电大复变函数形成性考核册参考答案

电大复变函数形成性考核册参考答案复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ）A （ac+bd, a ）B (ac-bd, b)C （ac-bd, ac+bd ）D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）}A |z|<RB 0<|z|<RC R<|z|<+∞D |z|>R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D 4、若A= ，则 |A|=（C ）A 3B 0C 1D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=（ 2xy ）2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）3、（ 设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。

4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限2z z +2z z -i z z 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--++∞→n lim +∞→n lim的充分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。

三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。

解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1|-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。

解：3、写出复数 的代数式。

解：4、求根式 的值。

解： ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限Θππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i ii i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-i i i i -+-11327-)27arg(3273π=-=Θ四、证明题1、证明若，则a 2+b 2=1。

证明：而bi a yi x yi x +=+-bia yi x yix +=+-Θ||||yi x yi x bi a +-=+∴22||b a bi a +=+11122222222=+∴=+∴=++=+-∴b a b a y x y x yi x yi x3、证明： 证明：)Re(2212221221z z z z z z +++=+∴=+=--++-++=-++-+=+∴-=+=-=+=+++=+++=++=++=+)Re(2)(2)()())(())(())(())((2112212211122122211221221121212121221z z by ax i ay bx by ax i ay bx by ax bi a yi x yi x bi a z z z z yi x z yi x z bi a z bi a z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 则则设)Re(2212221221z z z z z z ⋅++=+第2章 解析函数一、单项选择题1．若f(z)= x 2-y 2+2xyi,则 2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西—黎曼条件为（D ）A BC D3、若f(z)=z+1, 则f(z)在复平面上（C ）A 仅在点z=0解析B 无处解析C 处处解析D 在z=0不解析且在z ≠0解析4、若f （z ）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（C ）A 解析B 可导C 连续D 不连续二、填空题1、若f(z)在点a 不解析，则称a 为f(z)的奇点。

2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。

3、若f(z)=z 2+2z+1，则4、若 ，则 不存在。

)()(D z f ='y v x v y u x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且x v x u x v y u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂且yvx v y u x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂且22)(+='z z f )2)(1(7)(--=z z z f =')1(f三、计算题：1、设f(z)=zRe(z), 求解： = 2、设f(z)=e x cosy+ie x siny,求 解：f(z)=e x cosy+ie x siny=e z ,z=x+iyu=e x cosy v=e x sinyf(z)=u+iv∴f(z)在复平面解析，且 =e x cosy+ie x siny3、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数，且满足u=x 3-3xy 2， f(i)=0,试求f(z)。

解：依C-R 条件有Vy=ux=3x 2-3y 2则V （x1y ）=3x 2y-y 3+c(c 为常数)故f(z)=x 3-3xy 2+i(3x 2y-y 3+c)=x 3-3xy 2+i(cx 2y-y 3)+ic =z 3+ic ，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时，f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0∆Z-∆Z +→∆)0()0(lim 0f f z ∆Z-∆Z +→∆)0()0(lim 0f f z ∆Z ∆Z ∆Z →∆)Re(lim 0z 0)Re(lim 0=∆Z =→∆z )(z f 'y e y v x u x cos =∂∂=∂∂Θy e yv y u x sin =∂∂-=∂∂ie y e z f x +='cos )()(z f 'cx Q xyuy x Q xy v x Q y y x dy y x v x =∴=-='+=∴+-=-=∴⎰)(6)(6)(3)33(3222∴c=1 ∴f(z)=Z 3+i4、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数，且满足u=2(x-1)y, f(2)=-i,试求f(z)。

解：依C-R 条件有Vy=ux=2y∴V= =y 2+ϕ(x) ∴Vx= ∴ϕ(x)= V=y 2-x 2+2x+c(c 为常数)∴f(z)=2(x-1)y+i(y 2-x 2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i∴c=-1 ∴f(z)=2(x-1)y+i(y 2-x 2+2x-1)=-(z-1)2i四、证明题1、试在复平面讨论f(z)=iz 的解析性。

解：令f(z)=u+iv z=x+iy则iz=i(x+iy)=-y+ix∴u=-y v=x于是ux=0 uy=-1Vx=1 Vy=0∵ux 、uy 、vx 在复平面内处处连接又Ux=Vy Uy=-Vx 。

