1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
教学设计4：1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．2.过程与方法目标：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．(三)教学过程一.复习引入我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p，如何得到命题p的否定（或非p），它们的真假性之间有何联系？二.思考分析观察下列命题：(1)被7整除的整数是奇数；(2)有的函数是偶函数；(3)至少有一个三角形没有外接圆．问题1：命题(1)的否定是“被7整除的整数不是奇数”，对吗？提示：不对．这是一个省略了量词“所有的”的全称量词命题．它的否定为：被7整除的整数不都是奇数，即存在一个被7整除的整数不是奇数．问题2：命题(2)的否定是“有的函数不是偶函数”，对吗？提示：不对．应为：不存在函数是偶函数，即每一个函数都不是偶函数．问题3：判断命题(3)的否定的真假．提示：命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．三.例题分析及练习[例1]判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．[思路点拨]先判断命题的真假，再写出命题的否定．【解】(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数．[感悟体会](1)全称量词命题的否定为存在量词命题．p：∀x∈M，p(x)成立⇒￢p：∃x0∈M，￢p(x0)成立．(2)命题p的否定为“非p”，二者真假性相反．当一个命题的真假不易判断时，可以通过“非p”的真假判断．训练题组11．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．【解析】“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，有￢p(x0)”．∴其否定为∃x0∈R,3x20－2x0＋1≤0.【答案】∃x0∈R,3x20－2x0＋1≤02．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何一个素数是奇数．(2)所有的矩形都是平行四边形．(3)∀a，b∈R，a2＋b2>0.(4)被5整除的整数，末位数字是0.【解】(1)是全称量词命题，其否定为存在一个素数，它不是奇数．因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．(2)是全称量词命题，其否定为存在一个矩形，它不是平行四边形．它是假命题．(3)是全称量词命题，其否定为∃a，b∈R，a2＋b2≤0.它是真命题．(4)是全称量词命题，其否定为存在被5整除的整数，末位不是0.因为15能被5整除，其末位为5，所以是真命题．[例2]写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1<0；(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.[思路点拨]写命题的否定时注意更换量词并否定结论．【解】(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“不存在x0∈R，使x20＋1<0”，即“∀x∈R，x2＋1≥0”．x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．(4)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．[感悟体会](1)存在量词命题的否定是全称量词命题，存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为对M 中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是“∀x∈M，￢p(x)”．(2)要证明存在量词命题是真命题，只需要找到使p(x0)成立的条件即可．训练题组23．命题“∃x0∈R，x30－x20＋1>0”的否定是()A．∀x∈R，x3－x2＋1<0B．∃x0∈R，x30－x20＋1≤0C．∃x0∈R，x30－x20＋1<0D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，x3－x2＋1>0的否定是x3－x2＋1≤0，故D正确．【答案】D4．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∃x 0＞1，使x 20－2x 0－3＝0；(2)p ：若a n ＝－2n ＋10，则∃n 0∈N *，Sn 0＜0； (3)p ：∃x 0∈R ，x 0＞2； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20＜0.【解】(1)￢p ：∀x ＞1，x 2－2x －3≠0.(假) (2)￢p ：若a n ＝－2n ＋10，则∀n ∈N *，S n ≥0.(假) (3)￢p ：∀x ∈R ，有x ≤2.(假) (4)￢p ：∀x ∈R ，x 2≥0.(真)[例3] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 因为此命题是全称量词命题，所以应满足在所给条件下恒成立．令f (x )＝x 2－2ax ＋2，只需当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ≥a 成立，可以利用一元二次不等式与一元二次函数的关系解题．【解】法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)．令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，可转化为∀x ∈ [－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立．又f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，（1＋a ）2＋2－a 2，a <－1.因为f (x )的最小值f (x )min ≥a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1，2－a 2≥a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，（1＋a ）2＋2－a 2≥a⇒－1≤a ≤1或－3≤a <－1，得a ∈[－3,1]．法二：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0. 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称量词命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥0成立． 所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－42－a >0，a <－1，f （－1）≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2. 所以－3≤a ≤1.综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．[感悟体会] 全称量词命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某些性质，因此属于恒成立问题，而恒成立问题往往借助于函数思想或数形结合思想最终归结到函数的最值问题上． 训练题组35．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－2,2)【解析】ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即不等式ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1对∀x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋(a －1)≥0.当a ＋2＝0时，不符合题意．故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，Δ≤0，解得a ≥2. 【答案】B6．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0. 当a >0时，需满足Δ＝4－4a 2>0，得－1<a <1， 故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)． 【答案】(－∞，1) 四.课堂小结与归纳1．一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．3．常用词语的否定如下表：五.1．已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ≤1，则( )A ．￢p ：∃x 0∈R ，cos x 0≥1B ．￢p ：∀x ∈R ，cos x ≥1C ．￢p ：∃x 0∈R ，cos x 0>1D ．￢p ：∀x ∈R ，cos x >1【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，∴∀x∈R，cos x≤1的否定为：∃x0∈R，cos x0>1.【答案】C2．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数【解析】只有当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，故A正确，C、D不正确；又二次函数不可能为奇函数，故B不正确．【答案】A3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)【解析】由题意知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．【答案】C4．已知命题p：对∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2x m＋1＝0.若命题￢p是假命题，则实数m的取值范围是()A．[－2,2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)【解析】因为￢p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．由4x＋2x m＋1＝0，得－m＝4x＋12x＝2x＋12x≥2.∴m≤－2.【答案】C5．命题“∀x∈R，x2－x＋4>0”的否定是________．【解析】“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，￢p(x0)”，∴其否定为：∃x0∈R，x20－x0＋4≤0.【答案】∃x0∈R，x20－x0＋4≤06．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．【解析】命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称量词命题，其否定为存在量词命题“有的向量与零向量不共线”．【答案】有的向量与零向量不共线7．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．(3)有些四边形存在外接圆．(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．【解】(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【解】对于命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0恒成立，即a≤1；对于命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0成立，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1.若p且q为真，则a≤－2或a＝1.故a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．。
人教B版必修第一册1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定学案
