3.1.4向量的正分解及其坐标表示
课件14：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
解：连接 BO，则BF ＝21BP＝12(BO＋OP) ＝12(BA＋ AO＋OP)＝21(c－b－a)＝－21a－12b＋12c. BE＝BC ＋CE＝－a＋12CP ＝－a＋21(CO ＋OP )＝－a－21b＋12c.
AE ＝ AP＋PE＝ AO＋OP＋12(PO＋OC ) ＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. EF ＝12CB＝21OA＝12a.
(2)∵ A1B＝OB－OA1 ＝OB－(OA＋ AA1 ) ＝OB－OA－ AA1 ＝2e2－4e1－4e3, ∴ A1B＝(－4,2，－4)．
(1)三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的 充要条件． (2)用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一 的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的 应用；若基底{a，b，c}为单位正交基底，可由p＝ xa＋yb＋zc得到p的坐标为(x，y，z)．
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
－3x＋y＝1，
∴x＋y＝2， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC.
∴OA，OB ，OC 不共面．
故{OA，OB ，OC }能作为空间的一个基底.
考点二 用基底表示向量 例 2 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC. 设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的中点， 试用 a，b，c 表示BF ,BE, AE ,EF .
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令， 由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火 灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终 于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南 500米”、“东400米”“5楼”三个量确定. 设e1是向南的单 位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
3.1.4--3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示-PPT文档
5.角度的计算 已知空间两非零向量 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b
ab ab x1 x2 y1 y2 z1 z2 x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
a 与 b 同向； o s a ,b 1 注意：（1）当 c 时，
提问：平面内的任一向量 p 都可以用两个不共线的 向量a 、b 表示（平面向量基本定理）。 对于空间任意向量，有没有类似的结论呢 ？
空间向量基本定理 ：如果三个向量 a
p x a y b z c
、b 、c
那么对空间任一向量 p 存在唯一有序实数组 不共面，
{x,y,z},使得
即，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量 表示出来。
( 1 ) a ( 2 ,3 , 3 ) ， b ( 1 , 0 , 0 ) ;
( 2 ) a ( 1 , 1 , 1 ) ， b ( 1 , 0 , 1 ) ;
此 时 ， P 在 空 间 直 角 坐 标 系 O x y z 中 的 坐 标 为 ( x , y , z ) 记 作 ： P ( x ,,) y z ， 且 P ( x ,,) y z 。
3
教材P94 例4
教材P94 练习
如果知道有向线段的起点和终点的坐标,
那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
1、将空间向量的运算与坐标表示结合起来， 不仅可以解决夹角和距离的计算问题， 而且可以使一些问题的解决变得简单 2、几何问题---向量问题---向量坐标问题 3、几何推理---向量坐标计算
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
C
N
B
仲元中学黄锡泉
作业 课本第98页,习题A组第11题
仲元中学黄锡泉
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
设 i, j, k 是空间三个两两垂直的向量,
p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
p xi y j zk
P
k
io
j
y
x 仲元中学黄锡泉
Q
空间向量的基本定理
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间
任一向量 p ,存在有序实数组{x,y,z},使得
AB’的中点为M,BC’的中点为N,求下列向量
的坐标:
(1, 1 , 1 )
(1)OM ________2_2
(2)ON _______(12_,_1_, 12) (3)MN ______(__12_,_12 ,0)
(4)C ' M
_____(_1_, _12_,_
1 2
)
z
O'
C' B'
G C
B
发展性训练1
1.在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则 AB _(_x_2-_x_1_,y_2_-_y_1_,z_2_-_z1_), BA _(_x_1_-_x_2,_y_1_-y__2,_z_1-_z_2.)
仲元中学黄锡泉
发展性训练２
2.如图,边长为1的正方体OABC-O’A’B’C’中,
p xa yb zc {a, b, c}叫做空间一个基底(base) a,b,c都叫做基向量(base vectors).
仲元中学黄锡泉
单位正任一向量,则存在一个有序
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
j
P y
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间 任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。
z P y
k O
i x
j
Q
思考：在空间中，如果用任意三个不
共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得 到类似的结论吗？
A E= A , D1F 平面ADE .
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.
