(优选)第七讲散射一散射截面Ppt
散射理论PPT
有关散射的几个物理量
在研究光散射现象时，常常引入散射光强、散 射截面、吸收截面、消光截面以及相应的散射系 数、吸收系数和消光系数等描述散射现象的物理 量。这些物理量与散射颗粒的大小、折射率以及 入射光的波长等因素存在密切的关系
（1）散射截面
一个散射颗粒在单位时间内散射的全部光能量
入射光强 之I0比称为散射截面，记作
适。用米。氏粒 散子 射线 不度 同大于于瑞1利0 散的射较呈大对微称粒状散分射布称，为常米被氏用散于射
大气中滴粒分布的研究。 一、Mie 散射公式：
不考虑光波的偏振性，将光波作为标量波处理， 取散射颗粒处为坐标原点，入射光沿z 轴正方向传 播，在远离散射体处的散射光波为球面波，
其波源就是散射体。图中,r为散射光观察点与散射体 的距离，散射角为θ，观察点与Z轴组成的平面即为
众所周知，在均匀介质中，光线将沿原有的方向 传播而不发生散射现象。当光线从一均匀介质进入 另一均匀介质时，根据麦克斯韦电磁场理论，它只 能沿着折射光线的方向传播，这是由于均匀介质中 偶极子发出的次波具有与人射光相同的频率，并且 偶极子发出的次波间有一定的位相关系，它们是相 干的，在非折射光的所有方向上相互抵消，所以只 发生折射而不发生散射。
非耗散介质。波的能流为S =E×H，其传播方向即波
矢k 的方向。
当电导率
0时，
k2
2 (
i
), k
kR
ikI
为简单起见，考虑沿X轴方向传播的平面波。
波动方程为
d 2E dx2
2 (
i
)E
0
d 2H dx2
2 (
i
)H
0
其解为
E E0 exp(kI x) exp[i(kR x t)] H H0 exp(kI x) exp[i(kR x t)]
第七讲散射理论
第七讲散射理论一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流散射中心如：原子物理中的α粒子散射实验。
2、散射的分类：弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。
非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。
在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。
3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。
例如在α粒子的散射实验中，有22cot 422M b Ze θυπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体之中。
环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。
且2222401()()4sin 2Ze d d M σθπευΩ= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。
设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即1(,)()dn q N d θϕ=Ω显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。
微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。
散射一散射截面
（3-2）代入（3-1），得径向方程
1 r2
d dr
r 2
dRl dr
k 2
V (r)
l
(l r2
1)
Rl
(r
)
0
令
Rl
(r)
Ul (r) r
，代入上方程
（3-3）
d 2U l dr 2
k 2
V
(r)
l
(l r2
1)
U
l
(r
)
0
（3-4）
考虑方程（3-4）在 r 情况下的极限解，，波可沿各方向散射，三维散射时，在r 处的粒子的波函数
应为入射波和散射波之和。 方程（8）有两个特解
(r, , ) f ( , )eikr
(r, , ) f ( , )eikr
因此，
2 (r, ,)
f ( , ) eikr
r
2 (r, ,)
f ( , ) eikr r
2 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 2 代表向散射中心会聚的球面波，
究粒子间的相互作用以及其它问题。
二、散射振幅
现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，
在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。
取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态schrödinger方程
2 2 U (r) E 2
（4）
令
k2
2E 2
V
(r)
2 2
U (r)
方程（4）改写为
弹性散射，否则称为非弹性散射。
入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入 射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为 入射粒子流强度。
光的散射基础内容PPT课件
8
清晨日出或
10
2019/12/23
11
米氏散射：散射粒子的线度与光波长同量级或大于光 波波长的散射
3
非均匀介质中的散射
光学性质的不均匀： （1）均匀物质中散布着折射率与它不同的大量微粒 （2）物质本身的组成部分（粒子）不规律的聚集
例：尘埃、烟、雾、悬浮液、乳状液、毛玻璃等。
特征：
杂质微粒的线度小于光波长，相互间距大于波长， 排列毫无规则，在光照下的振动无固定位相关系，任何 点可看到它们发出次波的迭加，不相消，形成散射光。
光的散射
1
定义：
光
当光通过光学性质不
的
均匀的物质时，从侧
散
向都可以看到光的现
射
象叫光的散射。
2
分 类
线性米 瑞氏 利散 散射 射： ：线 线度 度ll
/ 10
非线性拉曼散射自 受发 激拉 拉曼 曼散 散射 射 布里渊散射
瑞利散射：散射粒子的线度小于光的波长的十分之一
4
散射和反射，漫射和衍射的区别
1.散射与直射、反射及折射的区别：“次波”发射中心排 列的不同,散射时无规则，而后者有规则。 2.散射与漫反射的区别：次波中心的排列仍有某些不同的 方向性 3.散射与衍射的区别：
衍射：因个别的不均匀区域（孔、缝、小障碍等）所形 成的，不均匀区域范围大小≈。
散射：大量排列不规则的非均匀小“区域”的集合所形 成的，非均匀小区域的线度<。
5
2019/12/23
6
瑞利散射
1.瑞利散射：l 的微粒对入射光的散射现象。
2.瑞利定律：散射光强度与波长的四次方成反比，
物理光学散射
I
()
1
4
此时太阳光穿过的大气层最厚，散射效应最显著。太阳光 中的短波部分几乎都侧向散射，仅剩下红光部分到达地面， 所以可以看见火红的朝阳或夕阳。
现象解释——光的散射
4.为什么云彩是白色的?
