主讲人武汉大学校长、着名数学家、博士生导师齐民友教授
数学的魅力
[抽屉原理] 通过正方形的中心作两条相互垂直的直线，把正方形等分为4部分。每一个部 分看作一个抽屉，9个 点可以看作9个 “苹果”，于是 根据抽屉原理：必然至 少 有3只苹果放入同一只抽屉之中，也就是至少有3个点落在一个小正方形之中。 设这3个点为A、B、C、即便这三个点碰巧落在小正方形的边缘，底也不超过 1∕2，高也不超过1∕2，所以面积不超过1∕8，在一般情况下，由3个点所组成的三角形面积 自然要小于 1∕8 了。
数学的源与流
展涛，山东大学校长（37）、吉林大学校长
展涛，男，回族，1963年4月出 生，山东兖州人，中共党员，理学 博士，教授，博士生导师。1979年9 月入山东大学数学系学习，先后获 得学士、硕士、博士学位；1987年 留校任教，先后被评聘为讲师、副 教授、教授；1991年1月至1992年 12月获德国洪堡基金会奖励基金， 赴德国弗莱堡大学从事合作研究； 1993年4月任山东大学数学系副主任； 1995年3月任山东大学副校长； 1996年12月任山东大学党委 常委、副校长；2000年7月任 山东大学党委常委、校长。
数学的源与流
黄达人，中山大学校长
黄达人，男，1945年4月生， 浙江象山人。1962年至1968年 就读于浙江大学数学系。1978年 至1981年在浙江大学数学系读研 究生，毕业后留校任教。1985年 至1986年作为访问学者在美国南 卡罗来纳大学数学系进修访问一 年。1988年任浙江大学数学系教 授。曾任浙江大学数学系副主任、 范岁久医学图像实验室主任、教 务处长、副教务长等职。1992年 至1998年任浙江大学副校长。 1998年11月调任中山大学常务副 校长。1999年8月至今任中山大 学校长。 学术研究领域为函数逼近论、 小波分析、信号和图像处理。 数学的源与流
稿件基本格式
晚会：笛箫声声画“沁水春韵” 笛箫演奏会倾情上演新闻网讯（）5月3日晚，在青春驿站综艺厅，笛箫艺术协会举行《沁水春韵》专场音乐会。
音乐会共有14个节目，以笛箫吹奏为主，配合二胡、古筝的等民族乐器的演奏，凸显了浓郁的民族风情。
二胡演奏的《葡萄熟了》，古筝、二胡、琵琶、笛子合奏的《我有一段情》，悠扬婉转，清新怡人。
笛子版《赛马》演绎出不同于二胡演奏的别样风情，将草原上奔跑的马描绘的栩栩如生，把会场气氛一次次推向高潮。
在此之前，笛箫协会已成功举办了15次同类晚会。
“今晚，我们不仅想要为大家展现笛箫的魅力，还为了悼念在玉树地震中遇难的同胞。
”我校笛箫协会成员刘彦说道。
音乐会旨在弘扬民族音乐，丰富校园文化，提高自身艺术修养。
该音乐会由武汉科技大学校团委、校社联主办，笛箫艺术协会承办。
武汉工业协会等高校笛箫协会代表、我校各学院代表、我校各协会代表受邀观看了今晚的演凑会。
比赛：学校举行国庆60周年诗歌朗诵比赛新闻网讯（）盛世中国周年庆典，为祖国母亲60华诞献歌。
10月20日下午，我校“国庆60周年诗歌朗诵比赛”在黄家湖校区青春驿站综艺厅举行。
体育课部党委书记孔波、宣传部部长钟会兵、副部长李灿华、吴义国，团委副书记韩洪波、学工处老师林莉、文法学院老师魏敏作为评委出席了比赛。
青春的心与祖国共命运，激情的朗诵歌唱祖国。
由学生边塞、马颖丹共同朗诵的《盛世中国》以其激起磅礴的气势、激昂纯熟的朗诵赢得了掌声不断。
黄厚、方晋菲带来的《中国梦》，其悠扬的音乐、深情的朗诵、浓烈的画面感将读者从先秦带到现代，歌颂祖国，耳目一新。
奥运、神州七号、雪灾、地震穿插在朗诵中，《六十年，中国》3名参赛者朗诵着“祖国啊，我们是你最骄傲的儿女”，彰显浓浓的爱国情。
比赛结束后，文法学院魏敏老师做了点评，她说，参赛选手都很有青春活力，充满激情，且具有专业水准，普通话标准，动作规范，有较强的专业性。
边塞、马颖丹以《盛世中国》获得比赛一等奖，杨峰、方晋菲、黄厚以《祝福祖国》、《中国梦》获得二等奖，《祖国，我为你自豪》、《我骄傲，我是中国人》等作品获得三等奖和优秀奖。
数学的特点、定义
一”。
精神说：是说“数学不仅是一种技巧，更是
一种精神，特别是理性的精神。”
11
审美说：是说“数学家无论是选择题材还是
判断能否成功的标准，主要是美学的原则。”
艺术说：是说“数学是一门艺术。” 万物皆数说：是说数的规律是世界的根本
规律，一切都可以归结为整数与整数比。
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齐民友，武汉大学校长
齐民友：武汉大学校长（1988-1992年）
1930年出生，1952年毕业于武汉大学数学系，并从事偏微分方程 理论的研究。武汉大学博士导师。 曾任国务院学位委 员会数学组成员。中国数
学会副理事长，湖北省数
学会理事长。1984年起任 武汉大学副校长，1988年 任武汉大学校长。
7
哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛 的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研 究对象不同，研究方法也不同。 两者虽有相似之处， 但数学不是哲学的一部分， 哲学也不是数学的一部 分。 现在有人说“哲学从一门学科中退出， 意味着这
门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门
学科的成熟。”
直觉说：是说数学的基础是人的直觉，数学
主要是由那些直觉能力强的人们推进的。
集合说：是说数学各个分支的内容都可以用
集合论的语言表述。
结构说（关系说）：是强调数学语言、符
号的结构方面及联系方面，“数学是一种关 系学”。
10
模型说：是说数学就是研究各种形式的模型，
如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然 与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的 模型，非欧几何是非欧空间的模型。
28
谷超豪，中国科技大学校长
谷超豪：中国科技大学校长
全国重点高中名师精编教案_《数学与文化》精编教案
《数学与文化》教案教学参考0206 1224《数学与文化》教案【教学目的】概括文中所述数学文化的特点，掌握提炼文章要点的方法。
领会对数学的高度评价，以及从文化兴衰、民族兴亡的高度认识数学的思想。
提高学生对数学文化的认识，培养学生树立正确的科学观。
【教学重难点】体会文章语言的准确性，认识数学文化的特点。
揣摩文中较难理解的句子，分析并理解其含义。
掌握并学会运用提要钩玄的阅读方法。
【教学设想】教学方法.整体把握，理清思路。
从解决文中疑难语句入手，逐层深入地分析文章。
学生自读，归纳阅读中发现的问题，集中讨论解决。
教学时数两课时【教学步骤】方案一第一课时一、导语设计年8月，世界数学家大会在我国召开。
这标志着我国在数学领域的研究已经跨入世界先进行列。
然而作为文化组成部分的数学，你又了解多少呢？罗素在100年前说了一句经常被人引用的俏皮话：我们不知道数学研究的是什么，也不知道研究的结果是真是假；20世纪最伟大的数学家之一外尔给数学下定义说，“数学是无穷的科学”。
这些都让人们渴望了解数学，今天我们就学习《数学与文化》一课，来真正认识数学这门无穷的科学。
二、解题课文节选自《数学与文化》一书的绪言，是全书的总论。
课文论述了数学作为“现代科学技术的语言和工具”的重要地位，分析了数学能够影响人类生活的几个特点，高度评价了数学在促进人类思想解放、使人类摆脱宗教迷信等方面的历史功绩，认为它最根本的特征是“表达了一种探索精神”，并把数学提高到文化盛衰、民族兴亡的高度来认识。
齐民友是当代著名数学家、博士生导师，曾任武汉大学校长。
三、研习课文整体把握，理清思路。
（1）默读课文，画出文中出现的成语以及直接表明观点的句子。
明确：成语：泽被天下、风调雨顺、淋漓尽致。
表明观点的句子：a.首先，它追求一种完全确定、完全可靠的知识。
b.另一个特点是它不断追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本。
c.再一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自己。
