2016-2017年广东省汕头市金山中学高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、（本大题共12小题，每小题5分，四选一项．）1．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+82．（5分）用斜二侧法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示等腰直角△A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′=1，则△ABC的BC边上的高为（）A．1 B．2 C．D．23．（5分）设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β4．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．（5分）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE：EB=CF：FB=1：2，则AC和平面DEF的位置关系是（）A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定6．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=AC=2，PA=，E，F分别是PB，BC的中点，则EF与平面PAB所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．内含9．（5分）直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：（a+1）x﹣ay=0，若l1∥l2，则实数a的值为（）A．﹣ B．0 C．﹣或0 D．210．（5分）直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则实数k 的值等于（）A．B．1 C．或﹣D．1或﹣111．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2= 12．（5分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）点（﹣1，2）到直线y=x的距离是．14．（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为．15．（5分）两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y ﹣2=0上，则m+n的值是．16．（5分）在△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A，B之间的距离为2，则三棱锥M﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题（共6大题，共计70分）17．（10分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；的最大值．（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，设a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为B n，比较++…+与1的大小．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AD=，DC=2AB=2，E为BC中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20．（12分）在平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，矩形ADEF 中DE=1，且面ADEF⊥面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ECD；（Ⅱ）求D点到面CEB的距离．21．（12分）定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1 （a≠0）．（Ⅰ）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．22．（12分）已知圆M：x2+y2﹣2y=24，直线l：x+y=11，l上一点A的横坐标为a，过点A作圆M的两条切线l1，l2，切点分别为B，C．（1）当a=0时，求直线l1，l2的方程；（2）当直线l1，l2互相垂直时，求a的值；（3）是否存在点A，使得•=﹣2？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、（本大题共12小题，每小题5分，四选一项．）1．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+8【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，斜边长为=2，∴几何体的表面积S=2××2×2+（2+2+2）×4=4+16+8=20+8．故选：D．2．（5分）用斜二侧法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示等腰直角△A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′=1，则△ABC的BC边上的高为（）A．1 B．2 C．D．2【解答】解：∵直观图是等腰直角△A′B′C′，∠B′A′C′=90°，A′O′=1，∴A′C′=；根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC=2A′C′=2．故选：D．3．（5分）设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β【解答】解：对于A，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故A不正确；对于B，垂直于同一平面的两条平面平行或相交，故B不正确对于C，∵α⊥β，∴设α∩β=a，在平面β内作直线b⊥a，则b⊥α，∵m⊥α，∴m∥b，若m⊄β，则m∥β，若m⊂β，也成立，∴m∥β或m⊂β．故C不正确；对于D，若m⊥α，m∥β，则存在l⊂β，使l∥m，∴l⊥α，则α⊥β，故D正确，故选：D．4．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．5．（5分）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE：EB=CF：FB=1：2，则AC和平面DEF的位置关系是（）A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定【解答】解：∵AE：EB=CF：FB=1：2，∴EF∥AC，∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF，故选：A．6．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选：B．7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=AC=2，PA=，E，F分别是PB，BC的中点，则EF与平面PAB所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，），E（，，），F（，，0），=（0，1，﹣），=（0，0，），=（），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设EF与平面PAB所成的角为θ，则sinθ===，∴θ=45°．∴EF与平面PAB所成的角等于45°．故选：B．8．（5分）圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．内含【解答】解：把圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0分别化为标准方程得：x2+y2=4，（x﹣2）2+y2=9，故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d=2，R+r=5，|R﹣r|=1，∴|R﹣r|＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：B．9．（5分）直线l 1：x+2ay﹣1=0，l2：（a+1）x﹣ay=0，若l1∥l2，则实数a的值为（）A．﹣ B．0 C．﹣或0 D．2【解答】解：由题意，∵直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：（a+1）x﹣ay=0，l1∥l2，∴﹣a=2a（a+1），∴a=﹣或0，故选：C．10．