九年级数学圆心角与圆周角的关系10
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③
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD， 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2 1 同理 , ∠CBD= ∠COD。 2
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图 ④同 样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 A C D O B
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO。
④ ∴ ∠AOD=2∠ABD， 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2 1 同理 , ∠CBD= ∠COD。 2 1 1 ∴ ∠ABD－∠CBD= 2∠AOD－ ∠COD 2 = 1 （∠AOD－∠COD）。 2 ∴ ∠ABC= 1 ∠AOC 2
认真观察，探求结果
通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结 果？ A A C C C A O B O B B O
理解圆周角的概念、两个特征、性 质
理解圆周角和圆心角的关系 经历探讨圆周角定理的证明过程、 体会分类、归纳等数学方法
重点: 圆周角的概念 、圆周角定理、自主探究圆周 角定理的证明过程、感悟数学中的分类讨论思想.
难点:
圆周角定理的证明及证明中的完全归纳法的 数学思想 教学过程:
复 习
O
1.圆心角的定义?Hale Waihona Puke Baidu
我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。 也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D。 （此时我们得到与图②同样的情形） ∵ ∠1是△ABO的外角， A D
3
C
∴ ∠1=∠2+∠3。
∵ OA=OB， ∴ ∠2=∠3。 ∴ ∠1=2∠2， 1 ∴ ∠2= ∠1。 2 同理, ∠4= 1 ∠5。 2 1 ∴ ∠2+∠4= （ ∠ 1+∠5） 。 2 1 ∴ ∠ABC= ∠AOC。 2
当心啊，成功在即!
如图，当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的 张角的大小相等吗？ 你能观察到这三个角有什么共同特征吗?(下一节课我们来 分析好吗？）
课堂小结：
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆
相交的角叫圆周角.
圆周角有两个特征： ①角的顶点在圆上； ②两边在圆内的部分是圆的两条弦
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 作业：P25.4第1、2、3、4题
B
A C
答:顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心
如图1 ,∠AOB是
角。 B
O
D A
如图2 , AB=CD ,则∠AOB与∠COD的大小 关系是： 相等 。
为解决这个问题我们先来研究一种角。 观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ A
B
C
观察图中的∠ABC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两 边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。 A
1 5
24
O
B
②
如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图 ③ 同样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO。 A C D O B
③
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD， 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图 ③同 样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 A C D O B
C
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ， 求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。 解：∵∠BCD=100° A O1 B C
D
∴∠1=200°
∴∠BOD=360°－200°=160°
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ， 求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。 解：∵∠BCD=100° A O1 B C
D
∴∠1=200°
∴∠BOD=360°－200°=160° 1 1 ∴∠BAD= 2 ∠BOD= 2 ×160°=80°
课内拓展延伸
1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特 点?相互之间有什么关系? 答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点 在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半。 2.课后思考 如图，当他站在 B，D，E的位置 射球时对球门 AC 的 张 角 的 大 小相等吗？为什 么？
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 。
如图，在⊙O中，∠BOC=50°， 则∠BAC= 25° 。 A O
B
C
0
如图，在⊙O中， ∠BOC=50° ， 则∠BAC= 25° 。 A
B
C
O
变化题1：如图，点A，B，C是 ⊙O上的三点， ∠BAC=40°， 则∠BOC= 80° 。
①∠ABC的一边BC经过圆心O。 ②∠ABC的两边都不经过圆心O。 ③∠ABC的两边都不经过圆心O。 请问∠ABC与∠AOC 它们的大小有什么关 系？说说你的想法， 并与同伴进行交流。
下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC 经过圆心O。 （此时我们得到与图①同样的情形） ∵ ∠AOC是△ABO的外角， C A ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 如图,我们可 ∵ OA=OB， 以 观 察 到 O ∴ ∠ABO=∠BAO。 ∠ AOC 是 ∴ ∠AOC=2∠ABO， △ ABO 的 外 B ① 1 角 ， ∠ ABC ∴ ∠ABC= ∠AOC。 2 是 △ ABO 的 那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时， 一个内角， 它们两者存 ∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？ A 在一定关系. A C C O B B O
0
O B C
A
变化题2：如图，∠BAC=40°，则 50° 。 ∠OBC=
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC， ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？ 答：∠ACB=2∠BAC.理由是: ∵∠AOB=2∠ACB ∠BOC=2∠BAC ∠AOB=2∠BOC ∴2∠ACB =2（2∠BAC） ∴∠ACB=2∠BAC A B O
B
C
请同学们考虑两个问题： （1）顶点在圆上的角是圆周角吗？ （2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？ 为解决这个问题，我们先回答下面的问题。
下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。
A
B
C
D
E
由圆周角的定义可知，只有C是圆周角，其它都不是。 你能总结出圆周角的特征吗？ 圆周角有两个特征： ①角的顶点在圆上；
圆周角定义: 顶点在圆
上,并且两边都和圆相交 的角叫圆周角.
