一道典型题目的“一题多问”
一题多解在大学物理教学中作用
浅谈一题多解在大学物理教学中的作用摘要:以一道刚体力学的典型题目为出发点,介绍了两种不同的解题方法。
探讨了一题多解在大学物理教学中的作用,并提出了在具体实施一题多解教学时应注意的问题。
关键词:一题多解大学物理刚体力学发散思维创新能力中图分类号:g420 文献标识码:a 文章编号:1674-098x(2012)06(b)-0146-01“条条大路通罗马”,解决同一个问题,方法往往有多种,一题多解在教学中具有重要的意义。
目前在非物理专业大学物理教学中,课时普遍较少,为了节约时间,往往忽视了这种教学方法的应用。
但是一题多解在巩固和加深所学知识,培养学生发散思维能力与创新能力,培养学生学习兴趣方面起着重要作用,所以必须加以重视。
1 下面以一道刚体力学中的典型例题,谈一下一题多解在大学物理教学中的作用例题:如图1所示,一圆形飞轮可绕垂直轴转动,边缘绕有绳子,在绳子下端挂以质量m的物体。
已知圆形飞轮半径为r,质量为m(已知转动惯量i＝mr2,摩擦力不计)。
求:(1)圆形飞轮的角加速度;(2)绳子下端挂的物体下落高度为h时,圆形飞轮的角速度和转动动能。
解:(1)如图1所示,设圆形飞轮的角加速度为β,物体下落的加速度为a则有:解法二:据机械能守恒定律,质量为m的物体减少的重力势能全部转化为本身的动能和飞轮的转动动能,所以1.1 一题多解可以巩固和加深所学知识例题中第一种解法是利用刚体转动的运动学方程以及角量和线量的关系来求解,第二种方法是利用机械能守恒的观点来求解。
这两种解法涉及的知识点不同,通过这两种解法,能巩固所学知识。
第二种解法中的机械能守恒式,加深了对转动动能这个概念的理解,使学生深刻的认识到转动动能作为机械能的一种,也可以和其他形式的机械能相互转化。
1.2 一题多解可以培养学生的发散思维能力和创新能力此题的两种解法得到的答案虽然相同,但解题的途径却不同,因为思维的出发点不一样。
一般说来任何问题的解决方法都不止一种。
典型分数应用题(较难)
典型分数应用题(较难)1.将含糖量为12%的500毫升葡萄糖溶液稀释成含糖量为10%的溶液，需要加入多少毫升蒸馏水？2.某班原有54名学生，男生占多少比例？转来几名女生后，女生占全班的多少比例？3.甲桶有28千克水，喝了一部分后，乙桶喝了剩下的水，乙桶原来有多少千克水？4.食堂共有360袋大米和面粉，其中大米占比例多少？用了一些大米后，面粉的袋数恰好等于大米的袋数，用了多少袋大米？5.书店有故事书和科技书共300本，比例为3：2.后来运来一些科技书，此时故事书和科技书的比例为9：8，运来多少本科技书？6.图书馆原有文艺书和连环画630本，比例为1：4.后来买进一些文艺书，此时文艺书和连环画的比例为3：7，买进了多少本文艺书？7.二班原有42名学生，女生占比例多少？转来了几名女生后，女生与男生的比例为5：6，现在全班有多少人？8.两筐水果共重130千克，甲筐水果的重量是乙筐的7/13，甲乙两筐原各有多少千克水果？9.有两堆煤，第一堆运走后，第二堆运走一部分后还剩下，此时第一堆和第二堆的重量比为3：5，第一堆原有120吨煤，第二堆原有多少吨煤？1.将含糖量为12%的500毫升葡萄糖溶液稀释成含糖量为10%的溶液，需要加入多少毫升蒸馏水？2.某班原有54名学生，男生占比例多少？转来几名女生后，女生占全班的多少比例？3.甲桶有28千克水，喝了一部分后，乙桶喝了剩下的水，乙桶原来有多少千克水？4.食堂共有360袋大米和面粉，其中大米占比例多少？用了一些大米后，面粉的袋数恰好等于大米的袋数，用了多少袋大米？5.书店有故事书和科技书共300本，比例为3：2.后来运来一些科技书，此时故事书和科技书的比例为9：8，运来多少本科技书？6.图书馆原有文艺书和连环画630本，比例为1：4.后来买进一些文艺书，此时文艺书和连环画的比例为3：7，买进了多少本文艺书？7.二班原有42名学生，女生占比例多少？转来了几名女生后，女生与男生的比例为5：6，现在全班有多少人？8.两筐水果共重130千克，甲筐水果的重量是乙筐的7/13，甲乙两筐原各有多少千克水果？9.有两堆煤，第一堆运走后，第二堆运走一部分后还剩下，此时第一堆和第二堆的重量比为3：5，第一堆原有120吨煤，第二堆原有多少吨煤？一些人到一车间，使得两个车间的人数比为5：7，求调出了多少人。
工程问题典型题目总结
