极坐标与参数方程试题选修4-4
高中数学选修4-4解答题
选修4-4一、解答题1.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin （θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．4.在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．5.已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．6.已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.（1）求曲线C的直角坐标方程.（2）求直线l被曲线C截得的弦长.7.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．8.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．9.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。
第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程
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距离是________．
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2＝ 2. 1 ＋－1
答案： 2
x＝1＋3t， 5．(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
解析：由 y＝t－1，得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2，得 x ＝3y＋5， 即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
x＝5cos θ， 2．(教材习题改编)曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________．
x2 y2 解析：化为普通方程为 ＋ ＝1，故左焦点为(－4,0)． 25 9
x＝2t＋2a， y＝－t
(t 为参数)，曲线
x＝2cos θ， C2： y＝2＋2sin θ
(θ 为
参数)．若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是________．
解析：将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程， 得 C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－2)2＝4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点， |4－2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2， 5 解得 2－ 5≤a≤2＋ 5.
[自主解答] ＝16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2
π 因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝ ，所以直线l的参数 3 π x＝2＋tcos3， 方程为 y＝2＋tsinπ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
(t为参数)．
1 x＝2＋2t， 把直线l的参数方程 y＝2＋ 3t 2
去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方 法从整体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y
高三数学参数方程试题
高三数学参数方程试题1. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.【答案】【解析】可以把直线参数方程化为普通方程，与抛物线方程联立解得的坐标，可求线段的长，也可直接把直线的参数方程代入抛物线方程，解关于的方程，利用此直线参数方程中的几何意义，可得．试题解析：直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.【考点】直线的参数方程.2.在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的距离的最小值为．【答案】【解析】由已知得，点的直角坐标为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，为半径的圆，故点到曲线上的点的距离的最小值为．【考点】1、直角坐标和极坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点和圆的位置关系.3.参数方程中当为参数时，化为普通方程为_______________.【答案】【解析】由参数方程，两式平方作差得，．【考点】参数方程化普通方程．4.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin＋m＝0，曲线C2的参数方程为(0<α<π)，若曲线C1与C2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是____________．【答案】.【解析】曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，如图，直线与圆有两个不同的交点，即在直线（经过点的直线）与（经过点的直线）之间，当直线与重合时，，当直线经过点时，，综上得.【考点】直角坐标与极坐标的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系.5.在曲线C1:(θ为参数,0≤θ<2π)上求一点,使它到直线C2:(t为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.【答案】(1-,-) 最小值1【解析】直线C2化成普通方程是x+y-1+2=0,设所求的点为P(1+cosθ,sinθ),则P到直线C2的距离d==|sin(θ+)+2|,当θ+=时,即θ=时,d取最小值1,此时,点P的坐标是(1-,-).6.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐【答案】(2,2)，【解析】因为直线l的参数方程为 (t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，7.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为．（Ⅰ）求曲线直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值．【答案】（Ⅰ）曲线直角坐标方程为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知，两边都乘以，得，结合即可求得曲线的直角坐标方程（普通方程）；（Ⅱ）由已知条件，把的参数方程为参数）代入，得由韦达定理可得：，进一步可计算出的值．试题解析：（Ⅰ）由已知，得，．3分（Ⅱ）把的参数方程代入，得．5分．7分【考点】直线的参数方程与极坐标方程．8.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.（1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；（2）当时，求曲线上的点与曲线上的点的最小距离【答案】（1）或；（2）.【解析】本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，参数方程与普通方程之间的转化，考查学生的转化能力和计算能力，考查数形结合思想.第一问，把参数方程和极坐标方程先进行转化，再利用数形结合解题；第二问，考查点到直线的距离公式，利用配方法求最小值.试题解析：(1)曲线可化为，，曲线可化为，若曲线，只有一个公共点，则当直线过点时满足要求，此时，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，当直线N过点时，此时，所以满足要求；再接着从过点开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立，得，，解得，综上可求得的取值范围是或.（5分）（2）当时，直线，设上的点为，，则曲线上的点到直线的距离为，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为.(10分)【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.点到直线的距离公式；4.配方法求最值.9.在平面直角坐标系中，过椭圆的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线截椭圆所得弦长为．【答案】【解析】椭圆的普通方程为，则右焦点为（1,0）；直线的普通方程为，过（1,0）与直线平行的直线为，由得，所以所求的弦长为.【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.两点间的距离公式和弦长公式.10.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）直线： (为参数)过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程【答案】（Ⅰ）、；（Ⅱ）或【解析】(Ⅰ) 利用参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程来求；(Ⅱ)利用点到直线的距离来求试题解析：（Ⅰ）曲线的普通方程为：； 2分由得，∴曲线的直角坐标方程为： 4分(或：曲线的直角坐标方程为： )（Ⅱ）曲线：与轴负半轴的交点坐标为，又直线的参数方程为：，∴，得，即直线的参数方程为：得直线的普通方程为：， 6分设与直线平行且与曲线相切的直线方程为： 7分∵曲线是圆心为，半径为的圆，得，解得或 9分故所求切线方程为：或 10分【考点】参数方程化普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，考查学生分析问题、解决问题的能力11.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求弦长.【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）.【解析】本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.试题解析：（Ⅰ）由，得，即曲线的直角坐标方程为． 5分（Ⅱ）将直线l的方程代入，并整理得，，，．所以． 10分【考点】1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.12.已知曲线直线将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；设点P在曲线C上，求点P到直线的距离的最小值。
