1.2.1任意角的三角函数(4)教师版

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三年级【数学】1.2.1 任意角的三角函数(人教A版必修4)2---新编版

三年级【数学】1.2.1 任意角的三角函数(人教A版必修4)2---新编版

例4 判断满足以下条件的角的终边所在的位置: ①sinθ<0 且 tanθ>0
②cosθ<0 且 tanθ<0
③cosθ>0 且 sinθ<0 ④cosθ≤0 且 tanθ≥0
(1). 若sinα=1/3,且α的终边经过点p(—1,y), 则α是第几象限的角?并求cosα,tanα的值。
y 2 ,r 3 2
3、
(1)求函数y
1
1 sin
x
的定义域。
解:∵1+sinx≠0, ∴ sinx≠-1
即角x的终边不能在y轴的负半轴上。

x 2k 3
2
,k∈Z,
故函数的定义域是
{x|x∈R,且
x 2k
3
2
,k∈Z}
(2)求 y cos x tan x 的定义域.
(3)求 y sin x lg cos x 的定义域.
r x2 y2
三角函数
定义域
sin
R
cos tan
R
{ k ,(k Z)
}
2
小结
小结 三角函数值的符号: “第一象限全为正,二正三切四余弦”
sinx
Tanx cotx
cosx
诱导公式一
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
例2.已知角α=
4
3
,分别求sinα,
cosα,tanα.
在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单
位长度为半径的圆为单位圆(unit circle).
y
B
AOB的终边与单位圆的交点坐标为
1
O
x
1 2

昭君教学案例

昭君教学案例

教学案例姓名:孙昭君学科:数学课题:《任意角的三角函数》学校:山西省祁县中学校课题:任意角的三角函数一、教学内容分析:这节课是《普通高中课程标准教科书·数学(必修4)》(人教版A版)1.2.1任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课,它是本章的基础,主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程,从而很好理解任意角的三角函数的定义。

在《课程标准》中:三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。

《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法,忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练,无形增加了学生的负担,泯灭了学生学习的兴趣。

我们虽然刻意地去改变教学的方式,但仍太多旧时的痕迹,若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影,失去新课程自然与清纯之味。

所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。

如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中,教师应该关注以下两点:第一、根据学生的生活经验,创设丰富的情境,例如单调弹簧振子,圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在,认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象),解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想,任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题:其一:能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型;其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

高中数学 1.2.1任意角的三角函数课件 新人教A版必修4

高中数学 1.2.1任意角的三角函数课件 新人教A版必修4
设角 是一个任意角,P(x, y)是终边上的任意一点,
点 P与原点的距离 r x2 y2 0
那么① ②
y 叫做
的正弦,即
r
x r
叫做
的余弦,即
sin y
r
cos x
r

y x
叫做 的正弦,即
tan y x 0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关,而与点 P在角的终边上
的位置无关.
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13
? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos
tan( k 2 ) tan
其中 k z
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为
求 0到2 或0到360角的三角函数值 .
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15
(3)因为
4
是第四象限角,所以
sin 0
4
练习 确定下列三角函数值的符号
cos 16
5
sin( 4 )
3
tan(17 )
8
ppt精选
16
例3 求下列三角函数值:
(1)
cos 9
4
(2)
tan( 11 )
6
解:(1)
cos
9
4
cos(
4
2 ) cos
4
2 2
(2)tan( 11 ) tan( 2 ) tan tan 3
例2 确定下列三角函数值的符号:
(1)cos 250(2)tan( 672() 3) sin
解: (1)因为
250是第三象限角,所以 co2s5 00
4

人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】

人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】

任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法||。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式||,并能灵活运用于解题. (一)任意角的三角函数: 任意点到原点的距离公式:22y x r +=1.三角函数定义:在直角坐标系中||,设α是一个任意角||,α终边上任意一点P (除了原点)的坐标为(,)x y ||,它与原点的距离为(0)r r ==>||,那么(1)比值y r 叫做α的正弦||,记作sin α||,即sin y r α=; (2)比值x r 叫做α的余弦||,记作cos α||,即cos xr α=;(3)比值y x 叫做α的正切||,记作tan α||,即tan yxα=;(4)比值x y 叫做α的余切||,记作cot α||,即cot x yα=; 2.说明:(1)α的始边与x 轴的非负半轴重合||,α的终边没有表明α一定是正角或负角||,以及α的大小||,只表明与α的终边相同的角所在的位置;(2)根据相似三角形的知识||,对于确定的角α||,四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小; (3)当()2k k Z παπ=+∈时||,α的终边在y 轴上||,终边上任意一点的横坐标x 都等于0||,所以tan yxα=无意义;同理当()k k Z απ=∈时||,y x =αcot 无意义;(4)除以上两种情况外||,对于确定的值α||,比值y r 、x r 、y x、xy 分别是一个确定的实数||。

1.2.1任意角的三角函数教案(最新整理)

1.2.1任意角的三角函数教案(最新整理)

P(a,b) ,它与原点的距离 r a2 b2 0 .过 P 作 x a的终边
P(a,b) r
M
y
轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,线段
P(x,y)
MP 的长度为 b .则 sin MP b ; OP r
思考:对于确定的角 ,这三个比值是否会随点 P 在 的终边上的位置的改变而改变呢?
cos( 2k ) cos (其中 k Z )
6.三角函数线
设任意角 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P (x, y) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角
的终边或其反向延长线交与点 T .
由四个图看出:
当角 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM x, MP y ,于是有
一、【创设情境】
提问:锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示?
y
借助右图直角三角形,复习回顾.
引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那O
么 它 的 终 边 在 第 一 象 限 .在 的 终 边 上 任 取 一 点
(2) sin 0, cos 1, tan 0
(3) sin 3 1, cos 3 0
2
2
5 变式训练 2:求 3 的正弦、余弦和正切值.
例 3.已知角α的终边过点 (a, 2a)(a 0) ,求α的三个三角函数值.
解析:计算点到原点的距离时应该讨论 a 的正负.
变式训练 3:
求函数 y

高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5

2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4



3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?

