人教版八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.3第1课时负整数指数幂
人教版八年级数学上册第15章 分式3 整数指数幂
又 am ·a-n = am-n (a≠0)，因此 am÷an = am ·a-n (a≠0).
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.
(2)
特别地，a a b a • b1，所以 b
a b
n
(a
• b1)n
an
• bn.
即商的乘方可以转化为积的乘方.
整数指数幂的运算性质可归结为：
(1) am ·an = am+n (m、n 是整数，a≠0)； (2) (am)n = amn (m、n 是整数，a≠0)；
(3) (ab)n = anbn (n 是整数，a≠0，b≠0).
例3
计算：－22＋
1
2
＋(2022－π)0
＋|
2
-
3 |.
2
解析：分别根据有理数的乘方、0 指数幂、负整数
例4 用小数表示下列各数：
(1) 2×10－7；
(2) 3.14×10－5；
(3) 7.08×10－3；
(4) 2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1) 2×10－7＝0.0000002.
(2) 3.14×10－5＝0.0000314.
(3) 7.08×10－3＝0.00708.
6. 用科学记数法把 0.000009405 表示成 9.405×10n， 那么 n = -6 .
1. 零指数幂：当 a ≠ 0 时，a0 = 1
整数
2. 负整数指数幂：当 n 是正整数时，
整 指数幂
a-n＝
1 an
(a≠0)
数 指
3. 整数指数幂的运算性质：
数 用科学记 (1) am·an=am+n (m，n 为整数)
八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.2分式的加减15.2.2.2分式的混合运算教案新版新人教版2
第2课时分式混合运算
◇教学目标◇
【知识与技能】
明确分式混合运算的顺序.
【过程与方法】
经历探索分式混合运算步骤的过程,能熟练地进行分式的混合运算.【情感、态度与价值观】
结合已有的数学经验解决新问题,获得成就感和克服困难的方法和勇气.
◇教学重难点◇
【教学重点】
分式混合运算的顺序.
【教学难点】
分式的混合运算.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们学习了分式的加减乘除、乘方运算,你能解决下面的问题吗?
化简:.
二、合作探究
探究点1分式乘除混合运算
典例1化简:.
[解析]原式=-=-.
探究点2分式混合运算
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典例2先化简,再求值:,其中x=5.
[解析]原式=
=
=-(x-2)
=-x+2.
当x=5时,原式=-5+2=-3.
探究点3化简求值
典例3先化简,再求值:.其中x的值从不等式组的整数解中选取.
[解析]由不等式组可解得-1<x≤2.
∵x是整数,
∴x=0或1或2.
∴原式==(x+2)·,
当x=0时,原式=0.
当x=2时,原式=.
当x=1时,原式=.
三、板书设计
分式混合运算
分式混合运算
◇教学反思◇
本节是一节习题课,内容是分式的混合运算,要把握运算顺序.不少学生在分式运算中出错,就是因为不重视审题,题没看完就动笔计算,或者受题中部分算式的特殊结构的影响而不遵循运算顺序,如化简,就常出现乱约分而不遵循运算顺序的典型错误,要同学通过练习、板演充分暴露问题所在,纠正,最后总结出容易忽视和出错的地方,提醒自己.
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人教版八年级数学上册《15.2分式的运算》课件
动脑思考，例题解析
例1 计算：（ 1 ） 4x y； （ 2 ） ab35a2b2．
3y 2x3
2c2 4cd
解:
（ 1）4x 3y
y 2x3
4xy 2； 6x3y 3x2
（2）
ab3 2c2
5a2b2
4cd
ab3
2c2
4cd 5a2b2
4ab3cd
2bd.
10a2b2c2
5ac
课堂练习
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
zxxkw
问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，
学.科.网
m
底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 n 时，
水面的高度为多少？
问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕 地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率 的多少倍？
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么
52
在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能 叙述这个法则吗？
如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法 法则，说出分式的乘除法法则吗？
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？
探索分式的乘除法法则
分式的乘除法法则： a c a c ； a c a d a d ． bdb d bdbc b c 如何用文字语言来描述？
八年级数学人教版上册第15章分式15.2.2分式的加减(图文详解)第1课时
= 5a2b 3 3a2b 5 8 a2b ab2
= a2b ab2
=
a b
把分子看作一 个整体，先用 括号括起来！
注意：结果要化 为最简分式！
八年级上册第15章分式
1.直接说出运算结果
(1) m x
y x
c x
m y x
c
(2)
m 2abc
n 2bca
d 2cab
八年级上册第15章分式
3.猜一猜, 同分母的分式应该如何加减? 【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减，
分母不变,把分子相加 减. 【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减， 分母不变,把分子相加减. 即： a b a b cc c
八年级上册第15章分式
例1 计算：
xy
八年级上册第15章分式
（ 2）
1 2 a 1 1 a2
解：原式
1 2 a 1 a2 1
1
2
a 1 (a 1)(a 1)
a 1
2
(a 1)(a 1) (a 1)(a 1)
a 1 (a 1)(a 1)
1 a1
八年级上册第15章分式
例2 计算 （1） 解：原式
八年级上册第15章分式
（2）a22a
4
a
1
2
a2 -4 能分解 :
解：原式
(a
2a 2)(a
2)
(a
a2 2)(a
2)
2a (a 2) (a 2)(a 2)
2a a 2 (a 2)(a 2)
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第15章 分式 整数指数幂(第2课时)教案.
第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂第2课时一、教学目标【知识与技能】1.会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数.2.经历探索用10的负整数次幂来表示绝对值较小的数的过程，完善科学记数法，培养正向、逆向思维能力.【过程与方法】经历探索用科学记数法表示数的过程,理解科学记数法.【情感、态度与价值观】用科学记数法的形式渗透数学的简洁之美，通过完善科学记数法，培养对数学完美形式的追求.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】用科学记数法表示绝对值较小的数.【教学难点】含负指数的整数指数幂的运算，尤其是混合运算以及科学记数法中10的指数与小数点的关系.五、课前准备教师：课件、直尺、科学记数结构图等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课通过上节课的学习，大家明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算性质，这节课我们来学习运用其性质进行有关计算及负整数指数幂在科学记数法中的运用.（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究用科学记数法表示绝对值较小的数教师问1：口答：(1)(3－2)2；(2)[(－4)－3]0；(3)5－3×52；(4)(－0.5)－2；(5)222332--⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(6)4.7×10－4.注：前三个小题计算比较直接，可快速抢答，并陈述所用法则；后三个小题允许学生笔算后再口答，并陈述计算时的注意点，尤其是第(5)小题，有正向、逆向两个思路，注意方法的选择.而(6)为学习科学记数法表示绝对值较小的数作了铺垫.学生回答：（1）3-4=181；（2）1；（3）5-1=15；（4）（-12）-2=（-2）2=4；（5）（23×32）-2=1-2=1；（6）0.00047教师问2：由前面的练习可知4.7×10－4＝0.00047，反过来就是，0.00047＝4.7×10－4，由这个形式同学们能想到什么？学生回答：科学记数法.教师问3：那现在我们就一起研究怎样把绝对值较小的数用科学记数法表示出来.请同学们首先完成以下练习：填空：(用科学记数法表示一些绝对值较大的数)(1)4000000000＝________；(2)－369000＝________；学生回答：(1)4×109(2)－3.69×105教师问4：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？（出示课件4）先完成下面的题目：（出示课件5）填空：（1）0.1=______=______;（2）0.01=______=_______;（3）0.001=______=______;（4）0.0001=_______=______;（5）0.00001=_______=________.学生讨论后回答：（1）110=10-1；（2）1100=10-2；（3）11000=10-3；（4）110000=10-4；（5）1100000=10-5.教师问5：你发现用10的负整数指数幂表示0.0000…001这样较小的数有什么规律吗？请你把总结的规律和你的同伴交流.学生交流后，师生达成共识：表达成10的负整数指数幂的形式时，其指数恰好是第一个非零数前面所有“0”的个数的相反数.教师问6：你能归纳出数学式子吗？学生讨论后回答：教师问7：你能利用10的负整数指数幂，将绝对值较小的数表示成类似形式吗？0.00001＝________；0.0000000257＝2.57×0.00000001＝2.57×________.学生回答：10-5；10-8教师问8：如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？（出示课件6）学生回答：0.0035=3.5×0.001=3.5×10-3；0.0000982=9.82×0.00001=9.82×10-5教师问9：观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？师生共同讨论后解答如下：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．教师问10：归纳：请说一说你对科学记数法的认识.师生共同讨论后解答如下：绝对值较大的数用科学记数法能表示为a×10n的形式，其中，n等于数的整数位数减1，a的取值为1≤|a|<10；绝对值较小的数用科学记数法能表示为a×10－n的形式，其中，a的取值一样为1≤|a|<10，但n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数.教师讲解：这样，任何一个数根据需要都可以记成科学记数法的形式. a×10n的形式，其中，n为整数，a的取值为1≤|a|<10；例1：用科学记数法表示下列各数：（出示课件7-9）(1)0.005师生共同解答如下：(2)0.0204师生共同解答如下：(3)0.00036师生共同解答如下：例2：计算下列各题：（出示课件11）(1)(－4×10-6)÷(2×103)(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)师生共同解答如下：解：(1)(－4×10-6)÷(2×103)=(-4÷2)(10-6÷103)=-2×10-9(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)=(1.6×5)×(10-4×10-2)=8×10-6总结点拨：科学记数法的有关计算，分别把前边的数进行运算，10的幂进行运算，再把所得结果相乘.例3：纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10–9m，把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体？(物体之间间隙忽略不计)师生共同解答如下：（出示课件13）解：1mm=10－3m，1nm=10－9m.(10－3)3÷(10－9)3=10－9÷10－27=1018，1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.（三）课堂练习（出示课件16-20）1.斑叶兰被列为国家二级保护植物,它的一粒种子重约0.0000005克将0.0000005用科学记数法表示为()A.5×107B.5×10-7C.0.5×10-6D.5×10-62.用科学记数法表示下列各数：(1)0.001=________________；(2)-0.000001=_______________；(3)0.001357=____________________；(4)-0.000504=________________________.3.下列是用科学记数法表示的数，试写出它的原数.(1)4.5×10-8=________________；(2)-3.14×10-6=________________；(3)3.05×10-3=___________________.4.计算(结果用科学记数法表示).(1)(6×10-3)×(1.8×10-4)；(2)(1.8×103)÷(3×10-4).5.一根约为1米长、直径为80毫米的光纤预制棒，可拉成至少400公里长的光纤.试问：1平方厘米是这种光纤的横截面积的多少倍？(用科学记数法表示且保留一位小数)参考答案：1.B2.（1）10-3；（2）-10-6；（3）1.357×10-3；（4）-5.04×10-43.（1）0.000000045；（2）-0.00000314；（3）-0.00305.4.（1）解：原式=1.08×10-6；（2）解：原式=0.6×107=6×1065.解：这种光纤的横截面积为1÷(1.256×10-4)≈8.0×103答：1平方厘米是这种光纤的横截面的8.0×103倍.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:用科学记数法表示绝对值小于1的数绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10-n的形式，1≤│a│<10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面那个0).（五）课前预习预习下节课（15.3）149页到151页的相关内容。
人教版八年级数学上册说课稿15.2分式的运算
人教版八年级数学上册说课稿15.2 分式的运算一. 教材分析本次说课的内容是人教版八年级数学上册的15.2分式的运算。
这部分内容是学生在学习了分式的概念、分式的性质和分式的化简等知识的基础上进行学习的，是进一步培养学生对分式的理解和运用能力的重要环节。
在这部分内容中，学生需要掌握分式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行分式的运算。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经具备了分式的基本知识，对分式的概念和性质有一定的理解。
但学生在进行分式的运算时，还存在着对运算规则理解不深，运算步骤不清晰等问题。
因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解分式运算的规则，明确运算的步骤，提高学生的运算能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握分式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行分式的运算。
