结构动力计算基础共27页文档
合集下载
考研结构力学必看精华总结结构的动力计算
杜哈梅积分(Duhamel)
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 y0 0 v0 0
则
y
y0
cos t
v0
sin t
1
m
t 0
FP
(
)
sin
t
d
第26页/共77页
（1）突加荷载
y
FP 0
m 2
(1
cos t )
yst (1 cost)
质点围绕静力平衡位置作简谐振动，动 力系数为
1， 产生共振。 但振幅不会一下增加到很大。
1
动力系数的绝对值随频率比增大而减小。
第22页/共77页
例10-3 已知：跨度l=4m，惯性矩 I=7480cm4，截面系数W=534cm3 ，弹性模 量E=2.1×105MPa。电动机重量G=35kN，转速n=500r/min，离心力FP=10kN， 竖向分力FPsint。试求梁动力系数和最大正应力。
第34页/共77页
阻尼对自振特性的影响
r 1 2
阻尼对振幅的影响
★影响小,可以忽略
ln yk ln y tk
yk1
y tk T
e tk ln etk T
ln eT
T
★振幅的对数衰减率
★阻尼越大,衰减速度越快
1 ln yk 或 2 yk1
1 ln yk 2 n ykn
2004年8月
第8页/共77页
§10-2单自由度体系的自由振动 1 振动方程的建立
刚度法 体系在惯性力作用下处于动态平衡。
myt kyt 0
柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。
y t my t my t
结构动力学
（14-22）
（14-23）
即
A 1
2
式中
1 2
2
F11 yst
（14-24）
yst F11 代表将振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上
时所引起的静力位移，而
1 1Байду номын сангаас
2
2
A yst
（14-25）
为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。 2. 考虑阻尼的纯受迫振动 取式（14-21）的第三项，整理后有
y
2 0
2 y0
2
（14-4）
y0 tan y0
则有
(14-5)
y a sin(t )
（14-7） y a cos(t )
（14-6）
（4）自振频率的计算
k11 1 g g m m11 mg11 st
自振周期：T=2π/ω。 其中：
本章基本要求： 掌握动力自由度的判别方法。 掌握单自由度、多自由度体系运动方程的建立方法。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下 动内力、动位移的计算。 掌握阻尼对振动的影响。 了解自振频率的近似计算方法。
§14-1 概 述
1. 结构动力计算的特点 (1) 荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2) 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。
(14-8)
柔度系数 11 表示在质点上沿振动方向加单位荷载时，使质点 沿振动方向所产生的位移。 刚度系数 k11 表示使质点沿振动方向发生单位位移时，须在 质点上沿振动方向施加的力。 Δst=W 11 表示在质点上沿振动方向加数值为W=mg的力时质点 沿振动方向所产生的位移。
结构动力计算基础
m 2 y 2 + k 21 y 1 + k 22 y 2 0
y2(t)
m2 y2
..
r2
y2(t)
r2
y1(t)
m 1 y1
..
r1
y1(t) r1
设: y 1 ( t ) Y1 sin( t + )
y 2 ( t ) Y 2 sin( t + )
结构位移形状保持不变的振 动形式称为主振型或振型.
ξ=0.1
1 2
3.0
2.0
ξ=0.2
ξ=0.3 ξ=0.5 ξ=1.0
1.0
0
10
1.0
2.0
θ/ω 3.0
③βmax并不发生在共振θ/ω=1时， 而发生在，
但因ξ很小，可近似地认为： max ④由y=yPsin(θt－α) 可见， 只要有阻尼位移总滞后荷载 P=Fsinθt一个 相位角α，
2
..
.
•当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主 要由 S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步； 荷载可作静荷载处理。 •当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，S、R相对 说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；
11
y y P sin( t - ), S - ky - ky P sin( t - ), F
y (t ) P0 m
2
静 力 平 y(t) 0 衡 位 置
yst
低阻尼y- t曲线 π 2π 3π 4π 5π
ωt
(1 - co s t )
y(t) 无阻尼y- t曲线
y2(t)
m2 y2
..
r2
y2(t)
r2
y1(t)
m 1 y1
..
r1
y1(t) r1
设: y 1 ( t ) Y1 sin( t + )
y 2 ( t ) Y 2 sin( t + )
结构位移形状保持不变的振 动形式称为主振型或振型.
