直线与圆高考真题

合集下载

历届高考直线与圆试题汇编

历届高考直线与圆试题汇编专题九：解析几何第二十五讲直线与圆一、选择题1.(2018全国卷Ⅲ) 直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆 (x-2)²+y²=2 上，则ΔABP 面积的取值范围是：A。

[2,6]B。

[4,8]C。

[2,32]D。

[22,32]2.(2018天津) 已知圆 x+y-2x=0 的圆心为 C，直线 y=3-x相交于 A，B 两点，则ΔABC 的面积为：3.(2018北京) 在平面直角坐标系中，记 d 为点P(cosθ,sinθ) 到直线 x-my-2=0 的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为：A。

1B。

2C。

3D。

44.（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C：(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a>b>0) 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为：A。

√(3/32)B。

1/√(3/32)C。

√(3/8)D。

1/√(3/8)5.（2017新课标Ⅲ）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上。

若AP=λAB+μAD，则λ+μ 的最大值为：A。

3B。

2√2C。

5D。

26.（2015山东）一条光线从点 (-2,-3) 射出，经 y 轴反射后与圆 (x+3)²+(y-2)²=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为：A。

-2/5 或 5/2B。

-5/2 或 2/5C。

-2/3 或 3/2D。

-3/2 或 2/37.（2015新课标2）已知圆 C1：(x-1)²+y²=1，圆 C2：(x-2)²+y²=4，则圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在直线的斜率为：A。

1/3B。

1/2C。

2/3D。

3/48.（2015新课标2）过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1,-7) 的圆交于 y 轴于 M、N 两点，则 MN 的长度为：A。

