3.4.2一元一次方程模型的应用(1)
一元一次方程的应用解实际问题
一元一次方程的应用解实际问题一元一次方程是数学中最简单的代数方程之一，也是我们日常生活中常常遇到的问题的数学表示方式。
通过解一元一次方程，我们可以找到未知数的值，从而解决实际问题。
本文将以实际问题为例，探讨一元一次方程的应用。
一、购物费用问题假设小明去商场购买一件衬衫，衬衫原价为x元，商店打折后优惠了20%，小明最终花费了36元购买了该衬衫。
通过一元一次方程可以解决以下问题：设衬衫原价为x元，则打折后的价格为x - 0.2x = 0.8x。
根据题意可得：0.8x = 36。
解这个方程可以得到x = 45。
因此，原价为45元的衬衫通过打折最终花费36元。
二、速度问题小明骑自行车从A地到B地，他以每小时12公里的速度骑行。
后来他意识到自己赶不上预定的时间，于是加快了速度。
最终他以每小时15公里的速度骑行，用时比原计划少1小时。
通过一元一次方程可以解决以下问题：设原计划用时为t小时，则骑行的距离为12t。
加快速度后，骑行的距离为15(t-1)。
根据题意可得：15(t-1) = 12t。
解这个方程可以得到t = 5。
因此，原计划用时5小时，加快速度后用时4小时。
三、人数问题某班的男生人数和女生人数之比为3:4。
如果男生人数增加20人，女生人数也增加20人，那么两者之间的比例将变为4:5。
通过一元一次方程可以解决以下问题：设男生人数为3x，女生人数为4x。
增加20人后，男生人数为3x + 20，女生人数为4x + 20。
根据题意可得：(3x + 20)/(4x + 20) = 4/5。
解这个方程可以得到x = 10。
因此，原来的男生人数为3x = 3 * 10 = 30人，女生人数为4x = 4 * 10 = 40人。
结语通过以上实际问题的应用，我们可以看到一元一次方程在解决实际生活中的问题时的重要性。
使用一元一次方程，我们可以将问题抽象为数学模型，并通过求解方程得到问题的答案。
一元一次方程的应用不仅帮助我们解决了购物费用、速度、人数等问题，更培养了我们的数学思维和解决实际问题的能力。
3.4一元一次方程模型的应用(1)
设未知数 找等量关系
二“设”：用字母（如x）表示题目中的一个未知数，一般求 什么就设什么为x。
三“找”：找出能表示应用题全部含义的一个相等关系。
列方程 解方程
四“列”：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方 程。（两边应是同一数量，单位同）
五“解”：解所列出的方程，求出未知数的值。
检验解的合理性
2x
见花喝一斗
2x-1
三遇店和花
2[2(2x-1)-1]-1
喝光壶中酒
2[2(2x-1)-1]-1=0
例1 某房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个， 如果椅子腿数与凳子腿数的和为60条，有几张椅子 和几条凳子？
分析 本问题中涉及的等量关系有： 椅子数+凳子数=16， 椅子腿数+凳子腿数=60.
3.4 一元一次方程模型的应用
第1课时 和差、倍分问题 授课教师：邵阳县黄荆乡初级中学 陈向明
湘教版 七年级上册
动脑筋
中国唐朝“李白沽酒”的故事： 李白无事街上走，提着酒壶去买酒。 遇店加一倍，见花喝一斗。 三遇店和花，喝光壶中酒。 试问：壶中原有多少酒？
评析：设壶中原有酒x斗，则
原文
翻译式
遇店加一倍
解：设有x 张椅子，则有（16-x）条凳子， 根据题意可得 4x+ 3(16-x)=60 . 去括号，得 4x+48-3x=60 .
移项，合并同类项，得 x = 12 .
凳子数为16-12=4（条）. 答：有12张椅子，4条凳子.
归纳：运用一元一次方程模型解决实际问题的一般步骤有哪些？
实际问题
一“审”:分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系。
六“答”：检验所求解是否符合题意，写出答案（包
一元一次方程的解法与应用技巧
一元一次方程的解法与应用技巧一元一次方程作为中学数学中最基础、最常见的方程类型，求解一元一次方程是我们学习数学过程中的重要环节。
本文将介绍一元一次方程的解法以及一些应用技巧。
一、一元一次方程的解法解一元一次方程的常用方法有“等式法”、“代入法”和“消元法”。
下面将分别对这三种方法进行详细介绍。
1. 等式法等式法是通过对等式两边进行相同的运算，使得方程两边的值相等，从而求得方程的解。
以下是等式法的步骤：步骤一：将方程化简为标准形式ax + b = 0，其中a和b为已知系数。
步骤二：对方程两边进行相同的运算，使得方程两边的值相等。
可以进行加减乘除等运算，以消去方程中的未知数。
步骤三：通过运算得到解x，并验证解是否满足原方程。
若满足，则解正确；若不满足，则需要重新检查计算过程。
2. 代入法代入法是通过已知的解来求解方程。
以下是代入法的步骤：步骤一：找到一个已知解x。
步骤二：将已知解代入方程中，得到一个含有未知数的等式。
步骤三：通过求解这个含有未知数的等式，得到另一个解。
步骤四：验证这个解是否满足原方程。
3. 消元法消元法是通过将方程中的变量消去，从而求得方程的解。
以下是消元法的步骤：步骤一：将方程化简为标准形式ax + by = c，其中a、b和c为已知系数。
步骤二：通过消元的方式，将方程中的一项系数变为0，从而消去该变量。
步骤三：解得另一个变量的值。
步骤四：求解第一个变量，并验证解是否满足原方程。
二、一元一次方程的应用技巧一元一次方程在实际生活中的应用非常广泛，掌握一些常见的应用技巧可以更好地解决实际问题。
1. 几何问题在几何问题中，一元一次方程经常用于求解线段长度、角度等问题。
通过建立适当的方程模型，可以利用一元一次方程求解几何问题。
2. 速度问题在速度问题中，一元一次方程常用于求解物体的速度、时间、距离等问题。
通过使用速度公式、时间公式等方法，可以建立一元一次方程来求解速度问题。
3. 比例问题在比例问题中，一元一次方程常被用于求解比例值。
七年级(上册)数学课后答案解析
七年级上册第一章１.１具有相反意义的量
１.２数轴相反数与绝对值
１.３有理数大小的比较
１.４.１有理数的加法
１.４.２有理数的减法
１.５有理数的乘法和除法
１.６有理数的乘方
１.７有理数的混合运算
第一章复习题
第二章２.１用字母表示
２.２列代数式
２.３代数式的值
２.４整式
２.５整式的加法和减法
第二章复习题
第三章３.１建立一元一次方程模型
３.２等式的性质
３.２一元一次方程的解法
３.４一元一次方程模型的应用
第三章复习题
第四章４.１几何图形
４.２线段射线直线
４.３.１角与角的大小
４.３.２角的度量与计算
第五章复习题
５.１数据的收集与抽样
５.２统计图
第六章复习题。
3.4.2实际问题与一元一次方程-销售问题
销售问题
概念理解
（1）成本价：有时也称进价，是商家进货时的价格；
（2）标价：商家在出售时，标注的价格；
（3）售价：消费者购买时真正花的钱数；
（4）利润：商品出售后，商家所赚的部分；
（5）利润率：商品出售后利润与成本的比值；
预习案
一、思考下列销售问题，并写出答案.