天空中的白云是大气中水滴组成的，这些水滴的线度 比可见光的波长大。根据米氏散射，各种波长的光有几乎 相同强度的散射，因而云雾呈白色。
悬浮质点的散射 瑞利散射 米氏散射
分子散射——十分纯净的液体和气体
② 散射光波长与入射光波长不等（非线性散射） 拉曼散射
布里渊散射
3.1 瑞利散射
瑞利散射——光的散射
λ
产生条件：
a
散射微粒的几何线度小于光波长 a 1
散射定律：
侧向散射光的光强反比于λ4
I
()
1
4
3.2 米氏散射
λ
米氏散射——光的散射
晴天——光的散射
白云——光的散射
阴天——光的散射
日出——光的散射
定义——光的散射
一、定义： 光通过光学性质不均匀的介质时，在偏离正常传播方
向上有光出射的现象称为散射。
光学性质不均匀： 气体中有随机运动的分子、原子或烟雾、尘埃; 液体中混入小微粒; 固体中掺入杂质或缺陷等。
散射光
散射光
定义——光的散射
产生条件：
a
散射微粒的几何线度大于等于光波长 a 1
散射规律：
散射光强度I与波长λ之间无明显关系。
散A
射瑞 光利 强区
B
米氏区
瑞利散射、米氏散射—光的散射 C
0 12
4
6
8
图 瑞利散射和米氏散射
10 a/
I
第七讲散射理论
第七讲散射理论一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流散射中心如：原子物理中的α粒子散射实验。
2、散射的分类：弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。
非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。
在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。
3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。
例如在α粒子的散射实验中，有22cot 422M b Ze θυπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体之中。
环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。
且2222401()()4sin 2Ze d d M σθπευΩ= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。
设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即1(,)()dn q N d θϕ=Ω显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。
微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。
散射散射截面
入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入 射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为 入射粒子流强度。
散射截面：
设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显 然
ds dn d
r2 dn N
处设的r 散射体时系，V的(r波) 函数0 ，。方程（5）变为
2 k 2 0
（6）
令
r
（7）
将（6）式写成
2
r 2
k 2
L情形下，此方程简化为
2 k 2 0
r 2
（8）
此方程类似一维波动方程，我们知道： 对于一维势垒或势阱的散射情况
综合之，则有：
dn Nd
或
dn q( ,)Nd
（1）
比例系数q(，)的性质：
q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及 入射粒子的动能有关，是，的函数。
q(，)具有面积的量纲
[q]
dn Nd
L2
故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布
如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积q(，)，则单位时间内通过此截
面q(，)的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。
q( ,)N dn
d
（2）
总散射截面：
2
Q q(,)d q(,)sindd
（3）
00
[由注（] 2）式知，由于N、dn 可通过实验测定，故而求得 q( ,) 。
k x Aeikx Beikx
k x ceikx
7光纤中的光散射(课堂PPT)
PB_cw(L)
exp g B
0
P0 _ cw Aeff
Leff
d
PB_cw L
2~p t 2
'2
~p t
v22~p
0
~p peiqzt c.c.
2 i ' q2 v2q2 0
2020/4/25
(r, t) ei(q.rt) c.c.
10
入射光
E(r,t)
E ei(k.r t ) 0
c.c.
