圆锥曲线焦点、焦点三角形类
圆锥曲线焦点三角形的三大问题(解析版)
圆锥曲线焦点三角形的三大问题一、焦点三角形定义：椭圆与双曲线有对称中心，称为有心圆锥曲线.有心圆锥曲线上一点与两焦点构成的三角形叫做有心圆锥曲线的焦点三角形.其中我们把椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的等腰三角形称之为椭圆的特征焦点三角形1.焦点三角形的角度与离心率问题离心率是椭圆的一个非常重要的定型的量，椭圆的离心率与焦点三角形中的某些量存在关系：图1图2图3图4结论1：如图1，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21PF F ∠的角平分线交x 轴于点M ，则椭圆的离心率2211PF MF PF MF e ==证明：由角平分线定理及和比定理得==2211PF MF PF MF e ac PF PF MF MF ==++222121结论2：如图2，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，I 为21F PF ∆的内心，PI 的延长线交x 轴于点M ，则椭圆的离心率IPIM e =证明：在M PF 1∆和M PF 2∆中由角平分线定理的2211,PF MF IPIM PF MF IPIM ==所以e acPF PF MF MF PF MF PF MF IPIM ==++===2221212211结论3：如图3，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 证明：由正弦定理可知βαβαsin sin )sin(222121++=+==PF PF F F a c e 结论4：如图4，设21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上不同于左右顶点的任意一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则双曲线的离心率βαβαsin sin )sin(-+=e 证明：由正弦定理可知βαβαsin sin )sin(222121-+=-==PF PF F F a c e 结论5：如图5，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21PF F ∠的外角平分线交x 轴于点M ，α=∠2MPF ，β=∠2PMF ，则椭圆的离心率βαcos cos =e 证明：由正弦定理得βαβαααβαβααcos cos cos sin 2cos sin 2)sin()sin(2sin 222121==-++=+==PF PF F F a c e 结论6：圆锥曲线中，过焦点F 且不垂直于坐标轴的弦为AB ，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R ，则ABFR e 2=证明：设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，则02122)(2ex a x x e a AB +=++=由点差法（过程略）得02022200y a x b k a b x y k k k AB AB OMAB -=⇒-=⋅=所以AB 的中垂线：)(002020x x x b y a y y -=-，令0=y 得022020x e ax b x x R =-=，所以c x e c x FR R +=+=02，所以222002eex a c x e AB FR=++=，所以ABFR e 2=典例分析例1.设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，以21F F 为直径的圆与椭圆交于点P ，且=∠12F PF 215F PF ∠，则椭圆的离心率为（）A.22B.23 C.32 D.36解析：由题意01202102175,15,90=∠=∠=∠F PF F PF PF F 所以3662426426175sin 15sin 90sin 000==++-=+=e ，故选D 例2.已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，若椭圆上存在点P 使21PF PF ⊥，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.)1,55[B.)1,22[C.]55,0( D.]22,0(解析：要使存在点P 使得21PF PF ⊥，只需当点P 在短轴端点时021902≥=∠θPF F 所以22sin ≥=θe ，所以122<≤e ，故选B 例3.已知椭圆192522=+y x 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有共同焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且321π=∠PF F ，则双曲线的离心率为解法1：由题意知椭圆的离心率541=e ，又1434116cos 6sin 2221222212=+⇒=+e e e e ππ所以131341436425222=⇒=+e e 解法2：由题意知4=c ，由330cot 30tan 92221=⇒==b b S F PF ，所以13222=-=b c a所以13134134===a c e 例4.（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，从2F 发出的光线经过图2中的B A ,两点反射后，分别经过点C 和D ，且53cos -=∠BAC ，BD AB ⊥，则E 的离心率为（）A.25 B.317 C.210 D.5解析：由题意知53cos 1=∠BAF ，AB B F ⊥1，可设4,3,511===BF AB AF ，由双曲线定义知3264434511=⇒=⇒=-+=-+a a a AB BF AF 所以1,222==BF AF ，由勾股定理得172=c ，所以==a c e 22317，故选B 例5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线右支上存在点P 使得1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则离心率的取值范围为（）A.)12,0(-B.)1,12(- C.)12,1(+ D.),12(+∞+解析：由正弦定理及1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠得a c a PF a a c PF c PF a -=⇒-==221222又a c PF ->2，所以a c ac a ->-221221+<<-⇒e ，又1>e ，所以121+<<r 故选C例6.（2022·河南开封·高二期末）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点M 是C 上点（不在坐标轴上），点N 是2OF 的中点，若MN 平分21MF F ∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.)1,21( B.)21,0( C.)1,31( D.)31,0(解析：由角平分线定理得321232121===c c MF MF PF PF ，又a PF PF 221=+，所以a PF 212=又c a PF c a +<<-2，所以2121>⇒+<<-e c a a c a ，又1<e ，所以121<<e ，选A二、焦点三角形面积公式及其应用有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上一点与有心圆锥曲线的两个焦点构成的三角形，称为有心圆锥曲线的焦点三角形．接下来利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识推导焦点三角形的面积公式，并举例说明其应用结论7：椭圆的焦点三角形面积公式：设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点为21,F F ，点),(00y x P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为r c a b y c PF PF S F PF )(2tan sin 21202121+====∆θθ（其中r 为21F PF ∆的内切圆半径）证明：略结论8：双曲线焦点三角形面积公式：设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，点),(00y x P 为双曲线上不同于左右顶点的任意一点，θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2cot sin 21202121θθb y c PF PF S F PF ===∆证明：略典型例题例1.设P 为椭圆16410022=+y x 上一点，21,F F 是其左右焦点，若321π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为解析：33646tan6421==∆πF PF S 例2.已知双曲线116922=-y x 的左、右集点分别为21,F F ，若双曲线上点P 使02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积是（）A.12B.16C.24D.32解析：1645cot 16021==∆F PF S ，故选B例3.（2020新课标Ⅰ）设21,F F 是双曲线C ：1322=-y x 的两个焦点，O 坐标原点，点P在C 上且2=OP ，则21F PF ∆的面积为（）A.27 B.3C.25 D.2解析：由题意知221===OP OF OF ，所以02190=∠PF F ，所以345cot 3021==∆F PF S 故选B例4.（2022城厢区校级期中）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P是椭圆C 上的一点，若321π=∠PF F ，且21F PF ∆的面积为33，则=b （）A.2B.3C.6D.9解析：9336tan2221=⇒==∆b b S F PF π3=⇒b ，故选B 例5.（2022连城县校级期中）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P是椭圆C 上的一点，3221π=∠PF F ，若21F PF ∆的面积为39，则=b （）A.9B.3C.4D.8解析：9393tan2221=⇒==∆b b S F PF π3=⇒b ，故选B 例6.（2020·新课标Ⅲ）设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为5，P 是C 上的一点，且21PF PF ⊥，若21F PF ∆的面积为4，则=a （）A.1B.2C.4D.8解析：由2445cot 0221=⇒==∆b b S F PF ，又1541)(122=⇒=+=+=a a ab e ，故选A 例7.