3.2回归分析
面板数据的常见处理
面板数据的常见处理标题：面板数据的常见处理引言概述：面板数据是经济学和统计学领域中常见的数据类型，通常包含了多个单位（如个人、公司等）在多个时间点上的观测值。
处理面板数据需要考虑到时间序列和横截面的特性，以及单位间的相关性。
本文将介绍面板数据的常见处理方法，匡助读者更好地理解和分析这种数据。
一、数据清洗1.1 缺失值处理：面板数据中往往存在缺失值，需要根据具体情况选择合适的方法进行处理，如删除缺失值、插值填充等。
1.2 异常值检测：通过统计方法或者图表分析，识别和处理可能影响分析结果的异常值。
1.3 数据转换：对数据进行标准化、归一化等处理，以便更好地进行后续分析。
二、面板数据结构2.1 平衡面板和非平衡面板：平衡面板指每一个单位在每一个时间点上都有观测值，非平衡面板则不然。
需要根据实际情况选择合适的面板结构。
2.2 固定效应和随机效应：固定效应模型假设单位间存在固定不变的效应，随机效应模型则认为这些效应是随机的。
选择合适的效应模型对面板数据分析至关重要。
2.3 滞后效应：考虑到时间序列的特性，需要分析滞后效应，即前一时间点的影响对当前观测值的影响。
三、面板数据分析3.1 回归分析：通过面板数据进行回归分析，可以更准确地估计变量间的关系，包括固定效应和随机效应模型。
3.2 面板数据单位根检验：对面板数据进行单位根检验，以确保数据的平稳性和可靠性。
3.3 面板数据协整关系分析：通过协整关系分析，可以揭示面板数据中的长期均衡关系，匡助理解数据的动态特性。
四、面板数据可视化4.1 时间序列图：通过绘制时间序列图，可以直观地展示面板数据在时间上的变化趋势。
4.2 散点图：绘制散点图可以匡助观察不同单位间的关系，发现潜在的相关性。
4.3 热力图：通过绘制热力图，可以更清晰地展示面板数据中的相关性，匡助理解数据结构。
五、面板数据模型选择5.1 固定效应模型 vs 随机效应模型：根据数据特点和研究目的选择适当的效应模型。
融资约束对企业绩效影响关系研究——基于经济政策不确定性和内部控制视角
融资约束对企业绩效影响关系研究——基于经济政策不确定性和内部控制视角融资约束对企业绩效影响关系研究——基于经济政策不确定性和内部控制视角摘要：近年来，融资约束已成为影响企业经营和发展的关键因素之一。
本文通过分析经济政策不确定性和内部控制对融资约束和企业绩效的影响，研究了融资约束对企业绩效的影响关系。
研究结果表明，经济政策不确定性对融资约束有显著影响，同时融资约束对企业绩效也产生了一定的影响。
而内部控制在一定程度上缓解了融资约束对企业绩效的负面影响。
对于提高企业绩效，降低融资约束至关重要，同时加强内部控制也能起到积极的效果。
本文的研究结果对于企业制定融资策略和完善内部控制具有一定的指导意义。
关键词：融资约束；企业绩效；经济政策不确定性；内部控制第一章引言1.1 研究背景与意义企业融资在经济发展和企业经营中起着至关重要的作用。
然而，由于外部金融市场冰冷和政府宏观审慎调控的影响，很多企业面临融资困境，即融资约束。
融资约束严重影响了企业的发展和绩效。
因此，研究融资约束对企业绩效的影响关系具有重要的现实意义。
同时，随着经济全球化进程的加速和经济政策的不确定性增加，融资环境不稳定性也成为融资约束的一个重要因素。
因此，本文将分析经济政策不确定性对融资约束和企业绩效的影响。
1.2 文献综述本章将对近年来有关融资约束和企业绩效的研究进行综述，总结已有的研究成果，为本文的研究提供理论基础。
第二章研究设计和方法2.1 研究框架和假设本章将建立研究框架和提出研究假设，探讨经济政策不确定性和内部控制对融资约束和企业绩效的影响关系。
2.2 数据来源和样本选择本章将说明数据来源和样本选择的原则，并对数据进行描述性统计和变量构建。
2.3 分析方法本章将介绍研究所采用的分析方法，包括回归分析和路径分析等。
第三章实证结果及分析3.1 描述性统计分析通过描述性统计分析，本章对样本企业的基本情况进行了概括和比较。
3.2 回归分析结果通过回归分析，本章对经济政策不确定性、内部控制、融资约束和企业绩效之间的关系进行了实证分析，并对结果进行了详细解读和分析。
多元回归分析讲解和分析预测法
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消除多重共线性的常用方法：
（一）删除不重要的自变量 自变量之间存在共线性，说明自变量所提供的信息是重叠的，可以 删除不重要的自变量减少重复信息。 （二）追加样本信息 由于资料收集及调查的困难，追加样本信息在实践中并不容易。 （三）利用非样本先验信息 非样本先验信息主要来自经济理论分析和经验认识。 （四）改变解释变量的形式 改变解释变量的形式是解决多重共线性的一种简易方法，例如对于 横截面数据采用相对数变量，对于时间序列数据采用增量型变量。 （五）逐步回归法
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参考流程图
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传统机械按键结构层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类型， 尽量选择平头类的按键，以 防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计 间隙建议留0.05~0.1mm，以 防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计 算累积公差，以防按键手感 不良。
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3．模型检验
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t检验的基本步骤： 首先，通过公式计算t统计量
最后，进行判断
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4．多重共性分析
在预测分析中，若两个解释变量之间存在者较强的相关，则 认为回归分析中存在多重共线性。
多重共线性可能引起以下后果： （1）参数估计的精度较低； （2）回归参数的估计值对样本容量非常敏感，不稳定； （3）不能正确判断各解释变量对y的影响是否显著。 通过计算自变量之间的相关系数矩阵和经验直觉，来判断分 析自变量之间是否存在多重共线性。
3.2 回归分析-王后雄学案
张喜林制3.2 回归分析教材知识检索考点知识清单1．对于一组具有线性相关关系的数据,),,(),,(2211 y x y x),,(n n y x我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：(1)(2)其中,1,111i ni i n i y n y x n x ∑∑==== 称为样本点的中心，回归直线必然过样本点的中心，,2e a bx y ++=⋅这里a 和b 为模型的未知参数，e 是y 与+=bx yˆ a之间的误差，通常e 为随机变量，称为随机误差，它的均值,0)(=e E方差.0)(2>=σe D这样线性回归模型的完整表达式为：=i eˆ.3 i eˆ 称为相应于点),(i i y x的残差．类比样本方差估计总体方差的思想，可以用 作为2σ的估计量，其中b h aˆ*ˆ 由相应公式给出，)ˆ,ˆ(b aQ 称为残差平方和( residual sum of squares).可以用2ˆσ衡量回归方程的预报精度，通常2ˆ,σ越小，预报精度越高．4．在研究两个变量间的关系时，首先要根据 来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后，可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析，要点核心解读1．变量间的相关关系及线性回归方程(1)变量间的相关关系：①变量与变量间的两种关系：a ．函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积S 与半径r 之间的关系2r s π=为函数关系．b ．相关关系：这是一种非确定性关系．即当自变量取值一定时，因变量的取值有一定的随机性，它还受一些其他因素的影响，例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系．相关关系又包括两种：a ．在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量．b ．两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩．本书主要涉及上述相关关系的前一种情况．②散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图，它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据，③正相关与负相关：根据变量相关性的不同，线性相关关系可分为正相关与负相关．正相关是指两个变量之间的变化趋势方向一致，即一个变量随另一个变量的增长而呈增长趋势；负相关是指两个变量变化趋势方向相反，如产品单位成本降低，利润随之增加就是负相关．(2)线性回归方程：①线性回归模型：一组数据对应点在一条直线附近，但并不在同一条直线上，也就是说，两者之间不能用线性关系准确地表示出来，为此我们将两者之间的关系表示为,⊕++=εbx a y其中a+ bx 称为确定性函数，￡称为随机误差，它产生的原因主要有：a ．所用的确定性函数不恰当引起的误差．b ．忽略了某些因素的影响；c ．观测误差．我们将方程④称为线性回归模型( linearregression model).②回归直线：一般地，设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且对应于几组观测值的几个点),,2,1)(,(n i y x i i =大致分布在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系．显然，这样的直线可以画出许多条，其中“最贴近”这些数据点的一条叫做回归直线，③线性回归方程：根据线性回归模型，对于每一个,i x对应的随机误差),(i i i bx a y +-=ε利用最小二乘法可求出线性回归方程( equation of linear regression)为.