练习 3⑵.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
1 ba ） c 则ca x （ 2
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
z
以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
x
i
O
y
j
y 记
练习 2: ⑴已知 A（ 0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x 2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角，则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2 ⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 174 距离. 6
学案10：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.了解空间向量的正交分解的含义.2.掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．学习重点：空间向量基本定理的应用．学习难点：应用空间向量基本定理解决问题．要点整合细读课本知识点一空间向量基本定理[填一填]1．定理：条件：三个向量a，b，c．结论：对空间任一向量p，存在有序实数组，使得p＝x a＋y b＋z c.2．基底：空间中任何的三个向量a，b，c都可以构成空间的一个基底，即{a，b，c}．3．基向量：空间的一个基底{a，b，c}中的向量a，b，c都叫做基向量．[答一答]1．(1)空间中怎样的向量能构成基底？(2)基底与基向量的概念有什么不同？2．空间的基底唯一吗？3．为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．单位正交基底：有公共起点O的三个的单位向量e1，e2，e3称为．2．空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.3．空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p ，一定可以把它 ，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.把 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，即点P 的坐标为 ．[答一答]4．与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？5．向量可以平移，向量p 在坐标系中的坐标唯一吗？特别关注1．空间向量基本定理注意点空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．我们在用选定的基向量表示指定的向量时．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．2．空间向量与平面向量的坐标运算的联系类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．典例讲破类型一 空间向量基本定理的理解例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？通法提炼判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断. 针对训练1已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c类型二 用基底表示向量例2 如图所示，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .通法提炼在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或选择有公共起点且关系最明确如夹角或线段长度的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题. 针对训练2已知平行六面体OABC O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边形OABC 的对角线交点，则( ) A.O ′D →＝－a ＋b ＋c B.O ′D →＝－b －12a －12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a －b ＋12c类型三 求向量的坐标例3 如图所示，已知点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，且P A ＝AD ，求向量MN →的坐标．通法提炼用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来.这里有两个方面的问题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系.二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点的坐标. 针对训练3在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝1，CC 1＝2，M 为A 1B 1的中点．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则AB 1→的坐标为 ，MB →的坐标为(－12，12，－2)．课堂达标1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．a B ．b C ．a ＋2bD ．a ＋2c3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是 ． 【答案】(3,2，－1)，(－2,4,2)【解析】∵i ，j ，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2，－1)， b ＝(－2,4,2)．4．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ的值是 . 5．如图，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.参考答案要点整合 细读课本知识点一 空间向量基本定理[填一填]1．不共面 {x ，y ，z }2．不共面[答一答]1．提示：(1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．(2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．2．提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底． 3．提示：平移向量a ，b ，c ，p 使它们共起点，如图所示，以p 为体对角线，在a ，b ，c 方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p 在a ，b ，c 方向上的分解是唯一的，即x ，y ，z 是唯一的．知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．两两垂直 单位正交基底 3．平移 x ，y ，z (x ，y ，z )[答一答]4．提示：xOy 平面上的点的坐标为(x ，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z )，yOz 平面上的点的坐标为(0，y ，z )，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0，z )．另外还要注意向量OP →的坐标与点P 的坐标相同．5．提示：唯一．在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变．典例讲破类型一 空间向量基本定理的理解例1 解：假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 针对训练1 【答案】C【解析】因为a ，b ，c 不共面，易知a,2b ，b －c 不共面．故应选C. 类型二 用基底表示向量例2 (1)证明：∵AC 1→＝AE →＋EC 1→，又EC 1→＝EB 1→＋B 1C 1→＝23BB 1→＋B 1C 1→＝23AA 1→＋AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋23DD 1→＝AD →＋23AA 1→，∴EC 1→＝AF →，∴AC 1→＝AE →＋AF →，∴A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)解：∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.针对训练2 【答案】D【解析】O ′D →＝O ′O →＋OD →＝O ′O →＋12OA →＋12OC →＝－b ＋12a ＋12c .