【新教材】新人教A版必修一 任意角的三角函数 教案
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(3)教学教案新人教A版必修
§1.2.1任意角三角函数（一）
tan α=
)0(≠x x
y
师：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
问4：你能给出三角函数中自变量α的取值范围（即三角函数的定义域）吗？
问5：如何求角的三角函数值?
1、 画角：使角的始边在x 轴上，角的顶点在坐标原点
2、 求点：求角的终与单位圆的交点坐标P （x ,y ）
3、算值：由定义计算：
sin α=y cos α=x
tan α=
)0(≠x x
y
例3：已知角α的终边经过点)4,3(--︒p ，求角α的正弦、余弦、正切值。
探究3的应用，另一定义的引入。
课堂 小结
1、 本节课我们是如何研究任意角三角函数的？
直角三角形中锐角三角函数→直角坐标系中锐角三角函数→单位圆中任意角三角函数
2、 如何求角α的三角函数
单位圆中： 在非单位圆中：
sin α=y sin α=r x cos α=x cos α=r
y
tan α=)0(≠x x y tan α=x
y
课后作业
练习题：第15页第1、2题
习题1.2A 组 第1、2题.
板书 设计
教学反
思
三角函数是描述客观世界中周期变化规律的重要数学模型，本章
是建立在函数基础上探究角，本节课是学习完《任意角》、《弧度制》
后的第一节课。
在初中，学生就接触过锐角三角函数，为了刻画一些简单的周期运动，要将其推广给出定义，将使学生的思维陷入僵化，
x
y
o。
2024-2025学年高中数学第五章三角函数5.1.1任意角教案新人教A版必修第一册
2. 利用多媒体手段，直观展示任意角的形象，帮助学生理解。
3. 实例分析，让学生通过实际问题体会任意角的应用。
教学过程：
1. 导入：回顾角度的基本概念，引出任意角的概念。
2. 新课讲解：讲解任意角的定义，引导学生掌握用弧度制表示角的方法。
3. 课堂互动：进行角度转换练习，让学生巩固所学知识。
4. 应用拓展：通过实例分析，让学生了解任意角在实际问题中的应用。
5. 总结：回顾本节课的主要内容，强调任意角的概念及表示方法。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
教学反思：
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生的学习兴趣和效果。同时，关注学生在学习过程中的问题，及时进行解答，确保学生能够熟练掌握任意角的概念及表示方法。
教学目标：
1. 理解任意角的概念，掌握用弧度制表示角的方法。
2. 了解任意角与标准角的关系，能进行简单的角度转换。
3. 培养学生的空间想象力，提高学生的数学思维能力。
教学重点：
1. 任意角的概念及表示方法。
2. 任意角与标准角的关系。
教学难点：
1. 任意角的概念的理解。
2. 弧度制的应用。
教学方法：
2024-2025学年高中数学 第五章 三角函数 5.1.1 任意角教案 新人教A版必修第一册
主备人
备课成员
教材分析
本节课为人教A版必修第一册第五章《三角函数》的5.1.1节“任意角”。本节内容主要介绍任意角的概念及其表示方法，是学习三角函数的基础。通过本节课的学习，学生应掌握任意角的定义，了解用弧度制表示角的方法，并理解任意角与标准角的关系。
高一【数学(人教A版)】三角函数的概念-教学设计
课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期上课题三角函数的概念教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1. 初步理解借助单位圆上点的坐标定义三角函数，理解任意角的三角函数的概念；2.在三角函数定义的过程中进一步认知函数的本质，体会数形结合思想方法的作用；3.经历三角函数概念的抽象过程，提升学生思维的严谨性，发展数学抽象素养.教学重点：任意角的三角函数概念.教学难点：用单位圆上点的坐标定义三角函数.教学过程时间教学环节主要师生活动创设情景，导入新课问题引入：在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的周期现象，比如日出日落、钟摆运动等，匀速圆周运动是这类现象的代表，在前面的学习中我们已经知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？如右图所示,圆O上的点P以A为起点做逆时针旋转,在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化.根据弧度制的定义，角α的大小与圆O的半径无关，我们能否建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况?【设计意图】开门见山引出研究内容、过程与研究方法，指明点P随着角度的变化而变化，明确构建函数模型的目标，让学生初步了解本节课学习的方向，为具体研究指明方向.引导探究，形成新知分析要解决这个问题，我们需要什么工具？①建立函数模型,要利用直角坐标系.②根据任意角的定义，需要借助单位圆.如图，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标是()1,0，点P的坐标是(),x y. 把该问题抽象为一个质点P从点A()1,0开始在单位圆上的运动.问题1：这个运动过程中的有哪些变量，判断它们之间是否具有函数关系.如果有，能否写出函数解析式？（1）点P在单位圆上运动过程中涉及的变量有：点P的横坐标x、纵坐标y，弧长l，旋转角度α；（2）判断变量：,,,x y lα间的哪两个变量能否构成函数关系？过过点P作PM⊥x轴于M,根据勾股定理可知221OM PM+=，即221x y+=，显然变量x、y间的对应关系不符合函数定义.在弧度制学习中我们已经知道变量,lα之间的关系，并且变量,x y与α的关系和,x y与l的关系等价，所以我们研究变量,x y与α的关系.问题2: 若角α终边与单位圆交于点P，如何求点P的坐标呢？追问1：当我们遇到一般性问题应该如何研究？特殊化：不妨设3απ=，此时点P在第一象限, 构造直角三角形，过点P向x轴引垂线交x轴于M,Rt OMP∆中,可得12OM=,32PM=,即12x=,32y=,所以点P的坐标为13,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭.追问2:当23απ=时，点P的坐标是什么？同样,当23απ=时，点P在第二象限, 可得12x=-,32y=,所以点P的坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.追问3：任意给定一个角α，点P 的坐标唯一确定吗？因为单位圆的半径不变，点P 的坐标只与角α的大小有关，当角α确定时，点P 的坐标是(),x y 也唯一确定.追问4：在展示的运动变化的过程中，观察角α的终边与单位圆的交点P 的坐标，有什么发现？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？对任意一个实数α，它的终边OP 与单位圆的交点P 的横、纵坐标x 、y 都是唯一确定的，有如下对应关系：任意角α(弧度)→ 唯一实数x ； ①任意角α(弧度)→ 唯一实数y ． ②一般地，任意给定一个角R α∈，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标，无论是横坐标x ，还是纵坐标y ，都是唯一确定的.所以，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是角α的函数.【设计意图】以函数的对应关系为指向，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角α (弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫.下面给出这些函数的定义：如图，设α是一个任意角，R α∈，它的终边OP 与单位圆相交于点(),P x y ，那么把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记做sin α，即sin y α=；把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记做cos α，即cos x α=；把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x叫做α的正切函数，记做tan α，即()tan 0y x xα=≠. 问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标y →正弦函数；实数α(弧度)对应于点P 的横坐标x →余弦函数；当点P 的横坐标为0时，角α的终边在y 轴上，此时()2k k Z απ=+π∈，所以tan y xα=无意义.