12年高考文科数学解析分类汇编：导数

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2012年高考文科数学解析分类汇编：导数(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：导数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（）A ．若e a +2a=e b+3b,则a>bB ．若e a +2a=e b+3b,则a<bC ．若e a -2a=e b-3b,则a>bD ．若e a -2a=e b-3b,则a<b3 ．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=2x+lnx 则（）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ． x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点4 ．（2012年高考（山东文））设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（） A ．12120,0x x y y +>+> B ．12120,0x x y y +>+< C ．12120,0x x y y +<+>D ．12120,0x x y y +<+<5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A ．112π- B ．1πC ．21π-D ．2π7 ．（2012年高考（福建文））已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题8 ．（2012年高考（上海文））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .9 ．（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ 三、解答题10．（2012年高考（重庆文））已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.11．（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.12．（2012年高考（天津文））已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->(I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围;(III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.13．（2012年高考（陕西文））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;14．（2012年高考（山东文））已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+.[15．（2012年高考（辽宁文））设()ln 1f x x x =+-,证明:(Ⅰ)当x ﹥1时,()f x ﹤32( 1x -) (Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5x f x x -<+16．（2012年高考（课标文））设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值17．（2012年高考（江西文））已知函数2()()xf x ax bx c e =++在[]0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0f f ==.(1)求a 的取值范围;(2)设()()()g x f x f x '=--,求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值.18．（2012年高考（湖南文））已知函数f(x)=e x-ax,其中a>0.[@、中国^教育出版&网~](1)若对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立,求a 的取值集合;[z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x 1, f(x 1)),B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2),记直线AB 的斜率为k ,证明:存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '=恒成立.19．（2012年高考（湖北文））设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值; (2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 20．（2012年高考（广东文））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.21．（2012年高考（福建文））已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-,(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.22．（2012年高考（大纲文））已知函数321()3f x x x ax =++.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点11(,())x f x ,22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.23．（2012年高考（北京文））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当3,9a b ==-时,求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.24．（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+∞)上的函数1()(0)f x ax b a ax=++> (Ⅰ)求()f x 的最小值;(II)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =,求,a b 的值.2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23a b e a e b +=+,必有22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 解析:22()x f x x -'=,令()0,f x '=得2x =,2x <时,()0f x '<,1()ln f x x x=+为减函数;2x >时,()0f x '>,1()ln f x x x=+为增函数,所以2x =为()f x 的极小值点,选D.4. 解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <,则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--,比较系数得3141x -=,故31122x =-.3121202x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b x x+-=21. 设b x y xy +-=''=',12不妨设21x x <,结合图形可知,21x x <, 即210x x <-<,此时021>+x x ,112211y x x y -=-<=,即021<+y y .答案应选B.5. 【答案】B【解析】b x y +-=''y x1x x211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①,而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆,即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C【解析】(0),(1)4,(3)275427(0)f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-= , 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<>【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.二、填空题8. [解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y ,易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.9. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.xy A BC 1 1 图1(O )Nx y OD M 1 P 图2【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.三、解答题 10. 【答案】:(Ⅰ)1327(Ⅱ)427【解析】::(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数()f x 进行求导,根据(2)0f '==0,(2)16f c =-,求出a,b 的值.(1)根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b 的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】(1)由题意得2()122f x x a '=-,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时,()12()()66a a f x x x '=-+,此时函数()f x 的单调递增区间为,66a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则233()626()()33g x x x x '=-=-+. 则有 x30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭333,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1()g x ' - 0 + ()g x1减极小值增1所以min 343()()1039g x g ==->. 当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.12.解:(1)2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-,由()0f x '=,得121,0x x a =-=>13.14.解:(I)1ln ()e x x k x f x --'=,由已知,1(1)0ek f -'==,∴1k =. (II)由(I)知,1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--,则211()0k x x x'=--<,即()k x 在(0,)+∞上是减函数, 由(1)0k =知,当01x <<时()0k x >,从而()0f x '>,当1x >时()0k x <,从而()0f x '<.综上可知,()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)+∞. (III)证明:由(II)可知,当1x ≥时,()()g x xf x '=≤0<1+2e -,故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时,e x >1,且()0g x >,∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--,(0,1)x ∈,则()(ln 2)F x x '=-+, 当2(0,e )x -∈时,()0F x '>,当2(e ,1)x -∈时,()0F x '<,所以当2e x -=时,()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上,对任意0x >,2()1e g x -<+.另证:因为)0(),ln 1(1)()(>--='=x x x x e x f x x g x,设x x x x h ln 1)(--=,则2ln )(--='x x h ,令2,02ln )(-==--='e x x x h ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ,)(x h 单调递增;当),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h ,)(x h 单调递减.所以当0>x 时,221)()(--+=≤e e h x h ,而当0>x 时110<<x e ,所以当0>x 时21)ln 1(1)(-+<--=e x x x e x g x ,综上可知结论成立.15. 【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 16. (Ⅰ) 解:()x f 的定义域为R ,()a e x f x -=';若0≤a ,则()0>'x f 恒成立,所以()x f 在R 总是增函数若0>a ,令()0>'x f ,求得a x ln >,所以()x f 的单增区间是()∞+,ln a ; 令()0<'x f , 求得 a x ln <,所以()x f 的单减区间是()a ln ,∞-(Ⅱ) 把()⎩⎨⎧-='=ae xf a x 1 代入()()01>++'-x x f k x 得:()()011>++--x e k x x ,因为0>x ,所以01>-x e ,所以:()()11-->--x e k x x ,11--->-x e x k x , 11-+<-x e x x k ,所以:(*))0(11 >+-+<x x e x k x令()x e x x g x +-+=11,则()()()212---='x x x e x e e x g ,由(Ⅰ)知:()()2--=x e x h x 在()∞+,0单调递增,而()()⎩⎨⎧><0201h h ,所以()x h 在()∞+,0上存在唯一零点α,且()2,1∈α; 故()x g '在()∞+,0上也存在唯一零点且为α,当()α,0∈x 时, ()0<'x g ,当()∞+∈,αx 时,()0>'x g ,所以在()∞+,0上,()()αg x g =m in ;由()0='αg 得:2+=ααe ,所以()1+=ααg ,所以()()3,2∈αg , 由于(*)式等价于()αg k <,所以整数的最大值为217. 【解析】(1)由(0)1f c ==,(1)0f =⇒1,1c a b =+=-,则2()[(1)1]x f x ax a x e =-++,2'()((1))x f x ax a x a e =+--,依题意须对于任意(0,1)x ∈,有()0f x '<,当0a >时,因为二次函数2(1)y ax a x a =---的图像开口向上,而(0)0f a '=-<,所以须(1)(1)0f a e '=-<,即01a <<,当1a =时,对任意(0,1)x ∈,有2()(1)0x f x x e '=-<,符合条件;当0a =时,对任意(0,1x ∈,()0x f x xe '=-<,()f x 符合要求,当0a <时,因(0)0f a '=>,()f x 不符合条件,故a 的取值范围为01a ≤≤.(2)因()(21),()(21)x xg x ax e g x ax a e '=-+=-+-当0a =时,()0x g x e '=>,()g x 在0x =上取得最小值(0)1g =,在1x =上取得最大值(1)g e =;当1a =时,对于任意(0,1)x ∈,有()20x g x xe '=-<,()g x 在0x =上取得最大值(0)2g =,在1x =上取得最小值(1)0g =;当01a <<时,由1()002a g x x a-'=⇒=>,18. 【解析】解:(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得. [当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减;当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增,故当ln x a =时,()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1a =时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而2121()10x x e x x ---->,1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.19. 【解析】(1)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得110b b +=⇒=因为1()(1)n n f x ax a n x -'=-+,所以(1)f a '=-又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以11a a -=-⇒=,所以1,0a b ==(2)由(1)可知,11()(1),()(1)()1n n n n n f x x x x x f x n x x n +-'=-=-=+-+ 令()01n f x x n '=⇒=+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一的零点01n x n =+.在(0,)1n n +上,()0f x '>,故()f x 单调递增;而在(,)1n n +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减,故()f x 在(0,)+∞的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. (3)令1()ln 1(0)t t t t ϕ=-+>,则22111()(0)t t t t t t ϕ-'=-> 在(0,1)上,()0t ϕ'<,故()t ϕ单调递减,而在(1,)+∞上,()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增, 故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=,所以()0(1)t t ϕ>> 即1ln 1(1)t t t >->,令11t n =+,得11ln 1n n n +>+,即11ln()ln n n e n++> 所以11()n n e n++>,即11(1)n n n n ne +<+ 由(2)知,11()(1)n n n f x n ne+≤<+,故所证不等式成立. 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.20.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解. 因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或. 当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x '+-+()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.21. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:()(sin cos ),(0,),sin cos 02f x a x x x x x x x π'=+∈∴+>当0a =时,3()2f x =-不合题意; 当0a <时,()0f x '<,()f x 单调递减,max 3[()](0)2f x f ==-,不合题意; 当0a >时,()0f x '>,()f x 单调递增,max33[()]()2222f x f a πππ-==-=1a ∴=,所以综上3()sin 2f x x x =-(2)()f x 在(0,)π上有两个零点.证明如下: 由(1)知3()sin 2f x x x =-,33(0)0,()0222f f ππ-=-<=> ∴()f x 在[0,]2π上至少有一个零点,又由(1)知()f x 在[0,]2π上单调递增,故在[0,]2π上只有一个零点,当x 2ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,令()()sin cos g x f x x x x '==+, 10)02g g πππ=>=-<（），（,()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上连续,∴2m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,()0g m =')2cos -sin 0g x x x x =<（,∴()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减,当2x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()()0g x g m >=,')0f x >（,()f x 递增,∴当(,)2m m π∈时,3()()022f x f ππ-≥=>∴()f x 在(,)m π上递增,∵()0,()0f m f π><∴()f x 在(,)m π上只有一个零点,综上()f x 在(0,)π上有两个零点.22. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.解:(1)依题意可得2()2f x x x a '=++当440a ∆=-≤即1a ≥时,220x x a ++≥恒成立,故()0f x '≥,所以函数()f x 在R 上单调递增;当440a ∆=->即1a <时,2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1224411,112ax a x a ---==---=-+-且12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,11)x a ∈-∞---或(11,)x a ∈-+-+∞,此时()f x 单调递增由2()201111f x x x a a x a '=++<⇒---<<-+-,此时此时()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时,()f x 在R 上单调递增;当1a <时,()f x 在(,11)x a ∈-∞---上单调递增,在(11,)x a ∈-+-+∞单调递增,在(11,11)a a ----+-单调递减. (2)由题设知,12,x x 为方程()0f x '=的两个根,故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--因此321111()33a f x =+同理222()(1)33a f x a x =-- 因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ,得02(1)ax a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知,点0(,0)x 在曲线()y f x =的上,故0()0f x =,解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =. 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.23. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要.解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b '+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,所以(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b ==(2)记()()()h x f x g x =+当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下:x (,3)-∞- 3-(3,1)-1 (1,2)2 ()h x + 0 —0 +()h x '↑ 28↓ -4↑3由此可知:当3k ≤-时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=; 当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此,k 的取值范围是(,3]-∞-24. 【解析】(I)11()22f x ax b ax b b ax ax=++≥+=+ 当且仅当11()ax x a ==时,()f x 的最小值为2b + (II)由题意得:313(1)22f a b a =⇔++= ①2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ②由①②得:2,1a b ==-。

