第四课 割补法的灵活运用与专题总结
立体几何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
※⾼考提⽰
⽴体⼏何中常⽤割补法解题.特别是⾼考中的⽴体⼏何题很多可⽤割补法解,有时解起来还⽐较容易.
[规律⼩结]
割补法是割分形法即割法与补加形法即补法的总称。
补法是把不熟悉的或复杂的⼏何体延伸或补加成熟悉的或简单的⼏何体，把不完整的图形补成完整的图形。
割法是把复杂的或不熟悉的⼏何体，割分为简单的或熟悉的⼏何体。
这样对此解起题来就有好处。
割补法中的割与补是⼀个问题中的相反两个⽅⾯，是对⽴统⼀的⼀对⽭盾。
解决⼀个问题，是割是补？这要看问题的性质，宜补就补，宜割就割，不可割补就不割补，就是宜割补，也要讲究如何割补，不要盲⽬⾏动，否则就会导致⿇烦，使问题复杂化，使得其反，甚⾄问题还不能解决。
⽴体⼏何中需得三棱柱补成平⾏六⾯体，将三棱维补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱维等等这些我们很熟悉，其实，割补法不仅仅使⽤于⽴体⼏何，将上述概念中的⼏何体或图形改为代数式，那么在数学的其它⽅⾯使割补法也就很多了，⽐如运算中的添项减项，重新组合另⾏考虑，考虑问题的对⽴⾯等等均可视为割补法，因此，割补法不只是⼀种⽅法，可把它上升为⼀种思想——⼀种数学思想。
关于我们：。
浅谈小学数学中的图形割补法
浅谈小学数学中的图形割补法图形割补法是小学数学中的一种常用解题方法，它主要用于解决关于图形的面积、周长、角度等问题。
通过割补，可以将一个复杂的图形分解成几个简单的图形，从而更容易计算出所需的结果。
下面我们就来浅谈一下小学数学中的图形割补法。
图形割补法在小学数学中有很广泛的应用，主要体现在几何和图形相关的知识点上。
面积、周长、角度、对称等等，都可以通过图形割补法来解决。
这种方法不仅可以帮助学生更好地理解图形和几何的性质，还可以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
图形割补法的核心思想就是将一个复杂的图形分解成简单的图形，然后分别计算每个简单图形的面积、周长、角度等，最后再将它们相加或相减得到最终的结果。
这样一来，不仅简化了计算过程，还可以避免犯错误，提高计算的准确性。
举个例子来说，比如一个不规则的四边形，我们可以通过在某条对角线上划一条垂线，将四边形分解成两个三角形。
然后我们可以分别计算这两个三角形的面积，最后相加得到整个四边形的面积。
这样一来，计算的过程就会变得更加简单明了。
除了面积和周长，图形割补法在角度的计算中也有一定的应用。
在计算一个多边形内部的角度和时，我们可以通过在多边形内部划线，将多边形分解成若干个三角形，然后分别计算每个三角形的内角和，最后相加得到整个多边形的内角和。
这样一来，可以更好地理解多边形内角和的计算方法，提高学生对角度计算的理解和掌握。
图形割补法还可以在对称图形的计算中得到应用。
对称图形的面积和周长计算中，我们可以通过将对称图形割补成简单的几何图形，然后分别计算每个简单图形的面积和周长，最后进行适当的运算得到最终结果。
这样一来，不仅使计算过程更加清晰，还可以帮助学生更好地理解对称图形的性质和计算方法。
图形割补法是小学数学中的一种重要解题方法，它可以帮助学生更好地理解图形和几何的性质，提高他们的逻辑思维和解决问题的能力。
在教学中，我们可以通过一些实例和练习来引导学生掌握图形割补法的基本原理和应用技巧，帮助他们更好地运用这种方法解决实际问题。
初中数学_割补法教案
教案：初中数学——割补法一、教学目标1. 让学生理解割补法的概念和意义，能够运用割补法解决实际问题。
2. 培养学生空间想象能力，提高解决问题的能力。
3. 培养学生合作交流意识，提高学生数学思维能力。
二、教学内容1. 割补法的定义及基本原理。
2. 割补法在实际问题中的应用。
3. 割补法与其他几何方法的对比。
三、教学重点与难点1. 割补法的理解和运用。
2. 割补法在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入割补法，让学生感受割补法在解决问题中的重要性。
2. 新课讲解：讲解割补法的定义、原理和操作步骤，让学生理解并掌握割补法。
3. 例题解析：通过典型例题，让学生学会运用割补法解决问题，并总结割补法的应用规律。
4. 练习巩固：让学生独立完成练习题，检验学生对割补法的掌握程度。
5. 拓展提升：引导学生思考割补法在其他几何问题中的应用，提高学生数学思维能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调割补法在实际问题解决中的重要作用。
五、教学方法1. 采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等多种教学方法，让学生在实践中掌握割补法。