极化强度变化
P(r,
t)
(r,
t)E(r,
t)
1 4E04ei
(( k
E
Core
Backward Rayleigh
Cladding
瑞利散射是一种弹性散射，其散射光的频率与入射光的 频率相同。
极化强度： P 0 E D 0E P 0 (1 )E ( )E
2020/4/25
5
B 0 E B 0
t D 0 H D 0
t
关于电场强度E的方程
ω0
散射介质
Stokes
Anti-Stokes
Rayleigh
Raman
2020/4/25
Brillouin
Brillouin
ω0
Raman
3
ω
光散射的起源
• 介质光学特性的波动
~
~
介电常数
自发散射 受激散射
2020/4/25
4
。
Rayleigh散射
Cladding
Incident light
0
2E t 2
2E
E
ln(
)
0
2
散射讲义
计算一个相移0 即足够了，而ka足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波
法适用于低能散射，l>ka的分波散射截面可以略去。
说明：已知U(r)时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及 基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道U(r)的具体形式，这时， 我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性 质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。
l0
sin l
0 Pl (cos )Pl (cos )sind
2 k2
l0
(2l 1)(2l 1)ei(l l ) sin l
l0
sin l
2l
2
1
ll
4 k2
(2l 1) sin 2 l
l0
Q Ql
l 0
Ql
4
k2
(2l
1) sin 2 l
（3-16） （3-17）
(r, )r
l0
Al kr
sin kr
1 2
l
l
Pl
(cos
)
l0
A [e l
i
(
kr
1 2
l
l
)
2ikr
e
i
(
k
r
1 2
l
l
)
]Pl
(cos
)
（3-6）
另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数
(r, )r eikz f ( ) eikr r
（3-7）
将平面波 eikz 按球面波展开 eikz eikrcos (2l 1)il jl (kr)Pl (cos ) l0
不是散射波，应略去。
吸收截面和散射截面
吸收截面和散射截面
吸收截面和散射截面是物理学中的重要概念，它们是用来描述物体对物理现象的反应的。
吸收截面是指物体对物理现象的吸收能力，它是一个物体对物理现象的反应的度量。
它可以用来衡量物体对物理现象的吸收能力，以及物体对物理现象的敏感程度。
它可以用来衡量物体对物理现象的吸收能力，以及物体对物理现象的敏感程度。
散射截面是指物体对物理现象的散射能力，它是一个物体对物理现象的反应的度量。
它可以用来衡量物体对物理现象的散射能力，以及物体对物理现象的敏感程度。
它可以用来衡量物体对物理现象的散射能力，以及物体对物理现象的敏感程度。
吸收截面和散射截面是物理学中重要的概念，它们可以用来衡量物体对物理现象的反应能力，以及物体对物理现象的敏感程度。
它们可以用来研究物体对物理现象的反应，以及物体对物理现象的敏感程度。
它们也可以用来研究物体对物理现象的反应，以及物体对物理现象的敏感程度。
总之，吸收截面和散射截面是物理学中重要的概念，它们可以用来衡量物体对物理现象的反应能力，以及物体对物理现象的敏感程度。
它们可以用来研究物体对物理现象的反应，以及物体对物理现象的敏感程度。
它们也可以用来研究物体对物理现象的反应，以及物体对物理现象的敏感程度。
因此，吸收截面和散射截面在物理学中具有重要的意义。
散射与衍射-ReadPPT课件
Three twofold axes or mirror plane One threefold axis
One threefold axis
One threefold axis
One twofold axis or mirror plane none
Space lattices PIF
a=b=c
a=b=g=90
a=b≠c
a=b=g=90
a≠b≠c
a=b=g=90
A=b≠c a=g=90
b=120
A=b≠c a=g=90
b=120
a=b=c
a=b=g≠90
a≠b≠c
a=b=90 g≠90
a≠b≠c
a≠b≠g≠90
Essential symmetry
Four threefold axes
子顺磁共振。
红外，可见，紫外光与物质的相互作用
分子的能量由3个方面构成，
电子的能量， 核的振动能量， 分子的转动能量。 与它们相当的电磁波的波长分别为几十-几百nm，几个 m及数百m，相应的波段分别属可见-紫外区，近、中 红外区，远红外及微波区。
形成的结构分析仪器：
透射电子显微镜， 扫描电子显微镜， 低能电子衍射仪， 电子探针， 质谱仪等， 光谱仪， X射线衍射仪
~0
吸收系数 吸收与Z
较大,~10-103cm-1 随Z增加而增加
很大 无关
很小,10-1-10-3 cm-1 (B,Cd,稀土大)
随同位素而异
吸收的同位素影响
无
无
有
折射率n
非弹性散射
衍射花样、衍衬相
略<1
波长改变小，康散射 有束缚小的核外电子
总微分散射截面共84页PPT
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
总微分散射截面
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
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d
2U l (r) dr 2
k
2U
l
(r)
0
由此求得： U l (r) Al sin(kr l)
Rl
(r)r
Al kr
sin kr
1 2
l
l
（3-5）
为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数
Al kAl,
l
l
2
l
将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在 r 情形下通解的渐近形式
处设的r 散射体时系，V的(r波) 函数0 ，。方程（5）变为
2 k 2 0
（6）
令
r
（7）
将（6）式写成
2
r 2
k 2
Lˆ2 r2
0
在 r 的情形下，此方程简化为
2 k 2 0