用新知标为13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以53515sin,cos,tan 3.32323πππ=-==-【设计意图】通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.例2 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(),x y，点P与原点的距离为r.求证：sinyrα=，cosxrα=，tanyxα=引导学生分析问题：①你能根据三角函数的定义作图表示sinα和cosα吗？②在你所作的图形中，yr，xr，yx表示什么？你能找到它们与任意角α的三角函数的关系吗？解：设角α的终边与单位圆交于点0P()00,x y，分别过点,P P作x轴的垂线00,PM P M，垂足分别为,M M，则000,PM y P M y==，00,,OM x OM x==OMP∆11OM P∆.所以得到001P M PMr=,即yyr=.因为y与y同号，所以yyr=，即sinyrα=.同理可证：cosxrα=，tanyxα=.【设计意图】通过问题引导，使学生找到OMP∆、11OM P∆，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.追问：例2实际上给出了任意角的三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的，能否用严格任意角三角函数的概念是三角函数知识的基础，我们以后要学习的有关三角函数其他知识都建立在我们对三角函数的概念的理解与认识上，所以同学们一定要认真学习和体会今天所学的知识.三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，还有什么定义方法？①单位圆定义法:建立直角坐标系，使角α的顶点与坐标原点重合，终边与单位圆的交点为P ， 即可由点P 坐标(),x y 得到三角函数定义.正弦函数：()sin y x x R =∈;余弦函数：()cos y x x R =∈;正切函数：tan y x =,2x x k k Z π⎧⎫≠+π∈⎨⎬⎩⎭. ②终边定义法: 建立直角坐标系，对于任意角α，角α终边上的任意一点P 的坐标为(),x y ，它到原点O 的距离为22r x y =+，那么sin y r α=，cos x r α= ，tan y xα=. 在我们研究三角函数概念的过程中，你体会到了什么数学思想方法？在任意角的三角函数的概念建构的过程中，我们运用了转化与化归、数形结合、函数思想，这些思想方法在我们今后的学习中非常重要，我们一定认真体会.。
人教版A高中数学必修第一册5.2.1 三角函数的概念 教学设计(1)
5.2.1 三角函数的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》,本节课是第3课时,这是节关于任意角的三角函数的概念课.三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,是函数的一个下位概念,与指对数函数、幂函数属于同一抽象( 概括)层次。
它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的重要工具,也是学习数学中其他知识内容的基础。
在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。
在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数,此时它与三角形已经没有什么关系了。
任意角的三角函数是研究一个实数集( 角的弧度数构成的集合)到另一个实数集( 角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。
认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。
本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的概念是本节课的重点,能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键。
A.借助单位圆理解任意角三角函数的定义;B.根据定义认识函数值的符号,理解诱导公式一;C.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题;D.体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结1.教学重点:任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义;2.教学难点:任意角的三角函数概念的建构过程。
多媒体一、复习回顾,温故知新 1. 1弧度角的定义【答案】等于半径长的圆弧所对的圆心角 2. 角度制与弧度制的换算:【答案】︒︒︒≈==30.571801180）（弧度，ππ3. 关于扇形的公式【答案】.21)3(;21)2(;12lR S R S R l ===αα）（ 4.在初中我们是如何定义锐角三角函数的? 【答案】.tan ,cos ,sin abc a c b ===ααα二、探索新知探究一.角α的始边在x 轴非负半轴,终边与单位圆交于点P 。
【新教材】 新人教A版必修一 任意角 教案
【例1】 (1)设P 点为角α的终边与单位圆O 的交点，且sin α＝MP ，cos α＝OM ，则下列命题成立的是( ）A ．总有MP ＋OM ＞1B ．总有MP ＋OM ＝1C ．存在角α，使MP ＋OM ＝1D ．不存在角α,使MP ＋OM ＜0（2)分别作出错误!π和－错误!π的正弦线、余弦线和正切线．（1)C [显然,当角α的终边不在第一象限时，MP ＋OM ＜1，MP ＋OM ＜0都有可能成立;当角α的终边落在x 轴或y 轴正半轴时,MP ＋OM ＝1，故选C.］(2)解：①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox 轴为始边作错误!π角,角的终边与单位圆交于点P ,作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 轴正方向的交点A 作Ox 轴的垂线,与OP 的反向延长线交于T点，则sin 错误!π＝MP ，cos 错误!π＝OM ,tan 错误!π＝AT ,即错误!π的正弦线为错误!，余弦线为错误!，正切线为错误!。
②同理可作出－错误!π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙． sin 错误!＝M 1P 1， cos 错误!＝O 1M 1，tan 错误!＝A 1T 1,即－错误!π的正弦线为错误!,余弦线为错误!，正切线为错误!.1．作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．2．作正切线时,应从A (1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T ，即可得到正切线AT →，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．1．下列四个命题中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线;④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．不正确命题的个数是( ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3C ［由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等,如错误!与错误!;③中当α＝错误!时，α与α＋π都没有正切线．]利用单位圆解三角不等式【例2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合．（1）sin α≥错误!； （2)cos α≤－错误!。
人教A版 高中数学必修一 三角函数 任意角与弧度制(第一课时) 教学设计
