2018八年级数学《第13章轴对称--垂直平分线》同步复习资料【2】【含解析】

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《高效速记：初中数学必考公式定律与知识梳理》第13章轴对称

第13章轴对称0 0D /　高效速记︓初中数学必考公式定律与知识梳理　-@44 D/D/6>D>D/-@>% )一轴对称1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫作轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(或轴)对称.2.轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点.拓展延伸两个图形成轴对称和轴对称图形的前提不一样,前者是两个图形,后者是一个图形.成轴对称的两个图形不仅大小㊁形状一样,而且与位置有关.OBNRQAM P图131例13.1如图131所示,点P 是øA O B 外的一点,点M ,N 分别是øA O B 两边上的点,点P 关于O A 的对称点Q 恰好落在线段MN 上,点P 关于O B 的对称点R 落在MN 的延长线上.若P M =2.5c m ,P N =3c m ,MN =4c m ,则线段Q R 的长为( )c m .A .4.5B .5.5C .6.5D .7所以P M=M Q,P N=N R.因为P M=2.5c m,P N=3c m,MN=4c m,所以N R=3c m,M Q=2.5c m,即N Q=MN-M Q=4-2.5=1.5(c m),则线段Q R的长为R N+N Q=3+1.5=4.5(c m).答案A3.垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.4.线段的垂直平分线的性质(1)线段的垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.(2)与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.5.轴对称和轴对称图形的性质(1)如果两个图形关于某条直线对称,那么这条直线叫作对称轴,对称轴是两个图形中任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称图形的对称轴是轴对称图形中任何一对对应点所连线段的垂直平分线.关键提醒轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形),它们的对应线段相等,对应角相等.6.轴对称的特征如果一个图形关于某条直线对称,那么连接对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.二画轴对称图形1.作图形的对称轴找对称轴的方法:首先判断是不是轴对称图形,再观察是否存在一条直线将这个图形分成两部分,将这两部分沿这条直线折叠,如果重合,这条直线就是对称轴.另外,要全方位地去找,不要漏掉对称轴.2.画轴对称图形组成几何图形最基本的元素是点 ,所以画轴对称图形必须掌握对称点的画法(即过已知点作对称轴的垂线并加倍延长即可).画轴对称图形的步骤如下:(1)确定对称轴.(2)作各定点关于对称轴的对称点.(3)按原图的形状依次连接各对称点.例13.2如图132所示,已知әA B C和直线l,试画出әA B C关于直线l的对称图形.解析分别作出A㊁B㊁C三点关于直线l的对称点A'㊁B'㊁C',后顺次连接即可.ABCl图132ACB BC(A )l图133解所画图形如图133所示:әA'B'C'即为所求.3.用坐标表示轴对称(1)已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律:点(x,y)关于x(2)如何在坐标系中作一个已知图形的对称图形:只要找到一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.例13.3在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),则点A关于x轴对称的点的坐标为().A.(3,2)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)解析因为点A(2,3),所以点A关于x轴对称的点的坐标为(2,-3).答案B三等腰三角形1.等腰三角形有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.相等的两条边叫作腰,另一条边叫作底边,两腰所夹的角叫作顶角,底边与腰的夹角叫作底角.2.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成等边对等角 ).性质2:等腰三角形的顶角平分线㊁底边上的中线㊁底边上的高相互重合(简称三线合一 ).性质3:等腰三角形是轴对称图形,底边的垂直平分线就是它的对称轴.知识拓展等腰三角形是轴对称图形,其顶角的平分线㊁底边上的中线㊁底边上的高线所在的直线是对称轴.等腰三角形的外心㊁内心㊁重心和垂心都在底边的高线上(即四心共线 ).等腰直角三角形的底角都等于45ʎ.关键提醒运用等腰三角形的性质解题时,在等腰三角形中若已知一内角为锐角,而未指明是底角还是顶角时,应注意分类讨论,防止漏解.3.等腰三角形的判定方法(1)利用定义:两条边相等的三角形是等腰三角形.(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成等角对等边 ).AE D BC图134例13.4如图134所示,D 为әA B C 内一点,C D 平分øA C B ,B E ʅC D ,垂足为D ,交A C 于点E ,øA =øA B E .若A C =5,B C =3,则B D 的长为( ).A .2.5B .1.5C .2D .1解如图134所示,因为C D 平分øA C B ,B E ʅC D ,所以B C =C E .又因为øA =øA B E ,所以A E =B E .所以B D =12B E =12A E =12(A C -B C ).因为A C =5,B C =3,所以B D =12(5-3)=1.答案D四等边三角形1.等边三角形在等腰三角形中,有一种特殊的等腰三角形三边都相等的三角形,我们把这样的三角形叫作等边三角形.知识拓展由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形,也就是说等腰三角形包括等边三角形,因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质.2.等边三角形的性质和判定方法(1)性质:①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60ʎ.②等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.(2)判定:①三个角都相等的三角形是等边三角形.ADCEB图135②有一个角是60ʎ的等腰三角形是等边三角形.例13.5如图135所示,等边әA B C 的边长是6c m ,B D 是中线,延长B C 至E ,使C E =C D ,连接D E ,则D E 的长是c m .解析因为әA B C 是等边三角形,B D 是中线,所以øA B C =øA C B =60ʎ,所以øD B C =30ʎ.又因为C E =C D ,所以øC D E =øC E D .又因为øB C D =øC D E +øC E D ,所以øC D E =øC E D =12øB C D =30ʎ.所以øD B C =øC E D ,即D B =D E .因为等边әA B C 的边长是6c m ,所以D E =B D =33c m .五含30°角的直角三角形在直角三角形中,如果一个锐角等于30ʎ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.关键提醒应用此性质的前提条件是在直角三角形中 .例13.6如图136所示,әA B C 中,øC =90ʎ,A C =3,øB =30ʎ,点P 是B C 边上的动点,则A P 长不可能是( ).30°C BP图136A.3.5B.4.2C.5.8D.7解析由垂线段最短可知,A P的长不可小于3.因为在әA B C中,øC= 90ʎ,A C=3,øB=30ʎ,所以A B=6,所以A P的长不能大于6.故选D.答案D。

八年级数学上册第13章全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 2 线段垂直平分线课件

A n
P
l是AB的垂直平分线 PA=PB
m是BC的垂直平分线 PB=PC
B
m
C
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
试试看，你会写出证明(zhèngmíng)过程吗？
第十二页，共二十页。
证明：连接(liánjiē)PA，PB，PC.
l
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上
第十六页，共二十页。
5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交交(jiāo jiāo)AC于E,连接BE，
AB+BC=16cm,则△BCE的周长是
c1m6 .
A
D E
B
C
第十七页，共二十页。
课堂(kètáng)小结
性质
(xìngzhì)
线段的垂直平分的性质
(xìngzhì)和判定
判定
C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中， ∵QA=QB，QC=QC， ∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
你∴能点根Q据在分线析段中AB后的一垂种直(yī平zh分ǒnɡ线)添上加．辅助线的方法，写出它的证明过
程吗？
第九页，共二十页。
知识(zhī shi) 要点
平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，
然后证明该垂线平分线段AB；
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．
第八页，共二十页。
已知：如图，QA＝QB. 求证(qiúzhèng)：点Q在线段AB的垂直平分线上．证明：过点Q作MN⊥AB，垂足(chuí zú)为点

第13章轴对称知识点

第13章轴对称知识点总结一、定义1.轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

2.轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

3.轴对称图形与轴对称的区别和联系：区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4.轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与对应点连结的线段垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

二、.线段的垂直平分线（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）垂直平分线判定：∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，∴点P 在直线m 上。

三、等腰三角形1.定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

注意：等腰三角形底角只能是锐角。

2.等腰三角形性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②等边对等角。

③三线（垂线、中线、角平分线）合一。

3.等腰三角形判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

m CA B D'D C'B'A'K J I H 底边底角底角顶角腰腰CBA②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

四、等边三角形1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。

人教版数学八年级上册第十三章 13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步练习 (含答案)

人教版数学八年级上册第十三章13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步练习一、选择题1.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC2. 如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是()A．PB＞PC B．PB＝PCC．PB＜PC D．PB＝2PC3. 如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()A．△ADC＝45° B．△DAC＝45°C．BD＝AD D．BD＝DC4. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()5. 如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，△B ＝60°，△C ＝25°，则△BAD 为（）A ．50°B ．70°C ．75°D ．80°6. 如图，在△ABC 中，DE 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交BC 于点D ，若AD=4，BC=3DC ，则BC 等于 ( )A.4B.4.5C.5D.67. 如图，C ，E 是直线l 两侧的点，以点C 为圆心，CE 的长为半径画弧交直线l于A ，B 两点．又分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接CA ，CB ，CD ，则下列结论不一定正确的是 ( )A ．CD△直线lB ．点A ，B 关于直线CD 对称C ．点C ，D 关于直线l 对称D ．CD 平分△ACB 8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为( )A ．52 B ．3 C ．2 D ．72 9. 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若BC=6，AC=5，则△ACE 的周长为( )A ．8B ．11C ．16D ．1710. 如图，在△ABC 中，直线MN 为BC 的垂直平分线，交BC 于点E ，点D 在直线MN 上，且在△ABC 的外面，连接BD ，CD ，若CA 平分△BCD ，△A=65°，△ABC=85°，则△BCD 是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题11. 如下图，△ABC 中，AB=AC=14cm ，D 是AB 的中点，DE△AB 于D 交AC 于E ，△EBC 的周长是24cm ，则BC= ．12. 如图，在Rt△ABC中，△C=90°，边AB的垂直平分线交BC点D，AD平分△BAC，则△B度数为.13. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．14. 如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．15. 如图，在△ABC中，△C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分△BAC.若DE＝1，则BC的长是________．三、解答题16.现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.17. 如图，已知△ABC.(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.18. 如图，在△ABE中，AD△BE于点D，C是BE上一点，DC＝BD，且点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22 cm，求DE的长．19. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.20. 如图，点P是△AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB 对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5.（1）求线段QM、QN的长；（2）求线段QR的长．21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. （1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是.（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.22. 如图，△ABC中，△ABC＝30°，△ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出△BAC的度数；（2）求△DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．人教版数学八年级上册第十三章13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步练习--参考答案一、选择题1.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC【答案】C2. 如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是()A．PB＞PC B．PB＝PCC．PB＜PC D．PB＝2PC【答案】B[解析] 如图，连接AP.△线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，△AP＝PB，AP＝PC.△PB＝PC.3. 如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()A．△ADC＝45° B．△DAC＝45°C．BD＝AD D．BD＝DC【答案】D[解析] △AB的垂直平分线交BC于点D，△AD＝BD，故C正确；△AD＝BD，△△B＝△BAD＝22.5°.△△ADC＝45°，故A正确；△DAC＝90°－△ADC＝90°－45°＝45°，故B正确．故选D.4. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()【答案】C[解析] △PA+PB=BC，而PC+PB=BC，△PA=PC.△点P为线段AC的垂直平分线与BC的交点.显然只有选项C符合题意.5. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，△B＝60°，△C＝25°，则△BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°【答案】B6. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，若AD=4，BC=3DC，则BC等于()A.4B.4.5C.5D.6【答案】D[解析] △DE垂直平分AB，AD=4，△BD=AD=4.△BC=3DC，△BD=2CD.△CD=2.△BC=BD+CD=6.故选D.7. 如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点．又分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是()A ．CD△直线lB ．点A ，B 关于直线CD 对称C ．点C ，D 关于直线l 对称D ．CD 平分△ACB 【答案】C [解析] 由作法可知CD 垂直平分AB ，故选项A ，B 正确； △CD 垂直平分AB ，△CA ＝CB.设CD 与AB 交于点G ，易证Rt△ACG△Rt△BCG ，△△ACG ＝△BCG ，即CD 平分△ACB ，故选项D 正确；△AB 不一定平分CD ，故选项C 错误．故选C.由线段垂直平分线的性质可得PA ＝PB ，但不能得到OP ＝OF.8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为( )A ．52B ．3C ．2D ．72【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ，∴FB FC =，2CG BG ==，FG BC ⊥， ∵90ACB ∠=︒，∴FG AC ∥，∴BF CF =，∴CF 为斜边AB 上的中线，∵5AB ==，∴1522CF AB ==．故选A ． 9. 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若BC=6，AC=5，则△ACE 的周长为( )A．8B．11C．16D．17【答案】答案为：B.10. 如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分△BCD，△A=65°，△ABC=85°，则△BCD是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A二、填空题11. 如下图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE△AB于D交AC 于E，△EBC的周长是24cm，则BC=．【答案】10cm12. 如图，在Rt△ABC中，△C=90°，边AB的垂直平分线交BC点D，AD平分△BAC，则△B度数为.【答案】答案为：30°13. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．【答案】13【解析】△DE垂直平分AB，△AE＝BE，△AE＋EC＝8，△EC＋BE＝8，△△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝13.14. 如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．【答案】515. 如图，在△ABC中，△C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分△BAC.若DE＝1，则BC的长是________．【答案】3[解析] △AD平分△BAC，且DE△AB，△C＝90°，△CD＝DE＝1.△DE是AB的垂直平分线，△AD＝BD.△△B＝△DAB.△△DAB＝△CAD，△△CAD＝△DAB＝△B.△△C＝90°，△△CAD＋△DAB＋△B＝90°.△△B＝30°.△BD＝2DE＝2.△BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.三、解答题16.现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作△BAC的平分线AM，EF与AM相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.17. 如图，已知△ABC.(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.【答案】解:(1)如图所示.(2)证明:如图，连接OA.△l1是AB的垂直平分线，△OA=OB.同理，OA=OC.△OB=OC.18. 如图，在△ABE中，AD△BE于点D，C是BE上一点，DC＝BD，且点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22 cm，求DE的长．【答案】解：△BD＝DC，AD△BE，△AB＝AC.△点C在AE的垂直平分线上，△AC＝CE.△△ABC的周长是22 cm，△AC＋AB＋BD＋CD＝22 cm.△AC＋CD＝11 cm.△DE＝CD＋CE＝CD＋AC＝11 cm.19. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.【答案】解:△DE垂直平分线段AB，GF垂直平分线段BC，△EB=EA，GB=GC.△△BEG的周长为16，△EB+GB+GE=16.△EA+GC+GE=16.△GA+GE+GE+GE+EC=16.△AC+2GE=16.△GE=3，△AC=10.20. 如图，点P是△AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5.（1）求线段QM、QN的长；（2）求线段QR的长．【答案】【解答】解：（1）△P，Q关于OA对称，△OA垂直平分线段PQ，△MQ＝MP＝4，△MN＝5，△QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1.（2）△P，R关于OB对称，△OB垂直平分线段PR，△NR＝NP＝4，△QR＝QN+NR＝1+4＝5.21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. （1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是.（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.【答案】解：(1) 50(2) ①∵MN垂直平分AB.∴NB=NA，又∵△NBC的周长是14cm，∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm.②当点P与点N重合时，由点P、B、C构成的△PBC的周长值最小，最小值是14cm.22. 如图，△ABC中，△ABC＝30°，△ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出△BAC的度数；（2）求△DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】【解答】解：（1）△△ABC+△ACB+△BAC＝180°，△△BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）△DE是线段AB的垂直平分线，△DA＝DB，△△DAB＝△ABC＝30°，同理可得，△FAC＝△ACB＝50°，△△DAF＝△BAC﹣△DAB﹣△FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）△△DAF的周长为20，△DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，△BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20.。