高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件1.2.1 任意角的三角函数

高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件1.2.1 任意角的三角函数
������ 12 α= =- ,cos ������ 13 ������ α= ������ ������ ������ ������ 5 12 5 12 5
=
5 , 13
sin α+cos α=-
12 5 7 + =- . 13 13 13
问题导学
当堂检测
已知角的终边上一点,求该角的三角函数值,一般是先求出该点到 原点的距离 r,再由三角函数的定义,求出三角函数值.若点的坐标有字 母时,由于字母符号未知,所以点所在象限不确定,因此要根据情况进行 分类讨论,避免漏解.
目标导航
预习导引
2.三角函数值在各象限的符号
正弦函数值的符号与 y 的符号相同,余弦函数值的符号与 x 的符号 相同. 此符号规律可用口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆 (只记函数值为正的情况,“一、二、三、四”指象限).
目标导航
预习导引
预习交流 2
各象限角的三角函数值的符号由什么来确定? 提示:由三角函数的定义可知,三角函数值在各象限的符号由角 α 终边上任意一点 P 的坐标 x,y 的正负来确定.
问题导学
当堂检测
二、三角函数值的符号的应用
活动与探究 判断下列各式的符号: (1)tan 120° · sin 269° ;(2)cos 4· tan 23π 4
.
思路分析:利用角的终边所在的象限,确定三角函数值的符号.
问题导学
当堂检测
解:(1)∵ 120° 是第二象限角,∴ tan 120° <0; ∵ 269° 是第三象限角,∴ sin 269° <0, ∴ tan 120° ·sin 269° >0. (2)∵ π<4< ,∴ 4 弧度角是第三象限角, ∴ cos 4<0;∵ ∴ 23π π =-6π+ , 4 4 3π 2目标导航Fra bibliotek预习导引

高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数导学案(无答案)新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数导学案(无答案)新人教A版必修4

oyx1P(a,b)yo x(-)(-)(+)(+)yo x(-)(-)(+)(+)yox(-)(-)(+)(+)高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数导学案(无答案)新人教A版必修4一、学习目标:1.借助单位圆理解任意角三角函数(正、余、正切)的定义;2.从任意角三角函数的定义认识其定义域,函数值的符号;3.根据定义理解公式一;4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.二、学习重点、难点:重点:任意角的三角函数的定义;难点:用单位圆上点的坐标刻画三角函数.三、学习任务:阅读教材P11——15(到例5前止)完成下列问题:问题(一):Ⅰ. 观察三角函数定义的“进化”过程,完成填空.sinα=_____ sinα=______ sinα=______ sinα=______三角函数定义需要经历一个逐步化归的过程,即由直角三角形中____________到直角坐标系中_____________再到用单位圆上点的________定义三角函数.Ⅱ. 完成下列问题:1. 任意角的三角函数设α是一个任意角,它的始边与x轴的非负半轴重合,顶点在原点,终边与单位圆的交点为P(x,y).(1) y叫做α的正弦,记作____________,即_____________;(2) x叫做α的余弦,记作____________,即_____________;(3)xy叫做α的正切,记作____________,即_____________.2.3. 三角函数值在各象限的符号____________ ____________ ____________4. 公式一终边相同的角的同一三角函数的值____________,即sin()παk2+=_________;cos()παk2+=_________;tan()παk2+=_________. 其中Zk∈Ⅳ.判断正误1. sinα就是sin与α的乘积 .2. 在三角函数定义中,实数α(弧度) 对应于点P的纵坐标y ——正弦,实数α(弧度) 对应于点P的横坐标x ——余弦.3. 公式一揭示的规律是:角的终边绕原点每转动一周,函数值都重复出现 .Ⅴ.若θ的终边与单位圆的交点为)23,21(-,则sinθ=________,cosθ=_________,tanθ=__________.Ⅵ.做15P 3题.Ⅶ.做15P 1题.思考:已知α终边上一点P(x,y),且OP=r (P不是角的顶点,也不是与单位圆的交点),如何用简单的方法确定sinα,cosα,tanα的值?Ⅷ.做15P 2题.Ⅸ. 已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=2x上,求cosθ.Ⅹ. 求α的三角函数值,只需已知α终边上任一点(除原点)的 _____________.问题(二):完成下列任务Ⅰ. 做15P 4题Ⅱ. 做15P 5题Ⅲ. 做15P 16(1)题Ⅳ. 已知P(tanα, cosα )在第三象限,则角α的终边在第几象限.归纳:确定三角函数值的符号,关键是抓住________________________________________________.四、达标检测1. 设α终边过一点(3m,4m) (0≠m), 则下列式子中正确的是()A. sin54=α, B. cos53=α, C. tan34=α D. tan34-=α2. 若tan0>α且sinα+cos0<α,则α是_____________象限角.五、归纳总结:1.你本节课学到了什么知识?2.掌握本节课知识的关键是什么?。