ˆˆˆxb a y += 其中的aˆ 称为回归截距，bˆ 称为回归系数，yˆ称为回归值．求b aˆˆ- 的具体计算公式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=--=∑∑∑∑∑=====.ˆˆ,)()()(ˆ22112111x b y aS y x xy x x n y x y x n b x n i i n i i n i i n i i n i i i 其中x与x S分别表示数据),,2,1(n i x i =的均值和标准差，γ⋅表示数据=⋅i y i (),,2,1n的均值，xy表示数据),,2,1(n i y x i i =的均值．b aˆˆ 的意义是：以aˆ 为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化⋅bˆ卜单位．从单调性 的角度看，回归系数0ˆ0ˆ<>b b h时，回归方程表示的函数分别是增函数、减函数．2．相关性检验x 与y 之间可以用一个直线方程x b a yˆˆˆ+= 来反映其关系，而对x 与y 的具体变化规律应对x 与y 作线性相关性检验，简称相关性检验．对于变量x 与y 随机抽取到的n 对数据,(1x),,(,),,(),221n n y x y x y检验统计量是样本相关系数=r,)()())((21211y y x xy y x xi n i i n i i i n i ----∑∑∑--= 即))((212221y n y x n x y x n y x r n i i nt i i i in i ---=∑∑∑--= 这种方法是用参数r 检验线性相关的程度，这个r 称为y 与x 的样本相关系数，简称相关系统( correlation coefficient)．其中.11≤≤-r若r >0，则称x 与y 正相关，即x 增加，y 随之相应地增加；若x 减少，y 随之相应地减少．若r <0，则称x 与y 负相关，即x 增加，y 随之相应地减少；若x 减少，y 随之相应地增加，若r =0，则称x 与y 不相关，即x 与y 无线性相关关系，｜x ｜越接近于1，y 与x 的线性相关程度越高，若r=l 或-1，则x 与y 为完全线性相关．｜r ｜越接近于0，则x 与y 线性相关程度越弱．上面公式计算相关系数r ，通常计算量较大，通过变形可将上面公式化为⋅-=yx s s y x xy r 其中y x s s ,分别表示数据=i y x i i (,),,2,1n的标准差，检验的步骤如下：(1)提出统计假设x 与y 不具有线性相关关系；(2)根据小概率0.05与n-2在附表中查出 r 的一个临界值,05.0r(3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值；(4)作出统计推断：如果05||αr r >表明有95%的把握认为x与y 之间具有线性相关关系，如果,||05αr r ≤我们没有理由拒绝原来的假设，这时寻求回归直线方程是毫无意义的．3．回归分析对于回归分析问题，在解题时应首先利用散点图或相关性检验判断x 与y 是否具有线性相关关系，如果线性相关，才能求解后面的问题．否则求线性回归方程没有实际意义，它不能反映变量x 与y 之间的变化规律．只有在x 与y 之间具有相关关系时，求线性回归方程才有实际意义．相关性检验的依据：主要利用检验统计量yx i n i i n i i in i s s y x xy y y x xyx n y x r -=---=∑∑∑--=21211)(.)( （其中化简式容易记也好用）求出检验统计量的样本相关系数，再利用r 的性质确定x 和y 是否具有线性相关关系，r 具有的性质为：1||≤r且｜r ｜越接近于1，线性相关程度越强；｜r ｜越接近于0，线性相关程度越弱．4．非线性回归分析问题(1)对于非线性回归分析问题，如果给出了经验公式可直接利用换元，使新元与y 具有线性相关关系，进一步求出y 对新元的线性回归方程，换回x 即可得y 对x 的回归曲线方程．(2)非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时按以下步骤求回归方程：①画出已知数据的散点图，看是否是线性回归分析问题，如果不是，把它与必修数学中学过的函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，采用适当的变量置换，把非线性回归分析问题化为线性回归分析问题．②作相关性检验，即判断寻找线性回归方程是否有意义，③当寻找线性回归方程有意义时，计算系数,ˆ,ˆb a得到线性回归方程．④代回x 得y 对x 的回归曲线方程．5．求线性回归方程的三种方法在求具有线性相关关系的两个变量之间的回归方程时，由于所给两个变量的数据较多并且量大，致使运算量大且繁杂，常常使我们望而生“畏”，望而生“烦”，下面给出求线性回归方程的几种方法，以供参考．(1)用最小二乘法求线性回归方程：对于两个变量，在确定具有线性相关关系后，可以利用“最小二乘法”来求回归方程．用“最小二乘法”求线性回归方程的关键在于正确地利用回归方程中系数公式=--=∑∑==a xn x y x n y x b i ni i in i ˆ,ˆ2211 .ˆx by - 求出系数,ˆ,ˆb a这样回归方程也就建立起来了．为了使计算更加有条理，我们通过制作表格来先计算出212111i n i thn i ih n i i n i y x y x ∑∑∑∑====、和,1ii ni y x ∑= 再计算出,1,111i ni i n i x n x y n y ∑∑==== 然后利用公式yy n i i xx L x n x L ,212-=∑=-=-=∑∑==ni i i xy n i iy x L y n y 1212, ,y x n计算,ˆˆ,ˆx b y a r x xxL L -== 最后写出线性回归方程．.ˆˆˆa x b y+= (2)用函数型计算器求线性回归方程：在求线性回归方程时，所给的数据一般较多，运算量大，我们可以借助函数型计算器来代替人工完成这种复杂的数字计算，以提高运算速度．(3)用Excel 软件作散点图并求线性回归方程．在直角坐标系中描出数据的散点图，直观判断散点图是否在一条直线附近；用线性回归方程拟合二者的关系，这一过程还可以用Excel 软件来帮助我们完成，实现上机操作， 典例分 类剖析考点1 相关关系命题规律当一个变量变化时，另一个变量的取值有一定的相关性，这种关系是相关关系．相关关系可以利用散点图和相关系数进行判定．[例1] 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 的一组数据如下表所示．(1)画出散点图．(2)根据散点图，你能得出什么结论？[解析] 利用散点图，直观地归结出相关关系的两个变量所具备的特点，【解] (1)如图3-2 -1所示散点图．(2)结论：设戈与y 是具有相关关系的两个变量，且相应于n 组观测值的n 个点大致分布在一条直线附近，其中整体上与这n 个点最接近的一条直线最能代表x 与y 之间的关系．[点拨]散点图能帮助我们发现变量之间的线性关系，直观地反映了数据的变化规律．母题迁移 1．如图3 -2-2所示的5组数据中，去掉占剩下的4组数据的线____点， 性相关系数最大．考点2求线性回归方程命题规律利用公式yx S S y x xy r -= 计算相关系数，与对应r 的一个临界值进行比较，确定x 、y 之间是否相关；运用相应公式求出线性回归方程中的函数.ˆ,ˆb a[例2]近几年来，随着我国经济的发展，汽车已进入普通百姓家中．根据某汽车协会资料统计，国产某种型号家庭轿车的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （千元），如下表：(1)求出相关系数r ，并根据所求的r 判断两个变量之间的线性相关关系的强弱；(2)试求出回归直线方程，若某家庭购得此型号的汽车，请你为他们估计一下使用年限为10年时，维修费用是多少？、 [解析] 通过求出相关系数r ，从而判断出是否具有相关关系；再求回归方程，从而进行回归预测．[解] (1)根据公式，求得r≈0.9792 >0.878，故两个变量之间有较强的线性相关关系． ?(2)设所求的回归方程为,ˆˆˆa x b y+= 则,08.0ˆˆ,23.155ˆ225151=-==--=∑∑==x b y a xx y x y x b i i i ii 即所求的回归直线方程为.08.023.1ˆ+=x y当x=10时，代入回归直线方程得,38.12ˆ=y所以估计使用年限为10年时，维修费用是1.238万元．[点拨] 求x 与y 的回归直线方程，应首先判断x 与y 是否具有线性相关关系，如果直接求x 与y 的回归直线方程，它就没有任何实际价值，也就不能准确反映变量x 与y 之间的变化规律．母题迁移2．测得某种物质在温度x （单位：℃）下吸附另一种物质的重量y(单位：mg)的对应数据如下：(1)对变量y 与x 进行相关性检验；(2)若x 与y 具有线性相关关系，求y 对x 的回归直线方程[例3] 已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量x( kg)与每单位面积蔬菜年平均产量y(t)之间的关系有如下数据：(1)求x 与y 之间的相关系数，并检验是否线性相关；(2)若线性相关，求蔬菜产量y 与使用氮肥量x 之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150 kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量．[解析] (1)使用样本相关系数计算公式来完成．(2)先作统计假设，由小概率0.05与n-2在附表中查得相关系数临界值,05L r若05.0r r则线性相关，否则不线性相关．[解] 列出下表，并用科学计算器进行相关计算：)15)(15(15)1(215121215121151---=--⋅-=∑∑∑y y x x y x y x r i i i ii )11.101555.1628)(10115161125(11.10101158.16076⨯-⨯-⨯⨯-= 45.87915.760~ .864.0~由小概率0.05与n-2 =13在附表中查得,514.0.0=ωrx r r ∴>,||05α与y 线性相关．221511511515ˆ)2(x xyx y x b ii i ii -⋅-=∑∑== 21011516112511.10101158.16076⨯-⨯⨯-= ,37.0~ω.6463.010137.011.10ˆˆ=⨯-=-=ωx b y a．