（2022·安徽省亳州市第一中学高月考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过原点的直线与双曲线交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5解析：连接11,BF AF ，易知BF AF 1为平行四边形，又090=∠AFB ，所以0190=∠AF F 所以2245cot 22221=⇒==∆ab a b S FAF ，所以5)(12=+=a b e ，故选D例8.（2022·吉林吉林·高三期末）已知P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一动点，21,F F 是椭圆的左、右焦点，当321π=∠PF F 时，3421=∆F PF S ，当线段1PF 的中点落到y 轴上时，34tan 21=∠PF F ，则点P 运动过程中，2111PF PF +的取值范围是（）A.]32,21[ B.]32,158(C.158,21[ D.)32,21[解析：由12346tan2221=⇒==∆b b S F PF π，当线段1PF 的中点落到y 轴上时，x PF ⊥2轴，所以a b PF 22=，所以342tan 222121===∠b ac PF F F PF F 8=⇒ac ，又2212c a +=所以162=a ，所以21212121811PF PF PF PF PF PF PF PF =+=+，而]6,2[1∈PF ，所以]16,12[16)4()8(211121∈+--=-=PF PF PF PF PF ，所以∈=+2121811PF PF PF PF 32,21[，故选A例9.已知点F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，P 为C 右支上一点.以C 的实轴为直径的圆与线段PF 交于B A ,两点，且B A ,是线段PF 的三等分点，则C 的渐近线方程为（）A.x y 31±= B.x y 526±= C.x y 1225±= D.x y 597±=解析：设AB 的中点为M ，t BM AM ==，则t PB A F 21==，22t a OM -=所以2222t a PF -=，21PF PF ⊥，所以a t a t PF PF 2262221=--=-a t 53=⇒由勾股定理得2597257292222222212=⇒+=-+=+=e a a t a t OM M F c 又5262597)(122=⇒=+=a b abe ，故选B 三、焦点三角形内切圆的性质在圆锥曲线的考查中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体．焦点三角形结合圆，这样的试题难度一定不会小，往往还涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几何的知识．接下来归纳椭圆、双曲线焦点三角形内切圆的相关性质，并作进一步的引申和推广椭圆的焦点三角形指的是椭圆上一点与椭圆的两个焦点所连接成的三角形．椭圆的焦点三角形问题，可以将椭圆定义和性质、三角形的几何性质以及解三角形等进行有机结合．圆是平面几何中非常重要的研究对象，焦点三角形的内切圆问题对于问题转化能力、几何性质的应用能力、数形结合能力提出了更高维度的要求，是解析几何综合问题重点考察内容之一下面先看椭圆焦点三角形内切圆的三个性质：如图1，设21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21F PF ∆的内切圆圆心为),(I I y x I ，且圆I 与21F PF ∆三边相切于点H E D ,,，设),(00y x P ，则有如下性质：性质1：ca PE PD -==证明：由切线长定理得PE PD =，H F D F 11=，EF PE 2=ca H F H F E F PE D F PD c a F F PF PF 222221212121-=--+++⇒-=-+所以ca PE PD -==性质2：0ex x I =，eey y I +=10，其中e 的椭圆的离心率证法1：⇒-=+-+⇒-==-c a c x ex a c a PD H F PF I )(0110ex x I =eeyc a cy y y c a y c S I I F PF +=+=⇒+==∆1)(00021证法2：设),(00y x P ，则0101,ex a PF ex a PF -=+=由内心的坐标公式得000022)()()(2ex c a c ex a c ex a cx x I =+-⨯-+⨯++=，eeyc a cy y I +=+=122200性质3：椭圆焦点三角形21F PF ∆的旁切圆与x 轴相切于顶点（当点P 点位于y 轴左侧时，切于左顶点，当点P 点位于y 轴右侧时，切于右顶点）证明：设旁切圆与x 轴切于点T ，则由切线长定理得PN PM =，T F N F 22=，TF M F 11=所以TF F F PM PF T F M F 221111+=+⇒=TF c PN PF a 2222+=+-⇒=-⇒N F a 22T F c 22+c a N F T F -==⇒22，所以点T 的横坐标为a ，所以T 为右顶点，即21F PF ∆的旁切圆与x 轴相切于顶点双曲线焦点三角形内切圆的重要性质性质1：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上不同于左右顶点的任何一点，则21F PF ∆的内切圆与x 轴切于双曲线的顶点（当点P 在双曲线的右支上时，切点为右顶点，当点P 在双曲线的左支上时，切点为左顶点）证明：由切线长定理得C F A F B F A F PC PB 2211,,===所以a A F A F B F PB C F PC PF PF 2211221=-=--+=-又cA F A F 221=+两式相加得c a A F +=2，所以c a OA O F +=+2，所以a OA =，所以点A 是双曲线的右顶点性质2：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点),(00y x P 是双曲线上不同于左右顶点的任何一点，),(I I y x I 是21F PF ∆的内切圆圆心为，且圆I 与21F PF ∆的三边切于点H E D ,,，则c a H F D F +==11，a x I =证明：由性质1可知内切圆与x 轴切于右顶点，所以a x I =由切线长定理得ca H F D F +==11性质3：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，过右焦点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线于B A ,两点，若2121,F BF F AF ∆∆的内切圆圆心为21,I I ，半径分别为21,r r ，则（1）21,I I 在直线a x =上；（2）221)(a c r r -=；（3）2cot 221θ=r r 证明：由性质1可知21,I I 在直线a x =上因为21,I I 分别为2121,F BF F AF ∆∆的内心，所以2212,I F I F 分别平分1212,F BF F AF ∠∠，所以022190=∠I F I 所以2122θ=∠F F I ，221θ=∠F HI ，又a c H F -=2所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2cot )(2tan )(2cot )(22122121θθθr r a c r r a c r a c r 从以上性质的证明过程中可以看出，这些性质的背后隐含着椭圆的定义、双曲线的定义、内切圆的定义、三角形全等、切线长定理、中位线定理等基础知识；性质的证明需要具有一定的数学抽象、逻辑推理与数学运算能力，可以考查学生对应核心素养维度的发展水平．另外证明过程中用到了数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法．这些都是学生应该掌握的基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，说明该考点不超纲，可以作为命题的出发点典型例题（一）定值问题例1.已知椭圆1162522=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上异于长轴端点的动点，21F PF ∆的内心为I =PF PI 解析：设21F PF ∆内切圆切2PF 于M ，则=PF PI 235=-=-=c a PM 例2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上不同于左右顶点任意一点，点G I ,分别为21F PF ∆的内心、重心．当IG 恒与x 轴垂直时，椭圆的离心率是解析：设点),(00y x P ，则)3,3(00y x G ，)1,(00e ey ex I +，因为当IG 恒与x 轴垂直，所以300xex =解得31=e 注：若IG 恒与y 轴垂直，则3100y e ey =+，解得21=e 例3.已知椭圆1162522=+y x 左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上一点，21F PF ∆的内心为I ，若内切圆半径为1，则=PI 解析：由题知53=e ，设),(00y x P ，则381831000=⇒==+y y e ey ，代入椭圆方程得3550=x 即点)38,355(P ，所以50==ex x I ，即)1,5(I ，所以=PI 22)138()5355(-+-5=（二）轨迹问题例4.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上不同于左右顶点的动点，21F PF ∆的内心为I ，则点I 的轨迹方程为解析：设点),(),,(00y x P y x I ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==y c c a y x ca x e ey y ex x 00001，因为点P 在椭圆上，所以1)(1)(22222222222222=++⇒=++bc y c a c x b c y c a a c x a ，所以点I 的轨迹方程为1)(222222=++b c y c a c x )0(≠y 例5.双曲线191622=-y x 的左、右焦点分别21,F F ，P 为双曲线右支上的点，21F PF ∆内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（）A.1B.2C.3D.4解析：因为4==a x I ，所以圆心I 到y 轴的距离为4，故选D例6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，则点B 的轨迹是（）A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线解析：延长B F 2交1PF 于点M ，因为PI 平分21PF F ∠的角平分线，所以2PF PM =又a PF PF 221=-，所以a MF 21=，又B 为2MF 的中点，O 为21F F 的中点，所以a MF OB ==121，所以点B 的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆，故选B 例7.