数学教案:三角函数基础教师版

数学教案:三角函数基础教师版

三角函数§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合:{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式:. L=α R 4、扇形面积公式: S=21 lr=21αr 2.§1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点()y x P ,,那么:xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点,那么:(设2020y x r +=)_______sin r y =α,________cos r x =α,_____tan xy=α. 3、 αsin ,αcos ,αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一:()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+k k k (Z k ∈)5、 特殊角0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系:22sin cos 1αα+=.2、 商数关系:sin tan cos ααα=. §1.3、三角函数的诱导公式1、 诱导公式二:()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+2、诱导公式三:()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四: ()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=- 4、诱导公式五:._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-5、诱导公式六: ._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象:2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图.§1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、 周期函数定义:对于函数()x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有()()x f T x f =+,那么函数()x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象:2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象1、 能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=ϕωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、 对于函数:()()0,0sin >>++=ωϕωA b x A y 有:振幅A ,周期ωπ2=T ,初相ϕ,相位ϕω+x ,频率πω21==Tf .第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ . tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=-二倍角的正弦、余弦、正切公式1、_cos sin 2_2sin ααα=,变形:cos α=ααsin 22sin .2、22cos2cossin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-变形1:21cos 2cos 2αα+=,变形2:21cos 2sin 2αα-=.3、22tan tan 21tan ααα=-1、注意正切化弦、平方降次. 解三角形 1、正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === 2、余弦定理a A bc c b cos 2222-+=变形 cosA=bca cb 2222-+b B ac c a cos 2222-+=变形 cosB=acb c a 2222-+c C ab b a cos 2222-+=变形cosC=abc b a 2222-+3、三角形面积公式: S =21absinC=21bcsinA=21acsinB 课本题(必修4)1.(P 11 习题13)若扇形的周长为定值l ,则该扇形的圆心角为多大时,扇形的面积最大?22.(P 23 练习4)已知sin (4π-x )=-51,且0<x<2π,求sin (4π+x )的值。

