2009年深圳市高级中学高三第一次模拟考试(文)及答案

深圳高级中学2008—2009学年第一次高考模拟考试数学试题（文）命题人：高级中学数学组数学科组一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个正确答案） 1．sin6600的值是A ．21B ．21-C ．23 D ．23-2．设M 、N 、P 三个集合，“P N P M =”是“M = N ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3.设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于 A ．4 B ．5 C ．8 D ．104．某单位有老年人27人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为36样本,则老年人、,中年人、青年人分别各抽取的人数是 A ．6， 12 ，18 B ．7，11，19 C. 6，13，17 D. 7，12，17 5．若a =(2, －3), b =(1, －2)，向量c 满足c a ,b c =1,则c 的坐标是A ．(3,－2)B ．(3, 2)C ．(－3, －2)D ．(－3, 2)6．在等比数列｛a n ｝中, a 1<0, 若对正整数n 都有a n <a n+1, 那么公比q 的取值范围是A . q>1 B. 0<q<1 C . q<0 D . q<17．对于任意函数()()f x x D ∈,构造一个数列发生器，其算法如下图1所示，现定义()21f x x =+，开始结束输入x D ∈()x f x =?x D ∈YN (0,2007)D =,若输入初始值1x =,则当发生器结束工作时,总共输入的数据个数为A. 8个B. 9个C. 10个D. 11个8．某庄园的灌溉系统如上图2所示，水从点A 入口，进入水流的通道网络，自上而下，从最下面的五个出水口出水. 某漂浮物从点A 出发向下漂流，在通道交叉口处向左下方和向右下方漂流是等可能的，则该漂浮物从出口3出来的概率为 A ．51B ．163 C ．83D ． 219．函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB,点A 坐标为(1,2),点B 坐标为(3,0).定义函数()()(1)g x f x x =⋅-.则函数g (x )最大值为 A.0 B.2 C.1 D.410.如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是图1图2y xoA321B二、填空题（本大题共5小题，只做4小题。

其中第14-15题为选做题，只能做其中1题，做2个的，按第一题记分。

每小题5分，共20分） 11．复数3z =对应的点的坐标为__12．如果数列321121,,,...,,...n n a a a a a a a - 是首项为1，公比为2的等比数列，则100a 等于__ 13．对于在[,]a b 上有意义的两个函数)(x f 与)(x g ，如果对于任意],[b a x ∈，均有|1|)()(≤-x g x f ，则称)(x f 与)(x g 在[,]a b 上是接近的. 若函数222y x x =-+与函数2y x m =+在区间[1,3]上是接近的，则实数m 的取值范围是___▲选做题:在下面两道小题中选做一题, 两题都做的只计算第一题的得分 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，与圆2cos ρθ=相切，且与极轴平行的直线的极坐标方程是___15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到点P ，使2AB BP =，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 则CAP ∠=____三 、解答题（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．(本小题满分12分)已知0,(2cos ,cos (1,2sin )a x b x x ωωωω>==, 函数ba x f⋅=)(的最小正周期为π．ABCD MN PA BCDA ．B ．C ．D ．（１） 当[0,]2x π∈时，求()x f 的最小值及相应的x 的值；（２） 当[0,]x π∈时，求()x f 的单调递增区间．17. （本小题满分12分）（1）有两封信，每封信以相同的概率被投到3个邮箱中的一个，求两封信被投到同一信箱的概率是多少。

（2）将长为4cm 的线段随机的分成三段，求这三段组成一个三角形的概率。

18．（本小题满分14分）已知某个几何体的三视图如下，其中P P P '''''',,分别是该几何体的一个顶点P 在三个投影面上的投影，D C B A '''',,,分别是另四个顶点D C B A ,,,的投影．（Ⅱ）求点B 到平面PAD（Ⅲ）设面PAD 与面PBC 交线为l ，求证：BC l //．19．（本小题满分14分）已知平面上两定点M （0，－2）、N （0，2），P 为平面上一动点，满足||||⋅=⋅. （I ）求动点P 的轨迹C 的方程； （II ）若A 、B 是轨迹C 上的两不同动点，且λ=（λ∈R ）.分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明AB NQ ⋅为定值。

20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n s 表示该数列前n 项的和，且对任AC 'D 'P ' 2 正视图 2 侧视图2俯视图意正整数n ，恒有()12+=n n n a a s ，设∑=+=ni n n ia b 11（1）求1a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：无穷数列{}n b 为递增数列；21．（本小题满分14分）已知函数()x f 的定义域是(-1, 1)，121-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，且当(),1,1x y ∈-时，恒有()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1，又数列{}n a 满足211=a ，2112n n n a a a +=+． （1）求证()x f 是奇函数；（2）求证数列{()}n f a 是等比数列，并求其通项公式；深圳高级中学2008—2009学年第一次高考模拟考试数学试题（文）答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. ； 12. ； 13. ；14. ； 15． 。