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定学习目标1.能正确写出一个命题的否定,并判断其真假.理解含有一个量词的命题的否定的意义.会对含有一个量词的命题进行否定.通过对命题的否定的认识,提升数学抽象的核心素养.2.掌握全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.通过对含有一个量词的命题的否定的理解,提升逻辑推理的核心素养.1.命题的否定一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“﹁p”,读作“非p”或“p的否定”.思考1:一个命题与其否定命题之间的真假关系如何?答案:一个命题与其否定命题之间的真假关系是一真一假.思考2:命题“若p,则q”的否定是什么?答案:“若p,则q”的否定是“若p,则﹁q”.2.存在量词命题的否定3.全称量词命题的否定(1)“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析①一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.②与一般命题的否定相同,对含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.(2)对全称量词命题的否定以及特点的理解①全称量词命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题,将全称量词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,不能认为对全称量词命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.②对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定.(3)对存在量词命题的否定以及特点的理解由于全称量词命题的否定是存在量词命题,而命题p与﹁p互为否定,所以存在量词命题的否定就是全称量词命题.(4)常见词语的否定如表所示:全称量词命题的否定与其真假判断[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)∀x ∈R,x 2-x+14≥0; (2)所有的正方形都是菱形;(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.解:(1)该命题的否定:∃x ∈R,x 2-x+14<0.由于x 2-x+14=(x-12)2≥0,所以为假命题.(2)该命题的否定:存在一个正方形不是菱形.假命题.(3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.假命题.全称量词命题的否定形式与判断真假的方法(1)全称量词命题的形式是“∀x ∈M,p(x)”,其否定形式应该是既对全称量词否定,又对命题p(x)进行否定,即“∃x ∈M,﹁p(x)”,所以全称量词命题的否定是存在量词命题.(2)若全称量词命题为真命题,其否定命题就是假命题;若全称量词命题为假命题,其否定命题就是真命题.(3)由于有些全称量词命题省略了全称量词,要注意先改写后,再进行否定,如本题(3)中省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”.针对训练:写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)p:对所有正数x,√x>x+1;(2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数;(3)r:所有能被5整除的整数都是奇数;(4)s:任意两个等边三角形都相似.解:(1)﹁p:存在正数x,√x≤x+1.例如当x=1时,√x<x+1,所以﹁p是真命题.(2)﹁q:存在一个实数除以1,不等于这个数.由q是真命题可知﹁q是假命题.(3)﹁r:存在一个能被5整除的整数不是奇数.例如10是能被5整除的整数,且不是奇数,所以﹁r是真命题.(4)﹁s:存在两个等边三角形,它们不相似.由s是真命题可知﹁s是假命题.[备用例1] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)所有的正比例函数都是一次函数;(2)每个二次函数的图像都开口向下.解:(1)存在一个正比例函数不是一次函数,为假命题.(2)存在一个二次函数的图像开口不向下,为真命题.存在量词命题的否定与其真假判断[例2] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)四边形的对角线不都互相垂直;(2)有一个点(x,y),满足y=2x+1.解:(1)命题的否定:任意四边形的对角线都互相垂直,是假命题. (2)命题的否定:对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1,是假命题.存在量词命题的否定形式与判断真假的方法(1)存在量词命题的形式是“∃x∈M,q(x)”,其否定形式是对存在量词进行否定,变为全称量词,再对命题q(x)进行否定,即“∀x∈M,﹁q(x)”,所以存在量词命题的否定是全称量词命题.(2)存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题的相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.针对训练:写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)∃x∈R,x+2≤0;(2)有一个偶数是素数.解:(1)该命题的否定:∀x∈R,x+2>0,为假命题.(2)该命题的否定:任意一个偶数都不是素数,为假命题.[备用例2] 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定.(1)平行四边形的对角线互相平分;(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)一元二次方程不总有实数根.解:(1)任意一个平行四边形的对角线都互相平分.命题的否定为存在一个平行四边形,其对角线不互相平分.(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数.命题的否定为存在三个连续整数的乘积不是6的倍数.(3)存在三角形不是中心对称图形.命题的否定为任意三角形都是中心对称图形.(4)存在一元二次方程没有实数根.命题的否定为任意一元二次方程总有实数根.求含量词的命题参数的取值范围[例3] (1)若命题“∀x ∈[-178,+∞),a-x-2≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是( )A.(18,+∞) B .[18,+∞) C.(-∞,-18] D.(-∞,-18) (2)若命题“∃x ∈[1,5],x 2-5a>0”为假命题,则a 的取值范围是. 解析:(1)因为命题“∀x ∈[-178,+∞),a-x-2≤0”是真命题,则a ≤x+2在x ∈[-178,+∞)上恒成立,则a ≤-178+2,即a ≤-18.故选C. (2)因为命题“∃x ∈[1,5],x 2-5a>0”为假命题,所以命题“∀x ∈[1,5],x 2-5a ≤0”为真命题,即∀x ∈[1,5],5a ≥x 2恒成立,由于y=x 2(x ∈[1,5])的最大值为25,所以5a ≥25,即a ≥5.答案:(1)C (2)[5,+∞)由于全称量词命题的否定是存在量词命题,并且原命题与其否定形式真假相对,因此涉及存在量词命题为假命题时,常转化为全称量词命题为真命题后求解.针对训练:若命题“∃x<2 019,x>a”是假命题,则实数a的取值范围是.解析:由于命题“∃x<2 019,x>a”是假命题,则其否定“∀x<2 019,x ≤a”是真命题,所以a≥2 019.答案:[2 019,+∞)易错辨析——忽视否定的对象以及否定词而致误<0,则﹁p:.[典例] 若命题p:∀x∈R,2x-3错解:命题p是一个全称量词命题,它的否定是存在量词命题.﹁p:∃x ≥0.∈R,2x-3纠错:对于全称量词命题的否定不但要转换量词,而且还要否定结论,本题中的结论2<0本身隐含x-3≠0,因此在否定时还要写上x-3=0.x-3≥0或x=3.正解:∃x∈R,2x-3≥0或x=3答案:∃x∈R,2x-31.下列说法中正确的有( C )(1)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的;(2)全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题;(3)命题﹁p的否定是p;(4)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,﹁p(x)的真假性相反.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:只有(2),(3),(4)正确.故选C.2.命题“∀x∈{x|x≥0},x2+x≥0”的否定是( C )A.∀x∈{x|x≥0},x2+x<0B.∃x∈{x|x<0},x2+x<0C.∃x∈{x|x≥0},x2+x<0D.∃x∈{x|x≥0},x2+x≥0解析:命题“∀x∈{x|x≥0},x2+x≥0”为全称量词命题,则命题的否定为∃x∈{x|x≥0},x2+x<0.故选C.3.命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( A )A.存在一个四边形,它的四个顶点不共圆B.存在一个四边形,它的四个顶点共圆C.所有四边形的四个顶点共圆D.所有四边形的四个顶点都不共圆解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题,得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形,它的四个顶点不共圆”.故选A.4.命题“正多边形的内角都相等”的否定是.答案:有的正多边形内角不相等。
1.2.2 高中必修一数学教案《全称量词命题与存在量词命题的否定》
高中必修一数学教案《全称量词命题与存在量词命题的否定》教材分析本节课是高中数学人教版B版必修一第一章1.2.2《全称量词命题与存在量词命题的否定》一节，是在前面已经学习了全称量词与存在量词的基础上，对命题的否定的再认识。
同时，学好本节课也使学生对否命题与命题的否定能够进行区分，灵活运用自然语言和符号语言表达含有量词命题的否定，达到学以致用的目的。
学情分析学生仍然处于从初中相对具体的数学内容到高中相对抽象的数学知识的过渡阶段，因此在教学中，教师要充分考虑到学生的接受水平与课堂的活跃程度，适当放慢教学进度，增加具体实例的分析与解读，并且在提问时注意方式方法，尽量调动学生的积极性，踊跃参与课堂发言，同时也要做好无人敢答的心理准备，做好心理预期以及相应的内容备案。
教学目标1、能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定，能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。
2、体会由特殊到一般的推理方法，理解类比的数学方法。
3、树立正确的是非判断标准，培养敢于否定的精神，强化创新意识。
教学重点了解命题的否定的含义，理解全称量词命题与存在量词命题的否定形式。
教学难点得出命题的否定。
教学方法讲授法，讨论法，练习法教学过程一、情境导学“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词。
2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要。
一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。
”综合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思。
本小节我们要学习的是与命题的否定有关的知识。
二、学习新知1、命题的否定一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“┐p”，读作“非p”或“p的否定”。
2、真假命题如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然。
【同步提升】1 .2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(分层练习,含解析)
1.2.1 命题与量词1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定夯实基础1．下列命题中全称量词命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.①②是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C.2．命题“存在实数x ，使x>1”的否定是( )A ．对任意实数x ，都有x>1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1解析：选C.命题“存在实数x ，使x>1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．3．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m≤0成立”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m>0B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m>0C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m≤0D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m>0解析：特称命题的否定是全称命题．4．对给出的下列命题：①∀x ∈R ，－x 2<0；②∃x ∈Q ，x 2＝5；③∃x ∈R ，x 2－x －1＝0；④若p ：∀x ∈N ，x 2≥1，则¬p：∃x ∈N ，x 2<1.其中是真命题的是( )解析：①中，当x ＝0时，－x 2＝0；②中，x 2＝5，x ＝±5，±5是无理数；③中，∃x ＝1±52，使得x2－x－1＝0；④中，全称命题的否定是特称命题，故③④是真命题．5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q解析：选B.因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确．