⎰ydy 2zx uy x +-=-='2)(ϕ⎰++-=+-cx x dx x 2)22(2∴f(z)=iz在复平面解析。

2、试证：若函数f(z)在区域G内为解析函数，且满足条件f'（z）=0，z∈G，则f(z)在G内为常数。

证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G∵f(z)在G内解析，Ux=Vy, Uy=-Vx又f'（z）=0, f'（z）=Ux+iVxUx=0 Vx=0Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0U为实常数C1，V也为实常数C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G内为常数。

复变函数课程作业参考解答2第3章初等函数一、单项选择题w=的支点.1. z = ( A ) 是根式函数n z(A) 0 (B) 1(C) π(D) i2. z = ( D ) 是函数z=的支点.w ln(A) i (B) 2i(C) -1 (D) 03. e i =( B ).(A) e -1+e (B) cos1+isin1(C) sin1 (D) cos14. sin1= ( A )(A) i e e i i 2-- (B) i e e ii 2-+(C) 21--e e (D) 21-+e e二、填空题 1. cosi = 21ee +-2. i e +1= e(cos1+isin1)3. lni =i 2π4. ln(1+i) = )24(221ππk i Ln ++k 为整数. 三、计算题1. 设z=x+iy ，计算2z e .解:xyi y x iy x z 2)(2222+-=+= ∴xy i y e e x z 2222⋅+-= )]]2sin()2)[cos(ex p[(22xy i xy y x +- ∴2z e =22y x e - )exp(2z = 22y x e -2. 设z = x+iy, 计算)Re(1ze . 解: ∵ z = x+iy∴ 222211y x y i y x x iy x z +-+=+=∴ )sin (cos 1222222y x yi y x y y x x zee +-++=∴2221cos)Re(22y x y e e y x x +=-3. 求方程i z π=ln 2的解. 解: ∵ lnz =2/πi∴ 由对数函数的定义有: Z=ii e i =+=2sin2cos2/πππ∴ 所给方程的解为z = i4. 求方程i e z31+=的解.解: ∵)3sin 3(cos 231ππi i e z +=+= =)3sin 3(cos 2ππi e Ln + 根据指数函数的定义有: z=n2+i 3/π 或z=n(1+i 3)四、证明题1. 试证: z z z cos sin 22sin ⋅=.证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：i e e z iziz 22sin 22--=222cos sin 2iziz iz e e i iz e z z -+⋅-=i e e iziz 222⋅-⋅-=∴ sin2z=2sinz ·cosz2. 证明:xn x xn nx x x 2sin 2sin 21sinsin 2sin sin ⋅+=+++K .证明: 令A=nx x x cos 2cos cos 1++++K B=sinx+sin2x+…sinnx∴ inxx i ix e e e Bi A ++++=+K 2122)1(121111x i iz ixxn i ex n e e e -+-=--=+x n i x i x n ie x x n ex i xen i 22212sin 21sin 2sin 221sin 2⋅+=+=⋅+=)2sin 2(cos 2sin 21sinx n i x n x xn ++∴xn x xn x x x 2sin 2sin 21sinsin 2sin sin +=+++K第4章 解析函数的积分理论一、单项选择题 1.=⎰cdz 2( D ) , c 为起点在0 , 终点在1+i 的直线段.(A) 0 (B) 1 (C) 2i (D) 2(1+i) 2.⎰==1)(sin z A zdz .(A) 0 (B) 10i π(C) i (D) 123+i3.⎰==5)(5z B dz z(A) i (B) 10i π (C) 10i (D) 04.⎰=-32)23(sin 2z z z =( A ). (A)23cos4⋅i π (B) i π4(C) i π2 (D) i π2- 二、填空题1. 若)(z f 与)(x g 沿曲线c 可积，则⎰⎰⎰+=+cccdzz g dz z f dz z g z f )()()]()([.2. 