高中数学直线和圆的方程十年高考题(带详细解析) 知识点+例题

直线和圆的方程一、选择题1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A.95B.91C.88D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0 D.|x |－|y |=04.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（）A.1，－1B.2，－2C.1D.－16.（2002全国理）圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y =33x 的距离是（） A.21 B.23 C.1D.37.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A （co s 80°,sin80°）,B （co s 20°，sin20°），则|AB |的值是（）A.21B.22C.23D.18.（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.)3,6[ππB.)2,6(ππC.)2,3(ππD.]2,6[ππ9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922y x +＝1，③x 2＋42y ＝1，④42x ＋y 2＝1．其中与直线x +y －5=0仅有一个交点的曲线是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④10.（2001全国文，2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（）A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 11.（2001上海春，14）若直线x =1的倾斜角为α，则α（）A.等于0B.等于4π C.等于2π D.不存在12.（2001天津理，6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |=|PB |，若直线P A 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程是（）A.x +y －5=0B.2x －y －1=0C.2y －x －4=0D.2x +y －7=013.（2001京皖春，6）设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是（）A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x =y 对称的是（） A.x 2－x ＋y 2＝1 B.x 2y ＋xy 2＝1 C.x －y =1 D.x 2－y 2＝115.（2000京皖春，6）直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是（） A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A.y =3xB.y =－3xC.y =33xD.y =－33x17.（2000全国文，8）已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，12π）内变动时，a 的取值范围是（）A.（0，1）B.（3,33） C.（33，1）∪（1，3） D.（1，3）18.（1999全国文，6）曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（） A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称19.（1999上海，13）直线y =33x 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x －2）2+y 2=3的位置关系是（）A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点20.（1999全国，9）直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为（）A.6πB.4π C ．3πD.2π21.（1998全国，4）两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（）A.A 1A 2＋B 1B 2＝0B.A 1A 2－B 1B 2＝0C.12121-=B B A A D.2121A A B B =122.（1998上海）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x +ay +c =0与bx －sin B ·y +sin C =0的位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直23.（1998全国文，3）已知直线x =a （a >0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（）A.5B.4C.3D.224.（1997全国，2）如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 等于（）A.－3B.－6C.－23 D.32 25.（1997全国文，9）如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（）A.［0，2］B.［0，1］C.［0，21］ D.［0，21） 26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（）A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D.经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 27.（1995全国文，8）圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切28.（1995全国，5）图7—1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（）A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 29.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y =2x 的距离是（） A.25B.5C.23D.25图7—130.（2003上海春，2）直线y=1与直线y=3x+3的夹角为_____.31.（2003上海春，7）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x －1）2+（y－a）2=1相切，则a=_____.32.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y ＋8＝0距离的最小值为．33.（2002北京理，16）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为．34.（2002上海文，6）已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．35.（2002上海理，6）已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．36.（2002上海春，8）设曲线C1和C2的方程分别为F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0，则点P（a，b） C1∩C2的一个充分条件为．37.（2001上海，11）已知两个圆：x2＋y2＝1①与x2＋（y－3）2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：38.（2001上海春，6）圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为.39.（2000上海春，11）集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是_____.40.（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是.41.（1994上海）以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是.42.（2003京春文，20）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A、B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.44.（2002全国文，21）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55，求该圆的方程.46.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.47.（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=lo g8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝lo g2x的图象交于C、D 两点.（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.答案解析1.答案：B解析：圆心坐标为（0，0），半径为 1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d =22||b a c +=1，即a 2+b 2=c 2.所以，以|a |，|b |，|c |为边的三角形是直角三角形.评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a 、b 、c 之间的关系，以确定三角形形状.2.答案：B 解析一：由y =10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）转化为求满足不等式y ≤10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）所有整数y 的值.然后再求其总数.令x =0，y 有11个整数，x =1，y 有10个，x =2或x =3时，y 分别有9个，x =4时，y 有8个，x =5或6时，y 分别有7个，类推：x =13时y 有2个，x =14或15时，y 分别有1个，共91个整点.故选B.解析二：将x =0，y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB 内部和边上的整点共有26176+=91（个）评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.3.答案：D解析：设到坐标轴距离相等的点为（x ，y ） ∴|x |＝|y | ∴|x |－|y |＝0 4.答案：C解析：圆2x 2＋2y 2＝1的圆心为原点（0，0）半径r 为22，圆心到直线x sin θ＋y －1＝0的距离为：1sin 11sin |1|22+=+=θθd∵θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z∴0≤sin 2θ＜1 ∴d ＞22∴d ＞r ∴圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是相离．图7—2解析：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1 ∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r∴11)1(|11|2=++++a a ∴a ＝－16.答案：A解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A 答案． 7.答案：D解析：如图7—3所示，∠AOB ＝60°，又|OA |＝|OB |＝1 ∴|AB |＝1 8.答案：B方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨⎧=-+-=k k y kx y x kx y 3232632)32(306323 ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧>>00y x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++032326032)32(3kk k∴k ∈（33，＋∞）∴倾斜角范围为（2,6ππ）方法二：如图7—4，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－3），当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.9.答案：D解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D. 10.答案：C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件,再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程.A 不满足条件.∴选C.解析二:设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ,因为圆心C 在直线x +y －2=0上,∴b =2－a . 由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1 因此所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视.图7—3图7—4解析：直线x =1垂直于x 轴，其倾斜角为90°. 12.答案：A解析：由已知得点A （－1，0）、P （2，3）、B （5，0），可得直线PB 的方程是x +y －5=0. 评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 13.答案：B解析一：设P =1+bi ，则Q =P （±i ）， ∴Q =（1+bi ）（±i ）=±b i ，∴y =±1 解析二：设P 、Q 点坐标分别为（1，t ），（x ，y ）， ∵OP ⊥OQ ，∴1t·xy=－1，得x +ty =0 ①∵|OP |=|OQ |，∴2221y x t +=+，得x 2+y 2=t 2+1②由①得t =－y x ，将其代入②，得x 2+y 2=22y x +1，（x 2+y 2）（1－21y）=0.∵x 2+y 2≠0，∴1－21y=0，得y =±1. ∴动点Q 的轨迹为y =±1，为两条平行线. 评述：本题考查动点轨迹的基本求法. 14.答案：B解析：∵点（x ，y ）关于x =y 对称的点为(y ，x ),可知x 2y ＋xy 2＝1的曲线关于x =y 对称． 15.答案：B 解析：直线（23-）x +y =3的斜率k 1＝32-，直线x +（32-）y =2的斜率k 2＝23+，∴k 1·k 2＝)23)(32(+-＝－1．16.答案：C解析一：圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式（x +2）2＋y 2＝1，圆心C （－2，0）．设过原点的直线方程为y =kx ，即kx －y =0.由1|2|2+-k k ＝1，解得k =±33，∵切点在第三象限， ∴k ＞0，所求直线方程为y =33x ．解析二：设T 为切点，因为圆心C （－2，0），因此CT =1，OC =2，△OCT 为Rt △.如图7—5，∴∠CO T=30°，∴直线OT 的方程为y =33x . 评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美图7—5结合，可迅速、准确得到结果.17.答案：C解析：直线l 1的倾斜角为4π，依题意l 2的倾斜角的取值范围为（4π－12π，4π）∪（4π，4π+12π）即:（6π，4π）∪（4π，3π）,从而l 2的斜率k 2的取值范围为:（33，1）∪（1,3）. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.18.答案：B解析：由方程（x +2）2+（y －2）2=4如图7—6所示，故圆关于y =－x 对称故选B.评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴.19.答案：C解析：直线y =33x 绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y =3x .已知圆的圆心（2，0）到y =3x 的距离d =3，又因圆的半径r =3，故直线y =3x 与已知圆相切.评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 20.答案：C解析：如图7—7所示，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+4032322y x y x消y 得：x 2－3x +2=0 ∴x 1=2，x 2=1 ∴A （2，0），B （1，3）∴|AB |=22)30()12(-+-=2又|OB |＝|OA |=2∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =3π，故选C.评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB 的倾斜角为120°.则等腰△OAB 的底角为60°.因此∠AOB =60°.更加体现出平面几何的意义.21.答案：A图7—6图7—7解法一：当两直线的斜率都存在时，－11B A ·（22B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==0001221B A B A 或，同样适合A 1A 2＋B 1B 2＝0，故选A. 解法二：取特例验证排除.如直线x +y =0与x －y =0垂直，A 1A 2＝1，B 1B 2＝－1，可排除B 、D. 直线x =1与y =1垂直，A 1A 2＝0，B 1B 2＝0，可排除C ，故选A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.22.答案：C解析：由题意知a ≠0，s i n B ≠0，两直线的斜率分别是k 1=－a A sin ，k 2=Bbsin . 由正弦定理知k 1·k 2=－a A sin ·Bbsin =－1，故两直线垂直. 评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.23.答案：C解析:方程（x －1）2+y 2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x =a 表示与x 轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x =－1和x =3，由于a >0，取a =3.故选C.评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题. 24.答案：B解析一：若两直线平行，则22123-≠-=a ，解得a ＝－6，故选B.解析二：利用代入法检验，也可判断B 正确.评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力. 25.答案：A解析：圆的标准方程为：（x －1）2+（y －2）2=5.圆过坐标原点.直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心C （1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.当直线l 过圆心与x 轴平行时，k =0，当直线l 过圆心与原点时，k =2. ∴当k ∈［0，2］时，满足题意.评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法. 26.答案：B解析：A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）图7—8不能用方程bya x +=1表示；D 中过A （0，b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 27.答案：C解析：将两圆方程分别配方得（x －1）2＋y 2＝1和x 2＋（y －2）2＝4，两圆圆心分别为O 1（1，0），O 2（0，2），r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝52122=+，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以应选C.评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法. 28.答案：D解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D.评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力. 29.答案：B解析：直线方程可化为2x －y =0，d =55|5|=-. 评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力.30.答案：60°解析：因为直线y =3x +3的倾斜角为60°，而y =1与x 轴平行，所以y =1与y =3x +3的夹角为60°.评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想.31.答案：a =4±5解析：因过A （－1，0）、B （0，2）的直线方程为：2x －y +2=0.圆的圆心坐标为C （1，a ），半径r =1.又圆和直线相切，因此，有：d =5|22|+-a =1，解得a =4±5. 评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识. 32.答案：2解析：圆心到直线的距离d ＝5|843|++＝3 ∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2 33.答案：22解法一：∵点P 在直线3x +4y +8=0上.如图7—9. ∴设P （x ，432-- x ），C 点坐标为（1，1）， S 四边形P ACB ＝2S △P AC图7—9＝2·21·|AP |·|AC |＝|AP |·|AC |＝|AP | ∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形P ACB 的面积最小． ∴|PC |2＝（1－x ）2＋（1＋2＋43x ）2＝9)145(1025162522++=++x x x ∴|PC |min ＝3 ∴四边形P ACB 面积的最小值为22．解法二：由法一知需求|PC |最小值，即求C 到直线3x +4y +8=0的距离，∵C （1，1），∴|PC |=5|843|++=3，S P ACD =22. 34.答案：34解法一：圆的圆心为（0，1）设切线的方程为y ＝k （x ＋2）.如图7—10. ∴kx ＋2k －y ＝0 ∴圆心到直线的距离为1|12|2+-k k ＝1∴解得k ＝34或k ＝0， ∴两切线交角的正切值为34．解法二：设两切线的交角为α∵tan212=α，∴tan α＝3441112tan 12tan22=-=-αα． 35.答案：34解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11. 当斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2 ∴kx －y ＋2＝0 ∴圆心到切线的距离为1|2|2++-k k ＝1 ∴k ＝43，图7—10图7—11即tan α＝43 当斜率不存在时，直线x ＝0是圆的切线又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为34 36.答案：F 1（a ，b ）≠0，或F 2（a ，b ）≠0，或F 1（a ，b ）≠0且F 2（a ，b ）≠0或C 1∩C 2=∅或P ∉C 1等解析：点P （a ，b ）∉C 1∩C 2，则可能点P 不在曲线C 1上；可能点P 不在曲线C 2上；可能点P 既不在曲线C 1上也不在曲线C 2上；可能曲线C 1与曲线C 2不存在交点.37.答案：可得两圆对称轴的方程2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0 解析：设圆方程（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2 ① （x －c ）2＋（y －d ）2＝r 2 ② （a ≠c 或b ≠d ），则由①－②，得两圆的对称轴方程为：（x －a ）2－（x －c ）2+（y －b ）2－（y －d ）2=0，即2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0.评述：本题考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和推广数学命题的能力.38.答案：（x －1）2+（y －1）2=1 解析一：设所求圆心为（a ，b ），半径为r . 由已知，得a =b ，r =|b |=|a |.∴所求方程为（x －a ）2+（y －a ）2=a 2又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a ）2+a 2=a 2，∴a =b =r =1. 故所求圆的方程为：（x －1）2+（y －1）2=1. 解析二：因为直线y =x 与x 轴夹角为45°. 又圆与x 轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r =1.评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果. 39.答案：3或7解析：当两圆外切时，r =3，两圆内切时r =7，所以r 的值是3或7．评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义. 40.答案：x +y －4=0解析一：已知圆的方程为（x －2）2+y 2=9，可知圆心C 的坐标是（2，0），又知AB 弦的中点是P （3，1），所以k CP =2301--=1，而AB 垂直CP ，所以k AB =－1.故直线AB 的方程是x +y －4=0.解析二：设所求直线方程为y －1=k （x －3）.代入圆的方程，得关于x 的二次方程：（1+k 2）x 2－（6k 2－2k +4）x +9k 2－6k －4=0，由韦达定理：x 1+x 2=221426k k k ++-=6，解得k =1.解析三：设所求直线与圆交于A 、B 两点，其坐标分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-9)2(9)2(22222121y x y x②－①得（x 2+x 1－4）（x 2－x 1）+（y 2－y 1）（y 2+y 1）=0 又AB 的中点坐标为（3，1），∴x 1+x 2=6，y 1+y 2=2. ∴1212x x y y --=－1，即AB 的斜率为－1，故所求方程为x +y －4=0.评述：本题考查直线的方程与圆的有关知识.要特别注意圆所特有的几何性质. 41.答案：（x +2）2+（y －3）2=4 解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x +2）2+（y －3）2=4.42.解：设动点P 的坐标为P （x ，y ）由||||PB PA =a （a >0），得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得：（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a ≠1时，得x 2+221)1(2aa c -+x +c 2+y 2=0.整理，得：（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2当a =1时，化简得x =0.所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆；当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.43.（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x .解法二：设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |，所以|x +1|=22)1(y x +-.化简得：y 2=4x .（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0，解得x 1=31，x 2=3. ① ②图7—12所以A 点坐标为（332,31），B 点坐标为（3，－23）， |AB |=x 1+x 2+2=316. 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++.)316()32()131()316()32()13(222222y y 由①－②得42+（y +23）2=（34）2+（y －332）2，解得y =－9314. 但y =－9314不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 得y =23，即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=334928y -+y 2， |BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当∠CAB 为钝角时，co sA =||||2||||||222AC AB BC AC AB ⋅-+<0.即|BC |2 >|AC |2+|AB |2，即9256334928342822++->++y y y y ，即y >392时，∠CAB 为钝角. 当|AC |2>|BC |2+|AB |2，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即y <－3310时，∠CBA 为钝角. 又|AB |2>|AC |2+|BC |2，即2234283349289256y y y y++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y. 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 解法二：以AB 为直径的圆的方程为（x －35）2+（y +332）2=（38）2. 圆心（332,35-）到直线l ：x =－1的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G （－1，－332）. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中，∠ACB 不可能是钝角.因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为)31(33332-=-x y . 令x =－1得y =932. 过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +2333=（x －3）. 令x =－1得y =－3310.又由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 解得y =23，所以，当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <－3310或y >932（y ≠23）.评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.44.解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1=0． ①因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2，所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33，直线PM 的方程为y =±33（x ＋1）．② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0．解得x ＝2＋3，x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）．直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1．45.解：设圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 令x =0，得y 2－2by +b 2+a 2－r 2=0. |y 1－y 2|=222122124)(a r y y y y -=-+=2，得r 2=a 2+1①令y =0，得x 2－2ax +a 2+b 2－r 2=0， |x 1－x 2|=r b r x x x x 224)(2221221=-=-+，得r 2=2b 2②由①、②，得2b 2－a 2=1又因为P （a ，b ）到直线x －2y =0的距离为55，得d =555|2|=-b a ，即a －2b =±1. 综上可得⎩⎨⎧=-=-;12,1222b a a b 或⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解得⎩⎨⎧-=-=11b a 或⎩⎨⎧==11b a于是r 2=2b 2=2.所求圆的方程为（x +1）2+（y +1）2=2或（x －1）2+（y －1）2=2. 46.解：设所求圆的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |. 由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2＝2b 2，又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1，从而有2b 2－a 2＝1又点P （a ，b ）到直线x －2y =0距离为d ＝5|2|b a -，所以5d 2＝|a －2b |2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1 当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值，由此有⎩⎨⎧=-=1222a b b a 解方程得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 由于r 2＝2b 2，知r ＝2，于是所求圆的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2评述：本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.47.（1）证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知x 1＞1，x 2＞1，点A （x 1，lo g 8x 1），B （x 2，lo g 8x 2）.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =，又点C 、D 的坐标分别为（x 1，lo g 2x 1），（x 2，lo g 2x 2）由于lo g 2x 1＝2log log 818x ＝3lo g 8x 1，lo g 2x 2＝2log log 828x ＝3lo g 8x 2，所以OC 的斜率和OD 的斜率分别为228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====.由此得k OC ＝k OD ，即O 、C 、D 在同一条直线上.（2）解：由BC 平行于x 轴，有lo g 2x 1＝lo g 8x 2，解得 x 2＝x 13 将其代入228118log log x x x x =，得x 13lo g 8x 1＝3x 1lo g 8x 1. 由于x 1＞1，知lo g 8x 1≠0，故x 13＝3x 1，x 1＝3，于是点A 的坐标为（3，lo g 83）.评述：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力.48.解：（1）当1－2t ＞0即0＜t ＜21时，如图7—13，点Q 在第一象限时，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y －2= t （x +2t ）.令x =0，得y =2t 2＋2，点K 的坐标为（P ，2t 2＋2）.t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(21)1(2222⋅+-+=-=)1(232t t t -+-=当－2t +1≤0，即t ≥21时，如图7—14，点Q 在y 轴上或第二象限，S （t ）为△OP Ｌ的面积，直线PQ 的方程为y －t =－t1（x －1），令x =0得y =t +t 1，点L 的坐标为（0，t +t 1），S △OPL ＝1)1(21⋅+t t)1(21tt += 所以S （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21 )1(21210 )1(232t t t t t t t（2）当0＜t ＜21时，对于任何0＜t 1＜t 2＜21，有S （t 1）－S （t 2）＝2（t 2－t 1）［1－（t 1＋t 2）＋（t 12＋t 1t 2＋t 22）］＞0，即S （t 1）＞ S （t 2），所以S （t ）在区间（0，21）内是减函数. 图7—13图7—14当t ≥21时，对于任何21≤t 1≤t 2，有S （t 1）－S （t 2）＝21（t 1－t 2）（1－211t t ），所以若21≤t 1≤t 2≤1时，S （t 1）＞S （t 2）；若1≤t 1≤t 2时，S （t 1）＜S （t 2），所以S （t ）在区间［21，1］上是减函数，在区间［1，＋∞)内是增函数，由2［121＋（21）2－(21)3］＝45＝S （21）以及上面的证明过程可得，对于任何0＜t 1＜21≤t 2＜1，S （t 2）＜45≤S （t 1），于是S （t ）的单调区间分别为（0，1］及［1，＋∞)，且S （t ）在（0，1]内是减函数，在［1，＋∞)内是增函数.49.解：如图7—15，设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：P ={M ||MN |=λ|MQ |}，（λ>0为常数）因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.设点M 的坐标为（x ，y ），则2222)2(1y x y x +-=-+λ整理得（λ2－1）（x 2+y 2）－4λ2x +（1+4λ2）=0当λ=1时，方程化为x =45，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直，交x 轴于点（45，0）；当λ≠1时，方程化为（x －1222-λλ）2+y 2=)1(3122-+λλ它表示圆心在（1222-λλ，0），半径为|1|3122-+λλ的圆. 评述：本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.图7—15。

