画图搞定重叠题
相互重叠的直方图，Origin就可以轻松完成
相互重叠的直方图，Origin就可以轻松完成
51选刊
介绍
直方图是显示数据频数分布情况的常用图表类型，当需要在同一个统计图内显示多个组别的数据分布时，可以采用相互重叠的直方图。
软件
软件：Origin
图文教程
1、打开Origin软件，将各组数据复制到工作表内，如下图所示示例数据，比较Group 1-3三个组的频数分布情况
2、选中该工作表，在菜单栏的“绘图”工具下选择“条形图”—“柱状图”，如下所示
生成图表如下图所示
3、双击图表，打开绘图细节对话框，左侧选择第一组，右侧的“组”选项卡下设置各组的颜色，编辑模式设为“从属”，选择想要的填充颜色，增量设置为逐个。
默认的逐个填充是从第一个颜色开始依次设置，如果不想要前三个颜色，可以点击右侧的扩展按钮，打开增量编辑器，如下图所示，可以根据个人需求设置色彩的排列顺序
4、然后转到“图案”选项卡下，将透明度设置为40%左右，如下图
5、转到“间距”选项卡下，将“柱状/条形间距”设置为0，“重叠”设置为100%，如下图，设置好之后点击确定
6、选择左侧的“Layer”，在右侧的“显示”选项卡下勾选显示“框架”，如下图
7、图例设置，双击图例，打开图例的“文本对象”对话框，如下图，将%以后的字符设置为各组名称；同时设定图例显示的字体格式，英文设置为“Times New Roman”，中文设置为宋体
8、设置好后的图形如下：
怎么样？学会了吧？
不难吧！赶紧来试试吧！。
第20讲 重叠问题(含解题思路和参考答案)
第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案）一、解题方法1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米？解题思路：解题过程：把等长的两块木板的一端搭起来，搭在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20厘米，所以这两块木板的总长度是160+20＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2＝90（厘米）答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，从前数是第2个，从后数是第4个。
三(2)班共有多少人？解题思路：解题过程：根据题意画右图。
由图可看出：亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，说明横有5+4－1＝8（个）人；从前数是第2个，从后数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个）人。
所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5＝40（人）答：三（2）班共有40人。
奥数重叠问题ppt课件
题一
例：如图所示：把12张图片用图钉钉在橱窗里一共用多少颗图钉
1张纸用几个？
4
4+2=6
2张纸用几个？
6
4张纸用几个？
10
6
4+2+2+2=10
4+2+2=8
3张纸用几个？
8
我们看到每增加1张纸 图钉要增加 2 个
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
题一：方法一
例：如图所示：把12张图片用图钉钉在橱窗里一共用多少颗图钉
11
题目中的几个量： 一、重叠数量 11
二、重叠部分的量 2
三、未重叠部分的量 4
解：重叠数量×重叠部分的量+未重叠部分的量 11×2+4=26
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
题二
思路一
例：有4块各长80厘米的木板，钉成一块长木板，中间钉在一起重叠部 分是10厘米。钉成的长木板的长度长多少厘米
80
70
70
70
题目中的几个量： 一、重叠个数 3
二、未重叠部分的量 70
三、单个物品的量
80
解：重叠数量×重叠部分的量+单个物品的量 3 ×70+80=290
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方法二
例：如图所示：把12张图片用图钉钉在橱窗里一共用多少颗图钉
智慧广场——重叠问题
一、情境导入，引入新课师：周末，小明随“威海晚报小记者”去了西霞口动物园，给我们带来了一些照片，大家想看吗？（出示西霞口动物园动物的图片）小明从大雁的图片中还发现了数学问题呢！我们一起来看看。
（见图1）图1师：仔细观察情境图，谁来说说你的发现？（学生交流）预设1：穿花衣服的大雁真漂亮！预设2：穿花衣服的大雁从前数，排在第6，从后面数，排在第3。
【设计意图】去动物园是孩子们非常喜欢的事情，利用小明给大家带来的照片的情境，教师把孩子引入到了熟悉的动物园的情境中。
“通过观察情境图，说说你的发现”不仅培养了学生的观察能力、发现问题的能力，而且培养了学生的语言表达能力，顺利地引入了新课。
二、自主探究，学习新知（一）实物操作，体会“重叠问题”1.猜一猜。
师：猜一猜，这一行大雁一共有多少只？预设：6+3=9（只）、8只2.摆一摆。