1.若盈利20元记作+20元，那么亏损20元应记作
探究案
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两
件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，
买这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
解：设盈利的那件衣服的进价为x元，则它的利润是0.25x元.
依题可列方程： + . =
解得
=
类似地，可设另一件亏损衣服的进价为y元，则它的商品利润是( －0.25y)元
好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么
商店最多可打几折出售此商品？
检测案
4.某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，
而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的盈利率为
30%，每个大书包的盈利率为20%，试求两种书包的进价.
.
2.一支钢笔的进价是10元，现在以13元卖出，这支钢笔
的利润是
，利润率是
.
3.商品原价200元，九折出售，售价是
元.
预习案
4.某商品按标价的八折出售，售价是14.8元，则标价是
.
5.商店以每件100元购进某商品,若想盈利25﹪,则每件售价应为
.
6.商店以每件30元卖出案
活动一
根据以上预习案销售问题，总结销售问题中的相等关系
人教版初中数学七年级上册第三章3.4.2工程问题与一元一次方程
甲、乙两个工程队合力完成，已知甲工程队每天整治24m，乙工
程队每天整治16m。
问：甲的工作效率是：
乙的工作效率是：
甲乙的工作时间是：
甲的工作量是：
乙的工作量是：
自主探究：
例2．一项工作甲独做5天完成，乙独做10天完成，那么甲每天 的工作效率是 ，乙每天的工作效率是 ，两人合作3天 完成的工作量是 ，此时剩余的工作量是______．
例3．一项工作甲独做a天完成，乙独做b天完成，那么甲每 天的工作效率是 ，乙每天的工作效率是 ，两人合作 3天完成的工作量是 ，此时剩余的工作量是_______．
通常情况下，将工作总量看成单位“1”
自主探究：
例4.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队 单独铺设需要24天，如果甲、乙两个工程队同时施工，需要多 少天铺好这条管线？
第三章 一元一次方程
3.4 第2课时 工程问题与一元一次方程
复习回顾：
工程问题： 1．工程问题的3个基本量是：
2.(1)工作总量= (2)工作时间= (3)工作效率=
工作总量 工作时间 工作效率
3.通常情况下，将工作总量看成单位“1”
自主探究：
例1.某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由
例7.整理一批数据,由一个人做要80 h完成,现计划由一部分人先 做2 h,然后增加5人与他们一起做8 h,完成这项工作的3/4.假设这 些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作?
自主探究：
例8.某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工 作，需要7.5h完成；如果让八年级学生单独工作，需要5h完成。 如果让七、年级学生一起工作1h，再由八年级学生单独完成剩 余部分，共需多少时间完成?
3.4 实际问题与解一元一次方程(第1课时)教学设计
3.4 实际问题与解一元一次方程 (第1课时)教学目标1.理解配套问题、工程问题的背景.2.通过分析零件配套问题及工作量中的相等关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用．3.进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤．教学重点：分清有关数量关系，能根据主要等量关系来列方程解决实际问题 教学难点：培养学生自主探究和合作交流的意识和能力，体会数学的应用价值． 教学过程 一、复习旧知1.解一元一次方程一般步骤是什么？2.解下列方程二、典型例题讲解类型一:配套问题例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （1）填写表格：（2）本题中的等量关系是什么？ 螺母总量=螺钉总量×293x+3=-6+x44（2）131x 2-61x )1(=+-93x-x=-6-344解：3x=-92x=-6x-1-2(2x+1)=6解：x-1-4x-2=6-3x=9x=-3（3）请写出本题完整的过程：解：设应安排x 名工人生产螺钉,(22-x)名工人生产螺母. 依题意，得 2000(22-x)=2×1200x . 解方程，得 x=10. 所以 22-x=12.答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.总结1.分析配套问题时需要注意问题中所涉及的量的比例关系, 比如：1个张桌子需要配4把椅子可表示为桌子数:椅子数= 1:4;2.可以根据比例式的內项积等于外项积将含比的方程转化为我们熟悉的一元一次方程：如 椅子数量=4X 桌子数量类型二：工程问题（一）温故知新：小学我们学过工程问题，请回答下列问题： 1. 工作时间、工作效率、工作量之间的关系: (1) 工作量＝工作时间×工作效率 (2)工作时间＝工作量÷工作效率． (3)工作效率＝工作量÷工作时间 2.填空：(1) 一项工作甲单独做需要2天完成，乙单独做需要5天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________ (2)一项工作甲单独做需要x 天完成，乙单独做需要y 天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作2天完成的工作量是_________（二）例题讲解例3 某校七（4）班准备为教室添置一个图书角，同学们纷纷捐出自己喜欢的图书.若将所有的图书每人分2本，则还剩15本；若每人分3本，则缺35本.共有多少名学生？共捐赠图书多少本？1215113+25⨯（）112()x y+1y 1x（1）填写表格：(2)本题中的等量关系是什么？ 工作量之和等于工作总量1 （3）请写出本题完整的过程： 解：设应先安排 x 人先做4 h. 依题意得： 解得：x ＝2. 答：应先安排 2人做4 h.归纳：1.基本关系式：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝ ，工作效率＝ .2.当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看作整体1.3.常见的相等关系为：总工作量＝各部分工作量之和．三、例题同步跟踪练习 同步练习（一）（教材P101练习2）一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做B 部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做 B 部件. 根据题意，列方程： 3×40x = (6－x)×240.解得 x = 4. 则 6－x = 2. 共配成仪器：4×40=160 (套).答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套.48(2)1.4040xx ++=工作效率工作量工作时间工作量111.1224x x +=77-x+11020=()113285,80804x x ⨯+⨯+=同步练习（二）（教材P101练习2）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：解方程，得 x = 8.答：要8天可以铺好这条管线.四、课堂巩固提升1. 某人一天能加工甲种零件 40个或加工乙种零件60个，且1 个甲种零件与 3 个乙种零件配成一套，先发现15天能制作最多的成套产品。