高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析

专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4，以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。

历年高考直线与圆真题以及解析

（2）假设存在满足题意的直线l，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立直线与圆的方程，由直线与圆相交可得△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0，由数量积的计算公式可得 • =（1+k2） + +4=6，解可得k的值，验证是否满足△＞0，即可得答案．
【详解】（1）根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，
【详解】（1）直线与直线垂直，
，解得．
（2）当时，直线化为：不满足题意．
当时，可得直线与坐标轴的交点，．
直线在两轴上的截距相等，
，解得：．
该直线的方程为，即 .
11.
（1）；（2）存在，理由见解析
【分析】
（1）根据题意得到，再解不等式即可得到答案.
（2）首先假设存在得以为直径的圆过原点，设，，直线与圆联立得到，再根据韦达定理和圆的性质即可得到答案.
化简可得：即为点Q的轨迹方程.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查直线恒过定点问题和轨迹问题，属于中档题.
10.
（1）；（2）．
【分析】
（1）利用两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.
（2）分成和两种情况，结合直线在两轴上的截距相等求得，由此求得所求直线方程.
②当切线斜率存在时，设切线斜率为，
则切线方程为，即
因为圆心到切线距离等于半径，
所以，解得，此时切线方程为，
综上所述，过点的圆的切线方程为和．
(2)因为即，为圆上任意一点，
所以即原点到圆上一点的直线的斜率，
令，则原点到圆上一点的直线的方程为，即

高考数学试题分类汇编——直线与圆

高考数学试题分类汇编直线与圆一．选择题：1.（全国一10）若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点，则（ D ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．2211a b+≥12.（全国二3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1B ．3C ．2D ．53.（全国二6）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（ D ） A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-4.（安徽卷10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ D ）A ．[3,3]B ．(3,3)C ．33[33-D ．33(,)33-5.（安徽卷11）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( C )A ．34B ．1C ．74D ．56.（北京卷6）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ A ）A ．0B ．12C ．1D ．27.（福建卷2）“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的C A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.（福建卷10)若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是DA.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)9.（广东卷6）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ C ）A 、10x y ++=B 、10x y +-=C 、10x y -+=D 、10x y --=10.（海南卷10）点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（ B ）A. [0，5]B. [0，10]C. [5，10]D. [5，15]11.（湖北卷5）在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组,1x y x ⎧≤⎪⎨⎪⎩的点(,)x y 的集合用阴影表示为下列图中的C12.（湖南卷3．已条变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( C )A ．4 B.3 C.2 D.113.（辽宁卷3）圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ B ） A ．(22)k ∈-，B ． (33)k ∈-，C ．(2)(2)k ∈--+∞，，∞D ．(3)(3)k ∈--+∞，，∞ 14.（辽宁卷9）已知变量x y ，满足约束条件1031010y x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ B ） A ．4B ．2C ．1D ．4-15.（山东卷11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭16.（陕西卷5）直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ A ）A 3或3-B ．3-33C ．33-3D ．3-3317.（四川卷6）直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+（Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+18.（天津卷2）设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ D ） A ．2B ．3C ．4D ．519.（浙江卷10）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于C （A ）12 （B ）4π （C ）1 （D ）2π 20.（重庆卷3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为C(A)1)1()1(22=++-y x(B)1)1()1(22=+++y x(C) 1)1()1(22=-+-y x(D)1)1()1(22=-++y x二．填空题：1.（全国一13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为．92.（福建卷14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值范围是 . (,0)(10,)-∞⋃+∞3.（广东卷12）若变量x ，y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =3x +2y 的最大值是________。

高考数学直线与圆的位置关系选择题

高考数学直线与圆的位置关系选择题1. 直线l与圆O的方程分别为x-y+1=0和x^2+y^2-2x-2y+2=0，直线l与圆O的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合2. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合3. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合4. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合5. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合6. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合7. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合8. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合9. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合10. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合11. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合12. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合13. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）B. 相切C. 相交D. 重合14. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合15. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合16. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离C. 相交D. 重合17. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合18. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合19. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切D. 重合20. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合21. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合22. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交23. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合24. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合25. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合26. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合27. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合28. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合29. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合30. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合31. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合32. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合33. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合34. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合35. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）B. 相切C. 相交D. 重合36. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合37. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合38. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离C. 相交D. 重合39. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合40. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合41. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切D. 重合42. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合43. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合44. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交45. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合46. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合47. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合48. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合49. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x+2y+1=0，直线l的方程为x+y+1=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合50. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x+3y+5=0，直线l的方程为x+y+2=0，则直线l与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合。

2023年高考数学真题题源解密(新高考全国卷)专题11 直线与圆(解析版)

专题11直线与圆目录一览2023真题展现考向一直线与圆相切考向二直线与圆相交真题考查解读近年真题对比考向一直线与圆相切考向二直线与圆的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与圆相切1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0可化为（x ﹣2）2+y 2＝5，则圆心C （2，0），半径为r =5；设P （0，﹣2），切线为PA 、PB ，则PC =22+22=22，△PAC中，sin �2=5cos �2==3所以sin α＝2sin �2cos �2=2×5×3=154．故选：B ．考向二直线与圆相交2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x ﹣my +1＝0与⊙C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（或﹣2或12或−12）解：由圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心坐标为C （1，0），半径为r ＝2，因为△ABC 的面积为85，可得S △ABC =12×2×2×sin ∠ACB =85，解得sin ∠ACB =45，设12∠ACB ＝θ所以∴2sin θcos θ=45，可得2푠푖푛휃 푠휃푠푖푛2휃+ 푠2휃=45，∴2푡푎푛휃푡푎푛2휃+1=45，∴tan θ=12或tan θ＝2，∴cos θ=cos θ=∴圆心眼到直线x ﹣my +1＝0的距离d===解得m ＝±12或m ＝±2．故答案为：2（或﹣2或12或−12）．【命题意图】考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．【考查要点】常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。