教材：2019年人教A版高中数学必修一课题：第五章三角函数5.1任意角与弧度制（第一课时）合肥一六八中学贾秋雨一、内容和内容解析1.内容：本节的内容包括任意角和弧度制，知识结构如下：2.内容解析：①内容的本质：周期性变化现象随处可见，圆周运动是研究这种现象的变化规律的理想载体，在圆周上一点的运动过程中，角的范围将超出0°~360°,因此有必要推广角的概念；②蕴含的思想和方法：研究思路如下：初中角的定义→任意角的概念→象限角→终边相同的角→弧度制大概念→弧度制与角度制的换算.利用数形结合的思想，从具体到抽象，利用圆上的点的位置变化的刻画从旋转的角度给出任意角的概念；通过类比长度、质量的不同度量制引入弧度制的概念；③知识的上下位关系：学生初中学习过的角的定义和度量方法是研究本单元的基础；将角的概念推广到任意角并用实数来度量是进一步研究三角函数的基础.因此本单元的教学具有承上启下的作用；④育人价值：任意角和弧度制是从现实中随处可见的周期性变化现象出发，借助单圆上的点运动规律发现的，本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题，发展学生直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养很好的载体．⑤教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角，弧度制，弧度与角度的互换.二、目标和目标解析1.目标：(1)了解任意角及象限角的概念，掌握任意角的加减运算，发展学生数学抽象的核心素养；(2)掌握用集合语言表示终边相同角的关系；(3)初步体会弧度制引入的背景及必要性，理解同一个量可以用不同的单位制来度量；(4)在半径不同但圆心角相同的扇形中，利用初中学习的扇形的弧长公式能够发现弧长与半径的比不变，从而体会用比值作为弧度制定义的合理性，加深弧度制概念的理解.在此过程中学生可以感受数学抽象的层次性及逻辑推理的严谨性；(5)体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用进行弧度制与角度制的互化，利用单位圆中弧长等于半径的圆心角，直观感受用长度度量1弧度的大小，能证明并灵活运用一些关于扇形的公式，同时理解角与实数之间的一一对应关系.2.目标解析：达成上述目标的标志是：(1)对于一个给定的任意角，学生能说出旋转方向及旋转量，并能在直角坐标系中作出该角，还能判断它是第几象限角；对于两个角，会判断它们是否相等或是否为相反角，如果相加、相减后，从数量上，知道结果是正角、负角或零角，从图形上，还能解释是通过怎样的旋转得到的；(2)学生能准确使用集合语言表示终边相同角的关系，知道终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，体会数形结合的思想及由特殊到一般的归纳思想；(3)学生已有的知识经验明白度量长度、质量可以用不同的单位制，不同的单位制可以给解决问题带来方便，因此初步体会引入弧度制的必要性；(4)在探究如何科学合理地定义弧度制这一概念的过程中，学生经历了从特殊到一般的探究过程，首先从不同半径的圆周中提炼出不变的量是圆周角的大小和周长与半径的比值，进一步推广到更为一般的圆心角为所对弧长与半径的比值不变，通过认识、理解、把握弧度制的本质，学生经历概念形成的全过程，能描述1弧度角的概念，达成理解弧度制这一目标.(5)在弧度制的应用过程中，学生认识到角度制和弧度制之间的关系，能找到两种度量制之间的换算桥梁是，通过写特殊角的弧度数来熟练角度与弧度的换算，提高运用有关知识解决问题的能力，达成角度与弧度互化的目标；通过例3证明弧度制下扇形的弧长和面积公式，学生体会弧度制的简洁性.三、教学问题诊断分析本节教学难点:任意角概念的建构，用集合表示终边相同的角，弧度制的概念．1.本单元的第一个难点是学生如何理解角的范围的扩充.学生已经比较熟悉数系扩充的过程与方法，角的范围的扩充与数系扩充是完全类似的，只是关于角的运算只有加减.因此在扩充过程中要注意以下教学过程：引进360°的角和负角的必要性，其要点是“角是转出来的”，射线绕端点旋转时，确定一个旋转需要旋转量和旋转方向两个要素；定义任意角时必须明确定义的对象集合中怎样的两个元素是“相同的”，这是后续研究的基础；引入象限角，让角的顶点与原点重合、始边与x轴非负半轴重合，从而使角的表示统一化、标准化、简单化，更重要的是使任意角成为刻画周而复始现象的数学工具.2. 本单元的第二个难点是如何引导学生发现和提出“终边相同的角的表示”.引入象限角表示后，出现的问题是：给定一个角，其终边唯一确定，但一条终边却可以对应无数个角.这时可以提出一个问题：两个角，其始边、终边都相同，那么它们之间一定有内在联系，有怎样的联系呢？一般地，确定同一事物两种表示之间的联系、转化，是数学的一个基本任务.教学时，可以从上述一般性角度提出问题，再由形到数、从具体到抽象，把“角的终边绕原点旋转整数周回到原来位置”用数量关系表示出来就得到结果.3.本单元的第三个难点是如何理解弧度制？把握任何度量制，度量单位的理解是根本.1弧度的意义是什么？从名称上就可以知道这是用圆的弧长来度量角的大小，这里有一个问题要解决：如图，QQ1和PP1所对圆心角都是α，但它们的弧长显然不等，是与半径相关的.联系到初中阶段学过的弧长公式 (其中n是α的度数)，可以发现，这说明随α的确定而唯一确定.这样，利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角，把长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小定义为1弧度，就做到了度量上的完备性和纯粹性.四、教学支持条件分析在信息技术的支持下，可以动态地表现角的终边旋转的过程，有利于学生观察角的大小变化与终边位置的关系，因此要注意用信息技术帮助学生了解任意角和弧度制的概念. 五、教学过程设计播放章首引入微课视频微课文字：同学们好，其实在我们的现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。
【新教材】新人教A版必修一 三角函数.知识框架 教案
三角函数要求层次重难点任意角的概念和弧度制B 掌握角的概念的推广,终边相同的角的表示弧度与角度的互化 B掌握弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式，能正确地进行弧度和角度的互化任意角的正弦、余弦、正切的定义C理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦C会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦、正切高考要求模块框架三角函数任意角与弧度制1. 角的概念的推广⑴角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
其中顶点，始边,终边称为角的三要素。
角可以是任意大小的。
⑵角按其旋转方向可分为:正角，零角，负角.①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角:按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角;③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。
⑶在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.②若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角.<教师备案〉可通过初中角的概念的定义引出角的概念的推广。
①初中角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
②角还可以看成是一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.初中学此定义时，不考虑旋转方向，旋转的绝对量是一样的，而且旋转的绝对量不超过一个周角.③转角:旋转生成的角，又常叫做转角。
各角和的旋转量等于各角旋转量的和. 2。
终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}360,Z S k k ββα==+⋅︒∈。
集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0k =时,对应元素为α。
〈教师备案〉①终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同； ②终边相同的角有无数多个,它们相差360︒的整数倍. ③正确理解角:“0~90︒︒间的角”指的是：090θ︒<︒≤;“第一象限的角”，“锐角”，“小于90︒的角",这三种角的集合分别表示为:{}36036090,k k k θθ⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ,{}090θθ︒<<︒，{}|90θθ<︒.3。
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数教案新人教A版必修
课题：任意角的三角函数精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
任意角的三角函数 教案 高一上学期数学人教版必修