学生用老师提供的学具来摆一摆，进行验证。
学生操作之前，教师出示合作提示：（1）想一想：怎样摆才能符合题意？（2）摆一摆，把结果摆在记录单上。
（3）算一算：这一行大雁共有几只？3.展示交流。
预设：（1）（2）教师引导学生思考：怎样摆更容易？（即先摆哪只更容易？）4.回顾梳理。
师：刚开始很多同学都认为一共是9只大雁，为什么结果会是8只呢？学生思考、交流后，教师借助（图2）引导学生进行梳理。
图2引导学生思考：花大雁数了几遍？师：原来，这只漂亮的花大雁重复数了，数了2次，所以应该减去1。
【设计意图】在提出“这一行大雁一共有多少只”这个问题后，教师先让学生进行猜测，让学生在交流中充分暴露出现有的思维状态。
接着，教师提供直观学具（大雁图片）让学生用“摆一摆”的方法进行验证，为下一环节学习“用画图的策略解决问题”作铺垫，同时体会“重叠问题”的特点。
为了提高同桌合作的实效性，在学生动手操作之前，教师适时出示了“合作提示”，使学生明确本次操作的具体要求，从而使学生的操作活动落到实处。
（二）借助直观图，解决“重叠问题”1.独立尝试画图。
重叠问题练习题
1、一行大雁往南飞，从前面数，穿花衣服的大雁排在第6；从后面数，它排在第3。
这行大雁一共有（）只。
我这样画图：列式：2、鸭妈妈领着自己的孩子在池塘里学游泳，它前面有4只鸭子，后面有3只鸭子。
一共有（）只鸭子。
我这样画图：列式：3、小明家从前面数在第3栋，从后面数在第5栋。
一共有（）栋楼。
我这样画图：列式：4、小狗说：从左数我排第7，从右面数我排第3。
一共有（）只小动物。
我这样画图：列式：5、小红说：我排在第6，后面还有4人，排队上车的有（）人。
我这样画图：列式：6、9个小朋友排队，丽丽的前面有5个同学，丽丽的后面有几个同学？我这样画图：列式：7、我左边有6名同学，右边有2名同学。
一共有（）名同学。
画图：列式：1、从前面数小兔排第4，从后面数它排第5。
一共有（）只。
我这样画图：列式：2、我家前面有4栋楼，后面有5栋楼。
这个小区一共有（）栋楼。
我这样画图：列式：3、小蚂蚁说：从前面数我排第3，后面还有6只。
一共有（）少只。
我这样画图：列式：4、小黄鸡说：我的前面有6只小鸡，后面有3只。
一共有（）只小鸡。
我这样画图：列式：5、小明说：我排第5，我后面还有5个人。
一共有（）个小朋友在排队。
我这样画图：列式：6、有9只小动物正在排队，小猪说：我从后面数排第5，从前面数排第（）。
我这样画图：列式：7、同学们排成一队，小红说：从前面数我排第3。
小兰说：从前面数我排第9。
小红和小兰中间有（）个小朋友。
我这样画图：列式：。
重叠问题课件ppt
诊断重叠问题的工具和方法
鱼骨图
用于展示问题产生的原因和影 响，帮助团队全面了解问题的
各个方面。
5W分析法
通过对问题进行“为什么、是 什么、在哪里、何时、谁”的 分析，深入挖掘问题的根源。
流程图
用于梳理业务流程，发现流程 中的瓶颈和问题。
数据分析
利用统计学和数据挖掘技术， 对大量数据进行深入分析，发
现数据背后的规律和趋势。
重叠问题的根源分析
组织结构问题
组织结构不合理，导致 部门间沟通不畅、职责
不明确。
流程问题
业务流程存在缺陷或不 合理之处，导致工作效
率低下、资源浪费。
文化问题
企业文化不健康，缺乏 团队协作精神、创新精
神。
人员素质问题
员工素质不高，缺乏必 要的技能和知识，导致
工作质量低下。
2023
流程再造
对不合理流程进行重新设计，提高 流程效率和效益。
信息化管理
利用信息技术手段，实现流程自动 化和智能化。
资源整合
资源共享
实现资源在不同部门间的共享， 提高资源利用效率。
集中采购
通过集中采购降低成本，提高采 购效益。
内部市场
建立内部市场机制，促进资源优 化配置和有效利用。
激励机制设计
目标管理
2023
重叠问题课件
REPORTING
2023
目录
• 引言 • 重叠问题的识别与诊断 • 解决重叠问题的策略 • 重叠问题的案例分析 • 总结与展望
2023
PART 01
引言
REPORTING
什么是重叠问题
重叠问题是指两个或多个物体 或形状在空间上部分或全部重 叠在一起的问题。
重叠问题练习题
重叠问题练习题重叠问题练习题重叠问题是数学中一个有趣且具有挑战性的题目类型。
它要求我们在给定的条件下，找到一种最优的解决方案，以最大化或最小化重叠的部分。
这类问题常常涉及到几何形状、图论和优化等领域，对于培养逻辑思维和解决实际问题非常有帮助。
在本文中，我们将介绍一些重叠问题的练习题，帮助读者更好地理解和应用相关概念。
题目一：最大重叠面积给定一个平面上的矩形列表，每个矩形由左下角和右上角的坐标表示。
请计算这些矩形的最大重叠面积。
解题思路：首先，我们可以将问题转化为一个图论的问题。
将每个矩形看作一个节点，如果两个矩形有重叠部分，则在它们之间添加一条边。
接下来，我们可以使用深度优先搜索或广度优先搜索算法来遍历图，并计算每个连通分量的面积。
最后，取所有连通分量中面积的最大值即为所求。
题目二：最小重叠次数给定一个字符串列表，每个字符串表示一个区间。
请计算这些区间的最小重叠次数。
解题思路：我们可以将每个区间表示为一个有向边，边的起点和终点分别对应区间的起始和结束位置。