‘．回归直线方程为.6463.00937.0ˆ+=x y．．．当每单位面积施肥150 kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量为⋅=+⨯)(7.14~~7013.146463.015037.0t ω[点拨] 求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大时，需要细心、谨慎地计算．母题迁移 3:-个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：(l)y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程．(3)根据求出的回归直线方程，预测加工150个零件所用的时间为多少？考点3 线性回归方程的三种解法[例4】测得某地10对父子身高（单位：英寸）如下：父亲身高（x ）606264656667687067 68 707274儿子身高(y)63.665.26665.566.967.165. 5 66. 9 67. 167.468: 370.17070如果x 与y 之间具有线性相关关系，求线性回归方程，如果父亲的身高为78英寸，试估计儿子的身高．[解] 解法一：先将两个变量的有关数据在表中计算出来，如下表所示：由表中数据可计算，====101.6,8.6610668r y x=∑=1101,01.67y x i i,44794,4.448422111=∑=x i,101293.44941∑==⋅i y i代入公式=⨯-⨯⨯-28.66104479401.678.66104.44842 ≈6.17172.79 .646.04所以4646.001.67ˆˆ-=-=x b y a.975.358.66≈⨯因而所求得线性回归方程为：.975.354646.0ˆ+=x y当78=x时，=yˆ 975.35784646.0+⨯.2.722138.72≈=所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72.2英寸．解法二：用计算器求这个线性回归方程：（计算参数)a得35.977，（计算参数)ˆb得0.4646．所以所求线性回归方程为：.977.354646.0ˆ+=x y当78=x时，⨯=4646.0ˆy.2.722158.72977.3578≈=+所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72.2英寸，解法三：运用计算机中的Excel 软件：(1)输入数据x ，y:x6062646566672.665.6368707274y9.566.66654.167.67)2.(170.370.68选择数据，生成散点图：在菜单中选定“插入”中的“图表”，选择“xy 散点图”，连续点击“下一步”，可得到如图3 -2 -3所示的散点图．(3)建立回归直线：选中“图表”中的“添加趋势线”，点击“类型”标签，选定“趋势预测／回归分析类型”中的“线性”选项，单击“确定”，得到回归直线．(4)求得回归直线方程：双击回归直线，弹出“趋势线格式”，单击“选项”，选定“显示公式”，最后单击“确定”就得到回归直线方程，如图3 -2 -4所示．所求回归直线方程为：;977.354646.0ˆ+=x y当x=78时，977.35784646.0ˆ+⨯=y,2.722158.72≈=所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72.2英寸．[点拨] (1)“最小二乘法”是求线性回归方程常用的方法，在线性回归方程b a lr a x b yˆ,ˆ,ˆˆˆ+= 是线性回归方程中的系数，其中bˆ 是线性回归的斜率，表示自变量变化1个单位时因变量的平均变化值，在数值计算的过程中可以用计算器来帮助完成复杂的计算．(2)用函数型计算器求线性回归方程，避免了繁琐的计算，节省了时闽，因而大大地提高了解题的速度．(3)在运用计算机中的Excel 软件求线性回归方程时，只要严格按照运算程序一步步进行下去，最终总能求出回归直线方程并且得到如上图的图像，总之，求线性回归方程的方法是较多的，既有最常用的“最小二乘法”，又有简便易行的计算器法，还有用计算机软件来完成的方法，这些方法在以后的学习中同学们要逐步体会，考点4非线性回归的转化命题规律借助指数、幂、对数函数，将变量间的变换转化为回归问题．[例5] 在一化学反应过程中某化学物质的反应速度yg /min 与一种催化剂的量xg 有关，现收集了8组数据列于表中，试建立y 与x 之间的回归方程．[解析] 两个变量不一定是线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法将非线性关系转化为线性回归模型．[解】根据收集的数据作散点图：图3 -2 -5根据样本点分布情况，可选用两种曲线模型来拟合．(1)可认为样本点集中在某二次曲线221c x c y +=的附近，令,2x t =则变换后样本，点 应该分布在直线==+=a c b a bt y ,(1)2c的周围，由题意得变换后的t 与y 的样本数据表如下：作y 与 t 的散点图，由y 与t 的散点图可观察到样本数据点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程a tb yˆˆˆ+=来拟合，即不宜用二次曲线221c x c y +=来拟合y 与x 之间的关系．(2)根据x 与 y 的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数型函数曲线.1c e c y =的周围，今,ln y z =则,ln 12c x c z +=即变换后样本点应该分布在直线),ln (21c b c a a bx z ==+=的周围，由y 与x 数据表可得z 与x 的数据表作出z 与x 的散点图．由散点图可观察到大致在一条直线上，所以可用线性回归方程来拟合它，由z 与x 的数据表，得到线性回归方程，,8485.01812.0ˆ-=x z所以非线性回归方程为,ˆ8485.01812.0-=x e y因此，该化学物质反应速度关于催化剂的量的非线性回归方程为8485.01812.0ˆ-=x e y[点拨] 非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数图像作比较，挑选一种跟这些散点拟舍得最好的函数，然后像本例这样，采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决，母题迁移4．某种图书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：检测每册书的成本费y与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系？如有，求出y对x的回归方程．优化分层测训学业水平测试1．下列变量之间的关系是函数关系的是( )．A ．已知二次函数,2c bx ax y ++=其中a ，c 是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式ac b 42-=∆B ．光照时间和果树亩产量C ．降雪量和交通事故发生的数量D ．每亩施用肥料量和粮食产量2．对于线性相关系数r ，下列叙述正确的是( )．||),,0(||.r r A +∞∈越大，相关程度越大，反之，相关程度越小r r B ),,(||.+∞-∞∈越大，相关程度越大，反之，相关程度越小,1||.≤r C且lrl 越接近于1，相关程度越大；｜r ｜越接近于0，相关程度越小D ．以上说法都不对3．工人月工资y （元）按劳动生产率x （千元）变化的回归方程为,8050ˆx y+= 下列判断正确的是( )．①劳动生产率为1000元时，则月工资为130元；②劳动生产率提高1000元时，则月工资提高80元；③劳动生产率提高1000元时，则月工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2000元．A ．① B．② C．③． D ．④4．为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并利用线性回归方法，求得回回归直线分别为,21l l N已知两人获得的试验数据中，变量x 和y的数据的平均值都相等，且分别都是s 、t ，那么下列说法正确的是( )．A ．直线21*nl l一定有公共点(s ，t)B ．直线21*l l ∏相交，但交点不一定是(s ，t)C ．直线21*nl l可能没有交点21.kJl l D必定重合5．在一次实验中，测得(x ，y)的四组值分别是A(l ，2)，B(2，3)，),5,4(),4,3(D C则y 与x 之间的回归直线方程为( )．1ˆ.+=x yA 2ˆ+=⋅x yB 12ˆ+=⋅x yC 1ˆ.-=x yD 6．弹簧长度），( cm)随所挂物体质量x(g)不同而变化的情况如下：(1)画出散点图；(2)求y 对x 的回归直线方程；(3)预测所挂物体的质量为27 g 时的弹簧长度（精确到0.01 cm)．7．随着人们经济收入的不断增长，购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增加，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司为此进行了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y （万元）有如下的数据资料：若由资料知，y 对x 呈线性相关关系，试求：(1)线性回归方程a xb yˆˆˆ+= 的回归系数,ˆˆb a、 (2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？嵩考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：120分）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分．共35分）1．下面两个变量间的关系不是函数关系的是( )．A ．正方形的棱长与体积B ．角的度数与它的正弦值C ．单产为常数时，土地面积与粮食总产量D ．日照 时间与水稻亩产量2．（2011年江西高考题）变量x 与y 相对应的一组数据为,10();5,13(),4,5.12(),3,8.11(),2,3.11(),1变量u 与v 相对应的一组数据为),2,5.12(),3,8.11(),4,3.11(),5,10(1),1,13(r表示变量y 与x 之间的线性相关系数，2r表示变量v 与u 之间的线性相关系数，则()．0.12<<r r A120.r r B <<120.r r C <<12.r r D =3．为了表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用( )．)ˆ(.1i i ni y y A -∑=表示)ˆ(.1i i ni y y B -∑=表示21)ˆ(.i i ni y y C -∑=表示21)(.y y D i ni -∑=表示4．设一个回归方程为,53ˆx y -=变量x 增加一个单位时( )．A ．y 平均增加3个单位 B.y 平均减少5个单位C.y 平均增加5个单位 D.y 平均减少3个单位5．线性回归方程a xb yˆˆˆ+= 必过( )．)0,0.(A)0,.(x B),0(y C ⋅),.(y x D6．已知两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：经计算得回归方程a bx y+=ˆ 的系数,575.0=b则a=9.14.-A9.13.-B9.12.-C9.14.D7．判断图3 -2 -8中的两个变量，具有相关关系的是( )．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）8．（2011年广东高考题）某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm ，170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为____ cm.9．-唱片公司欲知出歌费用x （十万元）与唱片销售量y （千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得到如下的资料：,4.303,282101101==∑∑≡=i i ti x x γ ,5.598,75211011101==∑∑≈y yx i i ,237101=∑≈i ti y x则y 与x 的相关系数r 的绝对值为10.某五星级大饭店的入住率x(%)与每天每间客房的成本，，（元）如下：则y 关于x 的回归直线方程是____三、解答题（70分）11．（10分）设有资料如下表所示：两位评酒员对10种品牌白酒的主观排序及白酒种类试问两位评酒员的评审顺序是否具有一定的线性相关关系？（按5%的显著水平检验）12.（12分）用镁合金X 光探伤时，要考虑透视电压U 与透视厚度l 的关系，做了5次独立试验结果如下：(1)画出散点图；(2)进行相关性检验；(3)求U 关于l 的线性回归方程，并预测当透视厚度l 为40 mm 时，透视电压U 是多少千伏．13.（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过’程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y 关于x 的线性回归方程;ˆˆˆa x b y+= (3)已知该厂技改前100t 甲产品的生产能耗为90t 标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100t 甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5+4 x3 +5 x4+6 x4.5 =66.5)14.（12分）每立方米混凝土的水泥用量x （单位：kg ）与28天后混凝土的抗压强度（单位：)/2cm kg之间的关系有如下数据：(1)对变量y 与x 进行相关性检验；(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程．15.（12分）下表为收集到的一组数据：(1)作出x 与y 的散点图，并猜测x 与y 之间的关系；(2)建立x 与y 的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x=40时y 的值．16.（12分）已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表：(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线方程．单元知识整合2．本章注意问题在本章的学习中我们必须注意以下几个问题：(1)函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系，函数关系有具体的函数关系式，而相关关系没有一个确定的关系式，用回归直线来估计相应的量的关系，但这种关系也不是确切的，存在着一定的误差．(2)利用散点图来确定两个变量之间是否具有线性相关关系时，作图要规范，如果样本点呈条形分布，我们就认为具有线性相关关系，如果有个别的样本点出现异常，而绝大多数的样本点在这个条形区域内，我们可以不考虑这个别的点，或认为这几个出现异常的点对我们的结论影响不大．但如果出现异常的点过多就认为不具有线性相关关系．(3)样本相关系数的计算公式为,)()())((21211y y x xy y x x r i n i i n i i i n i ----=∑∑∑=-= 可以用来衡量两个变量之间的线性相关关系，当r >0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关．在实际判断中用…进行衡量，如果｜r ｜越接近于1，表明两个变量之间的线性相关性越强，｜r ｜越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；通常当｜r ｜大于0.75时，就认为两个变量之间有很强的线性相关关系，就可以求回归直线方程，并且在r >0时，回归系数bˆ 为正，在r<0时，bˆ 为负．(4)回归直线方程a xb yˆˆˆ+= 过样本点中心).,(y x(5)在线性回归模型中，随机误差用y ∧预报真实值_y 的误差．它是一个不可预测的变量，但可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体特征，均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值为O ，因此可以用方差来衡量随机误差的大小．(6)在研究两个变量之间的关系时，可以先根据散点图来粗略地判断它们是否存在线性相关关系，是否可以用线性回归模型来拟合两个变量的关系，如果可以用线性回归模型来拟合时，再求出面归直线方程，．最后再作残差分析来判断拟合的效果，并判断原始数据中是否存在可疑数据．(7)在判断两个分类变量的可信程度时要特别注意计算的准确度，准确代数，准确计算，准确比较，准确下结论．(8)在实际问题中，经常会面临需要推断的问题，在对问题进行推断时，我们不能仅凭主观意愿作出结论，还需要通过收集数据，并根据独立性检验的基本原理作出合理的推断．(9)统计方法是可能犯错误的，不管是回归分析还是独立性检验，得到的结论都可能犯错误，好的统计方法就是要尽量降低犯错误的概率，比如在推断吸烟与患肺癌是否有关时，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，而且这个结论出错的概率在0.01以下，实际上这是统计思维与确定性思维差异的反应．结合本章的学习，谈谈你对统计思维和确定性思维差异的理解．3．热点透视(1)独立性检验思想在日常生活中的应用．(2)了解线性回归思想，会求线性回归方程及进行相关性检验，掌握回归分析在生活中的应用．4．思想方法总结类型1 独立性检验思想在生活中的应用 ‘由题意列出事件A 与B 的2×2列联表，据公式计算出,2x若,706.22>x则有90%的把握认为事件A 与B 有关，若>2x,635.6则有99%的把握认为事件A 与B 有关；若,828.102>x则有99.9%的把握认为事件A 与B 有关，若,706.22≤x。
3.2 双变量线性回归模型的参数估计
i
i
i
ˆ
X Y X
2 i
i i
样本回归线的性质
通过Y和X的样本均值点 估计的Yi的均值等于实际观测的Yi的 均值 残差的均值为0 残差与解释变量Xi不相关 残差与估计的Yi值不相关
高斯定理
结论：在古典假定条件下 ,OLS 估计式是最佳线 性无偏估计式（BLUE）
三、最大似然估计法(ML)
2
评价要素（高斯定理前奏）
1.无偏性，方法、样本一定，抽样不同 2.最小方差性，样本一定，方法不同 3.渐进性，大样本时，具有最小渐近方差 （渐近有效）
二、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。
普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：残差的平方和最小。
基本原理： 对于最大似然法，当从模型总体随机抽 取n组样本观测值后，最合理的参数估计量 应该使得从总体中抽取该n组样本观测值的 概率最大。
双变量线性回归模型： Yi 1 2 X i ui
在满足11条基本假定的条件下
Yi ~ i.i.n.(1 2 X i , )
2
Yi的概率密度函数为 （i=1,2,…n）
将该似然函数极大化，即可求得到模型参 数的最大似然估计量。
对lnLF求极大值:
解得模型的参数估计量为：
2
~ ( X X )(Y Y ) x y x (X X )
i i i 2 i 2 i i
1 Y 2 X
~
~
2 ~2 u ˆ i n
可见，在满足一系列基本假设的情况下， 模型结构参数的最大似然估计量与普通最小 二乘估计量是相同的。
3.2回归分析
4
4 11.73 46.92 16
5
5 15.69 78.45 25
6
6 16.12 96.72 36
7
7 16.98 118.9 49
8
8 4.50 21.06 13.08 168.5 64 560.1 204
3、回归分析的基本步骤:
画散点图
求回归方程
预报、决策
思考：在时刻x=9s时，质点运动位置一定 是22.6287cm吗？ 4、线性回归模型
y a bx
其中a+bx是确定性函数， 是随机误差
注： 产生的主要原因：
(1)所用确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观测误差。
对于线性回归模型
y a bx
应注意以下两个问题： I 模型的合理性； II 在模型合理的情况下，如何估计a,b.