任意角的三角函数（第一课时）教学设计一、内容和内容解析内容：任意角三角函数的定义；三角函数定义域和函数值；诱导公式一. 内容解析：学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的. 锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系. 任意角的三角函数是刻画周期性变化现象的数学模型. 它与“解三角形”已经没有什么关系了. 因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题. 由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质（特别是对称性）中得到启发. 在本节的学习中，了解一些三角函数产生的历史背景，可以帮助学生理解用单位圆来定义三角函数的原因. 本节以一个具体实例（见图 ）引入，通过观察青蛙在不同时刻与水面的距离，得到三角函数的单位圆定义，即角α的终边与单位圆交点的坐标为(),x y ，则sin ,cos ,tan yy x xααα===，该定义是本节的核心概念，也是三角函数整章节的核心，后几节课中诱导公式的推导，三角函数图象和性质都是由定义决定的. 用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点. 其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度制）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数；其次是使三角函数反映的数形结合关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础.三角函数的定义域就是角的取值范围，由于任意角的终边与单位圆都有交点，所以正弦、余弦函数的定义域均为实数集，而角的终边与y轴重合时，终边上所有点的横坐标为0，因此正切函数的定义域不包括终边与y轴重合的角.诱导公式一是定义的直接推导，利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0~2π内角的三角函数值，更重要的是，公式一从代数角度揭示了三角函数值的周期性变化规律.二、目标和目标解析目标：1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义2.从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号3.根据定义理解公式一4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题目标解析：1.桨轮与青蛙的实例与任意角三角函数定义十分契合，学生通过观察青蛙与水面的位置，充分理解单位圆中的正弦函数定义，由此类比得出余弦函数和正切函数的定义.2. 定义域、函数值的符号及诱导公式一完全由定义决定，推导并得出结论对学生来讲比较容易.3.通过例题向学生指明，对具体问题进行转化，得到与三角函数值有关的问题，该问题的实质是三角函数定义的应用.三、教学问题诊断分析1.学生已经利用弧度制对角推广到了实数集，这为理解三角函数的定义奠定了基础. 但是学生原有的直角三角形中锐角三角函数的定义，对任意角三角函数定义有一定的负迁移作用，所以教师可以先给出单位圆定义，再特殊化到锐角三角函数，给学生以历史背景的解释，指出这两种定义方式能解决问题的不同.2.用单位圆上点的坐标刻画三角函数是学生学习的难点. 学生熟悉的函数()=是实数到实数的对应，而这里给出的函数首先是实数（弧度数）到点的y f x坐标的对应，然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应，这会给学生的理解造成一定困难.四、教学条件支持多媒体演示青蛙与桨轮的转动，观察青蛙与水面的距离；利用信息技术，可以很容易的建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观的体现出来.五、教学过程设计六、目标检测设计1.求下列三角函数值（1）0sin405 (2)()0cos120- (3)19 tan3π⎛⎫⎪⎝⎭2.设,,A B C 是三角形的三个内角，在()sin ,cos ,tan ,tan A A A A B +中，哪些有可能取负值？设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力.。
2024春新教材高中数学5.1.1任意角教学设计新人教A版必修第一册
Xxx
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学方法与手段
1. 教学方法：
a. 讲授法：在讲解任意角的概念和表示方法时，通过教师的讲解，引导学生理解并掌握相关知识。
b. 讨论法：在学习象限角和轴线角时，组织学生进行小组讨论，分享各自的思考和见解，促进学生之间的交流与合作。
2. 学生对象限角和轴线角的判断存在一定的困难，特别是在处理复杂的角度问题时。
3. 学生对任意角的性质的理解不够透彻，难以将其应用到实际问题中。
（三）改进措施
1. 加强角度制与弧度制的转换的讲解和练习，通过实例和练习帮助学生理解和掌握两者之间的转换关系。
2. 提供更多的象限角和轴线角的判断练习，通过练习帮助学生熟练掌握判断方法，提高学生的判断能力。
2. 观察生活中的几何现象：学生可以在日常生活中观察到许多与几何相关的现象，如建筑物的角度、自行车的轮子等，尝试用任意角的知识解释这些现象。
3. 举办几何知识讲座：学生可以邀请数学老师或专家，举办一场关于任意角及其他几何知识的讲座，让同学们共同学习、交流和分享。
内容逻辑关系
①任意角的概念与表示方法：
d. 纸质教材与电子教材：结合纸质教材和电子教材，为学生提供丰富的学习素材，方便学生查阅和复习。
e. 板书与PPT：在讲解过程中，运用板书和PPT相结合的方式，突出重点知识，提高学生的注意力。
f. 习题训练：通过布置有针对性的习题，让学生巩固所学知识，提高学生的应用能力。
g. 学习平台：利用学习平台，发布学习任务、布置作业、进行在线测评等，实现教学的即时反馈，帮助学生及时巩固知识。
4. 请学生绘制任意角的图形，并标注象限角和轴线角的性质。
高中数学 任意角的三角函数(1)教案 新人教A版
高中数学人教A 版精品教案集：任意角的三角函数（1）知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、 解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r =>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan yx α=；（4）比值x y叫做α的余切，记作cot α，即cot xy α=；（5）比值r x叫做α的正割，记作sec α，即sec r x α=；（6）比值r y叫做α的余割，记作csc α，即csc ry α=．说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=与sec r x α=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy yα=与csc ryα=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r x 、ry分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
高中数学新人教版A版精品教案《任意角的三角函数（第一课时）》
§任意角的三角函数教学设计重难点创新设计一、教学目标：1知识与技能理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；2过程与方法会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值；会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值；3情感态度与价值观通过本节课的学习,让学生体验定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法。
二、教学目标解析1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；2．会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值；3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值；4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．三、教学重难点：重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；难点：会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值。
一、教学重点突破：在角由“锐角”到“任意角”的推广过程中,研究的视角由“静态”到“动态”,同时研究的平台也由“平面图形”过渡到了“平面直角坐标系”借助直角坐标系研究角,一方面引入象限角,使“角”的研究统一转化为“转动的边”的研究；另一方面也提供了用代数方法研究几何的思路“任意角三角函数”是“锐角三角函数”概念的因袭和扩张，但为什么要作这样的推广呢？更合适的理由是任意角三角函数是描述周期变化为重要数模型。
任意角三角函数是函数的下位概念,是刻划圆周运动规律的重要数学模型“任意角三角函数”在圆周运动中,最基本、简单的情形是质点P绕着单位圆的圆心作匀速圆周运动,在此运动中,关键是抓住质点P的坐标（,）随旋转角的变化而变化的函数关系这种关系是确定的,至于如何更好地表达,合理的命名是非本质的内容由于当角为锐角时,是的正弦,是的余弦,是的正切,因此可以以此为据,推广到任意角相应的三角函数定义引入锐角三角函数的概念,目的是为了研究三角形中的边角关系,因此定义侧重几何的角度,利用相似直角三角形的性质,得到锐角和三角形边与边的“比值”之间的确定关系；而引入任意角三角函数的概念,目的是为了研究周期变化现象,因此定义侧重代数的角度,在直角坐标系下,以单位圆为工具,得到角和它的终边与单位圆的交点坐标之间的确定关系两者同时都是函数的下位概念,在弧度制下,归结为数集到数集的映射教材中对任意角三角函数的定义有两种——单位圆的定义和欧拉的传统定义[1]从任意角三角函数的使命看,单位圆的定义显得形式简单,便于研究性质,同时借助圆周运动可以更直观地体现函数的周期性,某种意义上说,任意角三角函数就是圆的性质的几何表示但两个定义本质相同,相互之间一点就通二、教学难点突破：1．三角函数是一类特殊的函数,因此本节课侧重于在一般函数概念的指导下组织教学,让学生知道三角函数的是角与坐标（或比值）之间的对应关系学生虽有锐角三角函数的概念,但其认识只停留在三角函数是反映直角三角形的角与边之间关系的层面上,有必要让学生从角与比值的对应角度重新认识2．锐角三角函数到任意角三角函数的推广,并非简单的特殊到一般意义上的推广,而是观念角度的变化,需要将直角三角形为载体的几何定义方式转化为以直角坐标系为载体的坐标定义方式3．将终边上的任意一点化归到单位圆上的点,不仅是求简,更是三角函数本质的体现,但学生的理解很难到位,需要在今后的学习中循序渐进4．在弧度制下（用单位圆的半径度量角）实现角的集合与实数集的一一对应,再实现数到坐标的对应,会造成一定的理解困难,为了突出重点,分散难点,本节课暂时不作过度的解释三、教学支持条件分析由于随着任意角的终边的“转动”,角的大小、终边上点的坐标等也随之变化,为了更好体现多元联系性,宜适当采用《几何画板》进行动态演示四、教学过程设计（一）复习前面学习了任意角的概念，你对它的哪些特点印象比较深设计意图：对任意角的概念的理解和掌握是本课的一个基础二问题的提出任意角是一条射线绕端点O旋转生成的在角的旋转过程中，终边上的点都绕O点作着圆周运动圆周运动是生活中常见吗？你试着举出一些作圆周运动的实际例子圆周运动体现了客观世界“周而复始”的变化现象，而函数是描述客观世界变化规律的数学模型，那么用什么样的函数反映这种运动变化现象呢？设计意图：任意角------圆周运动-------周期变化-------函数模型，用函数来刻划圆周运动，解决任意角三角函数引入的必要性问题设计意图：任意角------圆周运动-------周期变化-------函数模型，用函数来刻划圆周运动，解决任意角三角函数引入的必要性问题二概念的生成问题1：函数研究的是数量及其关系，那么在点P所作的圆周运动中，你能发现哪些量？能找到这些量与量之间的关系吗？问题2：让我们先从“从最基本、简单的情形开始！”,当α是锐角时，你能找出α，r, P,P的关系吗？设计意图：让学生清楚要用函数表示圆周运动的关键是把握圆周上点的坐标与相应角的数量关系，而研究往往从最熟悉、最简单的情形出发，在任意角是锐角的情形下，学生容易由数想形，构造直角三角形，并进一步联想到通过锐角三角函数来表达直角三角形之间的边角关系：当α是锐角时，，问题3：对于这些比值，我们以前称之为锐角α的正弦、余弦和正切，统称为锐角α的三角函数，你认为这些比值是由α唯一确定的吗？当角α确定后，比值也是唯一确定的，而与P点在角终边上的位置无关！问题4: 既然当角确定后，三角函数值与点P在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的形式更简单？设计意图：在求简意识的指引下，自然地引出单位圆同时在对圆周运动寻求函数关系的求解的过程中体会它与锐角三角函数之间的内在联系对于任意角的三角函数可由教师顺势给出：当α是锐角时，设P,是α的终边与单位圆的交点，则就称为锐角α的正弦，就称为锐角α的余弦，就称为锐角α的正切记为inα=,c oα=，问题5: 设α是锐角,P（,）是α的终边与单位圆的交点，当α确定时,,,的值是唯一确定那么当α是任意角时，,,的值也是由α唯一确定吗？例如α是钝角，若α确定，则终边与单位圆的交点坐标P,也唯一地确定，此时我们就把就称为钝角α的正弦，就称为钝角α的余弦，就称为钝角α的正切记为inα=,c oα=，类似地，我们可以这这个名称推广到任意角：设α是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为P,,则叫做α的正弦,记作inα=叫做α的余弦,记作c oα=;叫做α的正切,记作t a nα=任意角α的正弦、余弦和正切,统称为任意角α的三角函数追问1：你认为任意角三角函数的定义符合高中函数的定义吗？能确定这些函数的定义域、值域吗？你能说说任意角三角函数的对应法则吗？追问2：你能将任意角三角函数与锐角三角函数的概念进行比较吗？设计意图：定义可以由教师明确给出，关键是让学生理解其合理性，理解概念的背景和生成过程完整的概念生成后,再与已有相关知识建立联系,促进新旧知识的分化,加深新知识的理解六概念的巩固例1：求的正弦、余弦、正切值练习：求下列三角函数值：（1） , 2 c o3 , 3变式：若已知inα=-1,你能写出α的一个角吗？例2：角α的终边过P,求它的三角函数值设计意图：让学生熟悉定义,从中概括出用定义解题的步骤七探究与发现例3：不求值,你能判断下列三角函数值的符号吗？你能总结一般的规律吗？（1）in1170︒, 2c o, 3tan设计意图：通过丰富的实例,从不同的角度让学生进一步理解任意角三角函数的定义思考：一个质点从点（1,0）出发在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动,若经过的弧长为,试用表示质点所在位置P点的坐标一个质点从（r,0）出发绕O点按按逆时针方向作匀速圆周运动,若经过的弧长为,试用表示质点所在位置P点的坐标设计意图：让学生进一步体会三角函数在描述圆周运动中的作用，进一步理解任意角三角函数的定义八小结反思通过学习,你对任意角三角函数有了哪些新的认识？还有哪些体会？答：任意角三角函数是刻划圆周运动的重要数学模型,它实质上就是以角为自变量,以角的终边与单位圆的交点的坐标或坐标比为函数值的函数在研究过程中,从最简单、最基本的问题入手,通过观察分析,借助数形结合和化归等思想方法解决问题九目标检测1求的正弦、余弦、正切值2已知角θ的终边在直线=上,求角θ的三个三角函数值3确定下列三角函数值的符号：（1）in; 2c o-4500; 3 tan思考题：若角α的终边过点P,,且|OP|=rr>0O为坐标原点,求inα,c oα,tanα例1：求的正弦、余弦、正切值练习：求下列三角函数值：（1） , 2 c o3 , 3变式：若已知inα=-1,你能写出α的一个角吗？例2：角α的终边过P,求它的三角函数值设计意图：让学生熟悉定义,从中概括出用定义解题的步骤例3：不求值,你能判断下列三角函数值的符号吗？你能总结一般的规律吗？（1）in1170︒, 2c o, 3tan任意角的三角函数一、例题讲解例1：求的正弦、余弦、正切值练习：求下列三角函数值：（1） , 2 co3 , 3变式：若已知inα=-1,你能写出α的一个角吗？例2：角α的终边过P,求它的三角函数值设计意图：让学生熟悉定义,从中概括出用定义解题的步骤例3 不求值,你能判断下列三角函数值的符号吗？你能总结一般的规律吗？（1）in1170︒, 2c o, 3tan二、目标检测：1求的正弦、余弦、正切值2已知角θ的终边在直线=上,求角θ的三个三角函数值3确定下列三角函数值的符号：（1）in; 2c o-4500; 3 tan任意角的三角函数三、课后作业-3，-4,求角的正弦，余弦和正切值。
最新人教版高中数学必修41.2.1任意角的三角函数(1)教学设计
121任意角的三角函数(一)一、教目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数2、过程与方法初中过锐角三角函数就是以锐角为自变量以比值为函数值的函数引导生把这个定义推广到任意角通过单位圆和角的终边探讨任意角的三角函数值的求法最终得到任意角三角函数的定义根据角终边所在位置不同分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数讲解例题，总结方法，巩固练习3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导生从自己已有认知基础出发习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响生对三角函数概念的理解本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系二、教重、难点重点任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解三、法与教用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的习带方便，也使三角函数更加好用了教用具投影机、三角板、圆规、计算器四、教设想第一课时 任意角的三角函数（一）【创设情境】提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
高中数学新人教版A版精品教案《任意角的三角函数（第一课时）教学设计》
