(竞赛)全国2010高中数学联赛模拟试题(9)
2010年全国高中数学联赛一试试题及答案
6. 两人轮流投掷骰子否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获胜概率是
84 . 119 21 7 = ，从而先投掷人的获胜概率为 36 12
解：同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为
7 5 7 5 7 + ( )2 × + ( )4 × + " 12 12 12 12 12 7 1 84 . = × = 25 119 12 1− 144
2
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g ( y ) max = a 2 + 3a − 2 = 8 ⇒ a = 2 ，
所以 g ( y ) min = 2
1 + 3 × 2 −1 − 2 = − . 4 1 综上 f ( x) 在 x ∈ [ −1,1] 上的最小值为 − . 4
解二：如图， PC = PC1 , PA1 = PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则
OA1 = OB, OA = OB1 , A1 B ⊥ AB1 .
因为 PA = PB1 , 所以 PO ⊥ AB1 ,
从而 AB1 ⊥ 平面 PA1 B . 过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ⊥ A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ∠B1 EO 为二面角 B − A1 P − B1 的平面角. 设 AA1 = 2 ,则易求得
2
3 ≤ a ≤ 12 . 2
解：令 sin x = t ，则原函数化为 g (t ) = ( −at + a − 3)t ，即
2
g (t ) = −at 3 + (a − 3)t .
由
− at 3 + (a − 3)t ≥ −3 ， − at (t 2 − 1) − 3(t − 1) ≥ 0 ，
全国高中数学联赛模拟试卷试题.doc
全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题 6 分共 36 分）1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ，且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020，则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是 60 0，又侧棱与底面所成的角都是450 ，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ，且 xy 1 ，则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点，则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题 9 分共 54 分）7. 在锐角三角形 ABC 中，设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ，则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数，具有性质：若a A ，则 12- aA ，这样的集合共有 个 .10. 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ，使△ ABC 为正三角形，若存在， C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a nan 11(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x，其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数；的取范是 _____________________. 三、解答题（每题20 分共 60 分）13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。
2000-2010全国高中数学联赛试题
2010 年全国高中数学联合竞赛一试试卷一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，共64 分．把答案填在横线上．1．函数 f x x 5 24 3 x 的值域是．2 ．已知函数y a cos 2 x 3 sin x 的最小值为3 ，则实数a 的取值范围是．3．双曲线x 2 y 2 1 的右半支与直线x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是．4．已知an 是公差不为0 的等差数列，bn 是等比数列，其中a1 3 ，b1 1 ，a2 b2 ，3a5 b3 ，且存在常数，使得对每一个正整数n 都有an log bn ，则．5．函数f x a 2 x 3a x 2 （a 0 ，a 1 ）在区间x 11 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是．6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是．7 ．正三棱柱ABC A1 B1C1 的9 条棱长都相等，P 是CC1 的中点，二面角B A1 P B1 ，则sin ．8．方程x y z 2010 满足x y z 的正整数解x ，y ，z ）（的个数是．二、解答题：本大题共3 小题，共56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16 分）已知函数 f x ax3 bx 2 cx d （a 0 ）当0 x 1 时，，f x 1 ，试求 a 的最大值．10．（本小题满分20 分）已知抛物线y 2 6 x 上的两个动点A（x1 ，y1 ）B（x2 ，和y2 ）其中x1 x2 且x1 x2 4 ．，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，ABC 求面积的最大值．11．（本小题满分20 分）证明：方程 2 x 3 5 x 2 0 恰有一个实数根r ，且存在2唯一的严格递增正整数数列an ，使得r a1 r a2 r a3 ．5 2010 年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A 卷）（考试时间：10 月17 日上午9∶40—12∶10）一、（本题满分40 分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点）D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与ACA ，交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．O K C B D N M 1 （本题满分40 分）设k 是给定的正整数，r k ．记 f r f r r r ，1二、2f l r f f l 1 r ，l 2 ．证明：存在正整数m ，使得 f m r 为一个整数．这1里x 表示不小于实数x 的最小整数，例如：1 ，1 1 ．2三、（本题满分50 分）给定整数n 2 ，设正实数a1 ，a2 ，…，an 满足ak 1 ，k 1 ，a1 a2 ak n n n 12，…，n ，Ak 记，k 1 ，2 ，…，n ．求证：ak Ak ．k k 1 k 1 2四、（本题满分50 分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形A1 A2 An 的每个顶点处赋值0 和1 两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？2009 年全国高中数学联合竞赛一试题一、填空（共8 小题，每小题7 分，共56 分）x 1．若函数f x 且f n x f f f f x ，则f 99 1 ．1 x2 n 2．已知直线L : x y 9 0 和圆M : 2 x 2 y 8 x 8 y 1 0 ，点A 在直线L 上，2 2B ，C 为圆M 上两点，在ABC 中，BAC 45 ，AB 过圆心M ，则点 A 横坐标范围为．y≥0 3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为y ≤ x ，N 是随t 变化的区域，y≤2 x它由不等式t ≤ x ≤ t 1 所确定，t 的取值范围是0 ≤ t ≤1 ，则M 和N 的公共面积是函数 f t ．1 1 1 1 4．使不等式 a 2007 对一切正整数n 都成立的最小n 1 n 2 2n 1 3正整数 a 的值为．2 2 x y 5．椭圆 2 2 1 a b 0 上任意两点P ，Q ，若OP OQ ，则乘积OP OQ a b的最小值为．6．若方程lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么k 的取值范围是．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）8．某车站每天8 00 9 00 ，9 00 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时∶∶∶刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为8 10 ∶8 30 ∶8 50 ∶到站时刻9 10 ∶9 30 ∶9 50 ∶1 1 1 概率6 2 3 一旅客8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题1．（本小题满分14 分）设直线l : y kx m （其中k ，m 为整数）与椭圆x2 y2 x2 y2 1 交于不同两点 A ，B ，与双曲线 1 交于不同两点C ，D ，问是否16 12 4 12存在直线l ，使得向量AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2．（本小题15 分）已知p ，q q 0 是实数，方程x 2 px q 0 有两个实根，，数列an 满足a1 p ，a2 p 2 q ，an pan1 qan2 n 3 ，4 ，Ⅰ求数列an 的通项公式（用，表示）；1 Ⅱ若p 1 ，q ，求an 的前n 项和．4 3．