第五章测试题1

常微分方程第五章测验试卷(10)一. 填空题1、方程组'()x A t x =的n 个解12(),(),,()n x t x t x t 线性无关的充要条件是 。

2、若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,,n v v v ，它们对应的特征值分别是12,,,n λλλ ，那么矩阵()t ψ= 是常系数线性方程组'()x A t x =的一个基解矩阵。

3、'()x A t x =一定存在一个基解矩阵()t ϕ，如果()t ψ是'()x A t x =的任一解，那么 。

4、若()t ψ是'()x A t x =的基解矩阵，则'()()x A t x f t =+满足0()x t η=的解()t ϕ= 。

5、若12(),(),()a t a t f t 是[],a b 上的连续函数，12(),()x t x t 是方程"'12()()0x a t x a t x ++=的两个线性无关解，则"'12()()()x a t x a t x f t ++=的通解为： 。

6.如果()()()t x t x t x n ,,,21 是()x t A x ='的n 个线性无关解，则它的任一解可表为————。

二． 计算1.求⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=+-=z y x z z y x y zy x x 2'2'2'的基解矩阵。

2. 试求矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4112A的特征值和对应的特征向量。

3. 试求初值问题⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-01011't e x x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21x x x ，()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=110x 的解。

4. 试求)(t f Ax x +='，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t e t f 20)( 满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解)(t ϕ. 5. 试求方程组'x Ax =的基解矩阵，并求满足初始条件(0)ϕη=的解()t ϕ：1243A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 33η⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6. 试求方程tgt x x =+''的一个解。

7. 试用逐步逼近法求方程组'0110x x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦12x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 满足初始条件0(0)1x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦第三次近似解。

常微分方程第五章测试卷答案一． 填空题 1、()0W t ≠2、1212,,,nt t tn e v e v e v λλλ⎡⎤⎣⎦3、()()t t C ψϕ=4、0110()()()()()tt t t t s f s ds ψψηψψ--+⎰5、[]2112112212()()()()()()()(),()ttx t x s x t x s x c x t c x t f s ds W x s x s -=++⎰6.()()()()t x c t x c t x c t x n n +++= 2211二、计算1. 解:记A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---211121112,又)(λP =det(A E -λ)=(1-λ)(2-λ)(3-λ)=0 1λ=1,2λ=2,3λ=3均为单根;设1λ对应的特征向量为1γ,则由(A E -1λ)1γ=0,得1γ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛αα0,0≠α取1γ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110 同理可得2γ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,3γ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101 则1ϕ(t)=te1γ 2ϕ(t)=t e 2γ 3ϕ(t)=t e 3γ均为方程组的解.令ϕ(t)=()(1t ϕ,)(2t ϕ,)(3t ϕ)又)0(W =det()0(Φ)=1110111100≠. 故)(1t ϕ,)(2t ϕ,)(3t ϕ线性无关.故ϕ(t)即为所求基解矩阵.2、解：特征方程为0964112)det(2=+-=---=-λλλλλA E 因此，3=λ是A 的二重特征值，为了寻求对应于3=λ的特征向量，考虑方程组01111)3(21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-c c c A E 或者 ⎩⎨⎧=-=-02121c c c c 因此，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11αc 是对应于特征值3=λ的特征向量，其中0≠α是任意常数。

3.解： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011A 则()0110112=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-E λλλλA12,1=λ 则()()[]⎪⎪⎭⎫⎝⎛=E -+E =E -=∑=t t t ti i i te te e A t e A i t e At 0!exp 10λλλ 是对应的齐线性方程组的基解矩阵，取它的逆，我们得到：()ss s s se s e e se e s --⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101021φ 这样，满足初始条件()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000φ的解就是()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---⎰021010100tt s t s t t tee ds e s e e te e t ϕ因为()E =0φ，对应的齐线性方程组满足的初始条件()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=110h φ的解就是()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=tt h e e t t 1φ 由公式。

所求解就是()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--tt tttt tt e e e te e e e e t t 210211ϕ4、解：方程Ax x ='的基解矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Φt t te te e t 2220)( ，所以根据公式， ds e e se e e te e e te e t s t s s st t tt t t⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰202222222220001110010)(ϕ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-t t e t e t t 222)1()211( 5、解：方程组的特征方程为12(1)(3)8(5)(1)43λλλλλλ--=---=-+--特征值为125,1λλ==-，特征值15λ=对应的特征向量为12u u u⎛⎫= ⎪⎝⎭必须满足线性代数方程组11242()042u A E u u λ-⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因此，12,u u 满足方程组1212420420u u u u -=⎧⎨-+=⎩所以，对任意常数0α≠，2u αα⎛⎫=⎪⎝⎭，取1α=得12u ⎛⎫= ⎪⎝⎭特征值21λ=-对应的特征向量12v v v⎛⎫= ⎪⎝⎭必须满足线性代数方程组12222()044v A E v v λ--⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得到v ββ⎛⎫=⎪-⎝⎭，取1β=得11v ⎛⎫= ⎪-⎝⎭所以基解矩阵为55()2tt tt e e t ee ψ--⎛⎫= ⎪-⎝⎭510555********3()()()21323312113233332221343333tt tt t t t t t t t t t t t t e e t t t ee e e e e e e e e e e e e ϕψψη---------⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎛⎫+⎛⎫==⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-+⎪⎝⎭6.解：易知对应的齐线性方程0''=+x x 的基本解组为()()t t x t t x sin ,cos 21== 这时()()[]1cos sin sin cos ,21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t t t t x t x w 则由公式得 ()t φ =()()()tgt t t t t t tgsds s t s t t+-+-=-⎰sec ln sin cos cos 1sin sin cos cos sin 0()t φ =tgt t t t +-sec ln cos sin注意，因为t sin 是对应的齐线性方程的一个解，所以函数 ()tgt t t t +-=sec ln cos φ 也是原方程的一个解。

7、解：010********()(0)1010010()()101101101001()()10110112()ttttt t x t t s ds ds t s t s ds ds t t ϕηϕηϕϕηϕϕη⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+=+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰322200010016()101101122t t t s t s ds ds s t ϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪---⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰。