几何专题复习策略
第十一章全等三角形复习建议
第十一章全等三角形复习建议一、考纲要求：1、能够在全等三角形中找到对应点、对应边、对应角；2、会利用全等三角形的性质与判定方法证明线段相等、角相等；3、会解决三角形中全等图形的计算问题；4、会利用角平分线性质证明线段相等，知道三角形的角平分线交于一点，交点到三边距离相等。
二、题型及命题思想：1、考查基本计算知识，以填空题或选择题形式出现；2、考查推理能力的证明题，单独或综合出现；3、出现在运用知识能力的阅读题或探究性题型之中。
三、复习建议：1、加强对概念、公理和定理的理解记忆；2、注意分析证题思路，通过让学生模仿证明步骤，逐步掌握证题的方法；3、加强对学生解题过程的规范化训练，增强学生的符号感；4、全面培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
注意：复习过程中基础的题目由学生自己做，课堂上着重针对一些学生掌握不好的知识点进行专题训练：四、复习策略：1．课时安排：2课时基础复习：1课时；中档题：1课时2．知识网络和知识点题型化比如：（一）知识点回顾：（1）全等三角形的性质_____________（2）（二）知识点题型化（1）如图（1）F、C在线段BE上且∠DFE=∠ACB，BC=EF，使△ABC≌△DEF,需补充的一个条件是__________。
（2）如图（2）在△AOB与△COD中，AC、BD交于点O，AB∥CD，OA=OC,则△AOB≌_______,理由__________。
（3）在横线上填一个适当的条件，使得命题是真命题，如图（3），若∠B=∠C,____________，则△ABD ≌△ACE.（4）能确定△ABC 与△A ´B ´C ´全等的是（ ）A 、AC=A ´C ´ BC=B ´C ´ ∠B=∠B ´B 、AC=A ´C ´ ∠A=∠A ´ ∠B=∠B ´C 、AC=C ´B ´ ∠A=∠A ´ ∠B=∠B ´D 、∠A=∠A ´ ∠B=∠B ´ ∠C=∠C ´(5)如图（4），D 在AB 上，E 在AC 上且∠B=∠C 那么补充一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）A 、AD=AEB 、∠AEB=∠ADC C 、BE=CD D 、AB=ACA BC A B CACE3、重视书写规范，应该说这是初中几何逻辑推理表达的最初级最佳训练内容。
浅说函数与几何综合题的解题策略及复习
浅说函数与几何综合题的解题策略及复习函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；这一特点在孝感市近三年的中考数学试卷中表现得尤为突出；如2001年的中考压轴题是以直角三角形为背景，揉合一次函数、相似形、直线与圆的位置关系等知识构成；2002年的中考压轴题是以矩形为背景，揉合轴对称、二次函数、几何证明等知识构成；2003年的压轴题是以二次函数为背景，揉合直角三角形的知识构成；因此，将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是我市中考命题的一大特点，也是今后中考命题的一大趋势；函数知识与几何知识有机结合的综合题，依照构成命题的要紧要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题〔这类问题不妨称简称为〝几函〞问题〕，这类问题的特点是：依照几何图形间的位置和数量关系〔如平行、全等、相似，专门是成比例〕建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题〔如三角形、四边形，专门是圆〕〔这类问题不妨简称为〝函几〞问题〕，这类问题的特点是：依照函数图像中的几何图形的位置特点，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题；本文特从2003年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期达到抛砖引玉的目的。
一、函数与几何综合题例析〔一〕 〝几函〞问题：1、线段与线段之间的函数关系：由于这类试题的要紧要素是几何图形，因此，在解决此类问题时第一要观看几何图形的特点，然后依据相关图形的性质〔如直角三角形的性质、专门四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的差不多性质、圆中的比例线段等等〕找出几何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要专门注意自变量的取值范畴。
高考专题：解析几何常规题型及方法
高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考察的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考察。
选择题和填空题考察直线, 圆, 圆锥曲线中的根底知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考察圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。
二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要表达在以下几个方面：〔1〕解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的容之一〔2〕解析几何的计算量相对偏大〔3〕在大家的"拿可拿之分〞 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比拟为难的第21题或22题〔有 时20题〕就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比拟普遍。
鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几容弹性很 大。
有容易题，有中难题。
因此在复习中基调为狠抓根底。
不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在稳固根底、对付"跳一跳便可够得到〞的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。
三、高考核心考点1、准确理解根本概念〔如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等〕2、熟练掌握根本公式〔如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等〕3、熟练掌握求直线方程的方法〔如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等〕4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法〔如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等〕8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
高考数学《解析几何》复习策略
第1部分 直线与圆
主干知识整合
1．直线的斜率 2．直线的方程 3．两条直线的位置关系 (1)平行；(2)垂直；(3)相交． 4．距离公式 (1)两点间的距离；(2)点与直线的距离；(3)两条平行直线 间的距离． 5．圆的方程 6．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有相交、相切和相离三种，解决问题 的方法主要有点线距离法和判别式法．
要点热点探究
► 探究点一 直线与方程
例 1 过定点 P(2,1)且与坐标轴围成的三角形的面积为 4 的直线 方程是________．
x＋2y－4＝0 或( 2＋1)x－2( 2－1)y－4＝0 或( 2－1)x－2( 2＋1)y＋4＝0 【解析】 设所求的直线方程为xa＋by＝1. ∵直线过点 P(2,1)，∴2a＋1b＝1，即 a＋2b＝ab.① 又由已知，可得12|ab|＝4，即|ab|＝8.② 由①、②可得aa＋b＝2b8＝ab， 或aa＋b＝2b－＝8a，b， 解得 a＝4，b＝2 或 a＝4( 2－1)，b＝－2( 2＋1)或 a＝－4( 2＋1)，b＝2( 2－1)， 故所求直线方程为 x＋2y－4＝0 或( 2＋1)x－2( 2－1)y－4＝0 或( 2－1)x－2( 2＋ 1)y＋4＝0.
(4)双曲线的简单几何性质．
3．抛物线 (1)抛物线的定义； (2)抛物线的标准方程； (3)抛物线方程的一般形式：焦点在 x 轴上的抛物线方程 可以用 y2＝λx(λ≠0)表示；焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可 以用 x2＝λy(λ≠0)表示； (4)抛物线的简单几何性质．
要点热点探究
► 探究点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例 1 [2011·山东卷] 已知双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的两条
(完整版)解析几何的解题思路、方法与策略分析
解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ． （3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。
高三复习阶段如何备考数学解析几何题
高三复习阶段如何备考数学解析几何题数学解析几何是高中数学中一个重要且难度较大的部分，对于广大高三学生来说，备考解析几何题是提高数学成绩的关键。
在高三复习阶段，如何备考数学解析几何题是一个需要认真思考和制定合适策略的问题。
本文将介绍一些备考数学解析几何题的方法和技巧，希望对广大高三学生有所帮助。
一、理清解析几何基本概念在备考数学解析几何题之前，首先要对解析几何的基本概念进行理解和掌握。
解析几何是通过代数方法研究几何问题的一门学科，需要对点、直线、平面、坐标系等基本概念有清晰的认识。
可以通过查阅教材、参考书或互联网资源来进行学习和总结，建立起扎实的基础。
二、掌握解析几何常用定理和公式在备考数学解析几何时，了解和记忆一些常用的定理和公式是非常重要的。
例如，直线的方程、两点间距离公式、两条直线的关系等。
可以利用复习资料和习题集进行有针对性的练习，加深对这些定理和公式的理解和记忆。
三、多做解析几何题并总结题型特点高三复习阶段，多做解析几何的相关题目是必不可少的。
在做题过程中，要注意总结题目的特点和解题方法。
可以将解析几何题型分成平面几何和空间几何两部分，分别进行钻研。
通过大量的练习，可以熟悉各种题型，掌握解析几何的解题技巧。
四、注重解析几何与其他数学知识的综合运用解析几何与代数、函数、三角等数学知识有密切关联，在备考过程中要注重解析几何与其他数学知识的综合运用能力。
可以通过做综合性的题目或者跨章节的大题来加强解析几何与其他数学知识之间的联系，提高解题的能力。
五、注意解题技巧和思维方法的培养解析几何是一门需要思维灵活的学科，解题过程中需要注意一些常用的解题技巧和思维方法。
例如，利用图形的对称性、利用坐标系进行变换等。
在备考过程中，可以参考一些解析几何解题技巧的书籍或者教材，培养自己的解题思维。
六、做好错题和习题的整理与总结在备考过程中，及时整理和总结做错的题目是非常必要的。
可以将做错的题目整理成错题集，进行详细的分析和解答。
解析几何专题教案
解析几何专题教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握解析几何的基本概念和基本公式；（2）学会用坐标系表示点、直线、圆等几何图形；（3）能够运用解析几何方法解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的方法，提高学生的问题解决能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生勇于探索、克服困难的精神。
二、教学内容1. 解析几何基本概念（1）坐标系（2）点、直线、圆的坐标表示2. 解析几何基本公式（1）两点间的距离公式（2）直线的一般方程与斜率（3）圆的标准方程与直径公式三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）解析几何的基本概念和基本公式；（2）坐标系下点、直线、圆的表示方法。
2. 教学难点：（1）直线、圆的方程的求解；（2）运用解析几何解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如坐标系、两点间的距离公式等；（2）通过实例引入解析几何的概念。
2. 讲解：（1）讲解解析几何的基本概念，如点、直线、圆的坐标表示；（2）引导学生掌握解析几何的基本公式，如直线的一般方程与斜率、圆的标准方程与直径公式。
3. 练习：（1）让学生独立完成相关练习题，巩固所学知识；（2）引导学生运用解析几何方法解决问题。
五、课后作业1. 完成教材后的练习题；2. 运用解析几何方法解决实际问题，如测量两地间的距离、计算圆的面积等。
教学评价：通过课后作业的完成情况，评价学生对解析几何知识的掌握程度以及运用能力。
六、教学案例分析1. 案例一：直线与圆的位置关系（1）问题描述：分析直线与圆的位置关系，判断直线是否与圆相交、相切或相离；（2）解决方案：运用解析几何公式，求解直线与圆的交点，分析位置关系；（3）案例分析：培养学生运用解析几何方法分析问题、解决问题的能力。
2. 案例二：几何图形的面积计算（1）问题描述：计算三角形、四边形的面积；（2）解决方案：运用解析几何方法，求解坐标系的交点，运用公式计算面积；（3）案例分析：培养学生运用解析几何方法解决实际问题的能力。
高考数学学科二轮备考关键问题指导系列一(解析几何存在问题及应对策略)
福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一解析几何存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组余小萍执笔整理）新高考的背景下，解析几何知识板块试题分值高，在全卷中占比高，但整体得分低，得分率最低，对全卷影响重大，新高考解析几何如何提分，值得研究.解析几何高考试题以核心素养为导向，突出了学科素养、关键能力的考查，有以下特点：1．突显解析思想，考查全面解析思想解题主要包含两个方面．其一，在坐标系下，每个几何对象均可被数（坐标、方程等）所完全表达，并通过代数（或向量）方法来解决；其二，特定的代数语言有了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发，进而解决问题或提出新的结论．解析几何问题考查模式可以用下图的框架体现：2．突出直观想象，强调算理解析法是通过坐标系实现“点与坐标互化”、“曲线与方程互化”、“几何关系代数化”，从而达到用代数方法解决几何问题，其思维模式可以用下图的框架体现：这是平面解析几何复习教学可以遵循的思维模式，通过它，帮助厘清知识，构建方法体系，回到基础，落实对知识与方法的深刻理解，让解析法升华为一种认识论与方法论.3．突破题型套路，鼓励创新新高考试卷持续推进题型和结构的创新，在解析几何试题的设计上，最大的变化就是突破题型套路，有多选题、多空题和条件开放或结论开放试题，在难度层次上也有所变化，从情境选择、设问方式到解题方法，鼓励创新求解的意识，培养学生探究能力．下面就具体的平面解析几何复习教学的相关问题探讨如下.一、存在的问题及原因分析（一）作图意识薄弱，以形助思待提高规范作图是认识问题、研究问题的基础，将图形特征转化、合理代数化的过程是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例1】过点(0,2)-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=( )A. 1B.4C.4D. 4【解析】圆22410x y x +--=化简，得22(2)5x y -+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A -，设切点为M ，.N AB =BM =，故AM sinsin MAB 24BM ABα=∠==，coscos M B 2A AM ABα=∠==，sin 2sincos22ααα==B. 【评析】本题考查直线与圆的位置关系、二倍角公式，属于基础题．利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2α，cos2α，再利用二倍角正弦公式即可求解．本题中切线的运用很多学生能想到，但学生不易想到角度关系MAB 2α=∠，究其原因在于作图意识薄弱，对题中的几何关系挖掘不够，缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致分析，难以借助图形分析思考问题.【例2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y轴上，11F A F B ⊥，222=3F A F B -，则C 的离心率为__________.【解析】依题意222=3F A F B -，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴=由对称性知21|||| 3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，12||||2F A F A a -=，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +-==⋅⋅，解得：29()5c a =，故C 的离心率为5【评析】本题考查双曲线的定义及性质、余弦定理、向量共线的充要条件等，属于中档题. 根据向量的关系设参数t ，得到||AB ，2||F B ，1||F B 的关系，勾股定理得到1||4F A t =.由双曲线的定义得到t a =，在1Rt F AB △和12F AF △中通过对cos A 算两次得到a 与c 的关系.学生若作图潦草，难以发现关键的几何特征信息，导致对图中几何关系的提取错误或者不完整，思路受阻．本题中222=3F A F B -，不仅有数量特征，还具有位置关系．【建议】课堂教学中教师能使用尺规规范作图，起到示范指导，并要求学生当堂作图练习．布置不给图形的解几练习，要求学生通过审题自己作图.教师对图形中几何特征与数量关系进行细致分析，结合图形从整体角度理解题意、寻找解题思路．（二）概念思维淡漠，核心观点需增强定义是数学问题研究的起点．曲线方程的概念蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE △的周长是__________.【解析】由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b ==则椭圆C ：2222143x y c c +=，)A ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，易得ED l ：()3y x c =+，由2211||||||2AF AF F F c ===，故过1F 且垂直于2AF 的直线DE 垂直平分2AF ，即2||||EA EF =，2||||DA DF =，又2222143)x y c c y x c =⎧+=⎪⎨+⎪⎪⎪⎩，得22138320x cx c +-=，故28133213D E D Ec x x x c x =⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=-=⇒+-=⇒=，所以ADE △的周长2211||||||||||||||4813DA EA DE DF EF DF EF a c ++=+++===.【评析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.部分学生不能从离心率、椭圆定义角度去分析几何特征解决问题，而是先求点M 坐标，再求点D 、E 的坐标，利用两点间的距离公式，绕了一大圈才得出周长，没能活用定义轻松得到解题的突破口．究其原因在于没有养成优先站在“定义”的角度探究问题和解决问题意识，未能从圆锥曲线的定义审视几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．【建议】复习教学中凡涉及圆锥曲线的最值问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析． （三）欠缺条件思辨，代数方法要选择解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例4】写出与圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程__________. 【解法一】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=化简得221c b =+①，4.=化简得，|34||4|b c c ++=，故344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可) 【解法二】设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =， 圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =， 则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意； 又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程；又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250x y --=； 所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可)【评析】本题是一道开放题，代数法设切线方程通过解方程组能解决问题，也可以利用几何特征快速写出公切线10x +=，发现题中两圆的位置关系是快速破题的关键．本题若改为写出所有公切线方程学生失分率将更高，两种方法计算量也相差无几，代数法中方程组的求解是学生的失分点，其中直线方程的设法涉及简便、减少运算量，几何法通过先求直线OC 与直线10x +=的交点，再求过该点且与圆221x y +=相切的直线即可得到公切线724250x y --=也是利用几何特征简便、减少运算量.【例5】已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.【解析】取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y 可得1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-，即1.2OE AB k k =-⋅ 设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则(0,)M m ，(,0)mN k-， 所以(,)22m m E k -，所以212m k k m k⨯=-=--，k =又||MN =22212m m +=，故2m =，所以直线:22AB y x =-+，即0.x -= 【评析】本题考查椭圆的中点弦问题，属于偏难题.条件 ||||MA NB = 的转化应用是解本题快速与否的关键，取AB 的中点为E ，将中点E 纵横坐标比转化为中点与原点连线的斜率，利用点差法及点坐标就能快速找到一个,k m 的关系式.学生若能依题构图，结合图形联想第三定义推论，就能将条件 ||||MA NB = 转化为简洁的代数形式，从而达到解决问题的目的.【建议】复习教学中重视引导学生依题构图，结合圆锥曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．（四）缺乏算法算理，运算求解须考究解析几何问题常常都有计算量大的特点，如何进行有效运算、简便运算，寻找化简方向是我们必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程，回归定义，以简驭繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化计算；利用根与系数关系化繁为简；选用方程适当形式，减少运算量等，这些方法一定要结合具体问题进行训练.【例6】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为 ．【解法一】解直角三角形法：如图，依题意得,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭且OPF PQF ∠=∠，所以tan tan OPF PQF ∠=∠，所以2,6pOF PF p PF FQ p =∴=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.【解法二】射影定理应用法依题意得,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,PF OF FQ =⋅262p p ∴=⨯，解得3p =或0p =（舍去），所以C 的准线方程为32x =-.【解法三】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，所以直线OP 的斜率22OP pk p ==，因为PQ OP ⊥，所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为1()22p y p x -=--，即524px y =-+.令0y =时，52p x =，因为||6FQ =，所以5622p p -=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-． 【解法四】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，(6,0)2pQ +，所以(6,)PQ p =-， 因为PQ OP ⊥，所以0PQ OP ⋅=，所以602pPQ p p =⨯-⨯=，所以()30p p -=，因为0p >，所以3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【评析】破解本题的关键是对PQ OP ⊥进行转化，可以从解直角三角形的角度，也可以从斜率角度，还可以从向量的角度，甚至可以利用射影定理的角度去进行转化，显见不同的思路其解题的长度不一样.因此，需强化的解题训练形成套路化、模式化，就能根据问题特点灵活处理.【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F，2F ，12||||2MF MF -=，点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】（1）因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >．由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+=⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=． 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【评析】TA TB ⋅与TP TQ ⋅从弦长公式到韦达定理代入化简是破解本题的关键，从设直线方程到联立消元再到弦长公式的应用，有明晰的解题方向，形成套路化、模式化的解题训练有助于学生根据问题特点灵活处理.【建议】课堂教学时不能只是谈思路方法，应合理利用几何特征设参，分析算式结构，合理消参、降次，通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换的结果中的参数即可．（五）只求题型模仿，解析思想欠领悟高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是“数形结合”的思想方法.由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，充满着探究性、创新性，对能力有较高的要求.解题中必然要用到思想方法引领，如函数与方程、特殊与一般、分类与整合的思想，以及待定系数法、换元法等等.【例8】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，点．若，则________．