新人教版七年级数学上册3.4 《一元一次方程的应用》教学设计2
新人教版七年级数学上册3.4 《一元一次方程的应用》教学设计2一. 教材分析新人教版七年级数学上册3.4《一元一次方程的应用》是学生在掌握了方程的解法和性质的基础上，进一步学习方程在实际问题中的应用。
本节内容通过解决实际问题，让学生理解一元一次方程在生活中的意义，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过丰富的案例，引导学生发现方程、列出方程、求解方程，从而达到解决实际问题的目的。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了方程的基本解法和性质，对一元一次方程有一定的理解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为方程，缺乏将数学知识应用到实际问题中的意识。
因此，在教学本节内容时，需要引导学生发现方程、列出方程，并培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解一元一次方程在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.学会将实际问题转化为方程，掌握一元一次方程的求解方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：引导学生发现方程、列出方程，并求解方程。
2.教学难点：如何将实际问题转化为方程，理解方程在实际问题中的意义。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的案例，引导学生发现方程、列出方程，求解方程。
2.小组讨论法：学生分组讨论，培养团队协作能力和逻辑思维能力。
3.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含丰富案例的教学PPT。
2.练习题：准备适量的一元一次方程应用题。
3.教学道具：准备一些实物道具，以便于学生更好地理解实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
例如，某商场举行促销活动，购买一件商品需要支付x元，现在有100元，问最多能购买几件商品？2.呈现（10分钟）展示教材中的案例，讲解如何将实际问题转化为方程。
以教材中的案例为例，假设一个人每小时走5千米，问这个人走x千米需要多少时间？引导学生列出方程，并求解方程。
3.4.2实际问题与一元一次方程—工程问题(导学案)
班级小组姓名3.4.1实际问题与一元一次方程——工程问题学习目标：1、进一步巩固工程问题中的等量关系。
2、能利用一元一次方程解决工程实际问题。
3、掌握利用图表方法分析实际问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。
知识链接：1、一项工程，如果甲独做5小时完成，则甲每小时完成全部工作量的_______ ；乙独做8小时完成，则每小时完成全部工作量的______。
2、整理一批图书，如果甲单独完成需要6天，乙单独完成需要9天，那么甲、乙合作1天完成这批图书的。
3、一项工程由甲单独做需要20天完成，由乙单独做要30天完成。
则甲、乙两队合作x 天完成这项工程的4、一项工程由甲队单独做需要12天完成，由乙队单独做需要15天完成，现甲队做2天后，乙队来支援，两队合作x天后完成工作总量的。
想一想1、在解决工程问题里通常有哪些量？2、工程问题中的这些量之间的有什么关系？专题一试一试分人先做2小时，然后增加2人与他们一起做9小时，完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？②本题的相等关系是:专题二 中考直通（2009年福州）整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。
现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作。
假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？专题三 巧学活用一项工程由甲队单独做需要12天完成，由乙队单独做需要8天完成，现甲队做4天后，乙队来支援，两队合作多少天完成任务的43？加油站1、用两台水泵从同一池塘中向外抽水，单开甲泵12小时抽完，单开乙泵6小时便能抽完。
(1)如果两台水泵同时抽水，那么多长时间能把水抽完？(2)如果甲泵先抽3小时，剩下的由乙泵来抽，那么乙泵再用多少时间能把水抽完？2、一项工程，甲独做需9 天完成，乙单独做12 天完成，丙单独做需15 天完成，若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，要完成这项工作的65，还需要多少天？。
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用1. 苹果的购买：假设每个苹果的价格是p，你买了x个苹果，花了y 元。
这个购买过程可以用方程px = y来表示，其中p是苹果的单价。
通过解这个方程，可以计算出每个苹果的价格或购买的数量。
2. 电费计算：假设每度电的价格是p，你使用了x度电，支付了y元的电费。
这个计算过程可以用方程px = y来表示，通过解这个方程，可以计算出每度电的价格或使用的数量。
3. 路程和速度的关系：假设一个人以每小时v的速度行驶了x小时，那么他所行驶的路程可以用方程vx = d来表示，其中d是行驶的总路程。
通过解这个方程，可以计算出速度或行驶的时间。
4. 汽车行驶的时间：假设一个汽车以每小时的速度v行驶了x千米，行驶的时间可以用方程vx = t来表示，其中t是行驶的时间。
通过解这个方程，可以计算出汽车的速度或行驶的距离。
5. 工作量计算：假设一项工作需要x个小时完成，每小时工作的效率是p个单位，那么完成这项工作需要的总工作量可以用方程px = w来表示，其中w是工作的总量。
通过解这个方程，可以计算出工作的效率或完成工作所需的时间。
6. 线性销售模型：假设一种商品每件的价格是p，销售了x件，总销售额为y元。
这个销售过程可以用方程px = y来表示。
通过解这个方程，可以计算出每件商品的价格或销售的数量。
7. 比例关系：假设一个问题中存在两个量x和y，它们之间存在比例关系，可以用方程yx = t来表示，其中t是比例系数。
通过解这个方程，可以计算出两个量的比例关系。
以上这些是一元一次方程在现实生活中的一些应用场景，我们可以通过解这些方程来计算出各种参数的值或者确认各种关系。
整合了数学和实际问题，使得人们可以更好地理解和解决实际生活中的各种情况。
2024年秋湘教版七年级数学上册 3.4.1 一元一次方程的应用(一)(课件)
解得
x=23
答:经过 2 min，两人首次相遇.
例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子 共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60， 试问：有几张椅子和几把凳子？
分析：题目中的等量关系： 椅子数＋凳子数＝16， 椅子腿数＋凳子腿数＝60 .
例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如椅子腿数与凳子腿数的和为60，
解得
x=18 .
因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h .
