作差法教案讲解学习
解决问题(相差问题)(教案)
解决问题（相差问题）（教案）教学目标：1. 能够理解相差问题的概念及相关术语。
2. 知道用加减法解决相差问题的方法。
3. 能够熟练地运用加减法解决相差问题。
教学重点：明确相差问题的概念及相关术语。
教学难点：能够熟练地运用加减法解决相差问题。
教学材料：1. 学生练习册。
2. 相差问题的例题及熟练程度的评价。
教学步骤：第一步：导入新知识1. 老师将两个数字告诉学生，让学生举手表示比较大小。
2. 引导学生思考，问他们两个数字相差多少？3. 引导学生将相差的数字用口算的方式得出。
4. 引导学生讨论相差问题的概念。
第二步：讲解相差问题的公式1. 给学生出示一个相差问题的例题。
2. 用白板和彩笔展示出两个数字，然后用箭头连接它们，让学生看出两个数字之间的差值。
3. 引导学生发现差值是用减法来计算的。
4. 大声读出公式：被减数 - 减数 = 差值。
5. 强调公式中的关键术语及基本概念。
第三步：解题实操1. 再给学生出示一些例题，然后让他们试着解决（使用公式）。
2. 提醒学生在自己做题时注意差值的符号。
3. 鼓励学生用口算的方式来解决问题，并让他们试着像老师一样展示出计算过程。
第四步：让学生自主探索1. 让学生自己思考一个相差问题的解决方案。
2. 引导学生思考问题时为什么要用减法。
3. 用实例让学生证明减法的有效性。
4. 让学生总结出自己的解决方案。
第五步：练习测试1. 给学生几个与相差问题有关的练习题，让他们在练习册上完成。
2. 观察学生的反应，看看他们是否能够熟练地解决相差问题。
3. 用一份测试卷来测试学生熟练程度。
教学总结：1. 通过此次课程，学生应该能够理解相差问题的概念及相关术语。
2. 学生应该知道用加减法解决相差问题的方法。
3. 学生应该熟练地运用加减法解决相差问题。
4. 学生应该掌握解决相差问题的公式。
教学反思：通过完整的学习流程，学生能够更好地掌握相差问题的解决方法。
在以后的教学中，我会更多地注重激发学生的思考能力，让他们更有信心地去解决各种关于相差问题的难题。
用作差法比较大小(教案)
阅读与思考用作差法比较大小教学目标1、理解作差法比较大小的依据。
2、掌握作差法比较大小的一般步骤3、能利用作差法比较大小解决实际问题教学设计一、课题引入1.计算下列减法算式的结果：3－2= 5－4= 6－5=2－3= 6－7= 5－9=1－1= 5－5= 3－3=2.小组讨论，从算式中发现规律第一组算式：被减数比减数大，得数为正数（大于零）；第二组算式：被减数比减数小，得数为正数（小于零）；第三组算式：被减数比减数大，得数为正数（等于零）。
二、探究新知提问1.从上述规律中大家能得到怎样的启示呢？（从上述规律中，我们可以归纳出一种比较两个数或两个代数式的大小的方法。
）作差法比较大小：如果a－b>0，则a>b；如果a－b<0，则a<b；如果a－b=0，则a=b.提问2.作差法比较大小应当经历那些步骤？运用求差法比较大小的一般步骤是：（1）作差；（2）根据差的情况确定被减数与减数的大小.三、实例巩固【例1】设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.解：由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-（8-10x）>－（8-10y）.又由题意得-（8-10x）>0，即x>4/5，所以x最小的正整数值为1.【例2】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a＋70％a＝2.7a，光明旅行社的收费为3a×80％＝2.4a.因为2.7a－2.4a＝0.3a>0，所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】若两家旅行社的票价不相同，我们能否比较出哪个旅行社的费用低呢？.四、课堂小结1.什么作差法比较大小2. 作差法比较大小具体操作步骤。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法教案(含解析)5数学教案
一 比较法1．作差比较法(1)作差比较法的理论依据a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a <b ，a －b ＝0⇔a ＝b .(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等．2．作商比较法(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b >0，若a b >1，则a >b ；若ab <1，则a <b ；②b <0，若a b >1，则a <b ；若ab<1，则a >b .(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 的符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．作差比较法证明不等式[例1] y 3.[思路点拨] 因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小．[证明] x 3－x 2y ＋xy 2－(x 2y －xy 2＋y 3)＝x (x 2－xy ＋y 2)－y (x 2－xy ＋y 2) ＝(x －y )(x 2－xy ＋y 2)＝(x －y )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 24. 因为x >y ，所以x －y >0，于是(x －y )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 24>0， 所以x 3－x 2y ＋xy 2>x 2y －xy 2＋y 3.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a 2＋b 2≥2(a －b －1)． 证明：a 2＋b 2－2(a －b －1) ＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)． 2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋， 求证：(a ＋b )(a n＋b n)≤2(an ＋1＋bn ＋1)． 证明：∵(a ＋b )(a n＋b n)－2(an ＋1＋bn ＋1)＝an ＋1＋ab n ＋ba n ＋bn ＋1－2an ＋1－2bn ＋1＝a (b n －a n)＋b (a n－b n) ＝(a －b )(b n－a n)．①当a >b >0时，b n－a n<0，a －b ＞0， ∴(a －b )(b n－a n )<0.②当b >a >0时，b n－a n>0，a －b <0. ∴(a －b )(b n－a n )<0.③当a ＝b >0时，(b n－a n)(a －b )＝0.综合①②③可知，对于a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，都有(a ＋b )(a n＋b n)≤2(an ＋1＋bn ＋1).作商比较法证明不等式[例2] 设a >0，b >0，求证：a a b b≥(ab )2.[思路点拨] 不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法．[证明] ∵a a b b>0，(ab )a ＋b2>0，∴a a b b (ab )a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2.