工程问题典型题目总结一、 基本工程问题1、甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了225小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?【解析】乙单独加工，每小时加工11181224-=甲调出后，剩下工作乙需做21184(12)58245-⨯÷=时所以乙每小时加工零件84420255÷=(个)，则225小时加工2252605⨯=(个)，所以乙一共加工零件420+60＝480(个)．【答案】4802、一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？【解析】 根据题意可知，甲的工作效率为112，乙的工作效率为19，采用鸡兔同笼问题的假设法，可知甲做了111(101)()49912⨯-÷-=天．【答案】4天3、一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要 天． 【解析】 设1个人做1天的量为1，设原来有x 人在做这项工程，得：()()1610420x x +⨯=+⨯，解得：8x =．如果调走2人，需要()()816108240+⨯÷-=(天)．【答案】40天4、一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？ 【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为1111225410-⨯-⨯=，所以乙的工作效率为：11(622)1020÷--=，所以整池水由乙管单独灌水，需要112020÷=（小时）．【答案】20小时二、 变速工程1、甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高110，乙的工作效率比单独做时提高15．甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的25，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的1330尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？【解析】乙的工作效率是：2131(1)653036--÷=，甲的工作效率是：215111(6)(1)53651033+÷-⨯÷+=，所以，单独由甲做需要：113333÷=(小时)． 【答案】33小时2、甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的12时，乙完成了任务的12还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了7.5小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？【解析】 当甲完成任务的12时，乙完成了任务的12还差40个，这时乙比甲少完成40个； 当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个； 所以在后来的7.5小时内，乙比甲多完成了402060+=个，那么乙比甲每小时多完成607.58÷=个．所以提高工效后乙每小时完成40848+=个．【答案】48个3、甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？【解析】 在晴天，一队、二队的工作效率分别为112和115，一队比二队的工作效率高111121560-=；在雨天，一队、二队的工作效率分别为()11140%1220⨯-=和()13110%1550⨯-=，二队的工作效率比一队高3115020100-=．由11:5:360100=知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的1113512202⨯+⨯=，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天．方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会继续出现。
_横看成岭侧成峰___一题多解找异同_一节高三数学试卷讲评课赏析_孟文娣
解法 7 虽然建立了正确的方程，但运算量
还是 很 大，如 何 优 化 呢？ 笔 者 将 问 题 抛 给 学
生，学生自然想到通过“角参”解决，顺利得到
解法 8．
解法 8 作 DE ⊥ AC 于点 E，设 ∠DCA =
( ) θ，θ ∈ 0，π2 ，则 ∠BAC = θ． 在 ＲtCDE 中，
CE = 15cos θ，DE = 15sin θ，所以 AE = 15sin
解得 x = 3 或 x = 18．
因为 tan∠DAE
=
DE x
＜
tan
45°
=
1，所以
x ＞ DE = 6，所以 x = 18．
解法 4 在 ACD 中，由等积法，知
S ACD
=
1 2
CD·AE
=
1 2
AC·ADsin
45°，
即 x4 － 333x2 + 36 × 81 = 0． （ 下同解法 3）
学生错解： 如图 3，作 DE ⊥ AC 于点 E． 设
AE = x， 则 DE = x，AD = 槡2 x，CE = 槡225 － x2 ． 在 ACD 中，152 = （ x + 槡225 － x2 ） 2 + （ 槡2 x） 2 － 2（ x + 槡225 － x2 ） ·
槡2 x·槡22 ．
在 ＲtACE 中，AC = 槡x2 + 81 ，
在 ＲtADE 中，AD = 槡x2 + 36 ．