人教版八年级上册数学第13章《轴对称》小结与复习

人教版八年级上册数学第13章《轴对称》小结与复习备课大师：免费备课第一站！●知识梳理1.如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形＿＿＿＿＿，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴.温馨提示：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.3.经过线段＿＿＿＿＿并且＿＿＿＿＿这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.4.＿＿＿＿＿上的点与这条线段两个端点的距离相等.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的＿＿＿＿＿.温馨提示：⑴如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的＿＿＿＿＿；⑵轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的＿＿＿＿＿.5.点P(某，y)关于某轴对称的点的坐标为＿＿＿＿＿，点P(某，y)关于y轴对称的点的坐标为＿＿＿＿＿.6.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角＿＿＿＿＿（简写成：＿＿＿＿＿）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高＿＿＿＿＿（简写成：＿＿＿＿＿）.7.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也＿＿＿＿＿（简写成“等角对等边”）.8.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角＿＿＿＿＿，并且每一个角都等于＿＿＿＿＿.9.等边三角形的判定：（1）三个角＿＿＿＿＿的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60的＿＿＿＿＿是等边三角形.10.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的＿＿＿.●考点呈现考点1判别轴对称图形备课大师：免费备课第一站！例1（2022年咸宁）下列学习用具中，不是轴对称图形的是（）分析：根据轴对称图形的概念：把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，对各选项逐一判断即可.解：选项A、B、D是轴对称图形，选项C不是轴对称图形.故选C．考点2线段的垂直平分线的性质例2（2022年泰州）如图1，在△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm．图1ABCD分析：根据线段垂直平分线的性质，可得DC=DB，进而可确定△ABD 的周长．解：因为l垂直平分BC，所以DB=DC.所以△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．故填6.考点3画轴对称图形例3（2022年哈尔滨）如图2所示，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C.分析：过点A画直线MN的垂线，垂足为O，在垂线上截取OD=OA，D 就是A关于直线MN的对称点；同理，画出点B关于直线MN的对称点C；连接BC，CD，DA，即可得到四边形ABCD.解：正确画图如图3所示.例4（2022年重庆）作图题：（不要求写作法）如图4所示，△ABC在平面直角坐标图2图3备课大师：免费备课第一站！系中，点A，B，C的坐标分别为A（－2，1），B（－4，5），C（－5，2）．⑴作△ABC关于直线l：某＝－1对称的△A1B1C1，其中，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；⑵写出点A1，B1，C1的坐标．分析：⑴根据网格结构找出点A，B，C关于直线l的对称点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；⑵直接根据平面直角坐标系写出点A1，B1，C1的坐标．解：⑴画△A1B1C1如图5所示．⑵A1（0，1）、B1（2，5）、C1（3，2）．考点4关于某轴或y轴对称的点的坐标例5（2022年遂宁）将点A（3，2）沿某轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（）A.(－3，2)B.（－1，2）D.(-1，-2)图4图5C.(1，2)分析：先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解.解：因为将点A（3，2）沿某轴向左平移4个单位长度得到点A′，所以点A′的坐标为（－1，2）.所以点A′关于y轴对称的点的坐标是（1，2）.故选C.考点5等腰三角形的性质例6（2022年台湾）如图6，在长方形ABCD中，M为CD中点，分别以B，M为圆心，BC，MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为（）图6备课大师：免费备课第一站！A．20°B．35°C．40°D．55°分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据“等边对等角”求解即可．解：因为分别以B，M为圆心，BC，MC长为半径的两弧相交于点P，所以BP=BC，MP=MC.因为∠PBC=70°，所以∠BCP=（180°－∠PBC）=（180°－70°）=55°.在长方形ABCD中，∠BCD=90°，所以∠MCP=90°－∠BCP=90°－55°=35°.所以∠MPC=∠MCP=35°．故选B．考点6等腰三角形的判定例7（2022年河北）如图7所示，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里分析：根据题意，可得∠M=70°，∠N=40°，在△MNP中求得∠NPM的度数，证明△MNP是等腰三角形，即可求解．解：依题意，知MN=2某40=80（海里），∠M=70°，∠N=40°，所以∠NPM=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°.所以∠NPM=∠M.所以NP=MN=80海里．故选D.考点7等边三角形的性质例8（2022年黔西南州）如图8，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为．分析：根据等边三角形的性质，可知∠ACB=60°，根据等腰三角图8图7形底角相等即可得出∠E的度数.解：因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°，∠ACD=120°.因为CG=CD，所以∠CDG=30°，∠FDE=150°.因为DF=DE，所以∠E=15°．故填15°.考点8含30角的直角三角形的性质图9备课大师：免费备课第一站！例9（2022年泰安）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．分析：根据题意推得∠DBE=30°，则在Rt△DBE中由“30°角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度.解：因为FD⊥AB，所以∠ACB=∠FDB=90°.因为∠F=30°，所以∠A=∠F=30°．又DE垂直平分线AB，所以∠EBA=∠A=30°.因为DE=1，所以BE=2DE=2．故填2．●误区点拨误区1轴对称含义理解不清致错例1如图1中的（1）、（2）两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴.错解：如图1所示的直线MN.剖析：沿直线MN对折，在直线MN两旁的图形的确可以互相重合，但这里要求的是画（1）、（2）的对称轴，而MN并不是这两个图形的对称轴.画成轴对称的两个图形的对称轴时要注意所指的是哪个两个图形，特别（1）图1Q（2）MNP注意当这两个图形本身也是轴对称图形时，不要把各自图形的对称轴作为两个图形的对称轴.正解：如图1所示的直线PQ.误区2对轴对称的性质理解不深致误例2如图2，已知A，C两点关于BD对称，下列结论：①OA=OC；②OB=OD；③AD=CD；④AB=CB.其中正确的有（填序号即可）.错解：填①②③④.ADOB图2C剖析：错解“A，C两点关于BD对称”错误理解为“AC，BD互相垂直平分”，实际上OA=OC，AB=CB，AD=CD成立，但OB=OD不一定成立.正解：填①③④.。

人教版八年数学上第13章_轴对称单元复习课件(共27张PPT)

(2)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
(3)图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线。
3
(4)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
13
例1 如图，以直线AE为对称轴，画出该图形的另一部分。
B C
A D E
解：作图过程如下：
(1)分别作出点B、C关 F 于直线AE的对称点F、H。
(2)连结AF、FD、DH、 HE，得到所求的图形。
H
14
点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）
点P（a，b）关于y轴对y 称的点的坐标为（-a，b）
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
4
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条对称轴。
5
二、题目特点：
• 判断轴对称图形或对称轴的条数 • 根据轴对称图形的性质作对称轴 • 用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理三、解题切入点：
4
A5E来自FG3
12
∴ AB=DB， ∠1= ∠2=60° 从而有 ∠3= ∠1=60° 在△ABF和△DBG中
∠3= ∠1
BC
∠4= ∠5
AB=DB
∴ △ABF≌ △DBG
∴ＢF＝ＢG
1.如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，求 △PED的周长 .
3
2
B1

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)