（本小题满分15 分）求函数y x 27 13 x x 的最大和最小值．2009 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）一、如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC （A B ）的外接圆上弧BC 、AC⌒⌒的中点．过点C 作PC ‖MN 交圆于P 点，I 为ABC 的内心，连接PI 并延长交圆于T ．⑴求证：MP MT NP NT ；⌒⑵在弧AB（不含点C ）上任取一点Q （Q ≠ A ，T ，B ），记AQC ，△QCB 的内心分别为I1 ，I 2 ，P C N M I B T A Q 求证：Q ，I1 ，I 2 ，T 四点共圆．n k 1二、求证不等式：1 ln n ≤ ，n 1 ，2，… k 1 k 1 2 2三、设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m ≥ k ，使得Ck 与l m互素．四、在非负数构成的3 9 数表x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 P x21 x22 x23 x24 x25 x26x27 x28 x29 x x x x x x x x x 31 32 33 34 35 36 37 38 39 中每行的数互不相同，前 6 列中每列的三数之和为1，x17 x28x39 0 ，x27 ，x37 ，x18 ，x38 ，x19 ，x29 均大于．如果P 的前三列构成的数表x11 x12 x13 S x21 x22 x23 x x x 31 32 33 x1k 满足下面的性质O ：对于数表P 中的任意一列x2 k （k 1 ，2，…，9）均x 3k存在某个i 1 ，2 ，3 使得⑶xik ≤ ui min xi1 ，xi 2 ，xi 3 ．求证：（ⅰ）最小值ui min xi1 ，xi 2 ，xi3 ，i 1 ，2，3 一定自数表S 的不同列．x1k （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列x2 k ，k ≠ 1 ，2，3 使得3 3 数表x 3k x11 x12 x1k S x21 x22 x2 k x31 x32 x 3k 仍然具有性质O ．2008 全国高中数学联合竞赛一试试题一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分）1．函数f x 5 4 x x 在 2 上的最小值是 2 （）2 x A．0 B．1 C．2 D．3 2．设A 2 4 ，B x x ax 4 0 ，若B A ，则实数a 的取值范围为（） 2 A． 1 2 B． 1 2 C．03 D．03 3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 2 ，乙3在每局中获胜的概率为 1 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期3望 E 为（） A. 241 B. 266 C. 274 D. 670 81 81 81 243 4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为（）A. 764 cm3 或586 cm3 B. 764 cm3 3 3 C. 586 cm 或564 cm D. 586 cm3 x y z 0 5．方程组xyz z 0 的有理数解x yz 的个数为（）xy yz xz y 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．设ABC 的内角ABC 所对的边 a b c 成等比数列，则sin A cot C cos A 的sin B cot C cos B取值范围是（）A. 0 B. 0 5 1 C. 5 1 5 1 D. 2 2 2 5 1 2 二、填空题（本题满分54 分，每小题9 分）7．f x ax b ，设其中a b 为实数，f1 x f x ，f n1 x f f n x ，1 23 ，n若f 7 x 128 x 381 ，则a b . 8．设f x cos 2 x 2a1 cos x 的最小值为1 ，则a ．2 将9．24 个志愿者名额分配给3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种．10．设数列an 的前n 项和Sn 满足：Sn an n 1 ，n 1 2 ，则通项nn 1an ．11．设f x 是定义在R 上的函数，若f 0 2008 ，且对任意x R ，满足f x 2 f x 3 2 x ，f x 6 f x 63 2 x ，则 f 2008 ．12．一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．三、解答题（本题满分60 分，每小题20分）13．已知函数f x sin x 的图像与直线y kx k 0 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：cos 12 ．sin sin34 答13 图14．解不等式: log 2 x12 3x105 x83 x 6 1 1 log 2 x4 1 ．15 ．如题15 图，P 是抛物线y 2 2 x 上的动点，点BC 在y 轴上，圆x 12 y 2 1 内切于PBC ，求PBC 面积的最小值．答12 图1 答15 图2008 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）一、（本题满分50 分）如题一图，给定凸四边形ABCD ， B D 180 ，P 是平面上的动点，令f P PA BC PD CA PCAB ．（Ⅰ）求证：当f P 达到最小值时，PABC 四点共圆；（Ⅱ）设 E 是ABC 外接圆O 的AB 上一点，满足：AE 3 ，BC 3 1 ，AB 2 EC 1ECB ECA ，又DA DC 是O 的切线，AC 2 ，求 f P 的最小值．2 二、（本题满分50 分）设f x 是周期函数，T 和1 是 f x 的周期且0 T1 ．证明：1 答一图1 （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使是f x 的周期；p （Ⅱ）T 为无理数，若则存在各项均为无理数的数列an 满足1 an an 1 0n 12 ，且每个an n 1 2 都是 f x 的周期．三、（本题满分50 分）2008 设ak 0 ，k 1 2 2008 ．证明：当且仅当ak 1 时，存在数列xn 满足以k 1下条件：（ⅰ）0 x0 xn xn1 ，n 1 23 ；（ⅱ）lim xn 存在；n 2008 2007 （ⅲ）xn xn 1 ak xn k ak 1 xn k ，n 1 23 ．k 1 k 0 2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）P 1. 如图，在正四棱锥PABCD 中，∠APC60°，则二面角APBC 的平面角的余弦值为（）M D C A B 1 1 1 1 A.B. C. D. 7 7 2 2 2. 设实数a 使得不等式2xa3x2a≥a2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的 a 所组成的集合是（）1 1 1 1 1 1 A. B. C. D. 3，3 3 3 2 2 4 3 3. 将号码分别为1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
2010年全国高中数学联赛模拟试题
2009年全国高中数学联赛模拟试题方廷刚(四川省成都七中 610041)一、填空题(共56分,每题7分)1.设ABC ∆是给定锐角三角形,则关于x 的方程22222sin (cos cos sin )x B x C A B +-+ 22sin cos 0A C +=的解集是_________________.2.空间给定不共面的,,,A B C D 四点,其中任意两点间的距离均不相同,考虑具有如下性 质的平面α:,,,A B C D 中有三个点到α的距离相同,第四点到α的距离是那三点之一到α的距离的2倍,这样的平面α的个数是__________.3.设201,2(0,1,2,)n n a a a a n n +==-=,若{}n a 的所有项都是正整数,则{}n a 的最小值是__________.4.过椭圆22195x y +=内一点作两条弦AB 和CD ,过,A B 作椭圆的两切线交于E ,过,C D 作椭圆的两切线交于F ,则直线EF 的方程是____________________.5.设42ππθ<<,则2sin 2cos S θθ=-的最大值为_________. 6.圆台21O O 的上下底面半径分别是1r 和2r ,高为h ,以1O 为锥顶,圆台下底面为底面的圆 锥记为1V ,以2O 为锥顶,圆台上底面为底面的圆锥记为2V ,则圆台21O O 的既在圆锥1V 之外又在圆锥2V 之外的部份的体积为______.7.设函数)(x f 满足)2(x f =1222-+-a ax x ,且)(x f 在区间[12-a ,2222+-a a ]上的值域为[1,0]-,则a 的取值范围是_______________.8.一次AMC 考试共30题,评分标准规定每题答对得5分,答错得0分,不答得2分,一个参赛选手在每题所得分的和叫做该选手的总分.假设参赛选手足够多,则所有可能给出的不同总分的种数是____________.二、解答题(共44分)9.(14分)已知}{n a 是等差数列,d 为公差且不等于0,1a 和d 均为实数,它的前n 项和记作n S ,设集合}|),{(*N n nS a A n n ∈=,},,141|),{(22R y x y x y x B ∈=-=,证明或否定下列结论: (1)B A 至多有一个元素.(2)当01≠a 时,一定有∅≠B A .10.(15分)过椭圆22221x y a b+=(0>>b a )中心O 作互相垂直的两条弦,AC BD ,设点,A B 的离心角分别为1θ和2θ(这里A 的离心角是1θ等于说A 的坐标为11(cos ,sin )a b θθ),求)cos(21θθ-的取值范围.11.(15分)求321()(1)x g x x x x+=>-的最小值.加试题一、等腰ABC ∆中,,AC BC I =为其内心,P 是IAB ∆的外接圆在ABC ∆内部的弧上的一点,过P 作AB 的平行线分别交,CA CB 于M 和N ,再在AB 上取点 ,E F ,使得PE ∥CA 且PF ∥CB ,求证直线ME 与直线NF 的交点在ABC ∆的外接圆上.二、设+∈R c b a ,,,abc =1,求证:))()((b a a c c b +++≥4[(c b a ++)1)3(81-++c b a ] (1)三、给定正整数,,,(,)1k a b a b =,求使二元一次不定方程ax by n +=恰有k 个不同正整数解(,)x y 的整数n 的最大值和最小值.四、数学实验班共30名学生,每个学生在班内都有同样多的朋友(朋友是相互的).在一次考试中,任意两名学生的成绩都不相同.若一个学生的所有朋友中,有超过一半朋友的成绩低于该生,则称该生为“好学生”.“好学生”最多可能有多少个?证明你的结论.。