练一练
1.运动场的跑道一圈长400 m. 小健练习骑自行车，平
均每分钟骑350 m；小康练习跑步，平均每分钟跑250
m.两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相
遇? 解:设经过 x min，两人首次相遇.
根据题意，得
350x+250x=400
合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
分析：设总工作量为1，则甲每天完成工作总量的115，乙
每天完成工作总量的112. 若设甲、乙两人合绣了x天，则甲 共绣了(x+1) 天，乙共绣了(x+4) 天.
例 2
刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣
主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类. 若刺绣
一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单
试问：有几张椅子和几把凳子？
解：设有x张椅子，则有(16-x)把凳子.
根据题意，得
解得
4x+3(16-x)=60 . x=12 .
因此，凳子有 16-12=4 (把) .
答：有12张椅子，4把凳子.
练一练
1.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一 年父亲的年龄恰好是儿子年龄的四倍？为什么？
解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.
七年级数学上册 第3章 一元一次方程 3.4 一元一次方程模型的应用教案 (新版)湘教版-(新版)湘
3.4一元一次方程模型的应用（第1课时）【教学目标】知识与技能掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，并能解答一元一次方程的和、差、倍分问题的简单应用题.过程与方法通过列方程解应用题，提高分析问题、解决问题的能力.情感态度理解和体会数学建模思想在实际问题中的应用，形成用数学知识解决问题的意识.教学重点找出等量关系，列出方程.教学难点找出等量关系，列出方程.【教学过程】一、情景导入，初步认知，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决，若能解决，怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较有什么优越性?某数的3倍减2等于它与4的和，求某数.(用算术方法解由学生回答)解:(4+2)÷(3-1)=3答:某数为3.如果设某数为x，根据题意，其数学表达式为3x-2=x+4此式恰是关于x的一元一次方程.解得x=3.上述两种解法，很明显算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解一元一次方程求得应用题的解有化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.2.我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等的关系.对于任何一个应用题中所提供的条件应首先找出一个相等的关系，然后将这个相等的关系表示成方程.下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.【教学说明】采用提问的形式，方法与方程解决实际问题的方法对比，让学生明白方程的优越性.二、思考探究，获取新知1.探究:某湿地公园举行观鸟活动，其门票价格如下，全价票为20元/人，半价票为10元/人.该公园共售出1 200X门票，得总票款为20 000元，问：全价票和半价票分别售出多少X?(1)在此问题中，有何等量关系?全价票款+半价票款=总票款.(2)怎样设未知数?设售出全价票xX，则售出半价票(1 200-x)X.(3)根据等量关系列出方程，并求解.x·20+(1 200-x)·10=20 000解得:x=800所以半价票为1 200-800=400(X)即全价票售出800X，半价票售出400X.【教学说明】让学生体会找相等关系是列方程的关键所在.，你能总结出一元一次方程解实际问题的一般步骤吗?【归纳结论】一元一次方程解实际问题的一般步骤为:【教学说明】培养学生观察、概括及语言表达能力.三、运用新知，深化理解1.教材P98例1.，，今年的是去年的2倍，这三年的总产值为550万元，前年的产值是多少?解:设前年的产值为x，，，则x+1.5x+2×1.5x=550，解得x=100.答:前年的产值为100万元.3.某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42 500 kg，这个仓库原来有多少面粉?分析:题中给出的已知量为仓库中存放的面粉运出15%；仓库中还剩余42 500 kg.未知量为仓库中原来有多少面粉.已知量与未知量之间的一个相等关系:原来质量-运出质量=剩余质量设原来有x千克面粉，运出15%x千克，还剩余42 500千克.解:设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，根据题意，得x-15%·x=42 500即x-x=42 500x=42 500解得x=50 000.经检验，符合题意.答:原来有50 000千克面粉.，生产特种螺栓和螺母，一个螺栓的两头均套上一个螺母配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，问：多少工人生产螺栓，多少工人生产螺母，才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套?解:设x名工人生产螺栓，(28-x)名工人生产螺母，列方程得2×12x=18(28-x).解得x=12.生产螺母的人数为28-x=16.答:12名工人生产螺栓，16名工人生产螺母，才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套. ，蜻蜓有6条腿，现在有蜻蜓、蜘蛛若干只，它们共有270条腿，且蜻蜓的只数比蜘蛛的2倍少5，问：蜘蛛、蜻蜓分别有多少只?解:设有蜘蛛x只，蜻蜓有(2x-5)只，则8x+6(2x-5)=270，解方程得x=15，2x-5=25.答:蜘蛛有15只，蜻蜓有25只.，，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应分别调往甲、乙两处多少人?分析:(1)审题:从外处共调20人去支援.若设调往甲处的是x人，则调往乙处的是多少人?一处增加x人，另一处便增加(20-x)人.看下表:调动前调动后甲处27人(27+x)人乙处19人[19+(20-x)]调人后甲处人数=调人后乙处人数的2倍.解:设应该调往甲处x人，则，得27+x=2[19+(20-x)].解方程得x=17.20-x=20-17=3.经检验，符合题意.答:应调往甲处17人，调往乙处3人.，如果由一个人单独做要用30h，现先安排一部分人用1h整理，随后又增加6人和他们一起又做了2h，，那么先安排整理的人员有多少?解:设先安排整理的人员有x人，依题意，得+=1解得x=6.经检验，符合题意.答:先安排整理的人员有6人.【教学说明】通过练习，巩固本节课所学的内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】布置作业:教材“习题3.4”中第4、7、8题.3.4一元一次方程模型的应用（第2课时）【教学目标】知识与技能学会用方程表示实际问题中的数量关系和变化规律.