永不落伍的二次函数

如 ： ＝ 一 ｘ ＋３ ６ ３ ≤ 一１ ， 该 函数 的 值 域 ． Ｙ ２ ＋ （一 ≤ ）求
三 、 次 函数 的 知 识 可 以准 确 反 映 学 生 的 数 学 思 维 二 类 型 Ｖ 设 二 次 函数 ｆ ）＝ｏ ＋ ＋ｃ ａ＞ ） 方 程 （ （ ０ ，
１
固和 熟 悉 这 方 面 知 识 ， 以再 给 学 生 补 充 一 些 练 习． 可
是机 械 的 ， 很难 从本 质上 加 以理 解． 入 高 中 以后 ， 进 尤其 是 高 三 复 习阶 段 ， 要对 他们 的基 本 概念 和基 本性 质 （ 图像 以及单 调 性 、 奇偶 性 、 界性 ） 有 灵活 应用 ， 对二 次 函数就 需再 深 入学 习． 进 一 步 深 入 理解 函 数概 念
这 里 要 使 学 生 注 意 这 些 函 数 与 二 次 函 数 的 差 异 和 联 系 ， 握 把 含 有 绝 对 值 记 号 的 函 数 用 分 段 函 数 去 表 示 ， 后 掌 然
面 出其 图像 ．
类 型 Ⅳ 设 ＿ ）： 一２ 厂 （ ｘ一１ 区 间 ［ ，＋１ 上 的 最 在 ｔｔ ］ 小 值 是 ｇ ｔ ． ｇ ｔ并 画 出 Ｙ： （ ） 图像 ． （）求 （） ｇ ｔ的 解
， ）一 ＝ （ ０的 两个 根 １ ２ 足 ０＜ ＜ ＜ ，． ， 满 ｌ ２ 一 ｔ Ｉ
口
掌 握 函数 值 的 记 号后 ， 以让 学 生进 一 步 处 理如 下 问 题 ： 可 类 型 Ｉ 已知 ． ）＝ ＋ ＋１ 求 厂 ＋１ ． 厂 （ ， （ ） 这 里 不 能 把 ， ＋１ 理解 为 ＝ 十１时 的 函 数 值 ， 能 （ ） 只 理 解 为 自变 量 为 ＋１的 函 数值 ．
Ａ 的元 素 对 应 ， 为 ＿ ）＝ｎ ＋ ＋ （ ≠０ ， 里 。 ＋ 记 厂 （ ｃ０ ）这 ＋Ｃ 示 对 应 法 则 ， 表 示 定 义 域 中 的元 素 在 值 域 中 的 表 又 象． 尤其 注 意 的是 集合 Ｂ并 不 是值 域 而 应 该 包 含 值 域 ． 在初 中教材 中 ， 二 次 函数 作 了较 详 细 的研 究 ， 对 由于 初 中 学生 基 础薄 弱 ， 受 其 接受 能力 的限 制 ， 部 分 内容 的学 习多 又 这
值 一２ ．
＿ ）＝ 一２ 厂 （ ｘ一１ 一１ 一 ， ＝（ ） ２ 在 ＝１ 取 最 小 时
当 １ ￡ｔ ］ 即 ０ ≤１ｇ ｔ ∈［， ＋１ ， ≤ｔ ， （）＝ 一 ； ２ 当ｔ ＞１时 ， （）＝ （）＝ 一 ｔ ； ｇ ｔ ＿ ｔ ｔ ２ 一１ 厂
当 ｔ ０时 ， （ ）＝ （ ＋１ ＜ ｇ ｔ ＿ ｔ ）＝ｔ 一 ． 厂 ２ ｒ 一２ ｔ ）， ｔ （ ＜０
解题 思 路
二
本 题 要 证 明 的是 ＜ （ ，（ ， ）， ）＜ 和 。 １ ＜
＋１的象 是 一 ｘ＋１求 定 义 域 中元 素 的 象 ， 本 质 是 ４ ， 其 求对应法则．
一
÷， 由题 中所提供 的信息可 以联想 到： ｆ ）＝ 说明抛物 （ （ ， ｇ