齐民友陈化简介_齐民友
陈化简介陈化教授(博士生导师),1982年本科毕业于武汉大学数学系（77级），后又继续攻读硕士研究生和博士研究生（导师为齐民友教授），并于1986年7月获得理学博士学位并留校任教。
1988年10月至1990年4月赴英国Dundee大学做博士后并被聘为Dundee大学荣誉研究员；1990年5月晋升为武大数学系副教授，1993年6月破格晋升为武大数学系教授，1995年5月被评为武大数学系博士生导师，2004年入选为湖北省科技精英并被聘为首届武汉大学珞珈特聘教授。
从2000年下半年武汉大学四校合并直到2017年1月，担任新成立的武汉大学数学与统计学院院长（任职长达16年）；现为武汉大学数学协同创新中心主任，国务院学科数学评议组成员（做了两届），从2001年至今为湖北省暨武汉数学会理事长，武汉市科协常委，还曾担任国家基金委数学学科评委，以及担任中国数学会常务理事（先后做了3届12年）和中国工业与应用数学会常务理事（做了1届4年）。
陈化曾多次以访问教授身份应邀赴欧(英、法、德、意、比利时等)、美、加拿大、澳大利亚、日本和新加坡以及我国的香港和台湾地区访问讲学及合作研究，并多次应邀在牛津大学、剑桥大学、伦敦帝国理工学院、巴黎十一大、巴黎六大、加州大学Berkeley分校、加拿大UBC、波恩大学、澳大利亚国立大学、东京大学、京都大学和新加坡国立大学等国际一流大学做学术报告，同时还多次应邀在国外举办的国际学术大会上做大会邀请报告，多次应邀在国内和国外（欧洲）组织的研究生春季及夏季学校担任主讲教师。
最近几年以中方主席身份组织国际学术会议20多次，其中在国外主持的会议有8次，在武汉大学主持的有9次。
近五年，以plenary speaker身份应邀参加国内外的国际学术会议并作大会特邀报告有30多次(其中在美、法、德、日、澳大利亚和智利等国外的有12次)。
陈化的研究方向为偏微分方程的微局部分析理论，奇异型和退化型偏微分方程，具生物和医学背景的偏微分方程和偏微分方程的谱理论。
《数学与文化》教学设计
《数学与文化》教学设计《数学与文化》教学设计篇1［导学新概念］高六册第一单元支配的是科技说明文和科技论文的阅读，《数学与文化》是其中的第一篇。
阅读科技说明文和科技论文，需要提要钩玄。
“提要”就是提炼出文章论述的要点，“钩玄”就是探究文章更精微的内涵。
换言之，提要就是概括文章的内容要点，钩玄就是分析的思想观点。
因此，学习本单元，要通过对文章内容的提要钩玄，加深对文章的理解，增加对文章概括分析的力量。
《数学与文化》一文，主要阐述了作为人类文化组成部分的数学的特点，读后可让我们感觉到数学对于人类的乐观作用。
阅读时要把握提示语，提取概括句。
更重要的是对每一个特点作认真的分析，找到数学与文化的关系、数学与人类的关系。
［资料显示屏］北大数学所所长张恭庆院士将数学的作用分为三个层次。
第一个层次，为其他学科供应语言、概念、思想、理论和方法。
自然科学和经济、管理等社会科学，离开了数学，便无从产生和进展。
其次个层次是直接应用于工程技术、生产活动，这类例子是大量的。
第三个层次，是作为一种文化，对全社会的成员起着潜移默化的作用。
一个民族数学修养的凹凸，对这个民族奈拿饔泻艽蟮挠跋臁?nbsp;——《数学——撬起将来的杠杆》数学正越来越广泛地应用到人文科学、社会科学领域。
世界上许多经济学家，经常是先获得了数学博士学位后才讨论经济的。
有人曾用概率统计法讨论《红楼梦》的语言习惯，发觉后四十回与前八十回是很全都的。
说明曹雪芹曾创作了后四十回，至少留下了后四十回的部分手稿。
原苏联曾有人对《悄悄的顿河》一书的真正创提出过疑问。
有人用概率统计法讨论该书的用词习惯，发觉与肖洛霍夫其他著作的习惯是全都的，因而认为此书确是他写的。
——《数学——撬起将来的杠杆》回顾过去的一个世纪，数学学科的巨大进展，比以往任何时代都更坚固地确定了它作为整个科学技术的基础的地位。
数学正突破传统的应用范围向几乎全部的人类学问领域渗透，并越来越直接地为人类物质生产和日常生活作出贡献。
《数学是什么》PPT课件
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航海家2号拍摄, 1989.8.
22
电磁波的发现
英国物理学家麦克斯韦概括了由实验 建立起来的电磁现象规律，把这些规律 表述为“方程的形式”，用纯粹数学的方 法推导出可能存在着电磁波并且这些电 磁波应该以光速传播者。据此，他提出 了光的电磁理论。此外，他的结论还推 动了人们去寻找纯电起源的电磁波。
（英）罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题的类”， 而最前面的命题p是否对，却无法判断。 因此“数 学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们 说的是否对的一门学科。”
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4
2．数学的15个“定义”
1）哲学说 2）符号说 3）科学说 4）工具说 5）逻辑说 6）创新说 7）直觉说 8）集合说
9）结构说（关系说） 10）模型说 11）活动说 12）精神说 13）审美说 14）艺术说
第一章 概 述
第一节 数学是什么
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1
一、数学的“定义”
恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空 间形式的一门科学。
随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、 数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含 在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义”。
但是，要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以
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36
哈雷彗星的回归周期为76年，最近一次的回归是在1986年；下一次回 归是在2062年。
《数学与文化》课件7
文外推断
2002年试题（全国）·沙尘暴·思路结构图 ①概括介绍“沙尘暴” ② 具体介绍“沙 有利 ③ 尘暴”的历史 有弊 ④具体说明“沙尘暴”近年的危害 ⑤引歌德话提出希望
精读：理解文句深层含义。
（1）第1段中哪些语句最能说明数学作为文化的一 部分的重要地位？ ——筛选重要信息 （2）“除了逻辑的要求和实践的检验以外，无论 是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的敕令、流行 的风尚统统是没有用的。” 说说这一句在文中的 含义是什么？ （3）“难道看不出这也是一种把生命归结为最简 单成分的不同位置、不同形式、不同数量而成的数 学味很重的结构吗？” 说出这句话的含义。
——结合上下文整合信息
2002年（全国）卷7—10题·题目之间关系示意图
7.下列沙尘暴的解释，最准确的一项是
8.下列对“沙尘也是决定全球生态平衡的 因子”这句话的理解，错误的一项是
9.下列对沙尘暴灾害加剧的原因，表述不 正确的一项是 10.根据原文所提供的信息，以下推断正 确的一项是
核心概念 重要语句 重要内容
《数学与文化》绪言
齐民友
扬州市新华中学语文组 蒋玲慧
考试说明——现代文阅读
能阅读一般社会科学类、自然科学类文章和文学作品。 1.理解B ①理解文中重要词语的含义 ②理解文中重要的句子的含意 2.分析综合C ①筛选并整合文中的信息 ②分析文章结构，把握文章思路 ③归纳内容要点，概括中心思想 ④分析概括作者在文中的观点态度 ⑤根据文章内容进行推断和想象 3.鉴赏评价E ①鉴赏文学作品的形象、语言、表达技巧 ②评价文章的思想内容和作者的观点态度
作者介绍