2.过程与方法目标：通过学生的自主学习和合作交流，培养学生对分式运算的理解和运用能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学学习的兴趣，提高学生对数学学习的自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式的加减乘除运算规则的掌握和运用。
2.教学难点：分式运算步骤的清晰和运算规则的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，引导学生通过观察、思考、讨论和总结，深入理解分式的运算规则。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生进入分式的运算学习。
2.自主学习：学生通过自主学习，掌握分式的加减乘除运算规则。
3.合作交流：学生分组进行合作交流，通过讨论和总结，明确分式运算的步骤。
4.案例分析：通过分析典型案例，引导学生理解和掌握分式运算的规则。
5.练习巩固：学生进行练习，巩固所学的内容。
6.总结提升：教师引导学生进行总结提升，明确分式运算的重点和难点。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出教学的重点和难点。
在板书中，可以将分式的加减乘除运算规则用图示的方式进行展示，让学生一目了然。
八年级数学上册 第十五章《分式》15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 15.2.1.1 分
15.2分式的运算15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除◇教学目标◇【知识与技能】理解并掌握分式的乘除法那么,运用法那么进展运算,能解决一些与分式有关的实际问题.【过程与方法】经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程,培养学生类比的探究能力,加深对从特殊到一般数学的思想认识.【情感、态度与价值观】通过让学生在自主探究,合作交流中渗透类比转化的思想,使学生感受探索的乐趣和成功的体验.◇教学重难点◇【教学重点】掌握分式的乘除运算.【教学难点】分子、分母为多项式的分式乘除法运算.◇教学过程◇一、情境导入观察以下运算:.猜一猜=?=?二、合作探究探究点1分式的乘法典例1化简分式的结果是()A. B. C. D.[解析]进展分式乘除法运算时,先约分,再化简即可..[答案] B变式训练计算的结果是()A.-1B.0[解析]原式==1.[答案] C探究点2分式的除法典例2化简的结果是()A.a2B.C. D.[解析]先将分子因式分解,再将除法转化为乘法后约分即可.原式=.[答案] D变式训练计算:,其结果正确的选项是()A. B.C. D.[答案] D探究点3分式乘除混合运算典例3计算的结果是()A. B.-C. D.-[解析]先将除法转化为乘法,再根据分式的乘法法那么计算、约分即可.=-.[答案] B【技巧点拨】做分式乘除混合运算时,一般是先统一为乘法运算,所以分式乘除法的运算,归根到底是乘法的运算,运算的最后结果是最简分式或整式.计算÷(y-x)·.[解析]÷(y-x)·.三、板书设计分式的乘除分式的乘除◇教学反思◇在分式的乘除法这一课的教学中,仍然采用类比的方法,让学生回忆以前学过的分数的乘除法的运算方法,提示学生分式的乘除法法那么与分数的乘除法法那么类似,要求他们用语言描述分式的乘除法法那么.学生反响较好,能根本上完整地讲出分式的乘除法法那么;要让学生明确分式乘除运算的结果是最简分式或整式,最后的结果是要化简的.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
清丰县X中学八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除课件
考点三 : 勾股定理的应用 14．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如下图．将一根长为20 cm的细 木筷斜放在该杯子内 , 木筷露在杯子外面的部分至少有___5__ cm.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
C．在△ABC 中，若 a＝35 c，b＝45 c，则△ABC 为直角三角形 D．在△ABC 中，若 a∶b∶c＝3∶2∶4，则△ABC 为直角三角形
8．在△ABC中 , AB＝n2＋1 , AC＝2n , BC＝n2－1(n>1) , 那么这个三角形
是( C)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
15．如下图 , 铁路MN和公路PQ在点O处交汇 , 公路PQ上有一点A距离O点 240 m , 点A到MN的距离是120 m．如果火车行驶时 , 周围200 m以内会受到 噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h的速度行驶时 , A 处受噪音影响的时间是多少 ？
解 : 作AD⊥MN于点D , 并作AB＝AC＝200 m交MN于点B , C.因为AD＝120 m , 所以BD＝160(m) , BC＝160×2＝320(m)＝0.32(km) , t＝0.32÷72×3600 ＝16(s).答 : A处受噪音影响的时间是16 s
解 : 〔2〕 500 500 （a-1）2 a2-1
=
500
a2-1
（a-1）2 500
= a+1 . a -1
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是
“丰收1号”小麦的单位面积产量的
a a
+ -
2022年人教版八年级上第15章《分式》全章教案
第十五章分式15．1分式15．从分数到分式1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2．判断以下各式中，哪些是整式？哪些不是整式？①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x . 二、探究新知1．分式的定义(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时．轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v小时，所以9030＋v ＝6030－v. (2)学生完成教材第127页“思考〞中的题．观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是A B(即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式． 稳固练习：教材第129页练习第2题．2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义． 学生自学例1.例1以下分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y.解：(1)要使分式23x有意义，那么分母3x ≠0，即x ≠0； (2)要使分式x x －1有意义，那么分母x －1≠0，即x ≠1； (3)要使分式15－3b有意义，那么分母5－3b ≠0，即b ≠53； (4)要使分式x ＋y x －y有意义，那么分母x －y ≠0，即x ≠y. 思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？稳固练习：教材第129页练习第3题．3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0(1)m m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1.三、归纳总结1．分式的概念．2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．四、布置作业，3题．在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．15．分式的根本性质(2课时)第1课时分式的根本性质1．了解分式的根本性质，灵活运用分式的根本性质进行分式的变形．2．会用分式的根本性质求分式变形中的符号法那么．重点理解并掌握分式的根本性质．难点灵活运用分式的根本性质进行分式变形．一、类比引新1．计算：(1)56×215；(2)45÷815. 思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后答复：运用了分数的根本性质．2．你能说出分数的根本性质吗？分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．3．尝试用字母表示分数的根本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的根本性质，然后写出分数的根本性质的字母表达式．a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c b÷c.(其中a ，b ，c 是实数，且c ≠0) 二、探究新知1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的根本性质吗？分式的根本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C.(其中A ，B ，C 是整式，且C ≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝ab a 2，你还能举几个例子吗？ 回忆分数的根本性质，让学生类比写出分式的根本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．2．想一想以下等式成立吗？为什么？－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b＝－a b . 教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．例1不改变分式的值，使以下分式的分子与分母都不含“－〞号：(1)－2a －3a；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y . 例2不改变分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：(1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1. 引导学生在完成习题的根底上进行归纳，使学生掌握分式的变号法那么．例3填空：(1)x 3xy ＝〔〕y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y 〔〕； (2)1ab ＝〔〕a 2b ，2a －b a 2＝〔〕a 2b.(b ≠0) 解：(1)因为x 3xy的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需除以x ，即x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y. 同样地，因为3x 2＋3xy 6x 2的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即3x 2＋3xy 6x 2＝〔3x 2＋3xy 〕÷〔3x 〕6x 2÷〔3x 〕＝x ＋y 2x . 所以，括号中应分别填入x 2和2x.(2)因为1ab的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需乘a ，即1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b. 同样地，因为2a －b a 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ，所以分子也需乘b ，即 2a －b a 2＝〔2a －b 〕·b a 2·b＝2ab －b 2a 2b . 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．三、课堂小结1．分式的根本性质是什么？2．分式的变号法那么是什么？3．如何利用分式的根本性质进行分式的变形？学生在教师的引导下整理知识、理顺思维．四、布置作业，5题．通过算数中分数的根本性质，用类比的方法给出分式的根本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．第2课时分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念．2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．重点运用分式的根本性质正确地进行分式的约分与通分．难点通分时最简分分母确实定；运用通分法那么将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×215时，我们采用了“约分〞的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2＋ab a 2b，a ＋b ab相等吗？为什么？ 利用分式的根本性质，分式a 2＋ab a 2b约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以得到a ＋b ab. 教师点拨：分式a 2＋ab a 2b 可以化为a ＋b ab，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__． 2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？ 类似的，你能把分式a b ，c d变成同分母的分式吗？ 利用分式的根本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．二、探究新知1．约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y. 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b＝－5ac 23b ； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝〔x ＋3〕〔x －3〕〔x ＋3〕2＝x －3x ＋3； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6〔x －y 〕23〔x －y 〕＝2(x －y )． 假设分子和分母都是多项式，那么往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)2．练习：约分：2ax 2y 3axy 2；－2a 〔a ＋b 〕3b 〔a ＋b 〕；〔a －x 〕2〔x －a 〕3；x 2－4xy ＋2y ；m 2－3m 9－m 2；992－198. 学生先独立完成，再小组交流，集体订正．3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，16xy 4的最简公分母是什么？ 提出最简公分母概念．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤：(1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．4．通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3x x ＋5. 分析：为通分，要先确定各分式的公分母．解：(1)最简公分母是2a 2b 2c .32a 2b ＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc 2a 2b 2c， a －b ab 2c ＝〔a －b 〕·2a ab 2c ·2a＝2a 2－2ab 2a 2b 2c . (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)．2x x －5＝2x 〔x ＋5〕〔x －5〕〔x ＋5〕＝2x 2＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x 〔x －5〕〔x ＋5〕〔x －5〕＝3x 2－15x x 2－25. 5．练习：通分：(1)13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1〔2－x 〕2与x x 2－4.