接下来，我们可以使用拓扑排序算法来确定最小重叠次数。
首先，我们需要构建一个有向无环图，其中每个节点表示一个区间，每条边表示两个区间的重叠关系。
然后，我们可以从入度为零的节点开始，依次删除节点并更新其后继节点的入度。
最后，剩下的节点数即为最小重叠次数。
题目三：最大重叠路径给定一个有向无环图，每条边上有一个权值。
请计算从起点到终点的最大重叠路径。
解题思路：我们可以使用动态规划算法来解决这个问题。
首先，我们需要构建一个二维数组，其中每个元素表示从起点到当前节点的最大重叠路径。
然后，我们可以使用递推关系式来计算每个元素的值。
具体地说，对于每个节点，我们可以选择从它的前驱节点中的最大重叠路径加上当前边的权值，或者直接从前驱节点中选择最大重叠路径。
最后，最大重叠路径即为终点的最大重叠路径。
通过以上三个练习题，我们可以看到重叠问题的多样性和复杂性。
解决这类问题需要我们灵活运用数学和算法知识，并结合具体问题的特点进行分析和求解。
第20讲重叠问题含解题思路和参考答案
第20讲重叠问题仁解题思路与参考答案）一、解题方法1 .解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当 两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2 .解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出 图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一 部分，从而找出解答方法。
3 .在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关 系，这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米， 如图，这两块木板各长多少厘米?解题思路: 把等长的两块木板的一端搭起来，搭 在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20 厘米，所以这两块木板的总长度是160+20 = 180 （厘米），每块木板的长度是180-2 =90 （厘米） 答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1.把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根 绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？4 .两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长 22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？5 . 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接 起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？ 解题过程:解：（160+20）-2= 180-2 =90 （厘米）例题2.三（2）班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5 个，巩固练习1.同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是 第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。
表演的同学共有 多少人？2 .小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，“国"字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。
小红一共写了多少个 字？3 .同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从 后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？例题3.三（4）班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有 29巩固练习1.三(1)班有60人，每人都参加了航模或书法课外兴趣小组，参 加航模小组的有34人，参加书法小组的有40人。
多个量之间的重叠问题，听说难倒不少人，其实只需看懂这5张图！
多个量之间的重叠问题，听说难倒不少⼈，其实只需看懂这5张图！多个量之间的重叠问题前两节的内容我们讲的重叠问题时⽐较基础的⼀般只涉及两个集合之间的计数，这节的内容我们把难度上升，来讲解多个量之间的重叠问题。
这⾥有⼀个重点就是韦恩图的画法和集合之间的关系，所以⼀定要好好理解，这节的内容也是⽐较重要的，是奥数中常考的题型。
经典例题1、对全班同学作⽂、数学、科学这三门功课进⾏调查，其中有20⼈喜欢作⽂，32⼈喜欢数学，34⼈喜欢科学，12⼈既喜欢作⽂⼜喜欢数学，9⼈既喜欢作⽂⼜喜欢科学，20⼈既喜欢数学⼜喜欢科学，5⼈这三门可都喜欢，另外有3⼈这门功课都不喜欢。