设L 为曲线c 的长度, 若f(z)沿c 可积, 且在c 上满足M z f ≤)(,则MLdz z f c≤⎰)(.3. ⎰=177izdz4.ee zdz i i-=⎰-01cos 2三、计算题 1.计算积分⎰czdzIm ,其中c 为自0到2+i 的直线段.解: c 的方程为:)10()()(≤≤+==t t i z t z z 其次由t i t z z yi x )2()(+===+得 t z =Im dt i dt t z dz )2()(+='=∴⎰⎰+=ctdt i zdz 1)2(Im=⎰+1)2(tdti=i211+2. 计算积分⎰=+-+1212102sin z z dz z z ze .解:⎰=+-+1212102sin z z dz z z ze =⎰=--+1)3)(2(2sin z z dz z z ze作区域D:1≤z 积分途径在D 内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D 内,所以被积函数在D 内解析.由定理4.2得:⎰=+-+1212102sin z z dz z z ze =03. 计算积分⎰=--cz c dz z z 41:,)1)(1(132.解: ⎰--c dz z z )1)(1(132∵ 奇点z=1和z=-1不在区域D,1<z 内013=-z 的三个根2,1,0,32==k ez ik k π也不在D 内∴ 由定理4.2 得⎰--c dz z z )1)(1(132=04. 计算积分⎰c zdz z e 5, 5:=z c .解: 由定理4.6得0)4(5])[(!42==⎰z z c z e i dz z e π=12iπ四、证明题 1. 计算积分⎰=+121z dz z ，并由此证明0cos 45cos 210=++⎰θθθd n.证明：∵21)(+=z z f 在圆域|z|≤1内解析 ∴⎰=+121z dz z =⎰==+1021z dz z另一方面,在圆|z|=)2)(sin (cos 1≤≤+⋅θθθz i∴⎰=+121z dz z =⎰-+++ππθθϑθ)sin (cos 2sin cos 1i d (实部和虚部为0)=⎰⎰---+++-++-=+++-ππππθθθθθθθθθθϑθθθd i i i i c d i ]sin )cos 2][(sin )cos 2[(]sin )cos 2[(cos sin 2sin cos cos sin=θθθθθθππd i ⎰-+++++-sin cos cos 44)1cos 2(sin 2=dz i ⎰-+++-ππθθθcos 45)cos 21(sin 2=θθθθθθππππd i d ⎰⎰--++++-cos 45cos 21cos 45sin 2∵⎰=+121z dz z =0 ∴0cos 45sin 2=+-⎰-θθθππd∴ 0cos 45cos 21=++⎰-θθθππd 而θθcos 45cos 21++为偶函数 ∴0=θθθππd ⎰-++cos 45cos 21=θθθπd ⎰++0cos 45cos 212∴cos 45cos 210=++⎰θθθπd复变函数课程作业参考解答3第5章 解析函数的幂级数表示一、单项选择题1. 幂级数∑∞=0n nz的收敛半径等于( B )( A ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 3 2. 点z=-1是f(z)=51052++z zr ( B )级零点.( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)5 3. 级数∑∞=0n nz的收敛圆为( D ).(A) | z-1|< 3 (B) |z|<3 (C) |z-1| >1 (D) |z| <14. 设f(z)在点a 解析, 点b 是f(z)的奇点中离点a 最近的奇点,于是,使f(z)=∑∞=-0)(n nna z c成立的收敛圆的半径等于( C ).(A) a+b+1 (B) b-a+1 (C) |a-b| (D) |a+b| 二、填空题1.级数1+z+⋯⋯++⋯⋯+!!22n z z n的收敛圆R=+∞．即整个复平面．2.若f(z)= sinz k ⋅(k 为常数),则z=m π(m=0, 2,1±±……)为f(z)的 1 级零点.3.幂有数∑∞=0!n nzn 的收敛半径等于 0 .4.z=0是f(z)=e z -1的 1 级零点.三、计算题1.将函数f(z)=()()[]121-+-z z 在点z=0展开幂级数.