线 与 直 线 Ｙ＝ 在 第 一 象 限 内 有 两 个 不 同 的 交 点 ； 方 程 ② ， ）一 ＝ （ ０可 变 为 Ⅱ ＋（ ｂ一１ ＋１＝ 它 的 两 根 为 ， ） ０， ， 可得 到 ， 与 ｎ ｂ ｃ 间 的 关 系 式 ， ，，之 因此 解 题 思 路 明显 有 三 条 ： 图 像 法 ； 利 用 一 元 二 次 方 程 根 与 系数 关 系 ； ① ② ③ 利 用一 元 二 次方 程 的求 根 公 式 ， 之 以 不 等 式 的 推 导． 辅 现 以思 路② 为例 解 决 这道 题 ： （ ） 证 明 ＜ １先 ） 令 ｆ ）＝ （ ， （ ， ）一 因 为 。 是 ， ，
一
、
初 中 阶段 已经 讲 述 了 函数 的 定 义 ， 入 高 中后 在 学 习集 进
合 的基 础 上 又 学 习 了 映 射 ， 着 重 新 学 习 函 数 概 念 ， 要 是 接 主 用 映射 观 点 来 阐 明 函数 ， 时 就 可 以 用 学 生 已经 有 一 定 了解 这 的函数 ， 特别 是 二 次 函数 为 例 来 加 以 更 深 刻 的 认 识 函数 的概 念 ， 而 使学 生 对 函数 的 概 念 有 一 个 较 明确 的 认 识 ． 学 生 从 在
●
专 题 研 究
・ ・
一
பைடு நூலகம்蠛
薰 噼
舔 酶
●
永不落伍的二次函数
◎ 车道 胜 （ 京 市 浦 口区 中等 专 业 学校 南 ２ １０ ） １８ ０
【 摘要 】 对二次 函数的学习贯穿于整个 中学阶段的数学
学 习 过程 中 ， 其 概 念 、 值 、 质 的 学 习就 能 提 高 学 生 质 对 最 性 疑 辨 析 能 力 ， 利 于 培 养 学 生 的思 维 品 质 ， 而 不 断提 高 学 有 从 生 思 维 能 力 ， 而 有 利 于 培 养 学 生 思 维 的创 造 性． 进 【 关键 词 】 次 函数 ； 二 概念 ； 质 性 二 次 函数 是 从 一 个 集 合 Ａ 定 义 域 ） 集 合 Ｂ上 的 映 射 （ 到 ＿Ａ Ｂ， 得 集 合 曰 中的 元 素 Ｙ＝ ＋ ＋ｃ ｏ ） 集 合 厂 — 使 ： ｏ （ ≠０ 与
类 型 Ⅱ 设 ， ＋１ 一 ＋ ， （ ）＝ １ 求 ） ． 这 个 问 题 理 解 为 ， 知 对 应 法 则 ｆ下 ， 义 域 中 的 元 素 已 定
（） １ 当 ∈（ ， ） ， 明 ＜ （ ０ 时 证 ， ）＜ ． （ ） 函 数 ｆ（ ２设 ）的 图 像 关 于 直 线 ＝‰ 对 称 ， 明 证
ｇｔ （）＝Ｊ一 （ ≤ｔ ） ２ ０ ≤１ ，
Ｌ — １ ＞ ） ， ２～ “ １． ２
首 先 要 使 学 生 弄 清 楚 题 意 ， 般 地 ， 个 二 次 函 数 在 实 一 一 数 集 合 Ｒ 上 或 是 只 有 最 小 值 或 是 只 有 最 大 值 ， 当定 义 域 但 发 生 变 化 时 ， 最 大 值 或 最 小 值 的 情 况 也 随 之 变 化 ． 了巩 取 为