任意角的三角函数（第一课时）教学设计【环节1：创设情境，引入新课】我们知道，函数是刻画客观世界变化规律的数学模型在数学必修一中，我们学习了指数函数、对数函数、幂函数等，知道这些函数可以用来刻画现实问题中某些类型的变化规律那么，在数学中又如何刻画客观世界中的周期性变化规律呢？本章的章题是《三角函数》，三角函数到底是一种怎样的函数？下面我们就来研究这个问题设计意图： 通过章题，自然的引入本节课的新课，用指数函数，对数函数，幂函数的概念引导三角函数研究的思想那么，三角函数到底是一种怎样的函数？让学生感受必修一与必修四课本之间的相通性，并体会到数学趣【环节2：温故知新】1. 在直角三角形中定义锐角三角函数 师：初中，我们在直角三角形中学习的锐角α的正弦、余弦、正切是如何定义的？生：初中定义对边与斜边的比值为正弦，记做sin α，邻边与斜边的比值为余弦，记做cos α，对边与邻边的比值为正切，记做tan α师：这是借助直角三角形这一工具，对锐角三角函数进行了定义到了高中，我们前面通过直角坐标系研究了角今天，我们通过直角坐标系，对任意角的三角函数进行深入的研究 设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然 师生活动：教师提出问题，学生口头回答，然后教师借助PPT ，展示直角三角形【环节3：提出问题，探究新知】2在直角坐标系中利用终边上的点的坐标表示锐角三角函数 师：随着角的概念推广和弧度制的引入，我们一般借助什么工具来研究角？ 生：直角坐标系设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠定研究的基础师生活动：师生共同回忆任意角的内容师：对于锐角α都有始边和终边在直角坐标系中，如何放置锐角α可以方便研究？师：设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限既然建立了坐标系，自然离不开坐标，若知道角终边上一个点的坐标，你能表示出锐角α的三角函数值吗？生：在α的终边上取一个点（或者通过直角三角形）师：在锐角α的终边上任取一点(,)P x y ，它与原点O 的距离为220r x y =+>，你能用点P 的坐标及r 来表示锐角α的三角函数吗？生：过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为 y ，则sin MP y OP r α==，cos OM x OP r α==，tan MP y OM xα== 设计意图：把锐角α放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一目了然的，这样可以把复习的初中的锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标关系，为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫提及“始边”、“终边”也是为了概念一般化做铺垫师生活动：教师在直角三角形所在平面上建立适当的坐标系，画出锐角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数师：通过点P 的坐标，表示出了锐角α的三角函数值，那么，当点P 在锐角α的终边上移动时，坐标发生改变吗？生：当点P 在锐角α的终边上移动时，坐标发生改变师：当锐角α确定，如果改变锐角α的终边上的P 点的位置，锐角α的三角函数值会发生改变吗？生：不发生改变师：我们先考虑一个特殊角，45终边上的点有什么特点？生：横纵坐标相等师：问（2,2），（4,4），（6,6）的正弦，余弦，正切值生：正弦值都为22，余弦值都为22，正切值都为1 师：由此可以看出，当锐角α确定，如果改变锐角α的终边上的P 点的位置，锐角α的三角函数值不会发生改变为什么？生：由OMP ∆∽OM P ''∆sin cos tan MP M P OP OP OM OM OP OPMP M P OM OM ααα''==''=='''=='师:当α给定时，选取α终边上除原点以外的任意一点三角函数值是确定不变的 设计意图：由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三角函数值 这是为单位圆定义的提出做好铺垫师生活动：先由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明3在直角坐标系中利用单位圆上的点的坐标表示锐角三角函数师：我们在直角坐标系中通过角终边上点的横纵坐标与该点到原点的距离比值表示了锐角三角函数数学追求“简洁美”，既然这三个比值与终边上点P 的位置无关，那么我们能否进一步，选取一个特殊的距离，使得用P 点的某个坐标直接表示三角函数值，进而将sin α和cos α的表达式简化？生：当P 点到原点的距离为1师：即当1r =时，我们得到α的三角函数值直接用坐标表示设计意图：通过问题的形式过渡，得出sin cos αα和的简化形式，体现简约思想，并为引出单位圆奠定基础师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论，如果学生能回答出使P 点到原点的距离为1，教师在此给出单位圆的定义，若学生想不到，教师引导学生分析表达式的比值形式，看怎样能更简洁，学生通过分析，可发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化师：到原点距离为1的所有点，可以构成什么图形？生：圆师：在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆 设计意图：自然得出单位圆的概念，同时也明确在单位圆的背景下，锐角和单位圆上P 点有对应关系师生活动：通过问题的设置引发学生思考，如何取适当点而将表达式简化，学生回答后教师点评补充，同时利用几何画板帮助学生更直观地看到单位圆的图象 学生加深对单位圆的理解师：由此我们得到了在直角坐标系中用单位圆上的点的坐标表示锐角三角函数sin cos tan MP y y OP rOM x x OP rMP y OM x ααα======== 师：在锐角α的终边上改变P 点的位置，三角函数值不发生变化，那么，什么变化才会引起三角函数值变化呢？生：角的变化师：当锐角α发生变化时，终边与单位圆的交点(,)P x y 的坐标会发生相应的改变吗？生：会发生改变师：当锐角α确定了，终边与单位圆的交点(,)P x y 的坐标是否唯一确定？生：唯一确定师：锐角α与坐标分量锐角,x y 分别有什么样的对应关系呢？能否构造出函数？ 生：锐角α和变量,x y 有两个对应关系对于任意一个锐角α都有唯一确定的横坐标x 与之对应；对于任意一个锐角α都有唯一确定的纵坐标y 与之对应设计意图：初中学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内涵，突出了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要环节，是准确理解三角函数概念的关键师生活动：教师引领学生分析对任意的锐角α，其终边都会与单位圆交于唯一的一点P ，而点P 的坐标(,)x y 也是唯一的师：对于任意一个锐角α都有唯一确定的横坐标x 与之对应；对于任意一个锐角α都有唯一确定的纵坐标y 与之对应能给这两个函数命名吗？生：分别为锐角α的正弦函数和余弦函数师：设α为任意锐角，它的终边与单位圆交于点),(y x P ，那么：（1）y 叫做锐角α的正弦，记作αsin ，即y =αsin ；（2）x 叫做锐角α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ；（3）y x 叫做锐角α的正切，记作αtan ，即tan y x α=师：既然是函数，锐角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的自变量是什么？以什么为函数值呢？生：锐角α是自变量，坐标分量或坐标的比值为函数值的函数师：锐角的正弦、余弦、正切都是以锐角为自变量，以角的终边与单位圆交点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数师：锐角α是实数么？生：是，锐角α的弧度数是个实数师：所以锐角α的三角函数是以实数为自变量，以锐角α的终边与单位圆上的交点的坐标或坐标的比值为函数值的函数设计意图：让学生能更好的理解锐角三角函数的定义，同时为总结任意角三角函数定义打好基础师生活动：让学生体会锐角三角函数中的自变量和函数值之间的依存关系，体会函数的概念 4在直角坐标系中利用单位圆定义任意角的三角函数师：到此，我们用角终边上点的坐标重新定义了锐角三角函数然而到了高中，我们将角推广到了任意角对于任意角，有斜边吗生：任意角，没有斜边师：对于任意角，都有始边和终边在直角坐标系中，如何放置任意角α？生：将任意角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合师：对于任意角，其终边定与单位圆有唯一交点，从而能形成函数关系由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗？【环节4：探究概念】设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P ，那么：（1） y 叫做α的正弦，记作αsin ，即sin y α=；（2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ；（3）y x叫做α的正切，记作αtan ，即tan (0)y x x α=≠ 师：此时，三角函数值依然都为正值吗？生：不是师：它们的自变量是什么？生：是任意角α师：由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，角α的三角函数就可以看成以实数为自变量的函数例如，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有唯一确定的弧度数，这是一个实数，所以三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，即角一 单一 值对 对应 应单值对应实数 三角函数值角的弧度数）一般地，我们把三角函数看成以角的弧度数为自变量的函数我们同样可以把三角函数看成以角度数为自变量的函数设计意图：利用类比、迁移的认知规律，学生容易给出任意角的三角函数定义学生可以意识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角三角函数是锐角三角函数的自然延伸，通过对对应关系的分析，深化对定义的理解师生活动：教师引导学生分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么特别注意α既表示一个角，又是一个实数（弧度数）；“它的终边与单位圆交于点),(y x P ”包含两个对应关系【环节5：例题演练】例1：求53π的正弦、余弦和正切值 分析：若已知角α的大小，可求出角α的终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值解：在直角坐标系中，作53AOB π∠=（如图所示）易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标为13(,)22-所以 53sin 3251cos 325tan 33y x y xπππ==-====- 【环节6：课堂练习】教材15页练习第一题练习1：利用三角函数的定义求76π的三个三角函数值 设计意图：例1和练习1是根据定义求一个角的三角函数值需要先求出这个角的终边与单位圆的交点坐标，在由定义得解这两道题的目的是为了巩固任意角三角函数的定义 师生活动：先通过讨论确定利用定义解题的思路，然后由学生自主完成例1及练习第1题【环节7：例题演练】例2： 已知角α的终边经过点)4,3(0--P ，求角α的正弦、余弦和正切值 分析：如图所示，由OMP ∆∽00P OM ∆可求出相应的三角函数值解：由已知可得：5)4()3(220=-+-=OP如图所示，设角α的终边与单位圆交于点),(y x P 分别过点P 、0P 作x 轴的垂线MP 、00P M ，则OMP ∆∽00P OM ∆ 于是【环节8：课堂练习】 xOM OM yMP P M -==-==,34000，.34cos sin tan ;531cos ;541sin 00000===-=-=-===-=-=-===αααααx y OP OM OP OM x x OP P M OP MP y y。
高中数学任意角的三角函数教案新人教A版必修
山东省临朐县实验中学2014年高中数学 1.2.1 任意角的三角函数教案新人教A版必修4一，教学目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.二，重点难点教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等.教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.三，教学过程导入新课我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为180°,那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推广,怎样修正三角函数定义?推进新课新知探究问题一：问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?问题二：问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?问题三：问题①:学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三角函数,引入一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论?问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?应用示例例1 已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.变式训练 求35 的正弦、余弦和正切值.例2 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.⎩⎨⎧><.0tan ,0sin θθ变式训练已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( )A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角例3 求下列三角函数值: (1)sin390°;(2)cos 619π;(3)tan(-330°).课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域,任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.本节课我们重点讨论了两个内容,一是三角函数在各象限内的符号,二是一组公式,两者的作用分别是:前者确定函数值的符号,后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数,这两个内容是我们日后学习的基础,经常要用,请同学们熟记.。
高中数学人教A版(2019)必修第一册 5 三角函数的概念 教案
5.2.1三角函数的概念一、教学目标：1、借助单位园理解任意角的三角函数的定义2、会利用相似关系，由角a 终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦，余弦，正切的三角函数的定义。
3、能根据定义理解正弦，余弦，和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号，会求一些特殊角的三角函数值4、理解并掌握公式一，并会用公式一进行三角函数式的化简或恒等式的证明。
二、教学重难点教学重点：三角函数的定义教学难点：对三角函数概念的抽象过程及定义的理解．三、情景导入江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓的把水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然，把水车放在坐标系中，点p 为水车上一点，它转动的角度为a,水车的半径为r ，点p 的坐标如何表示？四、预习检查五、教学过程① 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？② 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？1.三角函数的定义前面，我们已经把角的范围扩展到了任意角，并用弧度制来度量角，将角和实数建立一一对应关系.接下来，我们将建立一个数学模型，刻画单位圆上点P 位置变化情况.(以点A 为起点做逆时针方向旋转)191 sin -1050tan 3π︒、（）2sin ,cos ,tan Pαααα、已知角 则分别是多少？以单位圆的圆心为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P(x,y)射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα;(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即x=cosα(3)把点P的纵坐标和横坐标的比值y叫做α的正切函数,记作tanα,即xy=tanα(x≠0).x我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.例1、2.同角三角函数的符号一全正、二正弦、三正切、四余弦例2、3.特殊角的三角函数4.诱导公式一终边相同的角的对应三角函数相同.其中k ∈Z做题时，把角同化为(0~2π)即(0°~360°)终边相同的角，简化计算. 例4：求下列三角函数的值。
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当 k＝1 时，α＝错误!＋错误!＝错误!，终边在第二象限．
当 k＝－1 时,α＝－错误!＋错误!＝－错误!,终边在 y 轴的非正半轴上，故选 D.