这个班⼀共有多少⼈？这道题就是⾮常典型的多个量之间的重叠问题，题⽬中的数量关系⾮常多，我们来画图分析，如下图：我们先来看12个⼈既喜欢作⽂⼜喜欢数学说的是D+G这个部分等于12，D本⾝表⽰只喜欢作⽂和数学，G表⽰三种都喜欢，那么这12个⼈说的是既喜欢作⽂⼜喜欢数学，所以包含D+G=12，我们有⼜知道G=5，所以可以得到如下图：那么同样的道理有9个⼈既喜欢作⽂⼜喜欢科学，也就是说G+E=9，题⽬中已经告诉我们G=5了，所以E=4，如下图：很显然既喜欢科学⼜喜欢数学的⼈有20个，那么G+F=20，G=5，所以F=20-5=15⼈，得到如下图：那么接下来我们再分别求出A、B、C就可以了，A代表的是只喜欢作⽂，题⽬中告诉我们有20⼈喜欢作⽂，我们那么A=20-7-4-5=4⼈，同样的道理求出B=5⼈，C=10⼈，如下图：那么全班的⼈数就是把图中的7个部分，再加上3个三项都不喜欢的⼈数：4+5+10+7+4+15+5+3=53⼈。
解决这类题⽬⼀定要学会画韦恩图，就是我们上⾯这种画图的⽅式。
典型考题2、学⽣⾷堂的管理⼈员做了⼀个调查：全班50⼈，爱吃鸡腿的有40⼈，爱吃鱼的有32⼈，爱吃蔬菜的有40⼈，既爱吃鸡腿⼜爱吃鱼的28⼈，既爱吃鱼⼜爱吃蔬菜的有22⼈，既爱吃鸡腿⼜爱吃蔬菜的有30⼈，那么鸡腿、鱼、蔬菜都爱吃的有多少⼈？我们先来看鸡腿40⼈的部分包含①+④+⑤+⑥=40，鱼的部分包含②+④+⑤+⑥=32，蔬菜的部分包含③+⑤+⑥+⑦=40。
小学数学竞赛 几何中的重叠问题.解析版
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)． 【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图3468【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答例题精讲12【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答CBA10【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73，而AB C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+AB C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星【题型】解答【解析】 阴部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873---+，这就是三张纸片覆盖的面积．x根据上面的分析得：5687338x=．---+=，解得：6x【答案】6一年级（上）一.准备课1.数一数2.比多少二.位置1.上、下、前、后2.左、右三.1—5的认识和加减法1.1—5的认识2.比多少3.第几4.分和合5.加法6.减法7.0四.认识图形（一）认识图形五.6—10的认识和加减法1.6和72.8和93.104.连加、连减、加减混合六.11—20各数的认识1.11—20各数的认识2.10加几、十几加几和相应的减法七.认识钟表认识钟表八.20以内的进位加法2.8、7、9加几3.5、4、3、2加几4.解决问题一年级（下）一.认识图形（二）认识图形二.20以内的退位减法1.十几减92.十几减8、7、63.十几减5、4、3、24.解决问题三.分类与整理分类与整理四.100以内数的认识1.数数、数的组成2.数的顺序、比较大小3.解决问题4.整十数加一位数及相应的减法五.认识人民币1.认识人民币2.简单的计算六.100以内的加法和减法(一)1.整十数加、减整十数2.两位数加一位数、整十数3.两位数减一位数、整十数4.解决问题七.找规律1.找规律（一）2.找规律（二）二年级（上）一.长度单位1.厘米和米2.线段二.100以内的加法和减法(二)1.加法3.连加、连减和加减混合三.角的初步认识1.认识角2.认识直角3.认识钝角和锐角四.表内乘法（一）1.乘法的初步认识2.5的乘法口诀3.2、3、4的乘法口诀4.6的乘法口诀五.观察物体（一）观察物体（一）六.表内乘法（二）7、8、9的乘法口诀七.认识时间认识时间八.数学广角—搭配（一）数学广角—搭配（一）二年级（下）一.数据收集整理数据收集整理二.表内除法（一）1.除法的初步认识2.用2-6的乘法口诀求商3.解决问题三.图形的运动（一）1.轴对称图形2.平移和旋转四.表内除法（二）1.用7、8、9的乘法口诀求商2.解决问题五.混合运算混合运算六.有余数的除法1.有余数的除法的意义和计算2.解决问题七.万以内数的认识1.1000以内数的识2 .10000以内数的认识3 .整百、整千数加减法八.克和千克克和千克九.数学广角—推理生活中的推理三年级（上）一.时、分、秒1.秒的认识2.时间的计算二.万以内的加法和减法（一）1.口算两位数加减两位数2.几百几十加减几百几十3.三位数加减三位数的估算三.测量1.毫米、分米的认识2.千米的认识3.吨的认识四.万以内的加法和减法（二）1.加法2.减法五.倍的认识倍的认识六.