在 ACD 中，由余弦定理，得
CD2 = AC2 + AD2 － 2AC·ADcos 45°，
即
x4 － 333x2 + 36 × 81 = 0，
注重发散联想 提升核心素养——一道试题的多解思考、结论应用与教学展望
注重发散联想提升核心素养摘要：提升学生的学科核心素养是数学教学的核心目的，在尊重个体差异的前提下，借助问题在解题教学中实施一题多解，引导学生对问题条件进行发散联想，鼓励学生从不同角度对问题进行探究，培养学生养成解后反思的习惯，是提高学生学习兴趣和渗透数学学科核心素养的重要途径．关键词：一题多解；发散联想；核心素养收稿日期：2020-04-18作者简介：胡伟斌（1986—），男，中学一级教师，主要从事初中数学教育与解题教学研究．——一道试题的多解思考、结论应用与教学展望胡伟斌解题教学是初中数学教学的重要组成部分.在实际教学中，部分教师常常将解题教学演变成解题训练，课堂旋律也常表现为“做完一题再做一题”的重复.事实上，过多的解题不仅不会促进学生思维能力的发展，反而容易使学生感到疲劳，降低学习兴趣.在解题教学中，教师如果能精选试题并不失时机地引导学生尝试一题多解，通过发散联想，使学生的思维触角伸向不同的方向和更高的层次，这样不仅能加深学生对所学知识的理解，而且能培养学生思维的发散性和灵活性，也有利于对学生创新意识的培养和核心素养的提升.基于此，以一道题目为例，分析解题思路，探寻多样解法，与广大同仁分享笔者的观点.一、题目呈现题目如图1，已知锐角∠AOB 内有一定点P ，过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA ，OB 于点M ，N.现将直线MN 绕着点P 旋转，试问当直线MN 在什么位置时，△MON 的面积最小，并说明理由.图1初遇此题，还是其作为2013年中考江苏连云港卷压轴题中的一道小题，笔者当时就被其简洁的题设、丰富的内涵所吸引.时至今日，此题又在笔者所在学校九年级培优选拔性考试中出现，鉴于学生对该题的解法不尽相同，笔者心中燃起了对其进行研究的热情.二、解法探析该题是一道以角为载体、直线旋转为背景、探究三角形面积的最值问题.由于△MON 面积的变化规律不易发现，则增加了问题解决的难度.由于题中点P 的位置和∠AOB 的度数是确定的，我们便可以此为突破口，找出一些富有创意的想法，现将这些典型思路呈现如下.思路1：合理猜想，直观比较.当直线旋转到点P 是线段MN 的中点时，S △MON 最小.如图2，作过点P 的另外一条直线EF 分别交OA ，OB 于点E ，F.不妨设PF ＜PE ，过点M 作MG ∥OB 交EF 于点G.不难推出△MGP ≌△NFP.进而可得S 四边形MOFG =S △MON ，而S 四边形MOFG <S △EOF ，故S △MON <S △EOF .图2思路2：巧用面积比，“不等”来传递.如图3，过点P作CP∥OB，DP∥OA，分别交OA，OB于点C，D，则四边形CODP为平行四边形.设S△MCP=S1，S四边形CODP=S，S△PDN=S2.不难证明△MCP∽△PDN，则S1S=MC2PD=CP2DN=S4S2.因为S1+S2≥2S1S2= S.所以S△MON≥2S.当且仅当S1=S2时，等号成立，此时MP=PN.图3思路3：先局部，再整体，三角函数巧“联谊”.如图4，连接OP并延长，过点M作射线OP，OB的垂线，垂足分别为点C，E，过点N作射线OP 的垂线，垂足为点D.设sin∠AOB=a，sin∠AOP=b，sin∠POB=c，OP=k，OM=x，ON=y.不失一般性，MC ND =PM sin∠MPOPN sin()180°-∠NPO=PMPN=xbyc.而12ON∙ME=12OP∙MC+12OP∙ND，即12xay=12kxb+12kyc.则y=xkb xa-kc .因此S△MON=12yxa=kba-2kc x2+2a x.故当x=2kca时，S△MON最小，而此时y=2kb a，则可得PM PN=1.图4思路4：借助坐标系，数形来结合.如图5，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设tan∠AOB=a，点P的坐标为()m，n.当∠MNO=90°时，易求得S△MON=am 22；当∠MNO≠90°时，易知y OM=ax，y MN=kx+n-km.则可得点M，N的坐标分别为Mæèöøtk-a，atk-a，Næèöøtk，0（其中t=km-n）.所以S△MON=am 22æèçöø÷n2-mnat2+2n-ma t+1.故当t=2n()ma-n2n-ma时，S△MON取得最小值2mn-2n2a≤am22，而此时点M的纵坐标为2n，即点P为线段MN的中点.图5三、结论应用事实上，探究题目的价值不止于上述内容，更为难得的是题目中所蕴含的结论也可以作为求解某些问题的“提速之匙”.例如图6，在平面直角坐标系中，直线OH的解析式为y=3x，一次函数y=kx+3-3k（k≠0）的图象分别交射线OH和x轴的正半轴于点A，B，则OA∙OB的最小值为.