(选修)第一章概率与统计离散型随机变量的分布列

题目 (选修Ⅱ)第一章概率与统计离散型随机变量的分布列第 课（章、节） 第 课时 课型 编写时间：200 年 月 日 执行日期： 月 日 总序号 高考要求了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列 知识点归纳1随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量，η=a ξ+b ，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次 56 ①,2,1(0=≥i p i …)； ②P 1+P 2+…=17 连续型随机变量概率分布：由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)； 总体分布密度函数的两条基本性质：①f(x) ≥0(x ∈R)；②由曲线y=f(x)与x 轴围成面积为18二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn k k n qp C -＝b (k ；n ，p )．9几何分布： g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．题型讲解例 1 某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意连续取出2件，其中次品数 的概率分布是解：大批产品中抽取产品，认为次品数 服从二项分布B(2, 005)空格中应填 09025, 0095, 00025点评：离散型随机变量的概率分布，二项分布是高考重点例2 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列分析：随机变量ξ可以取0，1，2，η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析解：（1）P （ξ=0）=31038C C =157，P （ξ=1）=3102812C C C =157，P （ξ=2）=3102218C C C =151，（2）P (η=k )=C k8·083－k ·02k （k =0，1，2，3），所以η的分布列为值；二是求出取每一个值时的概率 ②放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即η～B （3，08）例3 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列分析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即ξ可以取1，2，3解：随机变量ξ的可能取值为1，2，3当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P （ξ=1）=3524C C =106=53；当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P （ξ=2）=3523CC =103；当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P （ξ=3）=3522CC 1概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等本题中基本事件总数，即n =C 35，取每一个球的概率都属古典概率（等可能性事件的概率）例4 袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用ξ表示分数，求ξ的概率分布解：ξ可能取的值为0,1,2,3,4，从袋中随机地取2个球，包含的基本事件总数为29C()6102924===∴CC P ξ ，()311291314=⋅==CC C P ξ，()3611229121423=⋅+==C C C C P ξ，()613291213=⋅==CC C P ξ，()36142922===CC P ξ∴随机变量ξ的分布列为例5 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及E ξ分析：每次取1件产品，∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，ξ=4，所以ξ可以取2，3，4解：P （ξ=2）=108×97=4528； P （ξ=3）=108×92×87+102×98×87=4514；P （ξ=4）=1－4528－4514E ξ=2×P （ξ=2）+3×P （ξ=3）+4×P （ξ=4）22点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力例 6 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列分析：从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6解：ξ的所有可能取值为3，4，5，6P （ξ=3）=31233C C =2201；P （ξ=4）=3122319C C C =22027；P （ξ=5）=3121329C C C =5527；P （ξ=6）=31239C C点评：本题的关键是正确地求出ξ取某个值时对应的事件个数 例6 某人参加射击，击中目标的概率是31①设ξ为他射击6次击中目标的次数，求随机变量ξ的分布列； ②设η为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求η的分布列； ③若他连续射击6次，设ξ为他第一次击中目标的次数，求ξ的分布列； ④若他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数ξ的分布列解：①随机变量ξ服从二项分布⎪⎭⎫⎝⎛31,6B ，而ξ的取值为0,1,2,3,4,5,6，则()()6,5,4,3,2,1,0323166=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kkk ξ故ξ的分布列为：②设k =η表示他前1-k 次未击中目标，而在第k 次射击时击中目标，则η的取值为全体正整数1,2,3,… 则()() ,3,2,131321=⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k P k ηη∴的分布列为③设k =ξ表示前k 次未击中目标，而第1+k 次击中目标，ξ的取值为0,1,2,3,4,5，当6=ξ时，表示射击6次均未击中目标则()()5,4,3,2,1,03132=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==k k P kξ而()6326⎪⎭⎫⎝⎛==ξPξ∴的分布列为④设k =ξ，表示前1-k 次未击中，而第k 次击中，5,4,3,2,1=k()()5,4,3,2,131321=⋅⎪⎭⎫⎝⎛==∴-k k P k ξ；而6=ξ表示前5次未击中，第6次可以击中，也可以未击中()5326⎪⎭⎫⎝⎛==∴ξPξ的分布列为：小结：1离散型随机变量的概率分布的两个本质特征：p i ≥0（i =1，2，…，n ）与∑=ni 1p i =1是确定分布列中参数值的依据2求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率 即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率 应按下述三个步骤进行：①明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； ②利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率； ③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证3离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 4处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量 5求一些离散型随机变量的分布列，在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数，即相应的排列组合数，所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提 