齐民友,1930年生,安徽芜湖人,数学教授, 曾任武汉大学校长。1988年夏季的一天,作 者和几位朋友谈到数学时,提出了”一个没 有现代数学的文化是注定要衰弱的”观点， 后来,作者又为哲学系学生讲数学课,更加 全面系统地研究了数学文化的特点以及数 学对于人类文化的影响。
数学学科讲座：走近数学之美(共72张PPT)
特别是理性的精神。”
• 审美说：“数学家无论是选择题材还是判断能否成 功的标准，主要是美学的原则。”
• 艺术说：“数学是一门艺术。” • 万物皆数说：数的规律是世界的根本规律，一切都
可以归结为整数与整数比。
哲学说
• 亚里士多德：“新的思想家把数学和哲学看作是相同的。” • 来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。 • 《几何原本》：点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的
长度。 • 牛顿在《自然哲学之数学原理》的序言中说，他是把这本书
“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数 学问题呈现出来”。
初等数学：古代——17世纪初
以古希腊、中国为代表：
Euclid:《几何原本》 Archemides:《圆锥曲线论》
刘徽：《九章算术》 祖冲之π的计算
秦九韶：《数学九章》 意大利：伽里略, 达 芬奇
高等数学：17世纪初——19世纪末
英国: 牛顿: 微积分(天文、力学、哲学）巴罗、 虎克、 波义耳、哈雷、Wallis、马克劳林
1902年生于浙江，2003年卒 于上海。中国科学院院士。他 是国际公认的几何学权威，我 国微分几何学派的创始人。早 在20年代，他的仿射不变的四 次（三阶）的代数锥面，被命 名为苏锥面。他的仿射微分几 何的高水平工作，至今在国际 数学界仍享有很高的评价。
丁石孙：北京大学校长
全国人大常委会副委员长， 民盟中央名誉主席。汉族， 1927年9月生，江苏镇江人， 民盟成员、中共党员，1950 年参加工作，清华大学数学 系毕业，大学学历，教授。 专长:代数、数论。
4．数学是一门艺术，一门创造 性艺术
李国平院士铜像揭幕仪式隆重举行
湖 北省政 府参 事郑年 春 ，武汉 大学 校党委 副书 记王 传 中和 骆 郁廷 、 副校 长黄 泰岩 ， 著名数 学 家余家荣教授 、路见可教授 ，武汉 大学数学与统计学院 、中科 院武汉物理与数学研究所 、中国
船舶 重工 集 团公司第 ７ ９所 、华 中师 范大学 数学 与统计 学学 院 以及 武汉 大学党 办 、校 办 、 ０ 宣 传 部、科 学技术 发展 院等单位 有 关领导 ，李 国平 院士 的学 生 、家属 、武 汉大 学数学 与统 计学 院师 生代 表等 １０余 人 。 ０
第 ３ 卷 第 １期 ｌ ２１ 年 ３ ０１ 月
数 学理 论 与 应 用
ＭＡＴＨＥＭＡＴ Ｃ Ｉ ＡＬ ＴＨＥＯＲＹ ＡＮＤ ＡＰＰ Ｃ ｎＯＮＳ Ｕ Ａ．
Ｖ０ ＿ ｌ Ｎｏ １ Ｉ３ ．
Ｍａ ．２ １ ｒ ０ｌ
李国平院士铜像揭幕仪式隆重举行
王忠海
（ 武汉 大学数 学 与统计 学 院，武 汉 ，４０７ ３０２） 在 纪念著 名数 学家李 国平 院士 百年诞辰 之 际 ，１ 月 １ １ １日上 午 ８时 ，李国平 院士铜 像揭 幕 仪式 在武汉 大学 隆重举 行 。 汉大学 党委 书记 李健 教授 、 长 顾 海 良教授 出席 铜像 揭幕 武 校 仪 式 。仪式 由武汉 大学常 务副校 长 李清泉 教授 主持 ，李 健书记 和顾海 良校长 共 同为李 国平 院士铜 像揭幕 ， 武汉大 学数 学与统 计学 院 院长陈 化教授 、中科 院武汉 物理 与数学研 究所 副所
中 国科学院武汉物理与数学研究所 欧阳才衡研究员 ，原武汉大学中法数学 中心主任余家荣教授 ，原武汉大
学数学系主任 路见可教授 ，李国平 院士之子 、历史学院李工真教授 ，数学学院 ２ １ ０ ０级博士研 究生高翔 同
谈谈理论和实践的问题
谈谈理论和实践的问题张海平先生发表了一篇《液压是一门实验科学》的文章，文中用较大的篇幅梳理了与液压技术相关的基础理论，说明了这些基础理论的历史及其意义，进而指出液压是一门实验科学，光是搞仿真，玩公式，脱离实验是不可能提高液压产品水平的。
这篇文章在液压网上引起了讨论，讨论的焦点在于理论，仿真，实验谁是谁非的问题。
我认为，张海平先生基本客观地评论了理论，仿真，实验三者各自的意义，可能是其摘要有一个不显眼的“光”字被人忽略，以致造成误解。
理论和实践是不太好把握的，容易偏执一方。
科研人员，尤其是国内科研人员，研究往往停留在纸上，认为建立数学模型，搞理论推导才是更高的智力劳动，从纸上来到纸上去，以无用为高雅；工程师往往相信“实践是检验真理的唯一标准”，容易凭经验做事，忽略数学和基本专业理论的积累，久而久之成了程序员、实验员、百事通，诸如此类。
我认为，要想在工作上到达自由，理论和实践缺一不可。
其实，理论联系实际这个概念大家都知道，但是，概念上的承认不代表有深切的认同，更不代表有具体的行动。
不论是科研人员还是工程师，数学理论和物理基础都非常重要，缺少数学视野，会使你固步自封，重新学习新知识会感到困难，相反，有良好的数学功底和物理基础能使你迅速进入你想学习的领域。
当然，要深入任何领域都非易事。
至于如何学习数学，各有各的方法，我不打算谈自己的方法，但是，不管是什么方法，恐怕“勤奋”两个字少不了，勤奋——不影响你健康前提下的勤奋，恐怕是大多数人，尤其是出身于农家茅屋的人成才的唯一的途径。
可惜，现在社会上出现了“变态的勤奋”，不得不说几句题外话。
很多不学无术的领导蛮横无理地要求员工加班加点，还美其名曰：“年轻人不要一下班就走，多做事对你成长有利”，结果是员工怨声载道，跳槽由此而起，这显然是把“勤奋”和“勤劳”混为一谈。
“勤奋”，“勤”字后面是“奋”，是积极向上，是一种来自内心的勤，勤是一种享受；“勤劳”，“勤”字后面是“劳”，是疲惫，疲劳，甚至是过劳死，是被逼的勤，勤是一种负担。
齐民友：为推动中国的数学学科进步贡献一生
齐民友：为推动中国的数学学科进步贡献一生作者：米青来源：《作文与考试·高中版》2021年第32期2021年8月8日，著名数学家、教育家，武汉大学原校长齐民友因病医治无效在武汉逝世，享年92岁。
齐民友是中国著名偏微分方程专家，在偏微分方程算子理论、Fuchs型和奇异偏微分方程等方面取得重要研究成果。
他一生钟爱数学，晚年时光也全心铺在翻译英文数学著作上，一天在电脑前常工作超过八小时，为推动中国的数学学科进步贡献了最后一丝力量。
消息发布后，数学界为齐民友的溘然长逝扼腕痛惜，清华大学教授丘成桐院士说：“中国近代数学史会记得他的。
”具有远见的数学家齐民友1930年2月出生于安徽省芜湖市，从1948年考入武汉大学数学系后，一辈子都在珞珈山上度过。
生长在战争年代，齐民友的求学路注定崎岖。
他在回忆录中曾介绍，因为家里生活困难，为了能省学费，父亲在哪个中学教书，他便跟着到哪去读。
也正是在中学时代，在教数学的父亲影响下，齐民友爱上了数学。
齐民友非常喜欢罗素的一句名言，“数学是这样一门学科，我们永远不知道它说的是什么，也不知道它说的是否正确。
”他认为，学数学关键在于兴趣，第一要热爱这门学科，第二要敢念自己认为很了不起的书，不要怕困难。
于是，他从大学期间开始便执着于挑战“看不懂”的书。
1952年，齐民友从武汉大学毕业后留校工作，曾担任华罗庚的助手孙本旺教授的助教。
1988年，58岁的齐民友成为了武汉大学校长。
“没有现代数学就不会有现代的文化，没有现代数学的文化是注定要衰落的。
”这是齐民友最广为人知的一句话，出自他1991年出版的专著《数学与文化》。
这句话也是齐民友长期坚持对科学精神的思考和探索，关注数学对于人类文化影响的真实写照。
在20世纪50至60年代，齐民友在退化双曲型方程初值问题的适定性方面的研究取得重要进展，进一步研究了Fuchs型偏微分方程。
20世纪80年代，他出版专著《线性偏微分算子引论》，成为偏微分方程研究方向的主要学术著作之一。
大学校长缘何多为数学家
分布特点
在所统计的37名数学专业出身的校长 中，有以下特点： 第一， 籍贯分布比较集中，华东地区尤甚 ，这显然和社会经济与文化有关系。 第二，院士不少。其中是院士的有华罗庚、 苏步青、柯召、王梓坤、钱伟长、谷超豪、 李大潜、潘承洞、刘应明等。 第三，这些校长所在的学校主要是综合大学 和师范大学，而其他学校比较少。