一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°D 解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．2．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴AE=BD ，即①正确；在△BCF 与△ACG 中，由①可知∠CBF=∠CAG ，又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF ≌△ACG(ASA)，∴AG=BF ，即②正确；在△DFC 与△EGC 中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．3．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 5．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180°D 解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 6．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．7．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．8．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°A解析：A【分析】根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键．二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A 1B 2//x 轴，∴∠A 1B 2B 1=∠OB 1D =30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O =60°，∴∠A 1B 1B 2=90°，∴A 1B 2=2A 1B 1=2，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ,则A 1B =12A 1B 2=1，即A 2的横坐标为12+1=2212-，过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，同理可得,A 2B 3=2A 2B 2=4,A 2C =12A 2B 3=2，即A 3的横坐标为12+1+2=3212-，同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-，由此可得,A n 的横坐标为212n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-，故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．12．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE 则此时AE ＋EF 的值最小AE ＋EF 的最小值＝HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析：4【分析】作A 关于CD 的对称点H ，由CD 是△ABC 的角平分线，得到点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A 关于CD 的对称点H ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 的面积为12，BC 长为6，∴AG ＝4，∵CD 垂直平分AH ，∴AC ＝CH ，∴S △ACH ＝12AC•HF ＝12CH•AG ， ∴HF ＝AG ＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．14．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α，在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°，解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°，故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时底边长=24-6-6=12（cm ）∵6+6=12故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时腰长=（cm ）解析：9【分析】分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm ），∵6+6=12，故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时，腰长=1(246)92⨯-=（cm ），由于6+9>9，故能构成三角形，故答案为：9．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答．16．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P （x-yy ）与点Q （-1-5）关于x 轴对称得x-y ＝-1y ＝5解得x ＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P （x-y ，y ）与点Q （-1，-5）关于x 轴对称，得x-y ＝-1，y ＝5．解得x ＝4，y ＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠___________CODAOB∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．18．如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N 为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M 与点M′关于OC 对称，OC 平分∠AOB ，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P 及点N 的位置是关键．19．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．20．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的解析：①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ，EF=EC ，从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DF ，EF=EC ，所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ，所以∠FBC 不一定等于∠FCB ，所以BF 与CF 不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，∴∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；故①正确；∴DE=DF+EF=BD+CE ，故②正确；∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；故③正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠FBC 不一定等于∠FCB ，∴BF 与CF 不一定相等，故④错误；由题意知，1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ =()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°,故⑤正确，故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动．（1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．解析：（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【分析】（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，∵三角形APQ 是等边三角形，,AP AQ ∴=∴102t t =-，解得103t =， ∴点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ．（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，102x x +=，解得：10x =．∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下：由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设APQ 是等腰三角形，∴AP AQ =，∴APQ AQP ∠=∠，∴APC AQB ∠=∠，∵ACB △是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACP △和ABQ △中，,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACP △≌ABQ △，∴CP BQ =，设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形，由题意得：10CP y =-，302QB y =-，∴ 10302y y -=-，解得：403y =， P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ，由403＜15， ∴ 403y =符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．23．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB，理由见解析【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【详解】（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠PMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出EF BC交AC于点F）BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作//（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，ABC 的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．解析：（1）AE＝BD；见解析；（2）成立；AE＝BD；见解析；（3）CD的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB＝30°，由DE＝CE，求出∠D＝∠ECB＝30°得到∠DEB＝30°，推出BD＝BE，根据AE＝BE证得结论；（2）过E作EF∥BC交AC于点F，得到△AEF是等边三角形，推出BE=CF，利用∠DBE＝∠EFC＝120°，∠BED＝∠ECF，证得△DEB≌△ECF（AAS），得到BD＝EF=AE；（3）作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，利用∠CEF＝∠EDB，EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，证得△CEF≌△EDB（AAS），得到BD＝EF＝2，求出CD＝BD－BC ＝1，同理可得CD＝3【详解】解：（1）AE＝BD；证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ，∴∠BED ＝∠ECF ，∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD ＝EF ，∴AE ＝BD ；（3）CD 的长为3或1如图2，作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF ＝AE ＝EF ＝2，∠BEF ＝60°，∴∠CEF ＝60°＋∠BEC ．∵∠EDC ＝∠ECD ＝∠B ＋∠BEC ＝60°＋∠BEC ，∴∠CEF ＝∠EDB ．又∵EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD ＝EF ＝2，∴CD ＝BD －BC ＝1，如图3，同理可得CD ＝3，综上所述，CD 的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AEM DEM ∠=∠．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明CAE BCF ∠=∠，再证明CAE BCF ≌△△，从而可得结论；（2）连接CM ，FM ，先证明ECM FBM ∠=∠，再证明CME BMF ≌△△，可得EM FM =，EMC FMB ∠=∠，再证明FME 是等腰直角三角形，可得45MED ∠=︒，从而可得结论．【详解】证明：（1）AE CD ⊥，BF CD ⊥，90AEC CFB ∴∠=∠=︒．90ACB ∠=︒，90BCF ACE ACE EAC ∴∠+∠=︒=∠+∠CAE BCF ∴∠=∠．CA BC =． ()CAE BCF AAS ∴≌△△．CE BF ∴=．（2）连接CM ，FM在Rt ABC △中，CA CB =，点M 是AB 的中点，90,ACB ∠=︒BM AM ∴=，CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45ACM BCM CBM CAM ∴∠=∠=∠=∠=︒，CM BM AM ==，由CAE BCF ≌△△可得：ACE CBF ∠=∠．,ACM ECM CBM MBF ∴∠+∠=∠+∠ECM FBM ∴∠=∠．又CE BF =，()CME BMF SAS ∴≌△△．EM FM ∴=，EMC FMB ∠=∠．90EMF FMB DME CME DME ∠=∠+∠=∠+∠=︒．FME ∴△是等腰直角三角形．45MED ∴∠=︒，90AED ∠=︒，45AEM DEM ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查的的三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．26．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．解析：（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0），如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．27．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．28．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．解析：（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论；（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =，从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，。

人教版八年级上册数学第13章轴对称单元练习卷(配套练习附答案)

【答案】C
【解析】
【分析】
首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．
【详解】本题可分两种情况：
①当70°角为底角时,顶角为180°−2×70°=40°；
②70°角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为40°或70°.
故选C
【点睛】考查等腰三角形的性质，注意分类讨论，不要漏解.
∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，
∵BC=9cm，∴MN=3cm．
故答案为3cm．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质；
【点睛】考查等边三角形性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.
4.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_____．
【答案】6和4或5和5．
【解析】
当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；
当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理．
故该等腰三角形的另两边为6和4或5和5．
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称性质可得出PM=MQ，PN=RN，因此先求出QN的长度，然后根据QR=QN+NR进一步计算即可.
【详解】由轴对称性质可得：PM=MQ=2.5cm，PN=RN=3cm，
∴QN=MN−MQ=1.5cm，
∴QR=QN+RN=4.5cm，

人教版八年级数学上《第13章轴对称》单元测试题(含答案解析)

2018年秋人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试题一．选择题（共10小题）1．下列图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC ＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．14B．16C．18D．204．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10二．填空题（共8小题）11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为．13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝°．15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为．16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．三．解答题（共7小题）19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．2018年秋人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和求解．【解答】解：∠C＝∠C'＝30°，则△ABC中，∠B＝180°﹣105°﹣30°＝45°．故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，理解轴对称的两个图形全等是关键．3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC ＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．14B．16C．18D．20【分析】由AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，继而可得△ACD的周长为：AC+BC，则可求得答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵AC＝6，BC＝10，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．故选：B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P1的坐标，再根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．【解答】解：∵将点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，∴点P1的坐标是（5，1），∴点P1关于x轴的对称点P2的坐标是（5，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：①6cm为腰，2cm为底，此时周长为14cm；②6cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．∴其周长是14cm．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°【分析】分两种情况：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出AE＝BE，然后根据三角形内角和定理即可解答．【解答】解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形【分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．【解答】解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．二．填空题（共8小题）11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝5【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度．【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为14．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14，故答案为：14．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是（1，2）．【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点P坐标．【解答】解：∵P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），∴点P坐标是（1，2）．故答案是：（1，2）．【点评】此题主要．考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝35°．【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．【解答】解：∵等腰三角形中，∠A＝110°＞90°，∴∠B＝＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解钝角只能是等腰三角形的顶角．15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为40°．【分析】设顶角的度数为x，表示出底角的度数．根据三角形内角和定理列方程求解．【解答】解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°．根据题意，得x+2（x+30）＝180，解得x＝40．故答案为：40°．【点评】此题考查等腰三角形性质和三角形内角和定理，属基础题．16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于45°．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，故答案为45．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝45°．【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF ＝EF；根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF；∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故答案为：45°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是9.6．【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．＝BC•AD＝AC•BQ，∵S△ABC∴BQ＝＝＝9.6．故答案为：9.6．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．【分析】连接PB，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：PA＝PC．理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，∴PA＝PB，PC＝PB，∴PA＝PC．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．【分析】利用线段垂直平分线的性质计算．【解答】解：已知DE垂直且平分AB⇒AE＝BE⇒∠EAB＝∠B又因为∠CAE＝∠B+30°故∠CAE＝∠B+30°＝90°﹣2∠B⇒∠B＝20°∴∠AEB＝180°﹣20°×2＝140°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识，注意角与角之间的转换．21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）、（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点C1的坐标为（4，3）；（3）△ABC的面积＝3×5﹣×3×1﹣×3×2﹣×5×2＝．【点评】本题考查了作图﹣对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．【分析】分两种情况：①设AB＝AC＝5，②设BC＝5，根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴不妨设AB＝AC，又∵一边长为5，①设AB＝AC＝5，∵△ABC的周长为22，∴BC＝22﹣5﹣5＝12；∵5+5＜12，∴不成立（舍）；②设BC＝5，∵△ABC的周长为22，∴AB＝AC＝（22﹣5）÷2＝8.5，∵8.5+5＞8.5，符合题意，∴△ABC另两边长分别为8.5，8.5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．【分析】根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论．【解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°，∴∠AFB＝∠BED，∵∠AEF＝∠BED，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1＝∠2，所以DB＝DO，同理可得EO＝CE，利用等线段代换得到△ADE的周长＝AB+AC，然后利用△ABC的周长为15得到AB+AC＝9，从而得到△ADE的周长．【解答】解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，∴∠1＝∠3，∵DE∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DB＝DO，同理可得EO＝CE，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DO+AE+OE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，∵△ABC的周长为15，∴AB+AC+BC＝15，而BC的长为6，∴AB+AC＝9，∴△ADE的周长为9．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．【分析】①如图1，连接PA，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；②连接PA ，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）如图2，连接PA ，根据三角形的面积列方程即可得到结论；如图3，过点C 作CG ⊥PE 于G ，根据矩形的性质和全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）CD ＝PE +PF ，理由：如图1，连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAB +S △PAC∴AB ×CD ＝AB ×PE +AC ×PF ，∵AB ＝AC∴CD ＝PE +PF ；（2）①中关系还成立，理由：连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAB +S △PAC∴AB ×CD ＝AB ×PE +AC ×PF ，∵AB ＝AC∴CD ＝PE +PF ；（3）结论：PE ﹣PF ＝CD 或PF ﹣PE ＝CD ，如图2，连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAC ﹣S △PAB∴AB ×CD ＝AC ×PF +AB ×PE ，∵AB ＝AC ，∴CD ＝PF ﹣PE ；如图3，过点C 作CG ⊥PE 于G ，∵PE ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°．∴四边形CGED为矩形．∴CD＝GE，GC∥AB．∴∠GCP＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP．在△PFC和△PGC中，，∴△PFC≌△PGC（AAS），∴PF＝PG．∴PE﹣PF＝PE﹣PG＝GE＝CD；【点评】本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用．。

初中数学人教版八年级上册：第13章《轴对称》全章教案(22页,含反思)

