2016江苏省高考数学试卷答题卡
2016年高考江苏卷数学试题(含答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，需用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：棱柱的体积V sh=，其中S是棱柱的底面积，h是高.棱锥的体积V=13Sh，其中S是累赘的底面积，h是高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．。
1.已知集合A=|-1,2,3,6|，B={x|-2<x<3}，则A⋂B= ▲。
2.复数z=（1+2i）（3-i），其中i为虚数单位，则z的实部是▲。
3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线27x-27y=1，其中i为虚数单位，则z的实部是▲。
4.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则改组数据的方差是▲。
5.函数y=的定义域是▲。
6.右图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲。
7.讲一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲8.已知{a m }是等差数列，S m 是其前n 项的和，a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是 ▲9.定于在区间[0，3π]上的函数y=sin2x 的图像与y=cosx 的图像的交点个数是 ▲10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2222=1(0)x y a b a b+>>的右焦点，直线2b y =与椭圆相较于B,C 两点，∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ▲11.设22x y + ()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10()5,012x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a R ∈，若59()()22f f -=，则(5)f a的值是 ▲12.已知实数x,y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围是的取值范围 ▲13. 如图,在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F ，是AD 上的两个三等分点，·4BACA = ,·1BF CF =- ,则·BE CE 的值是 ▲14.在锐角三角形ABC 中，若SINA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 ▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
2016年 江苏省 高考数学 试卷及解析
2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．5．（5分）函数y=的定义域是．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．18．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．2314．（5分）在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 ．二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）在△ABC 中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB 的长；（2）求cos （A ﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1．求证： （1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q ，使得+=，求实数t的取值范围．419．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T =++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．5B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l 的参数方程为（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；6（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．72016年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，8故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：9=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．10【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．11【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，12∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案；法2：由sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，可得cosx=0或sinx=，结合题意，解之即可．【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．13法2：依题意，sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，故cosx=0或sinx=，因为x∈[0，3π]，故x=，，，，，，，共7个，故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求．【解答】解：设右焦点F（c ，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，14可得B （﹣a ，），C （a ，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=，另解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B （﹣a ，），C （a ，），=（﹣a﹣c ，），=（a﹣c ，），•=0，则c2﹣a2十b2=0，因为b2=a2﹣c2，代入得3c2=2a2，15由e=，可得e2==，可得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f （﹣）=f （），则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a ，f （）=f（）=|﹣|=，16∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键．12．（5分）已知实数x，y 满足，则x2+y2的取值范围是[，13] ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，17故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD 上的两个三等分点，．•=4，•=﹣1，则•的值是【解答】解：∵D是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，18=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，19在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，20令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A ﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A ﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，21∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A ﹣）=cosA +sinA=．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．22【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，23∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？24【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度25中档．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q ，使得+=，求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．26【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵A（2，4），T（t，0），，∴，①∵点Q在圆M上，∴（x2﹣6）2+（y2﹣7）2=25，②将①代入②，得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25，27∴点P（x1，y1）即在圆M上，又在圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2=25上，从而圆（x﹣6）2+（y﹣7）2=25与圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2=25有公共点，∴5﹣5≤≤5+5．解得2﹣2≤t，∴实数t的取值范围是[2﹣2，2+2]．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．28【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m （）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=a x lna+b x lnb=a x [+]lnb，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，29因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x ＞=2，b x＞0，则g（x）＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）≥0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T =++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；30（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）等比数列{a n}中，a4=3a3=9a2，当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，31①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．32【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，33∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l 的参数方程为（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，34两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．35附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q 关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l 上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），36即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p ，∴，又PQ的中点在直线l 上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，37∴p ∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．38②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．39【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．40。