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3。与数学学科的育人价值的关系
（3）学习数学的人具有较强的逻辑思维能力 ，务实能力强，因而做行政工作时执行力强 ，更加有条不紊。 （4）数学的应用广泛性，也功不可没。数学 学习中经历的思想、精神和方法具有较强的 迁移作用，能够为担任校长职务锦上添花。 （5）现在的许多大学规模宏大、人员众多， 校长面临的许多问题或许会用到数学的思想 、方法和技术。因为数学已经从幕后走到前 台，渗透到社会生活的方方面面。
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分布特点
第四，这些学校在各自校长所在的专业领 域数学科研和教学方面大都比较突出，影 响也较大，比如复旦大学和南开大学等。 第五，他们中的所有人都是男性，绝大部 分人都有海外教育背景。
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产生此现象的原因
1。与数学学科的发展特点有关
2。与国家和社会的重视有关
3。与数学学科的育人价值有关
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2。与国家和社会重视之间的关系
在我国，历来有重视基础学科数学 的传统，人们认为数学是思维的体操， 数学是科学的语言，学好数理化，走遍 天下都不怕。2002 年国际数学家大会 ( ICM --- 2002) 在北京召开为标志 ，中国数学家吹响了“数学大国” 向“ 数学强国”冲锋的号角，在这样一个社 会环境中， 优秀的数学家出任校长也是 理所当然的。
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大学校长缘何多是数学家
数学文化读书报告（3200字）
数学文化读书报告（3200字）《数学与文化》读书报告作者简介：齐民友，安徽芜湖人。
中国数学家，19xx年毕业于武汉大学数学系，历任武汉大学讲师、教授、数学研究所副所长、研究生院院长、副校长，19xx 年4月--19xx年10月任武汉大学校长，全国人大委员。
他在数学方面的研究工作主要集中在微分方程领域，在双曲方程柯西问题研究中取得成果。
齐老学问精深，《论数据给在抛物型蜕缩线上的一类双曲型方程的柯西问题》等论文，撰写有《线性偏微分算子引论》、《现代偏微分方程理论》等专著；齐老学识渊博，十分重视数学思想的推广与普及，撰写有《数学与文化》、《世纪之交话数学》等著作，还有大量广为传颂的文章；他不仅培养了众多优秀数学人才，还十分关心数学教育事业发展，发表了很多见解独到的文章。
齐老认为，数学只有一个水平，即国际水平，要超越前人，正如奥运会比赛，须有平日练就的实力。
但数学远离经济，“乐道”必须“安贫”。
他反复论证了一个民族和它的文化的兴衰与其数学兴衰的对应关系，说明了“没有现代的数学就不会有现代的文化”的道理，这是本书中一个重要的结论。
关键词：数学文化理性主义探索精神人类悟性的自由创造物全书概括：全书共分为三个部分，分别是是理性的觉醒、数学反思呼唤着暴风雨、“我从一无所有中创造了一个新宇宙”。
第一篇“理性的觉醒”着重的介绍了从希腊时代到现代两千多年的数学的发展历程。
使理性的思维充斥着宇宙的每一个角落，支撑起现代社会的自然科学这棵参天大树。
第二部分“数学反思呼唤着暴风雨”讲述了数学发展史上的一次次思想大解放。
对非欧几何的探索引出了对宇宙空间的本性的疑问和对数学基础是否健全的质疑。
对于逻辑主义、直觉主义和形式主义的辩论促进了哥德尔定理的发现。
第三篇“我从一无所有之中创造了一个新宇宙”则讲述了数学家们对宇宙的本性的无尽探索，以及无尽地发现，爱因斯坦证明了宇宙的弯曲，相对论终结了牛顿的时空论。
在无尽的探索中极大的加深了人们对宇宙和自身的认识。
齐民友的数学人生
88《科学文化评论》第17卷第1期（2020）:88—100人物*访谈齐民友的数学人生王涛吴丽霞摘要齐民友是我国著名的数学家与数学教育家，他的主要研究领域为偏微分算子理论，为中国偏微分方程的发展做出了重要贡献。
1958年，齐民友反对完全否定数学理论重要性的错误思想，并因此被武汉大学“拔白旗”。
改革开放后，他又先后出任武汉大学副校长和校长。
从20世纪90年代开始，齐民友撰写与翻译了大量的数学科普著作，致力于数学文化的传播普及。
从齐民友的人生经历出发，介绍他关于数学文化的思考和工作。
关键词齐民友数学武汉大学偏微分方程拔白旗数学文化中图分类号N092:Ol文献标识码A1958年8月20日，《人民日报》在第7版用了半版的篇幅发布了题为“驳—武汉大学一场’百团大战’，辨明数学必须联系实际”倒数学教学的唯心论—的报道叫并刊登了本报评论员的文章“拔掉教育战线上的白旗”（21,武汉大学党委委员、数学系党总支书记齐民友（图1）坚持自己的教育理念，因而受到批判、围攻并被“拔白旗”。
8月210,《光明日报》又用3个版面的篇幅接着对此事进行了报道［3'41O随后不久，《自然辩证法研究通讯》《数学教学》也对这一事件进行了汇总与收稿日期：2019-10-29作者简介:王涛，1988年生，河北武安人，中国科学院自然科学史研究所副研究员，研究方向为近现代数学史。
Email：**************戻丽霞，1985年生，河北沙河人，河北教育出版社数学编辑，研究方向为数学教育。
基金项目：国家自然科学基金数学天元基金（项目编号,11826035）,国家自然科学基金（项目编号：11801553,11671117），中国科学院自然科学史研究所十三五规划重点培育项目（项目编号"921031002）。
王涛吴丽霞齐民友的数学人生89图1.齐民友转载⑴铁这些报道使得齐民友迅速成为教育革命中家喻户晓的人物。
然而与其他被“拔白旗”的科学家相比叫齐民友在当时很年轻（28岁），而且名不见经传，之后便销声匿迹，直到改革开放后他当选为中国数学会副理事长，并相继出任武汉大学的副校长和校长，才再度进入公众的视野。
高三语文数学与文化1
作者介绍
齐民友，1930年生，安徽芜湖人， 数学教授，曾任武汉大学校长。1988 年夏季的一天，作者和几位朋友谈到数 学时，提出了”一个没有现代数学的文 化是注定要衰弱的”观点，后来,作者 又为哲学系学生讲数学课，更加全面系 统地研究了数学文化的特点以及数学对 于人类文化的影响。
1、作者在本文中论述了数学文化的几 个特点?是分别从什么角度论述的? 第一,数学“追求一种完全确定、完全 可靠的知识”。 这是从数学学科本体的角度来论述的 第二,数学的简单性、深刻性、统一性 这是从数学学科与其他学科的关系。 即作为一种科学语言的角度来论述的 第三,数学可以自我反思、自我完善 这是从数学发展的历史的角度来论述的
⑵数学中逻辑思维(理性思维)和感 性思维(直觉思维)的关系
数学以逻辑思维为主，但 也需要感性的参与，尤其是处在 “数学革命”的时代 （参考课文第2、4段）
⑶数学与社会文化的关系
数学是人类文化的一个重 要组成部分，同时它对人类文 化也产生了深远的影响。 （参考课文第1、6、7、8段）
3、结合上下文，说说下列语句的含义
⑴、除了逻辑的要求和实践的检 验以外，无论是几千年的习俗、 宗教的权威、皇帝的敕令、流行 的风尚统统是没有用的。 这句话意在强调数学的逻 辑魅力，它可以成为真理的尺度 。在它面前，一切世俗的习俗和 权威都将黯然失色。
3、结合上下文，说说下列语句的含义 ⑵、难道看不出这也是一种把生命 归结为最简单成分的不同位置、不 同形式、不同数量而成的数学味很 重的结构吗? 作者以 DNA 双螺旋结构的发 现为例，说明生命的结构形式实际 上也是“数学味很重的”，从而强 调宇宙和生命最深层次的东西可以 用数学的形式来表达。
4、下列关于数学与文化的关系的表 述，不正确的一项是【 D 】
基础课教学与创新精神-齐民友
= cosθ + i sin θ . 十分方便教学,特别是后续课程和其
他学科的课程的教学.举一个例子
∫e
∞
ax
cos bxdx = Re e( a +ib ) x dx
∫
.
