四年级 第12讲 数的整除特征(下)
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
数的整除判断技巧
数的整除判断技巧一个数被整除的判断方法：被2整除：个位是0、2、4、6、8的，则这个数能被2整除。
被3（或9）整除：数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
被4（或25）整除：末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。
被5整除：若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
被6整除：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
被7、11、13整除：后3位数减去前面的数，所得的数被7整除，则这个数能被7、11、13整除。
例如：6139是否能被7整除的过程如下：后三位减去前一位139-6=133133÷7=69能除开，所以6139能被7整除。
能被11整除的特征：适用于□奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差（大减小），能被11整除，这个数就能被11整除被8（或125）整除：未三位数能被8或125整除，则这个数能被8或125整除。
被10整除：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
判断互质数的技巧：1、1和其它的自然数。
例：1和99、1和462、两个连续的或相邻的自然数一定是互质数。
例：3和4、9和103、两个连续的奇数或相邻的奇数是互质数。
例：7和9、13和154、两个质数是互质数。
例：5和7、11和17判断最大公因数的技巧：1、如果两个数是互质数关系，那么最大公因数是1。
例：7和112、如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是较小数。
例：7和21判断最小公倍数的技巧：1、如果两个数是互质数关系，那么最小公倍数是它们的乘积。
例：5和72、如果两个数是倍数关系，那么最小公倍数是较大数。
例：7和14。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征整除是数学中常见的概念，指的是某个数能够被另一个数整除，不留下余数。
在计算机编程和数据分析等领域中，也经常需要判断一个数是否能被另一个数整除。
本文将探讨能被整除的数的特征和相关的数论知识。
整数的定义在数学中，整数是没有小数部分的数，可以是正数、负数和零。
整数分为自然数、负整数和零三种情况。
自然数是从1开始的正整数，负整数是正整数的相反数，零是一个特殊的整数，不属于自然数和负整数。
整除的定义在数学中，整除指的是一个整数能够被另一个整数整除，不留下余数。
例如，4能够被2整除，因为4÷2=2，没有余数；而5不能被2整除，因为5÷2=2余1。
可以用符号“|”表示整除的关系，例如，a|b表示a能够被b整除。
能被整除的数的特征在数论中，有许多关于能被整除的数的特征的研究。
下面列举了一些比较常见的特征。
奇偶性整数可以分为奇数和偶数两类。
其中，奇数是不被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数。
有一个是，如果一个整数是偶数，那么它一定能被2整除；反之，如果一个整数能被2整除，那么它一定是偶数。
因此，判断一个整数是否是偶数，就相当于判断它是否能被2整除。
能被哪些数整除一个整数能否被另一个整数整除，往往取决于这两个数的约数关系。
所谓约数，就是能够整除另一个数的数。
例如，6的约数是1、2、3和6。
一个数能够被整除，当且仅当它是另一个数的倍数，即除以那个数所得到的商是一个整数。
例如，9能够被3整除，因为9÷3=3；而8不能被3整除，因为8÷3=2余2。
质数和合数质数是只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7、11、13等。
合数是不是质数的正整数，例如4、6、8、9、10等。
有一个是，一个正整数大于1且不是质数，则它一定可以分解成几个质数的乘积。
例如，12可以分解成2x2x3的形式，其中2和3都是质数。
因此，判断一个数是否是质数，就相当于判断它能否被分解成质数的乘积。
四年级奥数竞赛(第12讲)数的整除特征(上).测试题
【名师心得】
1. 因材施教，注重创新 所讲授的每门课程应结合不同专业、 不同知识背景的学生来调整讲授的内容和方法。不仅重视知识的传 授，更要重视学生学习能力、分析和解决问题能力的培养，因为这 些才是学生终生学习的根本。 注重教学过程创新，不仅要体现在教 学模式、教学方法方面，更主要的是体现在内容的创新与扩充、实 践环节的同步改革上。
1.
A:568020 B:568002 C:568200 D:568000
2. A:0 B:5 C:3 D:6
3.