【解析】设弦AB 的中点为P ,综合题目的几何特征，直观猜测，PM 平行于x 轴，故由点差法可得124=2k y y =+，快速地给出答案为2． 【评析】本题是典型的直线与抛物线的位置关系问题，常规的解法是设方程、联立方程、用韦达定理求解套路，这势必费力费时且会算错．由于问题的特殊性，焦点弦张角为直角，借助数形结合，动中求不变解析思考，斜率为k 的平行弦的不变性，以及焦点弦张角的不变性，就能抓住问题的本质，既解决了问题，又提升了对抛物线的认识．【例9】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=.()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =的的（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+， 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭． 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【评析】解决本题的关键是借助数形结合，由椭圆的对称性可知定点应在x 轴上，明晰计算化简的方向．【建议】教学中要让学生意识到变化是理解解析几何问题的切入点，不变是解决解析几何问题的落脚点，对于它的探究过程主要集中在数学观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等思维过程．解决解几具体问题时常常需要用到“数形结合”的思想方法.在解决问题的过程中，针对具体问题具体分析，跳出套路，数形结合找到解题方向.二、解决问题的思考与对策（一）回归基础，揭示本质，返璞归真解析几何思想的数学结构是由核心概念、基本方法、数学原理3个层次构成.核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理(或化归原则)，其中几何问题代数化的途径是坐标法，是笛卡尔“方法论”的观念表现．【例10】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．【解析】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系， 设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【评析】本题以简单的多空形式呈现，以正方形、直线与直线的位置关系为载体，考查坐标法的基本 应用.考点虽然稍冷，却有着浓浓的解析味.解决问题的关键在于，合理建立坐标系，恰当地表征几何对象，如倾斜角的引进，以及与斜率的互化，体现了基础性、综合性和应用性.【例11】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【解析】ACD【评析】曲线方程的特征及区别是求解的关键，是解析几何的基本工具，一定要熟知．【例12】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213xy +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>， 当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx t kt =+<即0kx y t -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221t k =+，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x ktx t +++-=， 所以2121222633,1313kt t x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN ==213k=+= 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =【评析】问题归结——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义；策略突破——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义，构建方程，转化为求2,2a c 的值或齐次方程，从而求椭圆的方程．【建议】教学中要回归基础，即是回到知识的联系、回到思想方法、回到定义和基本性质中去．对于圆锥曲线而言，即是回到定义、方程、性质去，也是解决问题的认知基础．归纳：1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴，还是y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a 2、b 2、p 的值（基本量法），最后代入椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．3．求椭圆或双曲线的离心率时，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a 、c 的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．4.证明充要条件的问题，不要只证明充分性，或只证明必要性，需注意：既要证明其充分性，又要证明其必要性.（二）弄清几何问题，选择代数方法，合理转化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．【例13】设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）本题目标要研究的几何对象为角，这需要在图形中挖掘这两个角的几何特征或这个角的等价几何关系．特例情况当l 与x 轴重合时．①0OMA OMB ∠=∠=︒；②当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，将OMA OMB ∠=∠代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从 数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设1221(,),(,)A y x y x B ．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为0MA MB k k +=； 思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证11AF y AM BFy BM==；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证． 思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化． 思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A 关于x 轴的对称点在直线BM 上． 这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A ，B 坐标，后再计算； 结构化（关系化）：即设直线方程，找出A ，B 坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”， 再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设l 的方程为(1)y k x =-或设x my t =+，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的． 【建议】课堂中怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．【例14】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则PQ 的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——首先要明确目标PQ 垂径定理，在等腰PCQ △与Rt PCB △中，PC 形，问题溯源，选定较为直观的几何变量AC ，构建PQ 式：2PQ PB PCA ==∠==围，计算求解，又3AC ≥，所以21109AC <≤，因此PQ 的取值范围为． 【建议】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例15】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ等于A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=．又11222,y x ⎪⎨=⎪⎩所以12120x x y y ⋅+⋅=，即OA OB ⊥．设直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-．由21,y x y k x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k ．由221(2)4,x y y k x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得1221144(,)11k D k k ++，同理2222244(,)11k E k k ++． 所以OA =OB =OD =，OE ． x所以221122*********(1)(1)2(1)(1)12116161642OAB ODEk k OA OBS k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥．【建议】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例16】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =. （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=.由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=. 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB===点P到直线AB的距离为d=，所以，()3220011422PABS AB d x y=⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y-=-+-=---=-++，由已知可得53y-≤≤-，所以，当5y=-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=．【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例17】过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为1A，1B两点，以线段1A1B为直径的圆C过点(2,3)-，则圆C的方程为A．22(1)(2)2x y++-=B．22(1)(1)5x y++-=C．22(1)(1)17x y+++=D．22(1)(2)26x y+++=分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标()()1122,,,A x yB x y；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：1x ty=+；；求解过程分析：联立方程组21,4,x tyy x=+⎧⎨=⎩消元得到2440y ty--=；由韦达定理得12124,4y y t y y+==-，则()1,2C t-，直径()()2221112161A B y y t=-=+；求半径()2212-3MC t=+，由22114A B MC=得方程()()()22161412-3t t+=+，则1=2t.回归圆：圆心(1,1)C-，半径的平方25MC=，答案选B．。
中考数学总复习几何部分教案教案
中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握初中数学几何部分的基本概念、性质、定理和公式，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生能够熟练运用几何知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神，提高学生对数学美的鉴赏能力。
二、教学内容1. 第一章：平面几何基本概念1.1 点、线、面的位置关系1.2 平行线、相交线1.3 三角形、四边形、五边形等基本图形的性质2. 第二章：三角形2.1 三角形的性质2.2 三角形的判定2.3 三角形的证明方法3. 第三章：四边形3.1 四边形的性质3.2 特殊四边形的性质及判定3.3 四边形的不等式4. 第四章：圆4.1 圆的定义及性质4.2 圆的方程4.3 圆与直线、圆与圆的位置关系5. 第五章：几何变换5.1 平移、旋转的性质5.2 相似三角形的性质及判定5.3 位似与坐标变换三、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与、积极思考。
2. 利用多媒体教学手段，直观展示几何图形的性质和变换过程，提高学生的空间想象能力。
3. 注重个体差异，针对不同学生进行分层教学，使每位学生都能在复习过程中得到提高。
四、教学评价1. 定期进行课堂检测，了解学生掌握几何知识的情况。
2. 组织中考模拟试题训练，检验学生的应用能力和解题水平。
3. 关注学生在复习过程中的学习态度、方法及合作精神，进行全面评价。
五、教学计划1. 课时安排：每个章节安排4课时，共20课时。
2. 教学进度：按照章节顺序进行复习，每个章节安排一周时间。
3. 复习方法：先梳理每个章节的基本概念、性质、定理和公式，进行典型例题分析，进行课堂练习和总结。
4. 课外作业：每章节安排2-3道课后习题，巩固所学知识。
5. 课后辅导：针对学生疑难问题进行解答，提供个性化的学习指导。
立体几何高考备考课件-2025届高三数学一轮复习
加强文字语言、符号语言和图形语言的转化训练，认识基本图形，对图形进 行分解组合，提高图形的解读能力.