教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式那么应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．学生板演并互批及时纠错．6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结．三、课堂小结1．什么是分式的约分？怎样进行分式的约分？什么是最简分式？2．什么是分式的通分？怎样进行分式的通分？什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些疑惑？四、布置作业，7题．本节课是在学习了分式的根本性质后学的，重点是运用分式的根本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．15．2分式的运算15．分式的乘除(2课时)第1课时分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法那么．2．运用法那么进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．重点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1．分数的乘除法的法那么是什么？2．计算：35×1512；35÷152. 由分数的运算法那么知35×1512＝3×155×12；35÷152＝35×215＝3×25×15. 3．什么是倒数？我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、探究新知问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b 时，当容器的水占容积的m n时，水面的高度是多少？ 问题2：大拖拉机m 天耕地a hm 2，小拖拉机n 天耕地b hm 2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？问题1求容积的高V ab ·m n ，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷b n倍．根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法那么是什么？分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． a b ·c d ＝a·c b·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·d b·c. 三、举例分析例1计算：(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd. 分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法那么进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．解：(1)4x 3y ·y 2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x 2； (2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd ＝ab 32c 2·4cd －5a 2b 2＝－4ab 3cd 10a 2b 2c 2＝－2bd 5ac. 例2计算：(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4； (2)149－m 2÷1m 2－7m. 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法那么．解：(1)原式〔a －2〕2〔a －1〕2·a －1〔a ＋2〕〔a －2〕＝a －2〔a －1〕〔a ＋2〕； (2)原式1〔7－m 〕〔7＋m 〕÷1m 〔m －7〕＝1〔7－m 〕〔7＋m 〕·m 〔m －7〕1＝－m m ＋7. 例3“丰收1号〞小麦试验田边长为a 米(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的局部，“丰收2号〞小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？分析：此题的实质是分式的乘除法的运用．解：(1)略．(2)500〔a －1〕2÷500a 2－1＝500〔a －1〕2·a 2－1500＝a ＋1a －1. “丰收2号〞小麦的单位面积产量是“丰收1号〞小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍． 四、随堂练习1．计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ；(2)－n 22m ·4m 25n 3；(3)y 7x ÷(－2x)； (4)－8xy÷2y 5x ；(5)－a 2－4a 2－2a ＋1·a 2－1a 2＋4a ＋4；(6)y 2－6y ＋9y ＋2÷(3－y)． 答案：(1)abc ；(2)－2m 5n ；(3)－y 14；(4)－20x 2；(5)－〔a ＋1〕〔a －2〕〔a －1〕〔a ＋2〕；(6)3－y y ＋2. 2．教材第137页练习1，2，3题．五、课堂小结(1)分式的乘除法法那么；(2)运用法那么时注意符号的变化；(3)因式分解在分式乘除法中的应用；(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如〔a －1〕2a 或a 2－2a ＋1a. 六、布置作业，2题．本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法那么的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法那么．有利于学生接受新知识，而且能表达由数到式的开展过程．第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算1．进一步熟练分式的乘除法法那么，会进行分式的乘、除法的混合运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算． 重点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．难点分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号确实定．一、复习引入1．分式的乘除法法那么．分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母． 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．2．乘方的意义：a n ＝a·a·a·…·a(n 为正整数)．二、探究新知例1(教材例4) 计算2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3. 解：2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3＝2x 5x －3·25x 2－93·x 5x ＋3(先把除法统一成乘法运算) ＝2x 23.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤：(1)先把除法统一成乘法运算；(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；(3)确定分式的符号，然后约分；(4)结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳．(1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2b 2； ↑↑由乘方的意义由分式的乘法法那么(2)同理：(a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b 3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个＝a n b n . 2．分式乘方法那么：分式：(a b )n ＝a nb n .(n 为正整数) 文字表达：分式乘方是把分子、分母分别乘方．3．目前为止，正整数指数幂的运算法那么都有什么？(1)a n ·a n ＝a m ＋n ；(2)a m ÷a n ＝a m －n ；(3)(a m )n ＝a mn ；(4)(ab)n ＝a n b n ；(5)(a b )n ＝a nb n . 三、举例分析例2计算：(1)(－2a 2b 3c)2； (2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. (3)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x)4； (4)a 2－b 2a 2＋b 2÷(a －b a ＋b)2. 解：(1)原式＝〔－2a 2b 〕2〔3c 〕2＝4a 4b 29c 2； (2)原式＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b 38cd 6； (3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y 4＝－x 5； (4)原式＝〔a ＋b 〕〔a －b 〕a 2＋b 2·〔a ＋b 〕2〔a －b 〕2＝〔a ＋b 〕3〔a －b 〕〔a 2＋b 2〕. 学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．例3计算：(1)b 3n －1c 2a 2n ＋1·a 2n －1b 3n －2；(2)(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ·x －y x 2； (3)(a 2－b 2ab )2÷(a －b a)2. 解：(1)原式＝b 3n －2·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －1b3n －2＝bc 2a 2； (2)原式＝－x 〔x －y 〕1·xy 〔x －y 〕2·x －y x 2＝－y ； (3)原式＝〔a ＋b 〕2〔a －b 〕2a 2b 2·a 2〔a －b 〕2＝a 2＋2ab ＋b 2b 2. 本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．四、稳固练习教材第139页练习第1，2题．五、课堂小结1．分式的乘方法那么．2．运算中的本卷须知．六、布置作业．分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法那么．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．15．分式的加减(2课时)第1课时分式的加减理解并掌握分式的加减法那么，并会运用它们进行分式的加减运算．重点运用分式的加减运算法那么进行运算．难点异分母分式的加减运算．一、复习提问1．什么叫通分？2．通分的关键是什么？3．什么叫最简公分母？4．通分的作用是什么？(引出新课)二、探究新知1．出示教材第139页问题3和问题4.教材第140页“思考〞．分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察以下分数加减运算的式子：15＋25＝35，15－25＝－15，12＋13＝36＋26＝56，12－13＝36－26＝16.你能将它们推广，得出分式的加减法法那么吗？教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法那么．学生讨论：组内交流，教师点拨．2．同分母的分式加减法． 公式：a c ±b c ＝a±b c.文字表达：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．3．异分母的分式加减法． 分式：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad±bcbd.文字表达：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 三、典型例题例1(教材例6) 计算：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q . 解：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y x 2－y 2＝3x －y；(2)12p ＋3q ＋12p －3q ＝2p －3q 〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＋2p ＋3q〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＝2p －3q ＋2p ＋3q 〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＝4p4p 2－9q 2.小结：(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 例2计算：m ＋2n n －m ＋n m －n －2mn －m. 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题． 解：原式＝m ＋2n n －m －n n －m －2mn －m＝m ＋2n －n －2mn －m＝n －mn －m＝1.四、课堂练习1．教材第141页练习1，2题． 2．计算：(1)56ab －23ac ＋34abc ；(2)12m 2－9＋23－m ； (3)a ＋2－42－a；(4)a 2－b 2ab －ab －b 2ab －ab 2.五、课堂小结1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．2．对于整式和分式之间的加减运算，那么把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．4．作为最后结果，如果是分式那么应该是最简分式． 六、布置作业 ，5题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，表达了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的开展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第2课时分式的混合运算1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算． 2．能灵活运用运算律简便运算．重点熟练地进行分式的混合运算． 难点熟练地进行分式的混合运算． 一、复习引入回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？ 1．分式的乘除运算主要是通过( )进行的，分式的加减运算主要是通过( )进行的．2．分数的混合运算法那么是( )，类似的，分式的混合运算法那么是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号的先算( )里面的．二、探究新知 1．典型例题 例1计算：(x ＋2x －2＋4x 2－4x ＋4)÷x x －2. 分析：应先算括号里的． 例2计算：x ＋2y ＋4y 2x －2y －4x 2yx 2－4y 2.分析：(1)此题应采用逐步通分的方法依次进行； (2)x ＋2y 可以看作x ＋2y1.例3计算：12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x－x －y)．分析：此题可用分配律简便计算．例4 [1〔a ＋b 〕2－1〔a －b 〕2]÷(1a ＋b －1a －b)．分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．例5(教材例7) 计算(2a b )2·1a －b －a b ÷b4.解：(2a b )2·1a －b －a b ÷b4＝4a 2b 2·1a －b －a b ·4b＝4a 2b 2〔a －b 〕－4a b 2＝4a 2b 2〔a －b 〕－4a 〔a －b 〕b 2〔a －b 〕 ＝4a 2－4a 2＋4ab b 2〔a －b 〕＝4ab b 2〔a －b 〕＝4aab －b 2. 点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减． 例6(教材例8) 计算： (1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m； (2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x .