当a ＝b时，显然有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＝1；当a >b >0时，a b >1，a －b2>0，∴由指数函数单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1；当b >a >0时，0<a b <1，a －b2<0，∴由指数函数的单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1.综上可知，对任意实数a ，b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．3．已知a >b >c >0.求证：a 2a b 2b c 2c>a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明：由a >b >c >0，得ab ＋c b c ＋a c a ＋b >0.作商a 2a b 2b c 2c a b ＋c b c ＋a c a ＋b ＝a a a a b b b b c c c ca b a c b c b a c a cb＝aa －b a a －c b b －c b b －a c c －a cc －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c. 由a >b >c >0，得a －b >0，a －c >0，b －c >0，且a b >1，a c >1，b c>1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c>1. ∴a 2a b 2b c 2c >ab ＋c b c ＋a c a ＋b.4．设n ∈N ，n >1，求证log n (n ＋1)>log (n ＋1)(n ＋2)．证明：因为n >1，所以log n (n ＋1)>0，log (n ＋1)(n ＋2)>0， 所以log (n ＋1)(n ＋2)log n (n ＋1)＝log (n ＋1)(n ＋2)·log (n ＋1)n≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n ＋2)＋log (n ＋1)n 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n 2＋2n )22<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n ＋1)222＝1. 故log (n ＋1)(n ＋2)<log n (n ＋1)， 即原不等式得证.比较法的实际应用[例3] 一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨] 先用m ，n 表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较．[解] 设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2 ，依题意有t 12m ＋t 12n ＝s ，s 2m ＋s2n＝t 2.∴t 1＝2s m ＋n ，t 2＝s (m ＋n )2mn.∴t1－t2＝2sm＋n－s(m＋n)2mn＝s[4mn－(m＋n)2]2mn(m＋n)＝－s(m－n)22mn(m＋n).其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2<0.即t1<t2.从而知甲比乙先到达指定地点．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，Q (x )＝8＋1.4x .∵P (x )－Q (x )＝2－0.2x ＝0.2(10－x )，∴当x >10时，P (x )<Q (x )，此时选择起步价为10元的出租车较为合适．当x <10时，P (x )>Q (x )，此时选起步价为8元的出租车较为合适．当x ＝10时，P (x )＝Q (x )，两种出租车任选，费用相同． 1．下列关系中对任意a <b <0的实数都成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．lg b 2<lg a 2C.ba>1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2 解析：选B ∵a <b <0，∴－a >－b >0. (－a )2>(－b )2>0.即a 2>b 2>0.∴b 2a2<1.又lg b 2－lg a 2＝lg b 2a2<lg 1＝0，∴lg b 2<lg a 2.2．已知P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，那么P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≥QD ．P ≤Q解析：选D 法一：Q P＝(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋a 2＋1≥1， 又∵a 2＋a ＋1>0恒成立， ∴Q ≥P .法二：P －Q ＝1－(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)a 2＋a ＋1 ＝－(a 4＋a 2)a 2＋a ＋1，∵a 2＋a ＋1>0恒成立且a 4＋a 2≥0， ∴P －Q ≤0，即Q ≥P .3．已知a >0，b >0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小关系是( )A ．m ≥n >pB ．m >n ≥pC ．n >m >pD ．n ≥m >p解析：选A 由m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，得a ＝b >0时，m＝n, 可排除B 、C 项．比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特殊值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92，n ＝2＋1＝3，∴m >n ，可排除D ，故选A.4．设m >n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n＋(lg x )－n，x >1，则a 与b 的大小关系为( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．与x 值有关，大小不定D ．以上都不正确解析：选A a －b ＝lg mx ＋lg －mx －lg n x －lg －nx ＝(lg mx －lgnx )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg n x －1lg m x＝(lg m x －lg nx )－lg mx －lg nx lg m x lg n x＝(lg mx －lg nx )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m x lg n x＝(lg m x －lgnx )⎝⎛⎭⎪⎫1－1lg m ＋n x .∵x >1，∴lg x >0. 当0<lg x <1时，a >b ； 当lg x ＝1时，a ＝b ； 当lg x >1时，a >b . ∴应选A.5．若0<x <1，则1x 与1x2的大小关系是________．解析：1x －1x 2＝x －1x2.因为0<x <1，所以1x －1x2<0.所以1x <1 x2.