2012年高考数学文科回归教材3 导数

岳阳县一中·2012届高三◆文科数学第1页共3页新课标——回归教材导数1.导数的背景:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度.典例:一物体的运动方程是21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3t =时的瞬时速度为 5米/秒 .2.导函数的概念:如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导,对于开区间(,)a b 内的每一个0x ,都对应着一个导数()0f x ',这样()f x 在开区间(,)a b 内构成一个新的函数,这一新的函数叫做()f x 在开区间(,)a b 内的导函数,记作()()()00limlimx x f x x f x yf x y x x∆→∆→+∆-∆'='==∆∆,简称导数. 3.求()y f x =在0x 处的导数的步骤:(1)求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-;(2)求平均变化率()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆ ;(3)取极限,得导数()00lim x y f x x →∆'=∆ . 4.导数的几何意义:函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义,就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率,即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x ',相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-.特别提醒 :(1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条;(2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是不在曲线上,只有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是0()f x '.典例:(1)P 在曲线323y x x =-+上移动,在点P 处的切线的倾斜角为α,则α∈3[0,)[,)24πππ ;(2)直线31y x =+是曲线3y x a =-的一条切线,则实数a 的值为－3或1 ;(3)若函数321()22f x x x m =-+(m 为常数)图象上A 处的切线与30x y -+=的夹角为4π,则A 点的横坐标为160或;(数形结合,可知切线的倾斜角只能为0或900(舍去)) (4)曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是410x y --=;(5)已知函数322()43f x x ax x =-++,又'()y f x =的图象与x 轴交于(,0),(2,0),0k k k ->.①求a 的值;②求过点(0,0)的曲线()y f x =的切线方程（答:①1;②4y x =或358y x =）.5.导数的公式、法则:(1)常数函数的导数为0,即0C '=（C 为常数）;(2)()()1n n x nx n Q -'=∈,与此有关的常用结论:()112211,x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)11ln (sin )cos ;(cos )sin ;(),()ln ;(ln ),(log )x x x x x a x a x x x x e e a a a x x ''''''==-====(4)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±;[()]()C f x Cf x ''= ;()()2()()()()[](()0)()f x g x f x g x g x f x g x g x ''-'=≠ 典例:(1)已知函数()m n f x mx -=的导数为3()8f x x '=,则n m =14;(2)函数2(1)(1)y x x =-+的导数为2321y x x '=+-;(3)若对任意x R ∈,3()4,(1)1f x x f '==-,则()f x 是4()2f x x =-.岳阳县一中·2012届高三◆回归教材第2页共3页6.多项式函数的单调性:(1)多项式函数的导数与函数的单调性: ①若()0f x '>,则()f x 为增函数;若()0f x '<,则()f x 为减函数;若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数;若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增,则()0f x '≥,反之等号不成立;若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减,则()0f x '≤,反之等号不成立.典例:(1)函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈,当230a b -<时,()f x 的单调性是增函数 ; (2)设0a >函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上单调函数,则实数a 的取值范围03a <≤; (3)已知函数3()(f x x bx b =-+为常数）在区间(0,1)上单调递增,且方程()0f x =的根都在区间[2,2]-内,则b 的取值范围是[3,4]; (4)已知2()1f x x =+,42()22g x x x =++,设()()()x g x f x φλ=-,试问是否存在实数λ,使()x φ在(,1)-∞-上是减函数,并且在(1,0)-上是增函数？（答:4λ=）(2)利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求()f x ';(2)求方程()0f x '=的根,设根为12,,n x x x ;(3)12,,n x x x 将给定区间分成n+1个子区间,再在每一个子区间内判断()f x '的符号,由此确定每一子区间的单调性.典例:设函数32()f x ax bx cx =++在1,1x =-处有极值,且(2)2f -=,求()f x 的单调区间.（答:递增区间（－1,1）,递减区间(),1,(1,)-∞-+∞）7、函数的极值:(1)定义:设函数()f x 在点0x 附近有定义,如果对0x 附近所有的点,都有0()()f x f x <,就说是0()f x 函数()f x 的一个极大值.记作y 极大值＝0()f x ,如果对0x 附近所有的点,都有0()()f x f x >,就说是0()f x 函数()f x 的一个极小值.记作y 极小值＝0()f x .极大值和极小值统称为极值.(2)求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤:（i ）求导数()f x ';（ii ）求方程()0f x '=的根0x ;（iii ）检查()f x '在方程()0f x '=的根0x 的左右的符号:“左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值;“左负右正”⇔()f x 在0x 处取极小值.特别提醒☹:(1)0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号,而不仅是()0f x '＝0,()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑0()0f x '=,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记！典例:(1)函数23(1)1y x =-+的极值点是( C )A 、极大值点1x =-B 、极大值点0x =C 、极小值点0x =D 、极小值点1x =; (2)函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10,则a+b 的值为－7 ;(3)已知32()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数,那么b ＋c 有最大值152-.特别小结☹:三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的极值情况.记其导函数2()320f x ax bx c '=++=的判别式为2412b ac ∆=-,其图象对称轴为3bx a=-.则(1)若24120b ac ∆=-≤时,三次函数()f x 无极值,①当0a >时,()0f x '≥,()f x 在定义域上递增;②当0a <时,()0f x '≤,()f x 在定义域上递减. (2) 若24120b ac ∆=->时,记()0f x '=的两根为12x x <,则三次函数()f x 有极值,且 ①当0a >时,12()(),()()f x f x f x f x ==极大值极小值(简称为左大右小);岳阳县一中·2012届高三◆文科数学第3页共3页②当0a <时,12()(),()()f x f x f x f x ==极小值极在值(简称为左小右大);综上,三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠有极值的充要条件为24120b ac ∆=->.(3)三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心,其坐标为(,())33b bf a a--.典例:已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极值,则实数a 的取值范围是63a a ><-或; 8.函数的最大值和最小值:(1)定义:函数()f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;函数()f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”.(2)求函数()y f x =在[,a b ]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数()y f x =在(,)a b 内的极值（极大值或极小值）;(2)将()y f x =的各极值与()f a ,()f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.典例:(1)函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值、最小值分别是5,15-;(2)用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m.那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.（答:高为1.2米时,容积最大为395cm ）特别注意:(1)利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时,要注意列表！(2)要善于应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决方程不等式等相关问题.典例:(1)()f x '是()f x 的导函数,()f x '的图象如下图所示,则()f x 的图象只可能是( D )(2)图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S ＝S (a )(a ≥0)是图形 M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数 S (a )的图象大致是 ( C )(3)方程3269100x x x -+-=的实根的个数为 1 ;(4)已知函数32()f x x ax x =--,抛物线2:C x y =,当(1,2)x ∈时,函数()f x 的图象在抛物线2:C x y =的上方,求a 的取值范围（答:1a ≤-）.(5)求证:1ln 1(0)x x x x x-≤≤->(构造函数法)。