过程与方法通过探索实际问题，培养学生应用数学的意识，体会数学的价值.情感态度培养学生观察、分析、推理能力，渗透建模思想、方程思想、分类讨论思想.教学重点正确地分析出应用题中的已知数、未知数.教学难点能够准确地找出应用题的等量关系.【教学过程】一、情景导入，初步认知某超市把一种羊毛衫按进价提高50%标价，再按8折(标价的80%)出售，这样该超市每卖出一件羊毛衫就可盈利80元.这种羊毛衫的进价是多少元?如果按6折出售，该超市还盈利吗?为什么?【教学说明】通过学生进行实际调查，激发学生的学习兴趣，使每一名学生都成为知识的探索者、创新者，渗透方程思想、建模思想，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.二、思考探究，获取新知1.探究:某商店将某型号彩电按标价的八折出售，则此时每台彩电的利润率是5%，已知该型号彩电的进价为每台4 000元，求该型号彩电的标价.(1)在此问题中，有何等量关系?售价-进价=利润.(2)怎样设未知数?设彩电标价为每台x元，则售价为0.8x元.(3)根据等量关系列出方程，并求解.0.8x-4 000=4 000×5%解得:x=5 250即:彩电的标价为每台5 250元.2.交流讨论:在销售问题中进价、售价、利润、利润率的关系式有哪些?【归纳结论】销售问题中的等量关系式有:①商品利润=商品售价-商品进价②商品售价=商品标价×折扣数③×100%=商品利润率④商品售价=商品进价×(1+利润率)，杨明将一笔钱存入某银行，定期3年，年利率是5%，若到期后取出，他可得到本息和23 000元，求杨明存入的本金是多少元.(1)引导学生分析、解决问题.(2)在存款问题中有哪些等量关系式?【归纳结论】存款问题中的等量关系式有:①利息=本金×年利率×年数②本息和=本金+利息【教学说明】明确解决销售问题的关键是利用销售问题的公式，，要好好把握各种问题的数量关系，可以作为一种知识的储备!三、运用新知，深化理解，这件衣服是按标价的3折出售的，这件衣服的标价是多少元?解:设这件羊毛衫的标价是x元，根据题意，得x=69.解得x=230答:这件衣服的标价是230元.，每件可盈利2元，为了支援山区，现在按原售价的7折出售给一个山区学校，:该文具每件的进价是多少元?基本关系式:进价=标价×折数-利润解:设该文具每件的进价是x元.根据题意得x= (x+2)-0.2.解得x=4.答:该文具每件的进价是4元.，标价为400元，商店要求利润率不低于25%的价格出售，求:售货员最低可以打几折出售此商品?解:设打x折出售此商品.400x-200=200×25%则x=0.625.答:售货员最低可以打6.25折出售此商品.4.某企业存入银行甲、乙两种不同性质的存款20万元.甲种存款的年利率为5.5%，乙种存款的年利率为4.5%，该企业一年可获利9500元，求甲、乙两种存款分别是多少元?解:设甲种存款为x元，依题意，得5.5%x+(200 000-x)×4.5%=9 500，解得:x=50 000，乙存款:200 000-50 000=150 000(元).答:甲存款50 000元，乙存款150 000元.，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折，，那么书包和文具盒的标价分别是多少元?解:设一个文具盒标价为x元，则一个书包标价为(3x-6)元，依题意，得解此方程，得x=18，经检验，符合题意.3x-6=48(元)答:书包和文具盒的标价分别是48元/个，18元/个.，其中一个亏本20%，另一个盈利60%.请你计算一下，在这次买卖中，这家商店是赚还是赔?若赚，共赚了多少元?若赔，赔了多少元?解:设一个价钱为x元，另一个价钱为y元，依题意得:x(1+60%)=64，y(1-20%)=64，所以x=40，y=80，则64×2-(x+y)=128-120=8.故盈利8元.答:在这次买卖中，这家商店是赚了，共赚了8元.，电脑价格不断下降，某一品牌电脑，每台先降价m元，后连续两次降价，每次降价25%，现售价为n元，那么该电脑原来每台售价是多少元?解:设原来的售价是x元.根据等式列方程得:(1-25%)2(x-m)=n，解得x=n+m，答:原来每台的售价是(n+m)元.【教学说明】通过练习提高学生思维的广度；培养学生的发散思维和创新精神.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.【课后作业】布置作业:教材“习题3.4”中第1、2题.3.4一元一次方程模型的应用(第3课时)【教学目标】知识与技能进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力. 过程与方法通过自主探究与小组合作交流，能合理清晰地表达自己的思维过程，掌握根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力.情感态度进一步体会数学中的化归思想，引导学生关注生活实际，建立数学应用意识，热爱数学. 教学重点利用线形示意图分析行程问题中的数量关系.教学难点找出问题中的等量关系.【教学过程】一、情景导入，初步认知在行程问题中，最基本的等量关系式是什么?【教学说明】为本节课的教学做准备.二、思考探究，获取新知1.探究:星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里出发去参观雷锋纪念馆，已知他俩的家到纪念馆的路程相等，小斌每小时骑10km，他在上午10时到达；小强每小时骑15km，他在上午9时30分到达，求他们的家到雷锋纪念馆的路程.【教学说明】引导学生分析题意，找出题目中的等量关系式，并列出方程解答.2.讨论:在行程问题中还存在什么样的等量关系式?【归纳结论】相遇问题的基本关系:各路程之和=总路程.追及问题的基本关系:追及者的路程-被追者的路程=相距的路程.3.探究:为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费标准，规定:所交水费分标准内水费与超标部分水费两部分，，，某家庭6月份用水12t，需缴水费27.44元.求该市规定的家庭月标准用水量.本问题首先要分析所缴的，因为1.96×12=23.52(元)，，所以含有超标部分的水费，则等量关系式为:月标准内水费+超标部分水费=该月所缴的水费设月标准用水量为x t，根据等量关系，得解得:x=8所以，该市家庭月标准用水量是8吨.，我们先要确定所给的数据所处的分段，再根据它的分段合理地解决.，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元.(1)若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，则圆珠笔、钢笔分别买了多少支?(2)若购圆珠笔可按9折付款，钢笔可按8折付款，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案.解:(1)设圆珠笔买了x 支，则钢笔买了(22-x)支，根据题意得:5x+6(22-x)=120，解得:x=12.所以22-x=22-12=10.答:圆珠笔、钢笔分别买了12支、10支.(2)是一道方案设计题，也是一道开放型题，答案不唯一，根据题意，圆珠笔的单价为109×5=4.5(元)；钢笔的单价为108×6=4.8(元)，由于圆珠笔的单价小而钢笔的单价大，因此尽量圆珠笔多买些.①当买圆珠笔19支，钢笔3支时，19×4.5+3×4.8=99.9(元)<100(元)满足条件；②当买圆珠笔20支，钢笔2支时，20×4.5+2×4.8=99.6(元)<100(元)满足条件；③当买圆珠笔21支，钢笔1支时，21×4.5+1×4.8=99.3(元)<100(元)满足条件.