已知)5,22(P 在双曲线14222=-by x 上，其左、右焦点分别为21,F F ，21F PF ∆的内切圆切x 轴于点M ，则2MF MP ⋅的值为（）A.122- B.122+ C.222- D.222+解析：将)5,22(P 代入双曲线方程得5=b ，所以3=c ，)0,3(2F ，21F PF ∆的内切圆切x 轴于点M ，所以M 为双曲线的右顶点，所以)0,2(M ，所以)5,222(-=MP ，)0,1(2=MF ，所以=⋅2MF MP 222-，故选C例8.点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为左、右焦点，21F PF ∆的内切圆与x 轴相切于点N ，若点N 为线段2OF 中点，则双曲线离心率为（）A.12+ B.2C.2D.3解析：易知点N 为右顶点，又点N 为线段2OF 中点，所以22=⇒=e a c ，故选B 提升训练1.已知21,F F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，P 是以21F F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，则这个椭圆的离心率为（）A.13- B.13+ C.213- D.213+解析：易知02190=∠PF F ，又12212F PF F PF ∠=∠，所以01202130,60=∠=∠F PF F PF 所以1330sin 60sin 90sin 000-=+=e ，故选A2.（2022·重庆一中高一期末）已知B A ,为椭圆E 的左，右焦点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为0120，则E 的离心率为（）A.23 B.36 C.23或36 D.23或313-解析：若0120=∠AMB ，则2360sin 0==e 若0120=∠ABM ，则c MA c MB 32,2==，所以213322222-=+==c c c a c e 故选D3.（2022·贵州遵义·高二期末）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 左右焦点分别为21,F F ，P为C 上除左右端点外一点，若21cos 21=∠F PF ，31cos 12=∠F PF ，则椭圆C 的离心率为A.634- B.7325- C.5337- D.5627-解析：由21cos 21=∠F PF ，31cos 12=∠F PF 得23sin 21=∠F PF ，322sin 12=∠F PF 所以6223322213123)sin(sin 122121+=⨯+⨯=∠+∠=∠F PF F PF PF F 所以5627322236223sin sin sin 122121-=++=∠+∠∠=F PF F PF PF F e ，故选D4.（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为A.34 B.334 C.4D.364解析：因为130cos 30sin 22022102=+e e 即4312221=+e e ，所以由柯西不等式得31643431311()33111(11(2221221221=⨯=++≤⋅+⋅=+e e e e e e ⇒3341121≤+e e ，故选B 5.（2022·四川成都·模拟预测）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，右顶点为B ，点A 在椭圆上，满足022160=∠=∠ABF AF F ，则椭圆的离心率为（）A.23 B.313- C.332- D.13-解析：因为221ABF AF F ∠=∠，所以21AF F ∆∽BA F 1∆，所以=⇒=2112111AF AF F F BF AF )(2121c a c BF F F +=⋅，所以)(21c a c AF +=，所以)(222c a c a AF +-=所以02030tan 60sin ))(22()(22121b c a c a c a c S F PF =⨯+-⨯+⨯=∆)1(4))1(2)1(22(3)(33))(2)(22(43222e e e e e c a c a c c a c a -=+-+⇒-=+-+⇒0410523=+-+⇒e e e 0)46)(1(2=-+-⇒e e e =⇒e 313-，故选B6.（2022·江西上饶·高二期末）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为C 上一点，且02160=∠PF F ，213PF PF =，则C 的离心率为（）A.22 B.621 C.47 D.32解析：因为213PF PF =，又a PF PF 221=+，所以2,2321a PF a PF ==所以16930tan 60sin 223212202021=⇒=⨯⨯⨯=∆a b b a a S F PF ，所以47)(12=-=a b e ，故选C 7.（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ，2BF 的延长线交C 于Q ，Q F BQ 1=，则C 的离心率=e （）A.21 B.32 C.22 D.33解析：不妨设221===a BF BF ，t QF =2，θ221=∠BF F ，则t QF -=41，又Q F BQ 1=，所以12242=⇒=-=t t BF ，所以31==QF BQ ，所以312cos =θ所以33sin 31sin 212=⇒=-θθ，所以==θsin e 33，故选D 8.已知椭圆1422=+y x 上一动点P 到两个焦点21,F F 的距离之积取最大值时，21F PF ∆的面积为（）A.1B.3C.2D.32解析：4)2(22121=+≤⋅PF PF PF PF ，当且仅当21PF PF =即点P 为短轴端点时等号成立，此时321==∆bc S F PF ，故选B9.已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则=21PF PF （）A.2B.4C.6D.8解法1：434330cot 60sin 2121210202121=⋅⇒=⋅⇒=⋅=∆PF PF PF PF b PF PF S F PF ，选B 解法2：4211260cos 120221=-=-=b PF PF ，故选B 10.（2019·新课标Ⅲ）已知F 是双曲线C ：15422=-y x 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若OF OP =，则OPF ∆的面积为（）A.23B.25 C.27 D.29解析：OF OP =，所以02190=∠PF F ，所以2545cot 52121021=⨯⨯==∆∆F PF OPF S S ，选B 11.设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为（）A.5B.2C.25 D.1解析：145cot 0221==∆b S F PF ，故选D12.已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则P 到x 轴的距离为（）A.23 B.26 C.3 D.6解析：26230cot 100021=⇒⨯=⨯=∆y y S F PF ，故选B13.（2022攀枝花市第十五中学校高二期中（理））设21,F F 为椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在此椭圆上，且221-=⋅PF PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.1B.2C.3D.2解析：设θ=∠21PF F ，则21cos 2cos cos 12cos 221-=⇒-=+==⋅θθθθb PF PF 0120=⇒θ，所以36tan 12tan0221=⨯==∆θb S F PF ，故选C 14.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为解析：516545cot 0221=⇒⨯==∆P P F PF y y b S ，所以点P 到x 轴的距离为51615.如图，21,F F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2OPF ∆是面积为3的正三角形，则=2b 解析：由题意知02190=∠PF F 且3221=∆F PF S ，所以323245tan 22=⇒=b b 16.已知点P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一点，21,F F 为椭圆的左、右焦点，若21PF F ∠060=，且21F PF ∆的面积为243a ，则椭圆的离心率是解析：434330tan 2220221=⇒==∆a b a b S F PF ，所以21)(12=-=a b e 17.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，21F PF ∆内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论成立的是（）A.OBOA > B.OBOA < C.OBOA = D.OB OA ,大小关系不确定解析：延长B F 2交1PF 于点M ，因为PQ 平分21PF F ∠的角平分线，所以2PF PM =又a PF PF 221=-，所以a MF 21=，又B 为2MF 的中点，O 为21F F 的中点，所以a MF OB ==121，而A 为双曲线的顶点，所以a OA =，所以OB OA =，故选C 18.已知点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上除顶点外的一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，,,1221βα=∠=∠F PF F PF ，双曲线离心率为e ，则=2tan2tanβα（）A.11+-e e B.11-+e e C.1122-+e e D.1122+-e e 解法1：2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 22cos 2sin2sin sin )sin(βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+-=-+=-+++=-+=e 2tan 2tan 2tan 2tan βαβα+-=⇒=2tan2tanβα11-+e e ，故选B 解法2：易知21F PF ∆的内切圆切x 轴于点)0,(a A -，设内切圆半径为r ，则ac r-=2tan αa c r +=2tan β，所以=2tan 2tanβα11-+=-+e e a c a c ，故选B 18.已知点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于左、右顶点的任意一点，21,F F 是左、右焦点，连接21,PF PF ，作21F PF ∆的旁切圆（与线段P F PF 12,延长线及21F F 延长线均相切），其圆心为'O ，则动圆圆心'O 的轨迹所在曲线是（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析：因为21F PF ∆的旁切圆与x 轴切于椭圆的右顶点，即圆心'O 在x 轴上射影为椭圆的右顶点，所以圆心'O 的轨迹为直线a x =，故选B19.