2012年高考文科数学解析分类汇编：选考内容(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：选考内容一、填空题1 ．（2012年高考（天津文））如图,已知AB 和AC是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为____________. 2 ．（2012年高考（上海文））有一列正方体,棱长组成以1为首项,21为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,,V n ,,则=+++∞→)(lim 21n n V V V _________ . 3 ．（2012年高考（上海文））函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是_________ .4 ．（2012年高考（陕西文））直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________。

5 ．（2012年高考（陕西文））如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF DB ⊥,垂足为F,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅=___ ______.6 ．（2012年高考（陕西文））若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.7 ．（2012年高考（湖南文））在极坐标系中,曲线1C:sin )1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,则a =_______.8 ．（2012年高考（广东文））(几何证明选讲)如图3所示,直线PB 与圆O 相切于点B ,D 是弦AC 上的点,PBA DBA ∠=∠.若AD m =,AC n =,则AB =_______.9 ．（2012年高考（广东文））(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数,02πθ≤≤)和1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________. 二、解答题10．（2012年高考（辽宁文））选修4-5:不等式选讲已知()|1|()f x ax a R =+∈,不等式()3f x ≤…的解集为{|2x -剎≤1x ≤…}.D(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若|()2()|2xf x f k -≤…恒成立,求k 的取值范围.11．（2012年高考（辽宁文））选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(Ⅰ)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.12．（2012年高考（辽宁文））选修4-1:几何证明选讲如图,⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明(Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅; (Ⅱ) AC AE =.13．（2012年高考（课标文））选修4-5:不等式选讲已知函数()f x =|||2|x a x ++-. (Ⅰ)当3a =-时,求不等式 ()f x ≥3的解集; (Ⅱ) 若()f x ≤|4|x -的解集包含[1,2],求a 的取值范围.14．（2012年高考（课标文））选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,3π).(Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标;(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围. 15．（2012年高考（课标文））选修4-1:几何选讲如图,D,E 分别是△ABC 边AB,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆与F,G 两点,若CF∥AB,证明:(Ⅰ) CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.2012年高考文科数学解析分类汇编：选考内容参考答案一、填空题1. 【解析】如图连结BC,BE,则∠1=∠2,∠2=∠A1A ∠=∠∴,又∠B=∠B,CBF ∆∴∽AB C ∆,ACCFAB CB BC BF AB CB ==∴,,代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得FB AF CD AC =,解得CD=34. 2. [解析] 易知V 1,V 2,,V n ,是以1为首项,3为公比的等比数列,所以78121811)(lim ==+++-∞→V n n V V V . 3. [解析]22sin 2cos sin )(21+=+=x x x x f ,T=ππ=22. 4. 解析:将极坐标方程化为普通方程为12x =与222x y x +=,联立方程组成方程组求出两交点的坐标1(2和1(,2-,.5. 解析:5BE =,25DE AE EB =⋅=,DE =在Rt DEB D 中,25DF DB DE ⋅==6. 解析:1|||1|3a x a x -≤-+-≤,解得:24a -≤≤7. 【答案】2【解析】曲线1C 1y +=,曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=,因为曲线C 1:sin )1ρθθ+=与曲线C 2:a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等,由0,2y x ==,知a =2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程,直线与圆的位置关系,考查转化的思想、方程的思想,考查运算能力;题型年年有,难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程,求出与x 轴交点,即得.8. 解析:.PBA ACB DBA ∠=∠=∠,A ∠是公共角,所以ABC ∆∽ADB ∆,于是AB ADAC AB=,所以2AB AC AD mn=⋅=,所以AB = 9. 解析:()2,1.法1:曲线1C 的普通方程是225x y +=(0x ≥,0y ≥),曲线2C 的普通方程是10x y --=,联立解得21x y =⎧⎨=⎩(舍去12x y =-⎧⎨=-⎩),所以交点坐标为()2,1.法2:联立c o s s i n 2θθ=⎨=,消去参数θ可得2215⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得1t =(舍去),2t =于是21x y =⎧⎨=⎩,所以交点坐标为()2,1. 二、解答题10. 【答案与解析】【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用,考查分类讨论思想在解题中的灵活运用,第(Ⅰ)问,要真对a 的取值情况进行讨论,第(Ⅱ)问要真对)2(2)(xf x f -的正负进行讨论从而用分段函数表示,进而求出k 的取值范围.本题属于中档题,难度适中.平时复习中,要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用. 11. 【答案与解析】【点评】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换、解方程组的知识,难度较小.本题要注意圆221:4C x y +=的圆心为)0,0(半径为21=r ,圆222:(2)4C x y -+=的圆心为)0,2(半径为22=r ,从而写出它们的极坐标方程;对于两圆的公共弦,可以先求出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据直线的参数形式写出. 12. 【答案与解析】【点评】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小. 13. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法,是简单题.【解析】(1)当3a =-时,()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥(2)原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立14. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标,是容易题型.【解析】(Ⅰ)由已知可得(2cos ,2sin )33A ππ,(2cos(),2sin())3232B ππππ++,(2cos(),2sin())33C ππππ++,33(2cos(),2sin())3232D ππππ++,即(Ⅱ)设(2cos ,3sin )P ϕϕ,令S =2222||||||||PA PB PC PD +++, 则S =2216cos 36sin 16ϕϕ++=23220sin ϕ+, ∵20sin 1ϕ≤≤,∴S 的取值范围是[32,52].15. 【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识,是简单题.【解析】(Ⅰ) ∵D,E 分别为AB,AC 的中点,∴DE∥BC,∵CF∥AB, ∴BCFD 是平行四边形,∴CF=BD=AD, 连结AF,∴ADCF 是平行四边形, ∴CD=AF,∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC; (Ⅱ) ∵FG∥BC,∴GB=CF, 由(Ⅰ)可知BD=CF,∴GB=BD,∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.。

