一、静电场1

• ∴ D1＝D2=
ε ε 2 1 U
1 2U 1d 2 2 d1
• 求如图电容器中电场
• 解：由条件得：E1＝E2 • 极板上电荷密度不同σ1、σ2 • 但σ1 S1＋ σ2 S2 = q0 • σ1 /ε1= σ2 /ε2
+ q0 S1 S2
ε1
- q0
ε2
• 解得：
• E1＝ σ1 /ε1 = q0/(ε1 S1＋ε2 S2 )
dV ' 1 4 0
• 则： 1

p
R
V'

p
R
dS
S'
• 结论：
• 电介质对电场的影响，可归结为极化后极化电荷或 电偶极子在真空中产生的作用。
三、高斯定理
• 1.真空中的高斯定理
E ds
S
q
0

1
0
dV
V
• 2.一般形式的高斯定理 1 1 E ds ( p )dV (q q p ) 0 V 0 S
P( r )
连续分布的电荷系统产生的电场 连续分布于体积V中的电荷在空间任意点r产生的电场
处理思路： 1) 无限细分区域 2）考查每个区域 3）矢量叠加原理 设体电荷密度为
dV
R r'
O
P(r ) r
，图中dV在P点产生的电场为：
则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为：
面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体 密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。
第二类边值问题：已知函数在全部边界面上的法向导数。
第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函数值， 和另一部分边界面上函数的法向导数。
电位函数
可由一标量函数表示。
引入电位函数 ：
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；
“－”表示电场指向电位减小最快的方向； 在直角坐标系中
电位差（电压）：反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。
电位差的计算：
E
A B
电场空间中两点间电位差为：
关于电位差的说明
意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中 电场力所作的功。 两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关
第一章 静电场
• • • • • • • • 基本内容： §1-1 电场强度· 电位 §1-2 高斯定律 §1-3 静电场基本方程· 分界面上的衔接条件 §1-4 静电场边值问题· 唯一性定理 §1-5 分离变量法 §1-6 有限差分法 §1-7 镜像法和电轴法 §1-8 电容和部分电容 §1-9 静电能量与力
---------------利用高斯定理求解静电场

1 E (r ) dS
S
0

Q (r )dV V 0
求解的关键：高斯面的选择。 高斯面的选择原则： 1）场点位于高斯面上； 2）高斯面为闭合面； 3）在整个或分段高斯面上，
或
为恒定值。
只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用高 斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。
二、静电场中的电介质
• 1.介质的极化： • 束缚电荷: 极性分子 • 非极性分子 • 极化:电介质分子中的正负电荷在外加电场的作用下发生移动、形成 电偶极子的过程。
• 2.极化强度：
•
P lim
p
V
i
V 0
单位体积电偶极距的矢量和。
• 3.场的计算：
pe
4 0 R
R
2

