湖北省武汉市北水湖备考2020九年级元调模拟题 (二)Word解析版

2020元月调考人教版九年级数学模拟试卷（二）一．选择题（共10小题）1．将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1 B．3，6，1 C．3，1，﹣6 D．3，1，62．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．将抛物线y＝x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（）A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x﹣2）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣4 4．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，设两枚骰子向上一面的点数之和为S，则下列事件属于随机事件的是（）A．S＝6 B．S＞13 C．S＝1 D．S＞15．已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离5cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为（）A．2 B．1 C．0 D．不确定6．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB为（）A．100寸B．101寸C．102寸D．103寸7．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（）A．B．C．D．8．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，则的值为（）A．B．C．D．9．我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB，类似地，在AB上折出点M，使AM＝AF，表示方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段是（）A．线段BM B．线段AM C．线段BE D．线段AE10．如图，直线y＝2x与直线x＝2相交于点A，将抛物线y＝x2沿线段OA从点O运动到点A，使其顶点始终在线段OA上，抛物线与直线x＝2相交于点P，则点P移动的路径长为（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（共6小题）11．已知3是一元二次方程x2+m＝0的一个根，则该方程的另一个根是．12．在平面直角坐标系xOy中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标为．13．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中60次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有个．14．要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为．15．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．16．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为．三．解答题（共8小题）17．解方程：x2﹣4x+1＝0．18．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．19．某学校初中英语口语听力考试即将举行，准备了A、B、C、D四份听力材料，它们的难易程度分别是易、中、难、难；另有a、b是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难．（1）从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是；（2）用树状图形或列表法，求出听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的概率．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，1），B（1，3），C（4，3）．（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，且C1的坐标是（0，﹣1），画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）小娟发现△A1B1C1绕点P旋转也可以得到△A2B2C2，请直接写出点P的坐标．21．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P在CD 的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．22．某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数y＝﹣10x+600，商场销售该商品每月获得利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？（3）若销售价不低于40元且不高于55元，请直接写出每月销售新产品的利润w的取值范围．23．在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，连接BD．（1）如图1，若AB＝BC，求证：BD平分∠ABC；（2）如图2，若AB＝2BC，①求的值；②连接AD，当S△ABC＝时，直接写出四边形ABCD的面积为．24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB＝4，与y轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b＞3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PM＝MN成立；（3）将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y ＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n≤6，求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1 B．3，6，1 C．3，1，﹣6 D．3，1，6【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．【解答】解：方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，二次项系数为3；一次项系数为﹣6，常数项为1，故选：A．2．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．3．