2. 利用多媒体课件、实物模型等教学辅助工具，帮助学生直观地理解割补法。
3. 分组合作，让学生在讨论中互相学习，共同提高。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生对割补法的掌握程度。
2. 练习成果：检查学生完成的练习题，评估学生运用割补法解决问题的能力。
3. 学生互评：让学生互相评价，促进学生之间的交流与合作。
七、教学反思课后总结本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对割补法的理解和运用能力。
同时，关注学生在课堂上的表现，激发学生学习兴趣，提高学生数学思维能力。
运用割补法解决球的切_接问题_王广敏
分析 三棱锥的外接球 , 即三棱锥的 个顶点都在球面上 , 关键是求出这个外接球的
半径 。 但 由已知条件似乎无法作辅助线构造三角形来求得这个 外接球的半径 。 我们不妨从这个正三棱锥的特 征出发 , 补成一个
正方体来解决 。 和 刁 尸 一 匀 。
解答
由正三棱锥中侧棱
侧面
, 可得三条侧棱
、
哟 图 一 ︷
一 解答 设内 切 球的 半径为 `,正四 面 体每个面的面 积为生 。 。 ,
了 ,
住
义二瑟,高为
义互 ` 。 ,所以 正四 面 体的 体积为土
—
竺直 二 。交 互留。
连 接球 心 与 四面体 个顶 点 , 则 原 四面体 可 分 割成 四个 以 内切 球 的 球 心 为 顶 点 , 以 四
面体的面 为底面的三 棱锥 ,这些三 棱锥的 底面积都是交 了,高都是 ,所以正四 面体的
、 两两垂戴 又兰条侧棱相等 ,故可以三条侧棱为相邻三边 作出一个正方体 召 。一 ` ,如图 所示 ,其棱长为
二 万,
科喻。
万 ,其外
了 ,即
接球的直径就是此正方体的对角线 , 所以
球半 径 二 , 所以球的表面积冬 二诚
总结
日 “
口
刀
如果 三棱锥有一条棱垂直于另外两条棱 , 则可补成
一个直棱柱 如果有三条棱两两垂直 , 则可补成一个长方体 。特
球 是 立 体几 何 中的一 个 重 要 的几 何模 型 , 与球 有 关 的 考题 “琳 琅 满 目 ” 。 “割 补法 ”是
解决立 体几何问题的重要方法 , 简单地说就是把不规则 的几 何体割或补成规则的几何
体 。 本文举例说明 “割补法 ” 在球的切 、 接与截面等典型问题 中的应用 。
割补法、构造法、特值法应用综述——高中数学解题基本方法系列讲座(9)
=1，
联想
向量的数量积的坐标运算法则， 可以构造向量．设向量軖m=
（cos琢，
sin琢），
n軋=
（
１ a
+
１ b
），
由题意知
cos琢 a
+
sin琢 b
=1.
姨 由
軖m·n軋≤│軖m││n軋│，可得
1=
cos琢 a
+
sin琢 b
≤
１ a2
+
１ b2
．又
可自然快速得到答案 D.
点评： 平面向量进入高中教材后， 其主要的功能就好应
G
E
F
（2）
G
面 体 ABC -DEFG 中 ，
AB， AC， AD 两两互相垂直， 平面 ABC∥平面 DEFG， 平面
BEF∥平面 ADGC， AB=AD=DC=2， AC=EF=1， 则该多面体的
体积为 （ ）
Ａ． 2
Ｂ． 4
Ｃ． 6
Ｄ． 8
分析： 这个几何体即可以看作两个三棱柱拼合而成的，
也可以看作是从一个正方体割下来的．
那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是
所求几何体的体积为 V= １ ×2３＝４． ２
点评： 割补法是我们解决不规则空间几何体体积的最主
要的技巧， 其基本思想是利用割补将其转化为规则空间几何
体加以解决．
2． 构造法: 在解题时， 我们常常会采用这样的方法， 通过
对条件和结论的分析， 构造辅助元素， 它可以是一个图形、
其外接球的表面积是
．
分析： 将其补成一个正方体．
解析： 这样的三棱锥实际上是正方体被一个平面所截下
三年级下册割补法求算周长和面积
三年级下册数学学习内容中，割补法求算周长和面积是一个重要的知识点。
通过割补法，学生能够更加直观地理解周长和面积的计算方法，并且培养他们的数学思维和逻辑推理能力。
接下来，我们将就割补法求算周长和面积的相关内容展开讨论。
一、割补法的概念割补法是指将一个形状复杂的图形，通过对角线或者横竖线的割补，将其分割成若干简单的图形，再求解每个简单图形的周长和面积，最后将各个部分的周长或面积相加得到最终结果的算法。
这种方法在三年级下册数学教学中被广泛应用。
二、割补法求算周长的步骤1. 将图形进行适当的割补，将其分解成若干简单的图形，比如矩形、三角形、正方形等；2. 计算每个简单图形的周长，根据周长的计算公式进行求解；3. 将每个简单图形的周长相加，即可得到原图形的周长。