ξ=0.1
1 2
3.0
2.0
ξ=0.2
ξ=0.3 ξ=0.5 ξ=1.0
1.0
0
10
1.0
2.0
θ/ω 3.0
③βmax并不发生在共振θ/ω=1时， 而发生在，
但因ξ很小，可近似地认为： max ④由y=yPsin(θt－α) 可见， 只要有阻尼位移总滞后荷载 P=Fsinθt一个 相位角α，
2
..
.
•当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主 要由 S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步； 荷载可作静荷载处理。 •当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，S、R相对 说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；
11
y y P sin( t - ), S - ky - ky P sin( t - ), F
y (t ) P0 m
2
静 力 平 y(t) 0 衡 位 置
yst
低阻尼y- t曲线 π 2π 3π 4π 5π
ωt
(1 - co s t )
y(t) 无阻尼y- t曲线
结构力学 第10章结构动力计算基础
结构力学
10.3 单自由度体系的强迫振动
结构在动力荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。
1.简谐荷载
设体系承受如下的简谐荷载： 式中θ是简谐荷载的圆频率，F是荷载的最大值，称为幅值。
2.一般动荷载
一般动荷载FP(t)作用下所引起的动力反应分两步讨论：首 先讨论瞬时冲量的动力反应，然后在此基础上讨论一般动荷载的 动力反应。
1.自由振动微分方程的建立
这就是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程。这种推 导方法称为刚度法。 用F1表示惯性力，用δ表示弹簧的柔度系数，即在单位力作用下 所产生的位移，其值与刚度系数k互为倒数：
从位移协调的角度建立自由振动微分方程的推导方法称为柔度法。
结构力学 2. 自由振动微分方程的解
单自由度体系自由振动微分方程式的通解为
3. 主振型的正交 性 主振型的位移幅值就是体系在此主振型惯性力幅值作
结构力学
对多自由度体系的每一个自振频率ω i，可得到相应的主振 型Y(i)，利用虚功原理可以证明不同的主振型是相互正交的。 第一正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于质量矩阵M正 交，即
第二正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于刚度矩阵K正 交，即
(1) 突加荷载:当t>0时，
(2) 简谐荷载
其中两个常数C1和C2，由初始条件确定。
结构力学
10.5 多自由度体系的自由振动
按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求 解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平 衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各 有其适用范围。
1. 刚度法
结构力学
将动力荷载的幅值q=2kN/m作为静力荷载作用在结构上，求在其 作用下柱顶的水平位移(先作出由它引起的弯矩图，如图10.3 (b)，再选做力法一基本结构在单位力作用下的弯矩，图如图 10.3(c)，两图图乘即得)
(完整版)结构动力学基础
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
x a
作用时间： 恒载 活载 作用位置： 固定荷载 移动荷载 对结构产生的动力效应： 静荷载 动荷载
静荷载： 动荷载：
大小、方向和作用点不随时间变 化或变化很缓慢的荷载。
大小、方向或作用点随时间变化 很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度
显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力 与荷载相比是否可以忽略
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
其中各力的大小：
惯性力： FI my 弹性力Fs=Fs1+Fs2： 位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力
1
12i
l2
柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：
EI
12 EI FS1 l13 y
12EI
FS 2
l
3 2
y
l
等效粘滞阻尼力： FD cy
大型桥梁结构 的有限元模型
第二章 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
▪ 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
▪ 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 ▪ 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
8
比较：
c k
结构动力学基础全文
2
目
录
第一章 结构动力学简述...............................................................................................................1 第二章 动力学原理.......................................................................................................................3 §2-1 约束 ....................................................................................................................................3 2-1-1 完整约束 .................................................................................... 错误！未定义书签。 2-1-2 非完整约束 ................................................................................ 错误！未定义书签。 §2-2 广义力 ................................................................................................................................3 §2-3 达朗贝（D′ALEMBERT）原理 ........................
结构动力计算-资料
P
t
t
简谐荷载（harmonic load） 一般周期荷载(periodic load)
θt
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ 惯性力:P=m θ2e,其竖向分量和 水平分量均为简谐荷载.