回归分析
问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪 些呢？ 不相关
函数关系
1、两个变量的关系
相关 关系
线性相关 非线性相关
相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定 时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量 之间的关系。
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
检验方法步骤如下: 1.提出统计假设H0:变量x,y不具有线性相关关系; 2.如果以95%的把握作出推断,那么可以根据1-0.95 =0.05与n-2在附录1中查出一个r的临界值 r0.05 (其中1-0.95=0.05称为检验水平) 3.计算样本相关系数r 4.作出统计推断:若|r|> r0.05 ,则否定H0表明有 95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系; 若|r| r0.05 ,则没有理由拒绝原来的假设H0,即 就目前数据而言,没有充分理由认为y与x之间 有线性相关关系
回归分析课程设计
回归分析课程设计一、项目背景随着数据科学和机器学习技术的快速发展，回归分析被广泛应用于数据挖掘、统计分析、预测建模等领域。
回归分析是指研究两个或多个变量之间相互关系的一种统计方法，通常用于分析自变量和因变量之间的关系以及对因变量的预测。
因此，在回归分析的课程设计中，我们需要掌握回归分析的基本概念、方法和模型，并能够应用R语言进行分析和建模。
二、项目目标本次课程设计的目标是，通过实践，让学生掌握回归分析方法、掌握如何使用R语言进行回归分析，并能够利用回归模型进行预测。
三、项目内容3.1 数据获取首先，我们需要获取回归分析所需的数据集。
在本次课程设计中，我们使用的数据集是California Housing，该数据集包含了1990年加利福尼亚州住房的普查数据，包括了17606个样本，每个样本有8个属性。
我们将使用该数据集进行回归分析。
3.2 数据预处理在进行回归分析之前，我们需要对数据进行预处理。
数据预处理的主要目的是清洗数据、转化变量、处理缺失值等。
在本次课程设计中，我们需要进行以下数据预处理：1.数据清洗对于不合理或异常的数据，我们需要进行清洗处理，例如删除重复样本、删除异常值等。
2.变量转化在回归分析中，我们需要将分类变量转化为哑变量，即将其转化为数字变量。
同时，我们还需要将数值变量进行标准化处理，以便于建立回归模型。
3.处理缺失值对于含有缺失值的样本，我们需要采用合适的方法来填补缺失值，例如均值填补、随机填补等。
3.3 建立回归模型在进行回归分析时，我们需要选择合适的模型。
在本次课程设计中，我们将建立基于多元线性回归的模型，以房屋价格作为因变量，将房屋属性作为自变量，建立回归模型，并进行模型检验。
3.4 模型检验在建立回归模型之后，我们需要对模型进行检验，以评估模型的拟合优度。
在本次课程设计中，我们将采用R语言中的summary()函数来进行模型检验，并检验模型的各项指标是否满足要求。
3.5 模型预测在对模型进行了检验之后，我们可以利用模型进行预测，预测新的房屋价格。
计量地理学第三章——2 回归分析
例1
一元线性回归方法的基本公式为：
y a bx
式中：a，b为待定参数，其表达式如下：
b Lxy Lxx
n i 1
xi yi
1 n
n
(
i 1
xi )(
n i 1
n i 1
xi2
1 n
n
(
i 1
xi )2
yi )
a y bx
变差 来源 回归
误差
总和
平方和
自由度
n
SSR (Yˆi Y )2
地区编号 1 2 3 4 5 6 7 8
月平均销售收 入（万元）y
31
40
30
34
25
20
35
40
月平均广告支 出（万元）x
5 10 5
7
4
3
7
9
要求：对于不同的月平均广告支出预测月平均销售收入
解:由计算结果可知，回归方程为
SST=338.875 SSR=314.532 SSE=24.343
Y 14.669 2.753X
因此，对于不同的月平均广告支出，其月平均销售收入的预测 结果如下：单位：万元
月平均广告支出 平均收入的点预测 平均收入的区间预测
6
31.187
（25.956，36.418）
8
36.693
（31.296，42.090）
12
47.705
（40.872，54.538）
直线回归、相关分析的注意事 项：
1）相关分析只是以相关系数来描述两个变量间线性相关 的程度和方向，并不阐明事物间存在联系的本质，也不是两事 物间存在联系的证据。要阐明两事物间的本质联系，必须凭专 业知识从理论上加以论证。因此，把两个毫无关系的事物放在 一起作相关分析是毫无意义的。同样，回归分析也要有实际意 义。
测量数据处理的常用方法
测量数据处理的常用方法引言：在科学研究、工程实践以及日常生活中，测量都扮演着至关重要的角色。
而测量数据的处理则是确保测量结果准确可靠的关键一步。
本文将介绍测量数据处理的常用方法，帮助读者掌握数据分析的基本技巧。
一、数据预处理测量数据处理的第一步是数据预处理。
数据预处理旨在去除测量误差、处理数据异常值以及填充缺失数据。
1.1 数据清洗数据清洗是指通过剔除异常值和纠正测量误差来提高数据质量。
常用的数据清洗方法包括：范围检验、平滑滤波和插值方法等。
通过这些方法，我们可以去除数据中不符合实际情况的异常值，使数据更加可靠。
1.2 缺失数据处理在实际测量过程中，我们常常会遇到数据缺失的情况。
处理缺失数据的方法包括：删除法、均值法和插值法等。
这些方法可以根据数据的特点和分析目的，选择最合适的方式填充缺失数据，从而避免造成结果的偏差。
二、统计分析测量数据处理的下一步是统计分析。
统计分析可以帮助我们揭示数据背后的规律，评估测量结果的可靠性。
2.1 描述统计分析描述统计分析是通过对数据进行总结和描述，来了解数据的基本特征。
我们可以使用均值、标准差、中位数和百分位数等统计量，对数据的分布、集中趋势和离散程度进行描述。
此外，绘制直方图和箱线图等图表也是常用的方法。
2.2 假设检验假设检验是用来判断样本数据是否与某个假设相符合的方法。
该方法可以通过确定显著水平、选择合适的统计检验方法，来判断样本数据是否能够反映总体的特征。
常用的假设检验方法有t检验、卡方检验和方差分析等。
三、回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的方法。
它可以帮助我们了解自变量对因变量的影响程度，并建立预测模型。
3.1 简单线性回归简单线性回归分析是最基本的回归分析方法。
它通过建立自变量和因变量之间的线性关系来描述数据。
我们可以通过拟合直线，来评估自变量对因变量的影响。
3.2 多元线性回归多元线性回归分析能够同时考虑多个自变量对因变量的影响。
它通过建立多个自变量和因变量之间的线性关系，来更准确地预测因变量的值。
报告中的定量数据分析方法与工具
报告中的定量数据分析方法与工具一、统计学方法在报告中的应用统计学方法是定量数据分析中最常用的工具之一，它可以帮助我们从大量的数据中得出结论。
在报告中，统计学方法可以帮助我们分析数据的分布、趋势以及相关性，从而深入研究问题并作出有据可依的结论。
1.1 数据的描述性统计分析在报告中，一般会对数据进行描述性统计分析，以便对数据的整体情况有一个直观的了解。
描述性统计分析包括计算数据的中心趋势和离散程度，常用的统计指标有均值、中位数、标准差、极差等。
通过这些指标，我们可以对数据的分布特征进行初步把握。
1.2 假设检验和置信区间估计在报告中，我们有时会对两组数据之间的差异性进行检验，以判断是否存在显著差异。
假设检验可以帮助我们确定是否拒绝或接受某个假设，从而得出结论。
此外，置信区间估计可以帮助我们确定某个参数的范围，为结论提供更多的可信度。
二、回归分析在报告中的应用回归分析是一种用于研究两个或多个变量之间关系的定量数据分析方法。
在报告中，回归分析可以帮助我们探究变量之间的相关性，进一步理解数据的变化规律和影响因素。
2.1 线性回归分析线性回归分析常用来研究一个因变量与一个或多个自变量之间的线性关系。
通过回归方程，我们可以根据给定的自变量值预测因变量的值，从而了解它们之间的关系以及影响因素的大小和方向。
2.2 多元回归分析多元回归分析是一种探究多个自变量对一个因变量的影响的方法。