高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4

高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4

1.2.2 同角三角函数关系1.理解同角三角函数的两种基本关系.2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式.3.学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明.同角三角函数的基本关系式1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对任意角α,sin 24α+cos 24α=1都成立.( ) (2)对任意角α,sinα2cosα2=tan α2都成立.( )(3)对任意的角α,β有sin 2α+cos 2β=1.( ) (4)sin 2α与sin α2所表达的意义相同.( )解析:(1)正确.当角α∈R 时,sin 24α+cos 24α=1都成立,所以正确.(2)错误.当α2=k π+π2,k ∈Z ,即α=2k π+π,k ∈Z 时,tan α2没意义,故sinα2cosα2=tanα2不成立,所以错误.(3)错误.当α=π2,β=0时,sin 2α+cos 2β≠1,故此说法是错误的.(4)错误.sin 2α是(sin α)2的缩写,表示角α的正弦的平方,sin α2表示角α2的正弦,故两者意义不同,此说法是错误的.答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×2.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,sin α=35,则cos α等于( )A .45B .-45C .-17D .35答案:B3.化简:(1+tan 2 α)·cos 2α等于( ) A .-1 B .0 C .1 D .2答案:C4.已知tan α=1,则2sin α-cos αsin α+cos α=________.解析:原式=2tan α-1tan α+1=2-11+1=12.答案:12已知一个三角函数值求其他三角函数值已知cos α=-35,求sin α,tan α的值.【解】 因为cos α<0且cos α≠-1, 所以α是第二或第三象限角. 所以当α为第二象限角时, sin α=1-cos 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-352=45, tan α=sin αcos α=-43.当α为第三象限角时, sin α=-1-cos 2α=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-352= -45,tan α=sin αcos α=43.已知角α的某一三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择;若角所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角所在的象限不确定,应分类讨论.1.(1)已知α是第二象限角,且tan α=-724,则cos α=________.(2)已知sin θ=a (a ≠0),且tan θ>0,求cos θ、tan θ. 解:(1)因为α是第二象限角, 故sin α>0,cos α<0, 又tan α=-724,所以sin αcos α=-724,又sin 2α+cos 2α=1,解得cos α=-2425.故填-2425.(2)因为tan θ>0,则θ在第一、三象限,所以a ≠±1. ①若θ在第一象限,sin θ=a >0,且a ≠1时, cos θ=1-sin 2θ=1-a 2. 所以tan θ=sin θcos θ=a1-a2. ②若θ在第三象限,sin θ=a <0,且a ≠-1时, cos θ=-1-sin 2θ=-1-a 2. 所以tan θ=sin θcos θ=-a1-a2. 利用同角三角函数关系化简化简下列各式: (1)1-2sin 10°cos 10°sin 10°-1-sin 210°; (2)1-sin α1+sin α+1+sin α1-sin α,其中sin αtan α<0.【解】 (1)1-2sin 10°cos 10°sin 10°-1-sin 210° =(cos 10°-sin 10°)2sin 10°-cos 210°=|cos 10°-sin 10°|sin 10°-cos 10°=cos 10°-sin 10°sin 10°-cos 10°=-1. (2)由于sin αtan α<0,则sin α,tan α异号, 所以α是第二、三象限角,所以cos α<0.所以1-sin α1+sin α+1+sin α1-sin α=(1-sin α)21-sin 2α+ (1+sin α)21-sin 2α=|1-sin α||cos α|+|1+sin α||cos α|=1-sin α+1+sin α-cos α=-2cos α.(1)三角函数式的化简过程中常用的方法①化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.②对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的. ③对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin 2α+cos 2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.(2)对三角函数式化简的原则 ①使三角函数式的次数尽量低. ②使式中的项数尽量少. ③使三角函数的种类尽量少. ④使式中的分母尽量不含有三角函数. ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号.⑥能求值的要求出具体的值,否则就用三角函数式来表示.2.化简:1-sin 4x -cos 4x1-sin 6x -cos 6x.解:原式=1-[(sin 2x +cos 2x )2-2sin 2x cos 2x ]1-(sin 2x +cos 2x )(sin 4x +cos 4x -sin 2x cos 2x ) =1-1+2sin 2x cos 2x1-[(sin 2x +cos 2x )2-3sin 2x cos 2x ] =2sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x =23. 利用同角三角函数关系式证明求证:(1)1+tan 2α=1cos 2α;(2)sin α1-cos α=1+cos αsin α. 【证明】 证明:(1)因为1+tan 2α=1+sin 2αcos 2α= cos 2α+sin 2αcos 2α=1cos 2α, 所以原式成立.(2)法一:由sin α≠0知,cos α≠-1, 所以1+cos α≠0.于是左边=sin α(1+cos α)(1-cos α)(1+cos α)=sin α(1+cos α)1-cos 2α=sin α(1+cos α)sin 2α=1+cos αsin α=右边. 所以原式成立.法二:因为sin 2α+cos 2α=1,所以sin 2α=1-cos 2α, 即sin 2α=(1-cos α)(1+cos α). 因为1-cos α≠0,sin α≠0, 所以sin α1-cos α=1+cos αsin α.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法有:(1)从一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则. (2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.3.(1)求证:1-2sin x cos x cos 2x -sin 2x =1-tan x1+tan x. (2)求证:tan αsin αtan α-sin α=tan α+sin αtan αsin α.证明:(1)左边=sin 2x -2sin x cos x +cos 2xcos 2x -sin 2x=tan 2x -2tan x +11-tan 2x=(tan x -1)2(1-tan x )(1+tan x )=1-tan x1+tan x =右边. 所以原式成立.(2)因为右边=tan 2α-sin 2α(tan α-sin α)tan αsin α=tan 2α-tan 2αcos 2α(tan α-sin α)tan αsin α =tan 2α(1-cos 2α)(tan α-sin α)tan αsin α =tan 2αsin 2α(tan α-sin α)tan αsin α =tan αsin αtan α-sin α =左边, 所以原等式成立.1.同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,这里,“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下).关系式成立与角的表达形式无关,如sin 23α+cos 23α=1.2.在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义,如式子tan 90°=sin 90°cos 90°不成立.3.注意公式的变形,如sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,sin α=cos αtan α,cosα=sin αtan α等. 4.在应用平方关系式求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在的象限决定的,不可凭空想象.已知sin α+cos α=13,其中0<α<π,求sin α-cos α的值.【解】 因为sin α+cos α=13,所以(sin α+cos α)2=19,可得:sin α·cos α=-49.因为0<α<π,且sin α·cos α<0,所以sin α>0,cos α<0.所以sin α-cos α>0, 又(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=179,所以sin α-cos α=173.(1)在处得到sin α·cos α<0,为判断sin α,cos α的具体符号提供了条件,是解答本题的关键;若没有判断出处的关系式,则下一步利用平方关系求解sin α-cos α的值时,可能会出现两个,是解答本题的易失分点;若前边的符号问题都正确,但在处书写不正确,没有考虑前面的符号而出现sin α-cos α=±173,则是解答本题的又一易失分点. (2)在解题过程中要充分利用题中的条件,判断出所求的三角函数式的符号.1.