2012年高考试题分项解析数学(文科)专题03 函数与导数(学生版).pdf

第24课月亮上的足迹教学目标： 24、《》目标（一）知识目标：了解宇航和月球的科学知识，理解人类登月成功的伟大意义。

（二）能力目标：学习本文按时间顺序，清楚明白地叙述事件发生过程的写作方法。

（三）德育目标：培养学生对太空探索的兴趣和爱科学、学科学、用科学的精神。

教学过程一、导语激趣，引入课题。

二、快速阅读课文，完成下列各题。

请同学们带着两个问题速读课文①登月的全过程可分为几个阶段？②宇航员登上月球后做了哪几件事？速读时要注意速读的要求。

1．这是一篇记实报道，是记叙文的一种，请找出文章中所交代的时间、地点、人物、事情。

（引导学生回答。

） 2．本文所叙之事是登月，那它是分几个部分描述登月的全过程的呢？教师根据学生的回答，择其要点板书。

登月的全过程可分为四个部分： 3．宇航员登月，不仅开创了人类的首次载人探索外星球的新纪元，而且还肩负着特定的任务，那宇航员登上月球后做了做了些什么？： ①检查登月器的着陆情况。

②采集月壤和月岩。

③树立登月纪念碑。

④安装电视摄像机、太阳风测定装置、激光仪和月震仪进行科学探测。

⑤插上美国的星条旗。

⑥与美国总统尼克松通电话。

4．提问：从登月准备、飞向月球、成功登月到返回地面，文章是按什么顺序来报道这一过程的？明确：按事情发展的时间顺序，将有关表示时间的短语在书上圈点。

三．组织讨论： 1．我这里有一组数字，它们是从本文中节选出来的，请大家看一看，有关于时间的，有关于速度的，也有关于高度的。

（边展示解说）作者在文章中用了这么多数字，有什么作用呢？（学生回答后切换课件）因为这是一篇太空探索的文章，而太空探索，对数字的精确度要求十分高，这些数字主要是体现本文的准确性、科学性、真实性，体现记实报道的特点。

2．文章最后写阿姆斯特朗谈到登月的意义时说：“这一小步，对于一个人来说，是小小的一步；对整个人类来说，是巨大的飞跃。

”你是怎样理解的？ “一小步”是指宇航员们从飞般跨到月球表面的一小步，对一个人来讲确实很容易，毫不费力。

2012年全国高考新课标文理卷导数题的解法探究

2012年全国高考新课标文理卷导数题的解法探究一、2012新课标卷文科导数题第二问：当0x >时，()()(1)10x f x x k e x =--++>恒成立，求整数k 的最大值. 分析：先求出满足条件的k 的取值范围，再求这个范围中的最大整数. 解： ()1()1(1)x x x f x e x k e e x k '=-+-+=-+，当10k -≤即1k ≤时， ()0f x '>，()f x 为增函数，所以 ()(0)10f x f >=>，符合题意；当10k ->即1k >时，则当(0,1)x k ∈-时，()0f x '<，()f x 为减函数；当(1,)x k ∈-+∞时， ()0f x '>，()f x 为增函数．所以，11max ()(1)(1)(1)111k k f x f k k k e k e k --=-=---+-+=-++ ，令1()10k g k e k -=-++>，1k >，则1()10k g k e -'=-+>，于是()g k 在(1,)+∞上是增函数，而(2)30g e =-+>，2(2)40g e =-+<，所以存在0(2,3)k ∈使得，0()0h k =，所以01k k <<,其中0(2,3)k ∈，综上，当0k k <，其中0(2,3)k ∈时，()0f x >恒成立，所以，整数k 的最大值为2.二、2012新课标卷理科导数题第二问：不等式(1)0x e a x b -+-≥对x R ∈恒成立，求(1)a b +的最大值. 分析:先求出不等式(1)0x e a x b -+-≥对x R ∈恒成立时,a b 满足的条件，再利用这个条件求(1)a b +的最大值.解:令()(1)x f x e a x b =-+-,则()(1)x f x e a '=-+（1）当10a +≤时,()0f x '≥,()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，不合题意.（2）当10a +>时，则当ln(1)x a <+时，()0f x '<，()f x 是减函数，当ln(1)x a >+时，()0f x '>，()f x 是增函数，所以当ln(1)x a =+时，min ()(ln(1))1(1)ln(1)0f x f a a a a b =+=+-++-≥，所以1(1)ln(1)b a a a ≤+-++，所以22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++，其中10a +>，令22()ln (0)g x x x x x ≤->，则()2(2ln )(12ln )g x x x x x x x '=-+=-，当0x <<()0g x '>，()g x 是增函数，当x >()0g x '<，()g x 是减函数，所以当x =max 1()22e g x g e e ==-⨯=，所以(1)a b +的最大值是2e.。