全国高中数学联赛模拟试题第九卷附答案
全国高中数学联赛模拟试题（九）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=10n i i a 等于（A ）2 （B ）-1（C ）1 （D ）04、已知α、β是方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且α是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2（C ）0（D ）3i5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()abb a acc a bcc b A 222222111111--+--+--=，则A的值是 （A ）3（B ）-3（C ）4 （D ）-46、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、θ∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、θ，F (a ,θ)的最大值和最小值分别是 ．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是 ．5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ． 6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．五、（20分）已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．证明：2713≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1．第二试一、（50分）已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．二、（50分）M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案第一试二、填空题：1、该凸多边形存在内切圆；2、5；3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．三、332．四、7．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、有．。
2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编
函数值域与最值1、 (2010年江西省预赛试题)函数21)(2+-=x x x f 的值域是2、 (2010年安徽省预赛试题)函数242)(xx x x f --=的值域是3、 (2010年山西省预赛试题)若],0[π∈x ，函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是 4、 (2010年辽宁省预赛试题)函数|cos |3|sin |2)(x x x f +=的值域是5、 (2010年全国联赛一试试题)函数xx x f 3245)(---=的值域是6、(2010年河北省预赛试题)已知关于x 的不等式kx x ≥-+2有实数解，则实数k 的取值范围是7、(2010年江西省预赛试题)设多项式)(x f 满足：对R x ∈∀，都有xxx f x f 42)1()1(2-=-++，则)(x f 的最小值是8、(2010年四川省预赛试题)已知函数424)42()(24224+++-++=xxx k k xx f 的最小值是0，则非零实数k 的值是9、(2010年全国联赛一试试题)已知函数xx a y sin )3cos(2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是10、(2010年全国联赛一试试题)函数)1,0(23)(2≠>-+=a a aax f xx在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 11、(2010年福建省预赛试题)已知函数|2|)(a x x x f -=，试求)(x f 在区间]1,0[上的最大值)(a g12、(2010年辽宁省预赛试题)已知131≤≤a ，若12)(2+-=x axx f 在]3,1[上的最大值为)(a M ，最小值为)(a N ，令)()()(a N a M a g -=函数性质与导数的应用1、(2010年河北省预赛试题)函数)1(+=x f y 的反函数是)1(1+=-x fy，且4007)1(=f ，则=)1998(f2、(2010年山西省预赛试题) 函数2)(2-=axx f ，若2))2((-=f f ，则=a3、(2010年辽宁省预赛试题)不等式xx 256log )1(log >+的整数解的个数为4、(2010年吉林省预赛试题)已知1)1,1(=f ，),(),(**N n m N n m f ∈∈，且对任意*,Nn m ∈都有：①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+，则)2008,2010(f 的值为5、(2010年山东省预赛试题)若函数xe ex xf -=ln)(，则=∑=)2011(20101k ke f6、(2010年山东省预赛试题)函数432)(23+++=x xx x f 的图像的对称中心为7、(2010年山东省预赛试题)已知函数)0(4321)(2>--=a x axx f ，若在任何长度为2的闭区间上总存在两点21,x x ，使41|)()(|21≥-x f x f 成立，则a 的最小值为8、(2010年福建省预赛试题)函数)(cossin)(*22N k x x x f kk∈+=的最小值为9、(2010年河南省预赛试题)设11)(+-=x x x f ，记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2010x f10、(2010年湖北省预赛试题)对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x xax恒成立，则实数a 的取值范围为11、(2010年甘肃省预赛试题)设0>a ，函数|2|)(a x x f +=和||)(a x x g -=的图像交于C点且它们分别与y 轴交于A 和B 点，若三角形ABC 的面积是1，则=a 12、(2010年甘肃省预赛试题)函数RR f →:对于一切Rz y x ∈,,满足不等式13、(2010年黑龙江省预赛试题)设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时是严格单调函数，则满足)43()(++=x x f x f 的所有x 之和为14、(2010年贵州省预赛试题)已知函数2232)(aax xx f --=，且方程8|)(|=x f 有三个不同的实根，则实数=a 15、(2010年安徽省预赛试题)函数=y 的图像与xey =的图像关于直线1=+y x 对称16、(2010年浙江省预赛试题)设442)1()1()(x x x xk x f --+-=，如果对任何]1,0[∈x ，都有)(≥x f ，则k 的最小值为17、(2010年湖南省预赛试题)设函数xx x x f 2cos )24(sinsin 4)(2++⋅=π，若2|)(|<-m x f 成立的充分条件是326ππ≤≤x ，则实数m 的取值范围是18、(2010年新疆维吾尔自治区预赛试题)已知函数221)(xxx f +=，若)1011()1001(...)31()21(),101(...)2()1(f f f f n f f f m ++++=+++=，则=+n m19、(2010年河北省预赛试题)已知函数)1)(1ln(1221)(2≥+++-=m x x mxx f（1）若曲线)(:x f y C=在点)1,0(P 处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的值；（2）求证：函数)(x f 存在单调递减区间],[b a ，并求出单调递减区间的长度a b t -=的取值范围。
2010年全国高中数学联赛试题及答案
PA1 B .
过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ^ A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ÐB1 EO 为二面角 B - A1 P - B1 的平面 设 AA1 = 2 ,则易求得 PB = PA1 = 5, AO = B1O = 1 在直角 DPA1O 中， A1O × PO = A1 P × OE ,即
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容 易 知 道 当 -1 £ z £ 1 时 ， 0 £ h ( z ) £ 2, 0 £ h(-z) £ 2 . 从 而 当 -1 £ z £ 1 时 ，
0£
h( z ) + h(- z ) £2 ， 即 2
a1 = 3, b1 = 1, a2 = b2 ,3a5 = b3 ，且存在常数 a, b 使得对每一个正整数 n 都有 an = log a bn + b ，
则a+b = 5. .
2x
函数 f ( x ) = a
+ 3a x - 2( a > 0, a ¹ 1) 在区间 x Î [- 1,1] 上的最大值为 8，则它在这个
A1 C1 OA1 = OB, OA = OB , E 1 A 1B ^ AB1 B1 O A P
6 . 4
所以 sin a =
解法二：如图， PC = PC1 , PA1 = PB . 设 .
A1 B
与
AB1
交
于
点
O,
则
因为 PA = PB1 , 所以 PO ^ AB1 , 从而 AB1 ^ 平
面
区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正 三 棱 柱 ABC - A1 B1C1 的 9 条 棱 长 都 相 等 ， P 是 CC1 的 中 点 ， 二 面 角 . .