在报告中，如果我们想更全面地了解多个自变量对因变量的影响程度，可以使用多元回归分析。
通过多元回归模型，我们可以确定各个自变量对因变量的独立影响和联合影响。
三、时间序列分析在报告中的应用时间序列分析是一种用于研究以时间为顺序的连续数据的定量数据分析方法。
在报告中，时间序列分析可以帮助我们发现数据的周期性变动、趋势性变动以及季节性变动，从而预测未来的趋势和规律。
3.1 趋势分析趋势分析是对时间序列数据的长期变动趋势进行检验和预测的方法。
在报告中，我们可以运用趋势分析来研究某个变量随时间变化的趋势方向，以及未来可能的变化路径。
统计学中的回归分析与相关性
统计学中的回归分析与相关性回归分析与相关性是统计学中重要的概念和方法，用于研究变量之间的关系和预测。
本文将介绍回归分析和相关性分析的基本原理、应用领域以及实际案例。
一、回归分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的一种统计方法。
它的基本思想是通过对一个或多个自变量与一个因变量之间的关系进行建模，来预测因变量的取值。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基本的形式，用于研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
1.2 多元回归多元回归是回归分析的扩展形式，用于研究多个自变量对一个因变量的影响。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε。
1.3 回归诊断回归分析需要对建立的模型进行诊断，以确保模型的有效性和合理性。
常见的回归诊断方法包括检验残差的正态性、检验变量之间的线性关系、检验残差的独立性和方差齐性等。
二、相关性分析相关性分析是统计学中用来研究两个变量之间线性关系强弱的方法。
通过计算两个变量的相关系数，可以判断它们之间的相关性。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是最常用的衡量两个连续变量之间线性相关强度的指标，取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种非参数统计量，用于衡量两个变量之间的等级相关性。
与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数不要求变量呈线性关系。
三、回归分析与相关性的应用回归分析和相关性分析在各个领域都有广泛的应用。
下面以两个实际案例来说明其应用：3.1 股票市场分析在股票市场分析中，可以使用回归分析来研究某只股票的收益率与市场整体指数之间的关系。
统计分析：回归分析的基本原理与应用
统计分析: 回归分析的基本原理与应用1. 引言回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它主要用于研究因变量与自变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析被广泛运用于预测、建模和探索数据等领域。
本文将介绍回归分析的基本原理和应用。
2. 回归分析的基本原理2.1 线性回归模型线性回归模型是最常见且简单的回归模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。
该模型通过拟合一条直线或超平面来描述因变量对自变量的依赖关系。
2.2 最小二乘法最小二乘法是求解线性回归模型参数的常用方法。
它通过最小化观测值与模型预测值之间的平方差来估计模型参数。
2.3 多元回归分析多元回归分析考虑多个自变量对因变量的影响，并拟合一个包含多个特征的线性模型。
它可以更准确地描述复杂系统中各个自变量对因变量的影响程度。
3. 回归分析的应用3.1 预测与预测建模回归分析可以用于预测未来的值。
通过基于已知数据建立一个回归模型，我们可以对新的自变量进行预测，从而得出因变量的估计值。
3.2 影响因素分析通过回归分析，我们可以确定哪些自变量对因变量具有显著影响。
这种分析可以帮助我们理解系统中各个因素之间的关系，并作出相应的决策。
3.3 异常检测回归分析还可以用于检测异常值。
异常值可能会对模型参数产生不良影响，通过识别和处理异常值，我们可以提高模型的准确性。
4. 总结回归分析是一种重要且常用的统计方法，在许多领域都有广泛应用。
它可以帮助我们理解数据之间的关系、预测未来值、发现影响因素以及检测异常情况等。
了解和掌握回归分析的基本原理及其应用，将使我们在实践中更加灵活地运用该方法，并能够做出准确和有效的数据分析和决策。
3.2 多元线性模型的参数估计
于（k+1）的矩条件，就是广义矩估计法（GMM）。
四、参数估计量的性质
说明
• 在满足基本假设的情况下，多元线性模型结构
参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及
矩估计具有线性性、无偏性、有效性。
• 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有渐 近无偏性、渐近有效性、一致性。
工资性收入 X1 30273.0 23231.9 14588.4 16216.4 18377.9 15882.0 14388.3 12525.8 33235.4 21890.0 24453.0 15535.3 21443.4 14767.5 21562.1
14822.0
14704.2
其他收入 X2 15000.8 12423.7 9554.4 7797.2 8600.1 12022.9 9155.9 8623.4 15643.9 13241.0 16788.0 9470.8 11939.3 8181.9 9066.0
• ML必须已知随机项的分布。
2、估计步骤:以一元模型为例
Yi ~ N(ˆ0 ˆ1 X i , 2 )
Yi的分布
P(Yi )
1
e
1
2
2
(Yi
ˆ0
ˆ1
X
i
)
2
2
Yi的概率函数
L(ˆ0 , ˆ1, 2 ) P(Y1,Y2 , ,Yn )
1
e
1
2
i 1
一组矩条件，等同于OLS估计的正规方程组。
3、矩估计法是工具变量方法和广义矩估计法 的基础
• 矩估计利用随机干扰项与各解释变量不相关特性 构造矩条件。
统计学的基本指标和字母
统计学的基本指标和字母一、集中趋势指标1.1 平均数平均数就是把一堆数加起来再除以个数。
比如说咱们班同学的考试成绩，把所有人的分数加起来除以总人数，得到的就是平均分数。
这能让咱们大概知道整体的水平咋样。
比如说这次考试，小明考了 80 分，小红考了 90 分，小刚考了 70 分，那平均成绩就是（80 + 90 + 70）÷ 3 = 80 分。
1.2 中位数中位数就是把一组数从小到大或者从大到小排好，最中间那个数就是中位数。
要是数字个数是偶数，那就取中间两个数的平均值。
比如说咱们几个好朋友的身高，从矮到高排，最中间那个人的身高就是中位数。
要是有 5 个人，中间那个就是中位数；要是有 6 个人，那就把第 3 个和第 4 个人的身高加起来除以 2 得到中位数。
二、离散程度指标2.1 极差极差就是一组数据里最大数减去最小数。
比如说咱们看一周的气温，最高气温 30 度，最低气温 10 度，那极差就是 30 10 = 20 度。
极差越大，说明数据波动越大。
2.2 方差方差就是衡量数据分散程度的。
先算每个数与平均数的差，再平方，加起来除以个数。
比如说咱们比投篮，投了几次，每个人每次的进球数和平均进球数有差距，算这个差距的平方和再除以投篮次数，就是方差。
方差越大，说明数据越分散。
2.3 标准差标准差其实就是方差的平方根。
它和方差作用差不多，就是更直观一点。
比如还是投篮的例子，方差算出来挺大，那标准差也会大，就说明大家投篮的水平差异大。
三、相关关系指标3.1 相关系数相关系数是用来衡量两个变量之间线性关系的强度和方向的。
取值在 1 到 1 之间。
比如说身高和体重，一般是正相关，相关系数接近 1 ；而学习时间和玩游戏时间，通常是负相关，相关系数接近1 。
要是相关系数接近 0 ，就说明没啥线性关系。
3.2 回归分析回归分析能帮咱们找到变量之间的具体关系。
比如说知道了学习时间和考试成绩的一些数据，通过回归分析就能得出一个大概的式子，能预测出学多长时间大概能考多少分。
报告中的回归分析和参数估计