解：(1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m＝〔m ＋2〕〔2－m 〕＋52－m ·2m －43－m＝9－m 22－m ·2〔m －2〕3－m ＝〔3－m 〕〔3＋m 〕2－m ·－2〔2－m 〕3－m＝－2(m ＋3)；(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x＝[x ＋2x 〔x －2〕－x －1〔x －2〕2]·xx －4 ＝〔x ＋2〕〔x －2〕－〔x －1〕x x 〔x －2〕2·xx －4＝x 2－4－x 2＋x〔x －2〕2〔x －4〕 ＝1〔x －2〕2.分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：(1)一般按分式的运算顺序法那么进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可防止运算烦琐．(3)注意括号的“添〞或“去〞、“变大〞与“变小〞． (4)结果要化为最简分式．强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力．三、稳固练习1．(1)x 2x －1－x －1；(2)(1－2x ＋1)2÷x －1x ＋1；(3)2ab 〔a －b 〕〔a －c 〕＋2bc 〔a －b 〕〔c －a 〕； (4)(1x －y ＋1x ＋y )÷xy x 2－y 2. 2．教材第142页第1，2题．四、课堂小结1．分式的混合运算法那么是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号先算( )里的．2．一些题应用运算律、公式能简便运算．五、布置作业 1．．2．先化简再求值1x ＋1－1x 2－1·x 2－2x ＋1x ＋1，其中x ＝2－1.分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法那么并提高运算能力．15．整数指数幂1．知道负整数指数幂a －n ＝1a n .(a ≠0，n 是正整数)2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．重点掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数． 难点负整数指数幂的性质的理解和应用． 一、复习引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：(1)同底数的幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是正整数)； (2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数)；(3)积的乘方：(ab)n ＝a n b n (n 是正整数)；(4)同底数的幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)； (5)分式的乘方：(a b )n ＝a nb n (n 是正整数)．2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，a 0＝1. 二、探究新知(一)≠0时，a 3÷a 5＝a 3a 5＝a 3a 3·a 2＝1a2，再假设正整数指数幂的运算性质a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么a 3÷a 5＝a 3－5＝a －2.于是得到a －2＝1a 2(a ≠0)．总结：负整数指数幂的运算性质：一般的，我们规定：当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．2．练习稳固：填空：(1)－22＝________， (2)(－2)2＝________， (3)(－2)0＝________，(4)20＝________，(5)2－3＝________，(5)(－2)－3＝________． 3．例1 (教材例9) 计算： (1)a－2÷a 5；(2)(b 3a 2)－2； (3)(a －1b 2)3；(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3. 解：(1)a －2÷a 5＝a－2－5＝a －7＝1a7；(2)(b 3a 2)－2＝b －6a －4＝a 4b －6＝a 4b 6；(3)(a －1b 2)3＝a －3b 6＝b 6a 3； (4)a－2b 2·(a 2b －2)－3＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8＝b 8a 8. [分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．4．练习：计算：(1)(x 3y －2)2；(2)x 2y －2·(x －2y)3；(3)(3x 2y －2)2÷(x －2y)3.5．例2判断以下等式是否正确？ (1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)(a b)n ＝a n b －n .[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．(二)因为0.1＝110＝10－1；0.01＝________＝________；0．001＝________＝________……××10－5.我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n的形式，其中n 是正整数，1≤|a|＜10.2．例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数． 3．用科学记数法表示以下各数： 0．0004，，00045，009.4．计算：(1)(3×10－8)×(4×103)；(2)(2×10－3)2÷(10－3)3. 三、课堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立． 2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足1≤|a|＜10，其中n 是正整数．四、布置作业 ，8，9题．本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．15．3分式方程(2课时) 第1课时分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的根本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．重点解分式方程的根本思路和解法． 难点理解解分式方程时可能无解的原因． 一、复习引入问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？[分析]设江水的流速为x 千米/时，根据题意，得9030＋v ＝6030－v.① 方程①有何特点？[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断以下各式哪个是分式方程．(1)x ＋y ＝5；(2)x ＋25＝2y －z 3；(3)1x ；(4)y x ＋5＝0；(5)1x ＋2x ＝5.根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知1．思考：怎样解分式方程呢？为了解决本问题，请同学们先思考并答复以下问题：(1)回忆一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有方法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结] 方程①可以解答如下：方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得v ＝6.所以江水的流度为6千米/时．[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．2．例1解方程：1x －5＝10x 2－25.②解：方程两边同乘(x 2－25)，约去分母，得x ＋5＝10. 解这个整式方程，，当x ＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x －5)与(x 2－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x ＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．3．那么，可能产生“增根〞的原因在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v ＝6.当v ＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x －5)(x ＋5)，得到整式方程，它的解x ＝5.当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．如例1中的x ＝5，代入x 2－25＝0，可知x ＝5是原分式方程的增根．三、举例分析 例2(教材例1) 解方程2x －3＝3x. 解：方程两边乘x(x －3)，得2x ＝3x －9. 解得x ＝9.检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝9. 例3(教材例2) 解方程x x －1－1＝3〔x －1〕〔x ＋2〕. 解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．四、课堂小结1．分式方程：分母中含有未知数的方程． 2．解分式方程的一般步骤如下：。
人教版八年级数学上册第十五章《分式》教案
第十五章分式15.1 分式15.1.1 从分数到分式1.理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.2.在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.3.进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.【教学重点】理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.【教学难点】在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.一、情境导入，初步认识问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1刚才大家通过探讨，获得到100602020v v+-，这样的式子，它们是整式吗？如果不是，区别在哪里？思考1（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为；（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为.思考2 式子S/a、V/S与10/7，200/33有什么区别？它们与10060 2020v v+-，有什么共同点？谈谈你的看法.【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类比分数分子、分母进行描述.分式：一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB 叫做分式.问题2（1）使分式11x-有意义，则x的取值有什么要求？（2）使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有B≠0.三、典例精析，掌握新知例1指出下列各式中的整式与分式：【教学说明】教师总结判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：π不是字母，是常数，所以x/π是整式.例2填空：（1）当x时，分式23x有意义？（2）当b时，分式153b-有意义？（3）当x ，y 满足关系 时，分式x y x y +-有意义？ （4）当x 时，分式231x x + 有意义？ 解：（1）由题意有：3x ≠0，故x ≠0，所以当x ≠0时，分式23x 有意义；（2）由题意有：5-3b ≠0，故b ≠5/3,所以当b ≠5/3时，分式153b -有意义；（3）由题意有x-y ≠0，故x ≠y ，所以当x ≠y 时，分式x y x y+-有意义；（4）由题意有x 2+1≠0，因为x 2≥0，x 2+1≥1，故x 为任何数时，分式231x x +有意义. 【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.例3什么条件下，下列分式的值为0？（1）1x x - ；（2）23m n m n-+ ；（3）()236x x x x --- . 解：（1）由题意有：x-1=0，∴x=1.当x=1时，分母x ≠0，所以当x=1时，分式1x x-的值为0； （2）由题意有：2m-3n=0，∴m=32n ，∴m+n=52n ，又m+n ≠0，即52n ≠0，∴n ≠0，从而在m=32n ≠0时，分式23m n m n-+的值为0； （3）由题意有：x(x-3)=0，∴x=0或x=3，当x=0时，分母x 2-x-6=-6≠0，当x=3时，x 2-x-6=9-3-6=0，故使分式()236x x x x ---的值为0时，x 的值为x=0. 【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识.四、师生互动，课堂小结1.这节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知.15.1.2分式的基本性质1.掌握分式的基本性质，能依据分式的性质进行约分和通分运算.2.通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分和通分.3.进一步增强学生的创新思维能力.【教学重点】理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分和通分.【教学难点】在分式通分时找几个分母的公分母是关键，在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.一、情境导入，初步认识分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.思考下列从左到右的变形成立吗？为什么？【教学说明】教师应引导学生用类比分数的基本性质来解决上述问题，加深对分式性质的初步认识.教学时，让学生相互交流，感受新知.二、思考探究，获取新知（一）分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即··A A C A A CB BC B B C÷==÷，（A、B、C均为整式，且C≠0）试一试【教学说明】让学生自主探究，教师巡视，针对学生可能出现的问题及时给予指导，最后师生共同分析，完善答案.教学重点在于让学生明白通过分子（或分母）的变化特征，来获得分母（或分子）的变化思路，为后面的分式约分和通分作好铺垫.2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：【教学说明】2、3两道小题均由学生自主完成，相互交流.教师在学生处理第2题时应引导学生运用分数除法法则得到商的符号来完成分式中分子（或分母）的符号的处理办法，第3题应引导学生运用分式性质在分子、分母同乘以一个合适倍数来达到目的，边巡视，边指导，让学生在练习过程中加深对性质的理解和运用.（二）分式的约分分式的约分：把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，如由2122x x x x =--，就是分式的约分. 最简分式：分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.【教学说明】上述定义或结论，在教学时，教师可结合分数的约分和前面的1（1）小题进行说明，让学生通过感性认识获得理性思考，体验由特殊到一般的辨证思维方法.试一试4.约分：【教学说明】在学生自主探究，探索问题结论过程中，教师应关注学生以下几个方面：（1）找分式的分子、分母中的公因式是否彻底，是否考虑了分子、分母中各项的系数；（2）是否注意到分式的符号的变化；（3）约分是否彻底等，对所出现的问题一定要做好个别指导，最后师生共同讨论，给出正确答案，让学生对比自己的解答，进行必要的反思.（三）分式的通分思考：联想分数的约分，如何进行分式的通分呢？试一试5.