已知sin α=23,tan α=255,则cos α=( )A .13 B .53 C .73D .55解析:选B .因为tan α=sin αcos α,所以cos α=sin αtan α=23255=53.2.化简:⎝⎛⎭⎪⎫1sin α+1tan α(1-cos α)=( )A .sin αB .cos αC .1+sin αD .1+cos α解析:选A .⎝⎛⎭⎪⎫1sin α+1tan α(1-cos α)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α+cos αsin α(1-cos α)=1-cos 2αsin α=sin α. 3.已知cos θ=35,且3π2<θ<2π,那么tan θ的值为________.解析:因为θ为第四象限角, 所以tan θ<0,sin θ<0,sin θ=-1-cos 2θ=-45,所以tan θ=sin θcos θ=-43.答案:-434.已知tan α=43,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值.解:由tan α=sin αcos α=43,得sin α=43cos α,①又sin 2α+cos 2α=1,② 由①②得169cos 2α+cos 2α=1,即cos 2α=925.又α是第三象限角,所以cos α=-35,sin α=-45.[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1.若cos α=13,则(1+sin α)(1-sin α)等于( )A .13B .19C .223D .89解析:选B .原式=1-sin 2α=cos 2α=19,故选B .2.若α是第四象限角,tan α=-512,则sin α=( )A .15B .-14C .513D .-513解析:选D .因为tan α=sin αcos α=-512,sin 2α+cos 2α=1,所以sin α=±513.因为α是第四象限角,所以sin α=-513.3.已知θ是第三象限角,且sin 4θ+cos 4θ=59,则sin θcos θ的值为( )A .23B .-23C .13D .-13解析:选A .由sin 4θ+cos 4θ=59,得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=59,所以sin 2θcos 2θ=29.因为θ是第三象限角,所以sin θ<0,cos θ<0,所以sin θcos θ=23. 4.如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ=( ) A .73 B .75 C .54D .53解析:选B .法一:1+sin θcos θ=1+sin θcos θ1=sin 2θ+cos 2θ+sin θcos θsin 2θ+cos 2θ =tan 2θ+tan θ+1tan 2θ+1, 又tan θ=2,所以1+sin θcos θ=22+2+122+1=75.法二:tan θ=2,即sin θ=2cos θ, 又sin 2θ+cos 2θ=1, 所以(2cos θ)2+cos 2θ=1, 所以cos 2θ=15.又tan θ=2>0,所以θ为第一或第三象限角. 当θ为第一象限角时,cos θ=55,此时sin θ=1-cos 2θ=255,则1+sin θcos θ=1+255×55=75;当θ为第三象限角时,cos θ=-55, 此时sin θ=-1-cos 2θ=-255,则1+sin θcos θ=1+(-255)×(-55)=75.5.若cos α+2sin α=-5,则tan α=( ) A .12 B .2C .-12D .-2解析:选B .由⎩⎨⎧cos α+2sin α=-5,sin 2α+cos 2α=1得(5sin α+2)2=0. 所以sin α=-255,cos α=-55.所以tan α=2.6.已知tan α=m ⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2,则sin α=________.解析:因为tan α=m ,所以sin 2αcos 2α=m 2,又sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=1m 2+1,sin 2α=m 2m 2+1.又因为π<α<3π2,所以tan α>0,即m >0.因而sin α=-mm 2+1. 答案:-m1+m27.已知sin α-cos αsin α+cos α=2,则sin αcos α的值为________.解析:由sin α-cos αsin α+cos α=2,等式左边的分子分母同除以cos α,得tan α-1tan α+1=2,所以tanα=-3,所以sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=-310. 答案:-310 8.已知α是第二象限角,则sin α1-cos 2 α+21-sin 2 αcos α=________. 解析:因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α1-cos 2α+21-sin 2αcos α=sin αsin α+-2cos αcos α=-1. 答案:-19.化简:sin 2x sin x -cos x -sin x +cos x tan 2x -1. 解:原式=sin 2x sin x -cos x -sin x +cos x sin 2xcos 2x-1 =sin 2x sin x -cos x -cos 2x (sin x +cos x )sin 2x -cos 2x=sin 2x -cos 2x sin x -cos x=sin x +cos x . 10.已知tan α=2,求下列各式的值:(1)2sin 2α-3cos 2α4sin 2α-9cos 2α; (2)sin 2α-3sin αcos α+1.解:(1)因为tan α=2,所以cos α≠0.所以2sin 2α-3cos 2α4sin 2α-9cos 2α=2tan 2α-34tan 2α-9 =2×22-34×22-9=57. (2)因为tan α=2,所以cos α≠0.所以sin 2α-3sin αcos α+1=sin 2α-3sin αcos α+(sin 2α+cos 2α)=2sin 2α-3sin αcos α+cos 2α=2sin 2α-3sin αcos α+cos 2αsin 2α+cos 2α=2tan 2α-3tan α+1tan 2α+1=2×22-3×2+122+1=35. [B 能力提升]1.若△ABC 的内角A 满足sin A cos A =13,则sin A +cos A 的值为( ) A .153 B .-153 C .53 D .-53解析:选A .因为A 为△ABC 的内角,且sin A cos A =13>0,所以A 为锐角,所以sin A +cos A >0.又1+2sin A cos A =1+23,即(sin A +cos A )2=53,所以sin A +cos A =153. 2.已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=________.解析:因为tan θ=2,所以cos θ≠0,则原式可化为sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=sin 2θcos 2θ+sin θcos θcos 2θ-2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ+cos 2θcos 2θ=tan 2θ+tan θ-2tan 2θ+1=22+2-222+1=45. 答案:453.已知2sin θ-cos θ=1,3cos θ-2sin θ=a ,记数a 形成的集合为A ,若x ∈A ,y ∈A ,则以点P (x ,y )为顶点的平面图形是什么图形?解:联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ-cos θ=1,sin 2θ+cos 2θ=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=0,cos θ=-1,或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=45,cos θ=35.所以a =3cos θ-2sin θ=-3或15,即A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-3,15.因此,点P (x ,y )可以是P 1(-3,-3),P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫-3,15,P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15,15,P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫15,-3.经分析知,这四个点构成一个正方形.4.(选做题)已知关于x 的方程2x 2-(3+1)x +m =0的两根分别为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求:(1)sin θ1-1tan θ+cosθ1-tan θ的值;(2)m 的值;(3)方程的两根及此时θ的值.解:由根与系数的关系,可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ+cos θ=3+12,①sin θ·cos θ=m2,②Δ=4+23-8m ≥0.③(1)sin θ1-1tan θ+cos θ1-tan θ=sin 2θsin θ-cos θ+cos 2θcos θ-sin θ=sin 2θ-cos 2θsin θ-cos θ=sin θ+cos θ=3+12.(2)由①平方,得1+2sin θcos θ=2+32,所以sin θcos θ=34.又由②,得m 2=34,所以m =32,由③,得m ≤2+34, 所以m =32符合题意; (3)当m =32时,原方程变为2x 2-(3+1)x +32=0,解得x 1=32,x 2=12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=32,cos θ=12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ=32,sin θ=12. 又因为θ∈(0,2π),所以θ=π3或π6.。