r 2
（8）
此方程类似一维波动方程，我们知道： 对于一维势垒或势阱的散射情况
k x Aeikx Beikx
[e 2
i(kr1l )
e 2 ]PL (cos )
（3-8）
（3-9） （3-10）
（3-6）和（3-10）两式右边应相等，即
e ik r
（9）
r
为方便起见，取入射平面波 eikx的系数A=1，这表明 | 1 |2 1 ，入射粒子束单
位体积中的粒子数为1。 入射波几率密度（即入射粒子流密度）
Jz
i 2
1
* 1
z
1*
1 z
i 2
(ik11*
ik1* )
k N
（10）
散射波的几率流密度
Jr
i
2
2
* 2
r
* 2
1 r2
d dr
r 2
dRl dr
k 2
V (r)
l
(l r2
1)
Rl
(r
)
0
令
Rl
(r)
Ul (r) r
，代入上方程
（3-3）
d 2Ul dr 2
k 2
V
(r
)
l
(l r2
1)
U
l
(r
)
0
（3-4）
考虑方程（3-4）在 r 情况下的极限解，令 r 方程（3-4）的极限形式
（优选）第七讲散射一散射截 面
[q]
dn Nd
L2
故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布
如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积q(，)，则单位时间内通过此截
面q(，)的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。
q( ,)N dn
d
（2）
总散射截面：
2
Q q(,)d q(,)sindd
取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态schrödinger方程
2 2 U(r) E 2
（4）
令
k2
2E 2
V
(r )
2 2
U (r)
方程（4）改写为
2 [k 2 V (r)] 0
（5）
由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为r 。因 此，在计算时q( ,) ，仅需考虑 r 处的散射粒子的行为，即仅需考虑 r
2
r
r2
|
f
( ,) |2
（11）
单位时间内，在沿( ,) 方向d立体角内出现的粒子数为
dn
J r ds |
f ( ,) |2
r2
ds |
f ( ,) |2
Nd
比较（1）式与（12），得到
（12）
q( ,) | f ( ,) |2
（13）
由此可知，若知道了f ( ,)，即可求得q( ,) ，f ( ,) 称为散射振幅，所以，
式中jl(kr)是球贝塞尔函数
jl (kr)
2kr
J
l1 2
(kr)r
1 kr
sin
kr
1 2
l
1
i(kr 1 l )
i(kr 1 l )
[e 2 e 2 ]
2ik r
利用（3-8），（3-9），可将（3-7）写成
(r,)r
f ( ) eikr r
l 0
(2l 1)il 2ikr
i(kr1l )
(r, )r
l0
Al kr
sin kr
1 2
l
l
Pl
(cos
)
l0
A [e l
i
(
kr
1 2
l
l
)
2ikr
e
i
(
k
r
1 2
l
l
)
]Pl
(cos
)
（3-6）
另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数
(r, )r eikz f ( ) eikr r
（3-7）
将平面波 eikz 按球面波展开 eikz eikrcos (2l 1)il jl (kr)Pl (cos ) l0
Rl (r)Pl (cos )
方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加
(r, ) Rl (r)Pl (cos )
l
（3-2）
Rl(r)为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，Rl (r)Pl (cos ) 称为第l个分 波，通常称l=0,1,2,3…的分波分别为s, p, d, f…分波
（3-2）代入（3-1），得径向方程
三、分波法
讨粒论子粒在子辏在力中场心中力的场势中能的 为U散(r射)，。状态方程
2 [k 2 V (r)] 0
（3-1）
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照§3.3.的 讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1）的特解为
Rl (r)Ylm ( , ) 由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成
k x ceikx
式中 eikx 为入射波或透射波， eikx 为散射波，波只沿一方向散射。
对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在r 处的粒子的波函数
应为入射波和散射波之和。 方程（8）有两个特解
(r, ,) f ( , )eikr
(r, , ) f ( , )eikr
因此，
（3）
00
[由注（] 2）式知，由于N、dn 可通过实验测定，故而求得 q( ,) 。
d
量子力学的任务是从理论上计算出 q( ,)，以便于同实验比较，从而反过来研
究粒子间的相互作用以及其它问题。
二、散射振幅
现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，
在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。
对于给定能量的入射粒子，速率 v 给定，于是入射粒子流密度N= v 给定，只要
知道了散射振幅 f ( ,) ，也就能求出微分散射截面，f ( ,) 的具体形式通过求
schrödinger方程（5）的解并要求在 r 时具有渐近形式（9）而得出。
下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法——分波法，玻恩近似方法。 分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。
2 (r, ,)
f ( , ) eikr
r
2 (r, ,)
f ( , ) eikr r
2 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 2 代表向散射中心会聚的球面波，
不是散射波，应略去。
在 r 处，散射粒子的波函数是入射平面波 1 eikz 和球面散射波 2 之和。
即
(