初中数学人教版八年级上册实用资料第十三章轴对称13．1轴对称13．1.1轴对称1．理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点．3．掌握线段垂直平分线的概念．4．理解和掌握轴对称的性质．重点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．难点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系．一、作品展示1．让部分学生展示课前的剪纸作品．2．小组活动：(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样？(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点？二、概念形成(一)轴对称图形1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．2．结合教材图13.1－1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．3．学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．4．概念应用：(1)教材第60页练习第1题．(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，它们的对称轴是什么？(二)两个图形关于某条直线对称1．观察教材中的图13.1－3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？2．两个图形成轴对称的定义．观察右图：把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，点A与点A′对应，点B与B′对应，点C与C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．3．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？4．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．(三)轴对称的性质观察教材中图13.1－4，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？你能说明理由吗？引导学生说出如下关系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.类似的，点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？结合学生发表的观点，教师总结并板书．对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质．上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系？从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线．三、归纳小结主要围绕下列几个问题：(1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点；(2)找轴对称图形的对称轴．四、布置作业教材习题13.1第1，2，3题．数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒. 当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．13．1.2线段的垂直平分线的性质(2课时)第1课时线段的垂直平分线的性质与判定掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC ≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB 和AB 外一点C.(如下图) 求作：AB 的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁． (2)以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和点E.(3)分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF 就是所求作的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF 就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD ＝CE ，DF ＝EF ，∴C ，F 都在AB 的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．∴CF 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB 的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题． 2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA ＝PB ，PO ⊥AB ，则必有AO ＝BO ，为什么？(2)如左下图，△ABC 中，AC ＝16 cm ，DE 为AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为26 cm .求BC 的长．(3)有A ，B ，C 三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．第2课时画对称轴会画轴对称图形的对称轴．重点轴对称图形的对称轴的画法．难点轴对称图形的对称轴的画法．一、提出问题如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？二、探究新知我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？例1 如图(1)，已知点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？分析：我们只要连接点A 和点B ，作出线段AB 的垂直平分线，就可以得到点A 和点B 的对称轴，为此作出到点A ，B 距离相等的两点，即线段AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB 的垂直平分线．教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形．学生模仿教师的画法，边写画法，边画图．作法：如图(2)．(1)分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧(想一想，为什么)，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD.CD就是所求作的直线．这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图．教师引导学生思考：(1)在作法中为什么有CA＝CB，DA＝DB?(2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？三、举例分析例2如图(1)，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A、点A′连线的垂直平分线即可，如图(2)．例3图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴．教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？最后化归到例2，由学生自己完成．四、巩固练习教材第64页练习第1，2，3题．五、课堂小结本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？六、布置作业教材习题13.1第7，8题．通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成．13．2画轴对称图形(2课时)第1课时作轴对称图形通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．重点能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．难点较复杂图形的轴对称图形的画法．一、问题导入我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．二、探究新知[活动]在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？(直线l垂直平分线段PP′)[思考1]如何画一个点的对称图形？例1画出点A关于直线l的对称点A′.画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；(2)延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．[思考2]如何画一条直线的对称图形？例2已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．画法：(1)画出点A关于直线l的对称点A′.(2)画出点B关于直线l的对称点B′.(3)连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．[思考3]如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例3如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A 关于直线l的对称点．(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．三、课堂练习1．教材第68页练习第1，2题2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是()四、小结与作业1．归纳：几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．2．作业：教材习题13.2第1题．几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．第2课时用坐标表示轴对称1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．重点用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．难点找对称点的坐标之间的关系．一、问题导入教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？二、探究新知【探究1】(1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．已知点A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－D(3，5) E(4，0) F(0，－3)5)关于x轴的对称点关于y轴的对称点【探究2】在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？【归纳】关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．【探究3】按以上规律，说出点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？【归纳】一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．三、举例分析【例1】已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a，b的值．(1)A，B关于y轴对称；(2)A，B关于x轴对称；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．【解析】(1)A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；(2)A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.【例2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．四、课堂巩固1．平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知点P(－2，3)关于y轴对称点为Q(a，b)，则a＋b的值为()A．1B．－1C．5D．－53．点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则P2的坐标为() A．(a，b) B．(a，－b)C．(－a，b) D．(－a，－b)4．若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于()对称．A．x轴B．y轴C．x轴或y轴D．不确定五、拓展思维如图，点A(1，4)，B(4，1)，l为第一、三象限角∠xOy的平分线．(1)求证：l垂直平分AB；(2)A，B关于l成轴对称吗？(3)如果点A，B的坐标分别为(6，8)和(8，6)，它们还关于l对称吗？(4)如果你发现了对称点的坐标规律，写出点P(m，n)关于第一、三象限角平分线的对称点Q的坐标．六、小结与作业小结：(1)点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．(2)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)即横坐标互为相反数，纵坐标相等．作业：教材习题13.2第3，4题．本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣．其中归纳规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标．13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形(2课时)第1课时等腰三角形的性质和应用1．理解并掌握等腰三角形的性质．2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．重点等腰三角形的性质及应用．难点等腰三角形的性质的证明．一、情境导入【活动1】教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．二、探究新知如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A 是顶角，∠B和∠C是底角．【活动2】把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：重合的线段重合的角学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．教师活动：引导学生归纳．性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗？如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可．于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC边上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．证明：作BC边上的中线AD，如图．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，所以△ABD ≌△ACD(SSS )，所以∠B ＝∠C. 这样，就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗？由△ABD ≌△ACD ，还可得出∠BAD ＝∠CAD ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 从而AD ⊥BC ，这也就证明了等腰△ABC 底边上的中线平分顶角∠A 并垂直于底边BC. 添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质2. 三、应用提高例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．学生活动：小组合作，分组讨论、交流．教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系．(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角)发现：(1)∠ABC ＝∠ACB ＝∠CDB ＝∠A ＋∠ABD ； (2)∠A ＝∠ABD ； (3)∠A ＋2∠C ＝180°.若设∠A ＝x ，则有x ＋4x ＝180°，得到x ＝36°，进一步得到两个底角的度数．四、小结与作业请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：小结：(1)等边对等角；(2)等腰三角形的三线合一；(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)．作业：教材习题13.3第1，3，7题．本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质．设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的．第2课时等腰三角形的判定1．理解并掌握等腰三角形的判定方法． 2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．重点等腰三角形的判定方法．难点等腰三角形的判定方法的证明．一、提出问题出示教材第77页“思考”．学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？学生猜想它们所对的边相等．即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如何证明？二、解决问题教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证．已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试，发现可以作AD ⊥BC ，或AD 平分∠BAC ，但不能作BC 边上的中线．学生口头证明后，选一种方法写出证明过程．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，作△ABC 的角平分线AD.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△CAD(AAS )，∴AB ＝AC.归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”．三、应用举例 1．出示教材例2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明．学生讨论后，自己完成证明过程．例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1＝∠2，AD ∥BC.(如图所示)求证：AB ＝AC.分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.让学生自学例3.例3已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：(1)作线段AB＝a.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DC＝h.(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．四、课堂小结1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？五、布置作业教材习题13.3第2，8，10题．学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．13．3.2等边三角形(2课时)第1课时等边三角形的性质和判定。