A:4 B:2 C:3 D:14.2020-2021学年
A:1 B:2 C:3 D:4
5. A:8 B:7 C:6 D:9
--------------------- 赠予 ---------------------
3. 爱岗敬业，教书育人 为师者，一言一行都会对学生产生深 远的影响，特别是师范类学生，自己的形象会对他们日后的教学方 式、工作态度产生潜移默化的影响，进而影响到他们的学生。所 以，作为师范要时刻谨记我们面对不是眼前的这一名学生，而是他 们背后的几代人。所以对于自己的爱岗敬业提出了更高的要求，应 该以近乎完美的苛刻标准来要求自己，评判自己的工作，塑造自己 形象，要做一个甘于物质清贫而精神富足的人。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧一、整除的基本法则（一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；（二）能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
（三）能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。
（四）能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。
能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。
（五）能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。
二、例题讲解法则下面我们通过几个例题来看下数的整除性质在数学运算中的应用。
例1、一个四位数，分别能被15、12、10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问这个四位数四个数字的和是多少？（）A.17B.16C.15D.14解析：本题所要求的是这个四位数四个数字的和，按常规思维，我们需要先把这个四位数求出来，但这样会比较浪费时间。
我们要求的是四个数字的和，联系到特殊数的整除判定，只有3和9的倍数是与数字和相关的。
由题目的条件我们知道，这个四位数能被15除尽，那肯定可以被3除尽，所以这个四位数四个数字的和也是3的倍数，结合选项，只有C正确。
例2、甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的1/3，乙、丙合修2天修好余下的1/4，剩余的三人又修了5天才完成。
共得收入1800元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为（）元A.330元B.910元C.560元D.980元解析：本题属于工程类问题，常规方法是通过列方程来解，但解方程比较困难。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基赋性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基赋性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基赋性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基赋性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基赋性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
数的整除特征特点
数的整除特征特点 It was last revised on January 2, 2021
数的整除特征特点
一、尾数判断法:
(1) 能被 2、 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。
(2) 能被4、25 整除的数的特征：末两位能被4或25整除。
(3) 能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除。
二、数字求和法
（1）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
三、奇偶位求差法
（1）能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
四、三位截断法
（1）能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除。
整除特征：
7：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
（如果数字太大仍然不能直接观察出来，就重复此过程。
）
13：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
17：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
19：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
数的整除特征精修订
数的整除特征GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-数的整除特征1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。
2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。
5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位数。
问：这样的三位数有几个？【例3】五年级（1）班有36 6 2. 元，问：每本词典多少钱？【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？数的整除专项练习：1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除问：这样的五位数共有几个2、2能被72整除。