（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，经过1F 的直线交椭圆于B A ,，2ABF ∆的内切圆的圆心为I ，若05432=++IF IA IB ，则该椭圆的离心率是（）A.55 B.32 C.43 D.21解析：由05432=++IF IA IB 及奔驰定理可知，不妨设5,4,322===AB BF AF ，则3125434=⇒=++=a a ，所以点A 为椭圆的短轴的端点，设θ221=∠AF F ，则=⇒=-⇒=θθθsin 53sin 21532cos 255，所以=e =θsin 55，故选A 20.（2022·江苏苏州·模拟预测）已知21,F F 是椭圆)1(1122>=-+m m y m x 的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若21F AF ∆的内切圆半径的最大值是33，则椭圆的离心率为A.12- B.21 C.22 D.13-解析：设),(00y x A ，则ey e r +=10，可知当点A 在短轴端点时21F AF ∆的内切圆半径最大，此时433113311=⇒=+-⇒=+-⨯m m m e m e ，所以21=e ，故选B21.（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是双曲线上一点，且0)(22=⋅+P F OF OP （O 为坐标原点），若21F PF ∆内切圆的半径为2a，则C 的离心率是（）A.13+ B.213+ C.216+ D.16+解析：由0)(22=⋅+P F OF OP 可知21PF PF ⊥，又21F PF ∆内切圆的半径为2a，所以2321a c a a c PF +=++=，222ac a a c PF -=+-=，由勾股定理得=⇒=--⇒-++=e e e ac a c c 0544)2()23(42222216+，故选C 22.（2022·江西·上高二中模拟预测）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上的一点，I 为21F PF ∆的内心，且PI IF IF 2221=+，则双曲线的离心率为（）A.31B.52 C.33 D.2解析：022222121=++⇒=+IP IF IF PI IF IF ，结合奔驰定理不妨设12=PF ，21=PF ，221=F F ，所以212222=-==a c e ，故选D 23.（2022·湖北·高二月考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若21F AF ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为A.2B.3C.35 D.47解析：由题意知21F AF ∆的内切圆圆心)4,(b a I ，设渐近线的倾斜角为θ2，则ab =θ2tan 且)(4tan a c b -=θ，所以350583))(4(1)(4222=⇒=+-⇒=---e e e a b a c b a c b，故选C 24.椭圆1C ：)0(1222>=+a y a x 与双曲线2C ：)0(1222>=-m y mx 有公共焦点，左、右焦点分别为21,F F ，曲线1C ,2C 在第一象限交于点P ,I 是21F PF ∆内切圆圆心，O 为坐标原点，H F 2垂直射线PI 于H 点，2=OH ，则I 点坐标是解析：由题意知2==m OH ，所以3=c ，2=a ，点I 的横坐标为2，设θ=∠21PF F由0902cot 12tan121=⇒⨯=⨯=∆θθθF PF S ，所以3232(45tan 1021-=⇒+=⨯=∆r r S F PF 所以I 点坐标是)32,2(-25.已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，满足2tan22tan1221F PF F PF ∠=∠，该双曲线的离心率为解析：设21F PF ∆内切圆半径为r ，易知内切圆与x 轴切于点)0,(a -，所以32tan 2tan 2tan 22tan12211221=⇒+⨯=-⇒∠=∠⇒∠=∠e ac ra c r F IF F IF F PF F PF 26.（2022·四川达州·高二期末）已知点)0,3(),0,3(21F F -分别是双曲线C ：12222=-b y a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2=PQ ，则C 的离心率为解析：设2MPF ∆的内切圆分别与21,MF MF 切于点B A ,，则由切线长定理得MBMA =Q F B F 22=，PQ P A =，所以P A MA MF PF MP MF MF a +=-+=-=2221224222=⇒==--++a PQ Q F MB Q F PQ ，又3=c ，所以23=e 27.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左､右焦点，P 为曲线上一点，02160=∠PF F ，21F PF ∆的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e ，则=2e 解析：设21F PF ∆的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则3260sin 220cR c R ===，所以32c r =，设βα=∠=∠1221,F IF F IF ，则0601806022=+⇒=++βαβα所以)(32)(321)(32)(32tan tan 1tan tan )tan(3a c c a c c a c ca c c -⋅+--++=-+=+=βαβαβα7122=⇒e 28.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）已知双曲线C ：)0,0(18222>>=-b a y a x 的左､右焦点为21,F F ，若点P 在双曲线的右支上，且21F PF ∆的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为解析：易知1=a ，所以3=e 综合训练1.（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆1162522=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，若61=PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.8B.28 C.16D.216解析：由题知42=PF ，621=F F ，所以211F F PF =，所以2843642121=-⨯⨯=∆F PF S 故选B2.（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，动点P 在椭圆上，若21F PF ∆的面积的最大值为12，则此椭圆上使得21PF F ∠为直角的点P 有（）A.0个B.1个C.2个D.4个解析：由题意知3412=>=⇒=c b bc ，所以当点P 在短轴端点处时0245<∠OPF ，所以02190<∠PF F ，所以椭圆上使得21PF F ∠为直角的点P 有0个，故选A3.（2022·江西鹰潭·高二期末）椭圆C ：1244922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，若81=PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.48B.40C.28D.24解析：由题知62=PF ，1021=F F ，所以21PF PF ⊥，所以24862121=⨯⨯=∆F PF S ，选D 4.（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设21,F F 是椭圆1241222=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且31cos 21=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为（）A.6B.26 C.8D.28解析：设θ221=∠PF F ，则22tan 36cos 311cos 2cos 221=⇒=⇒=-=∠θθθPF F 所以26tan 1221==∆θF PF S ，故选B5.（2022北京市第五十七中学高月考）已知椭圆C ：192522=+y x 的左右焦点为21,F F ，BA ,分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A.离心率54=e B.若02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为8C.21F PF ∆的周长为18D.直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值259-解析：4,3,5===c b a ，离心率54=e ，A 正确；若02190=∠PF F ，则945tan 9021==∆F PF S B 错；21F PF ∆的周长为1822=+c a ，C 正确；由第三定义知259-=⋅PB P A k k ，D 正确，选B6.（2022黑龙江·大庆中学高二期末）已知21,F F 分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，使得212F F OP =，设21F PF ∆的面积为S ，若221)(PF PF S -=，则该椭圆的离心率为（）A.31 B.21 C.23 D.35解析：由212F F OP =知21PF PF ⊥，所以2121PF PF S =，所以221)(PF PF S -=9445tan 94844)(22022221221=⇒==⇒-=-+a b b a S S a PF PF PF PF 所以=-=2)(1abe 35，故选D 7.（2022·山西运城·高二期末）已知点21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点，以线段21F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若213PF PF =，则A.1PF 与双曲线的实轴长相等 B.21F PF ∆的面积为223a C.双曲线的离心率为23D.直线023=+y x 是双曲线的一条渐近线解析：由题意21PF PF ⊥，又213PF PF =，所以a PF a PF ==21,3，所以A 错；23321221a a a S F PF =⨯=∆，B 正确；由勾股定理得21094222=⇒+=e a a c ，所以C 错；2612=-=e a b ，所以渐近线方程为x y 26±=即026=±y x ，D 错；故选B 8.