高考数学真题练习——直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系一．选择题（共16小题）1．（2015•重庆）已知直线10x ay +-=是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = )A ．2B ．6C ．D ．2．（2014•全国）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2(r = )A ．8B ．5C ．D3．（2014•福建）已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是( ) A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=4．（2014•北京）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．45．（2014•安徽）过点(P 1)-的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．(0，]6πB ．(0，]3πC ．[0，]6πD ．[0，]3π6．（2014•浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-7．（2014•江西）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π8．（2013•重庆）设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则||PQ 的最小值为( ) A ．6B ．4C ．3D ．29．（2013•陕西）已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定10．（2013•江西）过点引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当ABO ∆的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于( )A B ．C ． D ． 11．（2013•天津）已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则(a = ) A ．12-B ．1C ．2D ．1212．（2013•安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4 D．13．（2012•天津）设m ，n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是( )A．[11+ B ．(-∞，1[13+，)+∞C．[2-2+D ．(-∞，2[222-+，)+∞14．（2012•重庆）对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是( ) A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心15．（2012•陕西）已知圆22:40C x y x +-=，l 为过点(3,0)P 的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能16．（2012•安徽）若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是( ) A ．[3-，1]-B ．[1-，3]C ．[3-，1]D ．(-∞，3][1-，)+∞二．填空题（共10小题）17．（2018•天津）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，(t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为．18．（2017•全国）直线20x -=被圆2220x y x +-=截得的线段长为．19．（2017•上海）若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为．20．（2016•上海）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||AB =则||OA OB +的最小值为．21．（2014•湖北）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 22．（2014•上海）已知曲线:C x =，直线:6l x =，若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为．23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为． 24．（2013•湖北）已知圆22:5O x y +=，直线:cos sin 1(0)2l x y πθθθ+=<<．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = ．25．（2013•浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于． 26．（2013•山东）过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为．三．解答题（共4小题）27．（2017•上海）某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ；（1）若60BAD ∠=︒，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）28．（2015•陕西）如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，BC DE ⊥，垂足为C ．（Ⅰ）证明：CBD DBA ∠=∠；（Ⅱ）若3AD DC =，BC =，求O 的直径．29．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线3y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标的取值范围．30．（2013•四川）已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点．直线:l y kx =与圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+．请将n 表示为m 的函数．直线与圆的位置关系参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2015•重庆）已知直线10x ay +-=是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = )A ．2B ．6C ．D ．【解答】解：圆22:4210C x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，表示以(2,1)C 为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线:10l x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，故有210a +-=，1a ∴=-，点(4,1)A --．(AC ==2CB R ==，∴切线的长||6AB ===．故选：B ．2．（2014•全国）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2(r = )A ．8B ．5C ．D【解答】解：直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，∴圆心(3,2)C 到直线的距离d r ===，25r ∴=．故选：B ．3．（2014•福建）已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是( ) A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=【解答】解：由题意可得所求直线l 经过点(0,3)，斜率为1，故l 的方程是30y x -=-，即30x y -+=，故选：D ．4．（2014•北京）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【解答】解：圆22:(3)(4)1C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径为1，圆心C 到(0,0)O 的距离为5，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6．再由90APB ∠=︒可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得12PO AB m ==，故有6m ，故选：B ．5．（2014•安徽）过点(P 1)-的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0，]6πB ．(0，]3πC ．[0，]6πD ．[0，]3π【解答】解：由题意可得点(P 1)-在圆221x y +=的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为1(y k x +=，即10kx y -+-=．1，即22311k k -++，解得03k ，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，]3π，故选：D ．6．（2014•浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【解答】解：圆22220x y x y a ++-+= 即22(1)(1)2x y a ++-=-，故弦心距d =再由弦长公式可得224a -=+，4a ∴=-，故选：B ．7．（2014•江西）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π【解答】解：如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ，由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线240x y +-=的垂直线段OF ，交AB 于D ，交直线240x y +-=于F ，则当D 恰为OF 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为(0,0)O 到直线240x y +-=的距离为：d ==此时12r d ==∴圆C 的面积的最小值为：245min S ππ=⨯=．故选：A ．8．（2013•重庆）设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则||PQ 的最小值为( ) A ．6B ．4C ．3D ．2【解答】解：过圆心A 作AQ ⊥直线3x =-，与圆交于点P ，此时||PQ 最小，由圆的方程得到(3,1)A -，半径2r =，则||||624PQ AQ r =-=-=．故选：B ．9．（2013•陕西）已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解答】解：(,)M a b 在圆221x y +=外， 221a b ∴+>，∴圆(0,0)O 到直线1ax by +=的距离1d r <=，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B ．10．（2013•江西）过点引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当ABO ∆的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于( )A B ．C ． D ．【解答】解：由y =221(0)x y y +=．所以曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则10k -<<，直线l 的方程为0(y k x -=-，即0kx y -=．则原点O 到l 的距离d =，l则2211ABO k S k ∆-==+==令211t k =+，则ABO S ∆=34t =，即21314k =+时，ABOS ∆有最大值为12．此时由21314k =+，解得k = 故选：D ．11．（2013•天津）已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则(a = ) A ．12-B ．1C ．2D ．12【解答】解：因为点(2,2)P 满足圆22(1)5x y -+=的方程，所以P 在圆上，又过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，所以切点与圆心连线与直线10ax y -+=平行，所以直线10ax y -+=的斜率为：20221a -==-．故选：C ．12．（2013•安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．【解答】解：由22240x y x y +--=，得22(1)(2)5x y -+-=，所以圆的圆心坐标是(1,2)C ，半径r =圆心C 到直线250x y +-+=的距离为1d ===．所以直线直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为4．故选：C ．13．（2012•天津）设m ，n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是( )A ．[11+B ．(-∞，1[13+，)+∞C ．[2-2+D ．(-∞，2[222-+，)+∞【解答】解：由圆的方程22(1)(1)1x y -+-=，得到圆心坐标为(1,1)，半径1r =，直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆相切，∴圆心到直线的距离1d ==，整理得：21()2m n m n mn +++=，设m n x +=，则有214x x +，即2440x x --，2440x x --=的解为：12x =+22x =-∴不等式变形得：(220x x ---+，解得：222x +或222x -，则m n +的取值范围为(-∞，2[222-+，)+∞．故选：D ．14．（2012•重庆）对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是( ) A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心【解答】解：对任意的实数k ，直线1y kx =+恒过点(0,1)，且斜率存在 (0,1)在圆222x y +=内∴对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C ．15．（2012•陕西）已知圆22:40C x y x +-=，l 为过点(3,0)P 的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：22(2)4x y -+=，∴圆心(2,0)C ，半径2r =，又(3,0)P与圆心的距离12d r ==<=，∴点P 在圆C 内，又直线l 过P 点，则直线l 与圆C 相交．故选：A ．16．（2012•安徽）若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是( ) A ．[3-，1]-B ．[1-，3]C ．[3-，1]D ．(-∞，3][1-，)+∞【解答】解：直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点∴圆心到直线10x y -+=2|1|2a ∴+31a ∴-故选：C ．二．填空题（共10小题）17．（2018•天津）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，(t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为12．【解答】解：圆2220x y x +-=化为标准方程是22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径1r =；直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程是20x y +-=，则圆心C到该直线的距离为d ==弦长||22AB =⨯=， ABC ∴∆的面积为111||2222S AB d ==⨯=．故答案为：12． 18．（2017•全国）直线20x -=被圆2220x y x +-=【解答】解：圆2220x y x +-=化为22(1)1x y -+=，设直线20x --=与圆22(1)1x y -+=的交点为A 、B ，圆心为(1,0)O ，线段AB 的中点为D ，半径为1r =则由圆的几何性质可知，OD AB ⊥，且1||2OD ==，||1OA r ==，||2||AB AD ∴===19．（2017•上海）若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为 2 ．【解答】解：圆222440x y x y +-++=，可化为22(1)(2)1x y -++=，P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，||PQ ∴的最大值为2，故答案为2．20．（2016•上海）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||AB =则||OA OB +的最小值为 4 ．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 中点(,)M x y ''． 122x x x +'=，122y y y +'=， ∴12(OA OB x x +=+，12)2y y OM +=，圆22:650C x y x +-+=，22(3)4x y ∴-+=，圆心(3,0)C ，半径2CA =．点A ，B 在圆C 上，AB = 2221()2CA CM AB ∴-=，即1CM =．点M 在以C 为圆心，半径1r =的圆上．312OM OC r ∴-=-=．||2OM ∴，∴||4OA OB +，∴||OA OB +的最小值为4．故答案为：4．21．（2014•湖北）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += 2 ．【解答】解：由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14，∴cos 452==︒=，222a b ∴+=，故答案为：2．22．（2014•上海）已知曲线:C x =，直线:6l x =，若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 [2，3] ．【解答】解：曲线:C x =，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且[2P x ∈-，0]，对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标6x =， 6[22Px m +∴=∈，3]．故答案为：[2，3]．23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为．【解答】解：圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径2r =，点C 到直线直线230x y +-=的距离d ，∴根据垂径定理，得直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为==． 24．（2013•湖北）已知圆22:5O x y +=，直线:cos sin 1(0)2l x y πθθθ+=<<．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = 4 ．【解答】解：由圆的方程得到圆心(0,0)O ，半径r =圆心O 到直线l 的距离1d ==，且11r d d -=->=，∴圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4，即4k =．故答案为：425．（2013•浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于【解答】解：圆22680x y x y +--=的圆心坐标(3,4)，半径为5，=因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长为：2=故答案为：26．（2013•山东）过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为【解答】解：根据题意得：圆心(2,2)，半径2r =，2，(3,1)∴在圆内，圆心到此点的距离d ，2r =，∴最短的弦长为=故答案为：三．解答题（共4小题）27．（2017•上海）某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ；（1）若60BAD ∠=︒，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）【解答】解：（1）1M 半径60tan3034.6=︒≈，2M 半径60tan1516.1=︒≈；（2）设2BAD α∠=，则总造价0.8260tan 0.9260tan(45)y παπα=+︒-，设1tan x α+=，则1812(817)84y x x ππ=+-，当且仅当32x =，1tan 2α=时，取等号，1M ∴半径30，2M 半径20，造价263.8千元．28．（2015•陕西）如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，BC DE ⊥，垂足为C ．（Ⅰ）证明：CBD DBA ∠=∠；（Ⅱ）若3AD DC =，BC =，求O 的直径．【解答】证明：（Ⅰ）DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒， BC DE ⊥，90CBD EDB ∴∠+∠=︒，即CBD BED ∠=∠，AB 切O 于点B ，DBA BED ∴∠=∠，即CBD DBA ∠=∠；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD ==， 2BC =AB ∴=4AC =，则3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =，即26AB AE AD==，故3DE AE AD =-=，即可O 的直径为3．29．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线3y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C 在3y x =-上，也在直线24y x =-上，设切点的横坐标为a ， 243a a -=-，1a ∴=，(1,2)C ∴-．22:(1)(2)1C x y ∴-++=，由题，当斜率存在时，过A 点切线方程可设为3y kx =+，即30kx y -+=1=，解得：125k =-，⋯（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为0x =或1235y x =-+，即0x =或125150x y +-=；（2）设点(,)M x y ，由||2||MA MO =，化简得：22(1)4x y ++=，∴点M 的轨迹为以(0,1)-为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，又点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，1||3CD ∴，其中||CD221(23)3a a ∴+-，解得：1205a． 30．（2013•四川）已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点．直线:l y kx =与圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+．请将n 表示为m 的函数．【解答】解：（Ⅰ）将y kx =代入22(4)4x y +-=中，得：22(1)8120(*)k x kx +-+=，根据题意得：△22(8)4(1)120k k =--+⨯>，即23k >，则k 的取值范围为(-∞，⋃，)+∞；（Ⅱ）由M 、N 、Q 在直线l 上，可设M 、N 坐标分别为1(x ，1)kx ，2(x ，2)kx ，2221||(1)OM k x ∴=+，2222||(1)ON k x =+，22222||(1)OQ m n k m =+=+，代入222211||||||OQ OM ON =+得：22222212211(1)(1)(1)k m k x k x =++++，即21212222221212()2211x x x x m x x x x +-=+=，由(*)得到12281kx x k +=+，122121x x k =+，代入得：222222824()211144(1)k kk m k -++=+，即223653m k =-，点Q 在直线y kx =上，n km ∴=，即n k m =，代入223653m k =-，化简得225336n m -=，由223653m k =-及23k >，得到203m <<，即(m ∈0)(0⋃，根据题意得点Q 在圆内，即0n >，n ∴=则n 与m的函数关系式为(n m =∈0)(0⋃．。