【同步练习】必修四 1.2.1 任意角的三角函数-高一数学人教版(必修4)(解析版)

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第一章 三角函数1.2.1 任意角的三角函数一、选择题1.已知sin α+cos α=–15,α∈(0,π),则tan α的值为A .–43或–34B .–43C .–34D .34【答案】C【解析】∵sin α+cos α=–15,α∈(0,π),∴α为钝角,结合sin 2α+cos 2α=1,∴sin α=35,cos α=–45,则tan α=sin cos αα=–34,故选C . 2.若点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭,在角α的终边上,则sin α的值为A .12-B .12C .3D 3 【答案】C【解析】因为点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭,在角α的终边上,即点132⎛- ⎝⎭,在角α的终边上,则3sin α=,故选C .3.若角α的终边过点P (3,–4),则cos α等于A .35B .34-C .45-D .45【答案】A【解析】∵角α的终边过点P (3,–4),∴r =5,∴cos α=35,故选A .4.如果角θ的终边经过点(3,–4),那么sin θ的值是A .35B .35-C .45D .45-【答案】D【解析】∵角θ的终边经过点(3,–4),∴x =3,y =–4,r 22x y +,∴sin θ=y r=–45,故选D .5.若sinαtanα<0,且costanαα<0,则角α是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】∵sinαtanα<0,可知α是第二或第三象限角,又costanαα<0,可知α是第三或第四象限角.∴角α是第三象限角.故选C.6.已知点P(x,3)是角θ终边上一点,且cosθ=–45,则x的值为A.5 B.–5 C.4 D.–4 【答案】D【解析】∵P(x,3)是角θ终边上一点,且cosθ=–45,∴cosθ=29x+=–45,∴x=–4.故选D.7.若点P(sinα,tanα)在第三象限,则角α是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D【解析】∵点P(sinα,tanα)在第三象限,∴sinα<0,tanα<0.∴角α是第四象限角.故选D.8.如果角α的终边过点(2sin60°,–2cos60°),则sinα的值等于A.12B.–12C.–3D.–3【答案】B【解析】角α的终边过点(2sin60°,–2cos60°),即(31-,),由任意角的三角函数的定义可知:sinα=()()221 231=-+-.故选B.9.若角120°的终边上有一点(–4,a),则a的值是A.43B.43-C.43±D.310.已知4sin5α=,并且P(–1,m)是α终边上一点,那么tanα的值等于A .43-B .34-C .34D .43【答案】A 【解析】∵4sin5α=,并且P (–1,m )是α45=,∴m =43,那么tan α=1m-= –m =–43,故选A . 11.已知sin α<0,且tan α>0,则α的终边所在的象限是A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】C【解析】∵sin α<0,∴α的终边在第三、第四象限或在y 轴负半轴上,∵tan α>0,∴α的终边在第一或第三象限,取交集可得,α的终边所在的象限是第三象限角.故选C . 12.若角α终边经过点P (sin2π2πcos 33,),则sin α=A .12BC .12-D . 【答案】C【解析】∵角α终边经过点P (sin 2π2πcos 33,),即点P ,–12),∴x ,y =–12,r =|OP |=1,则sin α=y r=y =–12,故选C .13.已知角α的终边过点12P ⎛ ⎝⎭,,则sin α=A .12B C D . 【答案】C【解析】由题意可得,x =12,y ,r =|OP |=1,∴sin α=y r,故选C .14.已知角α的终点经过点(–3,4),则–cos α=A .35B .–35C .45D .–45【答案】A【解析】∵角α的终点经过点(–3,4),∴x =–3,y =4,r =|OP |=5,则–cos α=–35x r =,故选A . 二、填空题15.若角α的终边与单位圆交于P (–35,45),则sin α=45;cos α=___________;tan α=___________.【答案】45;35-;43- 【解析】∵角α的终边与单位圆交于P (–35,45),|OP |=223455⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1,∴由任意角的三角函数的定义可知:sin α=44515=,同理可得cos α=35-;tan α=445335=--;故答案为:45;35-;43-.16.已知23cos 4a x a-=-,x 是第二、三象限角,则a 的取值范围是__________.17.已知角α的终边经过点P (–2,4),则sin α–cos α的值等于__________.35【解析】∵角α的终边经过点P (–2,4),∴x =–2,y =4,r =|OP 5,∴sin α=25y r =,cos α=xr= 5,则sin α–cos α3535. 18.适合条件|sin α|=–sin α的角α是__________.【答案】[2k π–π,2k π],k ∈Z【解析】∵|sin α|=–sin α,∴–sin α≥0,∴sin α≤0,由正弦曲线可以得到α∈[2k π–π,2k π],k ∈Z ,故答案为:[2k π–π,2k π],k ∈Z .19.若角α的终边经过点(–1,–2),则tan α=___________.【答案】2【解析】∵角α的终边经过点(–1,–2),∴由三角函数定义得tan α=21--=2.故答案为:2. 20.已知角θ的终边经过点P (x ,2),且1cos 3θ=,则x =___________.2 【解析】∵角θ的终边经过点P (x ,2),且21cos 34x θ==+,解得x 22.21.若sinθ<0,cosθ>0,则θ在第___________象限.【答案】四【解析】由sinθ<0,可知θ为第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上的角.由cosθ<0,可知θ为第一、第四象限角或终边在x轴正半轴上的角.取交集可得,θ在第四象限.故答案为:四.三、解答题22.已知点P(3m,–2m)(m<0)在角α的终边上,求sinα,cosα,tanα.【解析】因为点P(3m,–2m)(m<0)在角α的终边上,所以x=3m,y=–2m,r=–13m,sinα=21313yr==,cosα=31313xr=-=-,tanα=32yx=-.23.确定下列各式的符号:(1)sin 103°·cos 220°;(2)cos 6°·tan 6.24.已知角α的终边在直线y=2x上,分别求出sinα,cosα及tanα的值.【解析】当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上任意取一点P(1,2),则x=1,y=2,r=|OP5,∴sinα=255yr==cosα=55xr=,tanα=yx=2;当角α的终边在第三象限时,在角α的终边上任意取一点P(–1,–2),则x=–1,y=–2,r=|OP|=5,∴sinα=yr=5=25,cosα=xr=5=5,tanα=yx=2.25.已知角α的终边上一点P (m )(m ≠0),且sin α=4,求cos α,tan α的值.【解析】设P (x ,y ).由题设知x=y=m ,所以r 2=|OP|2=(2+m 2(O 为原点),,所以sin α=mr =4,所以=,3+m 2=8,解得当r=,x=所以cos =,tan当m=r=,x=y=所以cos =,tan26.已知角α终边上一点P (m ,1),cos α=–13.(1)求实数m 的值; (2)求tan α的值.【解析】(1)角α终边上一点P (m ,1),∴x =m ,y =1,r =|OP∴cos α=–13,解得m =.(2)由(1)可知tan α=1m。