故有三种方案，圆珠笔19支，钢笔3支或圆珠笔20支，钢笔2支或圆珠笔21支，钢笔1支.【教学说明】 这一层次及时鼓励学生通过观察、分析、小组讨论，找出其中的等量关系，并尝试用文字语言表述出来，有利于提高学生的分析问题能力和语言表达能力.三、运用新知，深化理解1.教材P101例3、P103例4.2.某城市出租车起步价为8元(3km 以内)，以后每千米2元(不足1km 按1km 算)，某人乘出租车花费20元，那么他大概行驶了多远?解:设这个人大概行驶了xkm ，根据题意得:8+2(x-3)=20解得:x=9答:这个人大概行驶9km.3.甲、乙两列火车的长为144m 和180m ，，从相遇到全部错开需9s ，问：两车的速度分别是多少?解:设乙车每秒行驶x m ，则甲车每秒行驶(x+4) m ，根据题意得:9(x+x+4)=144+180，整理得:2x=32，解得:x=16，x+4=20.答:甲车每秒行驶20m ，乙车每秒行驶16m.4.甲、乙两地的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行48千米.(1)若两列火车同时开出，相向而行，经过多长时间两车相遇?(2)若快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多长时间两车相遇?解:(1)设两车同时开出相向而行，经过x 小时两车相遇，即72x+48x=360，解得:x=3，答:经过3小时两车相遇.(2)设慢车行驶y 小时两车相遇.根据题意有:48y+72(y+6025)=360， 解得y=411. 答:慢车行驶了411小时两车相遇. ，用气量如果不超过60m 3，；如果超过60m 3，为，求该用户10月份应缴的煤气费是多少元.解:由10月份的煤气费平均每立方米为，可得10月份用气量一定超过60 m 3，设10月份用了煤气x 立方米，由题意得:60×0.8+(x -60)×1.2=0.88×x，解得:x=75，则所缴的电费为75×0.88=66(元).答:10月份应缴的煤气费是66元.6.某水果批发市场香蕉的价格如下表:二次分别购买香蕉多少千克?分析:由于X强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，因此第二次购买香蕉多于25千克，第一次少于25千克.因为50千克香蕉共付264元，，所以第一次购买香蕉的价格必然为6元/千克，即少于20千克，第二次购买的香蕉价格可能是5元，也可能是4元.我们分两种情况讨论即可.解:(1)当第一次购买香蕉少于20千克，第二次购买香蕉20千克以上但不超过40千克时，设第一次购买x千克香蕉，则第二次购买(50-x)千克香蕉，根据题意，得:6x+5(50-x)=264解得:x=1450-14=36(千克)(2)当第一次购买香蕉少于20千克，第二次购买香蕉超过40千克时，设第一次购买x千克香蕉，则第二次购买(50-x)千克香蕉，根据题意，得:6x+4(50-x)=264解得:x=32(不符合题意)答:第一次购买14千克香蕉，第二次购买36千克香蕉.信公司开设了两种业务:一是“全球通”，使用者先缴纳50元月租费，；二是“快捷通”，使用者不缴纳月租费，每通话1分钟付通话费0.60元.(1)小明的爸爸一个月的通话时间约为200分钟，你认为他应选择哪种通讯业务，可使费用较少?请说明理由.(2)当每月通话时间为多少分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样?解:(1)他应选择快捷通业务；使用全球通业务需要50+0.4×200=130(元)，使用快捷通业务需要0.6×200=120(元)，120元<130元，所以他应选择快捷通业务.(2)设当每月通话时间为x分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样.，解得x=250.所以当每月通话时间为250分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样.，在市场上若直接销售，每吨利润为1 000元，经粗加工后销售，每吨利润4 000元，经精加工后销售，，该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，，，公司研制了三种方案:方案一:将蔬菜全部进行粗加工；方案二:尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；方案三:将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成.如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由.解:方案一:4 000×140=560 000(元)；方案二:15×6×7 000+(140-15×6)×1 000=680 000(元)；方案三:设精加工x吨，则+=15；解得:x=60，7 000×60+4 000×(140-60)=740 000(元)；答:选择第三种方案.【教学说明】通过练习，检测学生的掌握情况；教师做适当地提示.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】布置作业:教材“习题3.4”中第5、6、7题.。
3.4一元一次方程模型的应用-和、差、倍、分问题教案
在今天的教学中，我发现学生们对一元一次方程解决和、差、倍、分问题的应用表现出很大的兴趣。他们能够在小组讨论和实验操作中积极参与，尝试将实际问题转化为方程模型。这一点让我感到很欣慰，因为这说明学生们开始理解数学与生活之间的联系。
不过，我也注意到在授课过程中，部分学生对从问题中抽象出方程模型这一步骤感到困惑。他们知道需要用方程来解决问题，但在确定未知数和关系式时却犹豫不决。针对这一点，我在接下来的教学中需要更加注重引导学生如何从问题中提取关键信息，帮助他们建立方程。
2.培养学生通过抽象、建模等数学思维方法，将现实问题转化为数学方程，提升数学建模素养。
3.培养学生在一元一次方程求解过程中，运用逻辑推理和数学运算能力，增强数学逻辑思维和精确计算能力。
4.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯，提高学生的团队协作和问题解决能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元一次方程在实际问题中的应用，特别是和、差、倍、分问题的求解方法。
b.差问题：甲比乙多几个苹果？
c.倍问题：甲的苹果是乙的几倍？
d.分问题：若将一些苹果平均分给若干人，每人能分到多少个？
本节课将结合具体实例，引导学生运用一元一次方程解决以上问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的பைடு நூலகம்力，提高数学应用意识。
2.教学难点
-难点内容：从实际问题中抽象出一元一次方程模型，以及对方程的正确理解和求解。
-难点举例与解释：
a.抽象能力：学生需要学会从描述性的问题中提取关键信息，这是难点之一。例如，从“甲有5个苹果，比乙多3个”中抽象出方程式x - 3 = 5。
3.4.2_一元一次方程模型的应用(银行利息、商品利润)
现售价：0.8x元
进价：4000元
利润：(4000×5%)元
因此，设彩电标价为每台x元，根据等量关系， 得 解得 0.8x -4000 = 4000×5%
x=
因此，彩电标价为每台
5250 5250 元.
.