将下列分式通分：【分析】（1）把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分；（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母，而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行：①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数；②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式；③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.【教学说明】教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对分式通分的认识.三、师生互动，课堂小结1.通过本节课的学习，你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你觉得有哪些知识是难以把握的？你有何想法？【教学说明】通过对问题的思考，让学生回顾本节学过的知识点有哪些，怎样利用分式的性质来化简分式中分子（或分母）的符号，怎样将分子、分母中的系数化成整数，如何进行分式的约分和通分，在约分和通分时最关键的问题有哪些，如何解决等等，进一步深化对本节知识的理解.在这里，教师可引导学生做教材P8练习以及习题14.1中的题，以帮助学生进一步掌握.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.“分式的基本性质”在分式教学中占有重要的地位，它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解，教师在设计这节课时，可利用“猜想和验证”的方法，留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间，让学生得到的不仅是数学知识，更主要的是数学学习的方法，从而激励学生进一步地主动学习，产生我会学的成就感.教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，最好给每位学生准备一份练习纸，这样能确保达到一定的练习量.15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除1.掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.2.在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.3.在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.【教学重点】理解并掌握分式乘除法运算法则，能用它来进行分式乘除法运算.【教学难点】运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.一、情境导入，初步认识观察下列算式：由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是；分数的除法法则是.思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则，可激发学生的学习兴趣，增强求知欲.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.乘法法则：分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为：···a d a db c b c=.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为：···a d a c a cb c b d b d÷==.【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论，让学生在合作交流中感受新知；教师不必直接给出结论.在教学时，教师可进一步地展示下面的一些问题，帮助学生加深理解.问题【教学说明】在教学时，上述三个问题教师可延时展示给学生，让学生逐一思考，获得结论.教师巡视，对有困难的学生适时给予指导，同时分别选派2～3名学生上黑板演示，师生共同评析.在问题1中，着重于除式是整式情形，这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算；问题中侧重于运算结果应予以约分化简，必须是最简分式时才算运算结束；问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形，此时应注重于分解因式，以便于约分化简，整个过程都应是学生自主探究，合作交流来完成的.三、典例精析，掌握新知【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.【教学说明】本例仍由学生自主探究，抽学生回答，教师适时点拨，师生共同寻求解题方法，完成解题过程.在完成之后，教师可引导学生做P138练习第2、3题，在这个过程中，仍可让学生举手回答，教师予以点评.四、运用新知，深化理解1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？【教学说明】这两个题可由学生自主探究，获得结论，教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.五、师生互动，课堂小结运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？谈谈你的看法，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后就看写着结果再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式.第2课时分式的乘除混合运算与分式的乘方1.掌握分式的乘除法法则，能用它们进行分式的乘除混合运算.2.理解分式乘方的意义，能进行有关分式乘方的运算.3.通过对具体问题的探究思考，感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法，进一步增强类比的数学思想方法的理解.4.进一步增强学生的数学计算能力，发展严密的数学思维能力，增强数学学习兴趣.【教学重点】分式乘除、乘方混合运算能力.【教学难点】分式乘方法则的理解和运用.一、情境导入，初步认识问题分式乘除法运算法则是什么？如何进行分式乘除法混合运算呢？试一试参见教材P138例4.想一想小明同学在计算xy÷yx·xy时，其过程如下：原式=xy÷1=xy，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流.【教学说明】教师延时展示上述三个问题，让学生自主探究，加深对分式乘除法法则的理解，体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P138“思考”.【归纳结论】参见教材P138最后一段.【教学说明】教师提出问题，由学生自主探究，发现规律，形成认知，从而感受分式乘方的意义.试一试计算：【教学说明】选派两名同学上黑板计算，其余同学在座位上自主探究.教师巡视，最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析，教师应对学生的解答进行详细讲解，帮助学生完善认知.【归纳结论】分式的乘方，就是把分式的分子、分母各自乘方.三、典例精析，掌握新知例计算：（1）参见教材P139例5第（2）小题；（2）参见教材P139练习第2题第（2）小题.【分析】分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除，能约分的一定要约分.【教学说明】教学时，教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调，如（-c2d）2=-c4d2或c2d2，(-3c)3=-9c3等错误，引起学生注意.四、运用新知，深化理解1.参见教材P139“练习”第1题.2.计算：（1）参见教材P139“练习”第2题第（1）小题；（2）参见教材P146第3题第（4）小题.【教学说明】学生独立完成这些小题，然后相互交流，有时间的话，教师予以评价，让学生查漏补缺，巩固新知.五、师生互动，课堂小结本节课所学习的主要知识是什么？有哪些需要特别注意的地方？谈谈你的看法，并与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.由于前面学生已对分式的乘除法有一定的了解，所以本课时的教学可采用类比的方法进行，一方面类比整式的乘除混合运算，另一方面类比前面分式的乘除.教学时，教师要起引导作用，引导学生自主发现和解决问题.15.2.2 分式的加减第1课时 分式的加减1.理解并掌握分式的加减法法则，能用它进行简单的分式加减.2.经历探究实际问题中数量关系的过程，感受分式的加减法也是实际需要，进而掌握分式的加减方法.3.进一步增强用类比的思想方法解决数学问题的能力，锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】分式的加减法运算方法.【教学难点】异分母分式的加减法即化异分母分式为同分母分式的方法.一、情境导入，初步认识问题1参见教材P139“问题3”.问题2参见教材P139“问题4”.【教学说明】让学生对上述两个问题的思考，得出算式分别为11)3(n n ++ 和322121()s s s s s s --- ，教师巡视，对不能尽快得出算式的学生给予个别指导，让学生能自主分析问题，并探寻解决问题的方法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P140“思考”.【归纳结论】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减.【教学说明】在师生共同探讨获得分式加减法法则后，教师应强调以下两个问题：①分式加减的最后结果能约分的一定要约分，化为最简分式；②异分母分式加减时，一定要先确定各分式的最简公分母，化为同分母分式后再进行加减法运算.三、典例精析，掌握新知例 参见教材P140例6.解：参见教材P140例6“解”部分.四、运用新知，深化理解参见教材P141“练习”.【教学说明】第1题只须与学生核对答案即可，而第2题建议选三名中等成绩同学上黑板演示，其它同学独立探究，然后师生共同评析三位同学的演算过程，在评讲过程中教师应有针对性地强调一些需注意的问题：如（1）中的最简公分母；（2）中化为同分母分式后分子应适时添加括号，（3）中应先将22a a b- 化为()()a a b a b +- ，再通分等.五、师生互动，课堂小结1.在进行异分母分式的加减法运算时，应关注哪些问题？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，与同伴交流.【教学说明】用问题形式对本节知识进行归纳总结，让学生对知识进行梳理，形成知识体系.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课教师可采用探究与自主学习相结合的模式来完成.探究的目的是让学生经历类比分数加减运算的过程，通过将分式中的字母赋值，从而把分数的加减运算法则推及到分式的加减运算.整个过程中既有从特殊到一般的归纳，也有从一般到特殊的演绎.此外还可以通过把例题的再加工，使学生把错误暴露出来，引起他们的共鸣，而这些课堂内学生的差错会成为学生自己可贵的复习资料.接着可出些不同类型的题，让学生再次经历分式的加减运算过程，强化技能，以达到熟练的程度.第2课时分式的混合运算1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.3.在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.4.进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.【教学重点】掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.【教学难点】运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.一、情境导入，初步认识问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？在运算过程中有哪些需要注意的问题？问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？谈谈你的想法.【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】上述两个例题都应先让学生独立完成试试，然后教师再予以评讲，例1的（1）题侧重于展示分式的混合运算方法；先算乘方，再算乘除，最后算加减；而第（2）题进一步强调混合运算中的运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号应先做括号内的运算，再算括号外的运算”.三、典例精析，掌握新知【教学说明】教学时，可让学生自主探索，获得结论，教师再行讲解.例1中计算（x2+xy+y2）（x-y）时，若已掌握公式（a2+ab+b2）（a-b）＝a3-b3，可直接写出结果x3-y3，如果不知道此公式，可利用多项式乘多项式的法则计算.例2中含有一个开放性问题，这里教师应该强调：选择一个值代入时，一定要使原代数式有意义，即不能选x为0，1这两个值.四、运用新知，深化理解2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？【教学说明】学生独立探究，教师巡视时，对有困难同学给予指导，最后予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验和方法.五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你有哪些收获？2.你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思，既系统回顾本节所学知识，又查找问题所在，在与同伴交流中加深认识.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算，为达到教学目标，本课时通过问题的提出，让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然，无论是例题的分析还是练习题的落实，都以学生为中心，给予充分的时间让学生去演算并暴露问题，再指出问题所在，为后面的教学提供较好的对比分析材料.此外，教师还应引导学生发现并总结多。
2023八年级数学上册第十五章分式15.1分式15.1.2分式的基本性质教案(新版)新人教版
- 分式的分子与分母同时乘以或除以同一个数，分式的值也不变。
3. 分式的运算
- 加减法：XXX
- 乘除法：XXX
4. 分式的应用
- 实际问题：XXX
- 解题步骤：XXX
5. 总结
- 分式的概念和性质
- 分式的运算方法
- 分式的应用实例
2. 调整教学方法：采用多种教学方法，如案例教学、小组讨论、实验法等，提高学生的学习兴趣和参与度。
3. 多元化评价：采用多元化评价方式，如过程性评价、学生互评、自我评价等，全面了解学生的学习情况，促进学生的全面发展。
八、板书设计
1. 分式的概念
- 分子：XXX
- 分母：XXX
- 分式：XXX
2. 分式的基本性质
强调分式的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对分式知识的掌握情况。
鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决分式问题。
错题订正：
针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。
引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解分式的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习分式内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确分式教学目标和分式重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保分式教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习分式的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
15.2.3 第1课时 负整数指数幂
类型之二 整数指数幂的运算 计算：
(1)(－2)－3－2－3＋12－3－－12－3； (2)(－2 017)0÷(－2)－3×－12－1－3.