三、解答题（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）17．（本小题满分12分）18．（本小题满分14分）19（本小题满分14分）20．（本小题满分14分）21．（本小题满分14分）深圳高级中学2007—2008学年第一次高考模拟考试数学试题（文）答案一、D B D A C B C C C B二、11．(0,1) 12．49502 13．[2,1]--14．sin 1ρθ=± 15．30︒ 三 、16．解：()x x x b a x f ωωωcos sin 32cos 22⋅+=⋅=12cos 2sin 3++=x x ωω 1)62sin(2++=πωx ………………4分由已知得：12=⇒=ωπωπ所以()1)62sin(2++=πx x f ………………5分（１） 当0≤x ≤2π时，6π≤62π+x ≤67π则6762ππ=+x ，即2π=x 时，()0m in =x f ………………9分 （２） 若)(x f 递增，则22ππ-k ≤62π+x ≤22ππ+k即3ππ-k ≤x ≤)(6Z k k ∈+ππ又0≤x ≤π，则当0=k 时，0≤x ≤6π；当1=k 时，32π≤x ≤π． ………………11分 所以()f x 的递增区间是[0,]6π和2[,]3ππ ………………1２分 17．解：（1）先将一封信随意投入3个信箱中的一个，再将另一封信投入信箱恰和第一封信投入同一信箱的概率是：13P = ………………6分 （2）设前两段的长分别为x y 、，则第三段为4x y --，且x y 、满足：0404044x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<--<⎩， 即040404x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩。

记事件A 为：三段的长组成一个三角形，则事件A 需要满足：4(4)(4)x y x y x x y y y x y x +>--⎧⎪+-->⎨⎪+-->⎩， 即222x y x y +>⎧⎪<⎨⎪<⎩由几何概型可得：12212()14442P A ⋅⋅==⋅⋅ ………………12分 18．解：（Ⅰ）如图 ：………………5分yxO 24--42|||（Ⅱ）解法一：体积法.由题意，面PBC ⊥面ABC ，取BC 中点O ，则BC PO ⊥⊥⇒PO 面ABC .再取AD 中点M ，则AD PM ⊥ ………………7分设点B 到平面PAD 的距离为h ，则由ABD P PAD B V V --=⇒PO S h S ABD PAD ⋅=⋅∆∆PO BC AD h AD PM ⋅⋅=⋅⋅⇒ 2=⇒h . ………………10分解法二：////BC AD BC ⇒面PAD取BC 中点O ，再取AD 中点M⇒=⊥⊥P MP MO MP AD MO AD ,,MOP AD 面⊥，ADP AD 面⊂⇒MOP ADP 面面⊥过点O 作PM OH ⊥，则ADP OH 面⊥在MPO Rt ∆中，由2=⇒⋅=⋅OH MO PO PM OH∴点B 到平面PAD 的距离为2。

………………10分解法三：向量法（略）（Ⅲ）PBC PAD l =平面平面，////BC AD BC ⇒面PAD l BC //⇒ ………………14分19．解：（I ）(,).P x y 设(,2),(0,4),(,2),MP x y MN PN x y =+==--由已知48||||4MP MN y PN MNx ⋅=+⋅=， ||||,48MP MN PN MN y ⋅=⋅∴+=整理，得：28.x y =即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为.82y x = ………………6分 （II ）解：由已知N （0，2）设1122(,),(,).,,,A x y B x y AN NB A N B λ=由知三点共线。

∵直线AB 与x 轴不垂直，可设直线AB 的方程为： 2.y kx =+，222,81601.8y kx x kx y x =+⎧⎪--=⎨=⎪⎩由可得： 则：1621-=x x ………………8分抛物线方程为.41,812x y x y ='=求导得 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是：11122211(),(),44y x x x y y x x x y =-+=-+ 2211221111,.4848y x x x y x x x =-=-即 ………………10分 121212(,)(,2)282x x x x x x Q ++-解出两条切线的交点的坐标为即 ………………12分 122112(,4)(,)2x x NQ AB x x y y +⋅=-⋅--所以0)8181(4)(2121222122=---=x x x x 所以AB NQ ⋅为定值，其值为0. ………………14分20．解：（1）1=n 时，()12111+=a a s ，11a s =，01>a ，解得11=a ………………4分（2）2≥n 时，1--=n n n s s a ，()12+=n n n a a s ，()12111+=---n n n a a s ，作差得 )1()1(211+-+=--n n n n n a a a a a ，整理得0)1)((11=--+--n n n n a a a a ，∵0>n a ，∴01≠+-n n a a ，∴11=--n n a a ，对2≥n 时恒成立，因此数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =； ………………9分（3）∵1111nn n i i n b a i n i ====++∑∑, ∴=-+n n b b 1∑+=++1111n i i n －∑=+n i i n 11=11221121+-+++n n n =0)22)(12(1221121>++=+-+n n n n ， 对任意正整数n 恒成立，∴无穷数列{}n b 为递增数列。