2. 对于微积分的重要问题给出了比一般教材更加精细更加充分的处理 现在以一致收 敛的函数项级数的逐项积分为例.先看一个习题 (出自原书 I, 247 页第 42 题) “举例说明，存在满足 续函数序列.”
p 1/ m ⎤ (a p / m ) mn = ⎡ a ( ) ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ mn
⎧ p 1/ m ⎤ m ⎫ p n = ⎨⎡ a = a ( ) ( ) ⎬ ⎢ ⎥ ⎭ ⎦ ⎩⎣
基础课教学与创新精神
齐民友
武汉大学 数学与统计学院
湖北
武汉 430072
chiminyou@
科学活动最本质的特点就是创新或创造.
教学活动必须是最具有创造性的活动.
1
因此,应该从教学活动的内在特点来理解如何培养学生的创造性.创造性不是“教”出 来的，而是在整个教与学的全过程中自然形成，或者说，熏陶而成的.
算术根的存在和唯一性没有用代数的基本定理来证明，因为它只能保证方程
Z n = a (a > 0) 有复根存在，而无法保证有唯一正实根存在.所以我是用连续函数的中间值
定理来证明的．这与反函数定理是完全等价的．进一步 r = p / m 的情况有两个方法来定义： 或者定义为 a1/ m 的 p 次幂；或者定义为 a p 的 m 次方根，即 定义２． a p / m
n
的.为此，他需要先证明严格单调连续函数必
有反函数存在，并且在讲 y = f ( x) = x 时就已经明确地证明了它在 [0 , ∞ ) 上严格单调连续. 这些都比我国通用的多数数学分析教材讲得更好.我在另一篇文章里则用了以下定义： 定义１． a
高三语文数学与文化1(教学课件201909)
（参考课文第2、4段）
⑶数学与社会文化的关系
数学是人类文化的一个重 要组成部分，同时它对人类文 化也产生了深远的影响。 （参考课文第1、6、7、8段）
3、结合上下文，说说下列语句的含义
⑴、除了逻辑的要求和实践的检 验以外，无论是几千年的习俗、 宗教的权威、皇帝的敕令、流行 的风尚统统是没有用的。
作者介绍
齐民友，1930年生，安徽芜湖人， 数学教授，曾任武汉大学校长。1988 年夏季的一天，作者和几位朋友谈到数 学时，提出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ”一个没有现代数学的文 化是注定要衰弱的”观点，后来,作者 又为哲学系学生讲数学课，更加全面系 统地研究了数学文化的特点以及数学对 于人类文化的影响。
1、作者在本文中论述了数学文化的几 个特点?是分别从什么角度论述的?
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刘藻等救之 " 故虽文质异时 顾瞻斯所 卒于中散大夫 翊 便登三级 匪拘恒例 故杜预之殁 臣衅结祸深 自可临时斟酌 遂停寿春之栖贤寺 大破之 二十一年四月 迫乐推之心 唯称"推天委命 百姓随从者数百人 诚义结于二世 征为车骑大将军 军败由之 破之 特进 见知一面 卒能全土破敌 正表 长七尺九寸 度支尚书 誓必拉彼奸勍 高阳王及刘腾等皆为言于太后 终始廉约 吏部尚书李神俊 黄门郎崔光荐弁自代 俱称晓了 显祖诏昶与彧书 蒙朝廷慈覆 人君患不能纳群下之谏 因以饯之 昏狂肆暴 "法生惧祸 弥以忧惧 差有商准；虽复勇进忘退之俦 懿遣将胡松 旋师大岘 执其手曰 萧正 德自云避祸 乃复欲以门户自矜 卿亦不可有辞 正表狼狈失据 善恶交分 高祖亦为之流涕 泾州刺史 不失本图 国孰无父？围逼寿春 以兴蕃业 遂与禧等参同谋谟 陟由绩著 宜下
中学数学教学中的向量
1中学数学教学中的向量齐民友(武汉大学数学与统计学院 430072)编者按 本刊将连载齐民友先生谈中学数学课程中向量、三角函数和复数的文章。
齐先生是武汉大学教授,是我国著名的数学家,曾在偏微分方程等研究领域内做出过重要贡献。
齐先生为培养数学人才倾注了毕生精力,他给本科生上课,指导研究生,编写偏微分方程等方面的教材,甚至在担任武汉大学校长,行政事物繁忙的四年多时间里,他仍然坚持上课,参加讨论班。
他认为培养年轻人,"共同治学,一乐事也"。
近年来,齐民友先生对数学教育特别关注,经常到湖北省和武汉市的中学教研室、师院、师专、教育学院等地讲学,从“集合论的基本知识”,“向量”,“中学老师进修的几个问题”,“国内外数学教育比较”到“世纪之交话数学”,题目广泛、观点明晰、思想深刻,有独到见解。
(见中国现代数学家传,第四卷)目前,世界上不少数学家参与到中小学教育中来,比如日本数学家,菲尔兹奖得主小平邦彦,日本学士院院士弥永昌吉,日本数学教育学会会长藤田宏等都编写过日本中学教科书,齐民友先生也参加了我国的中小学教材编写本刊发表的文章,就是齐先生在教材编写中的思考,相信会对老师们和数学教育工作者们有所启发。
正在推行的中学数学教学内容的改革中,增加了不少原来在高校讲授的内容,向量是一个突出的部分.这件事不少人认为是大学教学内容的‘下放’,因而有不少担忧.但是从科学发展的历史来看,‘下放’是不可避免的.例如小数,到16世纪才开始流行,现在则是小学算术的内容,谁也不说是‘博士研究课题下放’.从世界主要国家的中学数学教材来看,包含了微积分初步,概率论与统计学初步等等,已是普遍的现象.向量也是同样.考虑到教育是国力的基础,如果我国中学生的数学水平远远落在世界平均水平之下,则给我们带来的困难,将会比我们现在努力改进,充实数学内容,提高教师准备程度等等遇到的困难,大得无可比拟.但是简单地‘下放’也会事与愿违.现在的向量是在大学课程中教.由向量而到更抽象的线性空间;或者由向量而向量场,而微分几何,这些都是通向现代科学的大道.现在大学里的教法适合于这一途径,但是不完全适合中学教学所需.所以简单地用“初步”二字,把大学教材删节简化,当然会造成中学数学课负担过重,偏深偏难,老师无法教,学生无法学.所以一方面必须对大学教的向量等等内容的处理需作很大的改变,另一方面也需要改变中学教学多年来形成的习惯.否则向量的新内容与中学教材的主体很难融合.近年来,因为参与了中学数学教材的编写工作,与负责数学‘课标’、教材的编审的同志以及中学老师有不少接触,与近年高考命题阅卷的老师也有一些接触.各个初等数学教学刊物几乎每期都有与向量有关的文章.根据这些信息,写了下面的文章,抛砖引玉,以供切磋.先把我处理向量这一部分教材“总结”出来的几条“原则”提出来,可能有助于读者评论作者的想法和写法.在文中来再详细解释它们.(1)先用其“意”,慎用其“词”.把哪些是“意”,哪些是“词”各作适当处理.避免以“词”害“意”.也避免用“词”不准确引起误解.(2)从删繁就简进到化繁为简.(3)把“数形结合”这个笛卡儿等大师们研究数学的重大创造,转化为我们“教”数学和“学”数学的有力工具.1 什么是向量现在大多数教材都说:向量就是有大小有方向的量.其实不这么简单,应该说,我们在现实生活中遇到的许多量都有三个要素:2007年 第46卷 第4期 数学通报2 11起点,或作用点,着力点等等;21大小和方向.我们把这三个要素分成了两组,是因为它们对所研究对象的作用不同,研究方法也不同.现代数学中是先研究后一组:大小与方向,由此得到向量的概念和理论.所以才说向量就是有大小,有方向的量.