举例说明：如图所示，一个不规则的四边形，我们可以通过割补法将其分割成三角形和矩形两个简单的图形。
接下来，分别计算三角形和矩形的周长，再将其相加，即可得到原图形的周长。
三、割补法求算面积的步骤1. 将图形进行适当的割补，将其分解成若干简单的图形，比如矩形、三角形、正方形等；2. 计算每个简单图形的面积，根据面积的计算公式进行求解；3. 将每个简单图形的面积相加，即可得到原图形的面积。
举例说明：如图所示，一个不规则的四边形，我们可以通过割补法将其分割成三角形和矩形两个简单的图形。
接下来，分别计算三角形和矩形的面积，再将其相加，即可得到原图形的面积。
四、割补法在教学中的意义1. 割补法能够帮助学生更直观地理解周长和面积的计算方法，培养他们的数学思维能力；2. 通过割补法，学生能够加深对基本图形的认识，从而拓展他们的数学视野；3. 割补法能够培养学生的逻辑推理能力，提高他们的数学解决问题的能力。
五、割补法课堂教学设计1. 通过图形展示，向学生介绍割补法的基本概念和步骤；2. 以具体的图形为例，讲解割补法求解周长和面积的具体方法；3. 给学生出示一些具体的图形题目，让他们应用割补法进行求解；4. 组织学生进行小组讨论和展示，共享他们使用割补法解题的过程和方法；5. 布置作业，让学生通过割补法进行周长和面积的计算，巩固所学内容。
割补法在解题中的应用
巧用割补，化难为易顾介远割补法就是把图形切开，把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答；割补法是立体几何解题中的常用技巧，巧妙地对几何体进行分割与拼补，能够简化解题过程。
例如：已知正四面体的棱长为2，求其内切球和外接球的表面积与体积。
分析：本题的解题关键是求出正四面体的内切球和外接球的半径，用何种方法，怎样思维就成了解决本题的关键。
由几何图形我们不难看出球和正四面体都是对称的几何体，所以正四面体的外接球、内切球的球心与正四面体的几何中心重合。
将球心与正四面体的四个顶点连线，就可将这个正四面体分割成四个正四棱锥，这四个正四棱锥的底面分别是正四面体的侧面和底面，高是该正四面体的内切球的半径，侧棱为正四面体的外接球的半径，因此它们的体积相等且这四个正四棱锥的体积的和为正四面体的体积，从而我们可以得出结论：正四面体的外接球的半径是它的内切球的半径的3倍，它们的和等于该正四面的高。
令正四面体的高为h ，则h 2=SA 2-(32AE)2 =(2)2-(233)2,所以h=332；故该正四面体的外接球的半径R=43h=23，其表面积为S=3π；其体积为V=23π。
该正四面体的内切球半径r=41h=63，其表面积为s=31π，其体积v=183π。
如果把思维放开，这个正四面体可以看作是一个棱长为1的正方体ABCD-A /B /C /D /，“切去”四个“角”所对应的三棱锥得到正四面体C /-A /BD ，则该四面体与正方体具有公共的外接球，此时外接球的直径等于该正方体的体对角线的长，即2R=3，所以R=23，再根据R ：r=3：1的关系，该四面体的内切球半径r 就很容易求得了。
高中数学学习的本质是提高学习者的思维品质，快快进行“头脑体操”的锻炼吧，它给你带来快乐和成就感一定会超过鸟叔的《江南style 》！。
学生论文割补法运用
割补法解题思想的运用初一（2）班 柯登明数学就像风，无处不有，充塞四虚。
小学老师有向我介绍过割补法和分割法，我对她也十分感兴趣。
割补法和分割法用于几何题之中。
割补法就是把图形切开，把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答；分割法就是同样把图形切开，但是并不移动，使题目便于解答。
其实，在现实生活中，许多东西都是有图案的，一些不规则的图案，就是的我们深思熟虑。
最近又遇到了诸如此类的东西，我也稍有回忆——如果我问你长方形的面积该怎样计算时，恐怕你会很干脆地说出“用‘长方形面积＝长×宽’求出来呀。
”没错，你回答得很好。
好，下面请看这道题：某学校有一个长方形操场，它的长和宽相加的和是200米，现在学校要扩建这个操场，使得它的长和宽都增加20米。
那么，这个操场的面积将会增加多少平方米？初看这道题，你会觉得这道题不太难。
可是，当你提笔解答时，就会感觉有点不对劲：“要求长方形的面积，必须知道它的长和宽是多少，而现在知道的是长与宽的和，这该怎么做呢？”别急，遇到困难时，好好动脑筋想一想，准能想出好办法的。
你学过组合图形面积计算的方法吗？常用的“割、补、拼、凑”的方法你用过吗？那好，请看图1，图中长方形S 表示原操场的面积，S1、S2、S3分别表示增加的三个长方形面积，由图可知增加的面积为S1＋S2＋S3，如果我们用割补的方法把图1变为图 2，这时，你会发现什么呢？原来，增加的面积就是这个新长方形的面积，它的长是200＋20＝220（米），宽是20米，则增加的面积是4400平方米原来，增加的面积的大小与长和宽各是多少无关，而只与长加宽的和有关，这是为什么呢？请爱动脑筋的同学继续往下看。
