（ ）（4）()()22422y x y x y x -=+---（ ） （5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ） 7.计算下列各式：（1）()()b a b a 7474+- （2）()()n m n m ---22（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 21312131（4）()()x x 2525-+-预习疑难摘要： .二、探究活动（一）师生探究·解决问题 例1．运用平方差公式计算：(1) 102×98； (2)(y+2)(y-2)(y 2+4)．(3) 99×101×10001 (4) )25.0)(5.0)(5.0(2++-x x x例2．运用平方差公式计算：(1) (x+3)(x-3)(x 2+9) (2)(-4m 2+5n)(4m 2+5n)；(3)(x 2-y 2)(x 2+y 2)例3．计算：新课标第一网(1)(a+b-3)(a+b+3) (2)(m 2+n-7)(m 2-n-7)．（二）独立思考·巩固升华 填空：1．x 2-25＝( )( ) 2．4m 2-49＝(2m-7)( )3．a 4-m 4＝(a 2+m 2)( )＝(a 2+m 2)( )( ) 4.计算 (1)69×71 (2)53×475.运用平方差公式计算 （1）（x+y-z ）（x-y-z ） （2）（a+2b+2c ）（a+2b-2c ）三、自我测试1. 填空：（1）()()=-+y x y x 3232 （2）()()116142-=-aa（3）()949137122-=⎪⎭⎫⎝⎛-b a ab（4）()()229432y x y x -=-+2.计算：（1）()()233222-+a a （2）()()33221221--+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x（3）()()()()()42212122224++---+-x x x x x x四、应用与拓展1. 若的值。
数学《平方差公式》导学案课件
数学《平方差公式》导学案课件(一)教学知识点1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力训练要求1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.平方差公式的推导和应用.用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.探究与讲练相结合.使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用.［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)XX×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中XX×1999=(XX+1)(XX－1)=XX2－XX+XX－1×1=XX2－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的XX，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，XX和1999，一个比XX 大1，于是可写成XX与1的和，一个比XX小1，于是可写成XX与1的差，所以XX×1999就是XX与1这两个数的和与差的积，即(XX+1)(XX－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：XX2－12，恰为这两个数XX与1的平方差.即(XX+1)(XX－1)=XX2－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.［师］出示投影片(§ A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？［生］可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2 ①其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.［师］大家同意吗？［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x)B.( a+b)(b－ a)C.(－a+b)(a－b)D.(x2－y)(x+y2)E.(－a－b)(a－b)F.(c2－d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);(－m+n)(－m－n).［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.( a+b)(b － a)利用加法交换律可得( a+b)(b－ a)=(b+ a)(b－ a),表示b与 a这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a－b)(a－b),同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？［生］A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作§ C)［例2］利用平方差公式计算：(1)(－ x－y)(－ x+y);(2)(ab+8)(ab－8);(3)(m+n)(m－n)+3n2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－ x－y)(－ x+y)——(－ x)与y的和与差的积=(－ x)2－y2——利用平方差公式得(－ x)与y的平方差= x2－y2——运算至最后结果(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积=(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8的平方差=a2b2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m－n)+3n2——据运算顺序先计算m与n的和与差的积=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式=m2－n2+3n2——去括号=m2+2n2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必须最简.［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.1.计算：(1)(a+2)(a－2);(2)(3a+2b)(3a－2b);(3)(－x+1)(－x－1);(4)(－4k+3)(－4k－3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导)［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.。