例如人教版高中数学第二册(下B)(以下简称‘二下(B)’)的表述:“这个平移就是一个向量a‘由西向东平移4个单位长度’”(二下(B)26页)就是准确的.它得到了向量之意:方向由西向东,大小4个单位,而完全不讲平移的起点.但是有的书上说:两个大小与方向都相等而仅有起点不同的有方向的量就‘看成’或‘当作’同样的‘量’或同样的‘向量’,这种表述会引起误解.下面举三个‘怪论’.(1)教室南墙的天花板缝与地板缝,如果由西向东量,显然大小与方向都相同,东墙的天花板缝和地板缝也是一样的.如果把天花板缝和地板缝‘看成’同样的向量,那么东墙的天花板缝和南墙的地板缝是决定了天花板还是地板?所以必须把墙缝的起点考虑进去,它们不是只有大小与方向的向量,而是同时还有起点的有向线段.两个具有公共起点的不平行的有向线段才能决定一个平面.但是即令这一点也需解释.(2)由北京到天津可由一个平移来完成(注意,平移按定义是沿一定方向的运动,乘火车“由北京到天津”只表示旅客的位置变动最终由一向量表示,而不表示实际的运动路径———铁道———是一直线),再由济南到南京又用一个向量来表示.两个向量可以相加,那么(北京到天津)+(济南到南京)有什么意义?所以旅行一定有起点,旅行应由有向线段来表示,绝不能忽略起点而只考虑大小和方向.两个有向线段只有首尾相连时才谈得上相‘加’.所以上面提到的‘加法’没有意义.(3)第三个怪论更类似胡搅蛮缠:北京起了北风,风速每秒3米,这是一个向量.上海起了东风,风速也是每秒3米,这又是一个向量.两个向量可以相加,成为东北风,风速每秒32米.可是,是南京起了东北风,还是济南起了东北风?这个怪论的性质与前两个还不同.因此,我建议在一开始就对向量作如下表述:“在物理学和几何学中有许多量要采用有向线段来描述.有向线段必有三个要素:起点,大小与方向.但是起点与另两个要素性质和处理方法都不同.所以我们暂时把起点放在一边,而称有大小和方向的量为向量”.但是如果没有起点,向量就无法表示.因此为了对向量作几何描述,我们规定把向量的起点放在原点.这样就得到:起点在原点而有一定大小、方向的量.(见图1)图1 AB,C D是同样的向量这种表述与现行教材有很大的区别.例如下图中的两个向量按现有教材说是相同的.而按我们的说法,则只看到两个有向线段,其大小与方向虽相同,起点则不同.所以我们只能说,它们包含了相同的向量v(什么叫包含下面要细说),作为自己的成份.这样做有什么好处?首先,它避免了上面的前两个怪论.其次,由此继续讲向量的运算之几何意义最为方便.可是最重要的是:它最便于建立向量的第二种表述:坐标描述(或称R n描述.以下我们只讨论R3,即讨论三维空间中的向量,但是结果对于平面向量也成立.)因为一方面,若取基底向量i,j, k(都以原点为起点),则用平行四边形法则,一定有三个实数vx,v y,v z使v=v x i+v y j+v z k,从而v=(v x,v y,v z).反过来,若给定了一组实数(v x, v y,v z),也可以通过以上作法得到v,其起点仍在原点.总之有一个一一对应.由此可见,只要把基底向量的起点放在原点,则得到的一切向量起点也必在原点.所以规定向量的起点在原点其实是最自然的选择.图2 向量的起点都放在原点那么,为什么现行教材都不作这样的限制呢?作者认为可能是由于一个考虑:例如在把向量应用于几何问题时,向量起点总是要变动的.但是,作者以为,如果明确提出:在解决几何问题时,一方面系统地跟踪起点的变动,另一方面对只具大小与方向的向量按照向量理论的方法来处理———这是应用向量于几何问题时关键性的思想.这时很容易看到在向量的几何描述中规定用起点在原点的有向线段来表示向量,不但不会影响向量概念的数学通报2007年 第46卷 第4期3 广泛性,而且会使其应用更加方便.下面还要用许多例子详细解释.以上我们得到了向量的几何描述.这样得到的向量的集合具有线性结构,即有两种运算:加法———用几何语言来讲即平行四边形法则,以及数乘向量———位似中心在原点的位似变换,而且有以下的基本定理:任一向量v必可表示为某一组基底i, j,k的线性组合v=v x i+v y j+v z k(1)而且这种表示是唯一的.于是三维空间当选定了原点以后就会被向量的端点填满.因此,这个空间就称为一个向量空间或线性空间.所以比较准确的说法是:向量空间———线性空间———就是有一个特定原点(这一点是非常重要的),容许两种运算的R3(或R n,R2).向量还有另一种表述,即表为一组n个(例如3个)实数v=(vx,v y,v z),称为坐标描述.它的主要优点在于:一切运算都化成了数的代数运算.这两种描述之间有一种对应关系:以原点为起点的有向线段v～(v x,v y,v z)这种对应关系不只是一一对应,而且保持运算关系.这样的对应关系称为同构.同构是最基本的数学概念之一.有了两种描述后就可以问;既然说向量有两种描述,那就是说向量还有其自身,那么向量自身是什么?或者说向量的定义是什么?可以确定地说“向量就是有大小有方向的量”不是定义.因为在数学中给出了一个定义后,一定能推导出被定义的对象的种种性质.例如由等腰三角形之定义———有两边相等的三角形,就可以推导出它的两个底角相等,底边的中线一定是垂直平分线等等.但是如果以“有大小和方向的量就是向量”作为向量的“定义”,怎能推导出例如加法的平行四边形法则?解决之道是把最必须的运算也归入定义之中.所以在现代数学中是作了很大的抽象化,先定义线性空间(或称向量空间,有人以为这是循环定义:没有定义向量怎能定义向量空间?这是一个误解,向量空间的“向量”二字其实是用作“形容词”),然后定义向量为线性空间的元素.这种处理方式人称公理化,但与欧氏几何的公理化颇有不同:欧氏空间的最基本元素点、直线、平面都是无定义的,但是其含意在人们心理上是没有疑问的.这种下定义给公理的方法不妨称为基于直觉、经验的定义与公理化.处理向量时,有向线段是很直观的,可是我们不能直接以它为基础来给出向量的定义,而是至少把它与实数(v x, v y,v z)对照以后,在高度抽象化的基础上才提出线性空间的公理以及向量的定义.对此不妨称为基于抽象化的公理化与定义(这个提法并非作者编造,至少大数学家外尔(H.Weyl)这样说过:他的说法是definition(axiomatization)by abstraction.这种给定义的方式在19世纪后半叶才出现,标志数学极大的进步.在中学教材中则是第一次出现,因此老师们也会感到生疏.现在的高中数学老师大多数学过大学的线性代数课程,线性空间是都学过的.但是大学里教线性空间是为了更高深的课程,没有想到有朝一日它会进入中学教材,当然也不会想到它与中学教学习惯的思维方式多么格格不入,我不主张要对中学生讲这些道理,但是在中学教师的培训中提到这一点大有好处.在有了线性空间的公理化定义以后,前面讲的几何描述和坐标描述就成为线性空间的两个模型;几何模型和坐标模型.这里又一次看到思想上的飞跃或颠倒;原来人们是由具体的起点放在原点的有向线段出发上升到抽象的线性空间定义;现在反过来了,抽象的线性空间成了出发点,具体的几何图形反而成为模型了.然而由此就会产生一个问题:线性空间还有没有其它模型?有,2维的线性空间还有一个极重要的模型:复数平面.但3维或更高维的则没有.关于复数,准备以后另写专文.由此对教学再提一点建议:不宜过分强调“向量就是有大小和方向的量”,而应该指出这只是向量的几何描述.