高考数学真题之直线与圆

直线与圆 2019年 1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β 2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．4.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.5（2019全国1文21）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ． 2．（2016年北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为A ．1B ．2CD ．3．（2016年山东）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离4．（2016年全国II 卷）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =A ．−43B ．−34C D ．2 5．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 A ．22(1)(1)1x y -+-= B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=6．（2015安徽）直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或127．（2015新课标2）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34 8．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．22⎡-⎢⎣⎦， 9．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=10．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．411．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m = A ．21 B ．19 C ．9 D ．11-12．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π， 13．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－814．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．15．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π16．（2013山东）过点（3，1）作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=17．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D18．（2013安徽）直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．19．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1123⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 20．（2013陕西）已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定21．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1222．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=23．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)y x =-或1)y x =-C ．1)y x =-或1)y x =-D ．1)y x =-或1)y x =- 24．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件25．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)-∞-∞UC ．[2-D ．(,2)-∞-∞U26．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=27．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )()A ()B ()C ()D 128．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y x =的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 29．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．（33-，33）B ．（33-，0）U （0，33） C ．[33-，33] D ．（-∞，33-）U （33，+∞） 30．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++= C ．220x y x +-= D ．2220x y x +-= 31．（2010广东）若圆心在x 5O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5)5x y +=B ．22(5)5x y ++=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 二、填空题32．(2018全国卷Ⅰ)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =__． 33．(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__．34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为．35．（2017天津）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为．36．（2017山东）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为． 37．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，则点P 的横坐标的取值范围是．38．（2016年天津）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -= 45，则圆C 的方程为__________39．（2016年全国I 卷）设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于,A B 两点，若||23AB =，则圆C 的面积为 .40．（2016年全国III 卷）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.41．（2015重庆）若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．42．（2015湖南）若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于,A B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____． 43．（2015湖北）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B在A 的上方），且||2AB =．（1）圆C 的标准方程为．（2）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为．44．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线2mx y m ---10=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．45．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为．46．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．47．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．48．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为．49．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．50．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．51．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .52．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于______.53．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .54．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .55．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =___56．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__．57．（2010新课标）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为．58．（2010新课标）过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__三、解答题59．（2018全国卷Ⅰ）设抛物线C ：22=y x ，点(2,0)A ，(2,0)-B ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：ABM ABN =∠∠．60．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．61．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点(2,4)A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r 求实数t 的取值范围．62．（2015新课标1）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点，求MN ．63．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ．（I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？64．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上. ylO A（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.65．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22在y 轴上截得线段长为23（I ）求圆心P 的轨迹方程；（II ）若P 点到直线y x =2，求圆P 的方程。