报告中的回归分析和参数估计引言：在现代数据分析中，回归分析和参数估计是非常重要的统计方法。
回归分析可以用来研究变量之间的关系，并进行预测和解释。
参数估计则是通过样本数据对总体参数进行估计，从而进行统计推断和假设检验。
本报告将详细讨论回归分析和参数估计的相关概念和方法，并介绍其在实际研究中的应用。
一、线性回归分析1.1 简介线性回归分析是一种通过对自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的方法。
该方法假设自变量和因变量之间存在线性关系，并基于最小二乘法拟合回归模型。
在报告中，我们将介绍线性回归的基本原理和模型建立的步骤。
1.2 模型建立与拟合在进行线性回归分析时，首先需要选择适当的自变量和因变量，并建立回归模型。
然后，使用最小二乘法估计回归系数，并对模型的拟合程度进行评估。
本节将详细介绍模型建立和参数估计的过程，并提供实例进行说明。
一、多元回归分析2.1 简介多元回归分析是一种通过考虑多个自变量对因变量的影响进行建模和预测的方法。
该方法可以帮助我们理解多个自变量对因变量的作用，并进行相应的预测和解释。
在报告中，我们将介绍多元回归的基本原理和模型建立的步骤。
2.2 模型选择与解释在进行多元回归分析时，需要选择适当的自变量，并构建回归模型。
然后，使用最小二乘法估计回归系数，并进行模型选择和解释。
本节将详细介绍模型选择和解释的方法，并提供实例进行说明。
三、参数估计方法3.1 最小二乘估计最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与回归模型估计值之间的残差平方和，来估计参数的值。
在报告中，我们将介绍最小二乘估计的原理和步骤，并讨论其在回归分析中的应用。
3.2 最大似然估计最大似然估计是一种基于概率模型的参数估计方法，通过寻找使观测数据出现概率最大的参数值，来估计参数的值。
在报告中，我们将介绍最大似然估计的原理和步骤，并讨论其在回归分析中的应用。
四、回归分析与实际应用4.1 经济学研究中的回归分析回归分析在经济学研究中广泛应用，可以帮助我们理解经济变量之间的关系，并进行经济政策的预测和评估。
回归分析在公司财务分析与预测中的应用
回归分析在公司财务分析与预测中的应用【摘要】回归分析在公司财务分析与预测中的应用是一种重要的数据分析方法。
通过回归分析的基本原理，可以帮助公司识别财务数据之间的关联性，并预测未来的趋势。
在公司财务分析中，回归分析方法广泛应用于确定关键的财务指标之间的相互影响。
在进行财务预测时，回归分析可以帮助公司制定准确的预算和战略规划。
通过案例分析，可以看到回归分析在实际应用中的效果。
风险管理与回归分析的结合也可以降低公司在财务决策中的风险。
回归分析在公司财务分析与预测中的重要性不言而喻，未来发展趋势也将更加智能化和精准化。
回归分析在公司财务管理中扮演着至关重要的角色，有助于公司做出精准的决策和规划。
【关键词】回归分析、公司财务、分析、预测、应用、基本原理、方法、案例分析、风险管理、重要性、未来发展趋势、总结1. 引言1.1 回归分析在公司财务分析与预测中的应用回归分析是一种统计学方法，用于分析变量之间的关系并进行预测。
在公司财务领域，回归分析被广泛应用于财务分析和预测中，帮助企业了解业务运营的趋势和预测未来的财务表现。
回归分析的主要原理是通过建立一个数学模型来描述不同变量之间的关系。
在公司财务分析中，回归分析可以帮助企业确定不同因素对财务表现的影响程度，找到关键的影响因素，从而制定更有针对性的经营策略。
在公司财务预测中，回归分析可以帮助企业预测未来的财务表现，提前发现可能存在的问题并采取相应的措施。
通过建立回归模型，企业可以更准确地预测销售额、利润、资产负债等财务指标，为未来的决策提供依据。
回归分析在公司财务分析与预测中的应用是非常重要的。
它不仅可以帮助企业深入了解自身的财务状况，还可以帮助企业在竞争激烈的市场环境中更好地发展和成长。
通过合理地运用回归分析，企业可以更好地把握商机、降低风险、提高效益，实现可持续发展。
2. 正文2.1 回归分析的基本原理回归分析是一种统计学方法，用于研究一组变量之间的关系。
在公司财务分析和预测中，回归分析可以帮助分析师了解各种财务指标之间的相互影响，以及它们与公司业绩之间的关联。
研究生统计学教案：回归分析在社会学研究中的应用
研究生统计学教案：回归分析在社会学研究中的应用引言回归分析是一种常用的统计方法，可以帮助我们了解和解释变量之间的关系。
在社会学研究中，回归分析被广泛应用于探索社会现象和预测社会变量。
本文将介绍回归分析的基本原理以及如何运用回归分析进行社会学研究。
1. 回归分析基础知识1.1 线性回归模型线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，并通过最小二乘法来估计模型参数。
1.2 多重线性回归模型多重线性回归模型允许多个自变量同时对因变量进行解释，并考虑各个自变量之间的相互关系。
1.3 模型检验与评估通过残差分析、方差分析和其他统计指标来检验和评估回归模型的拟合程度以及各个预测变量的显著性。
2. 回归分析在社会学研究中的应用案例2.1 教育水平与收入关系的回归分析探索教育水平对个人收入的影响，如何使用回归模型解释这种关系并进行统计检验。
2.2 社会支持与幸福感关系的回归分析研究社会支持和个体幸福感之间的相关性，并考虑其他可能影响因素。
2.3 婚姻满意度与家庭收入关系的回归分析通过回归分析探索婚姻满意度和家庭收入之间的联系，进一步了解财富对婚姻品质的影响。
3. 使用软件进行回归分析3.1 SPSS软件介绍如何使用SPSS软件进行回归分析，包括数据处理、模型建立和结果解释等方面。
3.2 R语言介绍如何使用R语言实现回归分析，包括安装相关包、数据处理、模型构建和结果可视化等内容。
结论通过本文对回归分析在社会学研究中应用的介绍和案例讨论，我们可以发现回归分析是一种强大而灵活的工具，可以帮助我们深入理解和预测社会现象。
研究生统计学课程中的回归分析内容对于社会学领域的学生和研究人员来说是必不可少的。
回归的数学原理
回归的数学原理引言：回归分析是一种常用的数学方法，用于分析变量之间的关系。
通过回归分析，我们可以从一组数据中找到一个数学模型，能够描述变量之间的关系，并用该模型进行预测和解释。
本文将介绍回归的数学原理及其应用。
一、线性回归1.1 线性回归的基本概念线性回归是回归分析中最简单的一种方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
线性回归的数学表达式可以表示为：Y = a + bX，其中Y是因变量，X是自变量，a和b是回归系数。
回归系数表示因变量Y对自变量X的影响程度。
1.2 最小二乘法线性回归中常用的求解方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是使回归模型的预测值与真实值的误差平方和最小。
通过最小化误差平方和，可以得到最佳的回归系数估计。
1.3 模型评估线性回归模型的好坏可以通过多种指标进行评估，常见的指标包括均方误差（MSE）、决定系数（R-squared）等。
均方误差衡量了模型的预测误差大小，决定系数则表示模型对观测值的解释程度。
二、多元回归2.1 多元回归的概念多元回归是回归分析中考虑多个自变量的一种方法。
它可以用于分析多个因素对一个因变量的影响，并建立多元线性回归模型。
多元回归的数学表达式可以表示为：Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn，其中X1、X2、...、Xn是自变量，b1、b2、...、bn是回归系数。
2.2 多重共线性在多元回归中，有时自变量之间存在较强的相关关系，这种现象称为多重共线性。
多重共线性会导致回归系数估计不准确，增加模型的不稳定性。
为了解决多重共线性问题，可以使用变量选择方法或者进行主成分分析。
三、非线性回归3.1 非线性回归的概念非线性回归是回归分析中考虑非线性关系的一种方法。
当变量之间的关系无法用线性模型描述时，可以采用非线性回归模型。
非线性回归模型的形式可以根据实际问题进行选择和拟合。
3.2 拟合优度拟合优度是衡量非线性回归模型拟合效果的指标，常用的指标有调整决定系数（adjusted R-squared）和残差平方和。
泛系数定理
泛系数定理泛系数定理是概率论中的重要定理之一，它与随机变量的相关性密切相关。
在本文中，我们将介绍泛系数定理的定义、性质以及应用。