将抛物线y＝x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（）A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x﹣2）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣4 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的图象的顶点坐标为（2，﹣4），所以，所得图象的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4，故选：B．4．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，设两枚骰子向上一面的点数之和为S，则下列事件属于随机事件的是（）A．S＝6 B．S＞13 C．S＝1 D．S＞1【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和S等于6是随机事件，符合题意；B、两枚骰子向上一面的点数之和S大于13是不可能事件，不合题意；C、两枚骰子向上一面的点数之和S等于1是不可能事件，不合题意；D、两枚骰子向上一面的点数之和S大于1是必然事件，不合题意；故选：A．5．已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离5cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为（）A．2 B．1 C．0 D．不确定【分析】先求出圆的半径，圆心到直线的距离与半径比较即可判断出直线和圆的位置关系，从而确定公共点的个数．【解答】解：∵⊙O的直径为12cm，∴⊙O的半径为6cm，∵圆心到直线L的距离为5cm，∴直线L与圆是相交的位置关系，∴直线L与⊙O的公共点的个数为2个．故选：A．6．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB为（）A．100寸B．101寸C．102寸D．103寸【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1．在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得2r＝101．故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．故选：B．7．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（）A．B．C．D．【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有两只雌鸟的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：画树状图，如图所示：所有等可能的情况数有8种，其中三只雏鸟中恰有两只雌鸟的情况数有3种，则P＝．故选：B．8．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，则的值为（）A．B．C．D．【分析】如图，连OD、AB、BC，延长AD交BC于H点，由旋转的性质可得BD＝BO＝OD ＝CD＝OA，∠BDC＝90°，可证△ABC是等边三角形，由线段垂直平分线的性质可得AH 垂直平分BC，由等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质可得AC＝2CH，AD＝CH ﹣CH，即可求解．【解答】解：如图，连OD、AB、BC，延长AD交BC于H点，∵将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，∴BD＝BO＝OD＝CD＝OA，∠BDC＝90°∴∠OBD＝60°，即旋转角为60°，∴∠ABC＝60°，又可知AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AH垂直平分BC，∴∠CAH＝30°，∴AC＝2CH，AH＝CH，∵BD＝CD，∠BDC＝90°，DH⊥BC，∴DH＝CH，∴AD＝CH﹣CH，∴＝．故选：A．9．我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB，类似地，在AB上折出点M，使AM＝AF，表示方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段是（）A．线段BM B．线段AM C．线段BE D．线段AE【分析】设AM＝AF＝x，根据勾股定理即可求出答案．【解答】解：设AM＝AF＝x，由题意知EF＝BE＝，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即1+（）2＝（x+）2，整理得x2+x﹣1＝0，即AM为方程x2+x﹣1＝0的一个正数根．故选：B．10．如图，直线y＝2x与直线x＝2相交于点A，将抛物线y＝x2沿线段OA从点O运动到点A，使其顶点始终在线段OA上，抛物线与直线x＝2相交于点P，则点P移动的路径长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据点M在y＝2x上可得相应坐标，即可用顶点式表示出相应的二次函数解析式，求出点P的坐标，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：∵设抛物线的顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，∴y＝2m（0≤m≤2）．∴当抛物线运动到A点时，顶点M的坐标为（m，2m），∴抛物线函数解析式为y＝（x﹣m）2+2m．∴当x＝2时，y＝（2﹣m）2+2m＝m2﹣2m+4（0≤m≤2），∴点P的坐标是（2，m2﹣2m+4）．∵对于二次函数y′＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3当0≤m≤2时，∴m＝1时，y′有最小值3，当m＝0或2时，y′的值为4，∴点P移动的路径长为2×（4﹣3）＝2，故选：C．二．填空题（共6小题）11．已知3是一元二次方程x2+m＝0的一个根，则该方程的另一个根是﹣3 ．【分析】根据方程的解求出m的值，再利用直接开平方法解方程可得答案．【解答】解：将x＝3代入方程，得：9+m＝0，则m＝﹣9，∴方程为x2﹣9＝0，解得x＝±3，∴方程的另一个根为﹣3，故答案为：﹣3．12．在平面直角坐标系xOy中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，4）．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】解：点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．13．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中60次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有9 个．【分析】设口袋中有x个白球，根据利用频率估计概率得到估计摸到白球的概率为＝，然后根据概率公式得到＝，再解方程即可．【解答】解：设口袋中有x个白球，因为摸了100次，其中60次摸到白球，则估计摸到白球的概率为＝，所以＝，解得x＝9，即可估计口袋中的白球大约有9个．