解： (1)原式＝－18－18＋8＋8＝643. (2)原式＝1÷－18×(－2)－3 ＝1×(－8)×(－2)－3 ＝13. 【点悟】 任何非 0 实数的 0 次幂等于 1，负整数指数幂等于正整数指数幂的 倒数．
D．c>a>b
【解析】 ∵a＝(－3)－2＝19，b＝(－3)－1＝－13，c＝(－3)0＝1，∴c>a>b.
1 6．计算：(1)(－2)－2＝ 4
； (2)(－2)－3＝ －18 ；
1 (3)0.1－1＝ 10 ； (4)(－ 2)－4＝ 4 .
z6 7．计算：x－2y3·(xy－2z3)2＝ y .
归类探 究
类型之一 求负整数指数幂
计算：(1)3－3；(2)12－2；(3)130×10－1. 解：(1)原式＝313＝217. (2)原式＝1212＝4. (3)原式＝1×110＝110.
【点悟】 正确理解 a－n＝a1n(a≠0，n 为正整数)的意义，这里的底数 a 是任 意非零实数．
第十五章 分式
15.2.3 第1课时 负整数指数幂
学习指 知 南识 管 归 理类 探 当 究堂 测 分 评层 作
业
教学目标
学习指 南
1．理解整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题；
2．理解 0 指数幂和负整数指数幂的意义．
情景问题引入
一个氧原子约重 2.657×10－23g,20 000 个氧原子共重多少克？涉及负整数指数
8．计算：(1)x2y－3·(x－1y)3； (2)(2ab2c－3)－2÷(a－2b)3； (3)x－2y－3(－3x－1y2)2÷(2xy－2)3.
人教版八年级上册数学教案15.2 分式的运算(5课时)
15．2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除一、基本目标 【知识与技能】理解分式乘除法的运算法则，并能正确进行计算． 【过程与方法】经历分析、对比的过程，类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，利用分式的乘除法法则进行计算，增强对法则的理解与掌握．【情感态度与价值观】通过探索分式的乘除法法则的过程，提高对比、归纳的能力，培养从已学知识中推导新知识的习惯．二、重难点目标 【教学重点】 分式的乘除法法则． 【教学难点】运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P135～P137的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为a b ·c d ＝a ·c b ·d.2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·db ·c.3．分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ； (2)y 7x ÷⎝⎛⎭⎫－2x . 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则进行计算时，需要注意什么？ 【解答】(1)原式＝a 2b 2c 2abc ＝abc .(2)原式＝y 7x ·⎝⎛⎭⎫－x 2＝－xy 14x ＝－y 14. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式乘除法法则进行计算，运算结果应化为最简分式．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算a 2－1(a ＋1)2÷a －1a ，结果正确的是( D )A.12 B ．a ＋1a ＋2C ．a ＋1aD ．a a ＋12．计算： (1)x 2y x 3·⎝⎛⎭⎫－1y ； (2)a 2－4b 23ab 2·ab a －2b ；(3)x 2－x x －1÷(4－x )； (4)42(x 2－y 2)x ·－x 235(y －x )3.解：(1)原式＝－x 2y x 3y ＝－1x.(2)原式＝(a ＋2b )(a －2b )3ab 2·ab a －2b ＝a ＋2b3b .(3)原式＝x (x －1)x －1·14－x ＝x4－x.(4)原式＝42(x ＋y )(x －y )x ·x 235(x －y )3＝6x (x ＋y )5(x －y )2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，求4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a的值． 【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法，化简所求式子→代入a 、b 值进行计算．【解答】∵(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，1－a ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.4a 2－ab16a 2－8ab ＋b 2·2a ＝a (4a －b )(4a －b )2·2a ＝24a －b. 将a ＝1，b ＝1代入上式，得原式＝24a －b ＝24－1＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后，要代入化简后的式子进行计算．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时 分式的乘方及乘除混合运算一、基本目标 【知识与技能】理解分式的乘方法则，掌握分式乘方与乘除混合运算的运算顺序． 【过程与方法】经历计算、思考、归纳的过程，归纳出分式的乘法法则，通过分式的乘除混合运算和乘方运算，加深对分式乘除法法则和乘方法则的记忆，并了解乘方与乘除法混合运算的运算顺序．【情感态度与价值观】通过归纳分式乘方法则的过程，养成归纳意识，通过运用分式的乘除法法则和乘方法则进行混合运算，提高计算能力．二、重难点目标 【教学重点】分式的乘方法则和混合运算顺序． 【教学难点】运用分式的乘除法法则和乘方法则正确计算．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P138～P139的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．教材第138页“思考”：⎝⎛⎭⎫a b 2＝a 2b 2；⎝⎛⎭⎫a b 3＝a 3b 3；⎝⎛⎭⎫a b 10＝a10b 10.2．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用字母表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb n . 3．分式的乘除法和乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除法． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·(x ＋3)(x －2)3－x. 【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算顺序进行分式混合运算． 【解答】原式＝2x －64－4x ＋x 2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x ＝2(x －3)(2－x )2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x ＝2(x －3)(x －2)2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)－(x －3)＝－2x －2【互动总结】(学生总结，老师点评)计算分式的乘除混合运算时，先统一为乘法运算，再依次进行计算．【例2】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－2b 2a 33； (2)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2·⎝⎛⎭⎫c a 4. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘方法则进行计算时应该注意什么？当式子里同时有乘除法和乘方时，运算顺序是怎样的？【解答】(1)原式＝(－2b 2)3(a 3)3＝－8b 6a 9.(2)原式＝c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4a 4＝c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 ＝c 2a2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)分式乘方时，注意分子、分母分别乘方，式子中有乘除法与乘方时，先算乘方，再算乘除法．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知⎝⎛⎭⎫x 3y 22÷⎝⎛⎭⎫－x y 32＝6，则x 4y 2的值是( A ) A ．6 B ．36 C ．12 D ．32．计算：(1)3ab 22x 3y ·⎝⎛⎭⎫－8xy 9a 2b ÷3x (－4b )； (2)3(x －y )2(y －x )3·(x －y )4÷9y －x ； (3)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2÷⎝⎛⎭⎫a c 4； (4)⎝⎛⎭⎫a －b ab 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －a 3·(a 2－b 2)． 解：(1)16b 29ax 3.(2)(x －y )43.(3)c 2a 2. (4)a (a ＋b )b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题，若x ＝－2018，求代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值．小明通过计算，发现题目中的x ＝－2018是多余的．你认为小明的发现是否正确？【互动探索】先计算分式乘除运算的值→验证分式乘除运算的结果与x 的关系． 【解答】x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2xx 3＋x 2＋x ·1x ＋2＝(x ＋2)(x －2)x 2＋x ＋1·x (x 2＋x ＋1)x (x －2)·1x ＋2＝1.∴代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2xx 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值是一个定值，与x 的取值无关．故小明的发现是正确的．【互动总结】(学生总结，老师点评)将代数式化简后，如果结果是一个常数，那么该代数式的值与其中字母的取值无关．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2.2 分式的加减 第3课时 分式的加减一、基本目标 【知识与技能】1．理解分式的加减法法则，并能正确计算分式加减法． 2．掌握异分母分式加减法的计算步骤，并能正确计算． 【过程与方法】经历思考、类比、归纳的过程，理解分式的加减法法则，在掌握分式通分的基础上，掌握异分母分式加减法的计算方法．【情感态度与价值观】类比分数的加减法法则理解分式的加减法法则，养成类比思考的习惯，通过运用分式的加减法法则进行加减法运算，提高运算能力．二、重难点目标 【教学重点】 分式的加减法法则． 【教学难点】异分母分式的加减法的计算步骤．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P139～P140的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．观察填空： (1)15＋25＝35； (2)15－25＝－15； (3)12＋13＝36＋26＝56； (4)12－13＝36－26＝16. 同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减. 异分母分数相加减，先通分，再把分子相加减． 2．类比分数的加减，你能说出分式的加减法则吗？ (1)同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用字母表示为a c ±b c ＝a ±bc.(2)异分母分式相加减，先先通分，变为同分母的分式，再加减. 用字母表示为a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bcbd .