高中数学 1.2.1任意角的三角函数精品 新人教B版必修4

高中数学 1.2.1任意角的三角函数精品 新人教B版必修4
1.2.1任意角的三角函数
教学目的:
1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解任意角 的余切、正割、余割的定义;
2、掌握三角函数值的符号的确定方法; 3、记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一); 4、利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。
教学重点、难点:
重点:三角函数的定义,各三角函数值在每个象限的符号,
当角的终边上一点 P ( x, y ) 的坐标满足 x2 y2 1 时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线
(Ⅱ)
(Ⅰ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
典型例题
例1.已知角α的终边经过点 P(2, 3),求α的三个函数制值。
解:因为 x2,y3,所以 r 22(3)2 13
于是 siny 3 3 13
r 13 13
cosx 2 2 13
r 13 13
tan y 3
x2
例2.求下列各角的三个三角函数值:
0 (1) ; (2) ; (3) 3 . 2
解:(1)因为当 0时,x r, y 0,所以
sin00 cos01 tan00
(2)因为当 时,x,r y 0 ,所以
sin0 cos1 tan 0
3
5
3
5
解: 如图可知:
sin 2
sin 4
3
5
2
tan
3
4
tan
5
S2
S1
B
P1
A M2 M1 o
T2
T1
四、课堂练习
P17练习题1、2、3、5、6
小结:
1.任意角的三角函数的定义; 2.三角函数的定义域、值域; 3.三角函数的符号及诱导公式; 4、三角函数线。

高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题

高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题

1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数.你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?改变终边上的点的位置,这个比值会改变吗?把角扩充为任意角,结论成立吗?一、任意角的三角函数1.单位圆:在平面直角坐标系中,以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆称为________.2.三角函数的定义:设角α的顶点与原点重合,始边与x 轴非负半轴重合.在平面直角坐标系中,角α终边与单位圆交于一点P (x ,y ),则r =|OP |=1.那么:(1)y 叫做________,记作sin α,即y =sin α; (2)x 叫做________,记作cos α,即x =cos α; (3)y x 叫做________,记作tan α,即y x=tan α(x ≠0).正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们把它们统称为________.答案:1.单位圆2.(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1.由三角函数的定义,以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数在各象限的符号.sin α=y r,其中r >0,于是sin α的符号与y 的符号相同,即:当α是第________象限角时,sin α>0;当α是第________象限角时,sin α<0.cos α=x r,其中r >0,于是cos α的符号与x 的符号相同,即:当α是第__________象限角时,cos α>0;当α是第________象限角时,cos α<0.tan α=y x,当x 与y 同号时,它们的比值为正,当x 与y 异号时,它们的比值为负,即:当α是第________象限角时,tan α>0;当α是第 ________象限角时,tan α<0.2.根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1:“sin α=yr :上正下负横为0;cos α=x r :左负右正纵为0;tan α=y x:交叉正负.” 形象的识记口诀2:“一全正、二正弦、三正切、四余弦.” 答案:1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知,三角函数值是由角的终边的位置确定的,因此,终边相同的角的同一三角函数的值________,这样就有下面的一组公式(诱导公式一):sin(2k π+α)=sin α,cos(2k π+α)=cos α,tan(2k π+α)=tan α,k ∈Z. 答案:相等四、三角函数线1.有向线段:有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段,它是________、 ________的.在平面直角坐标系中,和坐标轴同向的有向线段为正,反向的为负.2.正弦线、余弦线、正切线:三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段.有向线段的________表示三角函数值的________,有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________.三角函数线的作法如下:设角α的终边与单位圆的交点为P ,过点P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则有向线段MP ,OM 就分别是角α的正弦线与余弦线,即MP =y =sin α,OM =x =cos α.过点A (1,0)作单位圆的切线,设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ,则有向线段AT 就是角α的正切线,即AT =tan α.3.填写下表中三角函数的定义域、值域:函数定义域值域 y =sin α y =cos α y =tan α答案:1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y =sin α R [-1,1] y =cos α R[-1,1]y =tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2+k π,k ∈ZR任意角的三角函数的定义1.正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.2.三角函数值是比值,是一个实数.这个实数的大小和点P (x ,y )在终边上的位置无关,而是由角α的终边位置所决定.对于确定的角α,其终边的位置也是唯一确定的.因此,三角函数是角的函数.(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关,与点P 在终边上的位置无关. (2)三角函数值是一个比值,没有单位.三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置,具体说取决于x,y的符号,记忆时结合三角函数定义式记,也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.三角函数线对于三角函数线,须明确以下几点:(1)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.(2)当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致,三种有向线段的长度与三种三角函数值相同.三角函数的定义域1.由三角函数的定义式可以知道,无论角α终边落在哪里,sin α,cos α都有唯一的值与之对应,但对正切则要求α终边不能落在y轴上,否则正切将无意义.2.角和实数建立了一一对应关系,三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数,所以就可以借助单位圆,利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数.基础巩固1.sin 810°+tan 765°+tan 1125°+cos 360°=________.答案:42.若α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α的值为________.答案:-3 23.若角α的终边过点P (3cos θ,-4cos θ)(θ为第二象限角),则sin α=________.答案:454.cos θ·tan θ<0,则角θ是________象限角. 答案:第三或第四5.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第________象限. 答案:二6.角α的正弦线与余弦线长度相等,且符号相同,那么α(0<α<2π)的值为________.答案:π4或54π7.sin 1,sin 1.2,sin 1.5三者的大小关系是________. 答案:sin 1.5>sin 1.2>sin 1能力升级8.函数y =sin x +-cos x 的定义域是________.解析:∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,-cos x ≥0,∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,cos x ≤0,即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上.∴2k π+π2≤x ≤2k π+π,k ∈Z.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π2,2k π+π(k ∈Z)9.已知角α的终边在直线y =kx 上,若sin α=-255,cos α<0,则k =________.解析:∵sin α=-255,cos α<0,∴α的终边在第三象限.令角α的终边上一点的坐标为(a ,ka ),a <0,则r =-1+k 2·a ,sin α=-ka 1+k 2a=-255,∴k =2. 答案:210.在(0,2π)内,满足tan 2α=-tan α的α的取值X 围是________. 解析:由tan 2α=-tan α,知tan α≤0,在单位圆中作出角α的正切线,知π2<α≤π或3π2<α<2π. 答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,2π11.解不等式2+2cos x ≥0. 解析:2+2cos x ≥0⇔cos x ≥-22,利用单位圆,借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-34π,2k π+34π(k ∈Z).12.若π4<θ<π2,则下列不等式中成立的是( )A .sin θ>cos θ>tan θB .cos θ>tan θ>sin θC .sin θ>tan θ>cos θD .tan θ>sin θ>cos θ解析:作出角θ的三角函数线(如图),数形结合得AT >MP >OM ,即tan θ>sin θ>cosθ.答案:D13.函数y =sin x |sin x |+cos x |cos x |+tan x|tan x |的值域是( C )A .{-1,0,1,3}B .{-1,0,3}C .{-1,3}D .{-1,1}14.若0<α<π2,证明:(1)sin α+cos α>1; (2)sin α<α<tan α.证明:(1)在如图所示单位圆中, ∵0<α<π2,|OP |=1,∴sin α=MP ,cos α=OM . 又在△OPM 中,有 |MP |+|OM |>|OP |=1. ∴sin α+cos α>1.(2)如图所示,连接AP ,设△OAP 的面积为S △OAP ,扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ,△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT , ∴12OA ·MP <12AP ︵·OA <12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ,即sin α<α<tan α.15.已知f (n )=cosn π5(n ∈Z),求f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 014)的值.解析:角n5π(n =1,2,…,10)表示10个不同终边的角,这10条终边分成五组,每组互为反向延长线.∴f (1)+f (2)+…+f (10)=0,f (11)+f (12)+…+f (20)=0,…f (2 001)+f (2 002)+…+f (2 010)=0.∴f (1)+f (2)+…+f (2 010)=0.∴f (1)+f (2)+…+f (2 014)=f (2 011)+f (2 012)+f (2 013)+f (2 014)=cos π5+cos 2π5+cos 3π5+cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5,cos 2π5与cos 3π5互为相反数,故f (1)+f (2)+…+f (2 014)=0.。