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

2012高考文科试题解析分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【答案】C【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题． 2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若23abe a e b+=+，必有22a be a e b+>+．构造函数：()2xf x ex =+，则()20xf x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x+lnx 则（）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点【答案】D.【解析】()22212'x f x xxx-=-+=，令()'0f x =，则2x =．当2x <时，()22212'0x f x x x x -=-+=<；当2x >时，()22212'0x f x xx x-=-+=>．即当2x <时，()f x 是单调递减的；当2x >时，()f x 是单调递增的．所以2x =是()f x 的极小值点．故选D ． 4.【2012高考辽宁文8】函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞）【答案】B【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编(文科) 导数大题(原卷版)

(II)若有两个零点，求的取值范围．
18．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)(本小题满分12分)已知．
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围．
19．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)(本小题满分12分)设函数．
(I)讨论的导函数的零点的个数；
(II)证明：当时．
8．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数，为的导数．
(1)证明：在区间存在唯一零点；
(2)若，时，，求的取值范围．
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)(12分)已知函数．
(1)求由线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，．
10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)(12分)已知函数．
20．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知函数 = ，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)证明：当时，曲线与直线只有一个交点．
21．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)设函数，曲线处的切线斜率为0
(1)求b;
(2)若存在使得，求a的取值范围。
22．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知函数。
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知函数f(x)=2lnx+1．
(1)若f(x)≤2x+c，求c的取值范围；
(2)设a>0时，讨论函数g(x)= 单调性．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知函数．
(1)讨论的单调性;

2012届高考数学备考复习：导数及其应用

2012届高考数学备考复习：导数及其应用专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第五讲导数及其应用【最新考纲透析】1导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。

（2）理解导数的几何意义。

2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。

（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。

3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。

（2）了解函数在某点取得极值的必要条和充分条；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。

（2）了解微积分基本定理的含义。

【核心要点突破】要点考向1：利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。

2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。

考向链接：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。

2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条下，求得切线方程为。

注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。

例1：（2010 •海南高考•理科T3）曲线在点处的切线方程为（）（A）（B）（）（D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程【规范解答】选A因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A要点考向2：利用导数研究导数的单调性考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。

高考数学真题汇编3 导数文(解析)

2012高考试题分类汇编：3:导数一、选择题1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【答案】C【解析】由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>,选C.2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b+3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b+3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b-3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b-3b ，则a ＜b 【答案】A【解析】若23a b e a e b +=+，必有22a b e a e b +>+．构造函数：()2x f x e x =+，则()20x f x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x+lnx 则（） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 9.【答案】D. 【解析】xx x f x x x f 12)(',ln 2)(2+-=∴+=，令0)('=x f ，则2=x ，当20<<x 时0)('<x f ，当2>x 时0)('>x f ，所以2=x 为)(x f 极小值点，故选D.4.【2012高考辽宁文8】函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞）【答案】B 【解析】211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴<由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

2012届高考数学一轮精品14.1导数的概念(考点疏理+典型例题+练习题和解析)

2012届高考数学一轮精品：14.1导数的概念（考点疏理+典型例题+练习题和解析）14、导数及其应用14.1导数的概念【知识网络】1．经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．2．了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．3．体会导数的思想及其内涵．4．通过函数图象直观地理解导数的几何意义．【典型例题】[例1]（1）曲线y=sinx 上两点M （2π，1），N （π，0），则直线MN 的斜率是（） A ．1 B ．－1 C ．－2π D ．－π2 （2）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=（3）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0（4）已知f(x)=x 3＋2x 2,则x x f x x f ∆-∆+)()(= ．（5）曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . [例2] 已知f(x)=1＋1x（1）求f(x)在区间[1，2]，[12，1]上的平均变化率；（2）求f(x)在x=1处的瞬时变化率。

[例3] 如图，已知一个倒置的正四棱锥形容器的底面边长为10cm ，高为10m ，现用一根水管以9ml/s 的速度向容器里注水．（1）将容器中水的高度h 表示为时间t 的函数，并作出其图象．（2）求第二个1 s 内水面高度的平均变化率．[例4] 设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,求点A 、B 的坐标．【课内练习】1．已知函数f(x)=x 2＋2x －1图象上一点P （1，2），点Q 也是图象上一点，且Q 位于点P 的右边，若点Q 无限逼近P ，则直线PQ 的斜率（）A ．不断增大且为负B ．不断增大且为正C ．不断减小且为正D ．不断减小且为负2．已知函数y=x 2＋1的图象上一点A （1，2）及其邻近一点B （1＋△x,2＋△y ）,则直线AB 的斜率是（）A ．2B ．2xC ．2＋△xD ．2＋(△x)2 3．一质点做直线运动，由始点经过ts 后的距离为s=14t 4－4t 3＋16t 2，则速度为0的时刻是（）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 末与8 s 末D ．C ．0s 末，4s 末，8 s 末4．满足f ′(x)=f(x)的函数是（）A ．f (x)=1－xB ．f (x)=xC ．f (x)=0D ．f (x)=15．直线y=－2x ＋1上两点的横坐标增量△y 与纵坐标增量△x 的比值是．6．一质点的运动方程是S=2t 2＋1（位移单位：m ，时间单位：s),则平均变化率是．7．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是． 8．设函数y=f(x)=x 2－1，（1）当自变量x 由1变到1．1时，求函数值增量△y ；（2）当自变量x 由1变到1．1时，求函数值的平均变化率；（3）求该函数图象在点（1，y 0）处的切线方程．9．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过点（1，1），且在点（2，－1）处的切线与直线y=x －3重合，求a,b,c 的值．10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为： 3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米。

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2012年高考文科数学解析分类汇编：导数2012年高考文科数学解析分类汇编：导数一、选择题1 ．）设函数f(x)在R上可导,其导函数f?(x),且函数f(x)在x??2处取得极小值,则函数y?xf?(x)的图象可能是2 ．）设a>0,b>0,e是自然对数的底数A．若e+2a=e+3b,则a>b ab B．若e+2a=e+3b,则a ab C．若e-2a=e-3b,则a>b ab D．若e-2a=e-3b,则a 3 ．）设函数f(x)= ab A．x=1为f(x)的极大值点22+lnx 则x1B．x=为f(x)的极小值点2D．x=2为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点 4 ．）设函数f(x)?1,g(x)??x2?bx.若y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且仅有x 两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是A．x1?x2?0,y1?y2?0C．x1?x2?0,y1?y2?0 5 ．）函数y= B．x1?x2?0,y1?y2?0 D．错误！不能通过编辑域代码创建对象。