答案：D
2．已知 sinα〉0，cosα〈0，则错误!α 所在的象限是( )
A．第一象限
B．第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
解析：因为 sinα>0，cosα〈0，所以 α 为第二象限角,即2π＋2kπ<α〈π＋2kπ，k∈Z，则错误!
又角 θ 与－θ 的终边关于 x 轴对称．
∴角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称． 答案：C 知识点二弧度的概念与公式 在半径为 r 的圆中
分类
定义(公式）
1 弧度的角
角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算
弧长公式 扇形的面积公式
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角，用符号 rad 表
1．（2015·东城期末）若角 α 满足 α＝错误!＋错误!(k∈Z），则 α 的终边一定在( ） A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或 x 轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或 y 轴非正半轴上 解析:由 α＝错误!＋错误!,k∈Z，
当 k＝0 时，α＝π6，终边在第一象限．
当 k<0 时,r＝－错误!k，
－3k
∴sinα＝
＝错误!，
－ 10k
错误!＝错误!＝－错误!，
∴10sinα＋错误!＝3错误!－3错误!＝0.
综上,10sinα＋错误!＝0.
用定义法求三角函数值的两种情况
(1）已知角 α 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数 的定义求解．
y 叫作 α 的正弦,记作 sinα
记作 cosα
切,记作 tanα
正
正
正
正
负
负
负
负
正
负
正
负
一全正，二正弦，三正切,四余弦
三角函数线
有向线段 MP 为正弦线
有向线段 OM 为 有向线段 AT 为正
余弦线
切线
易误提醒三角函数的定义中，当 P(u，ν）是单位圆上的点时有 sinα＝ν,cosα＝u，tanα
知识点一角的有关概念 （1）从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． （2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若 α 与 β 角的终边相同,则 β 用 α 表示为 β＝α＋2kπ(k∈Z）．
易误提醒 （1)不少同学往往容易把“小于 90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”
等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是｛α｜0°<α〈90°｝，第一象限角的集合为｛α｜2kπ 〈α〈2kπ＋错误!，k∈Z｝．
示．
｜α｜＝错误!（弧长用 l 表示) 1°＝错误!rad；1rad＝错误!°
弧长 l＝|α|·r S＝错误!lr＝错误!|α｜·r2
易误提醒角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度
量制度必须一致，不可混用. ［自测练习］
2．弧长为 3π,圆心角为错误!π 的扇形半径为________，面积为________．
＝错误!，但若不是单位圆时，如圆的半径为 r，则 sinα＝错误!，cosα＝错误!,tanα＝错误!。
[自测练习]
3．若 sinα<0 且 tanα〉0，则 α 是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析:由 sinα〈0，得 α 在第三、四象限或 y 轴非正半轴上，又 tanα〉0，∴α 在第三象限．
考点二三角函数的定义｜
已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上， 求 10sinα＋错误!的值． ［解］设 α 终边上任一点为 P(k,－3k)，
则 r＝错误!＝错误!|k｜。
当 k>0 时，r＝错误!k，
∴sinα＝错误!＝－错误!,错误!＝错误!＝错误!,
∴10sinα＋错误!＝－3错误!＋3错误!＝0；
答案：C 4．已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴．若 P(4，y）是角 θ 终边上一点， 且 sinθ＝－错误!，则 y＝________.
解析：由三角函数的定义，sinθ＝错误!，
又 sinθ＝－错误!〈0， ∴y〈0 且错误!＝－错误!， 解之得 y＝－8。 答案：－8
考点一角的集合表示及象限角的判断｜
则令－720°≤45°＋k×360°〈0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－错误!≤k<－错误!， 从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675°或 β＝－315°。 答案：－675°或－315°
解决终边相同的角的集合的两个方法 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角． （2）利用终边相同的角的集合 S＝｛β｜β＝2kπ＋α，k∈Z｝判断一个角 β 所在的象限 时,只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和，然后判断角 α 所在的象 限．
(2）已知角 α 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点 的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题．
(2）终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数
值相等．
[自测练习]
1．若 α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角 α 与 β 的终边的位置关系是( ）
A．重合
B．关于原点对称
C．关于 x 轴对称
D．关于 y 轴对称
解析：角 α 与 θ 终边相同，β 与－θ 终边相同．
解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝错误!π，由弧长公式 l＝|α|·r,得 r＝错误!＝错误!＝4，面 积 S＝错误!lr＝6π.
答案:46π 知识点三任意角的三角函数
三角函数
定义
各象限符号
Ⅰ 意角,它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么
x 叫作 α 的余弦， 错误!叫作 α 的正
＋kπ<错误!α<错误!＋kπ，k∈Z.当 k 为偶数时，错误!α 为第一象限角;当 k 为奇数时，错误!
α 为第三象限角,故选 C. 答案：C 3．在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为________． 解析：所有与 45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z）,