2010全国高中数学联赛试题及答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：10月17日上午8∶00—9∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．函数()f x 的值域是 ．2．已知函数()2cos 3sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 ． 3．双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ．4．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中13a =，11b =，22a b =，533a b =，且存在常数α，β使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+= ．5．函数()232xx f x aa =+-（0a >，1a ≠）在区间[]1,1x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 ．6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是 ．7．正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=，则sin α= ．8．方程2010x y z ++=满足x y z ≤≤的正整数解（x ，y ，z ）的个数是 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）已知函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），当01x ≤≤时，()'1f x ≤，试求a 的最大值．10．（本小题满分20分）已知抛物线26y x =上的两个动点A （1x ，1y ）和B （2x ，2y ），其中12x x ≠且124x x +=．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．11．（本小题满分20分）证明：方程32520x x +-=恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++．解 答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.5. 41- 提示：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos 4αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设BA 1与1AB 交于点,O则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类： （1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；OEPC 1B 1A 1CBA（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==.220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= . 当且仅当2202249y y -=+，即0y =,A B 或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆ 221221)5()(23+-=t t t t)5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t 3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t,66((33A B +-或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值是7314. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1(0,)2r ∈.所以 32520r r +-=，3152rr-=4710r r r r =++++.故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ， 去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.不妨设11t s <，则++=++<21211t t s s s r r r r r ，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A 卷）（考试时间：10月17日上午9∶40—12∶10）一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK MN ⊥，则A ，B ，D ，C 四点共圆．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记()()()1f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥， ()()()()()1l l f r f f r -=，2l ≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数1a ，2a ，…，n a 满足1k a ≤，1k =，2，…，n ，记12kk a a a A k+++=，1k =，2，…，n ．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑． 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？M解 答1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO r KO r=-+-，同理()()22222QK QO r KO r =-+-，所以 2222PO PK QO QK -=-， 故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM ⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =， 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅，⑤⑤-④，得2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．MFE OK CBA注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法． 当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． 假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++.显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v fr +是一个整数，这就完成了归纳证明．3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kniii i k ak an k ==+<≤<≤-∑∑．注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 11111max ,nk i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ 111max (),n k k n k n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1kn=-， 故111nnnk kn k k k k a AnA A ===-=-∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A --===-≤-∑∑111n k k n -=⎛⎫<-⎪⎝⎭∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2in C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22jn i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ① 这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i jn i n ij C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭∑∑∑∑ 022(1)(21)(21)nnk n kk n kk n n nn k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种．。
2010年全国高中数学联赛试题及答案_百度文库
11111k nnkiiiikAAaankn
11111nk iiikiaankn
1 1111max, n kiiikiaankn
条，02 ni，标有b的边有2j
条，202nij ．选取2i条边标记a的有2inC种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有22j niC种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有2inC22jniC种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》
9 2. （40分）设k是给定的正整数
，1 2 rk ．记(1)()()frfrrr， ()()lfr(1)(()),2lffrl．证明：存在正整数m，使得()()mfr为一个整数．这里，x表示不 小于实数x
AQAP QNPM ． ① 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
EQ P O N M KD C B A
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10 1NBDEAQ BDEAQN ， ②
2222220 04nniijnniijCC ． ① 这里我们约定0 01C． 当n为奇数时，20ni，此时
为偶数时，若2ni ，则②
式仍然成立；若2 n i，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
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2010年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案及评分标淮(B卷)
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得 3,33==βα， 333+=+βα. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-. 解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(12742 17121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin. 解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B n由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==， 所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .OEPC 1B 1A 1CBA把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k .易知 100420096100331⨯=+⨯+k ， 110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.（8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 38≤a .（12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .（4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h .（8分）从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. （16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C坐标为)0,5(.（5分）由（1）知直线AB 的方程为)2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y . 221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y-++= ))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 22029)0()25(y y CM h +=-+-==.（10分） 220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= .（15分）当且仅当2202249y y -=+，即0y =,66((33A B 或66((,33A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值为7314.（20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值,（10分）2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S ,（15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t ,66((33A B 或A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值是7314.（20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1） 证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n n n a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2） 所以 211,111n n n n n n na a aa a a a ++==----即1111n n n n n a aa a a ++=---.（5分）从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a . 所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-， 即 n n n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分）由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ， 即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++；（15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn 均为整数， 从而由 k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++k k k a a 即kk a 2131≤+ ， 所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛(含详解)