3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。
4能被11整除，求这个六位数。
5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？6、一个六位数37A46B 一一一一一一一一是99的倍数，求这个数除以33的商。
常见数的整除特征
常见数的整除特征1.偶数的特征：偶数是可以被2整除的数。
任何一个偶数都可以表示为2n（n为整数），所以偶数除以2的余数必为0。
2.能被5整除的特征：一个数能被5整除的条件是它的个位数字为0或5、例如，10、25、45等。
3.能被10整除的特征：一个数能被10整除的条件是它的个位数字为0。
例如，30、80、120等。
4.能被2和5同时整除的特征：一个数能同时被2和5整除的条件是它的个位数字为0、2、4、6或8、例如，40、60、100等。
5.能被3整除的特征：一个数能被3整除的条件是它的各位数字之和能被3整除。
例如，36（3+6=9，9能被3整除），258（2+5+8=15，15能被3整除）等。
6.能被9整除的特征：一个数能被9整除的条件是它的各位数字之和能被9整除。
例如，99（9+9=18，18能被9整除），891（8+9+1=18，18能被9整除）等。
7.能被4整除的特征：一个数能被4整除的条件是它的末尾两位数能被4整除。
例如，116（16能被4整除），528（28能被4整除）等。
8.能被8整除的特征：一个数能被8整除的条件是它的末尾三位数能被8整除。
例如，216（216能被8整除），1152（152能被8整除）等。
9.能被6整除的特征：一个数能被6整除的条件是它能同时被2和3整除。
根据特征1和特征5，一个数能被6整除的条件是它是一个偶数且各位数字之和能被3整除。
10.质数的特征：质数是只能被1和自身整除的数。
特征1中提到的偶数和特征2中提到的能被5整除的数不是质数。
11.完全平方数的特征：完全平方数是能被一个自然数的平方整除的数。
例如，1、4、9、16等。
一个数是否是完全平方数可以通过求平方根并判断是否是整数来确定。
总结起来，常见数的整除特征包括偶数、能被2和5同时整除的数、能被3和9整除的数、特定位数（个位、末尾两位、末尾三位）能被4和8整除的数、能被6整除的数、质数和完全平方数。
通过了解这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能被其他数整除。
数的整除特征总结
数的整除特征总结
嘿，朋友们！今天咱要来好好唠唠数的整除特征总结啦！你知道不，这可太有意思啦！
咱先说说能被 2 整除的数吧，就比如 12，它就能被 2 整除。
只要个位上是 0、2、4、6、8 的数，那就能轻轻松松被 2 整除哟！这多简单呀，就
像咱走路一样顺畅！
再讲讲能被 3 整除的数呀，像 15 就是个典型例子。
只要这个数各个数位上的数字之和能被 3 整除，那它肯定没问题！这就像搭积木，一块块稳稳当当凑在一起就能立住啦！
还有能被 5 整除的数，像 25 呀。
你瞧，个位上是 0 或 5 的数就可以啦，多清晰明了呀！这就好比找东西，一下子就能找到那个关键特征！
能被4 整除呢？嘿，那就要看最后两位是不是能被4 整除喽。
“哎呀，这是不是挺神奇的呀？”
能被 9 整除的也有规律呢，跟 3 整除有点像，就是各数位数字之和能
被 9 整除就行啦。
这么多整除特征，是不是感觉数学的世界好神奇呀？“这不是跟变魔术似的嘛！”咱掌握了这些，解题的时候不就如有神助啦！
数的整除特征就像是一把把钥匙，能打开数学大门后的各种奇妙宝藏！咱可得好好记住它们，让它们为咱的数学之旅助力呀！所以呀，大家一定要用心去理解和记忆，这样才能在数学的海洋里畅游无阻哟！。
《数的整除特征》PPT课件
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9
小测试
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
答案是前四个可以，后三个不行。
你都算对了吗？
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10
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11
精选ppt
6
9的整除特征
若一个整数的各个位数的数字和能被9整 除，则这个整数能被9整除 。
如：252 252＝2+2+5=9，9÷9=1(整除） 如：133 133÷9=14.7777......(不能整除）
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7
11的整除特征
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字 之和的差能被11整除，则这个数能被11 整除。
除）
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5
7的整除特征
被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需 要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
如：133 13－3×2＝7 ， 7÷7=1(整除） 如：12 12÷7=1.741857(不能整除）
除）
精选ppt
3
3的整除特征
被3整除的数必须各个位数上的数加起来 为3的倍数。
如：147＝1+4＋7＝12 147÷3=49(整除） 如：136＝1＋3＋6＝10 136÷3=45.33333333.......(不能整除）
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4