（2022·内蒙古赤峰·高三期末）已知双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，211F F PF ⊥，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，则=PI （）A.3342 B.334 C.3343 D.234解析：设内切圆切1PF 于点M ，则31621==a b PF ，334612=+=PF PF ，所以内切圆半径222211=-+=PF F F PF r ，所以3101=-=r PF PM ，所以在PMI ∆中由勾股定理得=+=+=4910022r PM PI 33429.（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线C 的离心率为3，21,F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若21F PF ∆的面积为2，则双曲线C 的实轴长为A.1B.2C.3D.4解析：因为213PF PF =，所以a PF a PF ==21,3，又a c ace 33=⇒==所以3132129cos 22221-=⨯⨯-+=∠a a a a a PF F 322sin 21=∠⇒PF F ，所以1232232121=⇒=⨯⨯⨯=∆a a a S F PF ，所以双曲线C 的实轴长为2，故选B 10.（2022·广西玉林·模拟预测）已知双曲线C ：1222=-y x 的左、右焦点为21,F F ，P为双曲线右支上的一点，02130=∠F PF ，I 是21F PF ∆的内心，则下列结论错误的是A.21F PF ∆是直角三角形B.点I 的横坐标为1C.232-=PI D.21F PF ∆的内切圆的面积为π解析：设t PF =2，则t PF +=21，由余弦定理得2)2(32212)2(30cos 220=⇒+⨯⨯-++=t t t t 所以22=PF ，41=PF ，3221=F F ，所以02290=∠F PF ，A 正确；P 在右支上，所以点I 的横坐标为1=a ，B 正确；内切圆半径1321212-=-+=PF F F PF r ，D 错；所以232)13())13(2(22-=-+--=PI ，C 正确；故选D11.（2022·全国·高三专题练习）P 是双曲线M ：15422=-y x 右支上的一点，21,F F 是左、右焦点，42=PF ，则21F PF ∆的内切圆半径为（）A.9154 B.3152 C.9152 D.315解析：42=PF ，81=PF ，621=F F ，所以1611842366416cos 21=⨯⨯-+=∠PF F ，所以16153sin 21=∠PF F ，所以=⇒⨯⨯⨯=++=∆r r S F PF 161538421)684(2121315，故选D 12.设P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的点，21,F F 是焦点，双曲线的离心率是34，且02190=∠PF F ，21F PF ∆的面积是7，则=+b a （）A.73+ B.79+ C.10D.16解析：7745cot 0221=⇒==∆b b S F PF ，又33471)(122=⇒=+=+=a a a b e 所以=+b a 73+，故选A13.在直角坐标系xOy 中，)0,(),0,(21c F c F -分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，位于第一象限上的点),(00y x P 是双曲线C 上的一点，21F PF ∆的外心M 的坐标为)33,0(c ，21F PF ∆的面积为232a ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.xy ±= B.x y 22±= C.x y 21±= D.xy 2±=解析：21F PF ∆的外心M 的坐标为)33,0(c ，所以33tan tan 1221=∠=∠F MF F MF 0122130=∠=∠⇒F MF F MF ，所以021********1,120=∠=∠=∠MF F PF F MF F 所以23230cot 2221=⇒==∆aba b S F PF ，所以渐近线方程为x y 2±=，故选D 二、多选题14.已知P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 是21F PF ∆的内心，双曲线的离心率为e ，2121,,F IF IPF IPF ∆∆∆的面积分别为,,21S S 3S ，且321kS S S +=，下列结论正确的为（）A.ek = B.ek 1=C.I 在定直线a x =上D.若m PF =1，则a m PF 22-=或am PF 22+=解析：321kS S S +=ke kc a r c k r PF r PF 1221212121=⇒=⇒⋅⋅⋅+=⇒，A 错；B 正确；点P 在右支上，所以21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点)0,(a A ，所以I 在定直线a x =上，C 正确；因为点P 在右支上，所以a m a PF PF 2212-=-=，D 错；故选BC15.（2022福建福州·高三）已知P 是双曲线E ：15422=-y x 在第一象限上一点，21,F F 分别是E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为215．则以下结论正确的是（）A.点P 的横坐标为25B.2321ππ<∠<PF F C.21F PF ∆的内切圆半径为1 D.21PF F ∠平分线所在的直线方程为0423=--y x 解析：设),(00y x P ，3,5,2===c b a ，2521530021=⇒=⨯=∆y y S F PF ，代入双曲线方程得30=x ，A 错；232tan 2152cot 5212121=∠⇒=∠=∆PF F PF F S F PF =∠⇒21tan PF F35122tan 12tan221221>=∠-∠=PF F PF F ，所以2321ππ<∠<PF F ，B 正确；13225200=+⨯=+=x a ay y I 所以21F PF ∆的内切圆半径为1，C 正确；内心)1,2(I ，)25,3(P ，所以21PF F ∠平分线所在的直线方程为)2(231-=-x y ，即0423=--y x ，D 正确；故选BCD16.（2022江苏省天一中学高三）已知点P 是双曲线E ：191622=-y x 的右支上一点，21,F F 为双曲线E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为20，则下列说法正确的是（）A.点P 的横坐标为320 B.21F PF ∆的周长为380C.21PF F ∠大于3πD.21F PF ∆的内切圆半径为23解析：42050021=⇒==∆y y S F PF ，代入双曲线方程得3200=x ，A 正确；21F PF ∆的周长为38052320452200=⨯+⨯⨯=+-++c a ex a ex ，B 正确；202cot 92121=∠=∆PF F S F PF 2092tan 21=∠⇒PF F 3319360)209(12092tan 221<=-⨯=∠⇒PF F ，所以321π<∠PF F ，C 错；23203802121=⇒=⨯⨯=∆r r S F PF ，D 正确；故选ABD三、填空题17.设21,F F 是椭圆C ：)20(14222<<=+m m y x 的两个焦点，),(00y x P 是C 上一点，且满足21F PF ∆的面积为3，则0x 的取值范围是解析：由340221=-=∆y m S F PF 22043m y -=⇒，所以1)4(342220=-+m m x )4(1242220m m x --=⇒，又20<<m ，所以]4,0()4(22∈-m m ，所以]1,0[]1,0[020∈⇒∈⇒x x 18.设21,F F 为椭圆C ：1422=+y x 的两个焦点．M 为C 上点，21F MF ∆的内心I 的纵坐标为32-，则21PF F ∠的余弦值为解析：02121902tan132)(32(21=∠⇒∠⨯=-+=∆PF F PF F S F PF ，所以0cos 21=∠PF F 19.双曲线C ：1322=-y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在C 上且34tan 21=∠PF F ，O 为坐标原点，则=OP 解析：71cos 34tan 2121=∠⇒=∠PF F PF F ，所以771132cos 1221221=-⨯=∠-=PF F b PF PF 又2221==-a PF PF ，所以182221=+PF PF，由平行四边形的性质得536164)(2)2(222212212=⇒=+⇒+=+OP OP PF PF F F OP 20.已知椭圆C 的焦点为)0,(),0,(21c F c F -，过点2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，点A 关于坐标原点的对称点为B ，且01120=∠B AF ，3321=∆AB F S ，则此椭圆的标准方程为解析：由题意知四边形21BF AF 为平行四边形，且02130=∠F AF ，02160=∠AF F ，所以233230tan 202211=⇒===∆∆b b S S F AF AB F ，133232211=⇒=⨯==∆∆c c c S S F AF AB F 所以32=a ，所以椭圆的方程为12322=+y x。
盘点圆锥曲线中的焦点三角形
盘点圆锥曲线中的焦点三角形
圆锥曲线中的焦点三角形是指在椭圆、双曲线和抛物线上取三个焦点，并以这三个焦
点为顶点构成的三角形。
下面将分别盘点这三个圆锥曲线中的焦点三角形。
1.椭圆的焦点三角形：
椭圆是一个闭合的曲线，它的焦点三角形有一些特点。
椭圆的焦点在椭圆的中心处，即三个焦点共线且在一条直线上。
椭圆的焦点三角形是等腰三角形，即三条边的长度相等，这是因为椭圆的定义就是到
焦点的距离之和等于常数。
3.抛物线的焦点三角形：
抛物线是一个开放的曲线，它的焦点三角形也有一些特点。
抛物线只有一个焦点，因此抛物线的焦点三角形只有两个顶点是焦点。
抛物线的焦点三角形的底边是抛物线的准线，即与焦点垂直的直线。
抛物线的焦点三角形的底边长度是常数，而顶点到底边的距离相等，这是因为抛物线
的定义就是焦点到顶点的距离等于准线的长度。
总结：
圆锥曲线中的焦点三角形在椭圆和双曲线中具有相同的特点，即焦点共线、等腰三角形，而在抛物线中有一些特殊的特点，即只有两个顶点是焦点，并且底边是抛物线的准线。
在数学研究和应用中，焦点三角形广泛应用于几何学和物理学等领域。
专题(20)圆锥曲线焦点三角形求解策略