图6解析：此题的原解是先利用两个函数的解析式求得点A，B的坐标，再通过求含k的代数式的最小值解决.方法常规易想，但过渡稍多，运算量较大.倘若运用上述结论，则可直捣黄龙，具体思路如下.易知函数y=kx+3-3k图象经过定点C()3，3.如图7，连接OC，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点D，E.易得OC=23，tan∠COE=则∠COE=30°.由y OH=3x，可知∠AOB=60°，因此OC是∠AOB的平分线.因为S△AOB=12OB∙AD=12OB∙OA sin∠AOB，所以要使OA∙OB最小，只需△AOB的面积最小.而根据题目中的结论，不难推知，当OC为AB边上的中线时，△AOB的面积最小，而此时△AOB恰为等边三角形，且OA=OB=4，故OA∙OB的最小值为16.图7四、教学展望1.多角度探究问题是培养学生发散思维的重要途径《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中指出，数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.而对于一道可以进行一题多解的题目，引导学生尝试从不同的角度对其进行探究，让学生充分经历分析问题的过程并体验解决问题方法的多样性，是体现上述理念的有效方式之一.例如，在上述题目的解题教学中，由于题中点P 的位置和∠AOB的度数确定，笔者便以此为突破口，引导学生就相关条件展开发散联想.启发环节1：由于点P的位置固定，笔者就鼓励学生猜想“当点P位于线段MN的哪一位置时，S△MON最小”，以此启发学生进行合情推理，最后通过演绎推理进行直观比较.启发环节2：由于在直线MN绕点P旋转的过程中，△MON的面积不断变化，故笔者尝试启发学生“动中取静”，提问：虽然△MON的面积是一个变量，但是根据图形你能发现哪些常量？借此引导学生发现过点P分别作OA，OB的平行线，所构成的平行四边形的面积始终不变.从而将问题转化为求余下两个三角形面积和的最小值问题.亦或连接OP，“一分为二”，引导学生借助定线段OP，定角∠MOP和∠NOP，利用相似或正弦定理将问题转化为求二次函数的最值问题.启发环节3：经过上述两个环节后，学生从“形”切入解析上述题目遇到瓶颈，故笔者引导学生思考：借助“形”达不到目的，还可以从哪个方面切入？以此启发学生将“形”转化为“数”，并借助平面直角坐标系求解.通过上述解题思路的引导，让学生体会对于某些问题可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解，逐步让学生养成多角度、多层次、多维度切入并思考问题的习惯，最终内化为学生自身的数学素养.同时，在解题的过程中，教师要鼓励学生提出凸显自己特点的解法，激发学生学习数学的兴趣，培养学生思维的发散性和灵活性，发展其创新意识. 2.学会解后反思是提升学生核心素养的重要方法《标准》中指出，要恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性.在平时的解题教学中，教师不仅要引导、传授学生多种解题方法，同时还要让学生学会解后反思，思考不同解法之间的区别和联系，辨别各种方法的优劣.例如，在上述题目的解法探究后，笔者引导学生对四种思路进行了比较，综观上述四种思路，殊途同归，又各具特色.思路1利用三角形全等，借此“移花接木”，欲以“无字证明”，较好地体现了利用几何直观解决问题的优势，妙不可言！思路2则利用三角形相似，找到各图形面积间的比例关系，进而利用基本不等式推得结果，可谓简约直观，精彩巧妙.思路3和思路4，虽然从不同的角度切入，但均通过设元，找到△MON的面积与某一变量之间的函数关系，最后化归为求二次函数的最值问题.这两种思路的实质都是将“形”转化为“数”，欲以细致分析达到微观题目之效，自然直接，但思路3的思维含量较高，过渡稍多，而思路4方法易想，但过程稍显复杂，计算量较大.通过上述的比较讨论，帮助学生更好地理解了问题的本质，深化了其对知识的认识，使其在今后再遇到类似问题时能以最快的速度找到解题突破口，实现对问题的有效解决.而使解题方法优化，探求简洁的解（下转第91页）地使用教材，可以帮助学生把握问题本质，开阔学生的数学思维.从教材例题引入，从“拓展原有命题—延伸条件—知识迁移”三个角度进行了变式，实现了原来问题的指向从单一到多向、从特殊到一般的延伸.在知识迁移的三个变式中，类比“借助线段传递证明三角形全等”的方法，学生比较容易想到图形的内在联系，从而实现线段最小值的求解.在这一基础上，搭建了思维阶梯，为思考后面的变式4和变式5做了准备.这样的变式思考，有助于学生对知识的理解，激发学生思考的兴趣，促使学生的思维向纵深发展.围绕教材例题进行变式，实际上是对知识应用和理解的深度挖掘，通过变式问题的探究可以实现思维拓展，有助于新知的沉淀，最终促进学生的思维生长. 3.探寻深度教学，提升思维品质本节课的教学立足于正方形的性质应用，以研究线段关系为起点，探究例题的多种解法，而后又经历问题变式.