5的整除特征
被5整除个位为0或者5。 如：10，15 10÷5=2(整除） 15÷5=3(整除） 如：6，12 6÷5=1.2(不能整除）12÷5=2.2(不能整
数的整除特征
六（2）班 徐骏
数的整除特征总结
数的整除特征总结数的整除特征是指一个数能够被另外一个数整除时所具有的特征和规律。
在数学中，整除是一种基本的整数关系，研究整除特征可以帮助我们深入理解数学的基本概念和性质。
本文将总结数的整除特征，以便读者更好地理解和掌握整除的规律和应用。
1.一个数除以1等于它本身，这是整除的最基本特征。
任何一个数都能被1整除。
2.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a被b整除的余数为0。
3.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a能够被b的因数整除。
换句话说，如果a能够被b整除，那么b的所有因数也能够整除a。
4.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c整除。
整除具有传递性。
5.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c的所有因数整除。
6.如果一个数能够被2整除，那么这个数一定是偶数。
偶数的特征是最后一位数字为0、2、4、6或87.如果一个数能够被3整除，那么这个数的各位数字之和也能被3整除。
8.如果一个数能够被4整除，那么这个数的末尾两位组成的数能被4整除。
9.如果一个数能够被5整除，那么这个数的最后一位数字一定是0或510.如果一个数能够被6整除，那么这个数一定能被2和3同时整除。
11.如果一个数能够被8整除，那么这个数的末尾三位组成的数能被8整除。
12.如果一个数能够被9整除，那么这个数的各位数字之和也能被9整除。
13.如果一个数能够被10整除，那么这个数的末尾一定是0。
14.如果一个数能够被11整除，那么这个数的各位数字之差也能被11整除。
15.如果一个数能够被12整除，那么这个数一定能被3和4同时整除。
这些整除特征是数学中的常见规律和性质，通过了解和应用这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能够被另外一个数整除。
同时，这些特征也有助于我们解决问题和证明数学定理。
总结：数的整除特征是数学中的基本规律和性质，包括整除的基本定义、整除的性质、整除特征与数字的关系等。
掌握和应用整除特征可以帮助我们更好地理解数学的基本概念和性质，同时也有助于我们解决问题和证明定理。
数的性质 整除性 数的整除特征
因为3|（ × 999 + × 99 + × 9），
根据整除的Байду номын сангаас差性，
3能整除（ × 1000 + × 100 + × 10 + ）与（ × 999 + × 99 + × 9）的差
（ + + + ）。
一、数的整除特征
5、能被11整除的数的特征：奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差（大减小）
如果11能够整除，由和差性，11|( + + − − )。
一、数的整除特征
6、能被7(11或13) 整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组
成的数之差（大减小）能被7(11或13) 整除。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = × 1000 + = 1001 + −
数的整除特征
主要学习内容
01
数的整除特征
02
典型例题分析
一、数的整除特征
1、能被2(或5)整除的数的特征：末位数字能被2(或5)整除。
为了便于小学生理解，我们通常说成：如果一个整数的个位数字是0，2，4，6，8，
那么它能被2整除；如果一个整数的个位数字是0或5，那么它能被5整除。
2、能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。
是11的倍数。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = 10000 + 000 + 100 + 10 +
= 9999 + + 1001 − + 99 + + 11 − +
四年级数学全册知识点教材分析除法运算与数的整除性质
四年级数学全册知识点教材分析除法运算与数的整除性质四年级数学全册知识点教材分析——除法运算与数的整除性质四年级数学课程是培养学生数学思维和解决问题能力的重要阶段，其目标是让学生掌握数的整数概念和基本运算，了解数的整除性质，并能熟练运用除法进行计算。
本文将对四年级数学全册中的除法运算与数的整除性质进行分析。
一、除法运算的基本概念除法运算是数学中的一种基本运算，它是指将一个数分成若干等分的运算。
在四年级数学课程中，学生将学习除法运算的基本概念与符号，并能够熟练应用到解决实际生活问题中。
1.1 除法的符号和记号在除法运算中，我们使用“÷”符号表示除法运算，如12 ÷ 3 = 4。
被除数是被除的数，如12；除数是除以的数，如3；商是除法运算的结果，如4；余数则表示除法运算中剩余的数，如12 ÷ 5 = 2 余 2。
1.2 除法的整除和不整除除法运算中的整除和不整除概念在四年级数学中非常重要。
简单来说，如果一个数除以另一个数的结果是整数，那么我们说这两个数满足整除关系；反之，如果结果是带有小数部分的数，那么这两个数不满足整除关系。
1.3 除法的计算步骤学生需要掌握除法的计算步骤。
当利用除法运算进行计算时，需要先确定被除数、除数和商的位置，然后按照运算法则进行计算，最后写下整除关系或者余数。
二、除法运算的应用除法运算不仅仅是数学的基本概念，还可以应用到实际生活问题中。
在四年级数学全册中，教材会将除法运算与购物、分配物品等实际场景相结合，让学生在解决问题的过程中提高计算能力和逻辑思维。
2.1 除法在购物中的应用在购物中，除法可以用来计算物品的价格，帮助学生了解商品价格与数量之间的关系。
