复习重点4

第四章 数值积分方法与数值微分● 研究对象1： 求定积分：⎰=ba dx x f I )(利用数值积分公式：∑⎰=≈=ni i i bax f w dx x f I 0)()( （*）优点：普适性、在计算机上的可操作性三要素：求积节点数1+n 节点n ix i )1(0,=的分布公式的系数i w内容安排：1． 等距剖分下的数值求积公式：公式特点：节点预先给定，均匀分布,系数n iw i )1(0,=待定利用插值多项式)(x p n 近似代替)(x f ，即得插值型求积公式：Newton-Cotes 公式2． 给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss 求积公式 公式特点：系数n iw i )1(0,=和节点n i x i )1(0,=均待定3． 分段插值多项式)(x n φ近似代替)(x f （分段求积） 复化求积公式● 研究对象2： 求微分 ],[),(00b a x x f ∈'方法：1. 利用差商代替)(0x f '如当h 充分小时，利用向前差商，hx f h x f x f )()()(000-+≈'2.利用插值多项式)(x p n 近似代替)(x f ，可得插值型求导公式)()(00x p x f n'≈'例 求单（一个）节点（即0=n ）的数值积分公式，)()(00x f w dx x f I ba ≈=⎰这类数值积分公式称为矩形求积公式 。

（1） 给定节点0x ，0w 待定常见的：① a x =0 左端点② 20ba x +=中点 ③ b x =0右端点以取左端点a x =0为例，待定形式：)()(0a f w dx x f ba ≈⎰利用零次插值多项式)(a f 代替)(x f ，即)()(a f x f ≈⇒ a b w -=0⇒ ⎰-≈b aa f ab dx x f )()()(------ 左矩形公式类似，2ba x +=，b x =0，有⎰+-≈baab f a b dx x f )2()()(----- 中矩形公式⎰-≈ba b f a b dx x f )()()(------ 右矩形公式可以验证上述插值型求积公式 当 1)(=x f 时，左、中、右矩形公式均精确成立 当x x f =)(时，只有中矩形公式精确成立（2）节点0x ，0w 均待定待定形式：)()(00x f w dx x f ba ≈⎰ （**）要求两个条件，确定两个待定量 基本想法：使数值积分公式（**），对次数尽可能高的代数多项式精确成立！称为Gauss 型求积公式。

当 1)(=x f ，x 时，左右两端均精确相等⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-=⋅=-=⎰⎰002202/)(11x w a b dx x w a b dx bab a⇒200ba x ab w +=-= , ⇒ ⎰+-≈b aab f a b dx x f )2()()(----- 一点Gauss 求积公式§1 Newton-Cotes 求积公式 公式的导出设求积公式的点数（要素1）为：1+n且求积节点在],[b a 上等距分布(要素2)，即n k n a b h kh a x k )1(0,/)(,=-=+=这时，公式待定形式： ∑⎰=≈=nk k k ba x f w dx x f I)()(公式中系数（要素3）：n kw k )1(0,=待定下面，利用关于求积节点的n 次Lagrange 插值多项式)()()()(0x f x l x f x p nk k k n ≈=∑=n k x x x x x l n ji i ij ik )1(0 , )(0=--=∏≠= 近似代替)(x f ，来确定n k w k )1(0,=。

这时∑⎰∑⎰∑⎰⎰====⋅==≈=nk k k ba k nk k ba nk k k ba n ba x f w dx x l x f dxx l x f dx x p dx x f I 0)(])()([ ])()([)()(其中，n k dx x l w ba k k ,,2,1,0,)( ==⎰简化公式，令th a x +=,kb a n ki i n nki i k n ik i k c a b dt i t k n k h dx x x x x w )( )()!(!)1(000-=--⋅-=--=⎰∏⎰∏≠=≠=- （*1）其中⎰∏≠=---⋅-=n n ki i kn k dt i t k n k n c 00)()!(!)1( ⇒∑⎰=-≈=nk k k ba x f c ab dx x f I 0)()()( （*2）上式称为n 阶Newton-Cotes 公式，其中k c 称为Cotes 系数 。