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷(考试时间:2010年9月4日9：00—11：30) 本试卷共12小题，满分150分；一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数()2f x x =的值域是 .2.函数y = 的图象与x y e =的图象关于直线1x y +=对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t = . 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于 .6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是 .7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .二、解答题（共86分）9.（20分）设数列{}n a 满足10a =，121n n a a -=+，2n ≥.求n a 的通项公式.10.（22分）求最小正整数n 使得224n n ++可被2010整除.11.（22分）已知ABC ∆的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积.12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题8分，共64分）1.答案：4⎡⎤-⎣⎦. 提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 4)4y αααϕ=-+=++（其中cos ϕ=，sin ϕ=ϕ为锐角）， 所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min 4y =-，故4y ⎡⎤∈-⎣⎦.2. 答案：1ln(1)x --提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-，1y x →-，∴11y x e--=，解得1ln(1)y x =--. 3. 答案：13- 提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21c o s 22c o s 13αα=-=-. 4.提示：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得sin 2θ=1=，故t =5.答案：1提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为11+=.6. 答案：213a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---，右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得2313273a b a ac ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这就是所求的充要条件.7.答案：提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即8. 答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C ⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=. 二、解答题（共86分）9. 解：特征根法. 又114221n n n a a a --++=+，11111n n n a a a ----=+，…………（10分） 得21212222(2)(2)(2)111nn n n n n n a a a a a a ----+++=-⋅=-==----，于是(2)2(2)1n n n a -+=--.…（20分） 10. 解： 22010|24n n ++⇔2222240mod 2240mod3240mod5240mod 67n n n n n n n n ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩2220mod31mod543mod 67n n n n n n ⎧+=⎪⇔+=⎨⎪+=⎩……（10分） 又20mod30n n n +=⇔=或2mod 3，21mod52mod5n n n +=⇔=， 243mod 6710n n n +=⇔=或56mod 67，故所求最小正整数77n =.…………（22分）11. 证明：由题设可证A ，B C ，D ，E ，F 六点共圆. …………（10分）不妨设圆半径为1，则有1(sin 2sin 2sin 2)2ABC S A B C ∆=++，1(sin sin sin )2DEF S A B C ∆=++. 由于sin 2sin 2sin 2A B C ++ 111(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)222A B B C C A =+++++ sin()sin()sin()sin()sin()sin()A B A B B C B C C A C A =+-++-++- sin()sin()sin()A B B C C A <+++++sin sin sin A B C =++∴ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积. …………（22分）12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目n 从小到大排序为：1n ，2n ，3n ，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：（1）{}i n 满足11i i i n n n +-=+；（2）当i n n =时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1i n -≤；（3）当1i i n n n +<<时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目i n ≤. ……………………………………（10分）设i k n n =-（4i ≥），注意到212i i i n n n --<<. 当12i n k ≤<时，甲第一次时可取k 根火柴，剩余2i n k >根火柴，乙无法获胜. 当12i i n k n -≤<时，21i i n k n --<<，根据归纳假设，甲可以取到第k 根火柴，并且甲此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，乙无法获胜.当1i k n -=时，设甲第一次时取走m 根火柴，若m k ≥，则乙可取走所有剩小的火柴；若m k <，则根据归纳假设，乙总可以取到第k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，甲无法获胜.综上可知，11i i i n n n +-=+.因为100不在数列{}i n ，所以当100n =时，甲有获胜策略. …………（22分）。
2010年全国高中数学联赛试题
2010年全国高中数学联赛试题第一试一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 .2.已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 .3.双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4.已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a l o g ，则=+βα .5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7.正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .8.方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 .二、解答题（本题满分56分）9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求A B C ∆面积的最大值.11.（20分）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=32152a a a r r r .解 答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1）2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19l o g )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9l o g )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα. 5. 41- 提示：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ， 所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6.1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(111-=-=-=A B .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos αα=⇒=所以 410sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .平11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. OEPC 1B 1A 1CBA8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类： （1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k .易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k 200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一：,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x .14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h . 容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即 21434302≤++++≤c b az a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--= . 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-= 22120))()3(1(y y y -+= ]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离202029)0()25(y y CM h +=-+-==. 2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= . 当且仅当2202249y y -=+，即0y =,A B或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值,2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆ 221221)5()(23+-=t t t t)5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t ,A B 或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值是7314. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1(0,)2r ∈. 所以 32520r r +-=，3152rr -=4710r r r r =++++ . 故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ， 去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.不妨设11t s <，则++=++<21211t t s s s r r r r r ，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.第二试（加 试）1. （40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．2. （40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥． 