例如：如果一件衣服的价格是30元，那么2件衣服的总价格是多少？2.2 除法在分配物品中的应用除法在分配物品中也有广泛的应用。
假设班级里有30本书需要分给20名学生，学生们平均能分到几本书？三、数的整除性质在四年级数学全册中，数的整除性质是学生在理解除法运算过程中的重要知识点之一。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征
1.能够被另一个数整除：如果一个数能够被另一个数整除，那么它就
是被整除的数的一个特征。
例如，4能够被2整除，因此4是被整除的数。
2.余数为0：当两个数进行整除运算时，如果余数为0，那么被除数
就是被整除的数。
例如，10除以5的余数为0，因此10是被整除的数。
3.可以被同一个数整除多次：如果一个数能够被同一个数整除多次，
那么它也是被整除的数的一个特征。
例如，12可以被2整除多次，因此
12是被整除的数。
4.能够被一组数整除：除了能够被单个数整除外，还有一些数能够被
一组数整除。
例如，15能够被3和5整除，因此15是被整除的数。
5.能够整除自己：除了能够被其他数整除外，数还可以被自己整除。
例如，5可以被自己整除，因此5是被整除的数。
6.能够被任意数整除：有一些数能够被任意数整除，这些数被称为无
穷整数。
例如，0、正负无穷大以及自然数的倍数都属于无穷整数。
7.有规律的整除性质：有一些数具有特殊的整除性质。
例如，能够被
2整除的数都是偶数，能够被3整除的数如果各个位上的数字之和能被3
整除，那么这个数也能被3整除。
总的来说，能够被整除的数具有上述特征之一或多个。
这些特征使我
们能够对数的整除性质进行计算和推理。
在数学和实际应用中，能够被整
除的数的特征是十分重要的。
数的整除特征基础篇
数的整除特征上什么是整除若整数a 除以大于0的整数b,商为整数,且余数为零;我们就说a能被b整除或说b能整除a,记作b|a,读作b整除a或a能被b整除;常见数的整除特征：末位系：2,5：看末一位4,25：看末两位8,125：看末三位数字和系：3,9：看数字和数字差系：11：看奇位和与偶位和的差7,11,13系列：⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7,11,13整除；⑵把数从末三位开始,三位为一段断开,只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7,11,13的倍数;常见整除性质：⑴如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除;⑵如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除;⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除;★★★两个四位数275A 和275B 相乘,要使它们的乘积能被72整除,求A 和B ;★★在□里填上适当的数字,使得七位数□7358□□能分别被9,25和8整除;例1例2例3★★★四位偶数64能被11整除,求出所有满足要求的四位数;例4★★★在所有五位数中,各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些先睹为快将三位数3ab 连续重复地写下去,共写2005个3ab ,所得的数20053333abab ab ab 个正好是91的倍数,试求ab ＝___________;★★★能不能将从1到10的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除★★★★请用1,2,5,7,8,9这六个数字每个数字至多用一次来组成一个五位数,使得它能被75整除,并求出这样的五位数有几个例5例6。
四年级奥数-数的整除特征(二)
【例4】(★★★) ⑴如果六位数 ⑴ 果 1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多 ，那 最 多 少? ⑵有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11 和13整除。三大基本整除系 试除法 余数系
2
11：单位分组求和差 和 位分 求和差 7和13：三位分组求和差
1001 310100
【例1】(★★) 一个6位数，它的前3位组成的数加后3位组成的数的和是220，且 它能被7整除，求满足条件的所有 整除 求满足条件的所有6位数。 位数
【例2】(★★) ⑴六位数20□□08能被99整除，□□是 _____。 ⑵ 知九位数2007 ⑵已知九位数 200 □12□2既是 是9的倍数，又是 的倍数 是11的倍数，那么这 的倍数 么这 个九位数是多少？ ⑶1234567891011…9899 1234567891011 9899除以99的余数是多少？
例3补充如果把一个四位数abcd的前面插入一个2中间插入00末尾添上7变成2ab00cd7并且这个新的8位数是11的倍数那么就称这样的四位数为2007的11数
数的整除特征(二)
知识点讲解
2和5：末一位 整除系 末尾系 4和25：末两位 8和125：末三位 12,35 124,425 1108,750 整除系 组合系 系 差系 整除系 和系 3，9，99 114,459
1
【例3】(★★★) 请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数， 使它是99的倍数。这个五位数最大是多少？ 的倍数 这个五位数最大是多少？
【例3补充】(★★★) 如果把一个四位数abcd的前面插入一个2，中间插入00，末尾添 上7，变成2ab00cd7，并且这个新的8位数是11的倍数，那么就称 这样的四位数为“2007的11数”。那么“2007的11数”有多少个？
数的整除章节 讲义分析
整数与整除、因数与倍数、质数与合数、分解质因数、公因数与公倍数综合问题解析。