人教版数学八年级上册第13章基础复习题含答案

13.1轴对称一．选择题1．以下四个汽车车标中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABD中，点O是边BC，AC的垂直平分线的交点，若AB＝8，OB＝5，则△AOB的周长是（）A．13B．15C．18D．213．如图，△ABC的边长AB＝8cm，AC＝10cm，BC＝4cm，作BC的垂直平分线交AC于D，则△ABD的周长为（）A．18cm B．14cm C．20cm D．12cm4．如图，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上．若PM＝2.5，PN＝3，MR＝7，则线段QN的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.55．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋6．如图，若△ABC与△A'B'C′关于直线MN对称，BB'交MN于点O．则下列说法中不一定正确的是（）A．∠ABC＝∠A'B'C′B．AA'⊥MNC．AB∥A′B′D．BO＝B′O7．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处8．如图，△ABC和△AB'C'关于直线l对称，l交CC'于点D，若AB＝4，B'C'＝2，CD＝0.5，则五边形ABCC′B'的周长为（）A．14B．13C．12D．119．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC 于点E，则∠EBC的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°10．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C＝（）A．30°B．40°C．17.5°D．35°二．填空题11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△BCD的周长为13，则△ABC 的周长是．12．雨后，地上的积水犹如一块澄澈的平面镜，某路段监控摄像头在雨后拍摄，由于位置偏离，拍摄中心聚集在了水面上，摄像头侦测到一小轿车超速行驶，积水中倒映的车牌为“”，那么该小轿车的真实车牌号为．13．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝．14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点O．若∠B＝35°，则∠AOC＝°．15．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝．三．解答题16．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线．（1）若AC＝5，BC＝7，求ΔACD的周长；（2）若∠BAD：∠CAD＝2：1，求∠B的度数．17．如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为18cm，求DE的长．18．如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．（1）若△ADE的周长为6，求BC的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．19．求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．已知：；求证：．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．2．【解答】解：连接OC，∵点O是边BC，AC的垂直平分线的交点，∴OB＝OC，OA＝OC，∴OA＝OB，∵OB＝5，∴OA＝OB＝5，∵AB＝8，∴△AOB的周长是AB+OA+OB＝8+5+5＝18，故选：C．3．【解答】解：∵BC的垂直平分线交AC于D，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝8+10＝18（cm），故选：A．4．【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R 落在MN的延长线上，∴PM＝MQ，PN＝NR，∵PM＝2.5，PN＝3，MR＝7，∴RN＝3，MN＝MR﹣NR＝7﹣3＝4，MQ＝MP＝2.5，即NQ＝MN﹣MQ＝4﹣2.5＝1.5，故选：B．5．【解答】解：如图所示，，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．6．【解答】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线MN对称，BB'交MN于点O，∴△ABC≌△A'B'C′，AA′⊥MN，OB＝OB′∴∠ABC＝∠A′B′C′，故A，B，D正确，故选：C．7．【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．8．【解答】解：∵△ABC和△AB'C'关于直线l对称，l交CC'于点D，∴AB＝AB′，BC＝B′C′，DC＝DC′，∵AB＝4，B'C'＝2，CD＝0.5，∴AB′＝4，BC＝2，DC′＝0.5，∴五边形ABCC′B'的周长为：4+2+0.5+0.5+2+4＝13．故选：B．9．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，∴∠ABE＝∠A＝30°，∵∠A＝30°，∠C＝110°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，∴∠EBC＝40°﹣30°＝10°，故选：A．10．【解答】解：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，∴∠A+∠C＝∠ABC，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝35°，∴∠DOE＝145°，∴∠ABC＝360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO＝35°；故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，∵△BCD的周长为13，∴BC+BD+CD＝13，∴BC+BD+DA＝BC+AB＝13，∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝13+6＝19，故答案为：19．12．【解答】解：利用轴对称的性质得出：该汽车牌照号码为：苏N2020N．故答案为：苏N2020N．13．【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°，∵△ABC与△DEF关于直线l对称，∴∠C＝∠F＝35°，故答案为：35°．14．【解答】解：连接BO并延长，点D在BO的延长线上∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点O，∴OA＝OB，OC＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，∴∠AOD＝2∠ABO，∠COD＝2∠CBO，∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝2（∠ABO+∠CBO）＝70°，故答案为：70．15．【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如图，连接AO．∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，故答案为：4∠BPC﹣360°．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴ΔACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB+AC+CB＝5+7＝12；（2）∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B，设∠CAD＝x，则∠BAD＝∠B＝2x，∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，即x+2x+2x＝90°，解得，x＝18°，∴∠B＝2x＝36°．17．【解答】解：∵点C在AE的垂直平分线上，∴CA＝CE，∵AD⊥BE，BD＝DC，∴AB＝AC，∵△ABC的周长为18，∴AB+BC+AC＝18，∴2AC+2DC＝18，∴AC+DC＝9，∴DE＝DC+CE＝AC+CD＝9（cm）．18．【解答】解：（1）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+EA＝6．∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（2）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∴∠B＝∠BAD＝∠ADE，∠C＝∠EAC＝∠AED．∵∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠EAC＝∠B+∠DAE+∠C＝100°，∴∠B+∠C＝100°﹣∠DAE，在△ADE中，∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（2∠B+2∠C）∴∠DAE＝180°﹣2（100°﹣∠DAE）∴∠DAE＝20°．19．【解答】已知：如图，QA＝QB，求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．证明：当点Q在线段AB上时，∵QA＝QB∴点Q为线段AB的中点，∴点Q在线段AB的垂直平分线上；当点Q在线段AB外时，过点Q作QM⊥AB，垂足为点M，如图，则∠QMA＝∠QMB＝90°，在Rt△QMA和Rt△QMB中，，∴Rt△QMA≌Rt△QMB（HL）13.2 画轴对称图形一．填空题1．在平面直角坐标系中，点A（a，﹣3）向左平移3个单位得点A′，若点A和A′关于y 轴对称，则a＝．2．已知点P（﹣1，2），那么点P关于直线x＝1的对称点Q的坐标是．3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），若△ABC是关于直线y＝1的轴对称图形，则点B的坐标为；若△ABC是关于直线y＝a的轴对称图形，则点B的坐标为．4．若P关于x轴的对称点为（3，a），关于y轴对称的点为（b，2），则P点的坐标为．5．已知点A（a，2），B（﹣3，b）关于y轴对称，则ab＝．6．若点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则ab的值为．7．如果A（a﹣1，3），A′（4，b﹣2）关于x轴对称，则a＝，b＝．8．已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2019的值为．9．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P（0，﹣2）处开始依次关于点A（﹣1，﹣1），B（1，2），C（2，1）作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于点C的对称点处，…，如此下去．则经过第2011次跳动之后，棋子落点的坐标为．10．已知P1点关于x轴的对称点P2（3﹣2a，2a﹣5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是．二．解答题11．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）顶点A关于x轴对称的点的坐标A'（，），顶点C先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标C'（，）；（2）将△ABC的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1得△DEF，请你直接画出图形；（3）在平面直角坐标系xOy中有一点P，使得△ABC与△PBC全等，这样的P点有个．（A点除外）12．在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标如图所示，（1）请你在图中先作出△ABC关于直线m（直线m上点的横坐标均为﹣1）对称图形△A1B1C1，再作出△A1B1C1关于直线n（直线n上点的纵坐标均为2）对称图形△A2B2C2；（2）线段BC上有一点M（a，b），点M关于直线m的对称点为N，点N关于直线的n 的对称点为E，求N、E的坐标（用含a，b的代数式表示）．13．如图，在棋盘中有A（﹣1，1）、O（0，0）、B（1，0）三个棋子，若再添加一个棋子A、O、B、P四个棋子成为一个轴对称图形，请在三个图中分别画出三种不同的对称轴分别写出棋子P的坐标．14．已知△ABC，A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）请在同一平面直角坐标系中画出△A1B1C1关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的△A2B2C2，并直接写出点A2，C2的坐标；（3）直接写出△ABC边上一点M（x，y），经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标．15．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的△DEF．（每个3×3正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）16．如图，△ABC中，A点坐标为（2，4），B点坐标为（﹣3，﹣2），C点坐标为（3，1）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'并在下面填写出点A'，B'，C'的坐标：A'（，）；B'（，）；C'（，）．（2）求出△ABC的面积为（填出结果即可）17．如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；点A关于x轴对称的点坐标为点B关于y轴对称的点坐标为点C关于原点对称的点坐标为（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是．参考答案一．填空题1．1.5．2．（3，2）．3．（4，﹣2），（4，2a﹣4）．4．（3，2）．5．6．6．﹣10．7．a＝5，b＝﹣1．8．﹣1．9．（﹣2，0）．10．（﹣1，1）．二．解答题11．解：（1）∵A（﹣4，3），C（﹣2，5），∴A′（﹣4，﹣3），C'（1，3）；故答案为：﹣4，﹣3；1，3；（2）如图所示：即为所求；（3）△ABC与△PBC全等，这样的P点有3个．故答案为：3．12．解：（1）如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求；（2）设点N的坐标为（x，y），点E的坐标为（p，q），∵点M与点N关于直线m对称，∴＝﹣1，y＝b，解得x＝﹣2﹣a，y＝b，∴点N的坐标为（﹣2﹣a，b），又∵点N与点E关于直线n对称，∴p＝﹣2﹣a，＝2，解得p＝﹣2﹣a，q＝4﹣b，∴点E的坐标为（﹣2﹣a，4﹣b）．13．解：如图所示，棋子P的坐标分别为（﹣1，﹣1），（2，1），（0，﹣1），（﹣1，2）．（答案不唯一）14．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2，C2的坐标分别为（6，﹣1）和（5，﹣2）；（3）点M（x，y）关于x轴对称的点M1的坐标为（x，﹣y），点M1关于直线m对称的点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．∴经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．15．解：如图，△DEF即为所求．（答案不唯一）16．解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求：由图可得：A'（2，﹣4）；B'（﹣3，2）；C'（3，﹣1）．故答案为：2，﹣4；﹣3，2；3，﹣1．（2）△ABC的面积为：6×6﹣×1×3﹣×3×6﹣×5×6＝36﹣﹣9﹣15＝10．故答案为：10．17．解：（1）点A关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣3）；点B关于y轴对称的点坐标为：（﹣2，0）；点C关于原点对称的点坐标为：（3，1）；故答案为：（﹣1，﹣3），（﹣2，0），（3，1）；（2）△ABC的面积是：4×5﹣×2×4﹣×3×3﹣×1×5＝9．故答案为：9．13.3等腰三角形一．选择题1．等腰三角形的一边长为6，一边长为2，则该等腰三角形的周长为（）A．8B．10C．14D．10或142．在△ABC中，∠B＝∠C，∠A＝20°，则∠B的大小为（）A．20°B．70°C．80°D．160°3．如图，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则下列结论错误是（）A．CE＝AB B．BD＝ED C．∠BDE＝∠DCE D．∠ADE＝120°4．下列条件不能得到等边三角形的是（）A．有一个内角是60°的锐角三角形B．有一个内角是60°的等腰三角形C．顶角和底角相等的等腰三角形D．腰和底边相等的等腰三角形5．已知一个等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么该等腰三角形的周长为（）A．8cm B．10cm C．8cm或10cm D．不能确定6．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（）A．90°B．70°C．45°D．30°7．如图，点D在△ABC的边AC上，且AD＝BD＝CD，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．60°D．45°8．如图，已知OC＝CD＝DE，且∠BDE＝72°，则∠CDE的度数是（）A．63°B．65°C．75°D．84°9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④AD＝2.4．A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④10．已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（）A．B．C．D．二．填空题11．如果一等腰三角形的顶角为钝角，过这个等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为．12．已知O为平面直角坐标系的坐标原点，等腰三角形△AOB中，A（2，4），点B是x轴上的点，则△AOB的面积为．13．等腰三角形的一个内角为130°，则这个等腰三角形顶角的度数为．14．在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，AB∥DE，AC＝7，CD＝3，则△CDE的周长为．15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝6，AC＝8，则△AMN的周长为．三．解答题16．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证AB＝AC．17．如图，在△ABC中，线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于点P、Q两点，且BP＝PQ＝QC．试证明△APQ为等边三角形．18．用一条长为20cm的细绳能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？说明理由．19．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．{计算发现}（1）若∠B＝70°，∠ADE＝80°，则∠BAD＝，∠CDE＝．{猜想验证}（2）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系式，并证明你的猜想．{拓展思考}（3）①当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝．②当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：①当2为底时，其它两边都为6，2、6、6可以构成三角形，则该等腰三角形的周长为14；②当2为腰时，其它两边为2和6，∵2+2＜6，∴不能构成三角形，故舍去．∴这个等腰三角形的周长为14．故选：C．2．【解答】解：因为三角形的内角和是180°，∠A＝20°，∠B＝∠C，那么∠B＝（180°﹣20°）＝80°．故选：C．3．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，∴AB＝AC，CD＝AC，∴CD＝AB，∵CE＝CD，∴CE＝AB，A选项结论正确，不符合题意；∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵D是AC边的中点，∴∠DBC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，B选项结论正确，不符合题意；∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，∴∠BDC＝90°，∴∠BDE＝120°，∵∠DCE＝120°﹣∠ACB＝120°，∴∠BDE＝∠DCE，C选项结论正确，不符合题意；∠ADE＝180°﹣30°＝150°，D选项错误，符合题意；故选：D．4．【解答】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，所以A选项符合题意；所以B选项不符合题意；因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，所以C不符合题意；因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，所以D选项不符合题意．故选：A．5．【解答】解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4+2+4＝10（cm），当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2+2，不满足三角形的三边关系，所以此时不存在三角形，故选：B．6．【解答】解：如图，∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°，故选：B．7．【解答】解：∵AD＝BD＝CD，∴∠ABD＝∠A，∠C＝∠DBC，∵∠A＝40°，∴∠C＝（180°﹣40°×2）÷2＝50°．故选：B．8．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝72°，∴∠ODC＝24°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝108°，∴∠CDE＝108°﹣∠ODC＝84°．故选：D．9．【解答】解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠F AG＝2∠ACF，故③正确；∵∠BAC＝90°，AD是高，＝ABAC＝ADBC，∴S△ABC∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AD＝＝4.8，故④错误，故选：B．10．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，A、铺设的电缆长为a+a＝2a；C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴D为BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝a，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝＝＝，则铺设的电缆长为a+a＝a；B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；D、如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，∴设DO＝x，则BO＝2x，BD＝，故x2+（）2＝（2x）2，解得：x＝a，则BO＝a，则铺设的电缆长为AO+OB+OC＝3×a＝a，∵a＜a＜2a，∴方案D中光缆最短；故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：①如图，∠ACB是钝角，直线CD将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，AC＝BC＝BD，AD＝CD，设∠B＝x°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝x°，∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝x°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝2x°，∴∠ACB＝3x°，∴x+x+3x＝180，解得x＝36°，∴顶角是108°．②若过A或B作直线，则不能将这个等腰三角形分成两个等腰三角形．综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为108°．故答案为：108°．12．【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点O（0，0），A（2，4），∴AE＝4，OE＝2，OA＝＝2，＝AE＝＝8；当OA＝AB时，B的坐标为（4，0），此时S△AOB当OA＝OB时，B的坐标为（，0），此时S＝AE＝×4＝4；△AOB＝AE＝＝10；当OB＝AB时，B的坐标为（5，0），此时S△AOB∴△AOB的面积为：8或4或10．故答案为：8或4或10．13．【解答】解：∵若这个130°的内角是底角，则这两个底角的和就大于180°，∴等腰三角形的一个内角为130°，则这个等腰三角形顶角的度数为130°，故答案为130°．14．【解答】解：∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB∥DE，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+CE+CD＝AC+CD，∵AC＝7，CD＝3，∴△CDE的周长为7+3＝10，故答案为：10．15．【解答】解：∵EB平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠BEM，∴∠ABE＝∠BEM，∴BM＝EM同理可得CN＝EN，∴△AMN的周长＝AM+ME+EN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AMN的周长＝6+8＝14，故答案为：14．三．解答题（共4小题）16．【解答】证明：∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．17．【解答】证明：∵线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于点P、Q两点，∴BP＝AP，QC＝AQ，∵BP＝PQ＝QC，∴AP＝AQ＝PQ，∴△APQ是等边三角形．18．【解答】解：能围成有一边的长为4cm的等腰三角形．理由：若腰长为4cm，则底边长为20﹣2×4＝12（cm），∵4+4+＜12，∴不能围成腰长为4cm的等腰三角形；若底边长为4cm，则腰长为×（20﹣4）＝8（cm），∵4+8＞8，∴能围成底边长为4cm的等腰三角形，综上，可以围成底边是4cm的等腰三角形．19．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∠B＝70°，∠ADE＝80°，∴∠C＝70°，∠AED＝80°，∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝10°，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝20°，故答案为：20°；10°；（2）∠BAD＝2∠CDE．理由如下：设∠B＝x，∠ADE＝y，∵∠B＝∠C，∴∠C＝x，∵∠AED＝∠ADE，∴∠AED＝y，∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），∴∠BAD＝2∠CDE；（3）①由（2）知，∠BAD＝2∠CDE，∴∠CDE＝∠BAD＝，故答案为：12.5°；②当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，分两种情况：当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，∵∠ADE ＝∠AED，∴AE＝AD＝AE′，∴∠ADE＝∠AE′D，由①知，∠CDE′＝12.5°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°。