环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x ＋3y x 2－y 2－x ＋2yx 2－y 2； (2)1a ＋3＋6a 2－9； (3)m ＋2n n －m －n m －n ＋2m n －m ； (4)1x －3＋1－x 6＋2x －6x 2－9. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的加减法法则进行计算，异分母分式相加减时，应该注意什么？【解答】(1)原式＝x ＋3y －(x ＋2y )x 2－y 2＝5yx 2－y 2. (2)原式＝a －3(a ＋3)(a －3)＋6(a ＋3)(a －3)＝a ＋3(a ＋3)(a －3)＝1a －3. (3)原式＝m ＋2n n －m ＋n n －m ＋2mn －m＝3m ＋3n n －m.(4)原式＝2(x ＋3)2(x ＋3)(x －3)＋(1－x )(x －3)2(x ＋3)(x －3)－122(x ＋3)(x －3)＝－(x 2－6x ＋9)2(x ＋3)(x －3)＝－x －32x ＋6.【互动总结】(学生总结，老师点评)异分母分式相加减时，首先要通分，变为同分母分式再加减．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列运算中正确的是( C ) A.a a －b －b b －a＝1 B ．m a －n b ＝m －n a －bC.a 2a －b －b 2a －b ＝a ＋b D ．b a －b ＋1a ＝1a3．计算： (1)3a ＋2b 5a 2b ＋a ＋b 5a 2b ；(2)b 2a －b ＋a 2b －a； (3)3b －a a 2－b 2－a ＋2b a 2－b 2－3a －4b b 2－a 2； (4)x x －y ＋x x ＋y －x 2x 2－y 2. 解：(1)4a ＋3b5a 2b .(2)－a －b .(3)a －3ba 2－b 2. (4)x 2(x ＋y )(x －y ). 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知3x ＋4x 2－x －2＝A x －2－B x ＋1，其中A 、B 为常数，求4A －B 的值．【互动探索】要求4A －B 的值，需要先求出A 与B 的值．通过化简等式右边，再对比可求出A 、B 的值．【解答】Ax －2－Bx ＋1＝A (x ＋1)(x ＋1)(x －2)－B (x －2)(x ＋1)(x －2)＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2).因为3x ＋4x 2－x －2＝Ax －2－Bx ＋1＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧A －B ＝3，A ＋2B ＝4.解得⎩⎨⎧A ＝103，B ＝13.故4A －B ＝4×103－13＝13.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对比等式中等号两边的分式，得出关于A 、B 的二元一次方程，求出A 、B 的值，从而求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第4课时 分式的混合运算一、基本目标 【知识与技能】1．明确分式混合运算的运算顺序．2．运用分式的运算法则正确计算分式的混合运算． 【过程与方法】经历计算、对比、归纳的过程，明确分式混合运算的运算顺序，在明确运算顺序的基础上，正确计算分数的混合运算．【情感态度与价值观】类比分数的混合运算的运算顺序得出分式的混合运算顺序，养成类比思考的习惯，通过运用分式的运算法则进行混合运算，提高运算能力．二、重难点目标 【教学重点】分式混合运算的运算顺序．【教学难点】正确计算分式的混合运算．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P141～P142的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．2．分式运算与分数运算一样，结果必须化为最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式．活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)x x －y ·y 2x ＋y －x 4y x 4－y 4÷x 2x 2＋y 2； (2)⎝⎛⎭⎫2a b 2·1a －b －a b ÷b 4； (3)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷4－x x. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的混合运算运算顺序计算． 【解答】(1)原式＝xx －y ·y 2x ＋y －x 4y(x 2＋y 2)(x 2－y 2)·x 2＋y 2x2＝xy 2(x －y )(x ＋y )·－x 2yx 2－y 2＝xy (y －x )(x －y )(x ＋y )＝－xy x ＋y .(2)原式＝4a 2b 2·1a －b －a b ÷b 4＝4a 2b 2(a －b )－4a b2＝4a 2－4a (a －b )b 2(a －b ) ＝4abb 2(a －b )＝4ab (a －b ).(3)原式＝[x ＋2x (x －2)－x －1(x －2)2]·x －(x －4) ＝[(x ＋2)(x －2)x (x －2)2－x (x －1)x (x －2)2]·x －(x －4)＝x 2－4－x 2＋x x (x －2)2·x －(x －4)＝－1x 2－4x ＋4.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，注意结果化成最简分式或整式．活动2 巩固练习(学生独学)1．若代数式⎝⎛⎭⎫A －3a －1·2a －2a ＋2的化简结果为2a －4，则整式A ＝( A ) A ．a ＋1 B ．a －1 C ．－a －1 D ．－a ＋12．计算：(1)⎝⎛⎭⎫x 2x －2＋42－x ÷x ＋22x ； (2)⎝⎛⎭⎫a a －b －b b －a ÷⎝⎛⎭⎫1a －1b ； (3)⎝⎛⎭⎫1＋y x －y ⎝⎛⎭⎫1－xx ＋y ；(4)⎝⎛⎭⎫x 2y 2·y 2x －x y 2·2y 2x.解：(1)2x . (2)－ab (a ＋b )(a －b )2. (3)xy x 2－y 2. (4)x －16y 8y.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】先化简⎝⎛⎭⎫1－1x －1÷x 2－4x ＋4x 2－1，再从不等式2x －1<6的正整数解中选择一个适当的数代入求值．【互动探索】先化简代数式→解一元一次不等式→从解集中选择一个数代入求值． 【解答】原式＝x －2x －1÷(x －2)2(x ＋1)(x －1)＝x ＋1x －2.由2x －1<6，得x <72.故不等式的正整数解为1,2,3.当x ＝3时，原式＝x ＋1x －2＝3＋13－2＝4.【互动总结】(学生总结，老师点评)选择x 的值时，要使每个分式都有意义． 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2.3 整数指数幂(第5课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质．2．掌握利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数． 【过程与方法】经历思考、计算、对比的过程，理解负整数指数幂的意义，在此基础上，将正整数指数幂的性质推广到任意整数，从而掌握整数指数幂的性质．【情感态度与价值观】类比正整数幂的性质，结合负整数指数幂的意义，推导出整数指数幂的性质，养成类比思考的习惯，通过运用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数，提高运用所学知识的能力．二、重难点目标 【教学重点】负整数指数幂的意义，整数指数幂的运算性质． 【教学难点】用科学记数法表示一些小于1的正数．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P142～P145的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 一、负整数指数幂1．正整数指数幂的运算有：(a ≠0，m 、n 为正整数) (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ； (3)(ab )n ＝a n b n ； (4)a m ÷a n ＝a m －n ； (5)⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb n ； (6)a 0＝1.2．负整数幂：一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n(a ≠0)，这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．二、科学记数法1．绝对值大于10的数记成a ×10n 的形式，其中1≤︱a ︱<10，n 是正整数．n 等于原数的整数数位减去1.(2)用科学记数法表示：100＝102；2000＝2.0×103；33000＝3.3×104.2．类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值小于1的数，即将它们表示成a ×10－n 的形式．(其中n 是正整数，1≤|a |＜10)3．用科学记数法表示：0.01＝1×10－2；0.001＝1×10－3；0.0033＝3.3×10－3. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x 2y －3(x －1y )3；(2)(2ab 2c －3)－2÷(a －2b )3；(3)3a －2b ·(2ab －2)－2；(4)4xy 2z ÷(－2x －2yz －1)．【互动探索】(引发学生思考)利用整数指数幂的运算性质进行计算时应该注意些什么？ 【解答】(1)原式＝x 2y －3x －3y 3＝x －1y 0＝1x .(2)原式＝14a －2b －4c 6÷(a －6b 3)＝14a 4b －7c 6＝a 4c 64b 7.(3)原式＝3a －2b ·14a －2b 4＝34a －4b 5＝3b 54a4.(4)原式＝－2x 3yz 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用整数指数幂的运算性质进行计算，结果负整数指数幂写成分数的形式．【例2】用科学记数法表示下列各数： (1)0.0000001； (2)0.00024； (3)0.0000000035.【互动探索】(引发学生思考)用科学记数法表示小于1的正数，一般形式是怎样的？ 【解答】(1)0.0000001＝1×10－7. (2)0.00024＝2.4×10－4. (3)0.0000000035＝3.5×10－9.【互动总结】(学生总结，老师点评)小于1的正数可以用科学记数法表示为a ×10－n 的形式，其中1≤a <10，n 是正整数．【例3】计算：(1)(2×10－6)2·(3×10－4)；(2)(3×10－5)3÷(10－3)－2.【互动探索】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算应该注意些什么？【解答】(1)(2×10－6)2·(3×10－4)＝(4×10－12)·(3×10－4)＝12×10－16＝1.2×10－15. (2)(3×10－5)3÷(10－3)－2＝(27×10－15)÷106＝27×10－21＝2.7×10－20.【互动总结】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算，结果应符合科学记数法．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算(－π )0÷⎝⎛⎭⎫－13－2的结果是( D ) A ．－16B ．0C ．6D ．192．计算：(1)(m 3n )－2·(2m －2n －3)－2；(2)(2xy －1)2·xy ÷(－2x －2y )；(3)⎝⎛⎭⎫b a －2·⎝⎛⎭⎫a b 2； (4)(2m 2n －1)2÷3m 3n －5.解：(1)n 44m 2.(2)－2x 5y 2.(3)a 4b 4.(4)43mn 3.3．用科学记数法表示下列各数：(1)0.000021； (2)0.00000034； (3)0.00102. 解：(1)2.1×10－5. (2)3.4×10－7. (3)1.02×10－3.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第15章 分式(教案) 整数指数幂(第1课时)教案.