答案：1x < 1 x26．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________．解析：P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2，∵P>Q，∴P－Q>0，即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，∴ab≠1或a≠－2.答案：ab≠1或a≠－27．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a元．月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，月末售出的利润为L2＝120－2%a，则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3 5009， ∵a <3 5009， ∴L 1<L 2，月末出售好．答案：月末8．已知x ，y ∈R, 求证：sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y . 证明：∵sin x ＋sin y －1－sin x sin y＝sin x (1－sin y )－(1－sin y )＝(1－sin y )(sin x －1)．∵－1≤sin x ≤1，－1≤sin y ≤1.∴1－sin y ≥0，sin x －1≤0.∴(1－sin y )(sin x －1)≤0.即sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y .9．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3.证明：不妨设a ≥b ≥c ≥0，那么由指数函数的性质，有 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1. 所以a a b b c c (abc )a ＋b ＋c 3＝a a －b 3＋a －c 3b b －c 3＋b －a 3c c －a 3＋c －b 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1. ∴原不等式成立．10．已知a<b<c，x<y<z，则ax＋by＋cz，ax＋cy＋bz，bx ＋ay＋cz，bx＋cy＋az中最大的是哪一个？证明你的结论．解：ax＋by＋cz最大．理由如下：ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)＝(b－c)y＋(c－b)z＝(b－c)(y －z)，∵a<b<c，x<y<z，∴b－c<0，y－z<0，∴ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)>0，即ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz.ax＋by＋cz－(bx＋ay＋cz)＝(a－b)x＋(b－a)y＝(a－b)(x －y)>0，∴ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz.ax＋by＋cz－(bx＋cy＋az)＝(a－b)x＋(b－c)y＋(c－a)z＝(a－b)x＋(b－c)y＋[(c－b)＋(b－a)]z＝(a－b)(x－z)＋(b－c)(y－z)>0，∴ax＋by＋cz>bx＋cy＋az.故ax＋by＋cz最大．。
《作差法比较大小》课件
总结作差法的步骤和注意事项，帮助学生掌握。
02
CATALOGUE
作差法的定义
什么是作差法
作差法是一种通过比较两个数之差来判定原数大小的方法。
它基于一个数学原理：如果两个数的差小于零，则第一个数 小于第二个数；如果差等于零，则两个数相等；如果差大于 零，则第一个数大于第二个数。
详细描述
对于任意x的值，如果P(x)>Q(x)，则P(x)-Q(x)>0；如果P(x)<Q(x)，则P(x)Q(x)<0；如果P(x)=Q(x)，则P(x)-Q(x)=0。因此，通过作差法，我们可以比较 两个多项式的大小。
实例三：比较两个函数的大小
总结词
对于任意两个函数f(x)和g(x)，我们可以通过作差法比较它们的大小。
作差法的原理
01
作差法的原理基于实数的有序性 ，即实数集是有序的，任意两个 实数之间都可以比较大小。
02
通过作差法，我们可以将比较两 个数的大小问题转化为求两数之 差的符号问题，从而简化比较过 程。
作差法的应用场景
在数学学科中，作差法广泛应用 于比较代数式、函数值的大小。
在解决实际问题时，作差法可以 用于比较不同方案、不同策略的 优劣，例如成本、效益等方面的
详细描述
最值问题是数学中的常见问题，利用作差法解决最值问题时，我们首先需要确定函数的 定义域，然后通过求导数或构造函数的方式找到函数的极值点，最后通过比较极值点与
边界点的函数值来确定最值。
利用作差法进行函数单调性判断
总结词
通过作差法，我们可以判断函数的单调 性，即函数在一定区间内是递增还是递 减。
用作差法比较大小
用作差法比较大小1、教学目标知识与技能：经历类比推理的探索过程，掌握用作差法比较大小的方法。
过程与方法：掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小。
数学思考：本节课内容是学习不等式性质的基础上，掌握用作差法比较大小，对培养学生的逻辑思维能力有重要作用。
情感态度：通过创设问题情境，引导学生参与数学活动，增强学生学习数学的兴趣，体会在解决问题的过程中与其他人交流合作的重要性。
2、学情分析学生从目前情况来看，优等生少、中等生较多、差生较多，学生的学习习惯不好、学习态度不积极，计算能力、分析问题、解决问题能力一般，要提高学生的成绩需带领学生强化训练，培养学生良好的学习习惯，提升学生的数学素养。
3、重点难点重点：理解并掌握作差法比较大小。
难点：准确作差变形、准确判断差的符号，理论联系实际。
4、教学过程4.1第一学时4.1.1教学目标知识与技能：经历类比发现的探索过程，掌握用作差法比较大小的方法。
过程与方法：掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小。
数学思考：本节课内容是学习不等式性质的基础上，掌握用作差法比较大小，对培养学生的逻辑思维能力有重要作用。
情感态度：通过创设问题情境，引导学生参与数学活动，增强学生学习数学的兴趣，体会在解决问题的过程中与其他人交流合作的重要性。
4.1.2学时重点理解并掌握作差法比较大小。
4.1.3学时难点准确作差变形、准确判断差的符号，理论联系实际。
4.1.4教学活动活动1【导入】小明一家三口准备在端午节假期外出旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80%收费。
若两家旅行社的全票票价为100元，则实际哪家收费较低？学生解决问题过程中很容易比较出哪家旅行社收费较低。
如果我们不知道这两家旅行社全票的票价时，无法直接比较出大小时怎么办呢？这节课我们学习一种新的方法：用作差法比较大小。
设计意图：通过实际问题的解决激发学生的学习兴趣。
作差法比较大小
❖ 培养学生发现观察能力和类比意识，使其具有强烈的好奇心和求知欲，也让学生感知数学来源 于生活，适用于生活。
❖ 教学重难点 ❖ 重点：用求差法比较大小。 ❖ 难点：把要比较的对象数量化。
1、问题引入
问题1：制作某产品有两种用料方案, 方案一：用4张A型钢板,8张B型钢板； 方案二：用3张A型钢板,9张B型钢板. A型钢板的面积比B型钢板大.从省料角度考虑,应选哪种方 案?