(完整版)选修4-4坐标系与参数方程-高考题及答案
x t 3,1、已知在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为_ （t为参数），在极坐标系（与y v3t直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4 cos 3 0.①求直线I普通方程和曲线C的直角坐标方程；②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的取值范围.x = 2cos 0 , 一2、已知曲线C的参数方程是（0为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴y = 3sin 0 ,为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p = 2,正方形ABCD勺顶点都在C2上，且AnB C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2 ,—）.3（I ）求点A B C、D的直角坐标；（n ）设P为C上任意一点，求|PA2+ |PB2+ |PC2+ |PD2的取值范围.. . 2 2 . - 2 23、在直角坐标系xOy中，圆C ：x + y = 4,圆C2：(x—2) + y = 4.(I )在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i, C2的极坐标方程, 并求出圆C，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(n)求圆C与C2的公共弦的参数方程.4、在直角坐标系xOy中，直线I的方程为x —y + 4 = 0，曲线C的参数方程为x= ：：：］3cos a ,(a为参数).y= sin a(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以xn轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4 ,―)，判断点P与直线I的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最小值.X = 2C0S a ,5、在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为( a 为参数).M 是C i 上的y = 2+ 2sin a .动点，P 点满足0F= 20M P 点的轨迹为曲线 C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 交点为A ,与C 2的异于极点的交点为 B,求|AE |.x = cos e6、已知P 为半圆C:( e 为参数，o w e wn )上的点，点 A 的坐标为(1,0) , Oy = sin en 为坐标原点，点 M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为—.(1) 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标;(2) 求直线AM 的参数方程.ne =g 与C 的异于极点的n n .* j 3 7、在极坐标系中，已知圆C经过点P .2，~4，圆心为直线P sin 9—3 =一与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.8、在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线I上两点M, N的极坐标分别为(2,0), 穿,-2，圆C的参数方程为x= 2+ 2cos 9 ,厂(9为参数).y=—3+ 2sin 9(1) 设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2) 判断直线l与圆C的位置关系.1、【答案】①直线I 的普通方程为：,3x y 3、、3 0. n n n n nn_nnA (2cos —, 2sin —), B (2cos(-3 + R , 2sin( — + —)) , q2cos( — +n ), 2sin( — +n 3 n n 3 nn )) , D (2cos( — + 〒),2sin( — + 亍)),即 A (1 , 3) , B ( — 3 , 1), Q — 1, — 3) , D ( 3 , — 1). (n )设 P (2cos 0 , 3sin 0 ),令 S =|PA 2+ |PB 2+ |PC 2+ |PD 2 ,则2 2S = 16cos 0 + 36sin 0 + 162=32 + 20sin 0 .因为0W sin 20W 1,所以S 的取值范围是[32 , 52].3、解：(I )圆C 的极坐标方程为p = 2 , 圆G 的极坐标方程p = 4cos 0 .2 解卩,得卩=2, 0=±石,p _ 4cos 03从而p_占.n(1)把极坐标系的点P (4 ,-)化为直角坐标，得 R0,4),满足直线l 的方程x — y + 4_ 0,所以点P 在直线l 上. 故可设点Q 的坐标为曲线C 的直角坐标方程为：x 2y 2②曲线C 的标准方程为(x 2)2 y 2•••圆心C(2,0)到直线I 的距离为：d所以点P 到直线I 的距离的取值范围是2、解：(I )由已知可得2 24x 3 0【或(x 2)2 y 21]1,圆心C(2,0)，半径为1；|2、一 3 0 3.3| 5,32 2故圆C 与圆C 2交点的坐标为(2 ,,(2,—勺.注：极坐标系下点的表示不唯一.x _ p cos 0 ,得圆 y _ p sin 0 (n )法一：由故圆C 与G 的公共弦的参数方程为x_ t 1,-3w t w 3.x _ 1(或参数方程写成 ， —..3 < y w 3)法二：将x = 1代入 cos 0得 p sin 0p cos 0 = 1,于是圆 C 与G 的公共弦的参数方程为x _ 1 y _ tan 0 '4、因为点P 的直角坐标(0,4)⑵因为点Q 在曲线C 上,(.3cos a , sin a ),C 与C 2交点的直角坐标分别为从而点Q 到直线I 的距离=；'2cos( a+ -Q )+ 2 2nl由此得，当cos( a + —) =— 1时，d 取得最小值，且最小值为：2.x y5、⑴设Rx , y )，则由条件知 M ^ 2 .由于M 点在C 上，x=2cos a , 2X = 4cos a ,所以即yy = 4+ 4sin a .2= 2+ 2sin a ,X = 4cos a ,从而C 2的参数方程为(a 为参数)y = 4 + 4sin a .(2)曲线C 的极坐标方程为 p = 4sin 0，曲线C 2的极坐标方程为 p = 8sin 0 .n n射线0 =三与C 的交点A 的极径为 p 1= 4sin —,3 3nn射线0 = y 与G 的交点B 的极径为p 2= 8sin —. 所以 | AB = | p 2— p 1| = 2 '3.nn6、 (1)由已知，M 点的极角为y ，且M 点的极径等于 J ,n n故点M 的极坐标为 ~~ .⑵M 点的直角坐标为n ,二空,A (1,0),故直线AM 的参数方程为6 6nx=1 + 6 — 1t ，(t 为参数).| 3cos a — sina + 4|2cos7t6所以圆C 的圆心坐标为(1,0) 因为圆C经过点P .'2, n,所以圆C的半径PC= 2+ 12—2X 1 x J2cos■—= 1,¥ 4于是圆C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为p = 2cos e .0, ¥8、解：(1)由题意知，M N 的平面直角坐标分别为所以直线l 的平面直角坐标方程为 3x + 3y — 2 3= 0.又圆C 的圆心坐标为(2 , — ,；3)，半径r = 2, 圆心到直线I 的距离d =， ： — ■' =-<r ,故直线l 与圆C 相交.yJ 3 + 9 2又P 为线段MN 勺中点，从而点 P 的平面直角坐标为1,，故直线OP 的平面直角坐标方程为 ⑵因为直线l 上两点M N 的平面直角坐标分别为 (2,0)(2,0)。
2020年高考数学 选修4-4：坐标系与参数方程 解答题专练(含答案)