故答案为9．14．要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为8x2+124x﹣105＝0 ．【分析】设镜框的宽度为xcm，根据镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设镜框的宽度为xcm，依题意，得：21×10＝4[（21+2x）（10+2x）﹣21×10]，整理，得：8x2+124x﹣105＝0．故答案为：8x2+124x﹣105＝0．15．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加（4﹣4）m．【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OB＝AB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．16．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为 6 ．【分析】根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠DCF，求得∠CPD＝90°，得到点P在以CD为直径的半圆上运动，取CD的中点O，过O作OM⊥CD，且点M在CD的右侧，MO＝2，连接OP，KM，推出四边形POMK是菱形，于是得到点K在以M为圆心，半径＝2的半圆上运动，当BK与⊙M相切时，∠CBK最大，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠CDA＝90°，∵AE＝DF，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠DCF，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠DCF+∠CDE＝90°，∴∠CPD＝90°，∴点P在以CD为直径的半圆上运动，取CD的中点O，过O作OM⊥CD，且点M在CD的右侧，MO＝2，连接OP，KM，∵PK∥BC，BC⊥CD，∴PK⊥CD，∴PK∥OM，PK＝OM＝2，∴四边形POMK是平行四边形，∵CD＝AB＝4，∴OP＝CD＝2，∴OP＝OM，∴四边形POMK是菱形，∴点K在以M为圆心，半径＝2的半圆上运动，当BK与⊙M相切时，∠CBK最大，∴∠BKM＝90°，∵BM＝＝2，∴BK＝＝6，故答案为：6．三．解答题（共8小题）17．解方程：x2﹣4x+1＝0．【分析】根据配方法可以解答此方程．【解答】解：x2﹣4x+1＝0x2﹣4x+4＝3（x﹣2）2＝3x﹣2＝∴x1＝2+，x2＝2﹣；18．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠BCE，根据等腰三角形的判定和性质定理证明．【解答】证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，∴∠A＝∠BCE，∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．19．某学校初中英语口语听力考试即将举行，准备了A、B、C、D四份听力材料，它们的难易程度分别是易、中、难、难；另有a、b是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难．（1）从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是；（2）用树状图形或列表法，求出听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意列出图表得出所有等可能的结果数和听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵A、B、C、D四份听力材料的难易程度分别是易、中、难、难，∴从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是；故答案为：；（2）列表如下：A易B中C难D难a易易，易中，易难，易难，易b难易，难中，难难，难难，难由列表可知：共有8种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中听力、口语均为难的结果有2种，所以P（两份材料都难）＝＝．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，1），B（1，3），C（4，3）．（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，且C1的坐标是（0，﹣1），画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）小娟发现△A1B1C1绕点P旋转也可以得到△A2B2C2，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据C1的坐标是（0，﹣1），即可画出△A1B1C1；（2）根据△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2，即可画出△A2B2C2；（3）连接两对对应点，分别作两条连线的垂直平分线，其交点P即为所求，进而得出坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）如图所示，点P即为所求，点P的坐标为（﹣4，1）．21．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P在CD 的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．【分析】（1）连接OE，由等腰三角形的性质得出∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∠OEB＝∠OBE．证出∠OEB+∠PEN＝90°，即PE⊥OE，即可得出结论；（2）连接CE，证出CE为⊙O的直径．由垂径定理得出CF＝DF，得出DE＝2OF＝6．求出OC＝OB＝5，CE＝10，由勾股定理得出CD＝8．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt △PCE中，由勾股定理得出方程，解方程求出PD＝，由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵PN＝PE，∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵AB⊥CD，∴∠OBE+∠BNF＝90°，∴∠OEB+∠PEN＝90°，即∠OEP＝90°，∴PE⊥OE，∴PE是⊙O的切线．（2）解：连接CE，如图2所示：∵DE∥AB，AB⊥CD，∴∠EDC＝90°∴CE为⊙O的直径．∵AB⊥CD，∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，∴CD＝＝＝8，由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，即x2+62＝（x+8）2﹣102，解得：x＝，∴PD＝．