多位数乘一位数1.口算乘法2.笔算乘法3.含0的乘法4.估算与解决问题七.长方形和正方形1.四边形2.周长、长方形和正方形周长八.分数的初步认识1.分数的初步认识（一）2.分数的初步认识（二）3.分数的简单计算4.分数的简单应用九.数学广角——集合集合思想三年级（下）一位置与方向（一）1 认识东、南、西、北四个方向2 认识东北、东南、西北、西南四个方向二除数是一位数的除法1 口算除法2 一位数出两、三位数的笔算除法3 商的中间或末尾有0的笔算除法4 用估算解决问题三复式统计表复式统计表四两位数乘两位数1 口算乘法2 笔算乘法五面积1 面积和面积单位2 长方形、正方形面积的计算3 面积单位间的进率六.年、月、日1 年、月、日2 24时计时法七小数的初步认识1 认识小数2 简单的小数加、减法八数学广角——搭配（二）数学广角——搭配（二）四年级（上）一大数的认识1 亿以内数的认识（一）2 亿以内数的认识（二）3 数的产生、十进制计数法和亿以上数的认识4 计算工具的认识、算盘和计算器5 1亿有多大二公顷和平方千米2 认识平方千米三角的度量1 线段、直线、射线和角2 角的度量3 角的分类4 画角四三位数乘两位数1 笔算乘法（一）2 笔算乘法（二）五平行四边形和梯形1 平行与垂直2平行四边形和梯形六除数是两位数的除法1 口算除法2 笔算除法（一）3 笔算除法（二）4 笔算除法（三）5 笔算除法（四）6 商的变化规律七条形统计图条形统计图八数学广角——优化数学广角——优化四年级（下）一四则运算1 加减法的意义和各部分间的关系2 乘除法的意义和各部分间的关系3 括号二观察物体（二）观察物体（二）三运算定律1 加法运算定律2 乘法运算定律四小数的意义和性质1 小数的意义和读写法2 小数的性质和大小比较3 小数点移动引起小数大小的变化4 小数与单位换算5 小数的近似数五三角形1 三角形的特性2 三角形的分类3 三角形的内角和六小数的加法和减法2 小数加减混合运算3 整数加法运算定律推广到小数七图形的运动（二）1 轴对称2 平移八平均数与条形统计图1 平均数2 复式条形统计图九数学广角——鸡兔同笼数学广角——鸡兔同笼五年级（上）一小数乘法1 小数乘整数2 小数乘小数3 积的近似数4 整数乘法二位置位置三小数除法1 除数是整数的小数除法2 一个数除以小数3 商的近似数4 循环小数5 用计算器探索规律6 解决问题四可能性事件发生的可能性五简易方程1 用字母表示数2 方程的意义及等式的性质3 解方程4 实际问题与方法六多边形的面积1 平行四边形的面积2 三角形的面积3 梯形的面积4 组合图形的面积七数学广角——植树问题数学广角——植树问题五年级（下）一观察物体（三）观察物体（三）二因数与倍数1 因数和倍数2 2、5、3的倍数的特征3 质数和合数三长方体和正方体1 长方体和正方体的认识2 长方体和正方体的表面积3 长方体和正方体的体积4 体积单位间的进率5 容积和容积单位四分数的意义和性质1 分数的意义2 真分数和假分数3 分数的基本性质4 约分5 通分6 分数和小数的互化五图形的运动（三）图形的运动（三）六分数的加法和减法1 同分母分数加减法2 异分母分数加减法3 分数加减混合运算七折线统计图折线统计图八数学广角——找次品数学广角——找次品六年级（上）一分数乘法1 分数乘法2 小数乘分数与分数混合运算3 解决问题二位置与方向（二）位置与方向三分数除法1 倒数的认识2 分数除法3 分数四则混合运算4 分数应用题四比1 比的意义2 比的基本性质3 比的应用五圆1 圆的认识2 圆的周长3 圆的面积4 扇形六百分数（一）1 百分数的意义和写法2 百分数与小数、分数的互化3 用百分数解决问题七扇形统计图扇形统计图八数学广角——数与形六年级（下）一负数负数二百分数(二)1 折扣2 成数3 税率4 利率三圆柱与圆锥1 圆柱2 圆锥四比例1 比例的意义和基本性质2 正比例和反比例的意义3 比例的应用五数学广角——鸽巢问题数学广角——鸽巢问题小学五年级数学上册复习教学知识点归纳总结第一单元小数乘法1、小数乘整数：@意义——求几个相同加数的和的简便运算。
小学数学一年级重叠问题排队第几和排队人数的知识点点拨+练习题+答案
一年级重叠、排队问题练习题+答案
●知识点拨:
一、用△○等画图辅助。
二、根据题目中“第”的个数判断“+1”还是“-1”：
①1个“第”不加也不减，
②2个第要“-1”，
③没有“第”要+1
●练习题
1、9个小朋友排队买电影票，小红的前面有5个同学，
小红的后面有几个同学?（提示：先看题目里有没有“第”字）
2、琪琪有8辆玩具汽车，从左到右摆成一排，有一辆红
色汽车，从左边数是第4个，如果从右边数是第几个呢?
3、小朋友们排队练舞蹈，小红的左边有6个人，右边有
2个人，这一排有几个人?
4、鸭妈妈领着小鸭子在池塘里学游泳，它前面有5只鸭
子，后面有4只鸭子。
一共有几只鸭子？
5、一年级小朋友排队参观盆景，从前面数，多多是第6个，从后面数，多多是第8个，这一排共有多少个小朋友?
6、有11个小朋友排队去春游，乐乐的前面有5个同学，乐乐的后面有几个同学?
7、有7辆车，从左到右排成一排，从左边数警车排第四，从右边数警车排第几?
8、小朋友排队练体操，从左往右数，欢欢是第6个，欢欢右边还有2个人，这一排一共有多少人?