6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________________________________________________________________________．解析：存在量词命题“存在集合M中的一个元素x，使s(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”．答案：∃x<0，(1＋x)(1－9x)2＞07．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝08．下列命题：①存在x<0，x2－2x－3＝0；②对于一切实数x<0，都有|x|>x；③∀x∈R，x2＝x；④已知a n＝2n，b m＝3m，对于任意n，m∈N*，a n≠b m.其中，所有真命题的序号为________．解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③x2＝|x|，故③为假命题；④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题．答案：①②9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x －3≤x”是假命题．(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x，因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R，使x＋1≠2x”是真命题．(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．能力提升11．下列命题为真命题的是( )A．对每一个无理数x，x2也是无理数B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数解析：选C.若x＝2，则x2＝2是有理数，故A错误；B，因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误；因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C 正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C.12．下列命题中正确的是________(填序号)．①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是质数；③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数．解析：①∃x ∈R ，x ≤0，正确；②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是质数，正确，例如1；③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数，正确，例如x ＝π.综上可得，①②③都正确．答案：①②③13．银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 的范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m>0”是真命题，求m 的范围．你认为，两位同学题中m 的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一个)解析：因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m>0”，而命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m 的范围是一致的．答案：是14．若x ∈[－2,2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．解析：设f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2,2]时，[f(x)]min ≥0即可．①当－a 2<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，f(x)min ＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤73，又a>4，所以a 不存在．②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a≤4时， f(x)min ＝f(－a 2)＝12－4a －a 24≥0，解得－6≤a≤2. 又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.③当－a 2>2，即a<－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，f(x)min ＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7， 又a<－4，所以－7≤a<－4.综上所述，a 的取值范围是{a|－7≤a≤2}．学科素养15．命题“（a＋b）2|1＋b|＝a＋b1＋b”是全称量词命题吗？如果是全称量词命题，请给予证明；如果不是全称量词命题，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题．解：不是全称量词命题，增加条件“对∀a，b∈R，且满足1＋b>0，a＋b≥0”，得到命题是全称量词命题．。
【同步课堂】1 .2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(同步学案,含解析)
1.2.1 命题与量词1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定1. 课标要求2. 自主预习预习教材P22－P29，思考以下问题：1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？4．全称量词命题“∀x∈M，r(x)”的否定是什么？5．存在量词命题“∃x∈M，s(x)”的否定是什么？3. 基础知识1. 全称量词和存在量词（1）全称量词命题与存在量词命题的辨析例1.判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题．(1)所有不等式的解集A，都满足A⊆R；(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(3)对任意a，b∈R，若a>b，则1a<1 b；(4)自然数的平方是正数．【解】因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(3)(4)都是全称量词命题；(2)含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题．练习1．给出下列命题：①存在实数x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C.（2）全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2. 判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3＜1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.【解】(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．练习2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A．∀x∈R，2x＋1>0B．若2x为偶数，则∀x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数解析：选C.对A，是全称量词命题，但不是真命题；故A不正确；对B，是假命题，也不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．故选C.（3）全称量词命题与存在量词命题的否定例3. 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：所有的方程都有实数解；(2)q：∀x∈R，4x2－4x＋1≥0；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：某些平行四边形是菱形．【解】(1) ¬p：存在一个方程没有实数解，真命题．比如方程x2＋1＝0就没有实数解．(2) ¬q：∃x∈R，4x2－4x＋1<0，假命题．由于∀x∈R，4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，所以¬q是假命题．(3) ¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．(4) ¬s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题．练习3. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B.量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.5. 自我检测1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x＞2答案：B2．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是( ) A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3答案：C3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”的否定是( )A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0B．存在x∉R，x3－x2＋2≥0C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0D．存在x∈R，x3－x2＋2<0解析：选C.命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”是全称量词命题，否定时将量词“对任意的x∈R”变为“存在x∈R”，再将<变为≥即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.4．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．解：(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2， 2 就不能用正有理数表示．(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．。
《 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》教学设计教学反思-2023-2024学年高中数学人
《1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解全称量词命题和存在量词命题的否定概念；2. 掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式的表达方式；3. 培养逻辑推理和问题解决的能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式；2. 教学难点：在实际问题中灵活运用否定概念进行推理。
三、教学准备：1. 准备教学PPT，包含图片、案例和相关概念的解释；2. 准备练习题，供学生课堂练习；3. 准备实物或模型（如果有的话），帮助学生理解抽象概念。
四、教学过程：1. 引入(1)回顾全称量词命题与存在量词命题的概念。
(2)通过实例让学生感受否定命题的含义和作用。
(3)讲解本节课的目的和要求，让学生明确学习目标。
2. 讲授新课(1)举例说明全称量词命题与存在量词命题的否定形式。
(2)通过具体的例子，让学生掌握否定命题的书写格式。
(3)引导学生自己举出一些全称量词命题和存在量词命题的例子，并给出它们的否定形式。
(4)强调否定命题的书写规范和注意事项。
3. 实践操作(1)给学生一些练习题，让他们自己动手书写否定命题的答案。
(2)教师对典型错误进行讲解，强调易错点。
(3)鼓励学生相互讨论，交流自己的解题心得。
4. 课堂小结(1)让学生自己总结本节课的主要内容，包括全称量词命题、存在量词命题和否定命题的书写格式、注意事项等。
(2)教师对学生的总结进行补充和完善。
5. 布置作业(1)给学生布置一些与本节课内容相关的练习题，让他们巩固所学知识。
(2)鼓励学生通过查阅资料或相互讨论，解决作业中遇到的问题。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解全称量词命题和存在量词命题的否定概念。
2. 掌握否定命题的逻辑性质，理解否定命题与原命题之间的差异。
3. 培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解否定命题的逻辑性质，掌握否定命题的表示方法。
全称量词命题与存在量词命题的否定
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“至多有一个”的否定为___至__少__有__两__个________．
(2) 已 知 命 题 p ： ∀ x∈[2 ， ＋ ∞ ) ， x2≥4 ， 则 它 的 否 定 是 _∃_x_∈__[_2_，__＋__∞__)_，__x_2<_4________.