类型三 求向量的坐标例3 解：设正方形的边长为a ，∵P A ＝AD ＝AB ， 且P A ，AD ，AB 两两互相垂直，故可设DA →＝a i ，AB →＝a j ，AP →＝a k .以i ，j ，k 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．方法一：∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(AD →＋AB →－AP →)＝－12a j ＋a k ＋12(－a i ＋a j －a k )＝－12a i ＋12a k ，∴MN →＝(－12a,0，12a )．方法二：∵P (0,0，a )，C (－a ，a,0)， ∴N 点的坐标为(－12a ，12a ，12a )．∵M 点的坐标为(0，12a,0)，∴MN →＝(－12a,0，12a )．针对训练3 【答案】(－1,1,2)【解析】A (1,0,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,2)，M (12，12，2)，AB 1→＝CB 1→－CA →＝(－1,1,2)，MB →＝(－12，12，－2). 课堂达标1．【答案】B【解析】当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底，当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量． 2．【答案】D【解析】能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面．∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝3p －q 2，∴A 、B 、C 都不合题意，由于{a ，b ，c }构成基底，∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底． 3．【答案】(3,2，－1)，(－2,4,2)【解析】∵i ，j ，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2，－1)， b ＝(－2,4,2)． 4．【答案】3【解析】如图，G 为△ABC 重心，E 为AB 中点，∴OE →＝12(OA →＋OB →)，CG →＝23CE →＝23(OE →－OC →)，∴OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋23(OE →－OC →)＝13(OA →＋OB →＋OC →)，∴λ＝3.5．解：BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .。
3.1.4的正交分解及其坐标表示
x o
z
y
空间直角坐标系的画法:
z
1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
1350 o 2.y轴和z轴的单位长度相同，
x轴上的单位长度为y轴（或z 轴）的单位长度的一半．
1350
y
x
有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
z
c
Ａ(a,b,c) b
z
A1 B1 A C1
Q
D1
( 2, 2, 0 ) ( 0, 2, 0 ) C________,D_________
( 0, 0, 2 ) ( 2, 0, 2 ) A1 ________ B1 ________
y
D
B
( 2, 2, 2 ) ( 0, 2, 2 ) C1 ________, D1 ________ . x
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 b 0），// b的 （ b a 充要条件是存在实数，使a＝ b。
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
在空间选定一点O和一个单位正交基底{ i , j , k } 以点O为原
对空间任一向量 a
,由空间
z a
k
向量基本定理，存在唯一的有序实 数组 (a , a , a ),使 a a i a j a k . 1 2 3 1 2 3
OP xOA yOB zOC.
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为： (1)观察图形：充分观察图形特征； (2)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标 系； (3)进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计 算； (4)确定结果：将所求向量用已知的基向量表示 出来．
例2 如图所示， PA 垂直于正方形
ABCD 所在的平面， N 分别是 AB、 M、 PC 的中点，并且 PA＝AB＝1.试建立 → 适当的空间直角坐标系， 求向量MN的 坐标．
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是
否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法
结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助
进行判断．
例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试判断{a＋b,b
＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 【思路点拨】 假设不能作为一个基底，看是否
存在一对实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
→ → → → ∵MN＝MA＋AP＋PN 1→ → 1→ ＝－ AB＋AP＋ PC 2 2 1→ → 1 → → ＝－ AB＋AP＋ (PA＋AC) 2 2 1→ → 1 → → → ＝－ AB＋AP＋ (PA＋AB＋AD) 2 2 1 → 1→ 1 1 ＝ AD＋ AP＝ e2＋ e3， 2 2 2 2 1 1 → ∴MN＝(0， ， )． 2 2
互动探究
若本例条件不变，试判断向量a＋b，
a－b，c能否作为空间的一个基底． 解：假设a＋b，a－b，c共面，
则存在实数x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，
即c＝(x＋y)a＋(x－y)b， 从而由共面向量知c与a，b共面， 这与a，b，c不共面矛盾． ∴a＋b，a－b，c不共面，
即可以作为空间的一个基底．
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
k j i O
p
P
x
P(x,y,z) e3 e1 O e2 y
练：请说出 e1 , e2 , e3
在空间直角坐标系下的坐标
例1
M OABC的 边 例 2. 如 图 ， ，N分 别 是 四 面 体 OA，BC的 中 点 ， ，Q是MN的 三 等 分用 向 P . 量OA OB， 表 示OP和OQ. ， OC
O 1 2 解:OP OM MP OA MN 2 3 1 2 M OA (ON OM ) 2 3 Q 1 2 1 OA (OB OC ) A 6 3 2 P 1 1 1 N OA OB OC
6 3 3
C
B
M OABC的 边 例 2.如 图 ， ，N分 别 是 四 面 体 OA，BC的 中 点 ， ，Q是MN的 三 等 分用 向 P . 量OA OB， 表 示OP和OQ. ， OC
1 1 1 OA (ON OA) 2 3 2 1 1 1 OA (OB OC ) 3 3 2 1 1 1 OA OB OC 3 6 6 1 1 1 1 解:OQ OM MQ OA MN OA (ON OM）
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
和县二中：鲍书斋
问题
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O， 设AB=a, AD=b,利用a, b表示AC, OC, OB
第3章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
第22页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
第16页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
互动 2 用基底表示向量应注意哪些问题？ 【解析】 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量， 要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算； (3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．
第17页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零 向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0.