3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤= ，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++== ． 求证：1112n nk kk k n a A==--<∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解 答1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）()()2222PO r KO r =-+-， 同理 ()()22222QK QO r KO r =-+-， 所以 2222PO PK QO QK -=-，故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =， 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长MPK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④ 则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤ ⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． 假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+ ，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++ ．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122k k k =+++ 11211212(1)2()222v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ①FE QPONMK DCBA这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++ .显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． 3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤-∑∑．注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111k n n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1k n =- 故111n n nk k n k k k k a A nA A ===-=-∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A --===-≤-∑∑111n k k n -=⎛⎫<- ⎪⎝⎭∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2i n C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n iC -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ① 这里我们约定001C =． 当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i jn i n ij C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 022(1)(21)(21)nnk n kk n kk n n nn k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2n i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j nn i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n +种．。
2010年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详细答案
2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及详细答案一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上. 1.方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上的实根个数为_________________.解：设2()log sin 2f x x x π=+-，则1()cos ln2f x x x π'=+，∵02x π<≤，∴0cos 1x ≤<，又0ln12π<<，∴()0f x '>，即在区间(0,]2π上单调递增，故方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上有且只有一个实根. 2.设数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足不等式1|6|125n S -<的最小整数n 是______. 解：易知数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭是首项是8，公比是13-的等比数列，∴18[1()]1366()131()3n n n S --==----，于是1|6|125n S -<⇔112132503125n n --<⇔>，∵53243250=<，63729250=>，故最小整数n 是7.3.已知n （n N ∈，2n ≥）是常数，且1x ，2x ， ，n x 是区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任意实数，则函数1212231(,,,)sin cos sin cos sin cos n n f x x x x x x x x x =+++ 的最大值等于_________.解：∵222a b ab +≤，∴1212231(,,,)sin cos sin cos sin cos n n f x x x x x x x x x =+++22222223112sin cos sin cos sin cos 222n x x x x x x +++≤+++2222221122(sin cos )(sin cos )(sin cos )2n n x x x x x x ++++++= 2n =，故所求函数的最大值等于2n.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.解：圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有410109872101234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.解：由已知条件第n 次到达起始点的概率记为n a ，则到其他两点的概率为1n a -，则第1n +次到达起始点的概率为11(1)2n n a a +=-；所以接下来构造一个等比数列来进行计算.即1111()323n n a a +-=--，其中10a =，所以111()22(1)2332n n n n na ---+-==⋅.答案：22(1)32n n n +-⋅ 6.设O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AC ABOP OA AC AB λλ-=+，其中[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹为_________________. 解：∵||||AC AB OP OA AC AB λλ-=+ ，∴()||||AB ACOP OA AB AC λ-=++ ， 即()||||AB AC AP AB AC λ=+，又||AB AB ，||ACAC为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点P 的轨迹为BAC ∠的平分线.7.对给定的整数m ，符号()m ϕ表示{}1,2,3中使()m m ϕ+能被3整除的唯一值，那么201020102010(21)(22)(23)ϕϕϕ-+-+-=_________________.解：由二项式定理知，20101005100524(31)31p ==+=+，即20102被3除余1，∴2010(21)3ϕ-=，2010(22)1ϕ-=2010(23)2ϕ-=， 故201020102010(21)(22)(23)6ϕϕϕ-+-+-=.8.分别以直角三角形的两条直角边a ，b 和斜边c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为a V ，b V ，c V ，则22a b V V +与2(2)c V 的大小关系是_________________.解： ∵222222222222222()()()3399a b V V b a a b a b a b a b c ππππ+=+=+=，224422242244(2)(2())()399c ab a b V h a b c c cπππ''=⋅+==⋅，∴作商，有22422222222222()(2)1(2)444a b c V V c a b ab V a b a b a b++==≥=，故222(2)a b c V V V +≥. 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（本小题满分16分）是否存在实数a ，使直线1y ax =+和双曲线2231x y -=相交于两点A 、B ，且以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点？解：设交点A 、B 的坐标为11(,)A x y 、22(,)B x y ，由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩消去y ，得 22(3)220a x ax ---=，由韦达定理，得12223a x x a +=-， ① 12223x x a -=-， ② ∵以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴OA OB ⊥，∴12120x x y y +=，即1212(1)(1)0x x ax ax +++=，整理，得21212(1)()10a x x a x x ++++=③将①②代入③，并化简得22103a a -=-，∴1a =±，经检验，1a =±确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数{}:1,2,3f Z →，满足对任意的整数x ，y ，若{}||2,3,5x y -∈，则()()f x f y ≠.证明：假设存在这样的函数f ，则对任意的整数n ，设()f n a =，(5)f n b +=，其中{},1,2,3a b ∈，由条件知a b ≠.由于|(5)(2)|3n n +-+=，|(2)|2n n -+=，∴(2)f n a +≠且(2)f n b +≠，即(2)f n +是{}1,2,3除去a ，b 后剩下的那个数，不妨设(2)f n c +=又由于|(5)(3)|2n n +-+=，|(3)|3n n -+=，∴(3)(2)f n f n +=+.以1n +代替n ，得(4)(3)(2)f n f n f n +=+=+，但这与|(4)(2)|2n n +-+=矛盾！ 因此假设不成立，即不存在这样的函数f . 3.（本小题满分20分）设非负实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求证：19(19)4abc ab bc ca abc ≤++≤+ 证明：先证左边的不等式.∵1a b c ++=，∴222222()()3ab bc ca ab bc ca a b c a b ab b c bc a c ac abc ++=++++=++++++639abc abc abc ≥+=再证右边的不等式. 不妨设a b c ≥≥，注意到条件1a b c ++=，得314()9()4()()9ab bc ca abc a b c a b c ab bc ca abc -+++=++-+++++()()()()()()a a b a c b b a b c c c a c b =--+--+--()[()()]()()0a b a a c b b c c c a c b =----+--≥，所以1(19)4ab bc ca abc ++≤+，综上，19(19)4abc ab bc ca abc ≤++≤+.。
2010年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