A．(?1,1] 12x?㏑x的单调递减区间为2C．[1,+∞) D．(0,+∞) B．(0,1] 6 ．）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是A．11? 2?B．1? C．1?2? D．2? 7 ．）已知f(x)?x3?6x2?9x?abc,a?b?c,且f(a)?f(b)?f(c)?0.现给出如下结论:①f(0)f(1)?0;②f(0)f(1)?0;③f(0)f(3)?0;④f(0)f(3)?0. 其中正确结论的序号是A．①③B．①④二、填空题8 ．）已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(1,1),C(1,0). 2 C．②③D．②④函数y?xf(x)(0?x?1)的图像与x轴围成的图形的面积为_______ . 9 ．）曲线y?x(3lnx?1)在点(1,1)处的切线方程为________ 三、解答题10．）已知函数f(x)?ax3?bx?c在x?2处取得极值为c?16 (1)求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[?3,3]上的最大值. 11．）已知a∈R,函数f(x)?4x3?2ax?a (1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2?a>0. 12．）已知函数f(x)?131?a2x?x?ax?a(a?0) 32(I)求函数f(x)的单调区间; (II)若函数f(x)在区间(?2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围; (III)当a?1时,设函数f(x)在区间[t,t?3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)?M(t)?m(t),求函数g(t)在区间[?3,?1]上的最小值. 13．）设函数fn(x)?xn?bx?c(n?N?,b,c?R) (1)设n?2,b?1,?1?c??1,证明:fn(x)在区间?,1?内存在唯一的零点; ?2?(2)设n为偶数,f(?1)?1,f(1)?1,求b+3c的最小值和最大值; (3)设n?2,若对任意x1,x2?[?1,1],有|f2(x1)?f2(x2)|?4,求b的取值范围;14．）已知函数f(x)?lnx?k(k为常数,e=是自然对数的底数),曲线y?f(x)ex在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求k的值;[来源:] (Ⅱ)求f(x)的单调区间; (Ⅲ)设g(x)?xf?(x),其中f?(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x?0,g(x)?1?e?2.[[来源:] 15．）设f(x)?lnx?x?1,证明: 3( x?1) 29(x?1)(Ⅱ)当1?x?3时,f(x)? x?5(Ⅰ)当x﹥1时,f(x) ﹤16．）设函数f(x)= e-ax-2 x(Ⅰ)求f(x)的单调区间(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f′(x)+x+1>0,求k的最大值17．）已知函数f(x)?(ax2?bx?c)ex 在?0,1?上单调递减且满足f(0)?1,f(0)?0.(1)求a的取值范围; (2)设g(x)?f (1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的最大值;(3)证明:f(x)?20．）(不等式、导数)设,B?x?R2x2?3?1?a?x?6a?0,D?A?B. A??x?R0??x(Ⅰ)求集合D(用区间表示); (Ⅱ)求函数f?x??2x3?3?1?a?x2?6ax在D 内的极值点. [来源:] 21．）已知函数f(x)?axsinx???3???3(a?R),且在[0,]上的最大值为, 222(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,?)内的零点个数,并加以证明. 22．）已知函数f(x)?13x?x2?ax. 3(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y?f(x)上,求a的值. 23．）已知函数f(x)?ax2?1(a?0),g(x)?x3?bx.(1)若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (2)当a?3,b??9时,求函数f(x)?g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.24．）设定义在(0,+?)上的函数f(x)?ax?1?b(a?0) ax(Ⅰ)求f(x)的最小值; (II)若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y? 3x,求a,b 的值. 2 2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题1. 【答案】:C 【解析】:函数f(x)在x??2处取得极小值可知x??2,f?(x)?0,则xf?(x)?0;x??2,f?(x)?0则?2?x?0时xf?(x)?0,x?0时xf?(x)?0 【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若ea?2a?eb?3b,必有ea?2a?eb?2b.构造函数:f?x??ex?2x,则f??x??ex?2?0恒成立,故有函数f?x??ex?2x在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除. 3. 解析:f?(x)?x?21??x?2x2f(x)?0,f(x)?0,令得,时,,x2x1时,f?(x)?0,f(x)??lnx为增函数,所以x?2为f(x)的极小值点,选 D. x 4. 解析:设F(x)?x3?bx2?1,则方程F(x)?0与f(x)?g(x)同解,故其有且仅有两个不同零点x1,x2.222F?(x)?0得x?0或x?b.这样,必须且只须F(0)?0或F(b)?0,因为F(0)?1,故必有F(b)?0333此得b?33223,比较系数得?x134?1,故2)2.不妨设x1?x2,则x2?b?32.所以F(x)?(x?x1)(x?2311x?x11B.x1???x2?32?0,此知y1?y2???12?0,故答案应选y x1x2x1x222另解:令f(x)?g(x)可得设y??1??x?b. 2x1,y????x?b 2xy????x?b 不妨设x1?x2,结合图形可知,x1?x2, 即0??x1?x2,此时x1?x2?0,y2?5. 【答案】B x1x x 11????y1,即y1?y2?0.答案应选B. x2x1【解析】?y?121x?lnx,?y??x?,y?≤0，解得-1≤x≤1,又x?0,?0?x≤1,故选B 2x【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题. 6.C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4, 则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=?(2a)??a①, 而S1+S3 与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆,即S1+S3 +S2+S3??a②. ①-②得S3=S4,图可知21422S3=(S扇形EOD?S扇形COD)?S 正方形OEDC?12?a?a2,所以. 2S阴影??a2?2a2. 几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率P=S 阴影S扇形OAB?a2?2a22. ??1??a2?【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.7. 【答案】C 【解析】?f(0)??abc,f(1)?4?abc,f(3)?27?54?27? abc??abc?f(0), 又f?(x)?3(x?1)(x?3),所以f(x)在(??,1)和(3,??)上单调增加,在(1,3)上单调递减,故a?1?b?3?c,?f(0)f(1)?0,f(0)f(3)?0【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想. 二、填空题0?x?1?2x,28. [解析] 如图1,f(x)??, 12?2x,?x?12?1 A (O) y B C 1 x P O y M N x D 1 图 2 ?2x2,0?x?12所以y?xf(x)??, 21??2x?2x,2?x?1 图 1 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=1?1?229. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题. 14. 