10
2）冲击荷载：荷载值在短时间内剧增或剧减。例如： 各种爆炸荷载；起吊机起吊重物时产生的荷载、列车制 动动力等。
8
动荷载的分类
确定 动荷载
周期 非周期
简谐荷载 结构振动分析 非简谐荷载
冲击荷载 突加荷载
其他确定规律的动荷载
不确定
风荷载
随机振动分析
地震荷载
其他无法确定变化规律的荷载
9
1）周期荷载：荷载随时间作周期性变化。（例如：船舶中螺 旋桨产生的作用于船体的推力就是周期荷载、转动电机的偏 心力）
P(t )
（2）取质点为研究对 象，隔离体如图所示。
（图中，惯性力、阻尼 力和弹性力，各力均设 沿坐标轴正向为正。
37
刚度法
（1）弹性力S：它总是指向平 衡位置，与位移成正比，但方 向相反，即：
S ky
式中，k为刚度系数（发生单位 位移时所需施加的力）
（2）阻尼力R:根据等效粘滞阻尼理论，阻尼力 与质量的运动速度成正比，但方向相反，即：
力和阻尼的影响。
结构动力计算内容：研究结构在动荷载作用下内
力与位移的分析原理和计算方法。
2
动力计算与静力计算的区别
1. 两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动 静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含 了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时 间的函数。建立的方程是微分方程。 2. 动力内力与位移不仅是位置的函数，而且是时 间的函数。（结构围绕平衡位置发生振动，结构 同一位置的内力、位移在不同时刻是不同的。）
结构力学结构的动力计算
下册P73
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
结构力学结构动力计算基础
解：自振频率是系统的固有特性，与荷载无关。可先求出柔度
系数11 ，再求固有频率
。由结构的 M
图, ，则 1
11E1IM12dx3E 4I
1 3EI m11 4m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
振动。初始时刻质点速度为零，即 y&0 0，y 0 可由图乘法计算得到，
y0E 1IM1MPdx1 E1I ，则质点m的位移
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
⑴概念：结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的
独立几何参数的数目，称为结构的振动自由度。
⑵集中质量法：这种方法是将连续分布的质量集中到结构的
若干点上，即结构动力计算简图为有限质点体系。
(a)
(b)
(a) 一个质量点 (b) 若干质量点
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
将荷载幅值F作用在结构上，其跨中弯矩和位移为
M sF t 1 4F l1 410410kN m
结构的自振频率为
ysFt
F11
10 103 43 48 1.848 107
0.722 103 m
1 g g m11 mg11 yQ
9.8 2.53 103
62.2S1
动荷载的频率为
2πn 2 3.14 400 41.9S1
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于 动力平衡状态，则有 FI +Fs =0,即m & y & (t)+k11y(t)=0，此式可改写为
& y&(t)+k11 y(t)=0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
第10章 结构动力计算基础
1101结构动力计算的特点和动力自由度102单自由度体系的自由振动103单自由度体系的无阻尼强迫振动104阻尼对振动的影响105两个自由度体系的自由振动107主振型正交性及正则坐标106两个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动108多自由度体系在一般动荷载下的强迫振动主振型叠加法109求自振频率和主振型的近似法与迭代法第十章结构的动力计算2一结构动力计算的特点和内容静力荷载
n=2
n=0
n=1
n=2
n=2
11
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
※注意：
体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度数，自 由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数 无关。
(b) (a)
m2. EI=∞ m3.
m1.
α (t)
三个集中质量，n=1
一个集中质量，n=2
12
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
=
l3 3EI
l EI
k11
=
k
=
3EI l3
20
§10—2 单自由度体系的自由振动 二、单自由度体系的自由振动微分方程
1.（刚度法）建立动力平衡方程
k
取 t 时刻质块 m为研究对象
y
受力分析，根据达朗贝尔原理
y m
y
my(t) ky(t) = 0
k
2.（柔度法）列位移方程
以t时刻系统整体为研究对象受力分
——主振型叠加法 §10-9 求自振频率和主振型的近似法与迭代法
1
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度 一 、结构动力计算的特点和内容 ⑴静力荷载：荷载的大小方向作用位置不随时间变化，或虽有 变化，变化极缓，不致引起结构上的质点产生加速度而具有惯 性力的作用。
n=2
n=0
n=1
n=2
n=2
11
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
※注意：
体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度数，自 由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数 无关。
(b) (a)
m2. EI=∞ m3.
m1.