部编人教版数学八年级上册第13章轴对称全章同步精练过关含答案

部编人教版数学八年级上册第13章轴对称全章同步精练过关含答案课后训练基础巩固1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是()．2．下列说法中错误的是()．A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等C．全等的三角形一定关于某条直线对称D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为()．A．48° B．54°C．74° D．78°4．从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是，则该编码实际上是__________．5．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________．能力提升6．我国的文字非常讲究对称美，分析如图四个图案，图案________有别于其余三个图案()．7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图是()．8．(创新应用题)如图，把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量的存在这种图形变换(如图甲)．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称．．．．变换．．过程中，两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()．A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行9.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点F，E，连接EF 交OA于N，交OB于M，EF＝15，求△PMN的周长．10．如图，将一张正六边形纸沿虚线对折3次，得到一个多层的60°角的三角形纸．用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线．(1)猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？(2)这个图形有几条对称轴？(3)如果想得到一个含有五条对称轴的图形，你应该取什么形状的纸？应该如何折叠？11．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．参考答案1．A点拨：只有A图沿中间竖直的一条直线折叠，左右两边能够重合，故选A.2．C点拨：虽然关于某条直线对称的两三角形全等，但全等的两三角形不一定关于某条直线对称，因而选C.3．B点拨：因为关于某直线对称的两图形全等，所以∠A＝∠A′＝78°，∠C′＝∠C＝48°，所以∠B＝54°，故选B.4．BA629点拨：假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到BA629，或将此图案从反面观察，也可得到BA629.5．6点拨：由△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可知BE＋BD－DE＝12①，由△EDC的周长为24可知CE＋CD＋DE＝24，由DE是BC边上的垂直平分线可知BE＝CE，BD＝CD，所以BE＋BD＋DE＝24②，②－①，得2DE＝12，所以DE＝6.6．D点拨：都是轴对称图形，但图案D有两条对称轴，其余三个图案都只有一条对称轴．7．D点拨：解决此类问题的基本方法是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”，从所给的最后图形作轴对称，题目折叠几次，就作几次轴对称，沿两条对角线所在直线画对称轴，只有D适合，故选D.8．B点拨：因为对称且平移，所以原有的性质已有变化，A、C、D都已不成立，只有B选项正确，故选B.9．解：∵点P与点E关于OB轴对称，∴CE＝CP，MC⊥PE.∴∠MCE＝∠MCP＝90°.在△MCE和△MCP中，∵,,,CE CPMCE MCP CM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MCE≌△MCP.∴MP＝ME，同理NP＝NF.∴MP＋MN＋NP＝ME＋MN＋NF＝EF＝15，即△PMN的周长是15.10．解：(1)轴对称图形．(2)至少有3条对称轴．(3)取一张正十边形的纸，沿它的通过中心的五条对角线折叠5次，得到一个多层的36°角的图形，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开就可以得到一个至少含五条对称轴的图形．11．解：DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线，∴BE＝AE，CG＝AG.∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7.答：△AEG的周长为7.课后训练基础巩固1．下列说法正确的是()．A．全等的两个图形可以由其中一个经过轴对称变换得到B．轴对称变换得到的图形与原图形全等C．轴对称变换得到的图形可以由原图形经过一次平移得到D．轴对称变换中的两个图形，每一对对应点所连线段都被这两个图形之间的直线垂直平分2．下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个3．点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为()．A．(－1，－2) B．(－1,2)C．(1，－2) D．(2，－1)4．如图，将正方形纸片对折两次，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是()．5．已知点P(a＋1,3)、Q(－2,2a＋b)关于y轴对称，则a＝__________，b＝__________；若关于x对称，则a＝__________，b＝__________.6．如图，四边形ABCD的顶点坐标为A(－5,1)，B(－1,1)，C(－1,6)，D(－5,4)，请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出各对称图形的顶点坐标．能力提升7．李芳同学球衣上的号码是253，当她把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是()．8．若|3a－2|＋|b－3|＝0，则P(－a，b)关于y轴的对称点P′的坐标是__________．9．点A(－2a，a－1)在x轴上，则A点的坐标是__________，A点关于y轴的对称点的坐标是__________．10．桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有()．A．1个B．2个C．4个D．6个11．小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是________．12．(探索规律题)数的运算中含有一些有趣的对称形式，如第(1)个式子，依照等式的形式填空，并检验等式是否成立．(1)12×231＝132×21；(2)12×462＝__________×__________；(3)18×891＝__________×__________；(4)24×231＝__________×__________.13．(湖南郴州)作图题：在方格纸中，画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1.14．将一张长方形的纸对折(如图所示)，可以得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到几条折痕？如果对折n次可以得到几条折痕？15．(实际应用题)如图所示，某人每天先将羊群从驻地A赶到河边饮水(直线a表示河流)，然后再赶到草地放牧(直线b表示草地边界)，傍晚回到驻地A.请你设计出最短的放牧路线．16．用四个任意大小的半圆面设计四个轴对称图案(如图所示)，并且为所设计的每个图案命名，名称贴切生动．莲花盛开参考答案1．B 点拨：由轴对称概念及性质进行判断，知B 正确，D 错误，这两个图形之间的直线不一定是对称轴，又因为成轴对称的两个图形不仅全等还与位置有关故A 、C 错误．2．B 点拨：由图形的特征，结合轴对称的概念，可以判断只有第一个和第三个中的图形都是轴对称图形，故有2个，应选B.3．C 点拨：关于x 轴对称的点的坐标变化特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数，故选C.4．C 点拨：本题是将正方形两次翻折后剪裁，且剪裁位置在折叠后图形的正中间，因而将所给最后图形作两次轴对称展开，得到图形C.5．1 1 －3 3 点拨：若点P (a ＋1,3)、Q (－2,2a ＋b )关于y 轴对称，则a ＋1＝2,2a ＋b ＝3，解得a ＝1，b ＝1；同样若点P (a ＋1,3)、Q (－2，2a ＋b )关于x 轴对称，则a ＋1＝－2,2a ＋b ＝－3，解得a ＝－3，b ＝3.6．解：(1)如图所示，四边形A ′B ′C ′D ′和四边形A ″B ″C ″D ″即为所求．(2)关于y 轴对称的四边形A ′B ′C ′D ′各顶点的坐标分别是A ′(5,1)，B ′(1,1)，C ′(1,6)，D ′(5,4)；关于x 轴对称的四边形A ″B ″C ″D ″各顶点的坐标分别是A ″(－5，－1)，B ″(－1，－1)，C ″(－1，－6)，D ″(－5，－4)．7．A 点拨：把球衣上253的号码向左翻折180°，得到的图案即是镜子中的号码． 8．2(,3)39．(－2,0) (2,0) 点拨：因为点A 在x 轴上，所以a －1＝0，所以a ＝1，A 点的坐标就是(－2,0)，关于y 轴的对称点的坐标是(2,0)．10．B 点拨：如题图，以D 点为例，若能击中A 球，则∠BDQ ＝∠ADQ ，很显然不等，所以一次反弹后不能击中A 球，8个点中只有射向F 、Q 时，才能击中A 球，故选B.11．10时45分点拨：镜子里的时针与分针关于镜面对称，左右相反．12．(2)264 21(3)198 81(4)132 42点拨：仔细的观察不难发现等号左、右两边是对称的，根据这一规律，即可得出结论．13．解：分别作出点A ，B ，C 关于直线MN 的对称点A ′，B ′，C ′，再依次连接即得到图形。

人教版八年级上册数学第13--14章期末复习题(含答案)