【解析】∵y??3lnx?4,∴切线斜率为4,则切线方程为:4x?y?3?0. 三、解答题10. 【答案】:(Ⅰ)134(Ⅱ) 2727 【解析】::(Ⅰ)因f(x)?ax3?bx?c 故f?(x)?3ax2?b 于f(x) 在点x?2 处取得极值?f?(2)?0?12a?b?0?12a?b?0?a?1故有?即? ,化简得?解得? f(2)?c?168a?2b?c?c?164a?b??8b??12????(Ⅱ)(Ⅰ)知f(x)?x3?12x?c,f?(x)?3x2?12 令f?(x)?0 ,得x1??2,x2?2当x?(??,?2)时,f?(x)?0故f(x)在(??,?2)上为增函数; 当x?(?2,2) 时,f?(x)?0 故f(x)在(?2,2) 上为减函数当x?(2,??) 时f?(x)?0 ,故f(x)在(2,??) 上为增函数. 此可知f(x) 在x1??2 处取得极大值f(?2)?16?c,f(x)在x2?2 处取得极小值f(2)?c?16f(?题设条件知1?c6? 得c?12此时3?)c?9?f2,f(2)1?c?c??16???4因此?f(x) 上[?3,3]的最小值为f(2)??4 【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数f(x)进行求导,根据f?(2)?0=0,f(2)?c?16,求出a,b的值.(1)根据函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力. 【解析】(1)题意得f?(x)?12x?2a,当a?0时,f?(x)?0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为???,???. 2?aa?aa当a?0时,f?(x)?12(x?)(x?),此时函数f(x)的单调递增区间为??,?. 6666??33(2)于0?x?1,当a?2时,f(x)?a?2?4x?2ax?2?4x?4x?2. 333当a?2时,f(x)?a?2?4x?2a(1?x)?2?4x?4(1?x)?2?4 x?4x?2. 设g(x)?2x3?2x?1,0?x?1,则g?(x)?6x?2?6(x?则有x 233)(x?). 33?3???3,1?? ??+ 增1 0 ?3?0,??3?? ??- 减3 30 极小值g?(x) g(x) 1 1 所以g(x)min?g(343)?1??0. 393当0?x?1时,2x?2x?1?0. 故f(x)?a?2?4x?4x?2?0. 12.解:(1) 3f?(x)?x2?(1?a)x?a?(x?1)(x?a),f?(x)?0,得x1??1,x2?a?013. 1?lnx?k1?kx?14.解:(I)f?(x)?,已知,f(1)??0,∴k?1. exe1?lnx?1x(II)(I)知,f?(x)?. ex111?lnx?1,则k?(x)??2??0,即k(x)在(0,??)上是减函数, xxxk(1)?0知,当0?x?1时k(x)?0,从而f?(x)?0, 当x?1时k(x)?0,从而f?(x)?0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,??). 设k(x)?(III)证明:(II)可知,当x?1时,g(x)?xf?(x)≤01?xlnx?x?1?xlnx?x. xe设F(x)?1?xlnx?x,x?(0,1),则F?(x)??(lnx?2), 当0?x?1时,ex>1,且g(x)?0,∴g(x)?当x?(0,e?2)时,F?(x)?0,当x?(e?2,1)时,F?(x)?0, 所以当x?e?2时,F(x)取得最大值F(e?2)?1?e?2. 所以g(x)?F(x)?1?e?2. 综上,对任意x?0,g(x)?1?e?2. 另证:因为g(x)?xf?(x)?1(1?x?xlnx),(x?0), xe设h(x)?1?x?xlnx,则h?(x)??lnx?2,令h?(x)??lnx?2?0,x?e?2, 当x?(0,e?2)时h?(x)?0,h(x)单调递增;当x?(e?2,??)时h?(x)?0,h(x)单调递减.所以当x?0时,h(x)?h(e?2)?1?e?2, 1?1, ex1?2所以当x?0时g(x)?x(1?x?xlnx)?1?e,综上可知结论成立. e而当x?0时0?15. 【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大.16. (Ⅰ) 解:f?x?的定义域为R,f??x??ex?a;若a?0,则f??x??0恒成立,所以f?x?在R总是增函数若a?0,令f??x??0,求得x?lna,所以f?x?的单增区间是?lna,???; 令f??x??0, 求得x?lna,所以f?x?的单减区间是???,lna? ?a?1x?(Ⅱ) 把? 代入得:????x?kfx?x?1?0???x?ke?1??x?1?0, x?f??x??e?ax因为x?0,所以e?1?0,所以:?x?k?ex?1??x?1,x?k????x?1, ex?1k?x?x?1x?1k??x,所以:xxe?1e?1(x?0)?(*) x?1exex?x?2x?x,则g??x??令g?x??x,(Ⅰ)知:??hx?e?x?2在?0,??? 2xe?1e?1??????单调递增,而??h?1??0 ,所以h?x?在?0,???上存在唯一零点?,且???1,2?; ?h?2??0故g??x?在?0,???上也存在唯一零点且为?,当x??0,??时, g??x??0,当x???,???时,g??x??0,所以在?0,???上,g?x?min?g???;g?????0得:e???2,所以g??????1,?所以g?????2,3?, 于(*)式等价于k?g???,所以整数的最大值为217.【解析】(1)f(0)?c?1, f(1)?0?c?1,a?b??1,则f(x)?[ax2?(a?1)x?1]ex,f’(x)?(ax2?(a?1)x?a )ex,依题意须对于任意x?(0,1),有f?(x)?0, 2当a?0时,因为二次函数y?ax?(a?1)x?的a图像开口向上,而f?(0)??a?0,所以须2xf?(1)?a(?1)e?,0即0?a?1,当a?1时,对任意x?(0,1),有f?(x)?(x?1)e?0,符合条件;当a?0时,对任意x?(0,1),f?(x)??xex?0,f(x)符合要求,当a?0时,因f?(0)?a?0,f(x)不符合条件,故a的取值范围为0?a?1.(2)因g(x)?(?2ax?1)e,g?(x)?(?2ax?1?a)e xx 当a?0时,g?(x)?ex?0,g(x)在x?0上取得最小值g(0)?1,在x?1上取得最大值g(1)?e; 当a?1时,对于任意x?(0,1),有g?(x)??2xex?0,g(x)在x?0上取得最大值g(0)?2,在x?1上取得最小值g(1)?0; [来源:] 当0?a?1时,g?(x)?0?x?1?a?0, 2a 18. 【解析】解:f?(x)?ex?a,令f?(x)?0得x?lna. [来源:] 当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递减;当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递增,故当x?lna时,f(x)取最小值f(lna)?a?alna. 于是对一切x?R,f(x)?1恒成立,当且仅当a?alna?1.①令g(t)?t?tlnt,则g?(t)??lnt. 当0?t?1时,g?(t)?0,g(t)单调递增;当t?1时,g?(t)?0,g(t)单调递减. 故当t?1时,g(t)取最大值g(1)?1.因此,当且仅当a?1时,①式成立. 综上所述,a的取值集合为?1?. f(x2)?f(x1)ex2?ex1(Ⅱ)题意知,k???a. x2?x1x2?x1 ex2?ex1令?(x)?f?(x)?k?e?,则x2?x1xex1x2?x1??(x1)??e?(x2?x1)?1?, ??x2?x1ex2x1?x2??(x2)?e?(x1?x2)?1?. ? ?x2?x1令F(t)?et?t?1,则F?(t)?et?1. 当t?0时,F?(t)?0,F(t)单调递减;当t?0时,F?(t)?0,F(t)单调递增. t故当t?0,F(t)?F(0)?0,即e?t?1?0. 从而ex2?x1?(x2?x1)?1?0,ex1?x2ex1ex2?0,?0, ?(x1?x2)?1?0,又x2?x1x2?x1所以?(x1)?0,?(x2)?0. 因为函数y??(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在x0?(x1,x2)使?(x0)?0,即f?(x0)?k成立. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值f(lna)?a?alna.对一切x∈R,f(x) ?1恒成立转化为f(x)min?1从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.19. 【解析】(1)因为f(1)?b,点(1,b)在x?y?1上,可得1?b?1?b?0 因为f?