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一 个向量，二者是相关连的不同概念．
第6页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
授人以渔
第7页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
∵O→G＝O→A＋A→G， 而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A. 又 D 为 BC 中点，∴O→D＝12(O→B＋O→C)．
第19页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A ＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G， ∵O→H＝23O→D＝23·12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. ∴O→G＝13(a＋b＋c), G→H＝－13a.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
新知探究
问题6、上述结论就是空间向量基本定 理，其中{a，b，c}叫做空间的一个基 底，a，b，c都叫做基向量.那么空间 任意三个向量都能构成一个基底吗？ 零向量能否作基向量？一个基底中的 三个基向量是否要起点相同？
新知探究
问题7、若空间向量的一个基底中的三个 基向量互相垂直，则称这个基底为正交 基底，若三个基向量是互相垂直的单位 向量，则称这个基底为单位正交基底， 在哪些空间几何图形中能找到正交基底 和单位正交基底？
新知探究
问题8、设e1，e2，e3为有公共起点O的单位 正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、 y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. 对于空间任意一个向量p，用基底 {e1，e2，e3}可以怎样表示？
z
p e3 e2 e1 O
p＝xe1＋ye2＋ze3
y
x
新知探究
问题9、若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把 x, y，z称为向量p在单位正交基底e1， e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z). 对一个给定的向量p，其坐标唯一吗？
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
复习巩固
1.平面向量基本定理是什么？
如果a、b是同一平面内的两个不共 线向量，那么对于这一平面内的任意 向量p，有且只有一对实数λ1，λ2， 使p＝λ1a＋λ2b.
{a,b}叫做平面的一个基底
复习巩固
2.平面向量的坐标表示的基本原理是 什么？
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为 基底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x， y）叫做向量a的坐标，记作：
相等向量的坐标相等吗？z
p e3 e2
e1 O
y
x
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
例 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分 别是 AB、PC 的中点，并且 PA＝AD＝1，求向量M→N、D→C
的坐标． 解 如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，
且 PA⊥平面 ABCD，AD⊥AB，所以可 设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz. 因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3， 所以M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c_不___共__面__，那么对于空间 任一向量 p，存在有序实数组 {x，y，z}，使得 p＝ __x_a_＋__y_b_＋__z_c_. 其中_{_a_，__b_，__c_}_叫做空间的一个基底，__a_，__b_，__c__都叫 做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底
又|O→O1|＝4，|O→A|＝4，|O→B|＝2， ∴D→O＝(－2，－1，－4)，
∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1) ＝O→B－O→A－A→A1. 又|O→B|＝2，|O→A|＝4，|A→A1|＝4， ∴A→1B＝(－4,2，－4)．
作业 练习册3.1.4
晚自习下课前，科代表完成检查登记
跟踪训练 1 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a：①{a，b，x}，②{x，
y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为
空间的基底的向量组有
( C)
A．1 个 B．2 个
课件13：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
讲一讲 3．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥ BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥底面 ABCD，∠PDA＝30°.试建立适当的坐标 系并求出图中各点的坐标．
解：以点 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在的 直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系．
2．归纳总结，核心必记 (1)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c__不__共__面___，那么对空间任一向 量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝_x_a_＋__y_b_＋__z_c_． 其中{a，b，c}叫做空间的一个__基__底__，a，b，c 都叫 做__基__向__量__．
∵AB＝BC＝a，
∴A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)．
∵AD＝2a，∴D(0，2a，0)．
∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AD.
又∵∠PDA＝30°，∴PA＝ADtan 30°＝233a，
故
P0，0，2
3
3a.
类题通法
(1)要用坐标表示空间向量，首先应建立恰当的空间直 角坐标系，建立空间直角坐标系时，一般选取从同一 点出发的，两两互相垂直的直线作为坐标轴． (2)根据空间向量基本定理对向量进行分解，用三个单 位正交基底的基向量表示，即可得到向量的坐标．
问题导思 (1)平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成 空间向量基底的三个向量有什么条件？
提示：__三__个__向__量__不__共__面____． (2)空间向量的基底是唯一的吗？ 提示：__由__空__间_向__量__基__本__定__理__可__知__，_任__意__三__个__不__共__面____ _的__向__量__都__可__以__组__成__空__间_的__一__个__基__底__，__所__以__空__间__的__基______ _底__有__无__数__个__，__因_此__不__唯__一__.
空间向量的正交分解及坐标表示
2、问题探究过程的思路剖析：
[课下探究] 空间向量基本定理与课 本95页“思考“栏目中的第二问题 有什么联系？你有何体会？
五、作业：
P106 A组1. 2.