【例1】试比较6x2+3x+5与5x2+3x+2的大小
❖ 解： 6x2 +3x+5-( 5x2+3x+2) 求差 ❖ =6x2 +3x+5-5x2-3x-2 ❖ = x2 +3 整理变形 ❖ ∵ x2≥0 ❖ ∴ x2 +3>0 ❖ ∴6x2 +3x+5 -( 5x2+3x+2)>0 定号 ❖ ∴6x2 +3x+5>5x2+3x+2 下结论
1.课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，
7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x， 每张B5纸的面积为y，且x ＞y，请你分析谁用的纸面积最大．
2.制作甲食品需要A、B两种原料且有种配料方式，方式1需要A原 料600g,B原料500g；方式2需要A原料400g,B原料300g，每克A原料 费用比B原料高，从商家的角度考虑，应选那种方式？
的方法叫 __求___差__法_ 比较大小
3、运用新知
问题2 你能回答前面的用料问题吗？
解：（4x+8y)-(3x+9y )=x -y 由于A型钢板比B型钢板面积大，即x＞y 所以x-y ＞0 即：（4x+8y)-(3x+9y )＞0 故4x+8y ＞ 3x+9y
中职数学“作差比较法”教学探究
等 １ ８ ） － （ ９ ３ ＋ １ ８ ） ＝ ３ 一 ９ ÷。 。
算 出来 ， 好 简单 。用 “ 作 差 比较
一
（ １ ） 皇 与 ； （ ２ ） 一 导 与一 。
例２ １ ： Ｌ 较分式 的大小 ：
（ １ ） Ｘ 与（ ＋ ３ ）（ 一 ３ ） ；
猪八戒 到 花 果 山找 孙悟 空。到达 花 果 山 时， 猪 八戒满 头大 汗， 看 到孙悟空面前 有
学生 看 到式子 复杂 ， 左 右各三个 分
数， 要对三个分 数进行 通分太 难算 了， 就 开始打退 堂鼓 ， 不愿算 了， 注意力也 开始 分散 ， 畏 难情 绪马上 表现 了出来 ， 只有个 别 学生愿 意 算 ， 而且花 了五六分 钟才 算
的西瓜 ， 还是 右边 的西瓜？”
【 关键词】 中职数学 作差比较法 教
学探 究
小——姒易到难 。 循序渐进地 引导
简单 而有 趣 的问题 ， 对 于数 学基 础 差 的学生来说 ， 还 是有吸引力 的。 为了激 发学 生 学 习作 差 比较 法 的兴 趣 ， 吸引 学 生 自主探究 。 笔者将课本 内容加以改造， 用一个有趣 的 “ 猪八 戒吃西瓜”的故事来
中的 重要 性 。
、
用 “ 作差 比较法”比较 实数的大
分西瓜 ， 分 好后 ， 让 你先 挑选 。 ”孙悟 空 将第一个西瓜分成三等份， 左边 放两份， 右边 放一份 ； 第 二个西瓜分成 九等 份， 左 边 放一份， 右边放八 份 ； 第三个西瓜分成 十八等份 ， 左 边 放十三份 ， 右边 放 五份。 孙 悟空说 ：‘ 戒， 你来 挑 选 ， 你 选左 边
的兴趣被 激起了， 积极 性被带 动起来了， 踊跃 上 黑 板做 题 ， 争 着 比谁 算 得又快 又 准， 课 堂气 氛也 活跃 起 来 ， 整个 班 中参
1.2.1作差法和作商法
宝石学校活页课时教案(首页)班级:高一年级科目:数学周次教学时间2016年2月日月教案序号课题1-2-1做差法和作商法课型新授教学目标(识记、理解应用、分析、创见) 知识目标：理解作商法和做差法的思维过程及其特点；掌握运用作商法和做差法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。
能力目标：通过多种方式，让学生学以致用．情感目标：培养学生形成严谨的科学态度的数学精神．教学重点及难点教学重点：理解作商法和做差法的思维过程和特点.教学难点：运用做差法和作商法证（解）题时，找出有效的推理“路线”.教学方法观察、思考、交流、讨论、小结。
教学反馈板书设计1-2-1作商法和做差法1、作差法：若a，b∈R，则 a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论.2、作商法：若a>0，b>0，则：ba＞1⇔a＞b；ba＝1⇔a＝b；ba＜1⇔a＜b它的三个步骤：作商——变形——判断与1的大小——结论.高中选修2-2教案 第 2 页 共 4 页一、问题引入在证明不等式时，我们一般采用什么方法？ 二、探究新知1、作差法：若a ，b ∈R ，则： a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 例1、求证：x 2 + 3 > 3x证：∵(x 2 + 3) - 3x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ， ∴x 2 + 3 > 3x 例2：已知a, b, m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ，∵a,b,m 都是正数，并且a<b ， ∴b + m > 0 , b - a > 0∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？