（5分）直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则实数k 的值等于（）A．B．1 C．或﹣D．1或﹣1【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心（0，0），半径r=1，∵圆心到直线y=kx+1的距离d=，|AB|=，∴|AB|=2r，即|AB|2=4（r2﹣d2），∴3=4（1﹣），解得：k=．故选：C．11．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故选：C．12．（5分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直【解答】解：连接AM、CM，在△ABD与△CDB中，∴△ABD≌△CDB又∵AM、CM分别为两全等三角形对应边BD上的中线，∴AM=CM∵△ACM是等腰三角形，又∵MN为△ACM底边AC上的中线，∴MN⊥AC．同理，MN⊥BD故MN与AC、BD都垂直故选：B．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）点（﹣1，2）到直线y=x的距离是．【解答】解：点（﹣1，2）到直线y=x的距离是的距离d==．故答案为：．14．（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为4．【解答】解：：（x﹣5）2+y2=16的圆心（5，0），半径为4，则圆心到直线的距离为：=4，点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值：=4．故答案为：415．（5分）两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y ﹣2=0上，则m+n的值是4．【解答】解：两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x ﹣y﹣2=0上，可得K AB=﹣1，即﹣1=，…①AB的中点（，）在直线上，可得﹣﹣2=0…②，由①②可得m=5，n=﹣1，∴m+n=4．故答案为：4．16．（5分）在△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A，B之间的距离为2，则三棱锥M﹣ABC的外接球的表面积为16π．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，∴AB=4，又∵M为AB的中点，∴MA=MB=MC=2，∴三棱锥M﹣ABC外接球的半径R=2，则外接球的表面积为4πR2=16π，故答案为：16π．三、解答题（共6大题，共计70分）17．（10分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；的最大值．（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B，∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B=，则B=；…（6分）（Ⅱ）当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2+ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC则S的最大值为．…（12分）△ABC18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，设a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为B n，比较++…+与1的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵a n是S n与2的等差中项，∴2a n=S n+2 …①当n=1时，a1=2；n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+2 …②；∴由①﹣②得：a n=2a n﹣1∴{a n}是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an=2n．又∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，∴b n﹣b n+1+2=0即：b n+1﹣b n=2，又b1=1，∴{b n}是一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴b n=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B n=．∴，∴++…+==1﹣＜1．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AD=，DC=2AB=2，E为BC中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连接BD在RT△DAB中，BD==…（1分）知△DBC是等腰三角形．又∵E为BC的中点．∴DE⊥BC …（2分）∵PD⊥平面ABCD，且BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC …（3分）∵PD∩DE=D∴BC⊥平面PDE …（4分）又∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PDE …（5分）（Ⅱ）线段PC上存在一点F，且时，有PA∥平面BDF．…（6分）证明如下：连接AC交BD于点O，在平面PAC中过点O作OF∥PA，则交PC于F…（7分）又∵OF⊂平面BDF，PA⊈平面BDF∴PA∥平面BDF …（9分）∵四边形ABCD中AB∥CD，∴易知△ABO∽△CDO又∵CD=2AB=2，∴…（10分）∵OF∥PA∴…（11分）∴当时，PA∥平面BDF …（12分）20．（12分）在平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，矩形ADEF 中DE=1，且面ADEF⊥面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ECD；（Ⅱ）求D点到面CEB的距离．【解答】（1）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD．又∵BD⊥CD，ED∩CD=D，∴BD⊥平面ECD．（2）解：CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，又∵矩形ADEF中，DE=1∴BC=2，CE=，BE=2．∴过B作CE的垂线交CE与M，CM=．==，∴S△BCERt△BCD的面积等于=．由得（1）ED⊥平面ABCD，∴点E到平面BCD的距离为ED=2，=E﹣CBD，∴=，解得h=．∴V D﹣CBE即点D到平面CEB的距离为．21．（12分）定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1 （a≠0）．（Ⅰ）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=﹣2时，有f （x）=x2﹣x﹣3，令x2﹣x﹣3=x，化简得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，或x2=3故所求的不动点为﹣1或3．（4分）（Ⅱ）令ax2+（b+1）x+b﹣1=x，则ax2+bx+b﹣1=0①由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，即b2﹣4ab+4a＞0恒成立，（6分）整理得b2﹣4ab+4a=（b﹣2a）2+4a﹣4a2＞0，故4a﹣4a2＞0，即0＜a＜1（8分）（Ⅲ）设A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2），则k AB=1，∴k=﹣1，所以y=﹣x+，（9分）又AB的中点在该直线上，所以=﹣+，∴x1+x2=，而x1、x2应是方程①的两个根，所以x1+x2=﹣，即﹣=，∴（12分）==∴当a=∈（0，1）时，b min=﹣1．（14分）22．（12分）已知圆M：x2+y2﹣2y=24，直线l：x+y=11，l上一点A的横坐标为a，过点A作圆M的两条切线l1，l2，切点分别为B，C．（1）当a=0时，求直线l1，l2的方程；（2）当直线l1，l2互相垂直时，求a的值；（3）是否存在点A，使得•=﹣2？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1））圆M：x2+（y﹣1）2=25，圆心M（0，1），半径r=5，A（0，11），设切线的方程为y=kx+11，圆心距，∴，∴所求直线l1，l2的方程为；（2）当l1⊥l2时，四边形MCAB为正方形，∴设A（a，11﹣a），M（0，1），则，∴a2﹣10a+25=0，∴a=5；（3）设，则，又，故，又圆心M到直线l的距离是，∴AM2≥50，∴，故点A不存在．。