2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,nx x x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑，其中11n ii x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2016年江苏，1，5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______． 【答案】{}1,2-【解析】由交集的定义可得{}1,2A B =-．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． （2）【2016年江苏，2，5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______． 【答案】5【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______．【答案】210【解析】2210c a b +，因此焦距为2210c =【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础 （4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． （5）【2016年江苏，5，5分】函数232y x x =--的定义域是_______． 【答案】[]3,1-【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-． 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题． （6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________． 【答案】9【解析】,a b 的变化如下表：a1 5 9 b9 7 5 则输出时9a =．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． 【答案】56【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． （8）【2016年江苏，8，5分】已知{}na 是等差数列，nS 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是_______． 【答案】20【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． （9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是________． 【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数sin 2y x =与cos y x =在区间[]0,3π上的图象是关键，属于中档题．（10）【2016年江苏，10，5分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x ya b a b +=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是________． 6-11OyxFC BOyx原点A 到直线220x y +-=的距离，22541d -==+()22min45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13x y +=． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键． （13）【2016年江苏，13，5分】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，2CE a b =+，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-，224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==， 因此22451374888BE CE ab ⨯⋅=-=-=．【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． （14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是_______．【答案】8【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*），由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=，又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)， 则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得FE()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C tt t=-=---， 221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 22,tan 22,tan 4B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指．．．．定区域内．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2016年江苏，15，14分】在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．（1）求AB 的长；（2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 解：（1）4cos 5B =，B 为三角形的内角，3sin 5B ∴=，sinC sin AB ACB=，6325=，即：52AB =（2）()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，2cos A ∴=，又A 为三角形的内角，72sin A ∴=，π31726cos sin 62A A A -⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2016年江苏，16，14分】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证： （1）直线//DE 平面11AC F ； （2）平面1B DE ⊥平面11AC F ． 解：（1）,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE AC ∴，又111ABC A B C-为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11AC F ，且11DE AC F ⊄，//DE ∴平面11AC F ．（2）111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C ，111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥，且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B ，11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B ，又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥，又11A F B D ⊥，1DE B D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE ，1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂，∴平面1B DE ⊥平面11AC F ．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大． （17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱 的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．（1）若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？解：（1）12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==， 111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V VV --+=，故仓库O 1ODCD 1C 1B 1A FECBA C 1B 1A 1的容积为3312m ．（2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x ，则14m OO x =，21136mAO x -，211236A B x -，()1111223331111272272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x x -⋅=⨯-⨯=-=-=， 11112233172242888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x x -⋅=-⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(0,23x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()23,6x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当23x =时，()V x 取到最大值，即123m PO =时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．（18）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．解：（1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >，又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则yxO MA75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=．