例3：已知a, b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 证： (a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3)= (a + b)(a - b)2(a 2 + ab + b 2) ∵a, b 都是正数，∴a + b, a 2 + ab + b 2 > 0，又∵a ≠ b ，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a 2 + ab + b 2) > 0，即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2例4：甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2，高中选修2-2教案 第 3 页 共 4 页则：21122,22t nSm S S n tm t =+=+ 可得：mn n m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2从而：甲先到到达指定地点。
反复实践的小学数学教案：小学生如何灵活求差
一、教学目标
1.认识差的概念，了解其操作方法；
2.学习巧妙运用反复实践方法，提高灵活求差的能力；
3.培养小学生的观察能力、判断能力和计算能力。
二、教学重点
1.认识差的概念；
2.了解差的运算方法；
3.反复实践求差的方法。
三、教学难点
如何灵活运用反复实践方法求差。
四、教学过程
1.导入
通过不同形式的口算题，引导学生认识差的概念，并让学生讨论差的意义和作用。
2.讲授
（1）认识差的概念
通过图示等形式，让学生认识差的概念，理解差是两个数之间的差距。
（2）差的运算方法
通过差的概念，引导学生认识差的运算方法，并且强调差的运算顺序和规律。
（3）反复实践求差的方法
通过举例分析反复实践求差的方法，让学生懂得怎样利用反复实践方法来提高灵活求差的能力。
3.训练
发放反复实践求差的练习册，让学生完成一定数量的题目，并及时纠正误区。
4.合并
通过小组合作的形式，让学生将所学到的方法进行总结，并与小组内其他成员进行分享。
五、教学评价
教师采用多种方式对学生进行评价，包括课堂活动表现、反复实践的最终成绩和小组讨论成果等。
并在评价中重点关注学生的观察能力、判断能力和计算能力。
六、教学小结
通过这次教学，学生对差的概念有了更深入的理解，掌握差的运算方法，更加熟悉反复实践求差的方法。
同时，学生还通过小组之间的讨论分享，使得教学效果更加显著。
教学实用工具——“计算两数差的教案”
计算两数差的教学实用工具是一种能够有效辅助学生掌握础数学知识的工具，通过它能够让学生更加深入地理解数学概念，提高他们的解题能力和思维能力。
本文将介绍计算两数差的教案的设计思路，以及如何在教学实践中使用该工具。
一、教案设计思路1.教学目标本教学工具的目标是让学生能够熟练掌握计算两数差的方法以及各种差的概念，掌握求差的基本技巧，能够应用这些知识进行一些简单的数学计算。
2.教学内容本教学工具主要讲解计算两数差的方法和相关概念。
包括：（1）正数相减，负数相减，零减一个数，一个数减零，一般情况下的差的概念；（2）减法的性质和理解；（3）解决减法问题的步骤和技巧。
3.教学步骤本教学工具主要分为以下步骤：（1）让学生了解计算两数差的基本概念和方法；（2）通过简单的实例让学生理解什么是正数相减，负数相减，0减一个数等问题；（3）让学生进行一定的探究和思考，确定减数与被减数的概念；（4）学生自主练习和发挥，帮助学生自己解决简单的减法问题。
二、教学实践在实践中，教师可以使用以下方法来引导学生使用计算两数差的教学工具。
1.开展小组讨论可以把学生分为小组，让他们通过小组讨论，自己得出答案，并进行互相讨论和交流。
这种方式可以促进学生的合作性学习，增强自己的问题解决能力和思维能力。
2.社交媒体互动现在的学生非常喜欢社交媒体，教师可以利用社交媒体进行互动，如发个讨论或提出一个问题。
这种方式可以增强学生的积极性和主动性，还可以让学生更好的理解和应用知识。
3.真实案例教学教师可以通过真实案例，让学生看到计算两数差在现实生活中的使用和意义。
例如，通过上市公司的盈亏表，让学生了解减法在企业财务管理中的意义，这不仅可以增强学生的兴趣，还可以增进学生的实际操作能力。
通过以上教学实践，我们可以发现，计算两数差的教学实用工具对于提高学生的数学综合素质和思维能力是十分有效的。
在未来的教学实践中，我们应该注重应用这种教学工具，帮助学生更好的掌握基础数学知识，提高他们的综合解决问题能力。
作差法教案