②两边在圆内的部分是圆的两条弦。
我们再来研究圆周角的性质。
为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对 的圆心角之间的关系。 请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周 角。
A
C
水到渠成，马到功成
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。 A O B ① C A C O B B ② ③ A C O
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD， 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2 1 同理 , ∠CBD= ∠COD。 2
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图 ④同 样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 A C D O B
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO。
④ ∴ ∠AOD=2∠ABD， 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2 1 同理 , ∠CBD= ∠COD。 2 1 1 ∴ ∠ABD－∠CBD= 2∠AOD－ ∠COD 2 = 1 （∠AOD－∠COD）。 2 ∴ ∠ABC= 1 ∠AOC 2
认真观察，探求结果
通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结 果？ A A C C C A O B O B B O
理解圆周角的概念、两个特征、性 质
理解圆周角和圆心角的关系 经历探讨圆周角定理的证明过程、 体会分类、归纳等数学方法
重点: 圆周角的概念 、圆周角定理、自主探究圆周 角定理的证明过程、感悟数学中的分类讨论思想.
难点:
圆周角定理的证明及证明中的完全归纳法的 数学思想 教学过程:
复 习
O
1.圆心角的定义?Hale Waihona Puke Baidu
我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。 也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D。 （此时我们得到与图②同样的情形） ∵ ∠1是△ABO的外角， A D
3
C
∴ ∠1=∠2+∠3。
∵ OA=OB， ∴ ∠2=∠3。 ∴ ∠1=2∠2， 1 ∴ ∠2= ∠1。 2 同理, ∠4= 1 ∠5。 2 1 ∴ ∠2+∠4= （ ∠ 1+∠5） 。 2 1 ∴ ∠ABC= ∠AOC。 2
当心啊，成功在即!
如图，当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的 张角的大小相等吗？ 你能观察到这三个角有什么共同特征吗?(下一节课我们来 分析好吗？）
课堂小结：
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆
相交的角叫圆周角.
圆周角有两个特征： ①角的顶点在圆上； ②两边在圆内的部分是圆的两条弦
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 作业：P25.4第1、2、3、4题
B
A C
答:顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心
如图1 ,∠AOB是
角。 B
O
D A
如图2 , AB=CD ,则∠AOB与∠COD的大小 关系是： 相等 。
为解决这个问题我们先来研究一种角。 观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ A
B
C
观察图中的∠ABC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两 边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。 A
1 5
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O
B
②
如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图 ③ 同样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO。 A C D O B
③
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD， 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图 ③同 样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 A C D O B
C
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ， 求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。 解：∵∠BCD=100° A O1 B C
D
∴∠1=200°
∴∠BOD=360°－200°=160°
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ， 求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。 解：∵∠BCD=100° A O1 B C
D
∴∠1=200°
∴∠BOD=360°－200°=160° 1 1 ∴∠BAD= 2 ∠BOD= 2 ×160°=80°
课内拓展延伸
1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特 点?相互之间有什么关系? 答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点 在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半。 2.课后思考 如图，当他站在 B，D，E的位置 射球时对球门 AC 的 张 角 的 大 小相等吗？为什 么？
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 。
如图，在⊙O中，∠BOC=50°， 则∠BAC= 25° 。 A O
B
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如图，在⊙O中， ∠BOC=50° ， 则∠BAC= 25° 。 A
B
C
O
变化题1：如图，点A，B，C是 ⊙O上的三点， ∠BAC=40°， 则∠BOC= 80° 。
①∠ABC的一边BC经过圆心O。 ②∠ABC的两边都不经过圆心O。 ③∠ABC的两边都不经过圆心O。 请问∠ABC与∠AOC 它们的大小有什么关 系？说说你的想法， 并与同伴进行交流。
下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC 经过圆心O。 （此时我们得到与图①同样的情形） ∵ ∠AOC是△ABO的外角， C A ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 如图,我们可 ∵ OA=OB， 以 观 察 到 O ∴ ∠ABO=∠BAO。 ∠ AOC 是 ∴ ∠AOC=2∠ABO， △ ABO 的 外 B ① 1 角 ， ∠ ABC ∴ ∠ABC= ∠AOC。 2 是 △ ABO 的 那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时， 一个内角， 它们两者存 ∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？ A 在一定关系. A C C O B B O
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O B C
A
变化题2：如图，∠BAC=40°，则 50° 。 ∠OBC=
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC， ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？ 答：∠ACB=2∠BAC.理由是: ∵∠AOB=2∠ACB ∠BOC=2∠BAC ∠AOB=2∠BOC ∴2∠ACB =2（2∠BAC） ∴∠ACB=2∠BAC A B O
B
C
请同学们考虑两个问题： （1）顶点在圆上的角是圆周角吗？ （2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？ 为解决这个问题，我们先回答下面的问题。
下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。
A
B
C
D
E
由圆周角的定义可知，只有C是圆周角，其它都不是。 你能总结出圆周角的特征吗？ 圆周角有两个特征： ①角的顶点在圆上；
圆周角定义: 顶点在圆
上,并且两边都和圆相交 的角叫圆周角.
②两边在圆内的部分是圆的两条弦。
我们再来研究圆周角的性质。
为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对 的圆心角之间的关系。 请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周 角。
A
C
水到渠成，马到功成
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。 A O B ① C A C O B B ② ③ A C O