标价：x元 现售价：0.8x元
进价：4000元
利润：(4000×5%)元
例2 2011年10月1日，杨明将一笔钱存入某银行，定期 3年，年利率是5%. 若到期后取出，他可得本息和 23000元，求杨明存入的本金是多少元. 分析 顾客存入银行的钱叫本金， 银行付给顾客的酬金叫利息． 利息=本金×年利率×年数．
本问题中涉及的等量关系有： 本金 + 利息 = 本息和.
解
设杨明存入的本金是 x 元， 根据等量关系，得 x+3×5 % x = 23000，
化简，得 1.15x = 3000.
解得 x = 20000. 答：杨明存入的本金是20000元.
练习
1.某市发行足球彩票，计划将发行总额的49%作为奖 金，若奖金总额为93100元，彩票每张2元，问应卖 出多少张彩票才能兑现这笔奖金？
本节内容 3.4.2
一元一次方程模型的应用
银行利息、商品利润
动脑筋
某商店若将某型号彩电按标价的八折出售，则此 时每台彩电的利润率是5％. 已知该型号彩电的进价为 每台4000元，求该型号彩电的标价. 本问题中涉及的等量关系有： 售价-进价=利润. 如果设每台彩电标价为x元，那么彩电的售价、 利润就可以分别表示出来，如图所示．
解
设发行彩票x张，
根据题意，得 解这个方程，得
49 ·2x = 93100. 100 x = 95000
七年级数学上册《一元一次方程模型的应用》教案、教学设计
4.小组合作题：布置一道需要小组合作完成的题目，要求学生在小组内部分工合作，共同分析问题、构建方程并求解。这样的题目有助于培养学生的团队合作意识和交流能力。
5.思考反思题：请学生回顾本节课的学习内容，写一篇学习心得，内容包括对一元一次方程的理解、解题过程中的困惑和收获，以及对接下来的学习的期望。
作业要求：
1.请学生按时完成作业，保持书写工整、清晰。
2.对于应用提高题和创新思维题，鼓励学生展示解题思路，提倡多种解法。
3.小组合作题需注明小组成员姓名，每个成员都要参与讨论和解答。
七年级数学上册《一元一次方程模型的应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的解法，并能熟练运用到实际问题中。
2.培养学生运用方程模型解决实际问题的能力，使学生能够将现实生活中的问题转化为数学方程，进而求解。
3.通过一元一次方程的学习，让学生掌握基本的数学运算规律，提高学生的运算速度和准确性。
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习热情，使学生树立自信心，勇于面对数学难题。
2.通过解决实际问题，让学生认识到数学在现实生活中的重要性，增强学生的应用意识。
3.在教学过程中，注重培养学生的诚信品质和责任感，使学生养成严谨、踏实的学术态度。
教学设计：
1.导入：以生活中的实际问题为例，引导学生思考如何运用数学知识解决问题，从而引出一元一次方程的概念。
4.思考反思题要求真实反映学习情况，不少于200字。
2024年秋新湘教版七年级上册数学课件 3.4 一元一次方程的应用
A. 33
B. 32
C. 30
D. 29
感悟新知
知1－练
例3 甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠 图书，已知这三位爱心人士捐赠图书的册数之比是 5∶ 8∶ 9，如果他们共捐赠 748 册图书，那么这三位 爱心人士各捐赠多少册图书？
感悟新知
知1－练
解题秘方：若未知量以比例的形式出现，则解决 问题的关键是求出单位量，通过设单 位量表示总量列方程 .
感悟新知
知1－讲
2. 常见的两种基本等量关系： (1) 总量与分量关系问题： 总量 = 各分量的和； (2) 余缺问题： 表示同一个量的两个不同的式子相等 .
感悟新知
特别提醒
知1－讲
列一元一次方程解决实际问题时需要注意：
1. 恰当地设未知数可以简化运算，且单位要统一；
2. 题中的相等关系不一定只有一个，要根据具体情
知1－练
感悟新知
1-1. [期末·永州]某校花费 700 元购买 A，B 两种笔记本知，1－练 其中 A种笔记本每本 5 元， B种笔记本每本 3 元， 购买的 A 种笔记本比 B 种笔记本的 2 倍多 10 本， 问购买 A， B 两种笔记本各多少本？ 解：设购买B种笔记本x本，则购买A种笔记本(2x＋10)本， 根据题意，得5(2x＋10)＋3x＝700，解得x＝50. 则2x＋10＝110. 答：购买A，B两种笔记本分别是110本、50本．
知1－练
解题秘方：根据分量的和等于总量，即到甲纪念 馆参观的学生人数 + 到乙纪念馆参观 的学生人数 = 参观学生总数，列出方 程，解决问题 .
感悟新知
解：设到乙纪念馆参观的学生有 x 名， 则到甲纪念馆参观的学生有(2x－10)名 . 根据题意，得 2x－10+x=200. 移项，得 2x+x=200+10. 合并同类项，得 3x=210. 两边都除以 3，得 x=70. 答：到乙纪念馆参观的学生有 70 名 .
湘教版七年级数学上册《一元一次方程模型的应用(1)》课件(共13张幻灯片)
3.4
问题情境
想一想
2008年奥运会我国共获51枚金牌，比1996年亚特兰大奥运
会的3倍多3枚，问1996年我国获得几枚金牌？
请讨论和解答下面的问题： （1）能直接列出算式求1996年奥运会我国获得的金牌数
吗？ 用算术方法： (513)316
（2） 如果用列方程的方法求解，设哪个量为x？
2. 足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场 得1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢了 14场球，其中负5场，共得19分. 问这个队共胜了 多少场.
想一想
小丽在水果店花18元买了苹果和橘子共6kg， 已知苹果每千克3.2元，橘子每千克2.6元， 小丽买苹果和桔子各多少千克？
练一练
列方程解决实际问题:
想一想 凳子数为16-12=4（条）. 答：有12张椅子，4条凳子.
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题
分析等量关系
建立方程模型
设未知数
解方程
检验解的 合理性
具体归纳为： 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
审 分析题中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面产生关系。
找 一个相等关系.（和/倍/不同方案间不变量的相等）
答：学生有49人。
列表分析法
动脑筋
某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：
全价票 半价票
20元/人 10元/人
该公园共售出1200张门票，得总票款20000元， 问全价票和半价票各售出多少张？
审清题中数量，本题已知票价，出售的总张数，和总票款， 要求全价票、半价票的张数。
找出本问题中涉及的等量关系： 全价票款+半价票款=总票款.