(3)∃x∈R，|x＋1|≤1.
[解] (1)命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假 命题，如5是奇数，但5不能被3整除．
(2)命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命 题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.
(3) 命 题 的 否 定 为 “ ∀ x∈R ， |x ＋ 1|>1” ． 这 个 命 题 为 假 命 题 ， 如 x ＝ 0
[跟踪训练 2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)∃x∈R，x2＋x＋14<0； (3)至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.
解 (1)命题的否定为“所有实数的绝对值都不是正数”．这个命题是
假命题，如 2 的绝对值是正数．
(2)命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋14≥0”．
这个命题是真命题，因为当 x∈R 时，x2＋x＋14＝x＋122≥0. (3)命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为 x＝
1．对存在量词命题的否定及其特点的理解 存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定 时既要改变存在量词，又要否定结论，所以找出存在量词，明确命题所提 供的结论是对存在量词命题否定的关键． 2．对全称量词命题的否定及其特点的理解 (1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否 定时既要改变全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所 提供的结论是对全称量词命题否定的关键． (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般先改写为含有全 称量词的命题，再写出命题的否定．
教学设计2：1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定教学目标1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称量词命题和存在量词命题否定的方法．知识梳理知识点一全称量词命题的否定要说明一个全称量词命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称量词命题的否定是正确的．全称量词命题的否定是存在量词命题．一般地，全称量词命题“所有的x∈A，使p(x)成立”的否定为存在量词命题“存在x∈A，使p(x)不成立”．知识点二存在量词命题的否定要说明一个存在量词命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个存在量词命题的否定是正确的．存在量词命题的否定是全称量词命题．一般地，存在量词命题“存在x∈A，使p(x)成立”的否定为全称量词命题“所有的x∈A，使p(x)不成立”．题型探究题型一全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任意n∈Z，则n∈Q；(2)等圆的面积相等，周长相等；(3)偶数的平方是正数．解(1)存在n∈Z，使n∉Q，这是假命题．(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．反思感悟 1.写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．2．有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．跟踪训练1写出下列全称量词命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.解(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)存在x ∈Z ，x 2的个位数字等于3.题型二 存在量词命题的否定例2 写出下列存在量词命题的否定：(1)存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．解 (1)任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)每一个素数都不含三个正因数．反思感悟 与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定．跟踪训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x ，y ∈Z ，使得2x ＋y ＝3.解 (1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”． 由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定：“任意x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”．∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题．题型三 全称量词命题、存在量词命题否定的应用例3 已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对于任意x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围．解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4>m ， 若p (x )为真命题，则m <－ 2.∵p (x )为假命题，∴m ≥－2，①由q (x )为真命题，得Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2，② 由①②可得－2≤m <2.引申探究 若例3中“如果对于任意x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题”改为“如果对于任意x ∈R ，p (x )与q (x )有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m 的取值范围． 解 由例3知p (x )为真命题时，m <－2， q (x )为真命题时，－2<m <2.由题意知p (x )与q (x )两命题有一真一假，当p (x )为真，q (x )为假时，⎩⎨⎧m <－2，m ≤－2或m ≥2，得m ≤－2. 当p (x )为假，q (x )为真时，⎩⎨⎧m ≥－2，－2<m <2，得－2≤m <2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．反思感悟 若全称量词命题为假命题，通常转化为其否定命题——存在量词命题为真命题解决，同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称量词命题为真命题解决．跟踪训练3 已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．解 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0， 即⎩⎨⎧ p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3.∴p ≥32或p ≤－3.故p 的取值范围是－3<p <32. 达标检测 1．命题“任意x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( )A ．任意x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0B ．任意x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．存在x ∈[0，＋∞)，x 3＋x <0D ．存在x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0【答案】C【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题．2．下列命题的否定为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0B ．任意x ∈R ，lg x ＜1C ．所有能被3整除的整数都是奇数D ．任意x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1【答案】D【解析】对于选项A ，因为x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1＞0，所以存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B ，因为当x ＞10时，lg x ＞1，所以任意x ∈R ，lg x ＜1是假命题，故其否定为真 命题；对于选项C ，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题； 对于选项D ，显然成立，因此其否定是假命题．3．若“存在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x cos x >m ”为假命题，则实数m 的取值范围是________． 【答案】⎣⎡⎭⎫12，＋∞【解析】由题意知，对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x cos x ≤m 为真命题； 又∵sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，∴m ≥12. 4．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根；(2)有些三角形的三条边相等；(3)余弦值为负数的角是钝角．解 (1)这一命题可表述为对任意的实数m ，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根．其否定：存在一个实数m ，使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根，因为该方程的判别式Δ＝m 2＋4>0恒成立，故为假命题．(2)原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题．(3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．课堂小结对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.。
2021_2022学年新教材高中数学第一单元集合与常用逻辑用语1.2.2全称量词命题与存在量词命题的
