2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章 第九节 函数模型及其应用 Word版含答案

20(万元)。1 万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该企业一个
月应生产该商品数量为( )
A．36 万件
B．18 万件
C．22 万件
D．9 万件
解析 利润 L(x)＝20x－C(x)＝－1(x－18)2＋142，当 x＝18 2
万件时，L(x)有最大值。故选 B。
答案 B
6．一个容器装有细砂 a cm3，细砂从容器底下一个细微的小
(1)当 0<x≤20 时，求函数 v 关于 x 的函数解析式。
(2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方
米)可以达到最大？求出最大值。 解 (1)由题意得当 0<x≤4 时，v＝2； 当 4<x≤20 时，设 v＝ax＋b， 显然 v＝ax＋b 在(4,20]内是减函数，
由已知得Error!解得Error!
C．97 万亿元
D．106.39 万亿元
解析 (1)设每年人口平均增长率为 x，则(1＋x)40＝2，两边
取以 10 为底的对数，则 40lg(1＋x)＝lg2，所以 lg(1＋x)＝lg 2≈ 40
高到 15%左右，对世界经济增长贡献率超过 30%,2018 年发展的
预期目标是国内生产总值增长 6.5%左右。如果从 2018 年开始，
以后每年的国内生产总值都按 6.5%的增长率增长，那么 2020 年
的国内生产总值约为(提示：1.0653≈1.208)( )
A．93.8 万亿元
B．99.9 万亿元
一、走进教材
1．(必修 1P107A 组 T1 改编)在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对 x，y 最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
【变式训练】 某食品的保鲜时间 y(单位：h)与储藏温度
x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底
数，k，b 为常数)。若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 h，在
22 ℃ 的 保 鲜 时 间 是 48 h， 则 该 食 品 在 33 ℃ 的 保 鲜 时 间 是
______h。
平均增长率约是(参考数据 lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( )
A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8%
(2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五
年来，我国经济实力跃上新台阶。国内生产总值从 54 万亿元增
加到 82.7 万亿元，年均增长 7.1%，占世界经济比重从 11.4%提
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月， 波动性更小，变化比较平稳 解析 通过题图可知 A 不正确，并不是逐月增加，但是每 一年是递增的，所以 B 正确。从图观察 C 是正确的，D 也正确，1 月至 6 月比较平稳，7 月至 12 月波动比较大。故选 A。 答案 A
32。
因
为
x∈
2
4
[0,16]，且 x∈N，所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得最大值 43
万元。故选 C。
答案 C
方向 2：构建分段函数模型
【例 4】 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效
益好的特点。研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的 条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度 x(单位：尾/立方米)的函数。当 x 不超过 4 尾/立方米时，v 的值 为 2 千克/年；当 4<x≤20 时，v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/年。
A．消耗 1 L 汽油，乙车最多可行驶 5 km B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最 多 C．甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 h，消耗 10 L 汽油 D．某城市机动车最高限速 80 km/h，相同条件下，在该市 用丙车比用乙车更省油 解 析 对 于 A 选 项 ： 由 题 图 可 知 ， 当 乙 车 速 度 大 于 40 km/h 时，乙车每消耗 1 L 汽油，行驶里程都超过 5 km，则 A 错误。 对于 B 选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率 越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则 B 错误。对于 C 选项：甲车以 80 km/h 的速度行驶时，燃油效率为 10 km/L，则 行驶 1 h，消耗了汽油 80×1÷10＝8(L)，则 C 错误。对于选项 D： 速度在 80 km/h 以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油， 故 D 对。 答案 D 考点二 已知函数模型的实际问题 【例 2】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的 销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝ a ＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数。已知销售价格为 5 元/ x－3
答案 D
三、走出误区
微提醒：①对三种函数增长速度的理解不深致错；②建立函
数模型出错；③计算出错。
4．已知 f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时， 对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f (x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f (x)>h(x)
利润是( )
A．10.5 万元
B．11 万元
C．43 万元
D．43.025 万元
解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售
该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)
＝
－
0.1x2＋
2.1x＋
32＝
－
0.1(x－
21)2＋
0.1×
212 ＋
所以 v＝－1x＋5。 82
故函数 v＝Error!
(2)设年生长量为 f (x)千克/立方米，依题意并由(1)可得 f (x)＝
Error!
当 0<x≤4 时，f (x)为增函数，
故 f (x)max＝f (4)＝4×2＝8；
当 4<x≤20 时，f (x)＝－1x2＋5x＝－1(x2－20x)＝－1(x－10)2
值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何。”设鸡翁、
鸡母、鸡雏个数分别为 x，y，z，则Error!当 z＝81 时，x＝________，y＝
________。
解析 因为 z＝81，所以Error!解得Error!
答案 8 11
3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的
上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为
第九节 函数模型及其应用 2019 考纲考题考情
1．三种函数模型性质比较
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f (x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
f (x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a＞0 且 a≠1，b 与指数函数相关模型
当根据题意不易建立函数模型时，根据实际问题中两变量的 变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排 除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案。
【变式训练】 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L 汽 油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的 燃油效率情况。下列叙述中正确的是( )
1080。下列各数中与M最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)( ) N
A
D．1093
解析 因为M＝
3361
>0，所以
M 3361 lg ＝lg
＝lg3361－lg1080＝
N 1080
N 1080
361lg3－80≈93.28。所以M≈1093。故选 D。 N
C．g(x)>h(x)>f (x)
D．f (x)>h(x)>g(x)
解析 由图象知，当 x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依
次为 g(x)>f (x)>h(x)。故选 B。
答案 B
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业
一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝1x2＋2x＋ 2
解析 依题意有 192＝eb,48＝e22k＋b＝e22k·eb，所以 e22k＝48＝ eb
48 ＝1，所以 e11k＝1或－1(舍去)，于是该食品在 33 ℃的保鲜时
192 4
22
( ) 间是 e33k＋b＝(e11k)3·eb＝ 1 3×192＝24(h)。 2
答案 24
考点三 构建函数模型的实际问题微点小专题
千克时，每日可售出该商品 11 千克。
(1)求 a 的值；
(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，
使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
解 (1)因为 x＝5 时，y＝11，
所以a＋10＝11，a＝2。 2
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝ 2 ＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利 x－3
孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细砂量为 y＝ae－bt cm3，经过 8
min 后发现容器内还有一半的细砂，则再经过________min，容
器中的细砂只有开始时的八分之一。
解析 当 t＝0 时，y＝a，当 t＝8 时，y＝ae－8b＝1a，所以 e－8b＝ 2