第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂第1课时一、教学目标【知识与技能】1.经历探索负整数指数幂和0指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力.2.理解负整数指数幂的意义,熟练运用整数指数幂运算性质进行运算.【过程与方法】1.知道负整数指数幂a－n＝1a n(a≠0，n是正整数)，了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂，掌握整数指数幂的运算性质，会进行简单的整数范围内的幂运算.2.通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义,体验利用负整数指数幂进行乘除法的转化.【情感、态度与价值观】1.通过独立思考、同伴交流、自主发现问题解决问题,提高学生的学习兴趣和学习主动性.2.在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美，随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，形成辩证统一的哲学观和世界观.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】掌握整数指数幂的运算性质，尤其是负整数指数幂的概念.【教学难点】认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程.五、课前准备教师：课件、直尺、幂结构图等。
学生：直尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课正整数指数幂有以下运算性质：(1)(m，n是正整数)(2)(m，n是正整数)(3)(n是正整数)(4)(a≠0，m，n是正整数，m＞n)(5)(n是正整数)此外，还学过0指数幂，即a0=1(a≠0)如果指数是负整数该如何计算呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究整数指数幂教师问1：你会计算它们吗？53÷55＝________；103÷107＝________.师生共同解答如下：思路一：53÷55＝5355＝152，103÷107＝103107＝1104.思路二：53÷55＝53－5＝5－2，103÷107＝103－7＝10－4.教师问2：由以上计算，你能发现什么？学生回答：发现：5－2＝152，10－4＝1104.教师问3：将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，正整数指数幂的那些运算性质还适用吗？（出示课件4）学生讨论后猜想：这些性质还适用.教师问4：a m中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a m 表示什么？学生讨论后回答：m个a相乘的积.教师问5：那么我们看下面的问题：根据分式的约分，当a≠0时，如何计算a3÷a5=？（出示课件5）学生回答：a3÷a5=33∙2=12(1)教师问6：如果把正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m>n)中的条件m>n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，如何计算？学生回答：a3÷a5=a3-5=a-2(2)教师问7：有上边的问题的计算结果，我们可以得到什么？学生回答：a-2=12教师问8：在a-2=12中，有什么限制条件吗？为什么呢？学生讨论后回答：a≠0，因为分母不能为0.总结点拨：（出示课件6）由(1)(2)想到，若规定a-2=12(a≠0)，就能使a m÷a n=a m-n这条性质也适用于像a3÷a5的情形，因此：数学中规定：当n是正整数时，这就是说，a-n(a≠0)是a n的倒数．教师问9：想一想：在引入负整数指数和0指数后，a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)这条性质能否扩大到m，n是整数的情形？（出示课件8）学生猜想回答：应该可以.教师问10：请完成下面的题目：填一填：(1)a3×a－5＝a3·1（）＝1（）＝a()＝a()＋()，即a3×a－5＝a()＋()；(2)a－3×a－5＝1（）·1（）＝1（）＝()＝a()＋()，即a－3×a－5＝a()＋()；(3)a0×a－5＝()·1（）＝1()=()＝a()＋()，即a0×a－5＝a()＋().学生回答：（1）a5;a2;-2;3+(-5);3+(-5)（2）a3;a5;a8;a-8;(-3)+(-5);(-3)+(-5)（3）1;a5;a5;a-5;0+(-5);0+(-5)完成填空后，思考下列问题：教师问11：从以上填空中你想到了什么？学生回答：a m·a n＝a m＋n这条性质对m，n是任意整数的情形都适用.教师问12：再换其他整数指数验证这个规律.类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？（出示课件9）学生回答：a-3·a-7=a-3+(-7)=a-10，a-2÷a-5=a-2-(-5)=a3，a0÷a-4=a0-(-4)=a4.教师讲解：形成定论：a m·a n＝a m＋n这条性质对m，n是任意整数的情形都适用.总结点拨：（出示课件10）(1)(m，n是整数)；(2)(m，n是整数)；(3)(n是整数)；(4)(m，n是整数)；(5)(n是整数)．教师问11：试说说当m分别是正整数、0、负整数时，a m各表示什么意义？（出示课件11）师生共同解答如下：当m是正整数时，a m表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.当m是负整数时，a m表示|m|个相乘.例：计算：（出示课件12-13）师生共同解答如下：解：2.创设情境，探究整数指数幂的性质教师问19：继续举例探究：(a m)n＝a mn，(ab)n＝a n b n，nab⎛⎫⎪⎝⎭＝a nb n在整数指数幂范围内是否适用？（出示课件15）师生共同解答如下：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，，，因此，，即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法特别地，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方总结点拨：（出示课件16）这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：(1)(m，n是整数)；(2)(m，n是整数)；(3)(n是整数)．例：下列等式是否正确？为什么？（出示课件17）(1)a m÷a n=a m·a-n；(2)师生共同解答如下：解：(1)∵a m÷a n=a m-n=a m+(-n)=a m·a-n，∴a m÷a n=a m·a-n.故等式正确.(2)故等式正确.（三）课堂练习（出示课件20-23）1.下列计算正确的是()A.30=0B.-|-3|=-3C.3-1=-3D.9=±32.下列计算不正确的是()A. B.C. D.3.若0<x<1，则x-1，x，x2的大小关系是()A.x-1<x<x2B.x<x2<x-1C.x2<x<x-1D.x2<x-1<x4.计算:5.若，试求的值.参考答案：1.B2.B3.C4.5.解：∵a+a-1=3（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.幂的两个规定：a0＝1(a≠0);数学中规定：当n是正整数时，这就是说，a-n(a≠0)是a n的倒数．2.幂的三类运算性质：这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：(1)(m，n是整数)；(2)(m，n是整数)；(3)(n是整数)．（五）课前预习预习下节课（15.2.3）145页的相关内容。
人教版数学八年级上册 15.2.3整数指数幂 第1课时 负整数指数幂 课件
为了使上述运算适用范围更广，同时也可 以更简便地表示分式，数学中规定：
负整数指数幂：一般地，当n是正整数时， a -n
1 （a≠0）. an
这就是说a-n（a≠0）是an 的倒数.
新知探究
知识点 负整数指数幂
am·an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然使用.
你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数 幂的运算性质进行验证，看看这些性质在整数指数幂范 围内是否还使用.
解：（2）原式
1 (a2
-
1 b2
)
(1 a
1) b
1 (a2
-
1 b2
)
(1 a
-
1) b
(1 1 )(1 - 1 ) (1 1 )(1 - 1 )
a bab (1 1)
a
ba (1 - 1)
b
ab
ab
1-111 ab a b
2. a
,则a、b、c的大小关系是( A )
A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.a＜c＜b
D.c＜a＜b
课堂训练
3.(2021•定兴县一模)计算
A.2-7
B.27
C.-48
的结果为( A ) D.-4-8
4．（2021•绥化）定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+
|﹣b|，那么（﹣ ）▲2的值是（ B ）
当指数为负数和0时，一定要保证底数不是零.
新知探究
2.计算：
(1)a2b－2·(a－2b)3；
(2)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；
(3)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
人教版初中数学八年级上册第十五章 整数指数幂(第1课时)
a3÷a5=a3-5=a-2 (2)
15.2 分式的运算/
探究新知
由(1)(2)想到，若规定a-2=
1
a2
(a≠0)，就能使
am÷an=am-n 这条性质也适用于像a3÷a5的情形，因此：
-n
数学中规定：当n 是正整数时，a =
n
这就是说， a （
(m，n 是整数)；
(3) （ab）n a nb n
(n 是整数)；
(4) a m a n a m n (m，n 是整数)；
a n
an
(5) （ ） n
b
b
(n 是整数)．
探究新知
15.2 分式的运算/
试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什
么意义？
当m是正整数时，am表示m个a相乘.当m是0时，a0表示
15.2 分式的运算/
探究新知
素养考点 2
整数指数幂的性质的应用
例 下列等式是否正确？为什么？
(1)am÷an=am·a-n；
a n n -n
(
(2) ) =a b .
b
解：(1)∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n，
∴am÷an=am·a-n.
故等式正确.
a n an n 1
(2) ( ) = n =a n =a n b - n ,
整数
指数
幂的
性质
(a≠0)
(1)am·an=am+n(m，n为整数，a≠0)
(2)(ab)m=ambm(m为整数，a≠0，b≠0)
(3)(am)n=amn(m，n为整数，a≠0)
人教版八年级数学上册15. 整数指数幂
15．2 分式的运算
15．2.3 整数指数幂
第1课时 整数指数幂
知识点 1：负整数指数幂的意义
1
1．计算：32＝__9__，－32＝__－___9___；3－2＝___9_______．
2．计算：－2－2＋(－23)－2－20＝___1___．
3．计算：(－1)2016－|－7|＋ 9×( 5－π)0＋(15)－1＝__2____.
4．当 x_≠_－__3___时，(3＋x)－4 有意义．
5．下列各式正确的是( A )
①(－13)－2＝9；②2－3＝8；③(－1)－1＝1；④(－3)－3＝9；⑤(－32)－2＝94.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
知识点 2：整数指数幂的性质的应用
x3 6．计算：(x－1y)－3＝_y_3_____．
21．比较大小：2－3333，3－2222，5－1111 的大小．
解：∵2－3333＝(2－3)1111＝(18)1111，3－2222＝(3－2)1111＝(19)1111，5－1111＝(5 －1)1111＝(15)1111，∴5－1111>2－3333>3－2222
解：4ba4
11．下列计算正确的是( D )
A．(－3)0＝－1 B．(－1)－1＝1 C．4m－2＝4m1 2 D．(－a)÷(－a)3＝a12
12．下列计算正确的是( D )
A．(－1)0＝－1 B．(2－2－14)0＝1 C．(a2＋b2)0＝1 D．(－1)－1＋10－3＝－0.999
13．计算(ba)3 等于( B )
(1)5a－2b·(－4ab－3)；
解：原式＝－20a－1b－2＝－a2b02 解(2：)(m原2n式－3)＝2·m(－4n－136m·－2(n－)－31；m2n－1)＝－3m6n－7＝－3nm7 6