1．2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(1)定义:对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“p”,读作“非p”或“p的否定”.(2)结论:如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就应该是假命题;反之亦然.存在量词命题p p 结论存在量词命题的否∃x∈M,p(x) ∀x∈M,p(x)定是全称量词命题全称量词命题q q 结论全称量词命题的否定∀x∈M,q(x) ∃x∈M,q(x)是存在量词命题用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗?提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)命题p的否定是p.( )(2)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,p(x)的真假性相反.( )(3)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( )提示:(1)√.命题p与p互为否定.(2)√.存在量词命题p与其否定p一真一假.(3)×.尽管存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.2.命题p:∀x∈N,|x+2|≥3的否定为( )A.∀x∈N,|x+2|<3B.∀x∉N,|x+2|<3C.∃x∈N,|x+2|≥3D.∃x∈N,|x+2|<3【解析】选D.命题p:“∀x∈N,|x+2|≥3”的否定为:∃x∈N,|x+2|<3.3.(教材例题改编)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2【解析】选D.∀的否定是∃,∃的否定是∀,n≥x2的否定是n<x2.类型一存在量词命题的否定(逻辑推理)【典例】1.已知命题p:∃x>2,x3-8>0,那么p为( )A.∃x>2,x3-8≤0B.∀x>2,x3-8≤0C.∃x≤2,x3-8≤0D.∀x≤2,x3-8≤02.已知命题p:存在k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图像不经过定点M,若命题p是假命题,则点M的坐标为.3.写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:有些实数的绝对值是正数.(2)q:某些平行四边形是菱形.(3)r:∃x∈R,x2+1<0.(4)s:∃x,y∈Z,使得x+y=3.【思路导引】1.量词和结论都改变.2.依据原命题和其否定一真一假解答.3.找准量词和结论,分别进行改变和否定.【解析】1.选B.已知命题p:∃x>2,x3-8>0,那么p是∀x>2,x3-8≤0.2.因为命题p是假命题,所以p是真命题,即任意k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图像经过定点M,易知点M的坐标为(-1,3).答案:(-1,3)3.(1)p:“所有实数的绝对值都不是正数”,由p是真命题可知p是假命题.(2)q:“每一个平行四边形都不是菱形”.由q是真命题可知q是假命题.(3)r:“∀x∈R,x2+1≥0”.因为∀x∈R,x2≥0,所以x2+1≥0”,所以r是真命题.(4)s:“∀x,y∈Z,x+y≠3”,由s是真命题可知s是假命题.(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.1.写出这些命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:某些梯形的对角线互相平分.(2)q:存在一个x∈R,使=0.(3)r:在同圆中,有的等弧所对的圆周角不相等.(4)s:存在k∈R,函数y=kx+b随x的值增大而减小.【解析】(1)p是假命题.(2)q:任意x∈R,使≠0,由q是假命题可知q是真命题.(3)r:在同圆中,任意等弧所对的圆周角相等.由r是假命题可知r为真命题.(4)s:任意k∈R,函数y=kx+b随x的值增大而增大或不变.当k<0时,函数y=kx+b随x的值增大而减小,所以s是真命题,s是假命题.2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出这些命题的否定.(1)有一个奇数不能被3整除.(2)∀x∈Z,x2与3的和不等于0.(3)有些三角形的三个内角都为60°.(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.【解析】(1)是存在量词命题,否定为:每一个奇数都能被3整除.(2)是全称量词命题,否定为:∃x∈Z,x2与3的和等于0.(3)是存在量词命题,否定为:任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”,否定为:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.类型二全称量词命题的否定(逻辑推理)【典例】“∀x∈[-1,2],x2+2x-1<0”的否定为( )A.∀x∈[-1,2],x2+2x-1≥0B.∃x∈[-1,2],x2+2x-1≥0C.∃x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),x2+2x+1≥0D.∀x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),x2+2x-1≥02.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:对所有正数x,>x+1.(2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数.(3)r:所有被5整除的整数都是奇数.(4)s:任意两个等边三角形都相似.【思路导引】1.∀x∈M,p(x)的否定为∃x∈M,p(x).2.全称量词改为存在量词,同时否定结论即可.【解析】1.选B.根据全称量词命题的否定是存在量词命题,知∀x∈[-1,2],x2+2x-1<0的否定为∃x∈[-1,2],x2+2x-1≥0.2.(1)p:存在正数x,≤x+1.例如当x=1时,<x+1,所以p是真命题.(2)q是假命题.(3)r:存在一个被5整除的整数不是奇数. 例如10是能被5整除的整数且不是奇数,所以r是真命题.(4)s是假命题.(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.1.已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p:∈(A∪B),则命题p是.【解析】因为p:∈A∪B,所以p:∉A且∉B,即p:∈(∁U A)∩(∁U B).答案:∈(∁U A)∩(∁U B)2.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:∀x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2.(2)q:∀x∈R,x3+1≠0.(3)r:所有分数都是有理数.(4)s:每一个四边形的四个顶点共圆.【解析】(1)p:∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.例如当x=2时,|x-2|=0<2,p是真命题.(2)q:∃x∈R,x3+1=0.例如当x=-1时,x3+1=0,所以q是真命题.(3)r是假命题.(4)°和150°的菱形的四个顶点不共圆,所以s是真命题.【补偿训练】写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:被8整除的数能被4整除.(2)q:所有二次函数的图像关于y轴对称.(3)r:实数都能写成小数形式.(4)s:方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.【解析】(1)p是假命题.(2)q:存在一个二次函数,它的图像不关于y轴对称.例如二次函数y=x2+x的图像不关于y轴对称,所以q是真命题.(3)r是假命题.(4)s:方程x22-8x-10=0的两个根都是无理数,不是奇数,所以s是真命题,s是假命题.1.(2021·某某高一检测)设命题p:所有正方形都是平行四边形,则p为( )【解析】选C.“所有”改为“存在”(或“有的”),“都是”改为“不都是”(或“不是”),即p 为有的正方形不是平行四边形.2.(教材习题改编)已知命题p:∀x∈(1,+∞),x3+16>8x,则命题p的否定为( )A.p:∀x∈(1,+∞),x3+16≤8xB.p:∀x∈(1,+∞),x3+16<8xC.p:∃x∈(1,+∞),x3+16≤8xD.p:∃x∈(1,+∞),x3+16<8x【解析】选C.命题p:∀x∈(1,+∞),x3+16>8x的否定是:∃x∈(1,+∞),x3+16≤8x.“∃x∈R,x2+2 019x+2 020<0”的否定为( )A.∀x∈R,x2+2 019x+2 020<0B.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≤0C.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0D.∃x∈R,x2+2 019x+2 020≥0【解析】选C.命题的否定为“∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0”.4.若命题p:∃x∈R,使得x2-x-2=0,则p为.【解析】命题p:∃x∈R,使得x2-x-2=0的否定是p:∀x∈R,使得x2-x-2≠0.答案:∀x∈R,使得x2-x-2≠0“∃x∈R,|2-x|+|x+3|>4”的否定是.答案:∀x∈R,|2-x|+|x+3|≤4。
人教高中数学B版必修一 第一章 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
第一章 集合与常用逻辑用语
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
q
¬q
结论
全称量词命题 ∀x∈M，q(x)
∃x∈M，¬q(x)
全称量词命题的否定 是____存__在__量__词__命__题____
存在量词命题 ∃x∈M，p(x)
__∀_x_∈__M__，__¬_p_(x_)___
存在量词命题的否定 是___全__称__量__词__命__题____
[注意] 全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存 在量词一般不能省略．
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
1．给出下列命题： ①存在实数 x＞1，使 x2＞1； ②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数 a，使 ax2－ax＋1＝0 的根为负数．
其中存在量词命题的个数为( )
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
考点
学习目标
核心素养
理解全称量词、全称量词命 全称量词命题与存在
题的定义，理解存在量词、 数学抽象 量词命题的定义
存在量词命题的定义
全称量词命题与存在 掌握判断全称量词命题与 量词命题的真假判断 存在量词命题真假的方法
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
■名师点拨 (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在 M 中找到一
个 x，使得 q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．
(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对 M 中的