高三第二轮专题复习专题（20）——圆锥曲线焦点三角形 一、椭圆的焦点三角形1、椭圆焦点三角形的一般性质（1）判断椭圆焦点三角形的形状例1、椭圆1121622=+y x 上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状. 解：由椭圆定义：3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF . 又4||21=F F ，故满足：,||||||2122122PF F F PF =+故21F PF∆为直角三角形. （2）椭圆焦点三角形的面积例2、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.解：θc os 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+==)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF ，θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF ， 2tan cos 1sin 21222121θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆. 变式：已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 212121=，则12F PF ∆的面积为（ ）. A.33 B.32 C.3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ122tan9tan 302F PF S b θ∆∴==︒= A.（3）椭圆焦点三角形顶角的最大值.例3、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点.证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：222222212121212121212()2422cos 122r r F F r r rr c a c rr rr rr θ+-+---===-22222221222221112()2a c a c e r r a --≥-=-=-+（当且仅当12r r =时取“=”，此时点P 为短轴端点）. 变式：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
1 ， 2
1 PH , 即2 PF PH 2
∴ PA 2 PF PA PH
4 / 35
当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为
a2 xA 4 1 3 c
y M D C 5 x
A
0B
例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方 程。 分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中 的 A、M、C 共线，B、D、M 共线） 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中 的 MC MD ） 。 解：如图， MC MD ， ∴ AC MA MB DB 即6 MA MB 2 ∴ MA MB 8 （*）
∴ 4 y 0 4 x0
2
9 ， 2 1 4 x0
2 4 y 0 4 x0
9 9 2 (4 x0 1) 2 1 2 4 x0 4 x0 1
6 / 35
≥ 2 9 1 5,
y0
5 4
当 4x02+1=3 即 x 0
2 2 5 5 , ) 时， ( y 0 ) min 此时 M ( 2 2 4 4
方程推导了一遍，较繁琐！ 例 4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=
3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5
分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半 径） ，可转化为边长的关系。
3 sinA 5 3 ∴ AB AC BC 5
x0 y 0 k 0 (其中 K 是直线 AB 的斜率) a2 b2
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题指的是在一个圆锥曲线上，给定焦点和一个点P 的坐标，求得由焦点和该点P构成的三角形的面积。
首先，我们需要了解圆锥曲线和焦点的概念。
圆锥曲线是指在三维空间中一个由直线与一个射线共用一个端点且直线在射线上方的几何图形。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
焦点是指在一个几何图形或曲线上与该图形或曲线中的点有特殊关系的点。
要计算由焦点和点P构成的三角形的面积，我们可以利用三角形的面积公式。
三角形的面积可以用其底边和高来计算。
在这个问题中，底边是焦点和点P之间的距离，高是点P到焦点所在的直线的垂直距离。
首先，我们可以使用两点间距离公式计算焦点和点P之间的距离。
假设焦点的坐标为F(x1, y1, z1)，点P的坐标为P(x2, y2, z2)，则焦点和点P之间的距离为
√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
然后，我们需要计算点P到焦点所在的直线的垂直距离。
这个垂直距离也可以被称为焦距。
焦距可以通过焦点到点P之间的线段与焦点所在的直线的垂直距离来计算。
最后，我们可以利用三角形的面积公式：面积 = 1/2 * 底边 * 高，来计算出由焦点和点P构成的三角形的面积。
需要注意的是，在计算过程中，我们要保证点P在圆锥曲线上，以确保三角形的存在。
综上所述，通过给定焦点和点P的坐标，我们可以计算出由这两 points 构成的三角形的面积。
这个问题涉及到了圆锥曲线的性质和三角形面积的计算方法，通过运用相关的几何知识，我们可以解决这个问题。
高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
什么是焦点三角形？
定义：
椭圆（双曲线）上任意一点与两个焦点所组成的三角形叫做焦点三角形，它是由焦距和焦半径构成的特别的三角形。
其中焦点三角形的面积也是一个非常重要的几何量。
怎么求焦点三角形的面积呢？先看一道例题
公式推导：
同样的方法可以也可以证明得到双曲线的焦点三角形面积公式。
公式如下：
接下来在给出关于焦点三角形顶角的一个结论：
这个结论可以借助焦点三角形面积公式的推导过程来继续说明：
实战演练：。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。
在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。
适用条件需要注意。
例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。
例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。
对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。
PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。
例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。
题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。
在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。
题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。
例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。
圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法
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焦点三角形中的中点问题
总结词
焦点三角形中的中点问题主要涉及到中点的性质和相关 的计算公式。
详细描述
在焦点三角形中，中点问题主要涉及到中点的性质和相 关的计算公式。例如，在椭圆中，如果一个三角形的一 个顶点与两个焦点的中点相连，那么这个三角形必然是 直角三角形。这是因为中位线的性质，即三角形的中位 线平行于底边且等于底边的一半。类似地，在双曲线中 也有类似的结论。解决这类问题的关键在于理解中点的 性质和相关的计算公式，以及如何应用这些性质和公式 来解决问题。
对于双曲线，标准方程为`(x-a)^2/b^2 - (y-c)^2/d^2 = 1`，其中`(a,b,c,d)`是双曲线的实半轴、虚半 轴、焦点到中心的距离和准线到中心的距离。
圆锥曲线的性质和特点
• 圆锥曲线具有封闭性、对称性和渐近性等性质。封闭性是指 椭圆和双曲线在坐标系中画出来是一个封闭的图形，而抛物 线则无限延伸。对称性是指椭圆和双曲线关于坐标轴对称， 而抛物线则关于准线对称。渐近性是指双曲线在远离中心的 区域逐渐接近两条直线，而椭圆则逐渐接近一个圆。
椭圆上点的离心率性质
在椭圆上，随着点在曲线上的位置变 化，离心率的变化规律是单调递增或 递减的。具体来说，当点从椭圆的长 轴向短轴移动时，离心率单调递增； 当点从短轴向长轴移动时，离心率单 调递减。
抛物线上点的离心率性 质
在抛物线上，随着点在曲线上的位置 变化，离心率的变化规律也是单调递 增或递减的。但是，与椭圆不同，抛 物线上的离心率变化规律取决于曲线 的形状（开口方向）。对于开口向右 的抛物线，离心率单调递增；对于开 口向左的抛物线，离心率单调递减。
VS
焦点三角形的弦长随着圆锥曲线类 型的变化而变化：在相同条件下， 椭圆中的弦长比双曲线中的弦长短 。
圆锥曲线焦点三角形面积公式
圆锥曲线焦点三角形面积公式：S=b²·tan（θ/2）。
圆锥曲线定理：
即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面PI'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面PI'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。
又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面PI与PI'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d 为准线。
图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。
证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。
设平面PI′与PI的交角为a，圆锥的母线（如PQ）与平面PI的交角为b。
设P到平面PI 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=a。
又PE=PF，因为两者同为圆球之切线。
如此则PR sina=PH=PE sinb=PF sinb。
圆锥曲线基本题型总结