2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练1.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线，曲线（φ为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为.（1）求直线l1和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A,B，且，求MOB的面积．2.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是设点P(-1,2)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点，求的值．3.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0)(1)若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值.4.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线（φ为参数）相交于不同的两点A,B．（1）若，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，点，求的值．5.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．7.【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求．8.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．10.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。
高中数学选修4《极坐标与参数方程》
选修4--4 极坐标与参数方程一．伸缩变换．设P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称为平面直角坐标系中的__________________，简称伸缩变换．1．点(2，3)经过伸缩变换⎩⎨⎧2x ′＝x ，y ′＝3y后得到点的坐标为________．2．将椭圆x 225＋y 29＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝15x ，y ′＝13y 变换后的曲线围成图形的面积为________． 3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝0，则曲线C 的方程为________． 二．极坐标系．1．直角坐标与极坐标的互化．以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P 的直角坐标和极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ ，y ＝ 或⎩⎨⎧ρ2＝ ，tan θ＝ （x ≠0）. （1） 已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，则它化成直角坐标为________．（2）在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则△AOB 的面积S ＝________．（3）已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1，则圆心C 的极坐标为__________(ρ＞0，0≤θ＜2π)．三 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．, 3圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( )A ．(－1＋cos θ，sin θ)B ．(1＋sin θ，cos θ)C ．(－1＋2cos θ，2sin θ)D ．(1＋2cos θ，2sin θ) 2．3 直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为__________________，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.1.经过点M 0(1，5)，倾斜角是π3的直线l 的参数方程为：____________________________．2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 23．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________． 三、解答题1.曲线C 1的参数方程为x cos ,y sin =θ⎧⎨=θ⎩ (θ为参数),将曲线C 1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.(1)求曲线C2和直线l的普通方程.(2)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值.2. 已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x14cos,y24sin=+θ⎧⎨=+θ⎩(θ为参数),直线l经过定点P(3,5),倾斜角为3π.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程.(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.3.在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的单位长度,建立极坐标系,设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+5=0.(1)若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围.(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.4.已知圆C的极坐标方程为2cosρθ=，直线l的参数方程为1221122x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），点A的极坐标为(,)24π，设直线与圆C 交于点P ，Q ． （Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求||||⋅AP AQ 的值．5. 已知圆()()221:228C x y -+-=和直线:0l x y =. （Ⅰ）求1C 的参数方程以及圆1C 上距离直线l 最远的点P 坐标； （Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，将圆1C 上除点O 以外所有点绕着O 逆时针旋转3π得到曲线2C ，求曲线2C 的极坐标方程.6.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （Ⅰ）若2a =，M 是直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求||MN 的最大值；（Ⅱ）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C倍，求a 的值．。
(文科)选修4-4-坐标系与参数方程
选修4－4 坐标系与参数方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________.另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________．4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．题型二 参数方程与普通方程的互化例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分]根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22)， 倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝102.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． 失误与防范1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A 组 专项基础训练1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．5．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．B 组 专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．答案要点梳理1．(1)极点 极轴 极径(2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y x3．参数方程 参数4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt 夯基释疑1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1 题型分类·深度剖析例1 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1 得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 跟踪训练1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.例2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 21＋t2， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．(2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)．∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4.∴4y －x ＋2＝0.∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4，∴－2≤x ≤2.∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])．