P eR V 2 4 0 R
根据矢量恒等式：
P 1 1 ' P ' 'P R R R
并且
1 1 e ' R 2 R R R
• 令
p 'P(r ' )
4 0
p P(r ' ) en
3 ij
电场与静电场
◆实验证明，任何电荷在其所 处的空间中激发出对置于其 中别的电荷有力作用的物质， 称为电场。 由静止电荷激发的电场称为 静电场。
电场
2.电场强度
空间某点电场强度定义为置于该点的单位 点电荷（又称试验电荷）受到的作用力：
Fr Er lim q0 0 q 0
真空中静止点电荷q 激发的电场为：
选择电位参考点的原则: 应使电位表达式有意义
应使电位表达式最简单
同一个问题只能有一个参考点
电位参考点电位一般为0；
四、电位的计算
点电荷的电位
体电荷：
面电荷：
线电荷： 说明：若参考点在无穷远处，则c=0。 引入电位函数的意义：
式中：
简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电 位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再关系得到电场解。
1 ˆ ˆ er 2Pecos e Pesin Er r 3 4π 0 r
§1-2 高斯定理
一、静电场中的导体
• • • • • 特点： 1）导体内电场为0 2）导体是等位体，表面是等位面 3）表面场强垂直于表面 4）若导体带电，电荷只能分布在其表面
【例1-5】电偶极子由相 距一小距离L的两个等 值异号的点电荷所组成 的电荷体系，其方向由 负电荷指向正电荷，大 小为： qL 。求电偶 P 极子在远处的电场。
q r 4π 0 1 1 r r2 1
M
r1
q
-q
r2
Pe r qLcos r 2 4 π 0 r 4 π 0 r 3
例
求无限长线电荷在真空中产生的电场。
分析：电场方向垂直圆柱面。 电场大小只与r有关。 解：取如图所示高斯面。
r
E
由高斯定律，有
求：（1）E (r ) （2） E (r ) （3） E (r )
分析：电场方向垂直于球面。 电场大小只与r有关。 解：1) 取如图所示高斯面。 在球外区域：ra
基本要求
1.理解有关静电场的一些基本场量，掌 握静电场的基本方程。 2.理解唯一性定律的内涵，部分电容的 概念和求解方法。
3.用虚位移法求解电场能量和电场力。
4.掌握求解静电场的一些方法。
§1-1 电场强度· 电位
一、电场强度
• 1.库仑定律： • 真空中任意两个静止点
q1
R12
q2 F12
电荷q1 和q2之间作用力的


极化总电荷 q p p dV P dV P dS
V V S



( 0 E P) ds q dV
S V


• 令： • 则
D 0E P
D 称为电位移 高斯定理一般形式
它表示任意闭合曲面电位移矢量 D 的
D ds dV
面电荷 线电荷
例1.求真空中无限长线电荷(τ ) 的电场 • 分析:
• 1)连续分布,线电荷 • 2)对称性 • 3)建立坐标
• 解:
• 对z’处元电荷(τ dz’) dz ' dE1 dE1 2 40 R
• -z’处元电荷(τ dz’) dz ' dE 2 dE2 2 40 R • 合成场强
D2 n D1n
E1t E2t
二、分界面上的衔接条件
• 说明：
• 1）在分界面附近作高斯面
• 根据
ΔS
D2
2
1
D ds dV
S V
• 知： D (S ) D S S 1n 2n
D1
D2 n D1n
• 2）沿分界面作环路（ΔL→0）
dz ' dE dE1 dE 2 2Cos e 2 4 0 R
结论：E与ρ成反比。
• 例2.求真空中无限大平面(σ ) 的电场 • 分析: • 1)连续分布,面电荷 • 2)对称性（z轴） • 3)建立坐标 • 解: • x处线电荷(σ dx)产生场强dE1 • -x处线电荷产生场强dE2 • 合成场强 • 积分得：E e y 2 0
S
D
V
通量等于该曲面包含自由电荷的代数和
• 对均匀各向同性的线性介质：
P 0 eE 0 (1 e )＝ r 0
D 0 (1 e )E E r 0E
• 其中ε称为介质的介电常数[F/m] ;εr称为相对介电常数
4 高斯定理的应用
• ∴
当 0时， 2 0



电位的泊松方程 电位的拉普拉斯方程
结论：所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求
泊松方程或拉普拉斯解的过程。
二、静电场边值问题
• 静电场问题变为求满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉 斯方程的解的问题。 • 分类：
大小与两电荷的电荷量成 正比，与两电荷距离的平
方成反比；方向沿q1 和q2
连线方向，同性电荷相互 排斥，异性电荷相互吸引。
q1q2 R12 F12 3 4 0 R12
实验还证明： 真空中多个点电荷
qj qi
构成的电荷体系，
两两间的作用力，
不受其它电荷存在
与否的影响。
Fi
j i
qi q j Rij 40 R
qR Er 4 0 R 3
3.电场强度的计算
• 多个点电荷组成的电荷系统 产生的电场 由矢量叠加原理， N 个点电荷组成