圆锥曲线基本题型总结Revised on November 25, 2020圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】2.设B－4,0)，C4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为)＋y29＝1 y≠0) ＋x29＝1 y≠0)＋y216＝1 y≠0) ＋x29＝1 y≠0) 【注：检验去点】3.已知A0，－5)、B0,5)，|P A|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为)A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线【注：2a<|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F1－3,0)，F23,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是)A.||PF1|－|PF2||＝5B.||PF1|－|PF2||＝6C.||PF1|－|PF2||＝7D.||PF1|－|PF2||＝0 【注：2a<|F1 F2|是双曲线】5.平面内有两个定点F1－5,0)和F25,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是)－y29＝1x≤－4) －y216＝1x≤－3)－y29＝1x≥4) －y216＝1x≥3) 【注：双曲线的一支】6.如图，P为圆B：x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O1：x2＋(y＋3)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A：x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.已知动圆M过定点B－4,0)，且和定圆x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为)－y212＝1 x>0) －y212＝1 x<0)－y212＝1 －x212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】9.若动圆P过点N－2,0)，且与另一圆M：x－2)2＋y2＝8相外切，求动圆P的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 )A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线12.已知动圆M 经过点A 3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A 3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） 1)求点M 的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ． 双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )17.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a-c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________. 【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c-a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF ·2PF ＝0，则|1PF ＋2PF |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是 )【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) C ．2【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题： 椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2 tan sin cos 121sin 21 cos 1 -)cos (12 (1)-(2) (2) 2a (1) COS 2-2 1b 2b PF PF S 2b PF PF 4c 4a PF PF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得 双曲线的焦点三角形面积： 2tan b S 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积． 【注：小题中可以直接套用公式。
圆锥曲线题型分类(焦点三角形,中点弦,最值)
题型一 焦点三角形问题（利用椭圆，双曲线定义）例1椭圆12922=+y x 的焦点为21,F F ,点P 在椭圆上，若1PF =4，则______2=PF ，21PF F ∠的大小为 __________________ 例 2 椭圆)0(12222 b a by a x =+的左右焦点为21,F F ，P 是C 上的点，212F F PF ⊥,︒=∠3021F PF ,则C 的离心率为 ________________例 3 已知双曲线122=-y x 的焦点为21,F F ，点P 是双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为____________________例4双曲线)0,0(12222 b a by a x =-的两焦点为21,F F ，若在C 上存在一点P ，使21PF PF ⊥，︒=∠3021F PF ,则C 的离心率为 ________________例5已知椭圆)0(1222b a y ax =+的左右焦点为21,F F ，P 是椭圆上一点，,︒=∠6021PF F ,则21PF PF •的值为________________题型二 中点弦问题（点差法）1．已知椭圆，以及椭圆内一点P （4，2），则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ ）A ．B ．C ． 2D ． ﹣22．已知A （1，2）为椭圆内一点，则以A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（ ）A ． x +2y+4=0B ． x +2y ﹣4=0C ． 2x+y+4=0D ． 2x+y ﹣4=03．椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ． 3x+2y ﹣12=0B ． 2x+3y ﹣12=0C ． 4x+9y ﹣144=0D ． 9x+4y ﹣144=04．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（ ） A ． 2 B ． ﹣2 C ． D ．5．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x ﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（ ）A ． （）B ． （﹣，）C ． （，﹣）D ． （﹣，）题型三 最值问题（利用定义，或建立函数关系式） 1椭圆192522=+y x 上一点P 到两个焦点距离之积为m ，求m 的最大值，并求出当m 取得最大值时P 点的坐标。
解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法〔点参数、K 参数、角参数〕7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型〔1〕中点弦问题 〔2〕焦点三角形问题〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题 〔4〕圆锥曲线的有关最值〔围〕问题 〔5〕求曲线的方程问题1．曲线的形状--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程〔6〕存在两点关于直线对称问题 〔7〕两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法〔1〕椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
〔2〕双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离〞互相转化。
〔3〕抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法〞。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法〞，即设弦的两个端点A(*1,y 1),B(*2,y 2),弦AB 中点为M(*0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求〞法，具体有：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有02020=+k by a x 。
圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析
圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。
下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。
一、定值问题例1. 椭圆上一点P ，两个焦点x a y ba b 222210+=>>()， 的内切圆记为，求证：点P 到的切)0,()0,(21c F c F ，-12F PF ∆M e M e 线长为定值。
证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵|F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a －2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕．点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。
二、动点轨迹问题 例2、已知椭圆上一动点P ，两个焦点， x a y ba b 222210+=>>())0,()0,(21c F c F ，-的内切圆记为，试求圆心M 的轨迹方程 。
12F PF ∆M e 解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义有，由等比定理有即||sin ||sin ||sin[()]PF PF F F 1212180βααβ==-+°，又由合分比定理知1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a c αβαβαβαβ+=⇒=++++。
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圆锥曲线焦点、焦点三角形问题13.（2009江西卷文）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A ．32 B ．2 C ．52D ．3【解析】由tan 62c b π==2222344()c b c a ==-,则2c e a ==,故选B. 【答案】B20.（2009湖南卷文）抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0） 【解析】由28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，故选B. 【答案】B29.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。