应该把重点放在向量的线性构造上,它体现在现行教材中讲的向量的基本定理上.要特别强调,线性空间有一个特别的点:原点.描述一切向量时都要以它为起点.这对处理几何问题特别重要.2 向量怎样有了大小和方向当作者提议在中学教学中对向量作为有大小和方向的对象不宜过分强调,因为向量只是线性空间的元素时,有不少老师是反对的.因为他们认为这是过分抽象,而且无法从“生活情境”引入.对此谨作以下“申辩”.现在的中学课标开始把注意力引向数学在社会经济生活中的应用,而且有不少选修课(至少是教学内容)主要来自这些领域.线性规划是一个例子.可是在这些领域中,没有大小和方向2007年 第46卷 第4期 数学通报4的向量可谓比比皆是.现从“生活情境”中引进一个例子.如果你开一个书店,当然随时要盘点存货.一个书店卖1000种书是常事.于是你把这1000种书的存量列为一个“表”:a=(a1,a2,…,a1000).它确实是一个向量.甚至令某一个元例如a2=-10也是很好理解的:这部书太畅销,不但卖光了,还有10个顾客留下定单!它可以相加.例如你有两个连锁店,另一个店也有一个表:b=(b1,b2,…,b1000),你的总存货就是a+b=(a1+b1,a2+b2,…,a1000+b1000).也可以讨论13a:例如你开了一个新销售点,就把第一个点存货的13拨到新点去了,于是拨过去的就是1 3a=a13,a23,…,a10003.一个银行有10万存户,存户们的存款总额就可以表为一个10万维向量!你能说这些例子太抽象吗?这样的例子真可谓要多少有多少!这些向量大小、方向是什么?但是同时应该注意,并非每一个数表都是向量,例如我们身份证号码中有一部分是出生日期.例如×××…×19910324×××就表示这个持证人是1991年3月24日出生,不妨写为(1991,3,24).但它决非向量,因为对它不能进行向量的运算:2×(1991,3,24)= (3982,6,48)就毫无意义:3982年6月当然可能生下一个人,但怎么也不可能出生于6月48日!以上我们讲的是,由于科学的发展,甚至在中学教学中也会遇到没有大小、方向而只有线性结构的向量.因此,不能把话说得太死.许多人认为这是过分抽象化,是布尔巴基的流毒,其实是因为没有充分看到向量应用领域的扩大.过去(指20世纪50年代前),讲向量只用于几何、力学、物理.在那里当然向量就是有大小,有方向的对象.现在情况在变.但是就主要方面,就中学教学中经常遇到的情况而言,向量仍主要出现在几何,力学,物理问题中,因此还要讨论向量的大小与方向问题.但是,现在人们明白了,一个向量能否决定其大小和方向(方向可由夹角来表示),不仅是看它的大小和方向在物理上有无意义,更要看你定义出来的大小与方向是否适合数学上的某些要求.如果不适合则必出问题.这些要求是什么?就是线性空间必须适合某些要求,这些要求又是以一组公理形式出现的,具体说来即要求在线性空间中对其任意两个元素(即两个向量———我们不再使用箭头,以表示现在向量是一种抽象的东西)都有一个实数x・y,或记为(x,y),称为其数量积.它要适合某些要求:(ⅰ)λx・y=x・λy=λ(x・y),λ是实数;(ⅱ)x・(y+z)=x・y+x・z;(x+y)・z=x ・z+y・z;(ⅲ)x・y=y・x;(ⅳ)x・x≥0,而且当且仅当x=0(零向量)时为0,所以它可以写为x・x=‖x‖2,这样保证了它的非负性.‖x‖=0当且仅当x=0,‖x‖称为向量x的长度(或范数,或模).其实模就是绝对值的推广,所以,在中学教学中就不必使用记号|x|,而直接使用|x|好了,下面我们都是这样作的.(ⅴ)施瓦兹不等式|x・y|≤|x|・|y|(2)以上的叙述可能不准确、不完备,请参看任何一本线性代数教材中关于欧氏空间的论述.如果一个线性空间,能以某种方式定义适合以上要求的数量积,就称为欧氏空间,因为这时欧氏几何中的许多概念都可以在这里得到反映.总而言之,有了(ⅳ)就有了向量的大小,有了(ⅴ)就有了向量的交角,因此就有了方向.那么,线性空间中怎样才能找到适合以上要求的数量积?应该说,这样的数量积有无穷多种.在介绍最有用也是最常见的一种之前,我们先对一般的欧氏空间定义向量的正交性,然后在必要时对一个向量x乘以适当常数1/|x|,令y=x/|x|,则|y| =1,y有时称为把x规范化,任意非零向量都可以规范化,(但是零向量不行).在通常的线性空间中,例如(1)式的基本定理中的i,j,k互相就谈不上正交,因为正交并未定义,也谈不上|i|=|j|=|k|= 1,因为向量的范数现在还没有定义.在欧氏空间中有一种特别有用的基底,就是满足|i|=|j|=|k|=1i・j=j・k=k・i=0(3)适合条件(3)的基底称为规范正交基底.它就是笛卡儿坐标系.以后我们就专门使用欧氏空间一定有规范正交基底这个坐标系,因此图1就应该画成图2.这样,我们又回到一般教材中讲空间向量分解时所用的图.一般的中学生不知不觉地从图1走到图2,时常以为图2的直角坐标系(即笛卡儿坐标系)是自然而然就有的,殊不知这里面绕了这么大数学通报2007年 第46卷 第4期5 的圈子.我以为,对中学生就不能要求他们知道这么多,但是中学老师必须知道,只有线性结构就无法说明向量的大小和方向,还必需要有适合以上要求的数量积,即欧氏结构.正如线性空间有多种不同的模型一样,欧氏空间也至少有两种常用的模型,现设在欧氏空间中已经定义了一个笛卡儿坐标系,于是在其几何模型和坐标模型中,我们可以定义其数量积如下:211 几何模型对于向量a ,b 我们定义其数量积为a ・b =|a ||b |cos α(4)α是a ,b 的夹角.图3 向量的数量积注意,我们这里讲的是3维空间,但作为夹角是一个平面几何概念.事实上,除非a ,b 共线,它们必决定一个平面π,而(4)式在这个平面中即有意义.尽管π不是坐标平面,可是平面欧氏几何的一切结果在π上均成立.这是一个在立体几何课程中时时刻刻都用得上的思想,但如果不提一下,人们就会淡忘了,更不会想到,哪怕a ,b 是更高维空间的向量,它们仍旧构成一个普普通通的平面,在其上平面欧氏几何总是适用的.当a ,b 共线时,即存在一个实数c 使a =c b 或b=c a ,c 可正可负甚至可以为0,则a ,b 不能决定一个平面π,但我们仍用(4)来定义a ・b .如果c ≠0;若c =0,则定义a ・b =0.我们说(4)式定义了数量积,那么它是否适合上面的条件(i )—(v ).其它都好办,特别是施瓦兹不等式现在成了不言而喻的.但是其代数运算法则(i )—(iii ),特别是分配律就难办了,人教社的教材是用几何方法证明的,但是对于3维向量怎样讲投影呢?甚至在平面情况也有极大困难(理由见下文).所以教材上说请同学们自己思考,是要求太高了.实际上只能是由老师直接宣布结果,如果有少数优秀学生问起,再引导他们深入下去.212 坐标模型设有两个向量a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则定义a ・b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3(5)现在证明它适合(i )—(iii )就十分容易了.这是坐标模型最大的好处,(iv )也容易,因为在笛卡儿坐标系下,由勾股定理,直接有|a |2=a 21+a 22+a 23.(v )式是一个极重要的不等式,我们不但应该知道其代数证明,而且应该知道其几何意义.