本讲义包含内容：1、理解整数、自然数和整除的概念2、理解因数和倍数的概念3、能被2、5整除的数4、理解素数和合数的概念，分解素因数5、理解公因数和最大公因数6、理解公倍数和最小公倍数重难点：1、整除概念的辨析2、分解素（质）因数3、短除法求一个数、两个数、三个数的最小公倍数、最大公因数4、公因数公倍数的综合应用题知识点1：整除概念辨析例题一：下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是____________________，第一个数能整除第二个数的是____________________。
1.2和2.4；39和13；54和27；46和4；17和51；84和7；2.5和5提问：1、题目中1.2和2.4、2.5和5为什么首先排除？因为不是整除的算式，是除尽的算式。
2、什么是整除？和除尽有什么区别和联系？整除：整数a除以整数b，若除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a，用数学式子表示：a÷b=c（a、b、c均为整数）。
区别：联系：整除是除尽的一种特殊形式。
3、整除的条件是什么？整除的条件：（1）除数、被除数都是整数（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零4、如何快速判断“第一个数能被第二个数整除”和“第一个数能整除第二个数”？除法的定义：a÷b，可以说a被b除或b除a迁移到整除中：a÷b=c（a、b、c均为整数），a能被b整除；或者说b能整除a因此，句子中有“被”，“被”前面的是“被除数”；句子中只有“除”，“除”前面的是“除数”、后面的是“被除数”【答案】39和13、54和27、84和7；17和51小试牛刀：1、3和41，___不能被____整除，54÷18=3，______能整除_____。
【答案】41、3；18、54【分析】区分整除的概念知识点2：因数倍数概念例题1：判断一下：①42÷6=7,所以42是6的倍数，6是42的因数。
数的整除(二)
数的整除（二）【知识要点】1、能被７（或１３）整除数的特征：一个整数从个位起，每３位分作一节，如果奇数节的和减去偶数节的和，差是７（或１３）的倍数，那么这个整数就能被７（或１３）整除。
2、能被１１整除数的特征：如果一个整数奇数位数字的和与偶数位的和的差是１１的倍数，那么这个整数能被１１整除。
【典型例题】例1、判断2206525321能否被７，11，13整除。
练、判断378287能否被7，11，13整除。
例2、已知自然数2A3A4A5A1能被11整除，A代表的数字是几？练、用４，９，４，９可以组成多少个能被１１整除的四位数？例3、□□□998能被13整除，这个六位数最大是多少？例4、已知一个五位数□691□能被55整除，那么符合题意的五位数是几？练、在42□28□的方格中填上合适的数，使这个六位数能被99整除。
例5、123456789□□这个十一位数能被36整除，那么这个数的个位上的数最小是几？【课堂练习】1、判断那些数能被７整除？那些数能被１１整除？那些数能被１３整除？143，625790，625790，111605，960962、在25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填几？3、判断下面的数能不能同时被2和9整除。
7272， 11772， 1766， 191344、28□4□8空格内填什么数时，下列六位数能被44整除？5、在３５８后面补上三个数码组成一个六位数，使它能分别被４，５，９整除，这个六位数最小是多少？【课后作业】1、能被７，11，13整除的数的特征。
2、请你判断686565能否被11整除。
3、在□里填数字，使它符合下面要求。
A.27□□能同时被5和9整除。
B.2□7□能被90整除。
4、六位数1992AB能同时被25、8整除，这个数是多少？5、42A28B是99的倍数，那么这个数除以99所得的商是几？6、五位数2A10B能被72整除，这个数是多少？7、使六位数A1991B能被66整除，这个六位数是多少？8、使五位数7a36b能被15整除，共有几个符合要求的数？★将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个2005位数，试问这个数能否被3整除？。
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首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对．不然，其中说的 不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学 说的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7整除。其次利用整除性质 可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的 也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
综合上述共有72个
一、数的整除特征
1．末位系：2，5；4，25；8，125 能否被2和5整除是看末一位 能否被4和25整除是看末两位 能否被8和125整除是看末三位
2．和系：3，9，99 能否被3，9整除是看数字之和是否，3，9的倍数 这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同 能否被99整除是把多位数从个位开始两位一段，看所有的数段和能否被99整除
这个数最小为110011，故110011÷323=340..191， 这个数最大为119911，故119911÷323=371…78，
□□ 因为11 11能被323整除，商一定为3位数，且个位数一定为7，
符合要求的只有347，357，367． 故试一下323×347=112081，323×357=115311，323×367=118541， 只有323×357=115311符合要求， 所以这个六位数为115311 。