(x)?axn?1?a(n?1)xn,所以f?(1)??a 又因为切线x?y?1的斜率为?1,所以?a??1?a?1,所以a?1,b?0 n?x) n?1nn令f?(x)?0?x?,即f?(x)在(0,??)上有唯一的零点x0?. n?1n?1(2)(1)可知,f(x)?x(1?x)?x?xnnn?1,f?(x)?(n?1)xn?1(在(0,nn)上,f?(x)?0,故f(x)单调递增;而在(,??)上,f?(x)?0,f(x)单调递减, [来n?1n?1源:] nnnnnn故f(x)在(0,??)的最大值为f(. )?()(1?)?n?1n?1n?1(n?1)n?1(3)令?(t)?lnt?1?(t?0),则??(t)??1t11t?1(t?0) 22ttt在(0,1)上,??(t)?0,故?(t)单调递减,而在(1,??)上,??(t)?0,?(t)单调递增, 故?(t)在(0,??)上的最小值为?(1)?0,所以?(t)?0(t?1) 即lnt?1?(t?1),令t?1?1t1n?11n?1n?1?)?lne ,得ln,即ln(nnn?1nn?1n?1nn1)?e,即所以( ?n(n?1)n?1nenn1(2)知,f(x)?,故所证不等式成立. ?n?1(n?1)ne【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有e,lnx等的函数求导的运算及其应用考查.20.解析:(Ⅰ)考虑不等式2x2?3?1?a?x?6a?0的解. x因为?????3?1?a????4?2?6a?3?a?3??3a?1?,且a?1,所以可分以下三种情况: ①当?a?1时,??0,此时B?R,D?A??0,???. 2131时,??0,此时B??xx?1?,D??0,1???1,???. 31③当a?时,??0,此时2x2?3?a0两根,设为x1、x2,且x1?x2,则?1?x?6a?有3②当a?x1?3?1?a??3?a?3??3a?1?4,x2?3?1?a??3 ?a?3??3a?1?4,于是B??xx?x1或x?x2?. 当0?a?31时,x1?x2??1?a??0,x1x2?3a?0,所以x2?x1?0,此时D??0,x1???x2,???;当a?023时,x1x2?3a?0,所以x1?0,x2?0,此时D??x2,???. 综上所述,当时,111?a?1时,D?A??0,???;当a?时,D??0,1???1,???;当0?a?333;当a?0D??0,x1???x2,?????4a??3??时, D??x2,???.其中x1?3??a1?3a3?1??3a??31?a?3??3a?1?,x2?. 4(Ⅱ)f??x??6x2?6?1?a?x?6a,令f??x??0可得?x?a??x?1??0.因为a?1,所以f??x??0有两根m1?a和m2?1,且m1?m2.①当?a?1时,D?A??0,???,此时f??x??0在D内有两根m1?a和m2?1,列表可得13x f??x? f?x? ?0,a? + 递增 a 0 极小值?a,1? - 递减 1 0 极大值?1,??? + 递增所以f?x?在D内有极大值点1,极小值点a. ②当a?11时,D??0,1???1,???,此时f??x??0在D内只有一根m1?a?,列表可得33?1??0,? ?3?+ 递增x f??x? f?x? 1 30 极小值?1??,1? ?3?- 递减?1,??? + 递增所以f?x?在D内只有极小值点a,没有极大值点. ③当0?a?1时,D??0,x1???x2,???,此时0?a?x1?1?x2(可用分析法证明),于是f??x??0在D内3只有一根m1?a,列表可得x f??x? f?x? ?0,a? + 递增a 0 极小值?a,x1? - 递减?x2,??? + 递增所以f?x?在D内只有极小值点a,没有极大值点. ④当a?0时,D??x2,???,此时x2?1,于是f??x?在D内恒大于0,f?x?在D内没有极值点. 综上所述,当?a?1时,f?x?在D内有极大值点1,极小值点a;当0?a?值点a,没有极大值点.当a?0时,f?x?在D内没有极值点. 21. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、131时,f?x?在D内只有极小3考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. [来源:] 解:?f?(x)?a(sinx?xcosx),x?(0,当a?0时,f(x)???2),?sinx?xcosx?0 3不合题意; 23,不合题意; 2??3??3?f()?a?? 2222当a?0时,f?(x)?0,f(x)单调递减,[f(x)]max?f(0)??当a?0时,f?(x)?0,f(x)单调递增,[f(x)]max?a?1,所以综上f(x)?xsinx?3 2(2)f(x)在(0,?)上有两个零点.证明如下: (1)知f(x)?xsinx?∴f(x)在[0,故在[0,33???3?0 ,f(0)???0,f()?2222?]上至少有一个零点,又(1)知f(x)在[0,]上单调递增, 22?????]上只有一个零点,当x??，??时,令g(x)?f?(x)?sinx?xcosx, 2?2????????g）（?1?0，（g?)????0,g(x)在?，??上连续,∴m??，??,g(m)?0 2?2??2? ??????’g（x)?2cosx-xsinx?0,∴g(x)在?，??上递减,当x??，m?时, ?2??2?g(x)?g(m)?0, ???? 3’?0 f（x)?0,f(x)递增,∴当m?(,m)时,f(x)?f()?222∴f(x)在(m,?)上递增,∵f(m)?0,f(?)?0 ∴f(x)在(m,?)上只有一个零点,综上f(x)在(0,?)上有两个零点.22. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用. 解:(1)依题意可得f?(x)?x2?2x?a 当??4?4a?0即a?1时,x?2x?a?0恒成立,故f?(x)?0,所以函数f(x)在R上单调递增; 当??4?4a?0即a?1时, 2f?(x)?x2?2x?a?0有两个相异实根x1?[来源:] ?2?4?4a??1?1?a,x2??1?1?a且x1?x2 2故f?(x)?x2?2x?a?0?x?(??,?1?1?a)或x?(?1?1?a,??),此时f(x)单调递增f?(x)?x2?2x?a?0??1?1?a?x??1?1?a,此时此时f(x)单调递增递减综上可知[来源:] 当a?1时,f(x)在R上单调递增;当a?1时,f(x)在x?(??,?1?1?a)上单调递增,在x?(?1?1?a,??)单调递增,在(?1?1?a,?1?1?a)单调递减. (2)题设知,x1,x2为方程f?(x)?0的两个根,故有a?1,x12??2x1?a,x22??2x2?a [来源:数理化网] 因此1f(?133ax) 2a(a?1)x2? 33 1?2同理f(x2)? 因此直线l的方程为y?2a(a?1)x? 33设l 与x轴的交点为(x0,0),得x0?a 2(a?1)1aaa2a2322而f(x0)?()?()??(12a?17a?6)332(a?1)2(a?1)2(a?1)24(a?1)题设知,点(x0,0)在曲线y?f(x)的上,故f(x0)?0,解得a?0或a?所以所求a的值为a?0或a?23或a? 3423或a?. 34【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.23. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现F(?3)?28和分析出区间[k,2]包含极大值点x1??3,比较重要. 解:(1)f?(x)?2ax,g?(x)=3x2?b.因为曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点?1，c?f(1)?g(1),f?(1)?g?(1).即a?1?1?b且2a?3?b.解得a?3,b?3 切线,所以(2)记h(x)?f(x)?g(x) 处具有公共当a?3,b??9时,h(x)?x?3x?9x?1,h?(x)?3x?6x?9 令h?(x)?0,解得:x1??3,x2?1; 322h(x)与h?(x)在(??,2]上的情况如下: ?3 x (??,?3) + 0 h(x) 28 h?(x) ? 此可知: (?3,1) — 1 0 -4 (1,2) + 2 3 ? ? 当k??3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(?3)?28; 当?3?k?2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此,k的取值范围是(??,?3] 24. 【解析】(I) f(x)?ax?11?b?2ax??b?b?2 axax当且仅当ax?1(x?1)时,f(x)的最小值为b?2 a (II)题意得:f(1)?313?a??b? ①2a2113f?(x)?a?2?f?(1)?a?? ②axa2①②得:a?2,b??1。