假设原操场的长为a ，宽为b ，则扩大后操场的长为（a ＋20）米，宽为（b ＋20）米 原面积：S 原＝ab现面积：S 现＝（a ＋20）（b ＋20）增加的面积：图1图2S增＝S现－S原＝（a＋20）（b＋20）－ab＝ab＋20a＋20b＋400－ab＝20（a＋b）＋400＝20×200＋400＝4400（平方米）其实以上这种方法可以理解成“割”、“补”——把增加后的面积看成一个整体，原操场面积就是被割部分，增加的面积就是所求内容；倘若把原操场面积看做一个整体，那么，增加后的面积还可以分为三个整体，就是以上方法。
_割补法_在物理解题中的应用_一道中考题引起的思考
图１
图２
（Ａ）ｐ１＜ｐ２． （Ｂ）ｐ１＝ｐ２． （Ｃ）ｐ１＞ｐ２． （Ｄ）以上三种情况都有可能． 分析：本 题 作 为 中 考 试 卷 选 择 题
型 的 压 轴 题，区 分 度 很 好，具 有 很 强 的
选拔功能．本题 难 点 有：（１）读 题 难，题
目中用文字叙述了圆柱体中挖出一个
在物理教学过程中笔者发 现 多 数 学 生，对 实 验 抱 有 浓 厚的兴趣，希望 自 己 能 掌 握 一 定 的 实 验 操 作 技 能 ，去 探 索 和揭示大自然的 奥 秘，教 师 应 充 分 利 用 这 一 点 ，给 学 生 创 造更多的机会去实践去探究．探 究 实 验 教 学 可 以 在 课 上 进 行，也可以采用 课 外 兴 趣 小 组 的 形 式 开 展 ；可 以 利 用 实 验 室配备的器材，也可以使用日 常 生 活 中 学 生 身 边 的 物 品 进 行实验．例如用 白 纸 做 流 体 压 强 与 流 速 关 系 的 实 验 ，用 可 乐瓶做液体压强与深度关系 的 实 验，用 玻 璃 杯 和 白 纸 做 大 气压强存在的实验，用一头尖 的 铅 笔 做 压 力 效 果 与 受 力 面 积关系的实验，用 鸡 蛋 和 盐 水 做 物 体 浮 沉 实 验 等 等 ．这 些 实验器材学生容 易 得 到，可 使 学 生 明 白 物 理 就 在 身 边 ，物 理与生活联系紧 密、而 且 有 趣，非 常 有 利 于 学 生 学 习 兴 趣
例３．如图１０所示，容器 Ａ 底部
有一个半径略小于 Ｒ 的圆洞，上面 用
一个半 径 为 Ｒ 的 小 球 盖 住，容 器 Ａ
内液体密度为ρ１，容器 Ｂ 内液体密度 为ρ２，两 容 器 内 液 面 相 平 ，液 面 距 容 器 Ａ 底 部 高 为 ｈ．求 小 球 此 时 所 受
文科立体几何中的割补法教学 2019年精选文档
文科立体几何中的“割补法”教学立体几何是高中数学知识体系的重要知识模块之一，它也是历年高考必考的重点内容，且题型、难度与分值比例长期保持相对稳定，主要是集中考查空间位置关系的形化和量化，尤其是文科的教学中更关注空间中平行与垂直的关系。
但在教学实践中，我发现文科学生对垂直的证明，如线线垂直、线面垂直的证明或一些相关的计算题，如一类三棱锥的外接球的表面积、体积的计算往往不尽如人意，常常在这方面失分。
那么，如何更好掌握相关知识呢？结合教学实际，我提倡使用“割补法”，即以正方体或长方体为载体，在其中“裁剪”，找出合适的线线、线面、面面位置关系加以研究。
一、从“形”上割补1.割。
正方体是空间各种位置关系的“集合体”，通常可以通过将不规则或者特殊图形切割，构造为正方体关系，由此将题目难度降低。
例1（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（B）（A）372（B）360（C）292（D）280分析：由三视图可知该几何体是两个叠加的长方体，只需割成两个长方体即可，要注意其长宽高。
．例2（2010福建）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。
过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G。
（2）设AB=2AA1=2a。
在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p。
当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。
分析：第（2）问是借考几何概形来考察几何体的体积，也即P=，而A1ABFE-D1DCGH=VABCD-A1B1C1D1-VBEF-C1HG，即把所求几何体的体积看成长方体的体积割去三棱柱的体积，而该三棱柱是倒放的。
当且仅当时等号成立所以，p的最小值等于2.补。
高考试卷中考查的立体几何图形，大多可以还原为立体几何图形，通过辅助方法，将不熟悉的图形还原为正方体关系，可找出相应题型要求。