二、研究高考题
1、研究历年真题找共性；高考真题中反复出现的知识点是高考的高频考点，观察高频考点是怎样 反复出现在高考试题中，命题专家是如何对重点知识进行考查。从最近五年的高考真题中发现试题 的共同特征。 2、研究近年真题找趋势；年年岁岁花相似，岁岁年年题不同。每一年都有一些比较创新性的题目 出现，为了落实课程标准的育人目标，在高考试题中一定出现创新性的试题，而且还有利于高校对 考生的选拔要求，这些变换趋势是高考试题的走向，可以从高考试题中"嗅"到一些新发现。 3、研究相同考点找规律；重点内容重点考查，相同知识点出现不同的考查形式，这有利于进行变 式练习和探寻一题多解的数学解题功能，而且还是比较好的素材，比一般市面上的模拟试题性价比 还高。每一年试题的规律都是在变化之中探寻不变性，可以从试题中找到一些规律，有利于教学设 计的"高标准"定位。
三、回扣课本
回扣课本，回归学科本质，对新高考而言及其重要，但真要回扣课本，极难。
如果仅仅在课前罗列一下基础知识，那么绝对称不上什么回扣课本。
回扣课本的要义是首先让整个高中数学知识系统化，然后挖掘其中的数学基本思想与方法， 使之成为一条线。它的目的之一是在遇到题目需要利用这些知识解决问题时能够快速发生联 系，从而找到解题方法，即提供解题思考的线索。因为高考中，中等及中等以上难度的题目 必定出在知识的交汇处，如果学生不能搞清楚哪些知识有交汇，怎么交汇，那么注定不能很 快且准确地找到相关知识点及其思想方法，即找到解题思路。
立体几何专题备考策略与复习建议探讨
Ｔｏ ｒ ａ ｌ Ｎｏ ． ３ ２ ６
立体几何专题备考策略与复 习建议探讨
高立 东， 孙立文
（ 吉林省 实验 中学 ， 吉林 长春 １ ３ ０ ０ ２ ２ ）
摘要： 立体几何试题在新课标考卷 中所 占比重很大 。 本 文通过对近几年新课标 高考试题 的回顾 ， 寻找 出其 中的规 律 ， 指出
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对于三视图问题 ， 注重培养识图能力Байду номын сангаас， 一定要记 住： “ 长对正 ， 高平齐 ， 宽相等” 这个 口诀 ， 同时应熟
悉一些常见几何体的三视图。解决由三视图想象几
收稿 日期 ： ２ Ｏ １ ２ —１ ｌ 一１ ４ 作者简介 ： 高立东（ １ ９ ７ １ 一） ， 男， 吉林长春人 ， 吉林省实验中学 ， 高级教师 ， 硕士 ， 研究方 向： 高 中数学教学。 孙立文（ １ ９ ６ ３ 一） ， 男， 吉林长春人 ， 吉林省实验中学 ， 高级教师 ， 研究方 向： 高中数学教学。 １ ０ ２
目 前， 吉林、 黑龙江两省使用全 国新课程试卷 ，
何体 ， 进而进行有关计算的题 目， 关键是准确把握三 视 图与几何体之 间的关系。这里容易犯错 误 的地
方， 常常是把三视图和三面图混淆， 如正视图和正面 图弄 混 。 另外 ， 在处理有关问题时， 在长方体或正方体中 找到符合条件的图形也是较为常见的处理方法。 （ 二） 与球有关的组合体问题 例： ２ ０ １ ２年新课标考卷 １ ２ 题 已知三棱锥 ５ 一 Ａ Ｂ Ｃ的所有顶点都在球 Ｄ的球 面上， ＡＡ Ｂ Ｃ是边 长为 １的正 三 角形 ， Ｓ Ｃ为 球 ０的 直径 ， 且Ｓ Ｃ＝ ２ ； 则此棱锥的体积为（）
【教学论文】小学数学“图形与几何”复习策略与教学建议
小学数学“图形与几何”复习策略与教学建议_数学论文一、根据“图形与几何”教学要求，找到有效实施学习策略的依据新课标《图形与几何》的教学目标和内容安排。
“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。
小学“图形与几何”的课程内容，是从平面图形、立体图形中图形的认识、图形的测量、图形的运动和图形的位置四方面展开的。
在图形的认识内容中主要让学生掌握对平面图形和立体图形的认识，在图形的测量内容中主要让学生掌握度量“单位”和度量“量”的认识及测量的具体方法。
在图形的运动内容中主要让学生掌握图形的平移、旋转和轴对称。
在图形与位置内容中主要让学生掌握物体相对位置和绝对位置的描述和如何定量刻画物体的位置。
呈现内容的处理方式是以“观察、实际动手操作、测量、计算、变换和简单推理”为具体处理方式。
根据学生掌握知识的程度，制订复习策略和方法。
（1）联系学生的生活经验和活动经验，呈现现实情景和创设情境，激发想象。
小学数学“图形与几何”内容是建立在小学生的经验和活动基础之上的，小学生对几何图形的认识是通过操作、实验而获得的，即使简单的几何推理也以操作为基础。
小学生的几何思维具有具体性和抽象性相结合的特点，所以，经验是学生关于“图形与几何”学习的起点，操作是学生构建空间表象的主要形式。
教学一定要关注学生的生活经验。
在“图形与几何”的教学中，教师要注重学生已有的生活经验，将视野从课堂拓展到生活中去，从现实世界中发现有关图形与几何的问题（2）强化基础训练、熟悉公式、牢记知识点，基础过关。
要想提高小学生几何基础的学习质量和解决几何习题的能力，就要从强化学生的几何基础概念以及培养其灵活严谨的解题思想等方面入手。
要对分散的知识进行有机的整合，使学生形成合理的知识结构。
掌握基础知识、基本技能、基本思想方法。
紧扣课本，课本中的重要概念、公式、定理、性质等不仅要熟记，更要会灵活运用。
2019届中考数学(通用版)复习专题学案：几何综合题
几何综合题【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.类型一以三角形为背景的综合题典例1(2019·江苏泰州)如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,EF∥AC.(1)求证:BE=AF;(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积.【技法梳理】(1)由DE∥AB,EF∥AC,可证得四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,又由BD是△ABC的角平分线,易得△BDE是等腰三角形,即可证得结论;(2)首先过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,易求得DG与DE的长,继而求得答案.【解析】(1)∵DE∥AB,EF∥AC,∴四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE.∴AF=DE.∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBE.∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.∴BE=AF.(2)过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,∵∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠EBD=30°.∴DE=BE=2.∴四边形ADEF的面积为DE·DG=6.举一反三1. (2019·湖北武汉)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm 的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值;(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.(1)(2)(第1题)【小结】此类题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.类型二以四边形为背景的综合题典例2(2019·安徽)如图(1),正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于点N.(1)①∠MPN=;②求证:PM+PN=3a;(2)如图(2),点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;(3)如图(3),点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?并说明理由.(1)(2)(3)【全解】(1)①∵四边形ABCDEF是正六边形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°.∵PM∥AB,PN∥CD,∴∠BPM=60°,∠NPC=60°.∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC=180°-60°-60°=60°.故答案为60°.②如图(1),作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,(1)(2)如图(2),连接OE.(2)∵四边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC, ∴AM=BP=EN.又∠MAO=∠NOE=60°,OA=OE,在△ONE和△OMA中,∴△OMA≌△ONE(SAS).(3)如图(3),连接OE.(3)由(2)得,△OMA≌△ONE,∴∠MOA=∠EON.∵EF∥AO,AF∥OE,∴四边形AOEF是平行四边形.∴∠AFE=∠AOE=120°.∴∠MON=120°.∴∠GON=60°.∵∠GON=60°-∠EON,∠DON=60°-∠EON,∴∠GOE=∠DON.∵OD=OE,∠ODN=∠OEG,在△GOE和∠DON中,∴△GOE≌△NOD(ASA).又∠GON=60°,∴△ONG是等边三角形.∴ON=NG.∵OM=ON,∠MOG=60°,∴△MOG是等边三角形.∴MG=GO=MO.∴MO=ON=NG=MG.∴四边形MONG是菱形.【技法梳理】(1)①运用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解,②作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解;(2)连接OE,由△OMA≌△ONE证明;(3)连接OE,由△OMA≌△ONE,再证出△GOE≌△NOD,由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形.举一反三2. (2019·山东烟台)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图(1),当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由.