若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为24y x =，()()()2111122122222212121212124,,,,4441y x A x y B x y x x y x y y y y x x x x y y ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩--=-∴==-+∴则有，两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x【答案】y =x39.（2009年上海卷理）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上一点，且21PF ⊥.若21F PF∆的面积为9，则b =____________. 【解析】依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙=+2222121214||||18||||2||||cPF PF PF PF aPF PF ，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。
【答案】340.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .(1)求椭圆G 的方程 (2)求21F F A k ∆的面积(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G ?请说明理由.解（1）设椭圆G 的方程为：22221x y a b+= （0a b >>）半焦距为c ;则212a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得6a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ , 22236279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：221369x y +=. (2 )点K A 的坐标为(),2K -1212112222K A F F S F F =⨯⨯=⨯=V （3）若0k ≥，由01215210120622 κκ+=--++可知点（6，0）在圆k C 外，若0k <，由01215210120)6(22 κκ-=---+-可知点（-6，0）在圆k C 外；∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G .62.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，离心率2e =顶点到渐近线的距离为5。
（1）求双曲线C 的方程；(2)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,[,2]3AP PB λλ=∈ ，求AOB ∆面积的取值范围。
方法一 解（Ⅰ）由题意知，双曲线C 的顶点（0，a）到渐近线0ax by -=，5=所以ab c =由22221ab c a cb ac c a b ⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎪⎩得 所以曲线C 的方程是2y 421x -= （Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C 的两条渐近线方程为2y x =±设(,2),,2),0,0A m m Bn n m n ->>（ 由,),AP PB P λλλλλ=uu u r uu r m-n 2(m+n)得点的坐标为（1+1+ 将P 点的坐标代入222(1)1,44y x λλ+-=化简得mn=因为2,AOB θ∠=14tan()2,tan ,sin 2225πθθθ-===又,OA OB ==所以111sin 22()122AOB S OA OB mn θλλ∆=∙∙==++ 记111()()1,[,2]23S λλλλ=++∈则211()(1)2S λλ'=-由()01S λλ'==得 又S （1）=2，189(),(2)334S S ==当1λ=时，AOB ∆面积取到最小值2，当当13λ=时，AOB ∆面积取到最大值83所以AOB ∆面积范围是8[2,3]方法二（Ⅰ）由题意知，双曲线C 的顶点（0，a）到渐近线0ax by -=，55ab c ==由222521ab c a cb ac c a b⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎪⎩得 所以曲线C 的方程是2y 421x -=. （Ⅱ）设直线AB 的方程为,y kx m =+ 由题意知2,0k m <>由2,),222y kx m m m A y x k k =+⎧⎨=--⎩得点的坐标为（由2,),222y kx m m mB y xk k =+⎧-⎨=-++⎩得点的坐标为（121,(),()122122m m AP PB P k k k kλλλλλ=-++-++-+得点的坐标为（uu u r uu r将P 点的坐标代入21x -=2y 4得2224(1)4m k λλ+=- 设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为（0，m ）AOB S ∆=AOQ BOQ S S ∆∆+.22111()222114()2222411()12A B A B OQ x OQ x m x x m m m m k k k λλ=+=-=+=-+-=++g g g65.（2009湖北卷文）（本小题满分13分）如图，过抛物线y 2＝2PX (P ﹥0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点， 自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1 (Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1:(Ⅱ)记△FMM 1、、△FM 1N 1、△FN N 1的面积分别为S 1、、S 2、，S 3，试判断S 22＝4S 1S 3是否成立，并证明你的结论。
（1） 证明 方法一 由抛物线的定义得11,,MF MM NF NN ==1111,MFM MM F NFN NN F ∴∠=∠∠=∠如图，设准线l 与x 的交点为1F111////MM NN FF Q111111,F FM MM F F FN NN F ∴∠=∠∠=∠而0111111180F FM MFM F FN N FN ∠+∠+∠+∠= 即0111122180F FM F FN ∠+∠=0111190F FM F FN ∴∠+∠=故11FM FN ⊥方法二 依题意，焦点为(,0),2p F 准线l 的方程为2px =- 设点M,N 的坐标分别为1122,),,),M x y N x y （（直线MN 的方程为2px my =+，则有 11121112(,),(,),(,),(,)22p pM y N y FM p y FN p y --=-=-由222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y mpy p --= 于是，122y y mp +=，212y y p =-22211120FM FN p y y p p ∴⋅=+=-=，故11FM FN ⊥（Ⅱ）解 22134S S S =成立，证明如下：方法一 设1122(,),(,)M x y N x y ，则由抛物线的定义得1112||||,||||22p pMM MF x NN NF x ==+==+，于是 11111111||||()||222pS MM F M x y =⋅⋅=+21211211||||||22S M N FF p y y =⋅⋅=-31112211||||()||222pS NN F N x y =⋅⋅=+222131211221114(||)4()||()||22222p p S S S p y y x y x y =⇔-=⨯+⋅+22212121212121[()4][()]||424p p p y y y y x x x x y y ⇔+-=+++将11222,2p x my p x my ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩与122122y y mp y y p +=⎧⎨=-⎩代入上式化简可得 22222222()()p m p p p m p p +=+，此式恒成立。
故22134S S S =成立。
方法二 如图，设直线MN M 的倾角为α，12||,||MF r NF r == 则由抛物线的定义得1113||||,||||MM MF r NN NF r ====11111////,,MM NN FF FMM FNN απα∠=∠=-于是22211322111sin ,sin()sin 222S r S r r απαα==-= 在1FMM ∆和1FNN ∆中，由余弦定理可得2222222211111222||22cos 2(1cos ),||22cos 2(1cos )FM r r r FN r r r αααα=-=-=+=+由（I ）的结论，得2111||||2S FM FN =⋅ 2222222221112121311||||4(1cos )(1cos )sin 444S FM FN r r r r S S ααα∴=⋅=⋅⋅⋅-+==即22134S S S =，得证。
10. 【2014全国2高考理第10题】设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ）A.B.C. 6332D. 94【答案】D【解析】由题意可知：直线AB 的方程为3)34y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D. 【考点】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.（2010浙江文数）（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为（A ）x （B ±y=0（C ）x =0 （D ±y=0解析：选D ，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题（2010安徽理数）5、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为A 、⎫⎪⎪⎝⎭B 、⎫⎪⎪⎝⎭C 、⎫⎪⎪⎝⎭D 、)5.C【解析】双曲线的2211,2a b ==，232c =，2c =，所以右焦点为⎫⎪⎪⎝⎭. 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用222c a b =+求出c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为21b =或22b =，从而得出错误结论.。