练习2
空间向量运算 的坐标表示
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任 一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得
Q
23
2
A
1 OA 2 1 (OB OC)
P
C
N
6 32
B
1 OA 1 OB 1 OC 633
OQ OM MQ 1 OA 1 MN 23
1 OA 1 (ON OM ) 23
1 OA 1 (ON 1 OA)
23
2
1 OA 1 1 (OB OC) 3 32
练习.空间四边形OABC
D(0
,
0
,
0)
，
所以 所以
uDuAur1 EF uuur
(1 , 0 uuuur DA1
uuuur
, 1) ( 1
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0)
∴CA'=(1,-1,2)，DC'=(0,1,2)，
则 cos
rr a,b
ab rr
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
注意：
rr
rr
（1）当
cos
a
3.1.4正交分解与坐标表示
， 2
AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点，在如图所示
的空间直角坐标系中，求 DO、A1B 的坐标.
【例2】空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC， △OBC的重心，设 OA a，OB b，OC c. 试用向 量 a、b、c 表示向量 GH .
向量的分解 启示：空间向量OP = (x,y,z)
e2
ye2
y
x
则存在有序实数组{x, y, z}，使得 p xe1 ye2 ze3 x,y,z称作向量 p 在直角坐标系Oxyz中的坐标，记作：
p (x, y, z)
P98A6
【例】已知向量 p 在基底{a，b，c}下的坐标是（2，3，
-1），求p 在基底{a，a b，a b c }下的坐标.
【解】由已知 p 2a 3b c
设 p xa y（a b） z（a b c） P98A11
（x y z）a （y z）b zc
x y z 2 x 1
由向量分解的惟一性，有 y z 3 解得 y 4
z 1
回顾：平面向量基本定理：
量 且，只如不那有果共么一e线对对1, e于的实2 这数是向一量λ同e平1一,1,λ面平e22叫内面,做的使内表任的a 示一两 这向个1e一量不1 平共a面，线2e内有向2
所有向量的一组基底。
bp a1Biblioteka 空间向量基本定理PC
如果三个向量 a,b, c 不共面，
那么对空间任一向量 p ，c
存在唯一有序实数组
p
b B
｛x、y、z｝，使:
O a
A
p xa yb zc.
{a, b, c}叫做空间的一个基底, a, b, c都叫做基向量.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：
空间向量的基本定理 单位正交基底 如何建立空间直角坐标系
∵AA EA,ຫໍສະໝຸດ AA AF ，< EA, AF >=θ （或π -θ ） ，
∴
l EA A A AF 2 2 EA AF
2 2
2
m 2 d 2 n 2 2mn cos ，
∴
d l 2 m 2 n 2 2mn cos
已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
x
A(x,y,z) e3 e1 O e2 y
如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为θ ，
在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 A’E=m，AF=n， EF=l，求公垂线 A A′的长 d.
解： EF
2
EA A A AF ，
EF ( EA A A AF ) ( EA A A AF )
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
二、向量的直角坐标系
为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的 有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
p 给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1，e2，e3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz 中的坐标，记作p=(x,y,z).
如果e1，2是同一平面内的两个不共线向量， e 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数1，2，使a＝1 e1＋2 e 2。 （e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。） e
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc． 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底
EA EA EA A A EA AF A A EA A A A A A A AF AF EA AF A A AF AF
共线向量定理
对空间任意两个向量a、 b 0）， / / b （ b a 的充要条件是存在实数，使a＝ b．
共面向量定理 如果两个向量a, b不共线，则向 量 p与向量a, b共面的充要条件是 存在实数对x, y使 p xa yb ＝ ＋ ．
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点， A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3 z 在单位正交基底e1, e2, e3 中与向量OA对应的有序实数 组(x,y,z)，叫做点A在此空间 直角坐标系中的坐标，记作 A(x,y,z)，其中x叫做点A的横 坐标，y叫做点A的纵坐标，z 叫做点A的竖坐标.
设 a、b、c 不共面（如图）.过点 O 作 OA
a，
OB b, OC c, OP p ；过点 P 作直线 PP′
平行于 OC，交平面 OAB 于点 P′；在平面 OAB 内，过 P′作直线 P′A′∥OB，P′B′∥OA， 分别与直线 OA、OB 相交于点 A′、B′
于是存在三个实数 x，y，z，使
OA xOA =xa， OB yOB =yb， P P zOC zc，
OP OA OB PP xOA yOB zOC .
所以 P=xa+yb+zc.
一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、 z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz
a、b、c都叫做基向量
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底
（1） 空间任意三个不共面向量都可以 作为空间向量的一个基底． （2）由于 0 可视为与任意一个非零向量
共线，与任意两个非零向量共面，所以， 三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0． （3）一个基底是指一个向量组，一个基 向量是指基底中的某一个向量，二者是相 关连的不同概念．