浅谈小学数学中的图形割补法
浅谈小学数学中的图形割补法
图形割补法是小学数学教学中一个重要的方法之一，它主要通过将一个几何图形分割
成几个简单的几何图形，然后再将这些简单的几何图形拼接在一起，从而构成原先的几何
图形。
这种方法可以帮助学生更好地理解和认识几何图形的组成和性质。
图形割补法在小学数学教学中的应用非常广泛，可以用于解决各种几何图形的问题。
它既可以用于求几何图形的面积和周长，也可以用于解决一些关于几何图形的位置关系和
分类的问题。
其中最常见的应用是求解几何图形的面积。
图形割补法可以将一个复杂的几何图形割
成若干个简单的几何图形，然后分别求出这些简单图形的面积，最后将它们加起来得到整
个图形的面积。
对于一个复杂的多边形，可以将它割成若干个三角形，并分别求出每个三
角形的面积，然后将这些面积相加，就可以得到整个多边形的面积。
图形割补法在教学中的应用并不仅限于上述情况，还可以根据具体情况进行灵活运用。
在教学实践中，教师可以根据学生的实际情况和不同的教学目标，选择合适的割补方法和
策略，让学生通过割补来解决问题，从而提高他们的几何思维能力和解决问题的能力。
立体几何巧思妙解之割补法
立体几何巧思妙解之割补法在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。
一 、求异面直线所成的角例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）000090604530A B C D分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。
如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。
若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。
巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH ACB S -，1//,EF AA ∴异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。
故选C 。
二、体积问题例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC，10,PA BC PB AC PC AB ======锥子P —ABC 的体积为（ ）。
4080160240A B C D分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。
若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。
巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。
PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩，从而知 416810468101606P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEBV V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。
割补法在解题中的应用
一 ， Ｃ Ｄ ＝ ２ 了，
（ ２
从而 可得Ｂ Ｃ ＋ Ｃ Ｄ： ５ 、 ／ 了 ．
Ｃ
（ ３ ） 把 原 图分 割成Ｒ ｔ ＡＡ Ｄ Ｅ 和Ｒ ｔ ／ ｘ Ｃ Ｆ Ｄ 及矩 形Ｂ Ｃ Ｆ Ｅ ．
在Ｒ ｔ ＡＡＤ Ｅｑ ｂ ， 可 求 出Ａ Ｅ ＝ ４ ， Ｄ Ｅ ＝ ４
Ａ
Ｅ
在Ｒ ｔ ＡＣ Ｆ Ｄ中 ， 易求 ￣Ｃ Ｆ － 、 ／ 了 ， Ｃ Ｄ ＝ ２ 、 ／ 了 ，
， ＇
ＡＥ ： Ｂ— Ｂ Ｅ： ２ Ｘ ／ － ３ － 一 ，
１
（ ２ ）
Ｃ
肋 Ｅ ＇ ｔ ａ ｎ ６ ０ ￣ ＝ Ｖ ｒ ３ － （ ２ 一 吾 ） ＝ ６ 一 — ３ ｘ ／ － Ｙ ．
・
．
．
Ｄ Ｅ － Ｄ 一 ） 一 孚 ２ ．
（ ３ ） 如图 （ ３ ） 若过Ｃ 作Ｃ Ｅ ／ ／ Ａ Ｂ ， Ａ Ｅ ， ／ ／ Ｂ Ｃ ， 把原 图形构造 出矩形Ａ Ｂ Ｃ Ｅ 、
Ｒ ｔ ＡＡ Ｅ 受 Ｒ ｔ ＡＣ Ｄ Ｆ ，
过点ｃ 作Ｃ Ｅ ／ ／ Ｂ Ａ Ｂ 于 过点Ａ 作Ａ Ｅ ／ ／ Ｂ Ｃ ，
则 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｅ 为矩 形 ， 在Ｒ ｔ ＡＡ Ｅ Ｆ ￣Ｒ ｔ ＡＣ ＤＦ 中，
、 ’ ． ‘
Ｅ
／１ ＝ ２ ＝／ ＢＡＤ＝６ ０ 。 ， ＥＦ＝ＣＥ—ｃ 曰一 ＣＤ
ｌ