人教版八年级上册第13章轴对称章末综合训练一、选择题1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，52. 如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，CE＝3，则AB的长为()A．11 B．12 C．13 D．143. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B 的度数是()A．70°B．55°C．70°或55°D．70°或55°或40°4. 如果点(m－1，－1)与点(5，－1)关于y轴对称，那么m的值为()A．4 B．－4 C．5 D．－55. 如图直线a∥b∥c，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线b和c上，边BC与直线c所夹的锐角为20°，则∠α的度数为()A．20°B．40°C．60°D．80°6. 若点A(2m，2－m)和点B(3＋n，n)关于y轴对称，则m，n的值分别为()A．1，－1 B.5 3，13C．－5，7 D．－13，－737. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 108. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为()A．40°B．45°C．50°D．60°9. 在平面直角坐标系中，已知在y轴与直线x=3之间有一点M(a，3).如果该点关于直线x=3的对称点N的坐标为(5，3)，那么a的值为()A.4B.3C.2D.110. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°二、填空题11. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD③AB＋BD＝AC＋CD ④AB－BD＝AC－CD12. 如图，△ABO是关于y轴对称的轴对称图形，点A的坐标为(－2，3)，则点B的坐标为________．13. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为6，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F.若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为________．14. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．15. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．16. 如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP＋PF的值最小时，BF＝7，则AC的长为________．三、解答题17. 如图，已知△ABC中，D为BC边上一点，且AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠BAC的度数.18. 如图，在△ABC中，AB＝BD，根据图中的数据，求∠BAC的度数．19. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．20. 如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴.(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2，0)，B(-1，0)，C(-1，2)，△ABC关于y轴对称的图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l对称的图形是△A2B2C2，请直接写出△A2B2C2的三个顶点的坐标;(2)如果点P的坐标是(-a，0)，其中a>0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长.21. 如图①所示，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A地到B地的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)[思考1]如图②，如果A，B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的路径呢？[思考2]如图③，如果A，B两地之间有三条平行的河流呢？[拓展]如图④，如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行的，又该如何建桥呢？请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用实线画出来．链接听P30例2归纳总结人教版八年级上册第13章轴对称章末综合训练-答案一、选择题1. 【答案】 C2. 【答案】B∴∠CDE＝30°.∴CD＝2CE＝6.∵D是AC的中点，∴AC＝2CD＝12.∴AB＝AC＝12.3. 【答案】D 当∠B ＝55°时，可得∠C ＝55°，∠B ＝∠C ，△ABC 为等腰三角形；当∠B ＝40°时，可得∠C ＝70°＝∠A ，△ABC 为等腰三角形．4. 【答案】B5. 【答案】D∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°.∴∠α＝∠ACE ＝∠ACB ＋∠BCE ＝60°＋20°＝80°.6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】C∵AC ＝BC ，∴CG 平分∠ACB ，∠A ＝∠B ＝40°.∵∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝100°， ∴∠BCG ＝12∠ACB ＝50°.9. 【答案】D又∵点M (a ，3)到直线x=3的距离为3-a ，∴3-a=2.∴a=1.10. 【答案】A∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°.又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.二、填空题12. 【答案】(2，3)13. 【答案】11 ∵△ABC 是等腰三角形，D 是BC 边的中点， ∴AD ⊥BC.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×6×AD ＝24，解得AD ＝8.∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点A 关于直线EF 的对称点为点C ，MA ＝MC. ∴MC ＋DM ＝MA ＋DM≥AD. ∴AD 的长为MC ＋DM 的最小值．∴△CDM 周长的最小值＝(MC ＋DM)＋CD ＝AD ＋12BC ＝8＋12×6＝8＋3＝11.14. 【答案】615. 【答案】85或14 ∴特征值k＝80°50°＝85.②当∠A 为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°＝20°， ∴特征值k ＝20°80°＝14. 综上所述，特征值k 为85或14.16. 【答案】10如图，作点E 关于直线CD 的对称点G ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，交CD 于点P ，则此时EP ＋PF 的值最小．∵∠B ＝60°，∠BFG ＝90°，∴∠G ＝30°. ∵BF ＝7，∴BG ＝2BF ＝14.∴EG ＝8. ∴CE ＝CG ＝4.∴AC ＝BC ＝10.三、解答题17. 【答案】解：∵AD ＝CD ，∴设∠DAC ＝∠C ＝x°. ∵AB ＝AC ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ＝∠DAC ＋∠C ＝2x°， ∠B ＝∠C ＝x°.∴∠BAC ＝3x°.∵∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°，∴5x ＝180，解得x ＝36.∴∠BAC ＝3x°＝108°.18. 【答案】解：∵∠ADB ＝30°＋40°＝70°，AB ＝BD ， ∴∠BAD ＝∠ADB ＝70°.∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠CAD ＝100°.19. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D 作DM ∥AB ，交CF 于点M ，则∠MDF ＝∠E.∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠C ＝60°. ∵DM ∥AB ，∴∠CDM ＝∠CAB ＝60°，∠CMD ＝∠CBA ＝60°. ∴△CDM 是等边三角形． ∴CM ＝CD ＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF≌△EBF(ASA)．∴DM＝BE. ∴CD＝BE.(2)∵ED⊥AC，∠CAB＝∠CBA＝60°，∴∠E＝∠FDM＝30°.∴∠BFE＝∠DFM＝30°.∴BE＝BF，DM＝MF.∵△DMF≌△EBF，∴MF＝BF.∴CM＝MF＝BF.又∵BC＝AB＝12，∴BF＝13BC＝4.20. 【答案】解:(1)△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2(4，0)，B2(5，0)，C2(5，2).(2)如图①，若0<a≤3，∵点P与点P1关于y轴对称，P(-a，0)，∴P1(a，0).又∵点P1与点P2关于直线x=3对称，设P2(x，0)，可得=3，即x=6-a.∴P2(6-a，0)，则PP2=6-a-(-a)=6-a+a=6.如图②，若a>3，∵点P与点P1关于y轴对称，P(-a，0)，∴P1(a，0).又∵点P1与点P2关于直线x=3对称，设P2(m，0)，可得=3，即m=6-a.∴P2(6-a，0)，则PP2=6-a-(-a)=6-a+a=6.综上，PP2的长为6.21. 【答案】如图①所示，MN即为所求．[思考1] 如图②所示，折线AMNEFB即为所求．[思考2] 如图③所示，折线AMNGHFEB即为所求．[拓展] 如图④所示，折线AMNEFB即为所求．人教版八年级上册第14章整式的乘法与因式分解章末综合训练一、选择题1. 化简(x 3)2，结果正确的是() A ．－x 6 B ．x 6C ．x 5D ．－x 52. 计算(x －1)2的结果是() A ．x 2－x ＋1 B ．x 2－2x ＋1 C ．x 2－1D ．2x －23. 计算(2x ＋1)(2x －1)的结果为( )A .4x 2－1B .2x 2－1C .4x －1D .4x 2＋14. 若3×9m ×27m ＝321，则m 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65. 下列各式中，能用完全平方公式计算的是()A ．(x －y )(x ＋y )B ．(x －y )(x －y )C ．(x －y )(－x －y )D ．－(x ＋y )(x －y )6. 下列各式中，计算正确的是（）A ．()222p q p q -=- B ．()22222a b a ab b +=++ C ．()2242121a a a +=++ D ．()2222s t s st t --=-+7. 化简(－2x －3)(3－2x )的结果是( ) A ．4x 2－9B ．9－4x 2C ．－4x 2－9D ．4x 2－6x ＋98. 若(x ＋a )2＝x 2＋bx ＋25，则( )A ．a ＝3，b ＝6B ．a ＝5，b ＝5或a ＝－5，b ＝－10C ．a ＝5，b ＝10D ．a ＝－5，b ＝－10或a ＝5，b ＝109. 若n 为正整数，则(2n ＋1)2－(2n －1)2的值( )A ．一定能被6整除B ．一定能被8整除C ．一定能被10整除D ．一定能被12整除10. 若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值( )．A.大于零B.小于零 C 大于或等于零D ．小于或等于零二、填空题11. 观察下列从左到右的变形：⑴()()3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+⑶()22261266x xy y x y ++=+；⑷()()22323294a b a b a b +-=- 其中是因式分解的有（填括号）12. 若x －y ＝6，xy ＝7，则x 2＋y 2的值等于________.13. 如果(x ＋my )(x －my )＝x 2－9y 2，那么m ＝________．14. 填空：()()22552516a a a b +-=-15. 课本上，公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2是由公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2推导得出的．已知(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4，则(a －b )4＝________________.16. 分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.三、解答题17. 计算：(41)(41)a a ---+18. 分解因式：44()()a x a x +--19. 分解因式：42231x x -+；20. 分解因式：222332154810ac cx ax c +--21. 分解因式：2222(3)2(3)(3)(3)x x x x -+--+-；人教版八年级上册第14章整式的乘法与因式分解章末综合训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】A4. 【答案】B5. 【答案】B6. 【答案】C7. 【答案】A8. 【答案】D 所以x 2＋2ax ＋a 2＝x 2＋bx ＋25.所以⎩⎨⎧2a ＝b ，a 2＝25，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝10或⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝－10.9. 【答案】B10. 【答案】B 【解析】222222222(2)()()()a b c ab a ab b c a b c a b c a b c +--=-+-=--=-+--又因为a ，b ，c 是三角形三边的长，所以a c b +>，a b c <+即0a b c -+>，0a b c --<，()()0a b c a b c -+--<，22220a b c ab +--<二、填空题11. 【答案】其中⑴是单项式变形，⑷是多项式的乘法运算，⑵中并没有写成几个整式的乘积的形式，只有⑶是因式分解12. 【答案】50 所以x 2＋y 2＝(x －y)2＋2xy ＝62＋2×7＝50.13. 【答案】±314. 【答案】()()2254542516a b a b a b +-=-【解析】()()2254542516a b a b a b +-=-15. 【答案】a 4－4a 3b ＋6a 2b 2－4ab 3＋b 4所以(a －b)4＝[a ＋(－b)]4＝a 4＋4a 3(－b)＋6a 2(－b)2＋4a(－b)3＋(－b)4＝a 4－4a 3b ＋6a 2b 2－4ab 3＋b 4.16. 【答案】222()a b ab ++【解析】4322342222222222232()2()()a a b a b ab b a b ab a b a b a b ab ++++=++++=++三、解答题17. 【答案】222(41)(41)(4)1161a a a a ---+=--=-【解析】222(41)(41)(4)1161a a a a ---+=--=-18. 【答案】228()ax a x +【解析】442222()()()()()()a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--=+--++-⎣⎦⎣⎦[][]22()()()()()()a x a x a x a x a x a x ⎡⎤=+--++-++-⎣⎦222222(22)8()x a a x ax a x =⋅⋅+=+19. 【答案】22(15)(15)x x x x +++-【解析】42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++-20. 【答案】22(23)(165)c x a c --【解析】222323223215481032101548ac cx ax c ac c cx ax +--=-+- 22222(165)3(516)(23)(165)c a c x c a c x a c =-+-=--21. 【答案】22x x-+(2)(3)【解析】22222222 -+--+-=+-=-+；(3)2(3)(3)(3)(6)(2)(3)x x x x x x x x。

《常考题》初中八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点总结(含答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（）．①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝EDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠，2AE BF =．下列四个结论中：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥；④3AB BF =．其中正确的结论共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（）．A ．6B ．8C ．10D ．114．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（）A ．AD 是∠BAC 的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆= 5．下列命题中，是假命题的是（）A ．能够完全重合的两个图形全等B ．两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．三个角都相等的三角形是等边三角形D ．等腰三角形的两底角相等6．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（）A ．(2020,13)-+B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)--- 7．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④ 8．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．69．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒ 11．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（） A ．A B C ∠=∠=∠ B ．,60AB AC B =∠=︒C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 12．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（）A ．5B ．4C ．4或5D ．10314．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（）A ．①②⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③ 15．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒ 二、填空题16．如图，点C 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），在AB 的上方分别作△ACD 和△BCE ，且AC =DC ，BC=EC ，∠ACD =∠BCE =α，连接AE ，BD 交于点P ．下列结论：①AE=DB ；②当α=60°时，AD =BE ；③∠APB =2∠ADC ；④连接PC ，则PC 平分∠APB ．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）17．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．18．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．19．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．20．如图：已知在ABC 中，90ACB ︒∠=，36BAC ︒∠=，在直线AC 上找点P ，使ABP △是等腰三角形，则APB ∠的度数为________．21．如图，等边ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若2AE =，当EF CF +取最小值时，ECF ∠的度数为___________度．22．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝62 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是_____________．23．如图，在△ACB 中，∠ACB ＝∠90°，AB 的垂直平分线DE 交AB 于E ，交AC 于D ，∠DBC ＝30°，DC ＝4cm ，则D 到AB 的距离为________cm ．24．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．（1）ACM ∠的大小=__________（度）；（2）AMC ∠的大小=__________（度）；（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．25．如图，在22⨯的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的ABC 为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与ABC 成轴对称．26．如图，一棵大树在一次强台风中于距地面5米处倒下，则这棵树在折断前的高度为________米．三、解答题27．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 向上平移4个单位长度所得到的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1的坐标；（2）画出△DEF 关于x 轴对称后所得到的△D 1E 1F 1，并写出点E 1，F 1的坐标；（3）△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．28．在等边ABC ∆中，（1）如图1，P ，Q 是BC 边上两点，AP AQ =，20BAP ∠=︒，求AQB ∠的度数；（2）点P ，Q 是BC 边上的两个动点（不与B ，C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP AQ =，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM ，PM ．①依题意将图2补全；②求证：PA PM =．29．已知：点A 在直线DE 上，点B 、C 都在PQ 上（点B 在点C 的左侧），连接AB ，AC ，AB 平分CAD ∠，且ABC BAC ∠=∠．（1）如图1，求证：//DE PQ ；（2）如图2，点K 为AB 上一点，连接CK ，若2EAC ACK ∠=∠，求AKC ∠的度数；（3）在（2）的条件下，点F 在直线DE 上，连接FK ，且DAB AFK KCB ∠=∠+∠，若13FKA AKC ∠=∠，则ACB ∠的大小为_________．（要求：在备用图中画出图形，并直接写出答案） 30．如图，ABC 的三个顶点的坐标分别是()3,3A ，()1,1B ，()4,1C -．（1）直接写出点A 、B 、C 关于x 轴对称的点1A 、1B 、1C 的坐标；1A （______，_______）、1B （______，_______）、1C （______，_______）（2）在图中作出ABC 关于y 轴对称的图形222A B C △．（3）求ABC 的面积．。

8年级数学人教版上册同步练习-轴对称和画轴对称图形(含答案解析)

第十三章轴对称13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1．【2012·连云港】下列图案是轴对称图形的是（）2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3D．18．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．9．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是__________．状元笔记【知识要点】1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；【温馨提示】1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．参考答案:1．D 解析：∵将D图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D图形是轴对称图形，故选D．2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3．如图所示：4．A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ABC和△ADE关于直线l对称，则△ABC≌△ADE，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l垂直平分DB，∠C=∠E，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A．5．解：根据题意A点和E点关于BD对称，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．B点、C点关于DE对称，有∠DBE=∠BCD，∠ABC=2∠BCD．且已知∠A=90°，故∠ABC+∠BCD=90°．故∠ABC=60°，∠C=30°．6．解：（1）对称点有A和A'，B和B'，C和C'．（2）连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线．（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．7．B 解析：在Rt△FDB中，∵∠F＝30°，∴∠B＝60°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°．在Rt△AED中，∵∠A＝30°，DE＝1，∴AE＝2．连接EB. ∵DE 是AB的垂直平分线，∴EB＝AE＝2. ∴∠EBD＝∠A＝30°．∵∠ABC＝60°，∴∠EBC＝30°．∵∠F＝30°，∴EF＝EB＝2．故选B．AF ED8．8 解析：∵DF是AB的垂直平分线，∴DB=DA．∵EG是AC的垂直平分线，∴EC=EA．∵BC=8，∴△ADE的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8．9．解：AB+BD=DE．证明：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC．∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．∴AB=CE．∴AB+BD=CE+DC=DE．10．C 解析：关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5．解得1.5＜a＜2.5，又因为a必须为整数，∴a=2．∴点P2（－1，－1）．∴P1点的坐标是（－1，1）．12.3 角的平分线的性质专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21BAC B∠∠，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB∶∶于点E，AC=3 cm，求BE的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，，∴AD 是BAC ∠的平分线， ∴BAD CAD =∠∠．在ABD △和ACD △中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△．∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠，∴90BDA =︒∠，∴AD BC ⊥． 2．证明：∵AO 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OD =OE ，在Rt △BDO 和Rt △CEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ． 3．解：∵∠C =90°，∴∠BAC +∠B =90°，又DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，又21BAC B =∶∶∠∠，∴∠A =60°，∠B =30°，又∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ， ∴DC =DE ，∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BED AED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ）， ∴3BE AE == cm ．4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处．故选C ．5．∠A 的角平分线上，且距A1cm 处角平分线上的点到角两边的距离相等 6．解：作两个角的平分线，交点P 就是所求作的点．。