高考数学复习-直线与圆练习试题、参考答案

高考数学复习-直线与圆练习试题第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题(10×4′＝40′)1.直线l 与直线y =1、x-y -7=0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1,-1)，则直线l 的斜率为( )A.23 B.32 C.-32D.-232.点P 在直线2x +y +10=0上，P A 、PB 与圆422=+y x 分别相切于A 、B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为 ( )A.24B.16C.8D.43.已知直线1l ：y =x ,2l ：ax -y =0，其中a 为实数，当这两直线的夹角θ∈(0,12π)时，a 的取值范围为 ( )A.(0，1)B.(33,3) C.(33,1)∪(1,3) D.(1,3) 4.设a 、b 、k 、p 分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到直线的距离，则有( ) A.)1(2222k p k a += B.k =abC.b a 11+=pD.a =-kb5.已知直线x +3y -7=0，kx-y -2=0和x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数k 等于 ( ) A.-3 B.3 C.-6 D.66.若圆222r y x =+(r >0)上恰有相异两点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则r 的取值范围是( ) A.［4，6］ B.[4,6） C.（4,6] D.(4，6)7.直线1l :0=++c by ax ,2l :0=++p ny mx ,则bnam=-1是1l ⊥2l 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.过圆422=+y x 外一点P(4，-1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 ( ) A.4x -y -4=0 B.4x +y -4=0 C.4x +y +4=0 D.4x -y +4=09.倾斜角为60°，且过原点的直线被圆222)()(r b y a x =-+-(r >0)截得弦长恰好等于圆的半径，则a 、b 、r 满足的条件是 ( )A.)3(|3|3a b b a r ≠-=B.)3(|3|23a b b a r ≠-=C.)3(|3|3a b b a r ≠+=D.)3(|3|23a b b a r ≠-=10.直线y =kx +1与圆0922=--++y kx y x 的两个交点关于y 轴对称，则k 为 ( )A.-1B.0C.1D.任何实数第Ⅱ卷 (非选择题共60分)二、填空题(4×3′＝12′)11.若点P (a ,b )与点Q (b +1,a -1)关于直线l 对称，则直线l 的方程是 .12.已知圆16)1()2(22=-+-y x 的一条直径通过直线x -2y -3=0被圆截弦的中点，则该直径所在直线的方程为 .13.关于x 的方程kx +1=21x -有且只有一个实根，则实数k 的取值范围是 . 14.经过点P (-2,4)，且以两圆0622=-+x y x 和422=+y x 的公共弦为一条弦的圆的方程是 .三、解答题(6×8′＝48′)15.若直线1l :x+y+a =0,2l :x+ay +1=0,3l :ax+y +1=0能围成三角形,求a 的取值范围.16.已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转α(0<α<2π)所得直线1l 的方程为3x -y -4=0，若继续绕点P 逆时针方向旋转α-π2，则得2l 的方程为x +2y +1=0，试求直线l 的方程.17.设P 是圆M ：1)5()5(22=-+-y x 上的动点，它关于A (9,0)的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90°到点S ，求|SQ |的最值.18.已知点A (3,0)，点P 在圆122=+y x 的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.19.如图，已知⊙A :425)2(22=++y x ,⊙B :41)2(22=+-y x ,动圆P 与⊙A 、⊙B 都外切. (1)求动圆圆心P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(2)若直线y=kx +1与(1)中的曲线有两个不同的交点1P 、2P ，求k 的取值范围； (3)若直线l 垂直平分(2)中的弦21P P ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.20.已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使得l 被圆C 截得弦AB 为直径的圆过原点?若存在，求出l 的方程;若不存在，说明理由.参考答案1.C 方法1 设直线l 为y=kx+b ，分别与y =1，x-y -7=0联立解得P (-b k ,1)，Q (k b -+17，kb k -+17).由PQ 中点为(1，-1)，∴217=-++-k b b k ，且1＋kb k -+17＝-2，∴k =-32，故选C. 方法2 设P (a ,1)，Q (b +7,b )，因PQ 的中点为(1，-1)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=++121127b b a ，解得⎩⎨⎧-=-=32b a ，故P 为(-2,1),Q 为(4，-3)，∴3224131-=+--==PQ k k ,故选C. 2.C 如图，PAOB S ＝22||||2||2||||21232AO PO PA OA PA PAO -==⋅⋅=⋅∆=24||2-PO . 要求PAOB S 的最小值，只需求|PO |的最小值即可.5212|10002|||22min =+++⨯=PO ，∴8)(min =PAOB S ，故选C.3.C 如图，设直线y=ax 的倾斜角为α, 则α≠4π,∴|α-4π|<12π, ∴6π<α<3π,且α≠4π.a =tan α∈(33,1)∪(1,3).4.A 应用点到直线的距离公式,选A.5.B 如图，设围成四边形为OABC ，因OABC 有外接圆，且∠AOC ＝90°，故∠ABC ＝90°. ∴两条直线x +3y -7=0,kx -y -2=0互相垂直，(-31)·k =-1，即k =3，故选Ｂ.说明运用圆的几何性质是解决圆的问题的有效途径.6.D 如图，设l :4x -3y +25=0，与l 平行且距离等于1的直线为4x -3y +b =0. ∴2015|25|=⇒=-b b 或b =30.第2题图解第3题图解第5题图解1l :4x -3y +20=0，2l :4x -3y +30=0.圆心(0，0)到1l 和2l 的距离分别为5201=d =4，5302=d =6. 故满足条件的r 取值范围(4，6).实际上，圆222r y x =+没有点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则0<r <4，若圆上只有一点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则r =4，类似可求出圆上有三点、四点到直线的距离等于1 的r 的取值范围.7.A 由1-=bnam,可得1l ⊥2l ,∴选A. 8.A 方法1 设切点为A 、B ，则AB ⊥OP ， ∵410401-=---=OP k ，∴4=AB k .故排除B 、C. 又由图可知，AB 在y 轴的截距为负，故排除Ｄ，所以选A.方法2 设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，由AP ⊥OA 可得AP k ·OA k =-1，即1411111-=⋅-+x y x y .∴04112121=+-+y x y x ，又42121=+y x , ∴04411=++-y x .同理可得04422=++-y x ，∴AB 直线为-4x +y +4=0，即4x -y -4=0.方法3 设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则切线P A 为411=+y y x x ，422=+y y x x . ∴4411=-y x ,4422=-y x ，∴A 、B 在直线4x -y -4=0上.另:此题可推广到一般结论，若P (0x ,0y )为圆222r y x =+ (r >0)外一点，过P 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为200r y y x x =+.9.A 直线方程为x y 3=，则圆心(a ,b )到直线3x -y =0的距离为d =2|3|b a -，又因截得弦长恰好等于圆的半径，故d =23r ,∴|3a -b |=3r ，故选A. 10.B 方法1 将y =kx +1代入922=-++y kx y x 中有092)1(22=-++kx x k . 设交点为 A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，∵A 、B 关于y 轴对称，∴021=+x x ， ∴k =0.故选B.方法2 因直线与圆的两个交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )关于y 轴对称 ∴021=+x x ,21y y =,故圆心在y 轴上，∴k =0，故选B.11.x-y -1=0 P 、Q 关于直线l 对称，故1k k PQ ⋅=-1且PQ 中点在l 上， ∴11111=---+-=-=aa bb k k PQ，又PQ 中点为(21++b a ,21-+a b )，第6题图解第8题图解∴l 的方程为y -21-+a b ＝x -21++b a ，即x-y -1=0.此题也可将a ,b 赋特殊值去求直线l .12.2x +y -3=0 由圆的几何意义知该直径与直线x -2y -3=0垂直.故该直径方程为y +1=-2(x -2),即2x +y -3=0.13.{k |k >1或k =0或k <-1} 画出函数y =kx +1、y =21x -的图象，两曲线相切及只有一个交点时如图所示.14.08622=-++x y x 设圆的方程为0)4(62222=-+λ+-+y x x y x 经过P (-2,4)， ∴0]44)2[()2(64)2(2222=-+-λ+--+-， ∴λ=-2，∴所求的圆的方程为08622=-++x y x .15.解由1l 、2l 相交，需1·a -1·1≠0,得a ≠1，此时解方程组⎩⎨⎧=++=++010ay x a y x ,可解得⎩⎨⎧=-=11y x 即1l 、2l 的交点为(-1-a ,1),由1l 、3l 相交,需1·1-1·a ≠0,∴a ≠1,由2l ,3l 相交，需1·1-a ·a ≠0,∴a ≠±1,又(-1-a ,1)∉3l , ∴a ·(-1-a )+1+1≠0,得a ≠1且a ≠-2,综上所述，a ∈R 且a ≠±1且a ≠-2,能保证三交点(-1-a ,1),(1,-1-a )、(-1-a ,-1+a +2a )互不重合，所以所求a 的范围为a ∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).16.解由已知条件知P 为直线3x -y -4=0和直线x +2y +1=0的交点,联立两直线方程得⎩⎨⎧=++=--012043y x y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x .∴P 点为(1，-1). 又l 与2l 垂直，故l 的方程为y +1=2(x -1)，即l 的方程为2x -y -3=0. 17.解设P (x ,y ),则Q （18-x ,-y ）,记P 点对应的复数为x +y i, 则S 点对应的复数为:（x +y i ）·i=-y +x i,即S (-y ,x ),∴|SQ |=xy y x xy y x y x x y y x 22363618)()18(2222222+++-+-++=--++- =2222)9()9(2818118182++-⋅=+++-+⋅y x y x y x其中22)9()9(++-y x 可以看作是点P 到定点B (9,-9)的距离，其最大值为|MB |+r =253+1，最小值为|MB |-r =253-1,则|SQ |的最大值为2106+2,|SQ |的最小值为2106-2.第13题图解18.解方法1 如图，设P (0x ,0y )(0y >0)，Q (x ,y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OA OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为31.∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=000043311031)1(43311313y y y x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413400.又因12020=+y x ，且0y >0，∴1916)43(91622=+-y x . ∴Q 的轨迹方程为169)43(22=+-y x (y >0). 方法2 设∠AOP =α，α∈(0，π)，则P (cos α，sin α)，∠AOQ =2α，则OQ 直线方程为y =x ·tan2α=kx ① 3cos sin -αα=PA k ，∴直线P A 方程为y =3cos sin -αα(x -3) ②由Q 满足①②且k =tan2α. 由②得y =12)3()3(311122222+--=-⋅-+-+k x k x k k k k.消去k 有y =12)3(22+--x y x x y，∴02322=-+x y x ,由图知y >0. 故所求Q 点轨迹方程为02322=-+x y x (y >0). 说明上述两种方程为求轨迹的基本方法、相关点及参数法. 19.解 (1)如图，设⊙P 的圆心P (x ,y )，半径为R ，由题设，有|P A |=R +25,|PB |=R +21,∴|P A |-|PB |=2. ∴⊙P 的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x 轴上，且焦距长为4的双曲线的右支，其方程为1322=-y x (x >0).第18题图解第19题图解(2)由方程组⎪⎩⎪⎨⎧>=-+=)0(13122x y x kx y ，有042)3(22=---kx x k (x >0). ①因为直线与双曲线有两个不同交点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->⋅>+>∆030022121k x x x x .从而，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-<3034222k k kk ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-<<<-3330322k k k k k 或或. ∴-2<k <-3. (3)设21P P 的中点为M (M x 、M y )，则M x =22132k kx x -=+. 又M 在y=kx +1上，∴M y =k M x +1=233k-.∴M (23k k-,233k -).∴21P P 的垂直平分线l 的方程为:y-M y =-k 1(x -M x ),即y -233k -=-k 1(x -23kk -). 令x =0,得截距b =234k-,k ∈(-2,-3),又-2<k <-3,∴-1<3-2k <0.∴b <-4.20.解假设存在这样的直线，设直线l 方程为y=x+b .方法1 将y=x+b 代入圆的方程有0222)1(22=+-+++b b x b x .由题设知OA ⊥OB ,设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，∴1x 2x ＋1y 2y ＝0.又1y 2y ＝(1x ＋b )(2x +b )=1x 2x ＋b (1x ＋2x )＋2b ,∴21x 2x ＋b (1x ＋2x )＋2b ＝0. 又∵1x +2x =-(b +1)，1x 2x ＝2b -2+22b ,∴2(22b +2b -2)-b (b +1)+ 2b =0.∴b =1或b =-4.此时Δ＝0)22(4)1(2>--+b b ， ∴存在这样的直线l :y=x +1或y=x -4满足题设.方法2 设过圆C 与l 的交点的圆系D 为.0)(44222=+-λ+-+-+b y x y x y x 即04)4()2(22=-λ+λ-+-λ++b y x y x . 圆心为(-22-λ,-24λ-)，在直线y=x+b 上，∴-24λ-=-22-λ+b ，即λ=3+b . ①又圆D 过原点，∴b λ-4=0. ② 由①②得，0432=-+b b ，即b =1或b =-4.此时圆D 的方程存在.故存在直线y=x +1或y=x -4.。