(2)如图(2),当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)(3)如图(3),当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(4)如图(4),当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.(1)(2)(3)(4)(第2题)【小结】主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当的作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段.类型三以圆为背景的综合题典例3(2019·江苏苏州)如图,已知l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,☉O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD,AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若☉O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,☉O的移动速度为3cm,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s),(1)如图,连接OA,AC,则∠OAC的度数为°;(2)如图,两个图形移动一段时间后,☉O到达☉O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).【全解】(1)∵l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,∴∠OAD=45°.∵AB=4cm,AD=4cm,∴CD=4cm,AD=4cm.∴∠DAC=60°.∴∠OAC的度数为∠OAD+∠DAC=105°.(2)如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设☉O1与l1的切点为点E, 连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1,在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=4,∴tan∠C1A1D1=.∴∠C1A1D1=60°.∴OO1=3t=2+6.(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,如图,此时☉O移动到☉O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置,设☉O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2,∴O2F⊥l1,O2G⊥A2G2.由(2)得,∠C2A2D2=60°,∴∠GA2F=120°.∴∠O2A2F=60°.在Rt△A2O2F中,O2F=2,②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时为位置二,第二次相切时为位置三, 由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,【提醒】本题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识,利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键.【技法梳理】(1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°,∠DAC=60°,进而得出答案;(2)首先得出,∠C1A1D1=60°,再利用A1E=AA1-OO1-2=t-2,求出t的值,进而得出OO1=3t得出答案即可;(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,分别求出即可.举一反三3. (2019·浙江宁波)木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:方案一:直接锯一个半径最大的圆;方案二:圆心O1,O2分别在CD,AB上,半径分别是O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;方案四:锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.(1)写出方案一中圆的半径.(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?(3)在方案四中,设CE=x(0<x<1),圆的半径为y.①求y关于x的函数表达式;②当x取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大.方案一方案二方案三方案四方案备用图方案备用图(第3题)【小结】本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容,题目虽看似新颖不易找到思路,但仔细观察每一小问都是常规的基础考点,所以总体来说是一道质量很高的题目,值得认真练习.类型一2. (2019·浙江嘉兴)如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB 上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论:①CE=CF;②线段EF的最小值为2;③当AD=2时,EF与半圆相切;④若点F恰好落在上,则AD=2;⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是16.其中正确结论的序号是.(第2题)类型二3. (2019·广东珠海)如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;.(第3题)4. (2019·浙江温州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标.(2)当点C在线段OB上时,求证:四边形ADEC为平行四边形.(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M,N分别在一,四象限,在运动过程中▱PCOD的面积为S.①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.(第4题)类型三5. (2019·湖南怀化)如图,E是长方形ABCD的边AB上的点,EF⊥DE交BC于点F.(1)求证:△ADE∽△BEF;(2)设H是ED上一点,以EH为直径作☉O,DF与☉O相切于点G,若DH=OH=3,求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位,≈1.73,π≈3.14).(第5题)6. (2019·黑龙江大庆)如图(1),已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.(1)用x表示AD和CD;(2)用x表示S,并求S的最大值;(3)如图(2),当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E和点F分别是AB 和CD的中点,求☉O的半径R的值.(1)(2)(第6题)参考答案【真题精讲】(2)如图(1),过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,(第1题(1))∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.∴△ACQ∽△CMP.(3)如图(2),仍有PM⊥BC于点M,PQ的中点设为点D,再作PE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,(第1题(2))∵∠ACB=90°,∴DF为梯形PECQ的中位线.∵BC=8,过BC的中点R作直线平行于AC,∴RC=DF=4成立.∴D在过R的中位线上.∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上.2. (1)AE=DF,AE⊥DF.理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF.∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.由于∠CDF+∠ADF=90°.∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF;(2)是.(3)成立.理由如下:由(1)同理可证AE=DF,∠DAE=∠CDF,如图(1),延长FD交AE于点G,(第2题(1))则∠CDF+∠ADG=90°,∴∠ADG+∠DAE=90°.∴AE⊥DF;(4)如图(2):(第2题(2)) 由于点P在运动中保持∠APD=90°,∴点P的路径是一段以AD为直径的弧,设AD的中点为O,连接OC交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt△ODC中,OC===,∴CP=OC-OP=-1.3. (1)方案一中的最大半径为1.分析如下:因为长方形的长宽分别为3,2,那么直接取圆直径最大为2,则半径最大为1.(2)如图(1),方案二中连接O1,O2,过O1作O1E⊥AB于E,方案三中,过点O分别作AB,BF的垂线,交于M,N,此时M,N恰为☉O与AB,BF的切点.方案二方案三(第3题)方案二:设半径为r.在Rt△O1O2E中,∵O1O2=2r,O1E=BC=2,O2E=AB-AO1-CO2=3-2r,∴(2r)2=22+(3-2r)2,比较知,方案三半径较大.(3)①∵EC=x,∴新拼图形水平方向跨度为3-x,竖直方向跨度为2+x.类似题(1),所截出圆的直径最大为3-x或2+x较小的.∴方案四时可取的圆桌面积最大.【课后精练】1.①②③④解析:①∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=∠C.∴△ADE∽△ACD.故①结论正确.故③正确.