作差法教案(共3页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-用作差比较法证明不等式教学目标1．理解，掌握比较法证明不等式．2．提高分析、解决问题能力．3．锻炼学生的思维品质（思维的严谨性、灵活性、深刻性）． 教学重点与难点:求差比较法证明不等式是本节课的教学重点；求差后，如何对“差式”进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点．教学过程设计一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a那么如何比较下面两个式子的大小呢？)5)(1()3)(1(+-++a a a a 与直接比较这两个式子的大小有困难，但是将两式作差所得到的结果与0比大小比较容易证明．这种方法我们叫做作差法。
二、新课讲授作差法证明不等式：用不等式的一边减去另一边，比较作差所得到的结果与0的大小。
ba b a ba b a b a b a ba b a ≤⇔≤-<⇔<-≥⇔≥->⇔>-0000 所以证明不等式的关键就是判定作差得到的结果与0的大小，下面我们将通过例题来归纳、总结作差法证明不等式时，如何对差式变形并判断差式符号．三、例题讲解例1、证明：)5)(1()3)(1(+->++a a a a证明： )5)(1()3)(1(+--++a a a a85434)54(342222>=+--++=-+-++=a a a a a a a a)5)(1()3)(1(0)5)(1()3)(1(+->++∴>+--++∴a a a a a a a a 分析小结：将不等式两边作差后很容易就判断出了结果与0的大小，这样的不等式很容易就能证明出来。
这个不等式呢？)4)(1()3)(1(+->++a a a a例2 求证：a a 332>+证明：333322+-=-+a a a a aa a a a 33033043)23(222>+∴>-+∴>+-=分析小结：因为求差后，式子中a 3-的符号不确定，所以不容易判断符号，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，这种差式的符号可以判断． 练习：)1)(2()12)(1(22+++>+++x x x x x x 求证： 例3 已知+∈R b a .,，求证2233ab b a b a +≥+证明：)(2233ab b a b a +-+2233223322222220)(0))((0)(00,0))(()2)(()())((ab b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b a ab b ab a b a +≥+∴≥+--∴≥-+∴≥->+∴>>-+=+-+=+-+-+=又因为因为分析小结：将差式因式分解变形为几个因式积的形式，变形的目的是为了判断差式符号。
用作差法比较大小(教案)
阅读与思考用作差法比较大小教学目标1、理解作差法比较大小的依据。
2、掌握作差法比较大小的一般步骤3、能利用作差法比较大小解决实际问题教学设计一、课题引入1.计算下列减法算式的结果：3－2= 5－4= 6－5=2－3= 6－7= 5－9=1－1= 5－5= 3－3=2.小组讨论，从算式中发现规律第一组算式：被减数比减数大，得数为正数（大于零）；第二组算式：被减数比减数小，得数为正数（小于零）；第三组算式：被减数比减数大，得数为正数（等于零）。
二、探究新知提问1.从上述规律中大家能得到怎样的启示呢？（从上述规律中，我们可以归纳出一种比较两个数或两个代数式的大小的方法。
）作差法比较大小：如果a－b>0，则a>b；如果a－b<0，则a<b；如果a－b=0，则a=b.提问2.作差法比较大小应当经历那些步骤？运用求差法比较大小的一般步骤是：（1）作差；（2）根据差的情况确定被减数与减数的大小.三、实例巩固【例1】设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.解：由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-（8-10x）>－（8-10y）.又由题意得-（8-10x）>0，即x>4/5，所以x最小的正整数值为1.【例2】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a＋70％a＝2.7a，光明旅行社的收费为3a×80％＝2.4a.因为2.7a－2.4a＝0.3a>0，所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】若两家旅行社的票价不相同，我们能否比较出哪个旅行社的费用低呢？.四、课堂小结1.什么作差法比较大小2. 作差法比较大小具体操作步骤。
人教版《数学》第一册教案——2.1作差比较法
（1） ； （2）
解：略.
例2对于任意实数x, 比较 的大小.
解: 因为 = =20>0,
所以 .
练习
P16课后题
作业
练习册2.1
小结
本节学习了作差比较法, 它是判断或证明不等式的最基本\最重要的方法.
同样，在数学中，我们比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了。
为了判断实数 ，我们只要能判断 即可，
即
为了判断实数 ，我们只要能判断 即可，
即 。
例如，比较 和 的大小.
因为 , 所以 .