参考答案
1、9+5+1=15（个）解析：没有“第”字要“+1”
2、5
3、9
4、10
5、13
6、5
7、4 8、8。
重叠问题练习题
重叠问题练习题重叠问题是数学中常见的问题类型之一，涉及到平面上两个或多个图形之间的重叠关系。
解决重叠问题需要运用一些几何概念和技巧。
本文将介绍几道常见的重叠问题练习题，并逐步解答这些问题。
练习题一：已知平面上有两个圆，圆A的半径为r，圆心为O1；圆B的半径为R，圆心为O2。
如果两个圆的圆心距离为d，求问这两个圆是否重叠？解答一：为了判断这两个圆是否重叠，我们可以分情况讨论。
首先，两个圆没有重叠的情况是，当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，即d > r + R。
此时，两个圆之间没有交集，因此不重叠。
另一种情况是，两个圆完全包含在对方内部，即一个圆被另一个圆包围。
这种情况下，两个圆重叠。
具体来说，当两个圆心之间的距离小于两个圆的半径之差时，即d < |r - R|。
在这种情况下，大圆完全包围小圆，或者小圆完全包围大圆。
最后一种情况是，两个圆相互交叠但不能完全包含对方。
这种情况下，两个圆相交的部分形成一个圆环。
具体来说，当两个圆心之间的距离介于两个圆的半径之和和半径之差之间时，即|r - R| < d < r + R，两个圆形成一个圆环，重叠的部分就是这个圆环。
因此，通过对两个圆心距离和半径进行比较，我们可以判断出两个圆是否重叠。
练习题二：已知平面上有一个长方形ABCD，其中AB = a，BC = b。
另外，还有一个正方形EFGH，边长为s。
如果正方形完全位于长方形的内部，并且正方形的顶点之一恰好位于长方形的顶点A处，求问这两个图形的重叠面积是多少？解答二：首先，我们需要考虑正方形EFGH的位置。
根据题意，正方形的一个顶点位于长方形的顶点A处，那么我们可以确定正方形的位置。
由于正方形完全位于长方形的内部，那么正方形的另外三个顶点必然分别位于长方形的其他三个顶点，即B、C、D处。
接下来，我们需要求解两个图形的重叠面积。
重叠面积可以看作是正方形EFGH与长方形ABCD之间的交集部分。
重叠问题
(英特)加减重叠问题有的书中称为包含与排除问题，也有称为容斥原理的，英特数学教研组认为把这类问题称为加减重叠问题更好理解和记忆。
学习这个专题的捷径：可以结合圆的面积来思考、推理和记忆公式，把题目中的相关数量看着面积来理解，把应用题中的已知量对应代入到公式当中，再用加减运算方法推出公式中的未知量，问题就很快得到解决。
我们学习和考试的重叠问题不会超出两种情况，第一种情况是两个量重叠；第二种情况是三个量当中两两重叠和三个重叠。
第一讲：两个量重叠公式和理解记忆公式的图形如下：1.基础公式分析图：基础公式如下：圆A面积+圆B面积-A与B重叠部分= A和B所覆盖的面积基础公式使用方法：等式左右两边共有四个量，把题目中三个具体数量对号入座代入到公式中，再按加减的方法推算出第四个量。
基础公式表述：两圆面积和，减去重叠部分面积，等于两圆所覆盖的面积。
例1. 圆A的面积是50，圆B的面积是60，圆A、圆B重叠的面积是30。
求两圆所覆盖的总面积。
例2.英特外语学校参加英语竞赛的有50人，参加数学竞赛的有60人，既参加英语竞赛又参加数学竞赛的有30人，问参加两科竞赛的共有多少人？例3.英特外语学校参加英语和数学竞赛的共有80人，其中有50人参加英语竞赛，60人参加数学竞赛，问既参加英语竞赛又参加数学竞赛的有多少人？例4. 英特外语学校参加英语和数学两科竞赛的共有80人，其中有50人参加英语竞赛，有30人既参加英语竞赛又参加数学竞赛，问有多少人参加数学竞赛？家庭作业：自编题并求解。
方法：给出公式中已知数量，求另一数量。
1. A + B - A交B = A、B所覆盖的总面积2. 50 + 60 - 30 = ？3. 50 + 60 - ？ = 804. 50 + ？ - 30 = 805．？ + 60 - 30 = 802.通用公式分析图：通用公式如下：圆A面积+圆B面积-A与B重叠部分+两圆外的面积=长方形总面积通用公式使用方法：等式左右两边共有五个量，把题目中具体的四个数量对号入座代入到公式中，再按加减的方法推算出第五个量。
2024二年级数学下册提练第12招用画图法解决问题习题课件青岛版六三制
规范解答：半瓶油：600－350=250(克) 瓶子：350－250=100(克) 答：瓶子重100 克。
提示：点击 进入分类训练
1 用画图法解决“半桶油”类的问题 2 用画图法解决两个量相差多少的问题 3 用画图法解决“重叠问题” 4 用画图法解决差倍问题 5 用画图法解决间隔问题
9－1 = 8(个) 1×8 = 8(千米) 答：1 号桩到9 号桩之间相距8 千米。
类 型 3 用画图法解决“重叠问题”
3. 两块一样长的木板粘在一起共长160 厘米，中间 重叠部分是20 厘米(如图)。这两块木板各长多 少厘米？
(画图略。)160＋20 = 180(厘米) 180 厘米 = 18 分米 18÷2 = 9(分米) 9 分米 = 90 厘米 答：这两块木板各长90 厘米。
第12招 用画图法解决问题