个都无法满足。
（2）若万位为6，则该五位数为 6abcd ，则有 ab cd 93 ，
要满足个位为3，则b与d只能从1和2里选；则此时十位数只能 从4和5选择。由于要让位数高的尽可能的大，则有： a=5，b=2，c=4，d=1 。 所以该五位数为65241 。
例3：(★★★)
□□ 如果六位数1992 能被105整除，那么它的最后两位Biblioteka 是多少？例6：(★★★★)
用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成多少个被11除余5的六位数？
解题过程
六位数被11除从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差为11的倍数余5 这样的组合：（1）奇数位是5、6、2，偶数位为1、3、4；（2）奇数位是4、6、 3，偶数位为1、2、5 。
第（1）种有 A33A33 36 个 第（2）种有 A33A33 36 个
例5：(★★★★)
有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号。1号同学写了一个自然数， 2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，…，依次下去，每位 同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两 位同学说得不对，其余同学都对，问：说得不对的两位同学，他们的编号是哪两 个连续自然数？
一、数的整除特征
3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把数从末三位断开，用末三位与末三位之前的数做 差，看这个差是否为7，11，13的倍数能否被11整除规律是从右开始数奇数位数 字之和与偶数位数字之和的差是否为11的倍数这个差除以11余几就代表这个数 除以11余几
4．拆分系： 72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13…
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数的整除特征（下）
【数的整除特征】
99的整除特征： 能否被99整除是把多位数从个位开始两位一段，看所有的数段
和能否被99整除
例1：（1）(★★) (希望杯试题) 六位数20□□08能被99整除，□□是________。
解题过程
□ □ 由99的整除特征有20 +
+08是99的倍数；
所以方框里的数为99－28=71 。
二、经典例题 数的整除特征(上)：例2，例3，例5 数的整除特征(下)：例1，例3，例6
THANK YOU
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例1：（2）(★★) (迎春杯试题) □ □ 已知九位数2007 12 2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数
是多少？
解题过程
设原数 2007a12b2,该数既能被9整除， 又能被11整除，则该数能被99整除 所以b2 12 7a 0 2 99，则b2 7a 85 所以b 1, a 3; 2007a12b2 200731212
求出后两位数。
解题过程
能同时被11和13整除，说明能被143整除。采用试除法， 285799÷143=1998…85 所以减去85，则后两位是14。
例4：(★★★★★)
在六位数 11□□11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17和19整除。方框中的两位数是多少？
解题过程
因为六位数11□□11能被17和19整除， 所以这个六位数11□□11能被17×19=323整除，
230－199=31，260－199=61，290－199=91，有91是7的倍数，即 199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90。 （2）如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5 整除的特征。
【拓展】(★★★) □□ 有一个六位数，前四位是2857，即2857 ，这六位数能被11和13整除。
例2：(★★★)
请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数。 这个五位数最大是多少？
解题过程
由于该数要尽可能的大，则首先满足让位数高的尽可能的大。
（1）若万位为7，则有该五位数为 7abcd ，该数又是99的 倍数，则 ab cd 7 为99的倍数，又不可能达到198， 则有 ab cd 92 ，显然用1、2、3、4、5、6中的任何四
解题过程
方法一:因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整 除的数即可。利用整除特征，末位只能为0或5 。 方法二:试除法
□ □ （1）如设果方末框位里填填入的0数，为那9么9数，字则和19为9219+99÷+190+52=+189+80…=291+ ，要求数 □ 字和是3所的以倍减数去，9所，以即在可末以两为位0的，方3格，内6，填9入。9验0即证可20。0－199=1，
例1：（3）(★★★)
12345678910111213…9899除以99的余数是多少？
解题过程
把123…9899，从个位数字起，每两个数字分为一段，也就是 分成1，23，45，67，89，10，11，12，…，98，99 那么12345678910111213…9899除以99的余数就等于这些数 字的和除以99的余数。 （1+23+45+67+89）+（10+11+12+…+99） =225+（10+99）×90÷2 =225+4905 =5130 而5130除以99的余数等于81，所12345678910111213…9899 除以99的余数是81。