常见的Newton-Cotes 公式：（1）1=n ，即2个节点，称为梯形求积公式节点选取：左右两个端点b a 和 系数 ： 由（*1） 可得2/110==c c⇒)]()([2)(b f a f ab dx x f b a+-≈⎰利用梯形面积近似代替曲边梯形面积， 因而称之为梯形求积公式（2）2=n ，即3个节点，称为辛甫生(Simpson)求积公式节点选取：左右两个端点b a 、及其中点2ba + 系数 ： 由（*1） 可得3/2 , 6/1220===c c c =4/6⇒ ⎰+⎪⎭⎫⎝⎛++-≈bab f b a f a f a b dx x f )](24)([6)(（4）4=n ，称为柯特斯（Cotes ）求积公式节点选取：即4等分],[b a 的5个节点4)1(0,4/)(,=-=+=k a b h kh a x k 系数 ：由（*1） 可得907,4516,152,4516,90743210=====c c c c c ⇒))(7)(32 )(12)(32)(7(90)(43210x f x f x f x f x f ab dx x f ba ++++-≈⎰例：分别用梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式计算积分⎰=6.28.1)(dx x f I ，函数)(x f 在某些节点上的值如下图：① 用梯形公式求积分434756.5))6.2()8.1((28.16.2))()((2=+-=+-=f f b f a f ab T②用辛甫生公式求积分034205.5))6.2()2.2(4)8.1((68.16.2 ))()2()((6=++-=+++-=f f f b f b a f a f a b S ③ 用柯特斯公式求积分03292.5))6.2(7)4.2(32)2.2(12)0.2(32)8.1(7(908.16.2))(907)(9032)(9012)(9032)(907)((43210=++++-=++++-=f f f f f x f x f x f x f x f a b C ● 误差分析1.代数精度的概念定义 若求积公式∑⎰=≈ni i i bax f w dx x f 0)()( （*）对所有次数m ≤的多项式是精确的，但对1+m 次多项式不精确，则称（*）具有m 次代数精度。

等价定义：若求积公式（*）对m x x x ,,,,12 是精确的，但对1+m x 不精确，则（*）具有m 次代数精度。

2. Newton-Cotes 公式的误差分析 矩形公式（0=n）：左、右矩形公式只有零次代数精度，中矩形公式具有1次代数精度梯形公式：该公式具有1次代数精度辛甫生公式：至少具有3次代数精度结论：n 阶Newton-Cotes 公式的代数精度为⎩⎨⎧+=,,,,1为奇数时当为偶数时当n n n n d§2 Gauss 型求积公式关于权函数0)(≥x ρ的n 点Gauss 型求积公式● 几种特殊的Gauss 型求积公式对],[b a ,作2/])()[(t a b b a x -++=后变成]1,1[-，积分变为⎰⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-++-=badt t a b b a f a b dx x f 11222)(. 则，只需给出]1,1[-上的Gauss 求积公式. 1. Gauss-Legendre 求积公式勒让德多项式1)(,1],)1[(!21)(02=≥-⋅=x L n x dxd n x L n nnn n . 是]1,1[-上关于权函数1)(≡x ρ 的正交多项式 2. Gauss-Chebyshev 求积公式切比雪夫(Chebyshev)多项式定义如下:11 ),arccos cos()(≤≤-=x x n x T n ,)(x T n 是]1,1[-上关于权函数21)1()(2--=x x ρ的正交多项式§3 复化求积公式通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值分而治之： 分段＋低次求积公式---------- 称为复化求积法两类低次（4≤n ）求积公式：1. Newton －Cotes 型：矩形、梯形、Simpson 、Cotes 公式 分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss 型： 一点、两点、三点Gauss 求积公式称为复化一点、两点、三点Gauss 公式复化求积公式的构造仅以复化梯形公式（n T ）为例（1） 分段将积分区间],[b a 分成n 段，通常是将],[b a n 等分n a b h n k kh a x k -==+=,),,1,0(,（2） 每段],[1k k k x x e -=在k e 上利用梯形公式计算积分)]()([211k k k k k x f x f x x I ++=-- （3） 求和对每个区间k e 的近似积分值求和，用所得的值近似代替原积分值，即)]()([2)()(111111k k nk k k nk kbank x x x f x f x x I dx x f dx x f I kk ++====-=-==∑∑⎰∑⎰-求和展开得：n ab h b f x f a f h x f x f x f x f x f x f hT n k k n n n -=++=++++++≡∑-=- )],()(2)([2 )]}()([)]()([)]()({[21112110类似可得其他复化公式：复化辛甫生公式: （每个k e 上用辛甫生公式求积）)]()(2)(4)([6)]}()(4)([)]()(4)([)]()(4)({[61111211011321b f x f x f a f hx f x f x f x f x f x f x f x f x f hS n k k n k k n n n n +++=+++++++++≡∑∑-==---nab h -=其中，2/1-k x 为k e 的中点 复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。