每一个 x，均有 p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课时作业7全称量词命题和存在量词命题的否定知识点一命题的否定1.写出下列命题的否定．(1)13，1.414，2，π都是无理数；(2)3≥2；(3)方程x2＝－1没有实数根．解(1)13，1.414，2，π不都是无理数．(2)3<2.(3)方程x2＝－1有实数根.知识点二全称量词命题的否定2.写出下列全称量词命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；(2)所有自然数的平方都是正数；(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(2)有些自然数的平方不是正数．(3)存在实数x0不是方程5x－12＝0的根．(4)存在实数x0，使得x20＋1＜0.3．写出下列全称量词命题p的否定，并判断p的否定的真假．(1)p：∀x＞0，x＋1x≥2；(2)p：所有矩形的对角线相等；(3)p：不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根．解(1)綈p：∃x0＞0，x0＋1x0＜2.假命题．(2)綈p：有的矩形的对角线不相等．假命题．(3)綈p：存在实数m0，使x2＋x－m0＝0没有实数根．真命题.知识点三存在量词命题的否定4.写出下列存在量词命题p的否定，并判断其否定的真假．(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些自然数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形．解(1)綈p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假)(2)綈p：所有的自然数都不是奇数．(假)(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形．(假)5．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x，y∈Z，2x＋y＝3.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．6．(1)已知对任意的x∈[1,3]，都有m≥x，求实数m的取值范围；(2)已知存在实数x∈[1,3]，使m≥x，求实数m的取值范围．解(1)由于对任意的x∈[1,3]，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.(2)由于存在实数x∈[1,3]，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.7．已知函数y＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x0，使不等式m－x20＋2x0－5＞0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋y>0可化为m>－y，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－x20＋2x0－5>0可化为m>x20－2x0＋5，若存在一个实数x0，使不等式m>x20－2x0＋5成立，只需m>y min.又y＝(x－1)2＋4，∴y min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．一、选择题1．已知命题p ：∀x >0，(x ＋1)e x >1，则綈p 为( )A ．∃x ≤0，(x ＋1)e x ≤1B ．∃x ＞0，(x ＋1)e x ≤1C ．∀x ＞0，(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，(x ＋1)e x ≤1答案 B解析 全称量词命题的否定是存在量词命题．因此綈p 为∃x ＞0，(x ＋1)e x ≤1.故选B.2．命题“∃x ∈∁R Q ，x 3∈Q ”的否定是( )A ．∃x ∉∁R Q ，x 3∈QB ．∃x ∈∁R Q ，x 3∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q答案 D解析 存在量词命题的否定是全称量词命题．故选D.3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，n ＜x 2答案 D解析 根据含有量词的命题的否定，故选D.4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为( )A ．∀x ∈A,2x ∉B B ．∀x ∉A,2x ∉BC ．∃x ∉A,2x ∈BD ．∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 “任意”的否定是“存在”，则命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 的否定是綈p ：∃x ∈A,2x ∉B .故选D.5．下列四个命题中的真命题为( )A ．∃x ∈Z,1＜4x ＜3B ．∃x ∈Z,5x ＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0 答案 D解析 由1＜4x ＜3，得14＜x ＜34，这样的整数x 不存在，故A 为假命题；由5x ＋1＝0，得x ＝－15∉Z ，故B 为假命题；由x 2－1＝0，得x ＝±1，故C 为假命题；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74＞0，故选D. 6．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃n ∈N,2n ≤100；綈p ：∀n ∈N,2n >100.答案 C解析 C 中綈p ：所有的三角形都不是正三角形，故选C.二、填空题7．命题“∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＞3”的否定是________．答案 ∃x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3解析 “任意x ∈R ”的否定为“存在x ∈R ”，“|x －2|＋|x －4|>3”的否定为“|x －2|＋|x －4|≤3”．8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [3,8)解析 ∵p (1)是假命题，p (2)是真命题．∴⎩⎨⎧ 3－m ≤0，8－m ＞0，解得3≤m ＜8. 9．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：对∀x ∈R ，函数y ＝x 2＋4cx ＋1的值都大于0，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是________．答案 －12＜c ≤0或12≤c ＜1解析 p ：0＜c ＜1；q ：由Δ＜0知－12＜c ＜12.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜c ＜1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c ＜1. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，－12＜c ＜12，得－12＜c ≤0.综上12≤c ＜1或－12＜c ≤0.三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解(1)綈p：∃x∈R，x2－x＋14<0，假命题．∵∀x∈R，x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，∴綈p是假命题．(2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，∴綈r是真命题．11．已知函数y＝x2－2x＋3，x∈[0,3]，若m－y>0有解，求实数m的取值范围．解∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，x∈[0,3]．∴当x＝1时，y min＝2；当x＝3时，y max＝6，又m＞y有解，只需m＞y min，即m＞2.。
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 学案(1)-人教B版高中数学必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 导学案（1）理解命题的否定的含义，会写给定命题的否定并判断命题的真假； （2）正确掌握全称量词命题与存在量词命题的否定;（3）明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题，会判断其真假.重点：全称量词命题与存在量词命题的否定以及真假的判断. 难点：正确的对全称量词命题与存在量词命题进行否定.一、复习回顾 1.命题1） 称为命题. 2）判断为 的语句称为真命题. 3）判断为 的语句称为假命题.2.全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体.全程量词命题：3.存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分。
存在量词命题： 二、感受新知 1.命题的否定命题的否定： ，记作： ，读作：“非p ”或“p 的否定”。
全称量词命题与存在量词命题的否定1.命题的否定2. 全称量词命题的否定3.存在量词命题的否定命题p命题p⌝归纳小结真假教材P29 练习A 12.全称量词命题与存在量词命题的否定（1）下面我们来探究如何对全称量词命题与存在量词命题的否定进行否定.根据要求，认真思考回答问题：1）命题:s命题s s⌝自然语言存在整数是自然数。
符号语言命题形式真假判断2）命题:r命题r r⌝自然语言存在实数的平方小于0. 每一个实数的平方都不小于0。
符号语言命题形式真假判断3）命题:q命题q q⌝自然语言每一个有理数都是实数。
符号语言命题形式真假判断（2）尝试与发现记r ：“每一个素数都是奇数。
”用类似的方法研究r 和r ⌝ 的关系、符号表示以及真假性。
（ ）命 题 rr ⌝自然语言 每一个素数都是奇数。
存在一个素数不是奇数。
符号语言 命题形式 真假判断(3)想一想全称量词命题,().x M p x ∀∈的否定为： 存在量词命题,s().x M x ∃∈的否定为：3.经典例题例1 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1）2:,1;p x R x ∀∈≥- （2）1:{1,2,3,4,5},;q x x x∀∈< （3）:s 至少有一个直角三角形不是等腰三角形。
02 教学设计_全称量词命题与存在量词命题的否定1
情景引入
数学命题中出现“全部”“所有”“一切”与“存在着”“有”“有 些”的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词，由这样的量 词构成的命题分别称为全称量词命题与存在量词命题．而他们的否定 形式是我们困惑的症结所在．
新知导学
1．命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：
当 a＋2＝0 时，不符合题意．
故有a＋2>0 Δ≤0
，即a1＋6－2>40，a＋2
a－1 ≤0 ，解得 a≥2.
『规律总结』 (1)利用全称量词命题、存在量词命题求参数的取值范 围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的定 义及其否定.