（2）由题意得25OA =2OAk = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离21275521b b d -++==+则()2225252255b BC d +=-=-25BC =，即()25225255b +-=解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-．（3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，()2224TA t =-+又10PQ ≤， 即()222410t -+，解得2221,221t ⎡∈-+⎣，对于任意221,221t ⎡⎤∈-+⎣⎦，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA 的平行线，使圆心到2254TA -，必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ =，即TA PQ =，因此对于任意2221,221t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2221,2221t ⎡∈-+⎣．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．（19）【2016年江苏，19，16分】已知函数()()0,0,1,1xxf x a b a b a b =+>>≠≠． （1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．解：（1）①()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222xx +=，则()222210x x-⨯+=，即()2210x-=，则21x=，0x =．②由题意得221122622xxxxm ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122xxt =+，则由20x >可得12222x xt ⨯=≥，此时226tmt --≥恒成立，即244t m t t t+=+≤恒成立∵2t ≥时444t t t t+⋅=≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．（2）()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln xxxxa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a>， 令()ln ln xb ah x a b⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0xa b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0xa b >， 则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ，① 若()00g x <，log 2ax <时，log 22a xa a >=，0xb >，则()0g x >；x >log b 2时，0x a >，log 22b xb b>=， 则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾； ② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ，可得()00g x =，由()00020g ab =+-=，因此0x=，因此ln log0ln b aa b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln ab-=，即ln ln 0a b +=，因此()ln 0ab =，则1ab =．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．（20）【2016年江苏，20，16分】记{}1,2,,100U =．对数列{}na （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0TS =；若{}12,,,k T t t t =，定义12kTt t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}na （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30TS =． （1）求数列{}na 的通项公式；（2）对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D DS S S +≥． 解：（1）当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=．（2）2112131133332k k kTk k Sa a a a -+-++=++++=<=≤（3）设()CA C D =，()DB C D =，A B =∅，CAC DS S S =+，DBC DS S S =+， 22CC DDABS S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C DS S ≥可知A BS S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A BS S ≥．② 若B ≠∅，由A BS S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ， 若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m BS a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥，211123113332222m m m lAB m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2ABSS >．综上所述，2ABS S ≥，因此2CC DDS S S +≥．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．数学Ⅱ【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两．．．．．题．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2016年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点，求证：EDC ABD ∠=∠．解：由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C∠=∠，由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒，由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C 是关键，属于中档题．（21-B ）【2016年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．ECBA解：()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121440210102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题． （21-C ）【2016年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,23,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．解：直线l 330x y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得2233014x y y x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1x y =⎧⎨=⎩或1783x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此221831610777AB ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．（21-D ）【2016年江苏，21-D 】（本小题满分10分）（选修4-4：不等式选讲）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a+-<．解：由13a x -<可得2223a x -<，22422233a ax y x y a +--+-<+=≤． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2016年江苏，22，10分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围． 解：（1）:20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，22p∴=，28y x ∴=．（2）① 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y xp⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y pk y y y y p p-==+-，又,P Q关于直线l 对称，1PQk∴=-，即122y yp+=-，122y y p +∴=-，又PQ中点一定在直线l 上，12122222x xy y p ++∴=+=-，∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；② 中点坐标为()2,p p --，122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p+=-⎧⎨+=-⎩，12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩， 即关于222440ypy p p ++-=有两个不等根，0∴∆>，Cl yxO()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． （23）【2016年江苏，23，10分】（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+． 解：（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=．（2）对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+， 当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m m m m m m m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+，而()()()()()()()()()22323!2!1C 1C 12!1!2!!m m k k k k m m m m k m m k m ++++⎡⎤+++-+=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()12!1!13122C 2!1!!1!mk k k m k k m k k m k m m k m +++=+⨯+--+=+=+⎡⎤⎣⎦+-+-+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立． 另解：因为()()111C 1C m m kk k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++ 又由111C C C k k k nn n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,参考版解析)