3.4.2一元一次方程的应用(储蓄问题)
元，本
息和为
元（不考虑利息税）；
2、小颖的父母给她存了一个三年期的教育储
蓄1000元，若年利率为2.70%，则三年后可得
利息
元；本息和为
元；
3、某学生存三年期教育储蓄100元，若年利率
为p%，则三年后可得利息______________元；
本息和为_____________________元；
．
4、小华按六年期教育储蓄存入x元钱，若年利率为p%，
自主探学
1、小明把5000元按一年期的定期储蓄存入银行，年 利率为1.98%，到期后可得利息 5000× 1.98%=99 元。
2、小明把x元按一年期的定期储蓄存入银行，年利
率为1.98%，到期后可得利息 1.98%x 元。
例1 2011年10月1日，李老师将一笔钱存 入某银行，定期3年，年利率是5%，若到期后 取出，他可得本息和23000元，求李老师存入的 本金是多少元？
解：设李老师存入的本金为x元, 年利率为5%，存期3年，所以3年的利息为
x+ 3×5%x=23000
解得： x=20000
答：李老师存入的本金是20000元
变式练习：李明以两种形式储蓄了500元钱， 一种储蓄年利率是5%，另一种是4%，一年 后共得利息23元5角，两种储蓄各存了多少 钱？
则六年后本息和________________元。
5、小张有2000元存了三年期的教育储蓄（这种储蓄的
年利率为2.7%，免征利息税），三年到期后小明可得利
息：
A 54元 B 162元
C 166元
D 108元
6、李明以两种形式储蓄了500元钱，一种储蓄年利率是
5%，另一种是4%，一年后共得利息23元5角，两种储蓄
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，在实际生活中有着广泛的应用。
通过建立一元一次方程模型，我们可以解决许多有趣且实用的问题。
一、行程问题行程问题是一元一次方程常见的应用类型之一。
比如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 x 千米，乙的速度为每小时 y 千米，经过 t 小时后两人相遇。
已知 A、B 两地的距离为 s 千米，那么可以根据路程＝速度×时间这个公式，得到方程：（x ＋ y)t ＝ s 。
再比如，某人骑自行车以每小时 15 千米的速度从甲地到乙地，回来时因逆风，速度变为每小时 10 千米，设甲地到乙地的距离为 s 千米，去时所用时间为 s÷15 小时，回来时所用时间为 s÷10 小时，因为来回的路程相同，所以可列方程：s÷15 ＋ 1 ＝ s÷10 （假设回来时多用 1 小时）。
二、工程问题工程问题也是常考的类型之一。
例如，一项工程，甲单独做需要 x天完成，乙单独做需要 y 天完成，两人合作需要 z 天完成。
把工作总量看作单位“1”，甲每天的工作效率就是 1/x ，乙每天的工作效率就是1/y ，两人合作每天的工作效率就是 1/z 。
根据工作效率×工作时间＝工作总量，可得到方程：（1/x ＋ 1/y)z ＝ 1 。
又如，某工厂要生产一批零件，原计划每天生产 a 个，实际每天多生产 b 个，提前 c 天完成任务。
设原计划生产 d 天，那么工作总量为ad 个。
实际每天生产（a ＋ b) 个，实际用的天数为 d c 天，可列方程：a×d ＝（a ＋ b)×（d c) 。
三、销售问题在销售问题中，经常会涉及到进价、售价、利润、利润率等概念。
比如，某商品进价为 x 元，售价为 y 元，利润为 z 元，那么利润＝售价进价，即 z ＝ y x 。
如果已知商品的进价为 a 元，利润率为 b%，售价为 c 元，因为利润率＝（利润÷进价）× 100% ，所以可列方程：（c a)÷a × 100% ＝b% 。
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分析 本问题中涉及的等量关系有： 生产螺栓的工人+生产螺母的工人＝29人 3 × 螺栓的个数＝2×螺母的个数
解:设x人生产螺栓，则有（29－x）人生产螺母。 根据题意，得3 15x=2 21(29-x) 解得：x 14 生产螺母的人数为29－14＝ 15 （人） 答：安排14人生产螺栓，15人生产螺母。
甲班剩余的人数＝2×乙班的剩余人数
解：设甲班抽调x人，则乙班抽调(x-1)人。 根据题意，得45-x=2 39 ( x 1) 解得：x 35 乙班抽调人数为35-1=34（人） 答：甲、乙两班各抽调了35、34人参加歌咏比赛。
例2 某车间有29名工人产生螺栓和螺母，每人
每小时平均能生产螺栓15个或螺母21个，应如
要过年了，集贸市场有一些鸡和兔，总共 有头56个，160只脚， 则集贸市场鸡和兔各有多少只？
本节内容 3.4
一元一次方程模型的应用(一）
——和、差、倍、分问题
例1甲班有45人，乙班有39人，现在需要从甲、
乙两班各抽调一些同学去参加歌咏比赛。如果
甲班抽调的人数比乙班多1人，那么甲班剩余的 人数恰好是乙班剩余人数的2倍，问从甲、乙两 班各抽调了多少人参加歌咏比赛？
分析
本问题中涉及的等量关系有：
练习
全品作业：P44第13、14题
14、分析：本题的等量关系是 送书后 小东课外读物的数量＝3 小明课外读物的数量
解：设小东原有课外读物x本，则小明有2x本。 根据题间，得
x 10 3(2 x－10) 解得 x 8 小明有课外读物的数量为：2 8＝16（本） 答：小明和小东分别有16、8本课外读物。
说一说 和、差、倍、分的等量关系
此问题中常用“多、少、大、小、几分之 几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等 量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与 比校量，并注意每个词的细微差别。类似于： 甲乙两数之和是56；甲比乙多3（乙是甲的 1/3），这样的问题就是和倍问题。问题的特点 是，已知两个量之间存在和倍差关系，可以求 这两个量的多少。基本方法是：以和倍差中的 一种关系设未知数并表示其他量，选用余下的 关系列出方程。
练习Байду номын сангаас
全品作业：P44第13、14题
13、分析：本题的等量关系是 2 螺栓的个数＝螺母的个数
解：设分配x人生产螺栓，则有（28－x）人生产螺母。 根据题意，得
2 12 x 18(28 x )
解得 x 12 生产螺母人数为28 12 16 （人） 答：分配12人生产螺栓，16人生产螺母。