解:f(z)=()()21161312131113121111110z z z z z z z z n n +--=+--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-∑+∞= =-∑∑∑∞+=∞+=∞+=⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-000261312116131n nn n n n z z z z 1<z2.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0展开成幂级数. 解：()()[]'-=-=--1211f(z)z z Θ而(1-z)-1=∑+∞==-011n n z z()[]∑∑+∞=-+∞=--='='-=-∴0112))((1)1(n n n nnzz z z=∑+∞=+0)1(n nzn 1<z3．将函数f(z)=(z+2)-1在点z=1展开成幂级数.解：f(z)=(z+2)-1=[]3)1(11)1(3113121---⋅=---=-+=+z z z z=∑∑∞+=∞+=-⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅003)1()1(313)1(31n n nn n nz z 31<-z 4．将函数f(z)=e z 在点z=1展开成幂级数. 解：f(z)=e z f (n)=e z ()e fn =∴1)(nn n zz n f e )1(!f(z)0)1()(-⋅==∴∑∞+=＝∑+∞=-)1(!nnzne四、证明题1．证明:1-e i2z=-2isinze iz证：e iz=cosz+isinz∴e-iz=cos-isinz∴e iz-e-iz=2isinz∴-2isinz=-( e iz-e-iz)= e iz-e-iz∴-2isinz e iz=( e-iz- e iz) e iz=e0- e2iz=1- e2iz2．试用解析函数的唯一性定理证明等式:cos2z= cos2z-sin2z证①f1(z)=cos2z,则f1(z)复平面G解析设f2(z)＝cosz－sin2ｚ，则f2(z)也在整个复平面G解析②取E=K为实数轴,则E在G内有聚点.③当E为实数时,知cos2z=cos2z-sin2z,即f1(z)= f2(z) ∴由解析函数唯一性定理,由以上三条知f1(z)= f2(z) GZ∈成立即cos2z= cos2z-sin2z GZ∈第6章解析函数的罗朗级数表示一、单项选择题1．函数f(z)=2312+-z z 在点z=2的去心邻域( D ) 内可展成罗朗级数.(A) 0<3<z (B) 0<51<-z (C) 1<31<-z (D) 0<12<-Z 2．设点α为f(z)的孤立奇点，若α→z z Iimf )(=c ()∞≠，则点α为f(z)的( C ).(A) 本性奇点 (B) 极点 (C) 可去奇点 (D) 解析点3．若点α为函数f(z)的孤立奇点，则点α为f(z)的极点的充分必要条件是( D ). (A) ∞→z Iimff(z)=c(∞≠) (B)∞→z Iimf(z)=∞ (C)α→z Iimf(z)=c(∞≠) (D)α→z Iimf(z)=∞4．若点α为函数f(z)的孤立奇点，则点α为f(z)的本性奇点的充要条件是（ B ）. (A) ∞→z Iimf(z)= c(∞≠) (B) α→z Iimf(z)不存在 (C)α→z Iimf(z)=c(∞≠) (D)α→z Iimf(Z)=∞二、填空题 1．设∑+∞-∞=-n nnz c)(α为函数f(z)在点α的罗朗级数,称nn na z c)(1-∑--∞=为该级数的主要部分.2.设点α为函数f(z)的奇点,若f(z)在点α的某个 某个去心邻域εα<-z 内解析,则称点α为f(z)的孤立奇点.3.若f(z)=z e +14，则点z=0为f(z)的 0 级极点. 不是极点,若f(z)= z e +14则z=0为f(z)的一个极点.4.若f(z)=(sin 21)-1,则点z ＝0为f(z)非孤立 奇点.三、计算题1．将函数f(z)=(z-2)-1在点z=0的去心邻域展成罗朗级数.解: f(z)=21-z = - z -21= -n n n n nn z z z 2)1(21)2(212112100∑∑∞=∞=--=--=-- 2．将函数f(z)＝12-z z 在点ｚ＝１的去心邻域展成罗朗级数.解: f(z)=111211111)1)(1(111122-+-+=-++=-++-=-+-=-z z z z z z z z z z z 3．试求函数f(z)=z -3·sinz 3的有限奇点,并判定奇点的类别. 解: 3sin z Θ解析,无奇点,∴f(z)的有限奇点为z=0. 并且为3阶极点.4．试求函数f(z)=[z ()21z -]-1的有限奇点，并判定奇点的类别. 解: f(z)的m 阶奇点即)(1z f 的阶零点,而)1)(1()1()(12z z z z z z f +-=-=零点为z=0，z=1，z=-1，且均为1阶零点。