...因此 BE CE4a b4 5 137 ．2288 8在锐角三角形 ABC 中， sin A 2sin B sin C ，那么 tan A tan B tan C 的最小值是 ．8；xiv.由 sin Asin π A sin B C sin B cosC cos B sin C ， sin A 2sin Bsin C ，可得 sin B cosC cos B sin C 2sin Bsin C 〔 * 〕，由三角形 ABC 为锐角三角形，那么 cosB 0,cos C 0 ，在〔 * 〕式两侧同时除以 cos B cosC 可得 tan B tan C2tan Btan C ，又 tan Atan π Atan BCtan B tan C (#) ，1 tan B tanC那么 tan A tan B tan Ctan B tan C1tan B tanC ，tan B tanC2由 tan B tanC2 tan B tanC2 tan B tanC 可得 tan A tan B tanC1，tan B tan C令 tan B tanC t ，由 A, B, C 为锐角可得 tan A0, tan B0,tanC 0 ，由(#)得 1 tan B tan C 0 ，解得 t 1tan A tan B tan C2t 2 2 ，t11 1t 2t1 1 1 1 21 1 11，由 t 1 那么0 ，因此 tan Atan B tanC最小值为 8，t2tt24 t2t4当且仅当 t 2 时取到等号，此时 tan B tan C 4 ， tan B tan C 2 ，解得 tan B22,tan C22,tan A 4 〔或 tan B,tan C 互换〕，此时 A, B,C 均为锐角．二、解答题： 本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔本小题总分值14 分〕在△ABC 中， AC 6 ， cos B4， Cπ．54⑴求 AB 的长；⑵求 cos Aπ 的值．6⑴ 5 2；⑵7 26 ．201.cos B4， B 为三角形的内角5sin B 3 5AB ACsinC sin BAB623，即： AB 5 2 ；25a) cos A cos C B sin B sin C cos B cosC2cos A10又A为三角形的内角72sin A10cos Aπ3cos A1s in A726．62220〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， D, E 分别为 AB , BC 的中点，点F在侧棱 B1B 上，且 B D A F AC1A B C111，1 1 1 ．求证：⑴直线 DE // 平面 AC FA1B1；11⑵平面 BDE平面AC F．111F 见解析；2.D, E 为中点，DE 为ABC 的中位线DE // AC又ABC A B C 为棱柱，AC //AC1 1 111CEA D BDE // AC1 1，又AC1 1平面 AC11F，且DEAC1 1FDE //平面AC F；1 1a)ABC A1B1C1为直棱柱，AA1平面 A1B1C1AA AC，又AC1A B1 1 11 1 1且AA1 A1 B1 A1， AA1 , A1 B1平面 AA1B1 BAC1平面AAB B，11113又 A 1FB 1D ， DE B 1DD ，且 DE, B 1D平面 B 1 DEA F平面B DE，又A FAC F1111 1平面 B DE平面AC 1 F．11〔本小题总分值14 分〕现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥P A 1 B 1C 1D 1，下局部的形状是正四棱柱 ABCD A 1B 1C 1 D 1〔如下图〕 ，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高 PO 1的 4 倍．⑴假设AB6 m ， PO 12 m ，那么仓库的容积是多少；PD 1 C 1⑵ 假设正四棱锥的侧棱长为6 m ，当 PO 1为多少时，仓库的容积最大？O 1A 1B 13；⑵ 2 3 m ； DC⑴ 312 mO3. PO 1 2 m ，那么OO 18 m ，ABV P A 1B 1C 1D 1=1S ABCD PO 11 62 224 m 3， V ABCDA 1B 1C 1D 1=S ABCD OO 1628 288 m 3 ，33V =V PABCDV ABCDABCD312 m3 ，11 1 111 11故仓库的容积为 312 m 3；a) 设 PO 1x m ，仓库的容积为 V ( x)那么 OO 1 4 x m ， AO 1 136 x 2 m ， A 1B 12 36 x 2 m ，11212V P A 1B 1C 1D 1= S ABCD PO 172 2 x 2x72x 2 x 3 24xx 3 m 3 ，3 3332233V ABCD A 1B 1C 1D 1=S ABCD OO 1724 x 288x2x 8 x m ，V x =V PABCDV ABCD ABC D24x 2 x 3 288x8x 326 x 3 312 x 0 x6 ，1 11 11 1 1 133V ' x26x 2 312 26 x 212 0 x 6 ，当 x 0,2 3 时，V' x0 ， V x 单调递增，当 x2 3,6 时，V'x0 ， V x 单调递减，因此，当 x2 3时，Vx 取到最大值，即 PO 1 23 m 时，仓库的容积最大．〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，。
2016年江苏高考数学试卷及参考答案清晰版
2016年全国高等学校招生考试数学试题江苏卷参考公式圆柱的体积公式：=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高.V 圆柱圆锥的体积公式： Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高.V圆锥131、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合 则________________. {1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<=A B I 2.复数 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________.(12i)(3i),z =+-3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的焦距是________________. 22173x y -=4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________________.5.函数y 的定义域是.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=—3，S 5=10，则a 9的值是.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆的右焦点，直线与椭圆22221()x y a b a b +=＞＞02b y =交于B ，C 两点，且 ,则该椭圆的离心率是.90BFC ∠=o11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[−1,1)上， 其中 若，则f （5a ）的值,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩.a ∈R 59()()22f f -=是.12. 已知实数x ，y 满足，则x 2+y 2的取值范围是 .240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，，4=∙ ，则 的值是.1BF CF ⋅=-u u u r u u u r BE CE ⋅u u u r u u u r14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在中，AC =6，ABC △4πcos .54B C ==，（1）求AB 的长；（2）求的值.πcos(6A -)16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且，11B D A F⊥.1111A C A B ⊥求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下1111P A B C D -部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱1111ABCD A B C D -1O O锥的高的四倍.1PO (1)若则仓库的容积是多少？16m,2m,AB PO ==(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库1PO 的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :及其上一点A (2，4)221214600x y x y +--+=(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3)设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,求实数t 的取值范围。
2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (江苏卷) WORD版
高考注意事项1．进入考场时携带物品。
考生进入考场,只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。
严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。
考场内不得自行传递文具等物品。
由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备,所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品,以免影响入场时间。
2．准确填写、填涂和核对个人信息。
考生在领到答题卡和试卷后,在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。
填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规,查实后按照有关规定严肃处理。
监考员贴好条形码后,考生必须核对所贴条形码与自己姓名、准考证号是否一致,如发现不一致,立即报告监考员要求更正。
3．考场面向考生正前方墙壁上方悬挂时钟,为考生提供时间参考。
考场时钟时间指示不作为考试时间信号,考试时间一律以考点统一发出铃声信号为准。
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页,均为非选择题（第1题—第20题,共20题）。
本卷满分为160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前,请务必将自己姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴条形码上姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上制定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅方差()2211ni i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑棱柱体积公式： V =Sh ,其中S 是棱柱底面积,h 为高. 棱锥体积公式：V13Sh ,其中S 是棱锥底面积,h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
2016高考江苏省真题+答案详细解析
绝密★启封前绝密★启封前2016普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）英 语注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
框涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷第Ⅰ卷第一部分第一部分 听力（共两节，满分听力（共两节，满分 30 分）分）做题时，现将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
到答题卡上。
第一节（共第一节（共 5 小题；每小题小题；每小题 1.5 分，满分分，满分 7.5 分）（略）（略）听下面听下面 5 段对话，每段对话后有一个小题。
从题中所给的 A,B,C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，听完每段对话后，你都有你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
小题。
每段对话仅读一遍。
例：例： How much is the shirt? A.£A.£ 19.15 B.£ 19.15 B.£ 9.18 C.£ 9.18 C.£ 9.15 9.15 答案是答案是 C 。
1.What are the speakers talking about? A.Having a birthday party. B.Doing some exercise. C.Getting Lydia a gift. 2.What is the woman going to do? A.Help the man. B.Take a bus. C.Get a camera. 3.What does the woman suggest the man do? A.Tell Kate ，s to stop. B. Call Kate ，s frends. C.Stay away from Kate. 4.Where does the conversation probably take place? A.In a wine shop. B. In a supermarket. C. In a restaurant. 5.What doer the woman mean? A.Keep the wondow closed. B.Go out for fresh air, C.Turn on the fan. 第二节第二节 （共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）分）听下面5段对话或独白。
2016年高考江苏卷数学试题(含答案)
数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________. 4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y =232x x -- 的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是▲. 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是▲.(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是▲.12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是▲.13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE⋅ 的值是▲.14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是▲. 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A )的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的四倍.(1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程； (3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。
2016年高考数学江苏省(理科)试题及答案【解析版】
2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分,满分70分）【2016江苏(理）】已知集合A={﹣1，2，3,6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．【答案】｛﹣1，2｝【解析】解：∵集合A=｛﹣1，2，3，6}，B=｛x｜﹣2＜x＜3}，∴A∩B=｛﹣1，2}，【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．【答案】5【解析】解：z=(1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，【2016江苏(理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．【答案】2【解析】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．【2016江苏（理）】已知一组数据4。
7，4.8，5。
1，5。
4，5.5，则该组数据的方差是．【答案】0。
1【解析】解：∵数据4。
7,4。
8,5.1，5。
4，5。
5的平均数为:=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5。
1,∴该组数据的方差：S2=［（4.7﹣5。
1)2+(4。
8﹣5。
1)2+(5。
1﹣5。
1)2+(5.4﹣5。
1）2+（5.5﹣5。
1)2］=0。
1．【2016江苏(理）】函数y=的定义域是．【答案】［﹣3,1］【解析】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0,解得：x∈[﹣3，1]，【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】解：当a=1,b=9时，不满足a＞b，故a=5,b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，【2016江苏（理)】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4,5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：(4，6)，（6，4)，(5，5),（5，6），（6,5），（6，6),共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．【2016江苏（理）】已知{a n｝是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．【答案】20【解析】解：∵｛a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴,解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．【2016江苏（理）】定义在区间［0，3π］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．【答案】7【解析】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间［0，3π］上的图象如下：由图可知,共7个交点．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B(﹣a,）,C(a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1,即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=,可得e2==，可得e=，【2016江苏（理）】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R,若f（﹣）=f（），则f(5a)的值是．【答案】﹣【解析】解：f(x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f(﹣）=f（﹣）=﹣+a，f(）=f(）=｜﹣｜=,∴a=，∴f（5a)=f(3）=f(﹣1）=﹣1+=﹣，【2016江苏(理）】已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．【答案】［,13］【解析】解:作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方,由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3）,此时z=22+32=4+9=13,点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是［,13]，故答案为:[，13]．【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点,•=4,•=﹣1，则•的值是．【答案】【解析】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1,•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．【答案】8【解析】解：由sinA=sin(π﹣A）=sin（B+C)=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0,在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0,解得t＞1,tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号,此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+,tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．二、解答题（共6小题，满分90分）【2016江苏(理）】在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．(1）求AB的长; （2)求cos（A﹣)的值．【解析】解：（1）∵△ABC中，cosB=,∴sinB=，∵，∴AB==5;（2）cosA=﹣cos(C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角,∴sinA=，∴cos(A﹣）=cosA+sinA=．【2016江苏(理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点,点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证:(1)直线DE∥平面A1C1F；（2)平面B1DE⊥平面A1C1F．【解析】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点,∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1,∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B,∵DE∥A1C1,∴DE⊥平面AA1B1B,又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D,且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P ﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【解析】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=m,则仓库的容积V=×(•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6）,∴V′=﹣26x2+312,(0＜x＜6），当0＜x＜2时,V′＞0，V(x)单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x)单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2+y2﹣12x ﹣14y+60=0及其上一点A（2,4）．