(2)全称量词命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种 性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元 素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入” 思想)．
『规律总结』 由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的 否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈M，p(x)”的形 式，然后再把它的否定写成“∃x0∈M，¬p(x0)”的形式．要学会挖掘 命题中的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可 以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．
[解] (1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0. (2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形． (3)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数． (4)¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆．
『规律总结』 一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明 确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应 结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称 量词，同时否定结论．
21-22版：1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（创新设计）
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定自主梳理1.命题的否定(1)定义：一般地，对命题p 加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p ”，读作“非p ”或“p 的否定”. (2)命题p 与其否定綈p 的真假关系如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是假命题；反之亦然. 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定一般地，全称量词命题“∀x ∈M ，q (x)”的否定是存在量词命题：∃x ∈M ，綈q (x ). (2)存在量词命题的否定一般地，存在量词命题“∃x ∈M ，p (x )”的否定是全称量词命题：∀x ∈M ，綈p (x ).常见词语的否定词语1.思考辨析，判断正误(1)p ：∀x ∈R ，x 2≥－1，则綈p ：∃x ∈R ，x 2<－1.(√) (2)p ：∃x ∈R ，|x |＋x ＝0，则綈p ：∀x ∈R ，|x |＋x ≠0.(√) (3)p ：∀x >－3，x 2>9，则綈p 为假命题.(×) 提示 p ：∀x >－3，x 2>9为假命题，綈p 为真命题.(4)命题p ：负数的立方根都是负数，则命题p 的否定为真命题.(×) 提示 负数的立方根都是负数为真命题，所以命题p 的否定为假命题.2.设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则( ) A.綈p ：∀x ∈A ，2x ∈B B.綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B C.綈p ：∃x ∉A ，2x ∈B D.綈p ：∃x ∈A ，2x ∉B 答案 D解析 命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B 是一个全称量词命题，綈p 为：∃x ∈A ，2x ∉B .选D.3.对下列命题的否定说法错误的是( )A.p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形C.p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形D.p ：∃n ∈N ，2n ≤100；綈p ：∀n ∈N ，2n >100. 答案 C解析 “有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故C 错误. 4.命题“存在x ∈R ，2x ≤0”的否定是________. 答案 对任意的x ∈R ，2x >0解析 存在量词命题的否定是全称量词命题.题型一 命题的否定【例1】 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)圆周率π是无理数； (2)空集∅是集合A 的子集； (3)2是质数且是偶数； (4)6是2或3的倍数.解 (1)命题的否定：圆周率π不是无理数，是假命题. (2)命题的否定：空集∅不是集合A 的子集，是假命题. (3)命题的否定：2不是质数或2不是偶数，是假命题. (4)命题的否定：6不是2的倍数且不是3的倍数，是假命题.思维升华 否定一个命题是对这个命题结论的否定，要灵活应用常见关键词对应的否定词.另外，命题和它的否定真假性相反，可运用此结论检查所写命题的否定是否正确.【训练1】 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)x ＝1是方程x 2－3x ＋2＝0的根； (2)2.3·是无理数；(3)1既不是质数又不是合数； (4)15是3或5的倍数.解 (1)命题的否定：x ＝1不是方程x 2－3x ＋2＝0的根，是假命题.(2)命题的否定：2.3·不是无理数，是真命题. (3)命题的否定：1是质数或合数，是假命题.(4)命题的否定：15不是3的倍数且不是5的倍数，是假命题. 题型二 全称量词命题与存在量词命题的否定 角度1 全称量词命题的否定【例2－1】 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)任何一个圆都是轴对称图形； (3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0.解 (1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形.(3)其否定为：∃a ，b ∈R ，使方程ax ＝b 的解不唯一或不存在. (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 角度2 存在量词命题的否定【例2－2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p ：∃x >1，使x 2－2x －3＝0； (2)q ：有些质数是奇数； (3)r ：有些平行四边形不是矩形. 解 (1)綈p ：∀x >1，x 2－2x －3≠0.(假) (2)綈q ：所有的质数都不是奇数.(假) (3)綈r ：所有的平行四边形都是矩形.(假)思维升华 1.书写綈p 的方法：存在量词命题的否定是把存在量词改为全称量词的同时，对命题的结论进行否定；全称量词命题的否定是把全称量词改为存在量词的同时，对命题的结论进行否定. ∀x ∈M ，p (x )否定∃x ∈M ，綈p (x )简记：否量词(或改量词)，否结论.2.綈p 的真假判断：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【训练2】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.(1)p：每一个质数都是奇数；(2)q：有理数都能写成分数的形式；(3)s：有些实数的绝对值是正数；(4)t：某些平行四边形是菱形.解(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，綈p：存在一个质数不是奇数，是真命题.(2)q是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，綈q：存在一个有理数不能写成分数的形式，是假命题. (3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，綈s：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.(4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，綈t：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.题型三根据全称量词命题、存在量词命题否定的真假求参数【例3】已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m 的取值范围.解因为綈p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，即二次函数y＝x2－2x＋m＋5的图像恒在x轴上方，所以Δ＝(－2)2－4(m＋5)<0，即m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}.思维升华 1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.2.对于参数范围问题，往往分离参数，转化成最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.【训练3】已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m 的取值范围.解因为綈p为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，即二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图像的最高点在x轴上方，即图像与x轴有两个交点，所以Δ＝22＋4(m－5)>0，即m>4，故实数m的取值范围为{m|m>4}.1.对于含有全称(存在)量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称(存在)量词改写成存在(全称)量词；第二步，将结论加以否定.含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.2.一般而言，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，全称量词命题的否定是一个存在量词命题，因此在书写它们的否定时，相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词.3.存在量词命题的否定，一般是在存在量词前加“不”，或者把存在量词改为全称量词，同时对结论进行否定；全称量词命题的否定，一般是在全称量词前面加上“并非”，或把全称量词改为存在量词，同时对结论进行否定.。
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定1.命题的否定给出下列两个命题s:“3的相反数是−3”和t: “3的相反数不是−3”你能说出这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？可以发现，命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定。
而且，s是真命题，t是假命题。
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”,读作“非p”或“p的否定”。
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然。
例如，√9=3是一个真命题，那么√9≠3就是一个假命题。
2.全称量词命题与存在量词命题的否定下面我们来探讨如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定。
若记s:“存在整数是自然数”，则不难看出，这个命题的否定是¬s:“不存在整数是自然数”。
这里的命题s实际上是个存在量词命题，而且可以用符号表示为s: ∃x∈Z,x∈N;而命题¬s可以表述为“每一个整数都不是自然数”，因此¬s是一个全称量词命题，可以用符号表示为¬s：∀x∈Z,x∉N.显然，这里的s是一个真命题，而¬s是一个假命题。
若记r:“存在实数的平方小于0”，则不难看出，这个命题的否定是¬r:“不存在实数的平方小于0”，这里的命题r也是一个存在量词命题，而且可以用符号表示为r: ∃x∈R,x2<0;而命题¬r可以表述为“每一个实数的平方都不小于0”因此¬r是一个全称量词命题，可以用符号表示为¬r：∀x∈R , x2≥ 0 .显然，这里的r是一个假命题，而¬r是一个真命题。
一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题。
∀x∈M, ¬ p(x).若记s:“每一个有理数都是实数”，则不难看出，这个命题的否定是¬s:“不是每一个有理数都是实数”。
这里的命题s实际上是一个全称量词命题，而且可以用符号表示为s: ∀x∈Q , x∈R ;而命题¬s可以表述为“存在一个有理数不是实数”，因此¬s是一个存在量词命题，可以用符号表示为¬s：∃x∈Q ，x∉R.显然，这里的s是一个真命题，而¬s是一个假命题。
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课前篇 自主预习
课前篇 自主预习
3.写全称量词命题的否定和存在量词命题的否定的注意点 (1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题,给出全称量词命题 的否定时既要否定全称量词,又要否定性质,所以找出全称量词,明 确命题所提供的性质是对全称量词命题否定的关键. (2)存在量词命题的否定是一个全称量词命题,给出存在量词命题 的否定时既要否定存在量词,又要否定性质,所以找出存在量词,明 确命题所提供的性质是对存在量词命题否定的关键.