高考专题十三直线与圆的方程含答案

1．(2015·广东，5，易)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0【答案】 A 由题意，可设切线方程为2x ＋y ＋b ＝0，则|b |5＝5，解得b ＝±5，故选A.2．(2015·山东，9，中)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23 C ．－54或－45 D ．－43或－34【答案】 D 由题知，反射线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在的直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径为1，且反射光线与该圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.1．(2012·浙江，3，易)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A 由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，即“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A.2．(2013·课标Ⅱ，12，难)已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12C.⎝⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12【答案】 B ①当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时(如图1)，由⎩⎨⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋b a ＋1.又易知x D ＝－b a ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图1②当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时(如图2)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1(0＜a ＜1)．图2∵对于任意的a ＞0恒成立， ∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12，故选B.方法点拨：本题考查直角坐标系下直线方程的应用，利用数形结合，函数与不等式，分类讨论思想求解，注意考虑问题角度的全面性．3．(2014·四川，14，中)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．【解析】易得A (0，0)，B (1，3)．设P (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋my ＝0，mx －y －m ＋3＝0，消去m ，得x 2＋y 2－x －3y ＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上，P A ⊥PB ，|P A |·|PB |≤|AB |22＝5.【答案】 54．(2011·安徽，15，难)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．【解析】若x，y为整数，则x＋y也为整数，故直线x＋y＝2既不平行于坐标轴，也不经过任何整点，即①正确．直线y＝2x－2过整点(1，0)，故②错误．若直线l经过无穷多个整点，则一定过两个不同的整点．反之，若直线l经过两个不同的整点M(m1，n1)，N(m2，n2)，其中m1，m2，n1，n2均为整数．当m1＝m2或n1＝n2时，直线l的方程为x ＝m1或y＝n1，显然过无穷多个整点．当m1≠m2且n1≠n2时，直线l的方程为y－n1＝n1－n2m1－m2(x－m1)，则直线l过点((k＋1)m1－km2，(k＋1)n1－kn2)，其中k∈Z.这些点均为整点且有无穷多个，即直线l总过无穷多个整点，故③正确．当x，y为整数时，y－x还是整数，故直线y＝x＋12不经过任何整点，即当k，b为有理数时，并不能保证直线l：y＝kx＋b过无穷多个整点，故④错误．直线y＝3x－3恰经过一个整点(1，0)，故⑤正确．【答案】①③⑤考向1直线及其方程1．表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x 轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．②范围：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°，故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义：当α≠90°时，tan α表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tan α；当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．②计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2．直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线均适用(1)(2015·河南开封调研，6)设A(－1，2)，B(3，1)，若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是()A．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，13D.⎝⎛⎭⎪⎫13，2(2)(2015·江西南昌质检，18，12分)若点P是函数f(x)＝e x－e－x－3x图象上任意一点．①设在点P 处切线的倾斜角为α，求α的取值范围； ②求在点P (ln 2，f (ln 2))处的切线方程．【解析】 (1)如图所示，直线y ＝kx 过定点O (0，0)，k OA ＝－2，k OB ＝13.若直线y ＝kx 与线段AB 没有公共点，则直线OA 逆时针旋转(斜率增大)到OB 都是满足条件的直线．数形结合得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13.故选C. (2)①由导数的几何意义可知，函数y ＝f (x )＝e x －e －x －3x 图象上任意一点P 处切线的斜率等于该点的导函数值，而y ′＝e x ＋e －x －3≥2－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，即tan α≥－1.因为α∈[0，π)，所以倾斜角α的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.②由①知y ′＝e x ＋e －x －3，所以在点P (ln 2，f (ln 2))处的切线斜率为 k ＝eln 2＋e－ln 2－3＝－12.又f (ln 2)＝e ln 2－e －ln 2－3ln 2 ＝32－3ln 2＝32(1－2ln 2)，由点斜式得在点P 处的切线方程为 y －32(1－2ln 2)＝－12(x －ln 2)，即x ＋2y －3＋5ln 2＝0.【点拨】题(1)为斜率范围的求解，求边界的斜率是关键，注意倾斜角为90°时，直线无斜率；题(2)求直线倾斜角的取值范围时，一定要注意正切函数y ＝tan x 在x ∈[0，π)上的图象，借助正切函数的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的；在求直线方程时，应根据条件选择适当的直线方程形式，并注意各种形式的适用条件．1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；(2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求斜率的常用方法(1)已知直线上两点时，由斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)来求斜率．(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tan α(α≠90°)来求斜率．(3)方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－A B.3．求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在．注意检验当斜率不存在时是否符合题意．(1)(2014·江苏苏州调研，6)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.(2)(2014·河北沧州期末，18，12分)根据所给条件求直线的方程：①直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为10 10；②直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；③直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.(1)【解析】如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则k P A≤k≤k PB，而k PB>0，k P A<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又k P A ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，故k ∈[－1，1]．又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π(2)解：①由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. ②由题设知截距不为0，设直线方程为xa ＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.③当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.易错点拨：题(1)在已知斜率的取值范围，求倾斜角的范围时，误认为tan α在[0，π)上为增函数，而得到α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4的错误结果．考向2两直线的位置关系1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0 相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2⎩⎨⎧A1B2－A2B1＝0，B1C2－B2C1≠0或⎩⎨⎧A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0两条不重合直线平行时，不要忘记两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忘记一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况．2．距离距离类型公式点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中x，y的系数化成分别相等的．(1)(2015·山东菏泽期末，12)已知两直线l 1：x＋y sin α－1＝0和l2：2x sin α＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则α＝________；若l1∥l2，则α＝________.(2)(2015·广东中山检测，20，14分)已知点A(2，－1)，①求过点A且与原点距离为2的直线l的方程；②求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离；③是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.因为A1B2－A2B1＝0是l1∥l2的充要条件，所以2sin2α－1＝0，所以sin α＝±22.又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.所以α＝kπ±π4，k∈Z.故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.(2)①过点A的直线l与原点距离为2，而点A的坐标为(2，－1)，当斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得|－2k－1|k2＋1＝2，解得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.综上可知，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.②过点A且与原点O距离最大的直线是过点A与OA垂直的直线，由l⊥OA，得k l k OA＝－1，所以k l＝－1k OA＝2，由直线的点斜式方程得y＋1＝2(x－2)，|OA|＝（2－0）2＋（－1－0）2＝ 5.即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点A且与原点距离最大的直线l 的方程，且最大距离为 5.③不存在，由②可知，过点A不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过点A且与原点距离为6的直线．【点拨】解题(1)的关键是根据两直线的位置关系构建三角方程求解，但应注意角α的不唯一性及k∈Z；题(2)①的易错点在于忽略斜率不存在的情况．两直线的位置关系问题的解题策略(1)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等且纵截距不相等”、“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式判断．(2)符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有：①与Ax＋By＋C＝0平行的直线系：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；②与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系：Bx－Ay＋m＝0；③过A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)或A2x＋B2y＋C2＝0.(2014·山西太原检测，17，12分)解答下列问题：(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是3105的直线方程．解：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝|－2－c|32＋42＝1，∴c＝3或c＝－7.即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.(2)设所求直线方程为3x－y＋c＝0，则|3×（－1）＋c|32＋（－1）2＝3105，∴c＝－3或c＝9.即所求直线方程为：3x－y－3＝0或3x－y＋9＝0.1．(2015·河北石家庄调研，3)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0【答案】 A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．(2014·山东济南三模，6)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A 由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件． 3．(2015·湖北武汉一模，5)已知M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a 等于( )A ．－6或－2B ．－6C ．2或－6D ．－2【答案】 A 集合M 表示去掉一点A (2，3)的直线3x －y －3＝0，集合N 表示恒过定点B (－1，0)的直线ax ＋2y ＋a ＝0.因为M ∩N ＝∅，所以两直线平行，或直线ax ＋2y ＋a ＝0过点A (2，3)，因此－a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，即a ＝－6或a ＝－2.思路点拨：解答本题的关键是将M ∩N ＝∅转化为两直线的位置关系，进而构建方程求解，注意考虑要全面．4．(2015·安徽合肥期末，8)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.24，14B.2，22C.2，12D.22，12【答案】 D 由题意，a ＋b ＝－1，ab ＝c ，两条直线之间的距离为d ＝|a －b |2＝（a ＋b ）2－4ab 2＝1－4c 2，又0≤c ≤18，故12≤d ≤22.5．(2014·福建泉州一模，5)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3【答案】 C 方法一：∵点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，∴4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求（m －0）2＋（n －0）2的最小值，而（m －0）2＋（n －0）2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为2.∴m 2＋n 2的最小值为4.方法二：由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，直角三角形OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，斜边AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1032＝256，斜边上的高h 即为所求m 2＋n 2的算术平方根． ∵S △OAB ＝12OA ·OB ＝12AB ·h ，∴h ＝OA ·OB AB ＝52×103256＝2，∴m 2＋n 2的最小值为h 2＝4.6．(2015·福建厦门一模，12)已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：x ＋a 2y ＋2＝0与直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0互相垂直，则ab 的最小值是________．【解析】依题意可得，1×(a 2＋1)＋a 2·(－b )＝0，a 2－a 2b ＋1＝0，∴b ＝a 2＋1a 2，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a ≥2.当且仅当a ＝1a ，即a ＝1，b ＝2时，ab 取到最小值2. 【答案】 27．(2014·河北秦皇岛检测，14)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．【解析】由⎩⎨⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1，2)，由题设知点(1，2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 【答案】 x －2y ＝08．(2015·北京东城期末，13)如图所示，已知A (－2，0)，B (2，0)，C (0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围是________．【解析】如图所示，从特殊位置考虑．∵点A(－2，0)关于直线BC：x＋y ＝2的对称点为A1(2，4)，∴直线A1F的斜率kA1F＝4.∵点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F＜k FD，即k FD∈(4，＋∞)．【答案】(4，＋∞)方法点拨：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．1．(2015·课标Ⅱ，7，中)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2 6 B．8 C．4 6 D．10【答案】 C ∵k AB ＝3－21－4＝－13，k BC ＝2－（－7）4－1＝3，∴k AB ·k BC ＝－1. ∴AB ⊥BC .∴△ABC 为直角三角形且AC 为圆的直径， ∴圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0， ∴y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20， ∴|MN |＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝（－4）2＋80＝4 6.2．(2015·湖南，8，中)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 B 由题意AB ⊥BC ，则AC 为圆直径，则P A →＋PC →＝2PO →(O 为圆心)，∴|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|，显然当P ，O ，B 共线时模最大， ∴|P A →＋PB →＋PC →|max＝7，故选B. 3．(2015·课标Ⅰ，14，易)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．【解析】如图所示，设圆心M (a ，0)(a ＞0)，则|MB 2|＝|A 1M |＝4－a . 在Rt △MOB 2中， |OB 2|2＋|OM |2＝|MB 2|2，即4＋a 2＝(4－a )2，解得a ＝32，4－a ＝52. 故所求圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2544．(2015·江苏，10，中)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．【解析】设圆的半径为r ，根据圆与直线相切的关系得， r ＝|m ＋1|1＋m 2＝m 2＋2m ＋1m 2＋1＝1＋2mm 2＋1，当m <0时，1＋2m m 2＋1无最大值，且1＋2mm 2＋1<1；当m ＝0时，r ＝1；当m >0时，m 2＋1≥2m (当且仅当m ＝1时取“＝”)，所以r ≤1＋1＝ 2. 所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 【答案】 (x －1)2＋y 2＝21．(2012·陕西，4，易)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能【答案】 A 圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然点P (3，0)在圆内，故直线l 与圆C 相交．2．(2012·天津，8，中)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)【答案】 D ∵直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，∴圆心(1，1)到直线的距离为 d ＝|（m ＋1）＋（n ＋1）－2|（m ＋1）2＋（n ＋1）2＝1，∴mn ＝m ＋n ＋1≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22. 设t ＝m ＋n ，则14t 2≥t ＋1，解得t ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．3．(2013·山东，9，中)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 【答案】 A 方法一：如图，圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.方法二：直线AB 是以PC 为直径的圆(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54与圆(x －1)2＋y 2＝1的公共弦所在直线，∴直线AB 的方程为2x ＋y －3＝0. 方法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线P A 的方程为(x 1－1)(x －1)＋y 1·y ＝1，直线PB 的方程为(x 2－1)(x －1)＋y 2y ＝1. 又P A ，PB 都经过P (3，1)， ∴(x 1－1)(3－1)＋y 1×1＝1， ① (x 2－1)(3－1)＋y 2×1＝1， ②由①，②知(x －1)(3－1)＋y ×1＝1经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，而过两点的直线唯一，∴直线AB 的方程为2x ＋y －3＝0.4．(2014·江西，9，中)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)π D.54π【答案】 A 由题意易知∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.5．(2014·江苏，9，易)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．【解析】圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝2555.【答案】2555方法点拨：利用圆心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形求解． 6．(2014·湖北，12，易)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝______.【解析】如图，由题设条件知，∠AOB ＝∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝90˚，∴a ＝1，b ＝－1，a 2＋b 2＝2.【答案】 27．(2014·课标Ⅱ，16，中)设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．【解析】由已知圆心(0，0)，半径r ＝1，M 位于直线y ＝1上，过M 作圆的切线，切点为C ，D (如图)．则∠OMN ≤12∠CMD ， ∴∠CMD ≥90°.当∠CMD ＝90°时，则△OCM 为等腰直角三角形，故OC ＝CM ＝1. ∴所求x 0的取值范围是－1≤x 0≤1. 【答案】 [－1，1]8．(2014·北京，19，14分，中)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝2，此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离 d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．考向1 圆的方程的确定与应用1．圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程名称圆的标准方程圆的一般方程方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0) 圆心(a ，b )⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2半径 r12D 2＋E 2－4F (2)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别．2．点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)． (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点M 在圆上； (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点M 在圆外； (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点M 在圆内．(1)(2014·陕西，12)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．(2)(2015·山西长治调研，13)经过点A (5，2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．(3)(2015·江苏盐城检测，17，14分)已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上． ①求x ＋y 的最大值和最小值； ②求yx 的最大值和最小值．【解析】 (1)两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，半径相等．圆C 的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)方法一：由题知k AB ＝2，A ，B 的中点为(4，0)，设圆心为C (a ，b )． ∵圆过A (5，2)，B (3，－2)两点，∴圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上．则⎩⎪⎨⎪⎧ba －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴C (2，1)．r ＝|CA |＝（5－2）2＋（2－1）2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.方法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧2a －b －3＝0，（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10，故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 方法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.(3)①设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋（－3）－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.②y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，yx 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233. ∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.【点拨】本题(2)中方法一，借助圆的几何性质，求出圆心及半径，直接代入标准方程；方法二、三利用待定系数法求解，设出圆的标准方程，列出方程组求解；(3)中涉及与圆上点有关的最值问题，求解关键是充分利用圆的几何性质，根据所求代数式的几何意义，数形结合求解．1.用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于D ，E ，F 或a ，b ，r 的方程组；(3)解方程组，求出D ，E ，F 或a ，b ，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 3．与圆上点(x ，y )有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如t ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．(1)(2014·湖南衡阳名校联考，13)圆心在直线y ＝－4x 上且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程为________．(2)若典型例题1(3)题干不变，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． (1)【解析】设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，（3－x 0）2＋（－2－y 0）2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 【答案】 (x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (2)解：x 2＋y 2＋2x －4y ＋5 ＝（x ＋1）2＋（y －2）2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1，2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.考向2 直线与圆、圆与圆的位置关系的确定与应用1．直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2．圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R >r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数4 321在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ＞0是两圆相交的充要条件，而Δ＝0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，Δ＜0是两圆外离(内含)的必要不充分条件．(1)(2015·福建泉州四校联考，6)已知m ＝(2cos α，2sin α)，n ＝(3cos β，3sin β)，若m 与n 的夹角为60°，则直线x cos α－y sin α＋12＝0与圆(x－cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是( )A ．相交B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离(2)(2014·大纲全国，15)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．(3)(2014·重庆，13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.【解析】 (1)由向量的夹角公式得cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝12，圆心(cos β，－sin β)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos βcos α＋sin βsin α＋12cos 2α＋sin 2α＝1＞22，∴直线与圆相离． (2)如图所示，|OA |＝12＋32＝10.∵半径为2，∴|AB |＝|OA |2－|OB |2＝10－2＝22，∴tan ∠OAB ＝|OB ||AB |＝2 22＝12，∴所求夹角的正切值为tan∠CAB＝2tan∠OAB1－tan2∠OAB＝2×121－14＝43.(3)圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为|a＋a－2|a2＋1.∵△ABC为等边三角形，∴|AB|＝|BC|＝2，∴⎝⎛⎭⎪⎫|a＋a－2|a2＋12＋12＝22，解得a＝4±15.【答案】(1)D(2)43(3)4±15【点拨】解答本题(1)的关键是利用几何法找到圆心到直线的距离与半径的大小关系；题(2)利用两点间距离公式及相切求△AOB各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值；题(3)关键是根据“半径、弦长AB的一半、圆心距”满足勾股定理，构建关于a的方程．1.有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝⎝⎛⎭⎪⎫l22＋d2；(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.两圆公共弦长要利用某圆心到直线的距离、半径和弦长的一半构成的直角三角形计算，其中公共弦所在直线方程由两圆方程相减得到，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2．过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心的连线构成的直角三角形中求解．(1)(2012·山东，9)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)(2015·河南洛阳三校联考，5)已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是( )A ．y ＝x ＋2－ 2B ．y ＝x ＋1－12C ．y ＝x －2＋ 2D ．y ＝x ＋1－ 2(3)(2015·河南洛阳模拟，8)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212 C ．2 2 D ．2(1)【答案】 B 两圆心之间的距离为d ＝（－2－2）2＋（0－1）2＝17，两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝3.则r 2－r 1＝1＜d ＜r 1＋r 2＝5，故两圆相交．(2)【答案】 A 由已知得A (－1，0)，B (0，1)，则易得k AB ＝－1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，－22＋1，所以切线斜率为1，故切线方程为y ＋22－1＝x －22＋1，即y ＝x ＋2－ 2.(3)【答案】 D 如图所示，由题意可得圆C 的圆心坐标为(0，1)，半径为1，则由四边形P ACB 的最小面积为2得2×12·|P A |·1＝2，所以|P A |＝2.又P A 是圆C 的切线，由勾股定理得|PC |＝|P A |2＋12＝5，再由点到直线的距离公式得|0·k＋1＋4|k2＋12＝5(k＞0)，解得k＝2.考向3直线与圆的综合问题(2013·江苏，17，14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【思路导引】(1)设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径求出k；(2)设出点M的坐标，利用两点间距离公式确定M的轨迹为圆，由两圆的位置关系列关于a的不等式求解．【解析】(1)由题意知，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意得，|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R . 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．(2013·课标Ⅱ，20，12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22.。