法 ． ｆ 厶 ＼ ｉ － － ｖ 解题 中的应 用
汀 江苏 吴本环 把不 规则 的几何 图形割补 成特 殊 图形 ，然 后用 这 些特殊 图形 的性 质 和 有关 知识 求解 ， 这 就是 割补 法 ． 其 目的是 为化 不 规则 为规 则 ， 化 繁 为简 ，
例谈“割补法”的应用
- 1 - 例谈“割补法”的应用后宗新（安徽省芜湖县实验学校 241100）利用等效思维将一个物体分成几个部分、或将物体的某个部分进行移动，以及将物体几个部分合成一个整体，这样的方法统称为“割补法”。
具体可分为“割开法”、“移动法”、“补全法”三种。
使用“割补法”，往往能使解题变得简洁方便，请看：例1 如图1所示，质量分布均匀地圆柱体对水平地面地压强为p ，如果沿图中虚线切开，拿走部分Ⅱ或部分Ⅰ，剩下的部分对地面的压强如何变化？解析：在压力和受力面积同时变化且不成比例时，无法确定压强的变化。
【补全法】把Ⅰ补上Ⅲ，使之成为一个新的圆柱体，如图2所示，与原来圆柱体进行比较，由于压力和受力面积成比例减小，所以Ⅰ、Ⅲ组合体的压强不变。
Ⅰ与Ⅰ、Ⅲ组合体比较，受力面积相同，压力小，所以Ⅰ对地面的压强会变小。
【割开法】将Ⅱ分成A 、B 两部分，如图3所示，同理，与原来进行比较，A 对地面的压强不变，Ⅱ与A 比较，受力面积相同，压力大，所以Ⅱ对地面的压强会变大。
例2 如图4，三个完全相同的容器中分别倒入质量相等的水银、水、酒精，则容器底受到的压强是（ ）A ．p A ＞pB ＞pC B ．p A ＜p B ＜p C C ．p A ＝p B ＝p CD ．无法确定解析：液体对容器底部压强与液体的密度、深度有关，此题中三者密度不等，深度也不相同，而且密度大的深度小，无法比较压强的大小。
由于容器的形状不是柱形，压力的大小不等于重力，所以也不能用重力除以底面积来计算。
【移动法】 如图5所示，把容器沿着AC 直线分割成两部分，再把割下的部分ACE 移动到FDB ，此时成了一个圆柱形的容器，变化前后液体对容器底部的压强相等，即p 前＝p 后＝F/S ＝G/S ，而装的液体密度越小，体积越大，深度越大，移动后形成的柱形容器的底面积就越大。
三种液体的质量相等，重力相等，所以密度小的压强小。
正确答案选择A 。
结论：如此形状的容器，在质量一定的情况下，所盛液体密度越小（体积越大），对底部的压强越小。
割补法求体积的灵活运用
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割补法求体积的灵活运用
作者：梁爽
来源：《成才之路》2013年第13期
体积在立体几何教学中占有一定的地位。
对于不规则的几何体，我们如何去求呢？其实，不规则的几何体，皆可以采用割补法，分割成一些简单的规则的几何体，然后再用熟悉的方法去解决。
割补思想，是高中数学立体几何中重要的解题思想方法。
通过割补，可以将一些复杂的问题简单化。
解题时，要让学生注重一题多解，注重方法的灵活运用。
割补法，在求几何体的体积的题型中非常常见。
一般来说，“割”是把柱体割成锥体，“补”是把锥体补成柱体。
比如多面体可以割成柱体和锥体，锥体可以补成柱体。
三棱锥和平行六面体，则可以用转换底面积法求体积。
解题时，要让学生注意已知条件的灵活运用。
这样，可以培养学生空间想象能力，提高学生综合素质。
巧用割补的数学思维解题
1+2+3+…+62=1953<2008<1+2+…+62+63=2016，说明前62行共有1953个真分数；从而第2008个真分数应该是第63行的第55个数，其分母是64，分子是55，即第2008个真分数是 。
方法总结：根据数量关系恰当进行分组，找出其规律，这是解决本题的关键，也是这类题型解法的精髓。
例1：“幸福”商店开张，为吸引顾客，进行如下的优惠活动：凡在本商店购买汽水，可用3只空瓶换1瓶汽水。甲、乙、丙三人共买10瓶汽水，他们喝完后，最后不剩空瓶，平均每人喝几瓶汽水。
思路分析：每次用3个空瓶换1瓶汽水，则非常麻烦，难得到答案，用分组法，问题就迎刃而解。
解：因为3只空瓶换1瓶汽水，所以2瓶汽水就能喝到2瓶汽水， 10瓶汽水能喝15瓶汽水，平均每水喝3瓶汽水。
方法总结：根据题意巧妙进行分组，寻找规律，是解决本题的关键，也是这类题型解法的精髓。
二、面积中的割补
面积中使用割补思维，它通常包含两种解题方法：割形法、补形法。
例2：在动画片蓝猫淘气三千问中，蓝猫问了小灰熊一个有趣的问题：如图，每个小正方形边长为单位1，求图中四边形ABCD的面积，你能帮小灰熊解决这个问题吗？
解：能
如图C（－2，0），B（0，1）,联立一次函数y=x+2,y=2x+1得方程组
解方程组得：
∴A（1,3），BD＝1
∴S△ABC＝S△BDC＋S△ADB＝ ＋ ＝1.5
方法总结：在直角体系中求三角形的面积，一般选用坐标轴上线段为底，再结合割补思维，就出奇制胜，简化计算!