④易证得△CDE∽△BAD,由②可知BC=16, 设BD=y,CE=x,整理,得y2-16y+64=64-10x,即(y-8)2=64-10x,∴0<y<8,0<x<6.4.故④正确.2.①③⑤解析:①连接CD,如图(1)所示.(第2题(1))∵点E与点D关于AC对称,∴CE=CD.∴∠E=∠CDE.∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°.∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°.∴∠F=∠CDF.∴CD=CF.∴CE=CD=CF.∴结论“CE=CF”正确.②当CD⊥AB时,如图(2)所示.(第2题(2))∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=8,∠CBA=30°,∴∠CAB=60°,AC=4,BC=4.∵CD⊥AB,∠CBA=30°,根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:点D在线段AB上运动时,CD的最小值为2.∵CE=CD=CF,∴EF=2CD.∴线段EF的最小值为4.∴结论“线段EF的最小值为2”错误.③当AD=2时,连接OC,如图(3)所示.(第2题(3))∵OA=OC,∠CAB=60°,∴△OAC是等边三角形.∴CA=CO,∠ACO=60°.∵AO=4,AD=2,∴DO=2.∴AD=DO.∴∠ACD=∠OCD=30°.∵点E与点D关于AC对称,∴∠ECA=∠DCA.∴∠ECA=30°.∴∠ECO=90°.∴OC⊥EF.∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF,∴EF与半圆相切.∴结论“EF与半圆相切”正确.④当点F恰好落在上时,连接FB,AF,如图(4)所示.(第2题(4))∵点E与点D关于AC对称,∴ED⊥AC.∴∠AGD=90°.∴∠AGD=∠ACB.∴ED∥BC.∴△FHC∽△FDE.∴DB=4.∴AD=AB-DB=4.∴结论“AD=2”错误.⑤∵点D与点E关于AC对称,点D与点F关于BC对称,∴当点D从点A运动到点B时,点E的运动路径AM与AB关于AC对称,点F的运动路径NB与AB关于BC对称.∴EF扫过的图形就是图(5)中阴影部分.(第2题(5))∴EF扫过的面积为16.∴结论“EF扫过的面积为16”正确.3. (1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BF.∵AE=CF,∴四边形ACFE是平行四边形.∴EF∥AC.(2)连接BG,(第3题)∵EF∥AC,∴∠F=∠ACB=45°.∵∠GCF=90°,∴∠CGF=∠F=45°.∴CG=CF.∵AE=CF,∴AE=CG.在△BAE与△BCG中,∴△BAE≌△BCG(SAS).∴BE=BG.∵BE=EG,∴△BEG是等边三角形.∴∠BEF=60°.(3)∵△BAE≌△BCG,∴∠ABE=∠CBG.∵∠BAC=∠F=45°,∴△AHB∽△FGB.(2)如图(1),连接CD交OP于点G,(第4题(1))在▱PCOD中,CG=DG,OG=PG,∵AO=PO,∴AG=EG.∴四边形ADEC是平行四边形.(3)①(Ⅰ)当点C在BO上时,第一种情况:如图(2),当点M在CE边上时,(第4题(2))∵MF∥OC,∴△EMF∽△ECO.∴t=1.第二种情况:如图(3),当点N在DE边(第4题(3))∵NF∥PD,∴△EFN∽△EPD.(Ⅱ)当点C在BO的延长线上时,第一种情况:如图(4),当点M在DE边上时,(第4题(4))∵MF∥PD,∴EMF∽△EDP.第二种情况:如图(5),当点N在CE边上时,(第4题(5))∵NF∥OC,∴△EFN∽△EOC.5. (1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=90°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠AED=90°-∠BEF=∠EFB.∵∠A=∠B,∠AED=∠EFB,∴△ADE∽△BEF.(2)∵DF与☉O相切于点G, ∴OG⊥DG.∴∠DGO=90°.∵DH=OH=OG,∴∴图中阴影部分的面积约为6.2.6. (1)作AH⊥CD于点H,BG⊥CD于点G,如图(1),(第6题(1))则四边形AHGB为矩形,∴HG=AB=3x.∵四边形ABCD为等腰梯形,∴AD=BC,DH=CG.在Rt△ADH中,设DH=t,∵∠ADC=60°,∴∠DAH=30°.∴AD=2t,AH=t.∴BC=2t,CG=t.∵等腰梯形ABCD的周长为48,∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8-x.∴AD=2(8-x)=16-2x,CD=8-x+3x+8-x=16+x.(3)连接OA,OD,如图(2),(第6题(2))当x=2时,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高为(8-2)=6, 则AE=3,DF=9,∵点E和点F分别是AB和CD的中点,∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴.∴EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6.∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上.设OE=a,则OF=6-a.在Rt△AOE中,∵OE2+AE2=OA2,∴a2+32=R2.在Rt△ODF中,∵OF2+DF2=OD2,∴(6-a)2+92=R2.∴a2+32=(6-a)2+92,解得a=5.∴R2=(5)2+32=84.∴R=2.。
巧用复习策略,让学生在复习阶段学有所获——初三几何备考复习建议
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初 三几何备考复 习建议
广 州 市 真 光 中 学 林 菊
摘要 ：初 三下 学期 ，在 离中 考剩 下３ 个 月左右 的 时间里 ，各 学校基 本 上都 结束 了 新课的 学 习 ，进 入复 习 。本文 通过研 究 初 三几 何题 型的特 点 ，提 出在复 习 阶段的几 何复 习建议 ，希 望学生 在复 习阶段 能学 有所 获 ，真正的 提高复 习效 率 。 关键词 ：几何 备考 复 习策略 有效性 学 有所 获
１ ２ ２ 分 ，非常关键 ，往往考得好 的学生 ，不在于他后面 的两道 题做 的多么 好 ，往往是 他在基 础题 部分一分 未扣 。所 以，在复 习的开 始 ，师 生都 应该形 成共识 ， 切 忌眼高手 低 ，忽视最根 本 的基 础部 分知识 的夯实 。在第一轮复习中 ，学生更应该 注重 以下几点 （ １ ） 明确考点 ， 形 成知识体 系： 《 广州 市２ ０ １ ３ 年指 导书数学 》明确 了各个 知识点 的考 查 的程 度 ，教 师应 该有 意 识的 引导 学 生进行 解读 ，防止学 生 在一 些偏 题 ，怪题方 面花费大量 的时间 ，而忽 略 了最基 本的方 向。如多边 形一 节 ，中考指导 书指出 ： “ 理解 多边形 的内角和与 外角公 式； 理解 正多边 形的概 念。”这里 给出的关键词 是 “ 理解 ” ，也就是 学生 简单运 用这两个 公式 即可 ，不需 要在此程 度上再 去拔高 。而 “ 尺规作 图”方面 ，要求 “ 会 写 出简单 的尺规作 图题 的已知 ，求 作和作法 （ 不要求 证 明 ），这就要求 我们在复 习过程 中需 要补充 两个平 时教学 中容易忽 略的要求写作 法的尺规作 图题 。指 导书 是中考 复习 的大方 向，无 论是教师还 是学生 ，都是需 要花 必要的
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结一、复习前的准备1. 了解考纲：仔细阅读高考数学的考纲，明确平面解析几何部分的重点和难点，有针对性地进行复习。
2. 整理知识框架：将平面解析几何的知识点进行整理和归纳，建立知识框架，便于全面复习和查漏补缺。
3. 完善笔记：对之前学过的平面解析几何知识进行复习，逐一检查自己的笔记是否完整，如有漏洞或不理解的地方，及时补充或向同学、老师请教。
4. 制定学习计划：合理分配复习时间，将平面解析几何的复习内容分成小块，按照计划逐一进行复习。
二、基础知识的复习1. 了解基础概念：回顾平面解析几何的基本概念，如点、直线、平面等，并熟悉它们之间的关系和性质。
2. 复习坐标系：重点复习直角坐标系和极坐标系的原理和使用方法，能够熟练转换坐标系和进行坐标计算。
3. 复习向量：回顾向量的定义、运算法则和性质，同时重点理解向量的几何意义和应用。
4. 复习直线与圆的方程：回顾直线的一般方程、斜截式方程和点斜式方程的互相转换，同时复习圆的标准方程和一般方程的建立方法。
三、常见题型的练习1. 直线与圆的方程的联立：熟练掌握直线与圆的方程的联立方法，能够灵活运用，解决实际问题。
2. 直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的切点、交点等性质，能够准确判断直线与圆的位置关系。
3. 三角形的性质：回顾三角形的基本性质，如三角形的内心、外心、重心、垂心等，并理解它们之间的联系，能够应用这些性质解决三角形相关问题。
4. 镜面对称与旋转：通过练习镜面对称和旋转的题目，理解镜面对称和旋转的概念，并能够快速判断图形的镜面对称性和旋转对称性。
5. 预习未学内容：对于一些未学过的内容（如圆锥曲线、二次函数等），可以进行简单的预习，了解基本概念和性质，为高考后的复习打下基础。
四、真题的训练与模拟考试1. 做高考真题：通过做历年高考真题，了解平面解析几何在高考中的考查点和形式，熟悉解题思路和答题技巧，查漏补缺，增强信心。
基于图形视角的解析几何高考复习策略
，考频ii ~|2021年第2期中学数学教学参考（上旬7®基于图形视角的解析几何高考复习策略*王丙风（王丙风数学工作室）摘要：基于当前高三解析几何复习的现状，针对教师和学生对解析几何复习的困惑，本文提出通过分析 解析几何学科的本质特征，并结合当前高考命题改革的方向，研究如何高效地进行解析几何复习。
关键词：解析几何；图形；椭圆；核心素养；高考复习文章编号：1002-2171(2021)2-0047-041新课程背景下高考解析几何试题的重要性分析《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出：“立德树人，培养学生的数学核心素养”。