α (t)
三个集中质量，n=1
一个集中质量，n=2
12
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
=
l3 3EI
l EI
k11
=
k
=
3EI l3
20
§10—2 单自由度体系的自由振动 二、单自由度体系的自由振动微分方程
1.（刚度法）建立动力平衡方程
k
取 t 时刻质块 m为研究对象
y
受力分析，根据达朗贝尔原理
y m
y
my(t) ky(t) = 0
k
2.（柔度法）列位移方程
以t时刻系统整体为研究对象受力分
——主振型叠加法 §10-9 求自振频率和主振型的近似法与迭代法
1
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度 一 、结构动力计算的特点和内容 ⑴静力荷载：荷载的大小方向作用位置不随时间变化，或虽有 变化，变化极缓，不致引起结构上的质点产生加速度而具有惯 性力的作用。
结构动力计算基础
第10章结构动力计算基础Dynamic of Structrues教学目标：第10 章结构动力计算基础了解动力计算自由度的判断，有阻尼振动和无阻尼振动的区别与联系。
掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理及方法。
熟练掌握两个自由度体系自由振动时的动力特性（自振频率、主振型）的计算。
理解自由度体系在发生强迫振动时微分方程的建立方法以及和自由振动时的区别与联系。
10-1 综述10-2 单自由度体系的自由振动10-3 强迫振动10-4 阻尼的影响10-5 两个自由度体系的自由振动10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动教学内容：第10 章结构动力计算基础1. 动力计算(1) 动荷载的特点是荷载随时间而变化动荷载区别于静荷载的关键性特征是，由于荷载变化所引起的动力响应不可忽略，即惯性力(Inertia Force)影响不可忽略。
10-1 概述(2) 动力计算的目的¾与结构静力计算相似，动力计算的任务主要是研究结构在动力荷载作用下的各种反应，如变形、内力等，为结构设计提供依据。
¾由于在动力荷载作用下结构反应的特征性质，动力计算将涉及结构的一系列动力特征如频率、周期、振型等的研究与计算。
(3) 动力计算主要方法¾动力计算的基本方法是以达伯原理(D’Alembert’s Principle)为理论依据的“动静法”，即在结构上施加“惯性力”，并将动力问题转化为静力问题来求解。
¾因此，动力计算的基本方法是以静力分析方法为基础的。
结构静力学是学好动力学的重要前提。
2. 学习结构动力学的重要意义¾结构动力设计计算的基础知识动力荷载作用下结构设计，城市建设环境评价（如轨道交通环境评价）等等。
¾工程防灾(抗风抗震)的重要先修内容地震破坏塔科马大桥风振破坏¾周期荷载简谐荷载—机械振动()P F t t3. 动荷载类型3.动荷载类型周期荷载FP ( t )t非简谐3.动荷载类型¾ 冲击荷载FP ( t ) FP ( t )FPFPtrttdt在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧减小。
第10章_结构动力计算基础
解： m
m
EI
L
EI
EI
L
L
L
1
M 1图
图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）运 动，故仍为单自由度体系。如图（b）示，作 图M 1
柔度系数
2l3 3EI
自振频率
1 1 3EI
m 2m2l3
4m3l
3EI
自振周期
T2 2 4m3l
3EI
例4．图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计,求其自振 频率。
EI
W=1
8) 平面上的一个刚体
y2
y1 W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3 10)
m EI
W=2
11)
W=1 12)
W=13 自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
不计轴向变形: W=1
y3
y2 y1
W= 3
W= 1
∞
θ
W= 1
结论： ①结构自由度数目与质点的个数无关 ②结构自由度数目与超静定次数无关
思考：
动力计算的自由度与结构几何组成分析中的自由度有 何区别
§10.2 单自由度体系的自由振动（不计阻尼）
实际上，工程中很多问题可化成单自由度体系进行动力分析或进 行初步估算。单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的 基础。
§10.1 动力计算的特点和动力自由度
一、动力荷载的概念及分类
1.动力荷载的概念
动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载，而 且随时间变化较快，对结构产生的影响较大。
2.与静力荷载的区别
静力荷载是指随时间不变化（如恒载）或随时间变化很慢， 对结构产生的影响较小，而且静力荷载只与作用位置有关，而动 力荷载的变化是坐标和时间的函数。