答案:C
(2)“∃m,n∈Z,使得m2=Байду номын сангаас2+2 020”的否定是( )
A.∀m,n∈Z,使得m2=n2+2 020 B.∃m,n∈Z,使得m2≠n2+2 020
C.∀m,n∈Z,有m2≠n2+2 020
D.以上都不对
解析:命题“∃m,n∈Z,使得m2=n2+2 020”是存在量词命题,其否定
为全称量词命题,所以命题的否定是∀m,n∈Z,有m2≠n2+2 020.
课堂篇 探究学习
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
反思感悟 (1)存在量词命题否定的方法及关注点
①方法:与全称量词命题的否定的写法类似,要写出存在量词命
题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写
为全称量词,对结论作出否定就得到存在量词的否定.
②关注点:注意对不同的存在量词的否定的写法,例如,“存在”的
当a≠0时,要使不等式恒成立.
则有
������ ������
> ≤
0, 0,
即
������ > 0, ������2-4������
≤
解得 0,
0<a≤4.
综上所述:0≤a≤4,则命题p:0≤a≤4, 则������ p:a<0或a>4. 答案:D 方法点睛 本题为含参数的不等式问题,求解时应分a=0或a≠0两 类来讨论,求解时应采用数形结合的思想建立不等式组求解.
存在量词命题的否定
例2写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
(1)p:存在x∈R,2x+1≥0. (2)q:存在x∈R,x2-x+ 1 <0.
4
(3)r:有些分数不是有理数.
分析:把存在量词改为全称量词,然后否定结论.
解:(1)任意 x∈R,2x+1<0,为假命题. (2)任意 x∈R,x2-x+14≥0. 因为 x2-x+14= x-12 2≥0,是真命题. (3)一切分数都是有理数,是真命题.
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1.命题“∀x>0,x2>0”的否定是( ) A.∀x>0,x2≤0 B.∃x>0,x2≤0 C.∀x≤0,x2≤0 D.∃x≤0,x2≤0 解析:全称量词命题的否定是存在量词命题. 答案:B 2.命题:∃x>0,x2-x-2>0的否定是( ) A.∀x≤0,x2-x-2≤0 B.∃x≤0,x2-x-2≤0 C.∀x>0,x2-x-2≤0 D.∃x>0,x2-x-2≤0 解析:存在量词命题的否定是全称量词命题. 答案:C
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3.命题“∀x,y<0,x+y≤-2 ������������”的否定为( )
A.∃x,y<0,x+y>-2 ������������ B.∃x,y<0,x+y≤-2 ������������ C.∃x,y≥0,x+y>-2 ������������ D.∃x,y≥0,x+y≤-2 ������������
课前篇 自主预习
3.做一做
(1)命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A.∀x∈R,|x|+x2<0 B.∀x∈R,|x|+x2≤0
C.∃x∈R,|x|+x2<0 D.∃x∈R,|x|+x2≥0
解析:命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”是全称量词命题,其否定为存在量词
命题,所以命题的否定是∃x∈R,|x|+x2<0.
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分类讨论思想的应用——求参数的取值范围
典例 命题p:∀x∈R,ax2+ax+1≥0,若������ p是真命题,则实数a的取
值范围是( )
A.(0,4]
B.[0,4]
C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
解析:当a=0时,不等式恒成立;
确定是全称量词命题还是存在量词命题,先写成全称量词命题或存
在量词命题的形式,再对其进行否定.
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延伸探究 将本例(2)改为:q :存在x∈R,x2-x-1<0,写出它的否定,并 判断真假.
解:任意x∈R,x2-x-1≥0. 因为 x2-x-1= x-12 2-54,所以不能判断其值大于等于零,为假命题.
5.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:∀x∈R,x2+2x+2=0; (2)p:所有的正方形都是菱形; (3)p:至少有一个实数x,使x3+1=0. 解:(1)∃x∈R,x2+2x+2≠0,真命题. 因为∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立. (2)至少存在一个正方形不是菱形,假命题.因为所有的正方形都是 菱形. (3)∀x∈R,x3+1≠0,假命题.因为当x=-1时,x3+1=0.
命题 类型
存在量词命题
形式 ∃x∈M,p(x)
全称量词命题 ∀x∈M,q(x)
否定 ∀x∈M,������p(x)
∃x∈M,������q(x)
结论
存在量词命题的否定是全 称量词命题
全称量词命题的否定是存 在量词命题
深度解读 1.写全称量词命题的否定的方法 (1)更换量词,将全称量词换为存在量词. (2)将结论否定. 全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.写存在量词命题的否定的方法 (1)将存在量词改写为全称量词. (2)将结论否定. 存在量词命题的否定是全称量词命题.
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反思感悟 (1)全称量词命题的否定的两个关注点 ①写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称 量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得 到命题的否定. ②有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写 成“是”或“不是”.
集合与常用逻辑用语 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
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思维脉络
1.能正确地对全称量词命题和存在量词 命题进行否定. 2.掌握全称量词命题和存在量词命题与 它们的否定在形式上的变化规律.
课前篇 自主预习
知识点、全称量词命题和存在量词命题的否定
1.思考 什么叫否命题?什么叫命题的否定? 提示:将一个命题的条件和结论都进行否定得到的命题叫否命题; 只否定命题的结论,条件不变,这样的命题叫命题的否定. 2.填空
答案:C
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全称量词命题的否定 例1写出下列全称量词命题的否定: (1)任何一个平行四边形的对边都平行. (2)∀a∈R,方程x2+ax+2=0有实数根. (3)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解. (4)可以被5整除的整数,末位是0. 分析:把全称量词改为存在量词,然后否定结论. 解:(1)存在一个平行四边形,它的对边不都平行. (2)∃a∈R,方程x2+ax+2=0没有实数根; (3)∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在. (4)存在被5整除的整数,末位不是0.
答案:A
4.命题“∃x∈R,x2+2x+1=0”的否定是
命题.(选填“真”“假”之
一)
解析:∵由x2+2x+1=0得(x+1)2=0,∴x=-1,
则命题“∃x∈R,x2+2x+1=0”是真命题,则命题“∃x∈R,x2+2x+1=0”
的否定是假命题.
答案:假
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(2)常见词语的否定:
词语 等于 大于 小于 是 都是 至多一个 至少一个 任意 所有的
词语的否定 不等于 不大于(即小于或等于) 不小于(即大于或等于) 不是 不都是(与“都不是”区别开) 至少两个 一个也没有 某个 某些
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否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等.
注意:不要把命题的否定和否命题混为一谈.
(2)对省略量词的命题的否定
对于一个含有量词的命题,容易知道它是全称量词命题或存在量
词命题,可以直接写出其否定,而对省略量词的命题在写命题的否
定时,应首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,