数学分析7-习题课

数列的上下极限概念
定义 有界数列(点列) {xn}的最大聚点 A与最小聚点A分别 称为{xn}的上极限与下极限,记作
A lim xn
n
A lim xn
n
Hale Waihona Puke f(x)一致连续的判定：1. 在（a，b）上的连续函数 f 为一致连续的充要条 件是 f（a+0）与f（b-0）都存在。不适合无限开区间
1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集 必有上（下）确界。
反例 ：S { x | x 2 2, x Q }, sup S 2 ,
inf S 2 ,
即S在有理数集没有确界。 确界原理在有理数域不 成立。
2. 单调有界定理
；
在实数系中，单调有界数列必有极限。
1 n 反例： 1 ) }是单调有界有理数列， {( n
因而在有理数域没有聚点。
5.1 致密性定理：
在实数系中，有界数列必含有收敛子列。 1 n 反例： { xn } {(1 ) }是有理数系中的有界无穷数列, n 其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。
故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。
6. 柯西收敛准则
在实数系中， {an }收敛 0, N , m , n N , 有 an am .
反例： {(1 1 )n }是满足Cauchy条件的有理数列， n
但其极限是无理数e .
即柯西收敛准则在有理数域不成立。
几个概念：
区间套（闭区间套）， 聚点（3个等价定义及其等价性的证明）， 开覆盖（有限开覆盖）。 举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间 结论不成立。 1 1 如 （0， ）是前一个包含后一个，且 lim ( 0) 0, { } n n n 但不存在属于所有开区间的公共点。
证法1： 不妨设{xn}单调增加。 若{xn}无界或{xn}是常数列， 则{xn}一定没有聚点。 不合题意。 故{xn}必为有界数列且不是常数列。 从而{xn}一定有确界， 设 sup{ xn } , 由单调有界定理的证明可知： lim xn , n
故是{ xn }的聚点。 若也是{ xn }的聚点，则 { xn }的子列收敛于，
举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区 间结论不成立。 1 如开区间集合{( ,1)}，n 1,2, n1 构成了开区间（0， 1）的一个开覆盖 ， 但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1）。
因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，
1 设为 , 则（0， 1 ）这部分将不能被盖住。 N 1 N 1
而{ xn }收敛于，所以{ xn }的任意子列必收敛于，
.
证法2： 设是{ xn }的一个聚点，
则{ xn }的子列{ xnk }收敛于 ，
若无界, 则 xn , xn , 矛盾！ { xn }单调，
k
{ xn }单调且有界，{ xn }收敛。 且 lim xn .
令 f (a 0), x a F ( x ) f ( x ), a x b f (b 0), xb
则F ( x )在[a , b]连续，从而有界， f ( x )在(a , b)有界. 当(a , b)为无限区间时，结论不 成立。
如：f ( x ) x在（ ， ）一致连续，但显然无界。
2. 若f ( x )在[a ,)连续， f ( x )存在， lim
x
则f ( x )在[a， )一致连续。
3. 闭区间上连续的函数必一致连续。
4. 0, ( ) 0, x, x I , 只要 x x , 就有 f ( x ) f ( x) .
sin x sin x 综上 在（0,）一致连续。 在（0, M ]一致连续。 x x
P172.3
证法2 sin x 显然 在（0,）连续。 x
(0,) (0,1] [1,)
sin x lim 1, x 0 x
sin x lim sin1, x 1 x
sin x lim 0, x x
由于H *中的开区间都不含 2，且2n个端点都是有理数， 设这2n个有理数中与 2最靠近的数为 r ,
则在r与 2之间所有有理数都在上述n个区间之外。
即H的任意有限覆盖不能盖 住[1,2]Q .
5. 聚点定理
实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。 1 n S {(1 ) | n Z }, 反例： n S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,
第七章习题课
关于实数完备性的6个基本定理
1. 确界原理（定理1.1）；
2. 单调有界定理（定理2.9） 3. 区间套定理（定理7.1）； 4. 有限覆盖定理（定理7.3） 5. 聚点定理（定理7.2） 6. 柯西收敛准则（定理2.10）； 在实数系中这六个命题是相互等价的 。
；
在有理数系中这六个命题不成立 。
sin x 在 (0， 和 [1， )分别一致连续， 1] x sin x 从而 在（ ,）一致连续。 0 x
n
故{xn}一定有界，从而有确界。
由单调有界定理的证明可知：sup{ xn } ,
若也是{ xn }的聚点，则 { xn }的子列收敛于，
而{ xn }收敛于，所以{ xn }的任意子列必收敛于，
.
P172.2 有限区间I上一致连续的函数必有界。 证 若I为闭区间，则结论显然。 下面假设I为开区间（a, b）。 f在(a , b)一致连续， f (a 0), f (b 0)都存在，
x [1,2]Q , 有理数 rx , 使 2 x rx , x rx ), （ 令H {( x rx , x rx ) | x [1,2]Q }, 则H是[1,2]Q 的一个开覆盖，
任取H的有限个元素，构成集合H * , H * {( x1 r1 , x1 r1 ), ( x2 r2 , x2 r2 )( xn rn , xn rn )}
5. 若f(x)在有限区间I上无界，则f(x)在I上必不一致连续。
P168.1. 解答
n
1 S （ 1） }的奇子列收敛于 1，偶子列收敛于1， { n
1， 1是S的聚点。 1， 1， 取 min{| 1 |, | ( 1) |},
但其极限是无理数e .
即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[
an , bn ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点
, 使 [an , bn ], n 1,2,
反例： 取单调递增有理数列 an }, 使an 2 , {
取单调递减有理数列 bn }, 使bn 2 , {
P172.3 证
sin x sin x lim 0, 0, M 0, x M , 有 | | . x x x sin x sin x sin x sin x x, x M , 有 | | | || | 2 . x x x x sin x 即 在（M ,）一致连续。 x 1, x0 令F ( x ) sin x x (0, M ] x , 则F ( x )在[0，M ]连续，从而一致连续，
则在U (1, | 1 | )外至多有S的有限个偶数项， 2 则在U ( 1, | ( 1) | )外至多有S的有限个奇数项， 2
则在U ( , )内至多有S的有限项， 不是S的聚点。 2



P168.7.
{xn }单调.证明 : 若{xn }存在聚点, 则必是唯一的, 且为{xn }的确界.
则 有理数域内构成闭区间 套 [an , bn ]Q ，
其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.
所以区间套定理在有理数系不成立。
4. 有限覆盖定理 在实数系中，闭区间[a, b]的任一开覆盖H，必 可从H中选出有限个开区间覆盖[a, b]。 2 反例： 设[1,2]Q 表示[1，]中所有有理数的集合，