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1.2.1任意角的三角函数(四)
教学目标分析:
知识目标:(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能初步运用公式一;(5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
过程与方法:初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固练习.
情感目标:任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响,“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
重难点分析:
重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).
难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解.
互动探究:
一、课堂探究:
1、复习回顾
(1)三角函数的定义;
(2)三角函数在各象限角的符号;
(3)诱导公式(一):终边相同的角的同一三角函数的值相等;
(4) 三角函数的定义域.
要求:记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,凡是碰到轴上角时,要结合定义进行分析;并要求在理解的基础上记忆.
探究一、角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值),但它是否也是一个图形概念呢?换句话说,能否用几何方式来表示三角函数呢?
探究二、以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画一个圆,这个圆就叫做单位圆(注意:这个单位长度不一定就是1厘米或1米).当角α为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ,过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ,则请你观察:
根据三角函数的定义:|||||sin |MP y α==;|||||cos |OM x α==
随着α在第一象限内转动,MP 、OM 是否也跟着变化?
探究三:
(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向,使它们的取值与点P 的坐标一致?
(2)你能借助单位圆,找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗?
我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点,规定:
当线段OM 与x 轴同向时,OM 的方向为正向,且有正值x ;当线段OM 与x 轴反向时,OM 的方向为负向,且有负值x ;其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==
同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点,规定:
当线段MP 与y 轴同向时,MP 的方向为正向,且有正值y ;当线段MP 与y 轴反向时,MP 的方向为负向,且有负值y ;其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有
sin MP y α==
2、有向线段:像MP OM 、这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段(direct line segment ).
探究四、如何用有向线段来表示角α的正切呢?
如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT x
α== 3、三角函数线:我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.
4、三角函数线的作法:
探究四:(1)当角α的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗?
(2)当α的终边与x 轴或y 轴重合时,又是怎样的情形呢?
例1、请在单位圆中作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
5213(1)
;(2);(3);(4)3636
ππππ--.
例2、在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围,并由此写出角α的集合:
11
(1)sin ;(2)sin 22
αα=≥;(3)y =
例3、利用三角函数线,比较下列值的大小.
5(1)sin 33sin 44;(2)cos
cos()312ππ- 与与.
变式1:已知
42ππα<<,试比较tan ,sin ,cos ααα的大小.
变式2:已知0,sin tan 2πθθθθ<<
已知判断、、的大小关系.
二、 课堂练习:
教材第17页 练习第1、3题
1、你能从三角函数线出发得出三角函数的那些性质.
2、作一个以5cm 为单位长度的圆,然后分别作出225,330
角的正弦线、余弦线、正切线,量出它们的长度,从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值.
反思总结:
1、 本节课你学到了哪些知识点?
2、 本节课你学到了哪些思想方法?
3、 本节课有哪些注意事项?
课外作业:
补充:
1、比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器).
(1)sin15︒、tan15︒;(2)'cos15018︒、cos121︒;(3)
5
π、tan 5π.
2、利用三角函数线直接写出满足下列条件的角α的集合.
sin 2
α≥: , 1cos 2α≤-: , 0cos sin >-αα: ,tan 1α≤-: ,
3、求下列函数定义域:2(1)lg(25)y y x ==
-;
(3)y =
4、已知sin sin 0,αβ+<若2sin 1,sin 1m m αβ=-=-,求实数m 的取值范围.
答案:1m <≤.
5、已知223sin
2sin 2sin αβα+=,求22sin sin αβ+的取值范围.
答案:4[0,]9
.
课后反思:。

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