高考数学-圆和直线位置关系练习题

2 2
2
2
．
10. 已知圆 C： x y 2 x ay 3 0 （a 为实数）上任意一点关于直线 l：x－y＋2 ＝0 对称的点都在圆 C 上，则 a= 三、解答题 11. 已知圆 C : x y 2 x 4 y 4 0 ，问是否存在斜率为 1 的直线 l ，使直线 l 被圆 C 截得的弦为 AB ，且以 AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由． 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 f ( x ) x 2 x b （ x R ）与两坐标轴有
2 2
7. 圆 x y 1 与直线 y kx 2 没有公共点的充要条件是（．． A. k ( 2, 2) C. k ( 3, 3) 二、填空题
B. k (, 2) ( 2, ) D. k (, 3) ( 3, )
8. 经过圆 x 2 x y 0 的圆心 C ，且与直线 x y 0 ，垂直的直线方程是 ________________． 9. 直线 l 与圆 Cx2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 M （0，1），则直线 l 的方程为
2 2
D. x 2 y 5
3.由点 P (1,3) 引圆 x y 9 的切线的长是（ A. 2 A. 2 （） A. 相离 B. 相交 C. 内切 B.
19
B. 1
2 2
C. 1
4. 三直线 ax 2 y 8 0,4 x 3 y 10,2 x y 10 相交于一点，则 a 的值是（ D. 1
5. 已知两圆的方程是 x y 1 和 x y 6 x 8 y 9 0 ，那么两圆的位置关系是 D. 外切（） B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件）

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

直线与圆高考真题
1.【2015高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（）
A ．()()22111x y -+-=
B ．()()22111x y +++=
C ．()()22112x y +++=
D ．()()22112x y -+-=
2.【2015高考湖南，文13】若直线3450x y -+=与圆()2220x y r
r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点）
，则r =_____. 3.【2015高考安徽，文8】直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（）
（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12
4.【2015高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.
5.【2015高考湖北，文16】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.
（Ⅰ）圆C 的标准．．
方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________. 6.【2015高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．
（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
7.【2015高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.求k 的取值范围；
8（2013新课标2）．在平面直角坐标系xOy 中，己知圆P 在x 轴上截得线段长为2错误！未找到引用源。

，在Y 轴上截得线段长为2错误！未找到引用源。

.
（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程;（Ⅱ）若P 点到直线y=x 的距离为
，求圆P 的方程.。