通过对教材中这道例题的深度挖掘，用一题多解和一题多变的形式，促进深度学习的开展与深化，让学生的思考与学习逐步深入，完善知识结构，养成良好的思维习惯，提升思维层次，培养学生的数学核心素养.对教材例题进行挖掘、变式、探究，既能抓住数学本质，加深学生的数学理解，又能提高解题能力，还可以实现教材例题教育功能的价值最大化，培养学生的数学思维能力.教材上的例题，具有较好的典型性和示范性.因此，在教学中，教师需要对教材上的例题实施“再创造”，挖掘其内在价值，实现深度教学，促进学生思维的成长.参考文献：［1］陈建国.学习方式变革与“高阶思维”课堂创设策略探索［J］.数学教学（上旬），2018（2）：12-14.［2］苏建强.几何解题教学应突出的三个关注点［J］.中学数学教学参考（中旬），2019（4）：48-51.［3］姜晓翔.一道网格题的解答剖析与教学启示［J］.中学数学教学参考（中旬），2019（5）：41-43.题思路又可以使思维向最优路径收敛，在经验的不断积累中提升学生的数学能力和核心素养，逐步迈入高效学习的快车道.3.尊重个体差异是提升学生核心素养的必要前提在日常教学中，我们所面对的学生基础不同，个性迥异，思考问题的切入角度不尽相同.《标准》中指出，教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每位学生在原有基础上得到发展.例如，在上述题目的解法探究过程中，笔者鼓励学生以自己喜欢的研究方式去寻找解题方法，借此使每位学生都参与到学习中，并让他们通过积极思考，畅所欲言，提出各自解决问题的策略.无论学生的解法优劣，笔者都及时、有效地对其进行肯定和鼓励，发现其中的亮点，以此激发学生的学习热情和创新灵感.同时，通过不同解法的呈现，笔者引导学生就解法进行自我对比，以使不同层次的学生各有所思、各有所得、各有所悟，以此在原有知识方法、思想经验的基础上，进一步得到不同程度的应用改进和积累提高，进而促进学生核心素养的提升.笔者认为，在平时的解题教学前，教师应着重根据班级学生的个体差异精选试题，以激发学生探究的积极性，让每位学生都有机会参与到学习中.在教学过程中，教师应不失时机地借助问题实施一题多解，引导学生对问题条件进行发散联想，鼓励学生从不同角度对问题进行探究.而在一题多解之后，教师应特别注意为学生搭建比较、讨论的平台，以培养学生养成解后反思的习惯.如上的教学，课堂旋律将会变得跌宕起伏，而学生对问题本质的认识理解及核心素养的提升发展不仅有了空间和时间，也有了具体的路径和方法.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］张俊.一道试题的多解思考及其教学展望［J］.中学数学教学参考（中旬），2015（7）：48-49.（上接第86页）。
事业单位事业单位面试题目经典试题
事业单位面试经典题目典型例题：领导安排你和张三共同去完成一项任务,明确由你负总责.可张三在具体操作中极不配合你，你该怎么办？答：下面我开始回答第N题,对于题中所述情况，我会从以下几个方面来处理.（总起，作用和上个题型一样,只是表述上的差别，注意应表述为从以下几个方面来处理，因为这个题目是需要你提出具体措施的,而不能说这样认为云云.有疑问的请参考帖3)第一、沉着冷静，团结张三，不要轻易表露自己的情绪，更不能责怪张三,以免产生矛盾.（我对这点这样概括的：深藏不露，稳定情绪。
不同的题目只要题型相同都可以这么答）第二、认真回顾与张三过去的合作，想想是否有过结。
如果是我的原因，会主动与之沟通，表示歉意，做到与人为善.如果是张三对工作有意见，应与之交流,劝他顾全大局,改变态度，赢得他对我工作的支持.(这一点就是对题目中各种情况的具体分析了，具体要求就是冷静分析，找出原因，合理应对.这里是作为一点回答的，当然如果你觉得内容充实，也可以分为几点来回答.还可以这一点分析原因,下面再分点解决问题。
不过注意不要太甬长，面试答题最忌讳长篇大论。
)第三、虽然领导要我负总责,但是必须谦虚谨慎，不摆架子,以谦虚谨慎的作风赢得张三的支持。
（这一点还是对关系处理的补充,强调的是谦虚的态度问题，在不同题目中可以突出不同的重点）第四、如果张三坚持不改正态度，与之沟通也无效果，我会建议领导为使工作圆满完成,对张三的工作进行调整.第N题回答完毕！(考虑最坏结果，做出万不得已之举。
而领导是一个公务员面对无法解决的困难时的最后救命稻草，如果是与上级的矛盾，则体现为下级服从上级。
无论题目中出现哪种情况都如此。
）OK，深刻理解下这道题目的解答方法吧，下面再来继续看例题，试着先不看答案,套用上面答题方法。
例：你和张三同时被某单位录用为公务员，两年后，张三被提拔了，而你的实绩比张三好,可没有提拔你,你如何看待？答：下面我开始回答第N题，对于题中所述情况,我会从以下几个方面来看待和应对.（注意此题问的是该如何看待，你回答时当然也需要回答如何应对。
巧用“一题多解”培养学生的数学思维