1. 定义泛系数是用来衡量两个随机变量之间线性关系的一种统计量。
设X 和Y是两个随机变量，它们的协方差记为Cov(X,Y)，方差分别为Var(X)和Var(Y)。
泛系数定义为：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) * Var(Y))其中，ρ(X,Y)表示X和Y的泛系数。
2. 性质泛系数具有以下性质：2.1 泛系数的取值范围在[-1, 1]之间。
当ρ(X,Y) = 1时，表示X 和Y存在完全正相关关系；当ρ(X,Y) = -1时，表示X和Y存在完全负相关关系；当ρ(X,Y) = 0时，表示X和Y不存在线性关系。
2.2 泛系数具有对称性，即ρ(X,Y) = ρ(Y,X)。
2.3 若X和Y独立，则它们的泛系数为0。
3. 应用泛系数在实际应用中具有广泛的用途，其中包括：3.1 判断两个随机变量之间的相关性。
通过计算泛系数，我们可以判断两个随机变量之间的线性关系强弱。
如果泛系数接近于1或-1，则表示它们之间存在较强的线性关系；如果泛系数接近于0，则表示它们之间几乎没有线性关系。
3.2 回归分析。
在回归分析中，我们可以利用泛系数来评估自变量与因变量之间的关系强度。
根据泛系数的大小，我们可以选择合适的回归模型。
3.3 金融风险评估。
在金融领域，泛系数可以用于评估不同资产之间的相关性。
通过计算资产之间的泛系数，我们可以了解它们之间的风险传递程度，从而制定有效的投资组合。
4. 总结泛系数定理是概率论中重要的定理之一，它提供了衡量随机变量之间线性关系的工具。
通过计算泛系数，我们可以判断两个随机变量之间的相关性，应用于回归分析和金融风险评估等领域。
在实际应用中，我们需要注意泛系数的取值范围和对称性，以正确解读泛系数的结果。
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例题2 下表是随机抽取的8对母女的身高数据， 试根据这些数据探讨y与x之间的关系.
母亲身高x/cm 154 157 158 159 160 161 162 163 女儿身高y/cm 155 156 159 162 161 164 165 166
问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法 来刻划之间的关系呢？ 2、最小二乘估计 最小二乘估计下的线性回归方程：
ˆ a ˆ bx ˆ y
ˆ b
( x X )( y
i 1 i
n
i
Y )
(X
i 1
n
i
X)
ˆ ˆ Y bX a
例如： 对一作直线运动的质点的运动过程作了8次观 测，得到下表，试估计x=9s时的位置y的值。
例1.下表给出我国从1949至1999年人口数 据资料，试根据表中数据估计我国2004年 的人口数。
年份 49 人口 542 数/ 百万 54 603 59 672 64 705 69 807 74 909 79 975 84 89 94 1177 99 1246 1035 1107
对题中的数据进行检验
即建立的线性回归 模型是否合理？
需要对x,y 的线性相关 性进行检验
如何对一组数据之 间的线性相关程 度作出定量分析？
散点图只是形象地描述点的分布情况，它的“线性”是否 明显只能通过观察，要想把握其特征，必须进行定量的研究
建构数学
• 1.计算公式
相关系数
r=
(x
i=1 n i=1
n
i
- x)(yi - y)
例1.下表给出我国从1949至1999年人口数 据资料，试根据表中数据估计我国2004年 的人口数。
年份 49 人口 542 数/ 百万 54 603 59 672 64 705 69 807 74 909 79 975 84 89 94 1177 99 1246 1035 1107
分析：先画图 年份 0 人口 542 数/ 百万 5 603 10 672 15 705 20 807 25 909 30 975 35 40 45 1177 50 1246
(2)若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程
(3)预测加工200个零件需花费多少时间？
分析：这是一个回归分析问题，应先进行 线性相关检验或作散点图来判断x与y是否 具有线性相关才可以求解后面的问题。
作散点图如下：不难看出x,y成线性相关。
150 100 系列1 50 0 0 50 100 150
检验方法步骤如下: 1.提出统计假设H0:变量x,y不具有线性相关关系; 2.如果以95%的把握作出推断,那么可以根据1-0.95 =0.05与n-2在附录1中查出一个r的临界值 r0.05 (其中1-0.95=0.05称为检验水平) 3.计算样本相关系数r 4.作出统计推断:若|r|> r0.05 ,则否定H0表明有 95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系; 若|r| r0.05 ,则没有理由拒绝原来的假设H0,即 就目前数据而言,没有充分理由认为y与x之间 有线性相关关系
n
x y
i1
n
i i
nxy
_ _
2 2 (x x) (y y) i i i=1
_ 2 n _ 2 n 2 2 xi n x y n i y i1 i1
• 2．相关系数r的性质 • (1)|r|≤1． • (2)|r|越接近于1，x,y相关程度越强；|r|越接近 于0，x,y相关程度越弱． • 注:b 与 r 同号 • 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相 关程度怎样呢？
解（1）列出下表：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1360
2250
3240
4450
5700
7140
8640
10350
1220 0
问题：有时散点图的各点并不集中在一条 直线的附近，仍然可以按照求回归直线方 程的步骤求回归直线，显然这样的回归直 线没有实际意义。在怎样的情况下求得的 回归直线方程才有实际意义？
4
4 11.73 46.92 16
5
5 15.69 78.45 25
6
6 16.12 96.72 36
7
7 16.98 118.9 49
8
8 4.50 21.06 13.08 168.5 64 560.1 204
3、回归分析的基本步骤:
画散点图
求回归方程
预报、决策
思考：在时刻x=9s时，质点运动位置一定 是22.6287cm吗？ 4、线性回归模型
y a bx
其中a+bx是确定性函数， 是随机误差
注： 产生的主要原因：
(1)所用确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观测误差。
对于线性回归模型
y a bx
应注意以下两个问题： I 模型的合理性； II 在模型合理的情况下，如何估计a,b.
回归分析
问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪 些呢？ 不相关 1、两个变量的关系
函数关系 相关 关系
线性相关 非线性相关
相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定 时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量 之间的关系。
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
1035 1107
例题2.一个车间为了规定工时定额，需要确定 加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验， 测得数据如下：
零件数 10 20 30 40 50 60 70 （x）个
80
90 100
加工时 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 间y
(1)y与x是否具有线性相关？
时刻x/s 位置观 测值 y/cm
1
2
3
4
5
6
7
8
5.54
7.52
10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 系列1
i xi yi xiyi xi2
1
1 5.54 5.54 1
2
2 7.52 15.04 4
3
3 10.02 30.06 9