2010年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选C.解：关于t 的方程02=++c bt t 最多有两不同的解n m ,，从而n x f m x f ==)(,)(，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有1)(=x f 有三个不同的实数解.不妨设54321x x x x x <<<<，由于)(x f 关于直线2=x 对称，必有23=x ，451=+x x ，442=+x x ，故12345,,,,,()x x x x f x x x x x ++++则＝81|210|1)10(=-=f .2、选D.解：根据题意，令 21k n m += （1）201l n m += （2）其中.k l l k m >均为正整数，且、、 (1)),2(10-⨯得 .39)10(,9102==-=--k l k l k m m m m 即 于是有以下三种可能：I .4,2,3,110,9===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-l k m m m kl k经检验这组符合条件，此时.4=nII .,0,0,,910,1矛盾为任意正整数===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-n l k m m m kl k III .,310,3该方程组无正整数解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kl k m m 综上所述，n 只能取4. 3、选A.解：对于正整数x ，2x 被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；2x 被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，22x x -被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个x 的值使22x x -能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件. 4、选A.解：以P 为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点P 到各面距离之和等于正四面体的高. 四面体每个面三角形的高 33262h ==，从而 232h =， 于是 正四面体的高 22322()()222H =-= .5、选B.解：设双曲线的方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 半焦距为c ，则.222b a c +=由,22121a B F B F A F A F =-=- ,1221B F B F A F A F =+=解得a B F A F 222==，这表明AB ⊥x 轴，又易知此时ab B F A F 222==，结合.222b a c +=解得双曲线的离心率.3==ace 6、选D.解：欲使方程有实根，应有240m n -≥.如上表，适合条件的m,n 共有19组，故36=P . 二、填空题（每小题9分，共54分） 1、 1 .解：由 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 得 )0()0(2f f =，而0)0(≠f ，所以1)0(=f ，又)()()0(x f x f f ⋅-=，故1)0()2010()2009()1()0()1()2009()2010(4021==⋅⋅⋅--⋅-f f f f f f f f .21 .解：不妨设 0a b c d ≥≥≥>，则由条件，22224,8a b c d a b c d +++=+++=，于是，22224,8b c d a b c d a ++=-++=-. 由 Cauchy 不等式，22223()()b c d b c d ++≥++， 即 223(8)(4)a a -≥-，2220a a --≤， 所以 031a <≤， 因此 a 31（此时313b c d ===-）.3、[10,18] . 解：由条件，有2446a b a b a b a b -≥⎧⎪-≤⎪⎨+≥⎪⎪+≤⎩ ……①，而 (2)42f a b -=-，所以问题即求在条件①下目标函数42a b-的最值. 经从图像分析可知，由24a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点A （3，1）为(2)f -的最小值，即432110⨯-⨯=；由46a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点B （5，1）为(2)f -的最大值，即452118⨯-⨯=. 因此，10(2)18f ≤-≤.4、(2. 解：设点(cos ,sin )P a b θθ，则 (cos ,sin ),(cos ,sin )OP a b AP a a b θθθθ==-. 于是，0OP AP ⋅=2222cos (cos 1)cos cos (cos )(sin )0sin 1cos b a a a b a θθθθθθθθ-⇒-+=⇒=-=+，所以 211cos e θ=+. 由 cos (1,1)θ∈-，知 1cos (0,2)θ+∈.故 21(,1)2e ∈， 即 e ∈.5、 64 .解：令2x =-，得 064a =. 已知等式两边同时对x 求导，得 251112126(22)(22)2(2)12(2)x x x a a x a x +-+=+++++.再令1x =-，由上式得12122120a a a +++=.因此 01212021264a a a a a ++++==.6、 160 .解：设至少经过3点的直线有k 条，每条上的点数从多到少依次为： 12,,,(3,1)k i a a a a i k ≥≤≤则由已知，有 12222211(1)(1)(1)487ka a a C C C C -+-++-=-=. 又由 21312ia C -≥-= 知 3k ≤. 当1k =时 128a C = 无解； 当2k =时 12229a a C C +=，解得 124,3a a ==； 当3k =时 12322210a a a C C C ++= 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为 3331143160C C C --=.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由112(32)(1)0(2)n n n na n a n a n +--+++=≥，得11(2)(1)(2)n n n n n a a n a a +--=+-，于是 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=-. ……………………5分从而 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=- =1211()12n n n n a a n n --+⋅--=21131122n na a n n +⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪-⎝⎭=12n +. ……………………10分 令 []11(1)2n n a xn y a x n y +-+=--+， 则 1111()222n n a a xn x y +-=+-比较系数，得x=1,y=0。
2010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试卷及解析
2010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.已知{n S n是其前n项之和. 则−a m<a1<a m+1是S m>0，S m+1<0的（）条件.A. 充分必要B. 充分而不必要C. 必要而不充分D. 既不充分也不必要2.已知函数f(x)=x3+(a+1)x2+(a+1)x+a在其定义域内既有极大值又有极小值. 则实数a的取值范围是（）A. −1<a<2B. a>2C. a<−1D. a>2或a<−13.若集合M={x |3−x||5−x|≤12}和集合N={x|x2−2x+c≤0}满足M∩N=M，则实数c的取值范围是（）.A. c≤−449B. c≤−559C. c≤−669D. c≤−7794.已知−π2<α<π2，2tanβ=tan2α，tan(β−α)=−2√2. 则cosα=（）.A. √32B. √22C. √33D. √235.已知整数集合M={m|x2+mx−36=0有整数解}，集合A满足条件：（1）∅⊂A⊆M；（2）若a∈A，则−a∈A，则所有这样的集合A的个数为（）.A. 15B. 16C. 31D. 326.已知0<a<b，在a、b之间插入一个正数k，使a、k、b成等比数列；在a、b之间插入两个正数m、n，使a、m、n、b成等差数列. 则(k+1)2与(m+1)(n+1)的大小关系为（）.A. (k+1)2<(m+1)(n+1)B. (k+1)2=(m+1)(n+1)C. (k+1)2>(m+1)(n+1)D. 不确定7.设z为复数，i为虚数单位. 若|z|=1，|z+i|=1，则当(z+i)n(n∈N+)，为实数时，|z+i|n的最小值为（）.A. √3B. 3C. 2√3D. 3√38.在多项式(a+b+c+d)8的展开式中，每一字母的指数均不为零的项共有（）项.A. 35B. 42C. 45D. 509.如图，在三棱锥P−ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，底面ABC是边长为1的正三角形，PA=PC，∠APC=90°，M是棱BC的中点. 则AB与PM间的距离为（）.A. √34B. 12C. √32D. √3310.某人从上一层到二层需跨10级台阶. 他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步. 从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶. 则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12第II卷（非选择题）二、解答题11.如图，在三棱锥ABC中，PB=PC，∠APB=∠APC=90°，∠BPC= 60°. 若此三棱锥的体积为定值V，求点P到平面ABC距离的最大值.=1(a>b>0)的左、右焦点，弦AB经过点F2，且12.已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2|AF2|=2|F2B|，tan∠AF1B=3.4（1）求椭圆的离心率e ；（2）若△F 1F 2B 的面积为2，求椭圆的方程. 13.已知函数f (x )对于任意实数x 、y ，都有f (x+y )=f (x )+f (y )−3，且当x >0时，f (x )<3.（1）f (x )在实数集R 上是否为单调函数？并说明理由； （2）若f (6)=−9，求f ((12)2010).14.服装销售商甲和乙欲销某品牌服装制造企业生产的服装. 该企业的设计部门在无任何有关甲和乙销售信息的情况下，随机地为他们提供了n 种不同设计的款式，由甲和乙各自独立地选定自己认可的那些款式. 则至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率为多少？ 15.某年级n 位同学参加语文和数学两门课的考试，每门课的考分从0到100分. 假如考试的结果没有两位同学的成绩是完全相同的（即至少有一门课的成绩不同）. 另外，“甲比乙好”是指同学甲的语文和数学的考分均分别高于同学乙的语文和数学的考分. 试问：当n 最小为何值时，必存在三位同学（设为甲、乙、丙），有甲比乙好，乙比丙好.三、填空题16.已知函数f (x )=ax 2−12x −34(a >0)，若在任何长度为2的闭区间上总存在两点x 1、x 2，使|f (x 1)−f (x 2)|≥14成立，则a 的最小值为______.17.已知△ABC 的垂心为H . 若B (0,0)，C (2,0)，且点H 在圆(x −1)2+(y +1)2=2上移动，则动点A 的轨迹为______. 18.若函数f (x )=lnex e−x，则∑f (ke 2011)=2010k=1______.19.函数f (x )=x 3+2x 2+3x +4的图像的对称中心为______.参考答案1.A【解析】1.事实上，{S m=m2(a1+a m)>0S m+1=m+12(a1+a m+1)<0⇔a1+a m+1<0<a1+a m⇔−a m<a1<−a m+1.所以，是充分必要条件.2.D【解析】2.由f(x)=x3+(a+1)x2+(a+1)x+a，得f′(x)=3x2+2(a+1)x+(a+1).由题设知f′(x)=0一定有两个不相等的实数根.从而，Δ=4(a+1)2−12(a+1)>0.解得a>2或a<−1.3.B【解析】3.由M={x≠5|4(3−x)2≤(5−x)2}={x≠5|3x2−14x+11≤0}={x|1≤x≤113}，N={x|1−√1−c≤x≤1+√1−c}，且1−√1−c≤1，得1+√1−c≥11 3⇒c≤−559.4.C【解析】4.设tanα=u.由tanβ=12tan2α=tanα1−tan2α=u1−u2，得tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanα⋅tanβ=u1−u2−u1+u⋅u1−u2=u3.由u3=−2√2，得u=tanα=−√2.因为−π2<α<π2，所以，cosα=√1+tan 2α=√33.5.C【解析】5.设α、β为方程x 2+mx −36=0的两根. 则αβ=−36. 于是，当|α|=1，|β|=36时，m =±35； 当|α|=2，|β|=18时，m =±16； 当|α|=3，|β|=12时，m =±9；当|α|=4，|β|=9时，m =±5； 当|α|=6，|β|=6时，m =0.故M={0}∪{−5,5}∪{−35,35}.由条件（1）知A≠∅.由条件（2）知A 是由一些成对的相反数所成之集. 所以，M 的5对相反数共能组成25−1=31个不同的非空集合A .6.A【解析】6.由a 、k 、b 成等比数列知k 2=ab .则(k +1)2=(√ab +1)2<(a +1)(b +1).由a 、m 、n 、b 成等差数列知a+b =m +n ，且b −a >n −m .由(m +1)+(n +1)=(a +1)+(b +1)，知(m +1)(n +1)>(a +1)(b +1). 故(k +1)2<(a +1)(b +1)<(m +1)(n +1).7.D【解析】7. 设z=x +yi(x 、 y ∈R).由|z |=1，|z +i |=1，得{x 2+y 2=1x 2+(1−y )2=1⇒{x =±√32y =12. 故z =±√32+12i ，|z +i |n =|√3(±12+√32i )|n =|√3ek−i 3|n =(√3)n(k ∈{1,2}).易见，使(z +i )n 为实数时，n 的最小值为3.此时，|z +i |n 的最小值为(√3)3=3√3.8.A【解析】8.设(a +b +c +d )8的展开式中任意一项为pa x 1b x 2c x 3d x 4. 若其每一字母的指数不为零，则x 1≥1(i =1,2,3,4)，且x 1+x 2+x 3+x 4=8.令u i=x i −1(i =1,2,3,4). 则u 1+u 2+u 3+u 4=4.因此，所求的项数为C 73=35.9.A【解析】9. 如图，作PO⊥AC 于点O ，则O 是AC 的中点. 联结OM .由M 是BC 的中点知OM ∥AB .过点M 作MN ⊥AB 于点N .易知，MN =√34.因为OM∥AB ，所以，MN ⊥OM .又侧面PAC ⊥底面ABC ，PO ⊥AC ，则PO ⊥底面ABC ，PO ⊥MN . 从而，MN⊥平面POM ，MN ⊥PM .故MN 是AB 和PM 的公垂线.10.C【解析】10.按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步. 因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程： 白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步. 每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列. 