第37卷第3期2018年5月数学教学研究21巧用“一题多解”培养学生的数学思维陶亚平(甘肃省兰州市第六中学730060)数学教学的目的是为了让学生深刻掌握和理解所学知识，使所学知识系统化，深刻化.多做多练是掌握数学知识点的必要过程，通过大量的练习，可以巩固基本知识和基本方法.在数学教学中，巧妙使用一题多解，不仅能够提升学生的学习主动性，还可以培养学生的数学思维，对学生学习和探索数学知识的兴趣提升有很大的帮助作用.1运用一题多解，总结各种解法，有利于知识与方法的系统化对所学数学知识点多做多练，才能使数学知识灵活运用、融会贯通，并使不同的知识点关联起来，使之系统化，并建立起一个完整的知识结构和框架体系.例1 (2010年高考数学全国卷17题）A AB C中，D为边B C上的一点，B D = 33,sin B=5，cosZ A D C=55^A D.解法1因为sin B=所以cos 犅=13，s i n Z A〇C=55，sinZBA D=sin(Z A D C-B)=sin^ADCco s B~co s^ADCsin B_33一65.根据正弦定理可得AD _BDi n B一s in Z B A D，故A D=BD •sin Bs in Z B A D25解法2因为s in B=5,所以 co s B一13，sin Z A D C一^，s in Z A D B—s in Z A D C—5.首先根据正弦定理可得A B_ADs in Z A D B一sin B，即a b=5|a d.其次根据余弦定理可得p_A B2+BD2-AD2_12c〇s犅一^2A B •BD^一13,将a b=||a d代入A B2+B D2-A D2_12^2A B •BD^一13,得 27027A D2—1029600A D+8848125 =9，求解该一元二次方程，得犃犇一 25.例1的两种解法通过多角度的思考、分析，拓展了学生解题的思路，同时引导和激发学生 探索新方法的欲望，从而提高学生的学习兴趣，锻炼学生的发散思维，养成多角度考虑问题的 习惯，有助于提高解题效率.2运用一题多解,有利于培养学生良好的数学思维品质一个典型题目，运用多种方法，从多角度、多侧面、多方向给出解答，这是思维流畅性的表 现，对于各种解法，方法好坏的取舍也是思维批 判性和周密性的反映.下面以一个简单的选择 题例子进行说明.例2在两底面对应边的比为1:2的三棱 台中，过上底一边作平面平行于这边对应的侧 棱，则这个平面截三棱台所成的两个几何体的 体积比是（）.(A)1(B)3(〇1 (D)3解法1用参数法，设三棱台上下底面的收稿日期：2017-10-2622数学教学研究第37卷第3期2018年5月面积分别为P，Q，高为A，则犘=(^)2^Q=4P,从而可得^三棱台=3•办犘+犙+v犘犙）=3 .h(^p+4P+2P)=j P h.又因为V三棱台=犘犺，所以y=.棱台'V三.棱柱■(7-1)P hV三棱柱故应选择D.Ph解法2观察到此题给的4个选择均为常 数，故可以考虑用特殊化思想.把一般三棱台特 殊化，上下底面特殊化，高也特殊化，不妨设上 底面边长均为1，下底面边长均为2,三棱台的 高为1.于是有三棱台_-(4+槡3+槡4槡3)=7■"三棱柱=4，从而V三棱台-V三棱柱(72-T)v34V三棱柱槡34故应选择D.上面两种方法，一用参数法，设出犘，犙，犺，再消去参数;二用特殊化思想方法，化一般为特 殊.两法均可，体现了思维的发散性.3运用一题多解，有利于寻求规律，更好地求解数学问题由于一题多解结构特征具有知识的联系性，易于寻求解题规律，因此有利于求解数学问题.例3 (2011年高考数学辽宁理科卷第17题)已知等差数歹列{^}满足《2=〇，+«8 =—10.(1) 求数列{〜}的通项公式；(2) 求数列的前w项和.第1问解法：解法1由等差数列的通项公式得，2=+犱=0，，6+，8=(，i+5犱)+(，i+7犱)=—10，解得，1=1，犱=—1，因此{=2 —n.解法2根据等差数列的性质可以得到，6+，8=2{=10，，7=5.又因为，7=，2+5犱，且，2=0，得犱=—1.an=a7+(n—7)犱=2—n.解法 3 由{+，={+{=—10 和，2=0可得，12=—10,又，12=，2+10犱，从而可得犱 =—1，因此，=2—n.第2问解法：解法1由（1)可知，=1，犱=—1，从而0 一n(n—1) ,一3n—n*12i?n—n，1+ 2犱一 2 •解法2由（1)可知a1=1，a…=2 —n,从而c_n(a1+a n)_3n—n2在本题关于等差数列公式的运用中，通过 一题多解，引导学生寻求等差数列的内在规律，培养学生灵活应用等差数列的性质来解决问题 的能力，进而达到培养和训练学生发散思维的 目的.4运用一题多解，有利于开发智力，培养数学能力由于一题多解的结构特征具有多样性，故 对学生智力的启迪以及解数学题能力的培养有 很大的帮助•同时使用一题多解的方法，能够帮 助学生打破惯性思维，实现学生思维方式的创 新•下面以一道简单的极限题为例进行说明.例4求极限lin#2 *—6狓^4狓—4解法1利用导数的定义/(狓)=lim,狓)—犳(狓）C狓^狓0取犳(狓）一狓狓0=4,则 lim:—16~-(x2Y8.^m狓一4解法2对函数先做初等变形，再求极限.lim-3— 16—4:lim-狓^-4狓+4)狓一4)狓—4=li m(-+4)=8.