三、计算中的割补
例6：计算：
例12：有这样一个正方形，面积为18.75平方厘米，在正方形内有两条平行于对角线的线段把正方形的面积三等分，求这两条平行线段的长。
七年级下册割补法
七年级下册割补法一、割补法的概念。
1. 定义。
- 割补法是数学中一种重要的几何解题方法。
它的基本思想是通过将一个复杂的几何图形分割成几个简单的图形（割），或者将几个简单的图形拼接成一个复杂的图形（补），从而使问题变得更容易求解。
例如，在计算一些不规则多边形的面积时，我们可以把这个不规则多边形割成三角形、矩形等我们熟悉的图形，分别计算它们的面积后再求和；或者把这个不规则多边形补成一个规则的图形，如把一个缺角的矩形补成完整的矩形，用补成后的图形面积减去补上部分的面积得到原图形的面积。
二、割补法在七年级下册人教版中的应用。
1. 三角形相关问题。
- 求三角形面积的拓展。
- 在人教版七年级下册中，当遇到一些三角形的高不容易直接求出时，我们可以使用割补法。
例如，有一个钝角三角形，它的钝角所对的边为底边，从这个钝角顶点向底边作高可能比较困难。
我们可以通过把这个钝角三角形补成一个平行四边形或者矩形（如果是直角三角形就补成矩形）。
假设三角形ABC是钝角三角形，∠A是钝角，延长BA到D，使AD = AC，过D作DE∥BC交AC的延长线于E，这样四边形BCED 就是平行四边形。
三角形ABC的面积就是平行四边形BCED面积的一半。
- 三角形全等中的应用。
- 在证明三角形全等时，有时候也会用到割补法。
比如有两个三角形，其中一个三角形的一部分形状和另一个三角形的一部分形状相似，但不完全相同。
我们可以通过割补的方式，将其中一个三角形的部分进行割下并补到合适的位置，使其与另一个三角形的对应部分能够更好地进行比较。
例如，有三角形ABC和三角形DEF，在三角形ABC中，∠A的角平分线AD将三角形ABC分成了两个三角形ABD和ACD。
如果要证明三角形ABC和三角形DEF全等，而三角形DEF中有类似的角平分线分割的情况，我们可以把三角形ABD割下，以AD为轴进行翻转后再补到三角形ACD的一侧，这样就可以更好地与三角形DEF进行对比，找出全等的条件。
浅谈小学数学中的图形割补法
浅谈小学数学中的图形割补法数学在小学阶段是一个非常重要的学科，其中图形的学习更是数学教育的基础。
在小学数学中，学生不仅需要学会认识各种图形，还需要学会利用图形进行推理和运用。
图形的割补法是解决图形问题时的重要方法之一。
本文将就小学数学中的图形割补法进行详细介绍和讨论。
一、图形割补法的概念图形割补法是指在解决图形问题时，将一个复杂的图形分割成若干个简单的部分，然后再进行分别考虑，最后将各个部分的结果综合起来，得到最终的解决方法。
通过割补法，我们可以将原本复杂的问题简化成几个简单的步骤，便于学生理解和掌握。
在实际的教学中，割补法通常用于解决图形的面积、周长、角度等相关问题。
通过将复杂的图形分割成简单的几何形状，可以更直观地进行计算和推理，使学生更加容易掌握和运用图形的知识。
1. 面积计算在小学数学中，学生需要学会计算各种图形的面积，如矩形、三角形、正方形等。
当遇到复杂的图形时，可以利用割补法将其分割成简单的图形，然后分别计算每个部分的面积，最后进行综合得到整个图形的面积。
对于一个不规则的四边形，可以将其割补成两个三角形和一个矩形，然后分别计算三个部分的面积，最后相加得到整个四边形的面积。
2. 周长计算3. 角度计算通过上述的例子，可以看出图形割补法在小学数学中的广泛应用，可以帮助学生更加直观地理解和掌握图形知识，提高他们的解决问题的能力和技巧。
在教学实践中，老师可以采取一些策略来帮助学生更好地掌握图形割补法。
以下是一些教学策略的建议：1. 引导学生观察和分析在引入图形割补法时，老师可以通过引导学生观察和分析复杂图形的结构和特点，然后逐步引导学生将其分割成简单的部分。
通过引导学生自主观察和分析，可以提高他们的问题解决能力和思维能力。
2. 案例分析和实例讲解老师可以通过一些具体的案例和实例来讲解图形割补法的应用。
通过具体的案例分析，可以帮助学生更清晰地理解图形割补法的原理和方法，提高他们的学习兴趣和积极性。
割补法勾股定理
割补法勾股定理
割补法勾股定理
定理用途，已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。
利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。
勾股定理的意义：
1、勾股定理的证明是论证几何的发端；
2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；
3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；
4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。
七年级四边形平移割补法
七年级四边形平移割补法
割补法是将图拼成正则图，使问题容易解决。
割补法是将图分割成若干正则图，使问题易于求解。
在研究平面图形的面积时，我们经常使用切补法。
中国古代数学著作中将这种割补法称为进出补法（又称补虚补余法）。
推导几何图形的面积或体积是中国数学的基本原理。
由三国时期魏国数学家刘徽首创。
XXX称其为以余补虚，即以余补虚，是平均量思想的几何体现。
进出互补的原则如下：
一个几何图形可以切割成任意数量的任意形状的小图形，总面积或体积不变所有小图形的面积或体积之和。
几何图形可以任意旋转、倒置、移动、复制，其面积或体积保持不变。
多个几何图形可任意组合，总面积或总体积不变。
几何图形与其重复图形组合，总面积或体积加倍。
进出互补的本质是等积变换。
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这样更符合近几年高考趋势.
具体如下：一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的 体积.