像这样，利用不等式两边两个量的差值是正值或负值来判断、证明不等式的方法，叫做“作差比较法”，它是判断或证明不等式的最基本、最重要的方法。
我们知道，实数与数轴上的点之间可以建立一一对应关系。并且，数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数总比左边的点对应的实数大。
那么，脱离数轴，我们如何去比较任意两个实数a,b的大小呢？
生活中我们有这样的经验，当我们在没有任何度量工具的情况下要比较甲、乙两人的高矮时，常采用的方法是：让他们背靠背地站在水平地面上，如果甲的头顶比乙的头顶（最高处）高出一部分，则表明甲比乙高。
课时教案
课题
2.1作差比较法
课时
1
课型
新授课
教学目的
学习作差比较法，使80%以上学生能够熟练掌握
重点
作差比较法
难点
代数式的比较
关键
完全平方公式及平方差公式的应用
教具资料
直尺、模型
学生准备用品
笔、本
教学环节
教学内容
教育教学调控
组织教学
师生问好,查出缺席
引入
高中数学《不等式的证明-作差比较法》导学案
[课前回顾]1. 不等式基本性质：（1）,a b b c a c >>⇒>（2）a b a c b c >⇒+>+，,a b c d a c b d >>⇒+>+（3）,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<0,0a b c d ac bd >>>>⇒>，0,,1;n n n n a b n N n a b a b >>∈>⇒>>2.由a ＞b ⇔a －b ＞0，要证a ＞b ，只需要证_______；要证a ＜b ，只需证_______……………………作差法的理论依据3.若a,b 为正数，要证a>b,只需要证1____ba ； 若a,b 为负数，要证a>b,只需要证1____ba 。
……………………作商法的理论依据[课堂讲义]比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是利用差式与0比较大小或利用商式与1比较大小．高考不等式选讲部分题目经常用到作差法。
例1 已知x ＜y ＜0，试证明))(())((2222y x y x y x y x +->-+ 证明 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ………………作差 ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )． ………………变形 ∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0， ………………定号 ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． ………………结论 思维升华：1、本题可用比较大小的方式进行命题2、作差法的一般步骤：作差—变形－定号－结论变形的目的是为了容易判别差式的正、负，所以变形尽量彻底，直到能定号为止．变形的主要手段是通分、因式分解或配方，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩定号时要利用一些常见结论，如正数，平方数，或不等式的基本性质。
做差法的运用-经典教学教辅文档
《初识作差法》教学设计一、教学内容人教版七年级下册二、教学目标经过具体情境，掌握作差法的算理。
经过对作差法的探求过程，培养动手操作能力、观察分析能力及数学思想与言语表达能力。
激发学习数学的兴味，领会几何与理想生活的联系，初步了解几何在实践生活中的运用。
在理论过程中，培养先生勇于探求和自主学习的精神，使之获得运用知识解决成绩。
三、教学重难点：重点：掌握作差法的算理难点：会运用作差法四、教学过程第一环节创设情境、导入新课1、教师出示成绩:成绩1：制造某产品有两种用料方案，方案1用4块A型钢板，8块B型钢板；方案2用3块A型钢板，9块B型钢板.A型钢板的面积比B型钢板大。
从省料角度考虑，应选哪种方案？2、揭示课题：今天我们学习作差法的初步认识【设计意图】：经过先生的自主回忆，将新旧知识结合，提出成绩让先生大胆探求，引发先生的求知欲。
第二环节自动参与、讨论新知（1）提出成绩，独立考虑请同学们回忆下不等式的性质。
随机引出作差法的概念。
在讨论开课的成绩前，先请同学们完成：已知m>n，用作差法或不等式性质判断m-4与n-5之间的大小。
（2）小组合作，探求新知：教师组织先生四人为一小组，给予先生足够的工夫进行合作交流，并在此期间适时巡查指点。
（3）小组汇报，展现成果方法一：由于m>n，所以m-4>n-4又由于n-4>n-5,所以m-4>n-4>n-5既m-4>n-5（不等式的性质）方法二：由于m>n，所以m-n>0又由于m-4 -（n-5）=m-n+1所以m-n+1>0 既m-4>n-5（4）进阶练习成绩3：比较下方两个算式结果的大小(在横线上填“>”“<”或“＝”)：公式a2+b2-2ab=(a-b)21）32+42__________2×3×4， 3）22+22__________2×2×2，2）(-2)2+52__________2×(-2)×5， 4）(12)2+(23)2__________2×12×23（5）拓广练习成绩4：有一个两位数，如果把它的个位上的数a和十位上的数b对调，那么甚么情况下得到的两位数比本来的两位数大?甚么情况下得到的两位数比本来的两位教小？甚么情况下得到的两位数等于本来的两位数?（6）教师总结作差法：我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小。
作差法证明不等式
作差法证明不等式作差法是数学中一种常用的证明方法，它特别适用于证明不等式。
首先，我们先来介绍一下作差法的原理。
作差法是利用差的性质来进行推导和证明的方法，它是一种间接证明法。
通过将原式化简或等价变形，然后取两个不同的数值进行比较差值的方式，来推得原问题的不等式。
下面，我们将用作差法来证明一个经典的不等式：对于任意正实数a、b、c，有(a+b+c)^2 ≥ 3(ab+bc+ca)。
证明：首先，我们可以将左边展开得到：(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) ---（1）然后，我们可以将右边展开得到：3(ab+bc+ca) = ab + bc + ca + ab + bc + ca ---（2）接下来，我们做差，将（1）减去（2），得到：(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca) = (a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)) - (ab + bc + ca + ab + bc + ca)= a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) - ab - bc - ca - ab - bc -ca= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca= (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2此时，我们可以看出(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)实际上是由(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2组成的。