狓―4解法3注意到极限为0型未定式，可直接利用罗比达法则(对分子、分母分别求导后再 求极限)计算.第37卷第3期2018年5月数学教学研究23=lim(2x)=8.极限4的求解方法非常灵活，本题从不同角 度给出了不同的解决思路，这种锻炼有利于培 养学生的数学思维，进一步认识极限的本质，通 过比较探索求极限的最简便方法.新颁布的全日制中学《数学教学大纲》明确 指出：数学教学的目的之一是激发学生学习数 学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实 事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.”数 学教学中，我们要努力达到这一目标，在教学过 程中就应该积极地尝试应用一题多解的教学方 法，这种方法不仅能够提升学生的解决数学问题 的能力，同时还能够激发学生的学习兴趣，使他 们形成良好的学习习惯，学会使用多种方法解决同一问题，并思考不同方法之间的联系和区别.一题多解方法在数学教学中的应用，不仅 可以提高学生的学习兴趣，还能够培养学生的 数学思维方式，把所学知识充分应用到实际问 题中，解决生活中的一些实际问题.毋庸置疑，这种方法的灵活运用，必将对数学课堂的教学 效果起到很大的帮助和促进作用.参考文献[1]朱亚珍.浅析高中数学教学中的“多题一解”和“一题多解”[J1科教文汇，2016(11).[2]张利燕.“一题多解”与“多题一解’’在高中数学教学中的价值[J]好家长，2015(4).[3]庄艳.在数学教学中应注重一题多解[J].林区教学，2013(3).[4]李艳.一题多解在数学解题中的运用[J].学园，2011(16)．整因式乘式分~法—法解*定义-提公因式法:项式-*步!完全平方公式公年法十字相乘法一1多于三项的多项式—分组分解法提”套”分”L-四“查”图4(上接第14页）3总结总之，微课是随着多媒体技术迅速发展起 来的一种以微视频资源为中心的创新型教育资 源5，在课堂教学中得到广泛应用，特别是在初 中数学复习课教学中，微课起到了其他教学模 式无法代替的作用:微课的制作精细，通过“切 碎”知识点，帮助学生理解消化;微课的时长精 短，内容重点突出、针对性强，分配时间合理，有 利于“点燃”学生思维的火花；微课以思维导图 的形式重点“整合”知识点，辅助学生归纳整理.可以说微课以一种科学、高效的教学模式在初 中数学复习课中的应用价值数不胜数，特别是 多媒体技术高速发展的今天，相信日后微课必将成为初中数学的重点教学模式.参考文献[1] 朱丽娜.应用思维导图于“一次函数”的复习策略研究[J].数学教学研究，2016(4): 4447.[2]陈迎春.微课在九年级数学复习中的有效应用[J].新课程研究（下旬），2016(7): 1516,46.[3]李惜珠,李树元.提高中考数学复习有效性的新途径—微课助学[J].初中数学教与学，2017(19)27-29.[4]刘绍洲.巧用思维导图教学提升初中数学复习课效率[].科教导刊（下旬），2016(8) :118-120. [5] 莫祺，陈锦波.Moodle平台下利用微课进行九年级数学复习的研究[J].中学数学教学参考，2015(12)2-4,8.。
一道电学计算题的一题多解
（ ）状态 （ ）如图 ２所示． 二 ２
际功率 为 ８ 求导 线上 损耗 的 电 功 率 （ 灯 丝 的 １ｗ， 设 电阻不 变）
这是一 道利用 长导 线将 白炽灯与 远处 电源连接 前、 ， 后 从而 改变 电路 状态 的 电学综 合 题． 求解 Ｊ 类 Ｈ ， 型题 目重要 方法是 ： 真 审题 ， 认 弄清 题 意 ， 针对 每 一 种 电路 状态 ， 据题 目所 给 的已知 条 件 和相应 电路 根
訾 ９： ’ （ 所 ： ， ＼ 以 煎 ９ １ ‘ ）
（实 ，线 ９ 见 解法
一
一
ｌ
Ｉ 蛾
Ｉ 耍妞
（ ＝，， ，灯 气 实 实 线
中（） ， 线 ３式 式） Ｐ ＝Ｐ损 ＋ｐ 灯， 总 线 实
９ 见解法一 中的 （ ） ３
￣ “ 灯 ／
白炽灯 接 到远 处 电源 上 （ 为状 态 １ ， 一状 态 是 简 ）另 用长导线 把 白炽 灯 接 到远 处 电源 上 （ 为状 态 ２ ， 简 ） 需要求 两个未 知量 ， 因此 可 以针对 每 一 种 电路 状态
白炽灯 的额定 电压 额）
Ｕ ＝ 额 ＝ ＝
。
厩
（） １
５ ・ ６
中学 物 理
Ｖ １ ９ Ｎ ．８ ｏ． ｏ ０ ２
２１ ０ １年 ４月
＝
，
（） ４
５ 长导线损 耗 的 电功 率 ・
×
见 解法 一 中的 （ ） ） ４ 式 解 法六 长 导 线 与 白炽 灯 串联 Ｕ ＝
线＋
解 线阻 ９９． 一实 灯 ：‘ 法长的 －） 毒灯 ，一 二导电 （ Ｗ ， 一’ 警 总 ， ｕ立 ： 煅 ： 实 线 ，
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【 例题】 ＡＢ Ｃ Ｄ是竖直放在 Ｅ一１ ０ 。 Ｖ ／ ｍ 的水平匀 强 电场 中的绝 缘光 滑 轨道 ， ＡＢ处 在水 平 方 向上 ， Ｂ Ｃ Ｄ