平方差公式导学案
子洲三中 数学 导学案2013-2014学年第 二 学期 年级 班 组 姓名 编写者 乔智 审核者 使用时间2014年 月 日课 题： §1.5.1《平方差公式》导学案一、知识回顾：多项式与多项式的乘法法则是什么？请写出来。
二、自主探究：1、计算下列多项式的积：(1)()()11-+x x (2)()()22-+m m(3)()()1212-+x x (4)()()y x y x 55-+2、观察算式结构，你发现了什么规律？计算结果后，你又发现了什么规律？①算式中每个因式都是 项.②算式都是两个数的 与 的 . 即两个因式中，有一项 ，另一项 。
计算结果后，你又发现了什么规律？计算结果都是前项的 减去后项的 差。
三、合作交流：1、根据大家作出的结果，你能猜想（a+b ）（a －b ）的结果是多少吗？ （a+b ）（a －b ）=2、为了验证大家猜想的结果，我们再计算： （a+b ）（a －b ）= =3、图形验证：4、得出：()()=-+b a b a 。
其中a 、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式，这个公式叫做整式乘法的 公式，用语言叙述为 。
四、例题精析1、判断下列式子是否可用平方差公式 ：(1) (-a+b)(a+b) (2) (-2a+b)(-2a-b) (3) (-a+b)(a-b) (4) (a+b)(a-c) 2、参照平方差公式“（a+b ）（a －b ）= a 2－b 2”填空：(1)(t+s)(t-s)= (2)(3m+2n)(3m-2n)= (3)(1+n)(1-n)= (4)(10+5)(10-5)＝3、运用平方差公式计算：（1）()()2323-+x x （2）()()b a a b -+22 （3）()()y x y x 22--+-4、计算：（1）98102⨯ （2）()()()()5122+---+y y y y五、自我检测：六、小结：说说你本节课所学的内容是什么？要注意什么？ 七、巩固提升：1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A.（x +1）（1+x ）；B.（2x-5）(2x+5)C.（－a +b ）（a －b ）；D.（x 2－y ）（x +y 2） 2、运用平方差公式进行计算：(1)（3x+4）(3x-4) (2)(3a+2b)(2b-3a) (3)(-4x-3y)(-4x+3y)(4)(-2m-5)(2m-5) (5)(m+3)(m-3)(m 2+9) (6)(a+1)(4a-1)-(2a+1)(2a-1)3、你能用简便方法计算下列各题吗？ (1)51×49 (2)998×10024、运用平方差公式计算： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)§1.5.2《平方差公式》导学案你能用简便方法计算下列各题吗？（1）2001×1999 （2）998×1002你能快速口算出上题的答案吗？通过今天的学习我们都能达到。
《平方差公式》导学案
（6） （7）
三理解运用例一.（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）
例二.简便计算（1）102×98（2）
七．课堂小结
八．整理学案
九．布置作业：教材第112页习题14．2第1题．
学 习 收 获
复习引入的相关知识点:
相关链接（知识点、易错点、注意事项等）
相关链接（知识点、易错点、注意事项等）一.温故知 Nhomakorabea,引入新知
1.计算(1) (2) (3)
请你观察思考:以上几个多项式与多项式相乘的式子有什么特点?积有什么特点?你能用字母表示吗？
观察发现：两数和乘以这两数的等于这两数的
用一个数学等式表示为:（a＋b）（a－b）＝……平方差公式.
2.用以下的图形验证平方差公式见教材107页
二熟悉公式1、下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？
五、达标检测：．1计算(1)（3m+2n）(3m-2n)（2）
(3) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)(4)（3x-5y）（3a+5y）（9x2+25y2)
六．应用提升
1计算下列各式
(1)（x-y）（x+y）（x2+y2)
(2)（2+1）（22+1)（24+1)（28+1)（216+1)
四、训练提高：1.计算
（1） （2）51×49
平方差公式2导学案新部编版
形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式
例1．计算
（1） （2）
（1）题中可利用整体思想，把 看作一个整体，则此题中相同项是 ，相反项是 和 ；
（2）题中的每个因式都可利用加法结合律改变形式，则 是相同项，相反项是 和
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？
你能表示出它的面积吗？
长＝宽＝
（3）比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗?
∴＝
进一步利用几何图形的面积相等验证了平方差公式
平方差公式中的 可以是单项式，也可以是多项式，在平方时，应把单项式或多项
备课组组长签字：教研组组长签字：
教导处评定：时间：年月日（第周）
学习过程：
（一）自主学习
1.预习书p21-22
2.思考：如何确定平方差公式中哪个是多项式中的和哪个是多项式的差？
3.预习作业：
你能用简便方法计算下列各题吗？
（1） （2） （3）
（4） （5）