(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程;（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=,求实数t的取值范围．【解析】解:（1）∵N在直线x=6上,∴设N（6,n）,∵圆N与x轴相切,∴圆N为：(x﹣6）2+（y﹣n)2=n2,n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（(x﹣6）2+（x﹣7)2=25，∴｜7﹣n|=|n｜+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+(y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC｜=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即｜｜=||，|｜=，又||≤10，即≤10，解得t∈［2﹣2，2+2］，对于任意t∈［2﹣2，2+2]，欲使，此时,｜｜≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为,必然与圆交于P、Q两点，此时｜｜=|｜,即，因此实数t的取值范围为t∈［2﹣2，2+2]，．【2016江苏（理）】已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1,b≠1)．(1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf(x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1,b＞1，函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【解析】解:函数f（x)=a x+b x（a＞0,b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2;即:=2，可得x=0．②不等式f(2x)≥mf(x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=,t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2)g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=axlna+bxlnb=ax[+］，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h(x0）=0，因此x∈（﹣∞,x0）时，h（x）＜0,a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h(x）＞0，a x lnb＞0,则g′（x）＞0,则g(x）在（﹣∞，x0）递减,（x0，+∞）递增,因此g（x）的最小值为：g（x0)．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2,b x＞0，则g（x)＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时,g(x1）＞0,因此g（x）在(x1，x0）有零点，则g(x)至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x)的最小值为g（x0）,可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0,因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0,ln（ab)=0,则ab=1．可得ab=1．【2016江苏（理)】记U={1，2,…，100}，对数列{a n}(n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0;若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如:T=｛1，3，66｝时，S T=a1+a3+a66．现设｛a n｝（n∈N*）是公比为3的等比数列,且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；(2)对任意正整数k(1≤k≤100），若T⊆｛1，2，…,k}，求证：S T＜a k+1；(3）设C⊆U,D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【解析】解：(1）当T=｛2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3,从而a1==1，故a n=3n﹣1,(2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，(3）设A=∁C(C∩D），B=∁D（C∩D),则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅,设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=＜=,即S A≥2S B,综上所述，S A≥2S B,故S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【真题】2016年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲.2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是▲.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是▲.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是▲.5.函数y =232x x --的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是▲.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
2016年江苏省高考数学试题含答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题—第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的制定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑棱柱的体积公式： V =Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 为高. 棱锥的体积公式：V13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y =232x x -- 的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=－3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲.(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅= ，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥ .求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的四倍. (1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。
正版2016新课标II全国卷理科数学答题卡
2016普通高等学校招生全国统一考试理科数学答题卡姓 名 ________________________ 准考证号考生禁填： 缺考考生由监考员填涂右边的缺考标记． 填涂 样 例 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码；2．选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
正确填涂错误填涂 √ × ○ ● 一、选择题（每小题5分，共60分） A B C D 1 A B C D 2 A B C D3 A B C D4 A B C D5 A B C D6 A C D B7 A C D B8 A C DB 9 AC DB 10 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效13、 14、 15、 16、二、填空题（每小题5分，共20分） 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效考 生 条 形 码粘 贴 处请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18、（本小题满分12分）19、（本小题满分12分）17、（本小题满分12分）A C DB 11 ACD B 12请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20、（本小题满分12分）21、（本小题满分12分）请考生在22、23、24题中任选一题作答，并将所选题目后面的方框用 2B 铅笔涂黑22.【选修4-1几何证明选讲】23.【坐标系与参数方程】24.【不等式选讲】（本小题满分10分）22题图（可能用到）。
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2017年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试卷答题卡姓名________________________准考证号考生条形码粘贴处1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码；2.选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚；3.请按照题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、试题纸上的答案无效；4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破.注意事项一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．.1. __________________________2. ___________________________3. __________________________4. ___________________________5. __________________________6. ___________________________7.___________________________ 8. ___________________________9. __________________________ 10.___________________________11.__________________________ 12.___________________________13.__________________________ 14.___________________________请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效16.…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效17.…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………18. 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