是直径为 ２ Ｏ ｃ ｍ 的半 圆环 ， ｏ是 圆心 ， Ｂ Ｄ 连 线 处 在 竖 直
水 平 方 向上 。 初 速 度 一 １ ｍ／ ｓ ， 方向水平向左 ；
生 的能 力 。
解： 小球 以最小速度 离开 Ｄ点后做 的运动 可以分解 为竖直方 向和水 平方向的两个分运动 。
竖 直 方 向上 。
只受 重力作用 ， 且初速度为零 ， 做 自由落体运动 。 假设 经过时间 ｔ 小球能够落到轨道 的水平部分 ， 则：
由 ２ Ｒ 一 丢 得 一 √
硝 一
一
去Ｘ ０ ． １ ｍ ＝ ０ 。 ０ ５ ｍ
功， 重力做 负功 。
～
பைடு நூலகம்１
此后 ￡ 一 时间 内， 水平 向右 做匀加 速直 线运动 ， 水
根据动能定理得： ｑ Ｅ （ Ｓ Ａ Ｂ ＋Ｒ ） 一 ｇ Ｒ 一÷ 。
代人数据 ， 解得 ： ＂ Ｏ ｃ 一√ ３ ｍ／ ｓ
只有重力做功 ，
解得 ： Ｖ Ｄ 一￣ ／ ｇ Ｒ一１ ｍ／ ｓ 拓展提 问 １ ： 要使 小球 运 动到 Ｄ 点 ， 求 小 球 开始 运
动的位置 Ａ 至少离 Ｂ 点多远？
１
根据动能定理得 ： ２ ｇ Ｒ —Ｅ一寺 诟
代人数据 ， 解得 ： 一２ ． ５ ×１ ０ Ｊ （ 责任编辑 易志毅 ）
解： 由动能定理得 ： ｑ Ｅ Ｓ Ａ ＇ 。 －ｍ ｇ・ ２ Ｒ 一寺 诟
解得 ： Ｓ Ａ ， Ｂ 一０ ． ２ ５ ｍ
拓展提 问 ２ ： 求 小球 以最 小 速度 离 开 Ｄ点 后 ， 水平
方 向上 的最 大位 移 ？
７ ０
Ｎ。
－
拓展提 问 ３ ： 求小 球 以最 小速 度 离开 Ｄ 点 后 ， 落到
轨 道 上 时 的动 能 ？
解： 方法 １ ： 小球 落到 轨道 上 时 ， 水平 速 度 —ａ （ ￡
ｔ １ ） ； 竖 直 速 度 ＝ｇ － －ｔ 解得 ： 一ｌ ｍ／ ｓ ； ：２ ｍ／ ｓ
高中物理学习过程 中， 很多学 生通过 “ 题海 战术” 来 巩固所学 的物理概念和物理规 律 ， 学生 这样学得 的知识 缺乏系统性 、 逻 辑性 。通过 典型 题 目的“ 一题 多 问” ， 可
以培养学生的逻 辑思 维能 力和 综合 运用 物理 规律 解决 实际 问题 的能力 ， 从 而提 高教 学效率 ． 现 以一道 典型 的 电场题 目为例 ， 通过多问拓展 ， 激发学生 的思维 ， 提高学
『 生， 思 维缺乏逻辑性和 综合性 。教 学 中， 若能通过典型题 目的“ 一题 多问” ， 可有效培 养学 生的逻 辑思 维能力和综合 运用物理 规律
［ 关键词］ 一题 多问 系统性 综合性 ［ 中图分 类号１ Ｇ６ ３ ３ ． ７ ［ 文献标 识码］ Ａ
解决 实际 问题的能 力， 从 而提 高教学效率． ［ 文章编号］ １ ６ ７ ４ — ６ ０ ５ ８ （ ２ ０ １ ５ ） １ ４ — ０ ０ ７ ０
方 向。ＡＢ＝１ ５ ｃ ｍ， 一 质 量 一１ ０ ｇ ， 带 电荷 量 ｑ ＝ ＋ １ Ｏ Ｃ的小球 由静止开始在电场力作 用下 ， 自 Ａ点沿 轨
道运动 。
只受 电场力作用 ， 由牛顿第二定律得 ： 一 ｍ
解得 ： ａ 一１ ０ ｍ／ ｓ ２ ， 方 向水 平 向 右 ， 小 球 做 匀 减 速 直 线运动 。 假设经过 时间 ｔ ， 水平速度为零 ， 则： 由Ｏ ＝Ｗ Ｄ －ａ ｆ ｌ 得 １ 一 解得 ： ｔ ｌ 一０ ． １ Ｓ
物 理
・习 题 研 究
中学教学参考 ２ ０ １ ５ 年５ 月 总第 ２ ３ ０ 期
一
道 典 型 题 目的 “ 一 题 多 问＂
甘 肃永登 县 第一 中学（ ７ ３ ０ ３ ０ ０ ） 王 锐
［ 摘
ｒ
要］ 高 中物 理学 习过 程 中， 很 多学生通过“ 题海战 术” 来巩 固所 学的物理概 念和物理规律 ， 这样做 ， 学 生的知识缺 乏 系统
（ ３ ） 设 小球能通 过 最高 点的最小 速 度为 ｏ ， 这 时轨
道对小球的压力为零 ，
２
由牛顿第二定律得 ｍｇ ＝ ｖ ｂ
所以， 小球的动能 Ｅ 一寺 （ ＋ ） 一２ ． ５ ｘ１ ０ Ｊ
方法 ２ ： 小球从 Ｄ到 Ｂ 的过程 中 ， 电场力做 功为零 ，
（ １ ） 求 小球 运 动 到 最 右侧
Ｃ点 的速 度 多 大 ？ （ ２ ） 求 此 时 小 球 对 轨 道 的
压 力多大？ （ ３ ） 求 小 球到 达 Ｄ点 的最
小 速度多大？
ｔ 时间内的水平位移
ＶＤ
解： （ １ ） 小球 从 Ａ 经 Ｂ 到 Ｃ 的过 程 中， 电场 力 做 正
．
平位 移为 ２ 一寺口 （ ｔ －ｔ １ ） 。
解得 ： 一０ ． ０ ５ ｍ
２
（ ２ ） 根据牛顿第二定律 ： Ｎ—ｑ Ｅ—ｍ
，
所 以， 小球最后落 在轨 道上 的 Ｂ点 ， 水 平方 向的最
大位移为 ０ ． ０ ５ ｍ， 方 向 水平 向 左 。
２
则 Ｎ ｑ Ｅ ＋ｍ 一０ ・ １ ＋０ ・ ３ Ｎ一０ ・ ４ Ｎ 根据 牛 顿第 三定 律小球 对 轨边 Ｃ点 的压 力 为 ０ ． ４