《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲》指出：高考的核心功能是“立德树人，服务选材，引导教 学”；考查的内容是“必备知识，关键能力，学科素养， 核心价值”；考查的要求是“基础性，综合性，应用性， 创新性”。
解析几何作为高中数学的重要内容，它本身既是 研究对象，也是研究、解决与图形有关问题的有力工 具。
解析几何试题作为高考的必考题型，能全面考查 学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核 心素养。
2解析几何高考复习现状分析由于解析几何在高考中的重要性，很多教师都愿意在高考复习中花大量时间来复习解析几何。
课堂 呈现一般都是以一些高考题或模拟试题为例，就题论 题，教师也很难说清楚为什么要选择这些例题，这些 例题的选择解决了学生的哪些困惑，提高了学生的哪 方面能力；学生也不清楚教师为什么要讲解这些例 题，也不知道在解答完这些例题后知识方面有哪些收 获，能力方面有哪些提升。
在解析几何复习完后，学 *生的脑海中往往只留下烦琐的计算、精妙的技巧，而 学生又不能将这些计算方法和技巧用于解题，所以他 们的解题能力、学习兴趣和数学素养并没有得到显著 提升。
甚至有教师认为，由于高考解析几何试题计算 复杂、综合性强，试题的呈现方式千变万化，没什么规 律可循，所以学生在高考考场中能否顺利解答解析几 何试题，需要看学生的考试状态和运气。
基于数学核心素养培养的解析几何复习备考策略
㊀㊀㊀基于数学核心素养培养的解析几何复习备考策略◉江苏省灌云高级中学㊀林利芹１引言最近几年,高考数学试卷中一直将解析几何题放在 压轴 位置,题目占据的分值非常大,且具备较强综合性,时常让学生感觉到解题思路受阻．究其原因可知,学生没有掌握解析几何题的实质,不了解题目考点,自然也就无法运用正确的解题技巧,最终浪费大量时间,并且出现丢分的情况．在高考复习备考阶段,教师可以从数学核心素养培养的角度,帮助学生提升解决解析几何题的能力,促使学生抓住解题关键点,通过自身的抽象思维和推理思维,解析出最终的结果．２认清解析几何题目的数学本质２０１７年我国修订了«普通高中数学课程标准»(下文简称 新课标 )．新课标中明确提到数学学习过程中需要重视其数量关系以及空间形式的相关内容,数学在现实世界中呈现出抽象性,其内容本身就具备抽象结构,不管是模型构建还是符号运算,均能够呈现出现实世界的本质内容,探寻不同事物之间的关系和规律．而高中数学课程教学,需要遵从学生的主体性,注重学生的未来发展,将立德树人作为高中数学的根本教学任务,不仅要让学生掌握数学解题方法,也要培养学生创新思维,促使学生数学核心素养显著提升．事实上,数学核心素养包含了数学运算㊁数据分析㊁逻辑推理㊁直观想象㊁数学抽象以及数学建模等能力,各项能力之间呈现出相互交融但又相互独立的状态,在组成有机整体以后,学生必然能够认清数学题目的本质,并从容应对要解决的问题．目前高中教材中数学知识板块的划分主要有１４个,各个知识板块有效组合在一起,从而形成完善的数学教学体系．解析几何知识是高中数学重要的内容,其连接了代数板块的知识,将代数与几何有效整合在一起,形成数形结合的教学内容．解析几何的相关题目不仅能够利用函数的知识解答,也能够利用方程进行标注,通过对曲线知识的理解,构建对应的方程式,在经过方程式消元之后,整理成一元二次方程,最终利用判别式以及韦达定理等知识,获得答案．此时,如果是采取函数思维,则需要建立对应目标函数,并理解各个函数之间的关联,通过对极值㊁最值等因素求解,最终达到合理求解的目的．３基于核心素养培养的解题能力训练策略３．１核心素养培养中解题能力的获取数学核心素养的培养最注重数学抽象素养的培养,因此,在复习备考训练中,也需要重视对学生抽象能力的培养．新课标中表示,数学教学过程中,抽象思维的培养主要是对学生进行数量关系的抽象锻炼和空间形式的抽象锻炼,学生需要理解各个数量所具备的联系,并且寻找图形构建的主要规律,探究数字和图形之间形成的逻辑关系,挖掘题目背后的本质规律,以数学语言表达出来,从而形成数学的基本思想．而数学抽象思维也将成为学生学习和应用数学知识解决解析几何问题的关键,能够让学生在面对解析几何题目的时候,透过题目当中对数量关系的描述构建几何图形,并且不断转换数形关系,利用数形结合思想形成明确的解题思路,最终透过数学符号语言,解答出解析几何的正确答案．除了抽象思维能力,数学核心素养的培养,也需要重视逻辑推理能力的培养,该能力是学生掌握解析几何题目数学本质的精髓．新课标中已经明确指出,逻辑推理能力是指从命题本身出发,遵从命题当中的规则,推理出其他的命题．数学逻辑推理包含两个类别:一类是从特殊规律推理出一般规律,其主要是通过归纳和类比的方式来完成推理;另一类则是从一般规律推理出特殊规律,主要是通过演绎和逻辑推理的方式来获取最终的数学结论．逻辑推理是数学的精髓,也是人们掌握数学知识和参与数学活动的基本品质．３．２核心素养培养中解题能力的训练为确保学生能够具备完善的解题思路,教师需要帮助学生训练出行之有效的解析几何解题模式．从本质上来讲,解析几何主要是采用代数方法来解决几何问题,比较常见的是由直线和圆锥曲线之间的位置关３５２０２２年８月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀备考指南复习备考Copyright 博看网 . All Rights Reserved.㊀㊀㊀系产生的系列性数学问题．在核心素养培养的导向下,教师可以引导学生进行解题模式的归纳:(１)引进参数,例如,可以直接明确直线的斜率用k表示,但需要注意对直线斜率k进行讨论之后再引入直线方程．(２)在构建直线方程以后,也可以将直线方程和题目中的曲线方程联立,消去y,从而得到关于x的方程A x２＋B x＋C＝０．接下来结合判别式明确判断根的个数,再借助韦达定理,得x１＋x２＝－B A,x１x２＝C A．(３)将题目中所涵盖的几何条件转化成x１,x２的关系式．(４)做好消元处理,最终得到关于直线斜率k的关系式,可以将k作为目标函数的变量,从而完成问题的求解．具体例题如下:(２０１７年理科数学全国卷Ⅲ第２０题)已知抛物线C:y２＝２x,过点(２,０)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段A B为直径的圆．(１)证明:坐标原点O在圆M上;(２)设圆M过点P(４,－２),求直线l与圆M的方程．(２０１９年理科数学全国卷Ⅲ第２１题)已知曲线C:y＝x２２,D为直线y＝－１２上的动点,过点D作C的两条切线,切点分别为A,B．(１)证明:直线A B过定点;(２)若以E０,５２æèçöø÷为圆心的圆与直线A B相切,且切点为线段A B的中点,求四边形A D B E的面积．除了解题模式的训练,教师也需要帮助学生培养数学运算能力．一方面,教师在课堂上可以将更多的时间留给学生,促使学生自己参与到解析几何的运算当中．部分学生虽然运算能力并不好,但却能够将运算障碍暴露出来,只有亲身感受运算的艰难,才能够更好地了解自身不足．另一方面,教师可以为学生选择难度较高或者是综合性更强的运算题来训练,促使学生不断加大运算量,逐步提升运算能力．例如,２０１９年全国高中数学联赛A卷的第１０题是一道运算量较大的解析几何题:平面直角坐标系x O y中,圆Ω与抛物线Γ:y２＝４x恰有一个个公共点,且圆Ω和x轴相切于抛物线Γ的焦点F,求圆Ω的半径．学生根据教师所引导的解题思路,主要采用曲线系方程,逐渐化解题中的难点,充分凸显出学生所具备的创新能力．解题方法如下:解:易知焦点坐标为F(１,０)．由于圆Ω与x轴相切于Γ的焦点F,不失一般性,设圆心在第一象限．设圆Ω:(x－１)２＋(y－r)２＝r２与抛物线Γ:y２－４x＝０恰有一个公共点,即两曲线相切于一点,由(x－１)２＋(y－r)２－r２＝０,y２－４x＝０,{可设曲线系(x－１)２＋(y－r)２－r２＋λ(y２－４x)＝０,则[x－(１＋２λ)]２＋(１＋λ)y－r１＋λæèçöø÷２－r２１＋λ＋１－(１＋２λ)２＝０表示过圆Ω与抛物线Γ的交点的曲线．由于两曲线恰有一个公共点,故公共点为１＋２λ,r１＋λæèçöø÷,且㊀㊀㊀－r２１＋λ＋１－(１＋２λ)２＝０①将１＋２λ,r１＋λæèçöø÷代入抛物线Γ,有r２＝(１＋λ)２(４＋８λ),联合①式,得３λ２＋４λ＋１＝０,所以λ＝－１或－１３,故r＝０(舍),或r＝４３９．于是r＝４３９．除了上述训练,教师还需要训练学生规范运用数学符号语言,在数学符号书写过程中需要注重细节．解析几何作为压轴大题,数学符号语言的表达直接关系到其是否能够利用方程或者不等式来完成逻辑推理,充分体现出学生在数学解题方面的思维严谨性．例如,建议学生不要在解解题过程中使用一些并不太常规的结论．在２０１８年高考数学全国卷中,一些学生直接使用了中点弦的有关结论,而在２０１９年的全国理科数学卷中,又有学生直接利用了抛物线y２＝２p x的中点弦相关结论．如果在选择题等方面使用不会暴露弊端,但如果运用到解析几何大题中,必然会对分数产生影响．４结束语不管是采用函数还是方程方式求解解析几何的问题,都需要探究圆锥曲线与直线的位置关系,需要学生具备更加清晰的数学逻辑思维,并提升数学运算能力,在面对抽象数学问题时具备一定解题思路．总体来说,高考之前加强对解析几何知识的理解,能够促使学生更明确高考需要考查的知识点,促使学生掌握对应的数学能力,使其能够在高考期间有效攻克数学难点．F４５复习备考备考指南㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年８月上半月Copyright博看网. All Rights Reserved.。
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1 教育价值
4 ．“空间与图形”的学习，有助于促进学生全面、 持续、和谐地发展。
《标准》指出：“义务教育阶段的数学课程， 其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地 发展”， “强调从学生已有的生活经验出发 ，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型 并进行解释和应用的过程，使学生获得数学理 解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等 方面得到进步和发展”
A
30°
B
60°
C
P 45°60°
C
B A
几何章节复习举例-----《解直角三角形》
专题4-1：与其它知识综合应用解决问题——纵向与几何知识综合应用
利用三角函数作为工具，解决与四边形、相似形、圆相关问题
C
三角形
直
四边形
线
直角
形
相似三角形
圆
圆
解直角三角形
运用直 角三角 形的有 关内容 解决有 关问题.