画图法是解决问题最常用的方法，通过画图能把决“间隔问题”“比较两个量的相差问 题”“重叠问题”等等。
例 一瓶油连瓶重600 克，倒出半瓶后，连瓶重350 克，瓶子重多少克？
思路分析：一瓶油倒出半瓶后还剩半瓶油，剩下的 半瓶油的质量＋ 瓶子的质量＋ 倒出的半瓶油的质 量=600 克，如下图：
3 － 1 = 2 鸭的只数：12÷2 = 6(只) 鸡的只数：6×3 = 18(只)
类 型 5 用画图法解决间隔问题
5. 一段公路，每隔1 千米有1 根里程桩，1 号桩到9 号桩之间相距多少千米？
点拨：每相邻两个里程桩之间形成1 个间隔，从1 号桩到9 号桩形成的间隔可以画图表示出来：
从1 号桩到9 号桩形成了9 － 1 = 8(个)间隔，根据 每个间隔是1 千米，可以求出8 个间隔是8千米。
小学奥数几何中的重叠问题
小学奥数几何中的重叠问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-3.几何中的重叠问题教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)． 【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米图3例题精讲【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B+圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(⑧)，乙与丙(⑧)，甲与丙(⑧)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(⑧、⑧、⑧部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 阴6412CBA10A B C ==A B I B C I A C I A B C U U A B C U U A B C +--A B B C A C A B C --+I I I I I A B C I I A B C I I叠部分的面积60310040220（）(平方厘米)．=⨯--÷=【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答Array【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑧ 先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑧ 再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑧ 再“包含”：56873x---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338xx=．---+=，解得：6【答案】6。
重叠法的经典例题
重叠法的经典例题一、例题在一个长方形中，长为8厘米，宽为6厘米，有两个半径为1厘米的圆重叠放在长方形内（圆与长方形的边相切），求阴影部分（两个圆重叠部分以外的区域）的面积。
二、题目解析1. 首先计算长方形的面积- 根据长方形面积公式S = a× b（其中a为长，b为宽），已知长方形长a = 8厘米，宽b = 6厘米，所以长方形面积S_长方形=8×6 = 48平方厘米。
2. 然后计算两个圆的面积- 根据圆的面积公式S=π r^2（其中r为半径），已知圆半径r = 1厘米，一个圆的面积S_圆=π×1^2=π平方厘米。
- 那么两个圆的面积S_两个圆=2π平方厘米，取π = 3.14，则S_两个圆=2×3.14 = 6.28平方厘米。
3. 接着计算两个圆重叠部分的面积- 两个半径为1厘米的圆重叠部分是一个类似橄榄形的图形。
我们可以先算出两个扇形（圆心角为90^∘，因为圆与长方形边相切）的面积之和，再减去中间正方形的面积。
- 一个扇形的面积是圆面积的(1)/(4)，所以一个扇形面积S_扇形=(1)/(4)×π×1^2=(π)/(4)平方厘米。
- 两个扇形面积S_两个扇形=(π)/(2)平方厘米，取π = 3.14，则S_两个扇形=1.57平方厘米。
- 中间正方形的面积S_正方形=1×1 = 1平方厘米。
- 所以两圆重叠部分面积S_重叠=1.57 - 1=0.57平方厘米。
4. 最后计算阴影部分面积- 阴影部分面积S_阴影=S_长方形-S_两个圆+S_重叠- 把S_长方形=48平方厘米，S_两个圆=6.28平方厘米，S_重叠=0.57平方厘米代入可得：- S_阴影=48 - 6.28+0.57 = 42.29平方厘米。
线段重叠问题的解决方法及公式
线段重叠问题的解决方法及公式
线段重叠问题是指在平面几何中，两条线段之间存在重叠部分的情况。
解决线段重叠问题的方法可以从几何学和数学两个角度来考虑。
首先，从几何学角度来看，我们可以通过比较两条线段的起点和终点的位置来判断它们是否重叠。
如果两条线段的起点和终点分别为(A1, A2)和(B1, B2)，我们可以通过比较它们的位置关系来判断是否重叠。
如果A1小于等于B2并且A2大于等于B1，或者B1小于等于A2并且B2大于等于A1，那么这两条线段存在重叠。