（二）合作交流
1、做一做：如图，边长为 的大正方形中有一个边长为 b的小正方形。
（1）请表示图中阴影部分的面积：
教师学科教案
[20 – 20学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
马家中学七年级数学学科导学案
课题：1.5平方差公式（2）主备人：赵蕊
教学（学习）札记
学习目标：
进一步使学生掌握平方差公式，让学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异
平方差公式 导学案
思考：下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？
(1)
(3)（-2a+3b）(-2a+3b)(4)(-2a-3b)(2a-3b)
（5）（x+y-z）(x+y+z) (6)(x-y+z)(x+y-z)
练习：下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）
（2）
（3）
（4）
例1：直接运用
14.2.1平方差公式 导学案
年级：八年级学科：数学主备：审核：初二数学组
内容：平方差公式课型：新授时间：
【学习目标】：
1.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
2.培养学生观察、归纳、概括的能力．
3.在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
4.在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美
【学习重点】：掌握平方差公式的推导和应用
【学习难点】：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、课前回顾：（2分钟）
多项式与多项式的乘法法则？
。
一、合作学习探究新知（约15分钟）
【1】计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）=
（2）（m+2）（m-2）=
（3）（2x+1）（2x-1）=
（4）（x+5y）（x-5y）=
上面的几个运算都是形如的多项式与形如的多项式相乘，即：（a+b）(a-b）==。
◆从刚才的运算我发现：
等号的一边：。
等号的另一边：。
四、归纳总结巩固新知（约15分钟）
1、知识点的归纳总结：
★平方差公式：
两个数的与这两个数的的积，等于这两个数的差．
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自悟自得 计算： （1） （-a-b） （a-b）
（2） （3a+2b） （3a-2b）
课堂达标：
(3 ) (a－3)(a+4)(a+3)(a－4)
（4） （a-b） （a+b） 2+b2） （a
王红同学在计算（2+1)(22+1)(24+1)时，将积乘以（2-1）得： 解：原式 = (2-1)(2+1)(22+1)(24+1) 延伸迁移，深化新知 = = = (22-1)(22+1)(24+1) (24-1)(24+1) 28-1
（3）（-x+2y） 、 （-x-2y） 3 灵活运算 （1） （4a-1） 、 （ ）=16a2-1
1 1 （4） (8 x 3 xy 2 )( x 2 y 8 x 3 ) 、 3 3
（2）（2x+ ） 、 （
-3y）=4x2-9y2
（3）(x+y)(x-y)(x2+y2) 4．设 x＋y＝6，x-y＝5，则 x2-y2 等于( ) A．11 B．15 C．30 D．60
课题
5.平方差公式导学案
科目 学习目标：
数学
年级七年级
课时
第一课时
1、 通过计算、小组讨论，能总结出平方差公式，用语言和公式结构特点。
学习目标
2、 通过对几何图形的观察，能描述平方差公式的特征和由来，并体会数形结合的思想。 3、 能运用平方差公式进行乘法运算。
学习过程 疑惑
（针对目标 1） 复习旧知， 1、多项式与多项式相乘 2、根据多项式乘多项式的法则进行计算 ： 感知新知 (1)（x+2） （x-2）; (2)（1+3a）(1-3a) ; (3)（x+5y） （x-5y）
(针对目标 3) 1、下列各式哪些可以运用平方差公式计算 A、 （a+b） （a-b） C、 （ab-3x） （-3x-ab） 2、运用公式进行计算。 展示自我，运用新知 （1）（3x+2） 、 （3x-2） （2）（b+2a） 、 （2a-b） B、 （x+y） （-y+x） D、 （-m-n） （m+你能从此图中发现平方差公式吗？ 思考： (1) 在图中①、②、③、④区域的面积分别怎么表示？ (2)在图中（a+b）(a-b)表示哪一区域的面积？ (3)在图中(a2-b2)表示哪一区域的面积？ (4) 图中（a+b）(a-b)与(a2-b2)表示的面积之间是什么关系？
（针对目标 1） 1、观察以上各式，它们的两个因式有什么特点？ 2、它们的运算结果与两个因式之间又有什么关系？同伴之间相互说一说。 3、再举两个例子说明你的发现。 小组合作， 4、因此， （a+b） （a-b）= 用文字语言叙述 探究新知
试一试、你能用平方差公式直接计算下列各式结果吗？ （a+b)(a-b) （y+3)(y-3) (a+3b)(a-3b) （-m-n）(-m+n) a（相同的项） b（互为相反数的 项） a －b （平方差的形式）
(2)、 2-n2）-（m+n） （m （m-n）等于（
（3）498 × 502
（4） （3x+1） （3x-1）+5x(x+1)
七、课后选做 先化简，再求值 （2x-y） （y+2x）-（2y+x） （2y-x）,其中 x=1, y=2。
你能根据上题计算: (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) (216+1) 的结果吗？
（1） （a-b） （a+b） 2+b2） （a
延伸迁移，深化新知
(2)（3x+4） （3x-4）-（2x+3） （3x-2）
自悟自得
良 中 差
六、达标测试
1、选择题 (1)下列各式，可以利用平方差公式计算的是（ ） A （a-nb） （nb-a） C （-m+n） （-m-n） A -2n2 2、计算: （1） （a+3b） （a-3b） （2） （3+2a） （-3+2a） B0 C 2m2 B（-1-a） （a+1） D（ax+b） （a-bx） ） D2m2-2n2