综合 提升
几何章节复习举例-----《解直角三角形》
.
设计复习小专题：
专题1：锐角三角函数概念及特殊角三角函数值
*在Rt△ABC中，∠C=90°，BC＝3，AB=4， 则cosB的值是
.
A
*在正方形网格中， 的位置如图所示，则tanB的值为__________．
B
C
*(2015T17)计算： (1)2 ( 7)0 3 2 4sin 60
B
C
掌握基本事实：两条直 线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例；
会利用图形的相似解决 一些简单的实际问题.
相似 了解相似三角形的性质定理与判定定理.
三角形
能利用相似三角形的性 质定理与判定定理解决 有关简单问题.
几何知识点复习举例—相似三角形的判定与性质
*聚焦常见的基本图形
平 行 型
斜 截 型
及时反馈
具体复习建议
1 某知识点复习建议 2 某章节复习建议 3 某知识块复习建议 4 解题方法策略建议
复习策略
几何知识点复习举例—相似三角形的判定与性质
考试要求——《考试说明（2016年）》P78,P73
A
图形的 相似
了解比例的基本性质，线段的比、成比例 线段； 了解黄金分割； 认识图形的相似； 了解相似多边形和相似比； 了解图形的位似，知道利用位似可以将一 个图形放大或缩小.
向前走了46米到达B点后，在B点测得顶端D的仰角∠DBC = 45°．
求永定楼的高度CD．（结果保留根号）
A
B
C
（2016密云期末） 如图，天空中有一个静止的热气球A，从地面 点B测得A的仰角为30°，从地面点C测得A的 仰角为60°．已知BC=50m，点A和直线BC在 同一垂直平面上，求热气球离地面的高度．
°
200米
D
O
B
h i= l
h i=tanα
α l
解直角三角形问题
①画平面图形
②选适当的三角函数
③解决数学问题
④解决实际问题
北
A
30
°
西
45° O
东
B
（2016门头沟期末）
D
“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量
它高度的社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D的仰角∠DAC = 30°，
知道30°,45°,60°角的三角 函数值；
理解解直角三角形的概念.
能利用锐角三角函数的有 关知识解直角三角形；
能利用锐角三角函数的有 关知识解决一些简单的实 际问题.
运用直 角三角 形的有 关内容 解决有 关问题.
几何章节复习举例-----《解直角三角形》
思维导图
唤醒 梳理
建立 体系
查漏 补缺
1 教育价值
4 ．“空间与图形”的学习，有助于促进学生全面、 持续、和谐地发展。
“空间与图形”不仅包括推理论证和相关的计 算等内容，而且包括直观感知、操作确认及由 此发展起来的几何直觉、学习情感等。“空间 与图形”的教学，不仅能有效地发展学生的推 理能力，而且能引导学生感受数学的思想方法 ，体验数学学习的乐趣，逐步积累数学活动经 验，体验数学推理的力量和证明的意义，发展 空间观念和自主创新的意识。
2 要点分析——几何目标
2 要点分析——核心概念
空间 观念
几何 直观
推理 能力
抽象
◆物体←→图形
想象
◆方位、位置； ◆运动、变化；
◆语言→画图形
描述和分析
◆图形 → 问题 ◆复杂问题
借助↓几何直观 简明形象 探索思路预测结果 ◆直观地理解数学
◆基本思维方式 ◆合情推理
演绎推理 ◆作用
●归纳 ●类比
●探索思路
发现结论
●证明结论
2 要点分析——几何素养
知识
技能
几何素养
高层次思维: ◆推理论证
演绎 严谨 ◆空间想象 联想 推演
能力
◆直观 ◆表达 ◆画图 ◆度量
应用
◆不仅是使用概 念、执行程序 ◆更是一种应用 几何的意识
两句话： 君…… 我……
3 复习建议
总体复习建议
复习中我们要做：
查漏
综合 提升
中考总复习 -----图形与几何
空间与图形
1 教育价值 2 要点分析 3 复习建议
1 教育价值
几何是研究 图形性质 的一门科学。
几何的生命 “空间与图形”主要研究现实世界中的物体和几何图 形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好 地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。
1 教育价值
1 ．“空间与图形”的学习，有助于学生更好地 认识和理解人类的生存空间。
直线形复习
◆了解自
己的优势 与软肋 ◆树立信
心查漏补 缺定计划
1
2
3
4
复习整理 沟通知识 解题方法 练习设计
2 要点分析
图形的性质 1.在现实情境中抽象出图形，经历建立模型的过程； 2.经历探索图形的性质的过程，掌握一些基本图形的
基本性质； 3.增加视图与投影有关空间的内容，更好的发展空间
观念； 4.运用所学的图形的性质解决实际问题。
2 要点分析
图形的性质 1. 在探索图形性质、与他人合作交流的活动过程
2 ．“空间与图形”的学习，有助于发展学生的 直觉思维，形成创新意识
几何图形的直观形象为学生进行自主探索、创 新的活动提供了更有利的条件。 ◆创新源于问题，问题往往发端于直觉； ◆解决“空间与图形”问题，常常要运用观察 、操作、猜想、作图与设计等各种手段，在借 助图形直观进行合情推理的过程中，学生能增 强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发出 潜在的创造力，逐步形成创新意识。
在具有重复性的题目中发现规律，形成一类问题的解题策略. 会审题，审清题，要透过题目和命题者对话，尝试发现更核
心的知识背景.
总体复习建议
3.复习时要注意处理好几个关系 师与生的关系——学生为主，教师为辅 讲和练的关系——讲练结合，精讲精练 教材和教辅的关系——立足教材，善用教辅 课堂内外的关系——重视课堂，减负增效，共同落实，
中，发展合情推理，学习有条理的思考与表达； 2.体会证明的必要性； 3.掌握证明的基本格式，养成说理有据的态度； 4.体会证明素材的丰富多彩。
2 要点分析
图形与变化 1.在丰富的现实情境中，探索变换现象的共同特征
，认识变换的基本性质； 2.探索图形之间的变换关系，及基本图形的变换性
质； 3.灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案的
2
*(2014T14)计算：(6 π) ( 1)1 3tan 30 | 3 |
5
几何章节复习举例-----《解直角三角形》
专题2：解直角三角形
.
锐角关系：∠A+∠B=90°（互余）
边长关系： a 2 b2 c 2（勾股定理）
知
二
边角关系：sin A a cos A b tan A a（三角函数） 求
用几何方法认识世界、描述事物 : 图形直观、几何模型及几何图形的性质，
是准确描述现实世界空间关系，解决学习、生 活和工作中各种问题的必备工具。
【案例】：生活中的图形 【案例】：生活中的对称美 【案例】：生活中的几何变换
1 教育价值
当代伟大的数学家 M ．阿蒂亚 ：几何是数学中这样的一个部分 ，其中视觉思维占主导地位……
设计； 4.欣赏并体验变换在现实生活中的应用，体会其丰
富的文化内涵。
2 要点分析
图形与坐标 1. 探索刻画物体或图形位置的方法，灵活运用
不同的方式确定物体的位置； 2.能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置； 3.在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐
标的变化。
2 要点分析
关键点 ◆从感性到理性，从静到动提高对图形的认识 能力。 ◆强调几何直观，运用图形描述问题，利用直 观进行思考 ◆强调演绎推理与合情推理并举
教师要对每个学生的具体情况心中有数，要落实到具体题 型、具体学生。
总体复习建议
2.注重能力培养，提高分析问题解决问题的水平
重视数学思想的渗透，重视学生学习的过程的体验， 注重阅读理解能力和识图画图能力的培养.
挖掘经典问题，注重合理变式，适当延伸拓展 要注重变式训练—变条件、变结论(变图形、变式子,变呈现 方式)
全等
变 换
相似
等角
构造直角三角形， 突出锐角三角函数的工具作用.
多边形（圆）的问题→三角形问题→解直角三角形问题
几何章节复习举例-----《解直角三角形》
专题4-2：与其它知识综合应用解决问题——横向与代数知识综合应用 利用三角函数、方程作为工具，解决与函数相关问题
复习策略