在这种情况下，我们可以计算重叠部分的长度，即重叠部分的终点坐标中较小的那个减去起点坐标中较大的那个。
其次，从数学角度来看，我们可以使用数学公式来判断线段是否重叠以及计算重叠部分的长度。
假设两条线段分别为AB和CD，我们可以使用数学公式来计算它们的重叠部分。
假设A和C的横坐标分别为x1和x2，B和D的横坐标分别为x3和x4，那么这两条线段的重叠部分的长度可以表示为max(0, min(x2, x4) max(x1,
x3))。
这个公式的含义是，重叠部分的长度等于两条线段横坐标重叠部分的最小值减去最大值，如果这个值小于等于0，则表示没有
重叠部分。
综上所述，解决线段重叠问题的方法包括从几何学角度比较线段的起点和终点位置，以及从数学角度使用公式计算重叠部分的长度。
这些方法可以帮助我们判断线段是否重叠，并计算出重叠部分的长度。
一年级数学重叠画图练习题
一年级数学重叠画图练习题数学是学生们最早接触的学科之一，也是他们在日常生活中最容易遇到的学科之一。
在一年级数学课程中，有一种常见的练习题叫做“重叠画图”。
本文将给出一些一年级数学重叠画图的练习题，通过这些练习题，学生们可以巩固他们在数学中的基本概念和技能。
一、绘制重叠图形绘制重叠图形是一年级数学教学中的基础内容之一。
通过绘制重叠图形，学生们可以观察和认识到不同形状之间的相互关系。
1. 画出两个重叠的矩形，使得一个矩形完全包含另一个矩形。
2. 画出一个圆和一个正方形，使得正方形的一条边和圆的边界上有两个交点。
3. 画出一个梯形和一个三角形，使得三角形的一个顶点正好位于梯形的中央。
二、重叠图形的特性重叠图形有一些独特的特性，通过观察这些特性，学生们可以更好地理解形状和图形之间的关系。
1. 观察一组重叠的三角形，找出它们之间的共同特点并描述出来。
2. 观察一组重叠的矩形，找出它们之间的共同特点并描述出来。
三、重叠图形的分类重叠图形可以根据不同的特征进行分类。
通过分类，学生们可以更好地理解形状的属性和相互之间的关系。
1. 将一组重叠的三角形进行分类，将它们分为等边三角形和非等边三角形。
2. 将一组重叠的矩形进行分类，将它们分为正方形和长方形。
四、重叠图形的面积计算除了观察和分类重叠图形，学生们还需要学会计算重叠图形的面积。
以下是一些与重叠图形面积计算相关的练习题。
1. 计算两个重叠的矩形的总面积。
2. 计算一个重叠的圆和正方形的总面积。
3. 计算一个重叠的梯形和三角形的总面积。
五、解决实际问题数学是一门实用的学科，学生们需要学会将数学知识应用于实际生活中的问题。
通过解决实际问题，学生们可以更好地理解数学概念的应用。
1. 有一个正方形的蛋糕，我们想在它的中间放上一个圆形的蜡烛。
如果蛋糕的边长是10厘米，蜡烛的直径是4厘米，那么蜡烛和蛋糕的重叠部分的面积是多少？2. 一个商店有一个整体形状像矩形的货架，上面有一些形状各异的商品盒子重叠在一起。
第20讲 重叠情况(含解题思路和参考答案)
第20讲重叠情况(含解题思路和参考答案)一、问题描述在 $x$ 轴上有 $n$ 个线段，这些线段可能有交叉，也可能没有交叉。
请你统计一下这些线段有多少对相交。
二、输入格式- 第一行一个整数 $n$。
- 下面 $n$ 行，每行 $2$ 个整数 $l_i$ 和 $r_i$。
三、输出格式- 一行一个整数，表示线段相交的对数。
四、解题思路这道题目可以用扫描线算法来解决。
我们首先将所有节点按照横坐标排序，然后处理每个事件。
具体地，我们维护一个变量 $cnt$，表示当前有多少条线段与当前位置的横坐标相同。
当扫描到一个左端点时，我们将 $cnt$ 加$1$，当扫描到一个右端点时，我们将 $cnt$ 减 $1$。
每当 $cnt$ 发生变化时，我们将当前的贡献加入答案当中即可。
五、参考代码C++ 代码如下所示。
include <iostream>include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;struct Segment{int l, r;} segs[N];int n;int cnt = 0;long long res = 0;int main(){cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ ){cin >> segs[i].l >> segs[i].r;}sort(segs, segs + n, [](Segment a, Segment b){ if (a.l != b.l)return a.l < b.l;return a.r > b.r;});for (int i = 0; i < n; i ++ ){if (i != 0 && segs[i].l != segs[i - 1].l) {res += 1ll * cnt * (cnt - 1) / 2;cnt = 0;}if (segs[i].r >= segs[0].l)cnt ++ ;}res += 1ll * cnt * (cnt - 1) / 2;cout << res << endl;return 0;}Python 代码如下所示。