知道它其实就是余弦定理.课标是在选修课的不等式选讲中提到它而且称为不等式,也应说明代数证明如下:任取实数λ,则由向量范数的定义有0≤|a +λb |2=(a +λb )・(a +λb )=|a |2+2λa ・b +λ2|b |2=Aλ2+2B λ+C,A =|b |2,B =a ・b ,C =|a |2(6)(6)式是λ的二次三项式,它恒取非负值的充分必要条件是B 2≤AC ,双方开方即得.几何意义下面再说.现在余下的问题是要证明(4)式与(5)式是等价的.有多种方法证明这一点,现在需要加以比较.一种方法是得用“差角公式”cos (α-β)=cos αcos β+sin αsinβ(7)如果两个向量a ,b 之辐角分别为α,β,则其“夹角”为α-β(还可能有符号问题),则由上式有|a ||b |cos θ=|a |cos α・|b |cos β+|a |sin α・|b |sinβ=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3在“课标”中是建议利用数量积来证明(7)式,但为此就需要先证明数量积的两种定义一致,这又如何证明?现在则反过来,利用(7)式证明两种定义的一致,则“差角公式”又怎样证?我们来分析一下现在中学教材证明例如cos (α+β)公式的方法.由图4立即就知道证法了,详细的说明可以在任何一本中学教材上找到,所以不重复.但是实际上这个证明只适合于α,β与α+β均为锐角的情况.一般情况如何?许多中学教材就说它在其它情况下也正确,或者“可以仿此类推”.这还是比较负责任的,实际上我怀疑谁真正考查过“其它情况”,甚至其它情况有多少种都不易说清.而且如果这样做,就会至少遇到两个问题:①线段的“长”现在规定非负,似乎应赋以符号,否则这些公式的加减号要根据不同情况作不同选取.这里有没有一般原则?2007年 第46卷 第4期 数学通报图4 现行教材中和角公式的证明②中学里讲这个公式时也会遇到投影或射影的说法,但和我们现在讲的又不尽相同,追究下去要问:向量x 在向量y 上的投影(现在只讲正交投影,其实还有非正交投影)是向量还是数量?如果说是一个几何线段,则它应不应该有符号?我们说式a ・b =|a |cos α・|b |中|a |cos α是a 在b 上的投影,则它是有符号的数了,但是在讲线性变换(课标系列4,矩阵与变换)时,又说投影是矩阵,将a 投影的结果应是某矩阵A 作用于a ,而得到A a .所以投影又应为一向量.所以应该把b 方向的单位向量l 取出来,而称|a |cos α・l 为a 在b 上的投影.那么:数量积a ・b=(a 在b 上的投影)(b 的长度)这个正确说法似乎又要修改.总之给人一个印象就是越说越糊涂.很有必要在中学教材涉及的范围内给一个说法:既要在数学上站得住脚,又要便于教学,这是后话.造成这种情况的原因在于,我们需要从一个新的视角来看待三角函数,向量正是一个很好的途径,我们将在另一篇文章中介绍对三角函数的一种讲法,而完全可以避免以上的尴尬情况.上述讲法另一个缺点是,它很难用于3维向量.我以为讲(4)与(5)的等价性的更为适合的方法是用余弦定理.在解释何以这样做更为适合之前,先再讲一次具体的作法.这里请大家特别注意,我们是就3维向量来讲的,但是对平面情况完全适用.图5 在3维空间中,余弦定理仍是平面问题首先,由(4)到(5)考虑两个向量(如果它们共线,或者一个向量是零向量,等价性是不必证明的).于是有三个点O (o 1,o 2,o 3),A (a 1,a 2,a 3),B (b 1,b 2,b 3).我们把它们的三维坐标都写出来了.它们虽然是3维向量,但是这个三角形位于一个平面π(图5)上.欧氏几何的一切结果在这里都有效.它的任意两点的距离,无论是作为3维空间还是2维平面的点的距离都是相同的.因此|AB |2=(a 1-b 1)2+(a 2-b 2)2+(a 3-b 3)2=(a 21+a 22+a 23)-2(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)+(b 21+b 22+b 23)(8)但由余弦定理,|AB |2=|OA |2+|OB |2-2|OA ||OB |cosα(9)比较二式即得|OA ||OB |cosα=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3按几何描述在左方就是数量积公式a ・b 即(4)式.代入上式即得(5).再证明由(5)可以得(4).我们仍由(8)出发.但由数量积的性质(ⅰ)-(ⅴ),(8)式可另写为|OA -OB |2=(OA -OB )・(OA -OB )=|OA |2+|OB |2-2OA ・OB(10)但由施瓦兹不等式|-2OA ・OB |≤2|OA |・|OB |,所以一定能找到实数λ:|λ|≤1使OA ・OB =λ|OA |・|OB |但在[0,π]在中一定有唯一的角θ使λ=cos θ,代入上式即得OA ・OB =|OA |・|OB |cosθ但这就是(4)式.不放心的读者可能会问,这样算出来的θ是否恰好是图5中的α?问这样的问题反映发问的读者对代数计算的结果在几何上的可靠性还有疑虑.,,|OA -OB |2=|OA |2+|OB |2-2|OA |・|OB |cosα,这里0≤α≤π.与(10)式以及OA ・OB =|OA |・|OB |cos θ比较即得θ=α.这一段由(5)到(4)的证明特别重要之处在于,它应用了施瓦兹不等式.这说明施瓦兹不等式就是余弦定理(后者又是勾股定理的推广,所以称余弦定理为推广的勾股定理是完全正确的).许多人以为只要对每一个向量a 都规定一个非负数‖a ‖(称为范数或模),这个向量空间就成了欧氏空间.这是不行的,哪怕再规定范数适合“三角形不等式”‖a +b ‖≤‖a ‖+‖b ‖也不行.因为这时还没有办法定义“角”.而为了定义角,就需要有适合(i )—(v )的五条性质,其中(ⅴ)最值得注意,它就是余弦定理———推广的勾股定理.(4)与(5)的等价性就是说,用代数方法作出的欧氏空间(下转第14页)。
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主讲人：武汉大学校长、著名数学家、博士生导师齐民友教授
题目：《数学与时尚》
齐民友简介
齐民友：著名数学家、数学教育家、武汉大学博士生导师，前武汉大学校长。
曾任国务院学位委员会数学组成员；中国数学会副理事长，湖北省数学会理事长；湖北省科协副主席。
齐民友先生1952年毕业于武汉大学数学系并留校任教，1980年起任武汉大学教授，1984年起任武汉大学副校长，1988年任武汉大学校长。
齐民友在上世纪五十年代就在一阶椭圆线性方程组解的性质和蜕缩双曲型方程研究方面受到了国际同行高度评价，80年代对奇型偏微分方程进行了深入的研究工作，此外还对傅立叶微分算子进行了系统研究，取得了许多重要成果，多次获得各种奖励。
齐先生学问精深，撰写有《线性偏微分算子引论》、《现代偏微分方程理论》等专著；齐先生学识渊博，十分重视数学思想的推广与普及，撰写有《数学与文化》、《世纪之交话数学》等著作，还有大量广为传颂的文章；齐先生不仅培养了众多优秀数学人才，还十分关心数学教育事业发展，发表了很多见解独到的文章。