下面分三种情形讨论.（1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧. 此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球. 所以，此种情况共有4种可能的不同排列. （2）第1球不是白球.（i ）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；（ii ）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，此种情形共有3种不同排列.（3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列. 总之，按题意要求从一层到二层共有4+3+3=10种可能的不同过程.11.√2V 3【解析】11.如图，设BC 的中点为D ，联结AD 、PD . 由对称性知BC ⊥平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABC .作PO ⊥AD ，垂足为O . 则PO ⊥平面ABC . 设PO=ℎ，∠PAD =α(0°<α<90°). 则PA =ℎsinα.因为∠APB =∠APC =90°，所以，PA ⊥平面PBC ，PA ⊥PD .故PD =ℎcosα.易知△PBC 是三角形.又因为PD ⊥BC ，所以，BC =√3=√3cosα.则V=16PA ⋅PD ⋅BC =33√3sinα⋅cos 2α.故ℎ3=3√3Vsinα⋅cos 2α.注意到sinα⋅cos 2α=√12(2sin 2α⋅cos 2α⋅cos 2α)≤√12(2sin 2α+cos 2α+cos 2α3)3=2√39.当且仅当sinα=√33时，上式等号成立.此时，ℎ取最大值√2V 3.12.（1）√53；（2）x 29+y 24=1【解析】12.（1）设|AF 2|=2|F 2B |=2k .由|AF 1|+|AF 2|=2a ，|BF 1|+|BF 2|=2a ，得|AF 1|=2a −2k ，|BF 1|=2a −k .因为tan∠AF 1B=34，所以，cos∠AF 1B =45.在△AF 1B 中，由余弦定理得|AB |2=|AF 1|2+|BF 1|2−2|AF 1||BF 1|cos∠AF 1B ，即(3k )2=(2a −2k )2+(2a −k )2−2(2a −2k )(2a −k )⋅45.化简得(a −3k )(2a +3k )=0.因为2a+3k >0，所以，a =3k .于是，|AF 1|=2a −2k =4k ，|AB |=3k ，|BF 1|=2a −k =5k . 故|AF 1|2+|AB |2=|BF 1|2.因此，∠F 1AF 2=90°.在Rt △AF 1F 2中，设|F 1F 2|=2c . 则|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2，即(4k )2+(2k )2=4c 2.解得c=√5k .所以，e =c a=√53.（2）由S △AF 1F2S △F 1F 2B =|AF 2||F 2B |=2，得S △AF 1F 2=12|AF 1||AF 2|=2S △F 1F 2B =4， 即12×4k ×2k =4⇒k =1.所以，a =3，c =√5，b =√a 2−c 2=2.故椭圆方程为x 29+y 24=1.13.（1）见解析；（2）3−(12)2009【解析】13.（1）对任意的x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 2)=f(x 1+(x 2−x 1))=f (x 1)+f (x 2−x 1)−3. 因x 2−x 1>0，所以，f (x 2−x 1)<3，即f (x 2)<f (x 1).从而，f (x )在R 上为单调减函数. （2）由f (6)=f (2)+f (4)−3=f (2)+(f (2)+f (2)−3)−3=3f (2)−6=−9，得f (2)=−1.又由f (2)=f (1)+f (1)−3，得f (1)=1. 对任意的a∈R ，显然有f (a )=2f (a2)−3⇒f (a2)=f (a )+32.令a 1=f (1)=1，a n+1=f ((12)n)=f ((12)n−1)+32=a n +32.令b n=a n+1−a n . 则b n =12b n−1，b 1=a 2−a 1=1. 从而，b n =(12)n−1，即a n+1−a n =(12)n−1. 故a n+1=a 1+1+12+⋅⋅⋅+(12)n−1=3−(12)n−1.所以，f ((12)2010)=a 2011=3−(12)2009.14.1−(34)n【解析】14.记n 种款式的集合为V ，分别记甲和乙各自选中的款式的集合为P 甲和P 乙. 则P 甲⊆V ，P 乙⊆V .把甲和乙的选择合称为一个选择方案，记为(P 甲,P 乙).先证明：任何一个选择方案(P 甲,P 乙)发生的概率为(14)n.事实上，因设计部门关于甲和乙的销售情况无任何信息，所以，每一款式被甲或乙认可还是否定，他们的概率均为12. 若甲选中了k (k=0,1,⋅⋅⋅,n )个款式，同时也否定了其余n −k 个款式，则甲的这一选择发生的概率为(12)k (12)n−k=(12)n .对于乙也完全一样.又因为甲和乙的选择是独立进行的，所以，任一选择方案(P 甲,P 乙)发生的概率为(12)n (12)n =(14)n .以P 记所有P 甲∩P 乙=∅的选择方案(P 甲,P 乙)发生的概率. 则所求的概率为P =1−P .为计算P ，需计算所有满足P 甲∩P 乙=∅的选择方案的个数S .按P 甲∪P 乙所含元素的个数|P 甲∪P 乙|进行分类.若|P 甲∪P 乙|=i (i =0,1,⋅⋅⋅,n,)，则P 甲是这一i 元集合中的任一子集，相应的P 乙即为其补集.于是，当|P 甲∪P 乙|=i 时，所有可能的选择方案数为2i C n i.从而，由加法原理可知，当P 甲∩P 乙=∅时，所有可能的选择方案数为S =∑2i ni=0C n i=(1+2)n =3n . 故P =(14)n ×3n=(34)n，P=1−(34)n.15.401【解析】15.建立平面直角坐标系xOy .若一位同学的成绩语文为i 分，数学为j 分，令其对应平面上的整点(i,j )，称为“成绩点”. 于是，n 位同学的考试结果映射到平面上是在0≤x ≤100，0≤y ≤100范围内的n个成绩点.考虑平面上201条直线：y=x ±b (b =0,1,⋅⋅⋅,100).若一条直线上有三个成绩点，即表示存在三位同学甲、乙、丙，有甲比乙好，乙比丙好. 显然，直线y=x +100和y =x −100每条至多只能有一个成绩点；直线y =x +99和y =x −99每条至多只能有两个成绩点.因为2×(201−2)+1×2=400，所以，当n >400时，必有一条直线有三个成绩点.从而，n 的最小值n 0≤401.令集合S={(i,j )|i =0,1;j =0,1,⋅⋅⋅,100 }；T ={(i,j )|i =0,1,⋅⋅⋅,100;j =0,1 }.显然，|S ∪T |=400，且在S ∪T 中不存在三个成绩点在同一条直线上.故n 0≥401.从而，n 0=401.16.14【解析】16.在长度为2的闭区间[14a −1,14a+1]上，有 f max (x )=f (14a −1)=f (14a +1)=a −116a −34， f min (x )=f (14a )=−116a −34.故a=f max (x )−f min (x )≥14. 当a =14时，f (x )=14x 2−12x −34=14(x −1)2−1. 下面证明：在任何长度为2的闭区间[t −1,t +1]上总存在两点x 1、x 2，使|f (x 1)−f (x 2)|≥14. 当t ≥1时，f (x )在[t,t +1]上是增函数.令x 1=t ，x 2=t +1. 则|f (x 1)−f (x 2)|=f (t +1)−f (t )=14(2t −1)≥14.当t <1时，f (x )在[t −1,t ]上是减函数.令x 1=t −1，x 2=t . 则|f (x 1)−f (x 2)|=f (t −1)−f (t )=14(3−2t )>14. 综上，a 的最小值为14.17.圆(x −1)2+(y −1)2=2(y ≠0)和直线x =0(y ≠0)或x =2(y ≠0).【解析】17.设A (x,y )，H (x,y 1).当x ≠0，x ≠2时，y 1x ⋅y x−2=−1，y 1=−x 2−2x y .因为点H 在圆(x −1)2+(y +1)2=2上， 所以，(x −1)2+(−x 2−2x y +1)2=2，即(x 2−2x )(y 2−2y +x 2−2x )=0.又因为x ≠0，x ≠2，所以，x 2−2x ≠0.故(x −1)2+(y −1)2=2. 当x =0或2时，只要y ≠0，△ABC 都是直角三角形，其垂心为点B 或C ，都在圆(x −1)2+(y +1)2=2上.综上，动点A 的轨迹为圆(x −1)2+(y −1)2=2(y ≠0)和直线x =0(y ≠0)或x =2(y ≠0).18.2010【解析】18.注意到f (x )+f (e −x )=ln [ex e−x ⋅e (e−x )e−(e−x )]=2. 故∑f (ke 2011)2010k=1=∑(f (ke 2011)+f (e −ke 2011))1005k=1=2×1005=2010. 19.(−23,7027)【解析】19.设点(a,b )为函数f (x )图像的对称中心.则f (a +x )+f (a −x )=2b ，即: 2b =[(a +x )3+(a −x )3]+2[(a +x )2+(a −x )2]+6a +8，b =a 3+3ax 2+2a 2+2x 2+3a +4=(2+3a )x 2+a 3+2a 2+3a +4. 于是，应有2+3a =0⇒a =−23，b =−827+89−2+4=7027.。
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全国高中数学联赛模拟试题（九）
（命题人：葛军）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，
则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集
2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是
（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1
0n i i a 等于
（A ）2 （B ）-1
（C ）1 （D ）0
4、已知α、β是方程ax 2
+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且α是虚数，
β
α2是实数，则∑=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛5985
1k k
βα的值是
（A ）1 （B ）2
（C ）0
（D ）3i
5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()ab
b a ac
c a bc
c b A 2
2
2
2
2
2
111111--+--+--=
，则A
的值是 （A ）3
（B ）-3
（C ）4 （D ）-4
6、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()2
11
+=
∑=n n x n
i i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，
一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8
（D ）9
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距
离为h n ．若存在点P 使
n
n h a h a h a +++ 22
11（a i =A i A i +1，
i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．
2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．
3、已知()2
cos 22
sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、θ∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、
θ，F (a ,θ)的最大值和最小值分别是 ．
4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是 ．
5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ．
6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．
三、（20分）
过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求
最小
最大S S 之值．
四、（20分）
数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．
五、（20分）
已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．
证明：27
13
≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1．
第二试
一、（50分）
已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s
为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．
二、（50分）
M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形
的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．
三、（50分）
实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．
参考答案
第一试
二、填空题：
1、该凸多边形存在内切圆；
2、5；
3、3
2+，3
2-；4、9；
5、5，8；
6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．
三、
33
2
．
四、7．
五、证略．
第二试
一、证略；
二、证略．
三、有．。