(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) ≥ 0(a + b + c)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)因此，我们通过作差法证明了对于任意正实数a、b、c，有(a + b + c)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)。
在实际应用中，作差法不仅可以用于证明不等式，还可以用于证明其他数学问题，如等式的推导、数列的性质等等。
作差比较法
第一节 作差比较法一 教学目标1．理解作差比较法的本质2．回忆小学、初中有关数学运算的知识3．引起学生学习数学的兴趣4．多角度的对数学问题进行分析二 教学过程作差比较法如果：0>-b a ，则b a >如果：0=-b a ，则b a =如果：0<-b a ，则b a <作差比较法是比较两个实数大小的重要方法例1 比较下列各组数的大小（1）2120和2221 （2）)3)(1(+-x x 和2)1(+x（3）)2)(12(+-x x 和)2)(12(-+x x（4）922++y x 和)(4y x +分析与解答：我们可以利用作差比较法进行判断（1） 分析与解答：046214624414402221212220222121202<-=-=⨯-⨯=- 22212120<∴ （2） 分析与解答： 04)12(32)1()3)(1(222<-=++--+=+-+-x x x x x x x2)1()3)(1(+<+-∴x x x（3）分析与解答：x x x x x x x x x 6)232(232)2)(12()2)(12(22=----+=-+-+-本题减出的差x 6，无法确定正负，所以这就需要我们进行分类讨论① 当0>x 时，)2)(12()2)(12(0)2)(12()2)(12(-+>+-⇒>-+-+-x x x x x x x x② 当0=x 时，)2)(12()2)(12(0)2)(12()2)(12(-+=+-⇒=-+-+-x x x x x x x x③ 当0<x 时，)2)(12()2)(12(0)2)(12()2)(12(-+<+-⇒<-+-+-x x x x x x x x（4）分析与解答：)(4901)2()2(14444)(4922222222y x y x y x y y x x y x y x +>++∴>+-+-=++-++-=+-++本题需要对结果进行配方，配方之后我们可以利用02≥x ，即一个实数的平方大于或等于零这个特点进行判断。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用作差比较法证明不等式
教学目标
1．理解，掌握比较法证明不等式．
2．提高分析、解决问题能力．
3．锻炼学生的思维品质（思维的严谨性、灵活性、深刻性）．
教学重点与难点:
求差比较法证明不等式是本节课的教学重点；求差后，如何对“差式”进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点．
教学过程设计
一、引入：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
0>-⇔>b a b a
0=-⇔=b a b a
0<-⇔<b a b a
那么如何比较下面两个式子的大小呢？
)5)(1()3)(1(+-++a a a a 与
直接比较这两个式子的大小有困难，但是将两式作差所得到的结果与0比大小比较容易证明．这种方法我们叫做作差法。
二、新课讲授
作差法证明不等式：用不等式的一边减去另一边，比较作差所得到的结果与0的大小。
b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a ≤⇔≤-<⇔<-≥⇔≥->⇔>-0000
所以证明不等式的关键就是判定作差得到的结果与0的大小，下面我们将通过例题来归纳、总结作差法证明不等式时，如何对差式变形并判断差式符号．
三、例题讲解
例1、证明：)5)(1()3)(1(+->++a a a a
证明： )5)(1()3)(1(+--++a a a a 0
85434)
54(342222>=+--++=-+-++=a a a a a a a a
)
5)(1()3)(1(0)5)(1()3)(1(+->++∴>+--++∴a a a a a a a a
分析小结：将不等式两边作差后很容易就判断出了结果与0的大小，这样的不等式很容易就能证明出来。
这个不等式呢？)4)(1()3)(1(+->++a a a a
例2 求证：a a 332>+
证明：333322+-=-+a a a a
a
a a a a 3303304
3)23(222>+∴>-+∴>+-=
分析小结：因为求差后，式子中a 3-的符号不确定，所以不容易判断符号，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，这种差式的符号可以判断． 练习：)1)(2()12
)(1(22+++>+++x x x x x x 求证： 例3 已知+∈R b a .,，求证2233ab b a b a +≥+
证明：)(2233ab b a b a +-+
2
2332233222
22220)(0
))((0
)(0
0,0))(()
2)(()
())((ab b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b a ab b ab a b a +≥+∴≥+--∴≥-+∴≥->+∴>>-+=+-+=+-+-+=又因为因为
分析小结：将差式因式分解变形为几个因式积的形式，变形的目的是为了判断差式符号。
对每个因式进行分析，判断符号，从而使因式积的符号可以判断，差式符号即可判断，在判断符号时要注意表述严谨、周密。
练习：求证：3471q q q +>+ (q>0)
小结：
作差法证明不等式三部曲：作差—变形---判定符号
在了解不等式证明的含义的基础上，今天主要学习了不等式证明常用方法之一，作差比较法证明不等式，它是不等式证明中最基本、最重要的证明方法。
有关作差后对差式变形以及判断符号的方法，今后学习中还需继续积累方法． 课后作业：
比较法证明不等式除了求差比较法，还有没有其他方式呢？请同学们课下思考研究．。