学生练习1抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是 A 两颗都是2点 B 一颗是3点，一颗是1点C 两颗都是4点D 一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：对A 、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ=4代表的所有试验结果掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键答案：D2下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（ ）A BC D解析：A 、D 不满足分布列的基本性质②，B 不满足分布列的基本性质①答案：C3已知随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=k21，k =1，2，…，则P （2<ξ≤4）等于A3B1C1D1解析：P （2<ξ≤4）=P （ξ=3）+P （ξ=4）=321+4213答案：A4袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是A 5B 9C 10D 25解析：号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种 答案：B5一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P （ξ=12）等于A C 1012（83）10·（85）2B C 911（83）9（85）2·83C C 911（85）9·（83）2D C 911（83）9·（85）2解析：P （ξ=12）表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P （ξ=12）=C 911·（83）9（85）23答案：B6某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，其中次品数ξ的分布列为________解析：本题中商品数量较大，故从中任意抽取5件（不放回）可以看作是独立重复试验n =5，因而次品数ξ服从二项分布，即ξ～B （5，01）7设随机变量ξ～B （2，p ），η～B （4，p ），若P （ξ≥1）=95，则P （η≥1）=______解析：P （ξ≥1）=1－P （ξ<1）=1－C 02p 0·（1－p ）2=95，∴p =31，P （η≥1）=1－P （η=0）=1－C 04（31）0（32）4=1－8116答案：81658现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒数，则ξ的分布列是________解析：ξ～B （5，03），ξ的分布列是P （ξ=k ）=C k503k 075－k ，k =0，1，…，5答案：P （ξ=k ）=C k503k 075－k ，k =0，1，…，59袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤6）=________解析：取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个其分值为ξ=4，6，8，10分P （ξ≤6）=P （ξ=4）+P （ξ=6）=47344CC C +471334CC C 13答案：351310（2004年天津，理18）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率 解：（1）ξ的可能取值为0，1，2P （ξ=k ）=36342CC C kk -⋅，k =0，1，2E ξ=0×51+1×53+2×51=1（3）“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P （ξ≤1）=P （ξ=0）+P （ξ=1）411 A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 、B 、B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η（1）求ξ、η的概率分布； （2）求E ξ、E η分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0P （ξ=3）=32×52×52=758，P （ξ=2）=32×52×53+31×52×52+32×53×52=7528，P （ξ=1）=32×53×53+31×52×53+31×53×52=52，P （ξ=0）=31×53×53=253；根据题意知ξ+η=3，所以 P （η=0）=P （ξ=3）=758，P （η=1）=P （ξ=2）=7528， P （η=2）=P （ξ=1）=52，P （η=3）=P （ξ=0）（2）E ξ=3×758+2×7528+1×52+0×253=1522；因为ξ+η=3，所以E η=3－E ξ12金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW ，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min ，且开动与否是相互独立的现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW 的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大?在一个工作班的8 h 内，不能正常工作的时间大约是多少?分析：由实际问题确定随机变量的取值，由独立重复试验求概率值解：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由于机床类型相同，且机床的开动与否相互独立，因此ξ～B （10，p ）其中p 是每台机床开动的概率，由题意p =60121从而P （ξ=k ）=C k10（51）k （54）10－k ，k =0，1，2，…，1050 kW 电力同时供给5台机床开动，因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作这一事件的概率为P （ξ≤5），P （ξ≤5）=C 010（54）10+C 110·51·（54）9+C 210（51）2·（54）8+C 310（51）3（54）7+C 410（51）4·（54）6+C 510（51）5·（54）5≈0994因此，在电力供应为50 kW 的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0006，从而在一个工作班的8 h 内，不能正常工作的时间只有大约8×60×0006=288（min ），这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响点评：分布列的实际应用，应结合题意给出答案13一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号，写出随机变量ξ的分布列解：根据题意可知随机变量ξ的取值为3，4，5当ξ=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的编号只能是1，2，故有P （ξ=3）=3522CC当ξ=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故P （ξ=4）=3523CC 3P （ξ=5）=3524CC可得ξ的分布列为高中数学复习教（学）案 资兴市第一高级中学 代晓忠第11页 共11页 14如果ξ～B （20，31），则使P （ξ=k ）取最大值的k 的值是________ 解析：)()1(k P k P =+=ξξ=k k k k k k ---++20201201120)32()31(C )32()31(C =120+-k k ×21≥1，得k ≤6所以当k ≤6时，P （ξ=k +1）≥P （ξ=k ），当k ＞0时，P （ξ=k +1）＜P （ξ=k ），其中k =6时，P （ξ=k +1）=P （ξ=k ），从而k =6或7时，P （ξ=k ）取得最大值答案：6或7课前后备注。