部编人教版八年级数学上册第13章轴对称 13.1.2 线段垂直平分线的性质【习题课件】

课堂导练 3．(2018·黄冈)如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，
且分别交 BC，AC 于点 D 和 E，∠B＝60°，∠C＝25°，则 ∠B D．80°
课堂导练
4．(中考·天门)如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC， BC 于 E，D 两点，EC＝4，△ABC 的周长为 23，则△ABD 的
课堂导练 10．如图，点 C 是△ABE 的 BE 边上一点，点 F 在 AE 上，D
是 BC 的中点，且 AB＝AC＝CE.给出下列结论： ①AD⊥BC；②CF⊥AE； ③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE. 其中正确的结论有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
课后训练 11．如图，MP，NQ 分别垂直平分 AB，AC，且 BC＝13 cm.求
接 AE，BE，BE⊥AE，延长 AE，BC 交于点 F.求证： (1)AD＝FC；证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF. ∵E 为 CD 的中点，∴DE＝CE. 又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE(ASA)． ∴AD＝FC.
课后训练
(2)AB＝BC＋AD. 证明：由(1)知△ADE≌△FCE，∴AE＝FE. 又∵BE⊥AF，∴AB＝FB. ∵CF＝AD， ∴AB＝FB＝BC＋CF＝BC＋AD.
答案显示
课堂导练
1．理解线段垂直平分线上的点的性质要注意两点： (1)点一定在线段的__垂__直__平__分__线____上； (2)距离指的是点到线段的两个__端__点____的距离．
课堂导练 2．关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点； ②线段的垂直平分线是一条直线； ③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．其中，正确的说法有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个

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2018八年级数学《第13章轴对称--垂直平分线》同步复习资料【2】一．选择题（共10小题）1．如图所示的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）A．两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁B．两个图形关于某直线对称，对称点在这直线上C．全等的两个图形一定成轴对称D．成轴对称的两个图形一定全等3．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点4．如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD=3，△ABC的周长为20，则△AEC的周长为（）A．14 B．20 C．16 D．125．如图，△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，DE垂直平分AB，则∠DBC的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．如图，在△ABC中，E为AB中点，DE⊥AB于点E，AC=4，△BCD周长为7，则BC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC=100°那么∠PAQ等于（）A．50°B．40°C．30°D．20°8．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON=50°，则∠CPD=（）A．70°B．80°C．90°D．100°9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若∠B=35°，则∠CAD的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．如图，△ABC中，∠A=70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°二．填空题（共7小题）11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=85°，则∠BDC=．12．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE=40°，则∠BAC的度数=．13．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于84°，则∠OBC=．14．某同学从平面镜里看到镜子对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是．15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=度．16．如图，四边形ABCD中，AB=BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC=α，则∠ABC的度数为（用含a的代数式表示）．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，△ABD是△ABC的轴对称图形，点E在AD上，点F在AC的延长线上．若点B恰好在EF的垂直平分线上，并且AE=5，AF=13，则DE=．三．解答题（共5小题）18．如图，直线l l，l2交于点O，点P关于l l，l2的对称点分别为P1、P2．（1）若l l，l2相交所成的锐角∠AOB=60°，则∠P1OP2=；（2）若OP=3，P1P2=5，求△P1OP2的周长．19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．20．如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．22．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D．（1）过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD=CE；（2）若AB=6cm，AC=10cm，求AD的长．2018八年级数学《第13章轴对称--垂直平分线》同步复习资料【2】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图所示的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据轴对称图形的概念，B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁B．两个图形关于某直线对称，对称点在这直线上C．全等的两个图形一定成轴对称D．成轴对称的两个图形一定全等【解答】解：A、两个图形关于某直线对称，对称点可能在这直线上，所以A选项错误；B、两个图形关于某直线对称，对称点可能在这直线的两旁，所以B选项错误；C、全等的两个图形不一定成轴对称，所以C选项错误；D、成轴对称的两个图形一定全等，所以D选项正确．故选：D．3．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点【解答】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，故选：C．4．如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD=3，△ABC的周长为20，则△AEC的周长为（）A．14 B．20 C．16 D．12【解答】解：∵ED是线段BC的垂直平分线，∴EC=EB，BC=2BD=6，∵△ABC的周长为20，∴AB+AC+BC=20，∴AB+AC=14，∴△AEC的周长=AC+AE+EC=AC+AE+EB=AC+AB=14，故选：A．5．如图，△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，DE垂直平分AB，则∠DBC的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°，∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°．∵DE垂直平分AB，∴∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70﹣50°=20°．故选：B．6．如图，在△ABC中，E为AB中点，DE⊥AB于点E，AC=4，△BCD周长为7，则BC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵DE⊥AB，垂足E为AB的中点，∴AD=BD，∴AC=AD+DC=BD+DC，∵AC=4，△BCD周长为7，∴BC=△BCD的周长﹣AC=7﹣4=3，故选：C．7．如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC=100°那么∠PAQ等于（）A．50°B．40°C．30°D．20°【解答】解：∵∠BAC=100°，∴∠B+∠C=180°﹣100°=80°，∵PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∴PA=PB，QA=QC，∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，∴∠PAQ=180°﹣（∠PAB+∠QAC）=180°﹣（∠B+∠C）=20°，故选：D．8．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON=50°，则∠CPD=（）A．70°B．80°C．90°D．100°【解答】解：如图，连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F．∵点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，∴OA=OP=OB，CA=CP，DP=DB，∠AOC=∠COP，∠POD=∠DOB，∴∠AOB=∠AOC+∠COP+∠POD+∠DOB=2∠COD=100°，∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣∠AOB）=40°．设∠COP=α，∠DOP=β，则α+β=50°．∵OA=OP，∠AOP=2α，∴∠OPA=∠OAP=（180°﹣2α）=90°﹣α，∵∠OAB=40°，∴∠CPA=∠CAP=∠OAP﹣∠OAB=50°﹣α．同理，∠DPB=50°﹣β．∵∠EPF=360°﹣∠EOF﹣∠OEP﹣∠OFP=360°﹣50°﹣90°﹣90°=130°，∴∠CPD=∠EPF﹣（∠CPA+∠DPB）=130°﹣（50°﹣α+50°﹣β）=30°+（α+β）=80°．故选：B．9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若∠B=35°，则∠CAD的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=35°，∵∠C=90°，∠B=35°，∴∠BAC=55°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=20°，故选：A．10．如图，△ABC中，∠A=70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°【解答】解：连接OA、OB，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵O是AB，AC垂直平分线的交点，∴OA=OB，OA=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，∴∠OBA+∠OCA=70°，∴∠OBC+∠OCB=110°﹣70°=40°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO=20°，二．填空题（共7小题）11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=85°，则∠BDC= 95°．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BOC的平分线，∴DE=DF，∵DP是BC的垂直平分线，∴BD=CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．∴∠BDE=∠CDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠DEB=∠DFC=90°，∴∠EAF+∠EDF=180゜，∵∠BAC=85°，∴∠BDC=∠EDF=95°，故答案为：95°．12．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE=40°，则∠BAC的度数=110°．【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，∴DA=DB，EA=EC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE=180°，则2（∠B+∠C）=140°，解得，∠B+∠C=70°，∴∠BAC=110°，故答案为：110°．13．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于84°，则∠OBC=6°．【解答】解：连接OA，∵∠BAC=84°，∴∠ABC+∠ACB=96°，∵l1、l2分别是AB、AC的垂直平分线，∴OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，∴∠OBA+∠OCA=∠BAC=84°，∴∠OBC+∠OCB=12°，∴∠OBC=6°，故答案为：6°．14．某同学从平面镜里看到镜子对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是10：51．【解答】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是10：51．故答案为：10：51．15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=24度．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠FAC=∠EAC+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB=∠EAC+19°，∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，解得，∠C=24°，故答案为：24．16．如图，四边形ABCD中，AB=BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC=α，则∠ABC的度数为180°﹣2α（用含a的代数式表示）．【解答】解：如图所示，连接BE，∵点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，∴BC=BE=AB，DE=DC，∴△BCD≌△BED，∠A=∠AEB，∴∠BCD=∠BED，又∵∠BED+∠AEB=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∴四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠ADC=2∠BDC=2α，∴∠ABC=180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，△ABD是△ABC的轴对称图形，点E在AD上，点F在AC的延长线上．若点B恰好在EF的垂直平分线上，并且AE=5，AF=13，则DE=4．【解答】解：连接BE，BF，∵△ABD是△ABC的轴对称图形，∴△ABD≌△ACB，∴DB=CB，AD=AC，∠D=∠BCA=90°，∴∠BCF=90°，∵点B恰好在EF的垂直平分线上，∴BE=BF，在Rt△DBE和Rt△CBF中，∴Rt△DBE≌Rt△CBF（HL），∴DE=CF，设DE=x，则CF=x，∵AE=5，AF=13，∴5+2x=13，x=4，∴DE=4，故答案为：4．三．解答题（共5小题）18．如图，直线l l，l2交于点O，点P关于l l，l2的对称点分别为P1、P2．（1）若l l，l2相交所成的锐角∠AOB=60°，则∠P1OP2=120°；（2）若OP=3，P1P2=5，求△P1OP2的周长．【解答】解：（1）∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，∴∠P1OA=∠AOP，∠P2OB=∠POB，∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠POB）=2∠AOB=2×60°=120°；故答案为：120°；（2）∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，∴OP1=OP=OP2=3，∵P1P2=5，∴△P1OP2的周长=OP1+OP2+P1P2=3+3+5=11．19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．【解答】证明：∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠ACB=∠BDE=90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED=EC，∵ED=EC，BD=BC，∴BE垂直平分CD．20．如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上．【解答】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PC．∴点P在AC的垂直平分线上．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．【解答】解：DE=BF，DE⊥BF．理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G．∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=22.5°．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，∴∠ABC=67.5°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC=DC．在△ECD和△FCB中，，∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），∴DE=BF，∠CED=∠CFB．∵∠CFB+∠CBF=90°，∴∠CED+∠CBF=90°，∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．22．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D．（1）过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD=CE；（2）若AB=6cm，AC=10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：作PE⊥AC于点E，连接PB、PC，∵PQ是BC边的垂直平分线，∴PB=PC，∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD=PE，在Rt△BPD和Rt△CPE中，，∴Rt△BPD≌Rt△CPE，∴BD=CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP，∴AD=AE，∴AD+6=10﹣AD，解得，AD=2（cm）．。

2018八年级数学《第13章 轴对称--垂直平分线》同步复习资料【2】【含解析】

《高效速记：初中数学必考公式定律与知识梳理》 第13章 轴对称

八年级数学上册 第13章 全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 2 线段垂直平分线课件