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专题总结
立体几何中割补思想的运用常见的方法有三种：补形法、分
割法、补形与分割相结合.三种方法共同之处都是将复杂的、不规
则的、不易认识的几何体，通过“分割”或者“补形”转化为简
单的、规则的、易于计算体积的几何体.
ABCD AEC F 是正方体
图5-14
Байду номын сангаас
S AC E S AC F
D' E A' F B' D A B C C'
BB 1，DD 3
BF DE 1
所以所求几何体的体积为
V VABCD AEC F VF ABC VD AC E
补形法中将原图形补成一个新的几何体体现了构造的方法， 需要对常见的几何体模型有深刻的认识.分割法中可以从几何体的 外部或者内部进行分割，再利用部分与整体的关系来解决问题.近 几年的高考中割补法的题目常以三视图的形式呈现，一般要根据 三视图先画出直观图，再利用割补法求解.
同学们，再见！
是一个正方体的体积.
解析
在 DD 上截取 DE AA CC ,延长 BB 至 F使 BB CC .
D' E A' F B' D A B C C'
AA 底面ABC， AA//BB//CC//DD
四边形 ABCD 为正方形,且
AB AA CC 2
立体几何中的割补思想的运用
• 第四课：割补法的灵活运用 • 与专题总结
立体几何中运用割补思想在求不规则的几何体的体积 时，有些题目采用“补形法”比较容易；有些题目采用 “分割法”更为恰当；还有些题目既能采用“补形法”解 决，也能采用“分割法”解决；还有些题目既要采用“补 形法”，同时采用“分割法”才易解决.
例5
如图5-9， AA 底面ABC ， AB 3，BC 4，AC 5 ，
AA 6，BB 2，CC 4 ，且 AA//BB//CC ，求几何体
ABC -ABC 的体积.
A' C'
A
B' B
C
图5-9
分析 本题所给几何体不是一个规则的几何体，可以看成一个直 三棱柱被一个平面所截而成的.根据题目特点我们既可以选择 “补形法”补成直三棱柱，计算出直三棱柱的体积，再利用直 三棱柱和已知几何体的关系求解，如图5-10所示. 也可以采用“分割法”，把所给几何体分割成直三 棱柱和四棱锥，如图5-11所示来解决 .
体 ABCD AEC F . 新几何体由一个正方体和一个三棱锥组成.新几何体
D' E F B' D A B C C'
与原几何体相比，多了一个三棱锥 F ABC ，
容易得三棱锥 D AC E 与三棱锥 F ABC 体积相等，这样本题所给几何体的体积就
A'
图5-14
D A' E C' F
A' C' D E B' B C
A
B' B
C
A
图5-10
图5-11
解法一 补上一个相同的几何体如图5-10所示， 则新几何体的体积等于两个原几何体的体积.即 V 新 =2V原
AA//BB//CC ， 因为 AA 底面ABC ，
D A' E C' F
所以新几何体 ABC DEF 为直三棱柱，
AA 底面ABC
AA 底面DBE AA BF
又 AA DE D
A' C' D A B' B F E C
BF 平面DEC A
1 1 1 V B DEC A = SDEC A BF ( AD C E ) DE BF 12 3 3 2
图5-12
所以所求几何体的体积为 V B DEC A V
ABC DBE
24
小结：本题解法一采取的解题方法为补形法，解法二采取的 解题方法为分割法.两种方法都比较自然，由于题目所给条件， 本题采用解法一较为简捷.
例6
AA//BB//CC//DD , AA 底面ABC， 如图5-13，
AA 6，BB 2，CC 4
所以新几何体底面的高AD 8
A
B' B
C
AB 3，BC 4，AC 5
图5-10
AB 2 BC 2 AC 2
1 V 新 =SABC AD AB BC AD 48 2
D F E C'
ABC 90
1 1 AB 3 S AC E DE S AC F BF AB 3 8 3 3
图5-14
小结：本题灵活运用“割补思想”采用“补形法”与“分
割法”相结合的解题策略，化难为易.近几年高考中求几何
体体积经常以三视图的形式呈现，这样既考察三视图，又
考察空间几何体的体积计算.本题可以用三视图的形式呈现，
ABC DBE 为直三棱柱
AB 3，BC 4，AC 5
AB 2 BC 2 AC 2
ABC 90
1 V ABC DBE =SABC AD AB BC AD 12 2
图5-11
过点 B 作 BF DE于F ，如图5-12所示.
所以原几何体的体积为24 .
A'
A
B' B
C
图5-10
解法二
在 AA 上取一点 D 使 AD BB 2 ，在 CC 上取
一点 E 使 CE BB 2 ,连结 DB，BE，DE ，如图5-11所示，
AA 底面ABC，AA//BB//CC
A' C' D A B' B E C
四边形 ABCD 为正方形, AB AA CC 2，
BB 1，DD 3 ，求几何体 ABCD-ABC D 的体积.
D' C' A'
B' D A B C
图5-13
分析
本题所给几何体可以看成用一个平面截长方体而成.
由于 AA CC 因此可以考虑补成如图5-14所示的一个正方