∴PE＝＝＝，∴PN＝PE＝．22．某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数y＝﹣10x+600，商场销售该商品每月获得利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？（3）若销售价不低于40元且不高于55元，请直接写出每月销售新产品的利润w的取值范围．【分析】（1）根据月利润＝（销售单价﹣成本价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w＝2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价，再根据：月成本＝成本价×销售量可得答案；（3）将（2）中w的解析式配方，根据二次函数的性质及售价的范围，可得答案．【解答】解：（1）w＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．（2）由题意得，﹣10x2+900x﹣18000＝2000，解得：x1＝40，x2＝50，当x＝40时，成本为30×（﹣10×40+600）＝6000（元），当x＝50时，成本为30×（﹣10×50+600）＝3000（元），∴每月想要获得2000元的利润，每月成本至少3000元；（3）∵w＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000＝﹣10（x﹣45）2+2250∴当x＝45时，w取得最大值2250∵销售价不低于40元且不高于55元，55离对称轴x＝45远，∴当x＝55时，w取得最小值，最小值为1250∴销售价不低于40元且不高于55元时，每月销售新产品的利润w的取值范围为：1250≤w≤2250．23．在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，连接BD．（1）如图1，若AB＝BC，求证：BD平分∠ABC；（2）如图2，若AB＝2BC，①求的值；②连接AD，当S△ABC＝时，直接写出四边形ABCD的面积为．【分析】（1）连接AD，证△ACD是等边三角形，再证△ABD≌△CBD，推出∠CBD＝∠ABD，即得出结论；（2）①连接AD，作等边三角形ACD的外接圆⊙O，证点B在⊙O上，在BD上截取BM，使BM＝BC，证△CBA≌△CMD，设BC＝BM＝1，则AB＝MD＝2，BD＝3，过点C作CN⊥BD 于N，可求出BN＝BC＝，CN＝BC＝，ND＝BD﹣BN＝，CD＝，即可求出＝＝；②分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为H，Q，设CB＝1，AB＝2，CH＝x，则由①知，AC＝，AH＝﹣x，在Rt△BCH与Rt△BAH中利用勾股定理求出BH的值，再求出DQ 的值，求出＝，因为AC为△ABC与△ACD的公共底，所以＝，可求出△ACD的面积，进一步求出四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：连接AD，由题意知，∠ACD＝60°，CA＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD，又∵AB＝CB，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠CBD＝∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）解：①连接AD，作等边三角形ACD的外接圆⊙O，∵∠ADC＝60°，∠ABC＝120°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴点B在⊙O上，∵AD＝CD，∴，∴∠CBD＝∠CAD＝60°，在BD上截取BM，使BM＝BC，则△BCM为等边三角形，∴∠CMB＝60°，∴∠CMD＝120°＝∠CBA，又∵CB＝CM，∠BAC＝∠BDC，∴△CBA≌△CMD（AAS），∴MD＝AB，设BC＝BM＝1，则AB＝MD＝2，∴BD＝3，过点C作CN⊥BD于N，在Rt△BCN中，∠CBN＝60°，∴∠BCN＝30°，∴BN＝BC＝，CN＝BC＝，∴ND＝BD﹣BN＝，在Rt△CND中，CD＝＝＝，∴AC＝，∴＝＝；②如图3，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为H，Q，设CB＝1，AB＝2，CH＝x，则由①知，AC＝，AH＝﹣x，在Rt△BCH与Rt△BAH中，BC2﹣CH2＝AB2﹣AH2，即1﹣x2＝22﹣（﹣x）2，解得，x＝，∴BH＝＝，在Rt△ADQ中，DQ＝AD＝×＝，∴＝＝，∵AC为△ABC与△ACD的公共底，∴＝＝，∵S△ABC＝，∴S△ACD＝，∴S四边形ABCD＝+＝，故答案为：．24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB＝4，与y轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b＞3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PM＝MN成立；（3）将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y ＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n≤6，求t的取值范围．【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣1，0）、B（3，0），即可求解；（2）证明△PMG≌△NMH（AAS），y G+y H＝2y M，即可求解；（3）分当D′在点H（4，﹣5）上方、点D′在点H（4，﹣5）下方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣1，0）、B（3，0）．把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，由PM＝MN，则△PMG≌△NMH（AAS），∴PG＝NH，MG＝MH．设M（m，﹣m2+2m+3），则N（2m，﹣4m2+4m+3），∵P（0，b），GM＝MH，∴y G+y H＝2y M，即b+（﹣4m2+4m+3）＝2（﹣m2+2m+3），∴2m2＝b﹣3，∵b＞3，∴关于m的方程总有两个不相等的实数根，此即说明了点M、N存在，并使得PM＝MN．证毕；（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为D（1，4）、D′（1，2t﹣4）．①当D′在点H（4，﹣5）上方时，2t﹣4≥﹣5，∴t≥﹣，此时，m＝t，n＝﹣5，∵m﹣n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1，∴﹣≤t≤1；②当点D′在点H（4，﹣5）下方时，同理可得：t＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4，由m﹣n≤6，得t﹣（2t﹣4）≤6，∴t≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤1．。