例3 解 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0，所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎨⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝52， 此时，直线与圆相离， 所以MN 的最小值为52－2＝12.跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.练出高分A 组 1．解 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)， 由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ， 解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. 2．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132∉[－1,1]， 故曲线C 与曲线D 无公共点．3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18. 5．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)； N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3. ∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．6．解 圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′， ∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)． 2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2， 所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22. 3．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5cos t ＝x －45sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋(y －5)2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3方法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3 ≤θ≤π3.。
高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(答案解析)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD2．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（ ） A．2B．2CD．23．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（）A．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--4．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩点(43,31)Q m m +-，则||PQ 的最小值为( ) A ．2B ．115C ．95D ．15．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为212x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ）ABCD6．在直角坐标系xOy 中，过点()1,2P -的直线l的参数方程为1 2x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线2y x 交于点,A B ，则PA PB ⋅的值是( )AB ．2C．D ．107．直线34x ty t =-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,58．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC（sin θ+cos θ）=rD（sin θ+cos θ）=-r9．点M的直角坐标是()1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭10．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） AB．CD．11．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（ ）A．2BCD．12．设椭圆C ：2211612x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．已知直线参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，直线与圆5ρ=交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐标________.15．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为1{x y αα=+=（α为参数），则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 ．16．已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是________.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，动点P 在抛物线上，动点Q 在圆3cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）上，则PF PQ +的最小值为__________．18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.19．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，则圆C 的圆心到直线l 的距离为______.20．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程cos 1sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），曲线C的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩（β为参数）．（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭时，求α．22．在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程是1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求||AB 的值. 23．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 25．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB的长度为l 的普通方程． 26．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的方程，()222cos4sin4ρθθ+=，过点(2,1)的直线l的参数方程为221xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求||AB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设曲线C上点的坐标为()2t，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值.【详解】设曲线C上点的坐标为()2t，则C上的点到直线l的距离2233d===，即C上的点到直线1．故选：C.【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．C解析：C【分析】设点,sin)Qθθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由曲线C：sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin)Qθθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==，当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==故选：C. 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.3．B解析：B 【分析】 将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213xy +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y+=设x α=，sin yα=，可得1sin 1sin )12sin()1213x y πααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.4．A解析：A 【分析】根据Q 点坐标得到点Q 满足的参数方程，从而得到Q 点所在的直线方程l ，因此将求PQ 最小值问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，然后运用数形结合得到可行域内点B （1，0）到直线l 距离最小，从而求出PQ 的最小值. 【详解】因为(43,31)Q m m +-，则点Q 满足的参数方程为43{31x m y m =+=-（m 为参数），消去参数得到普通方程为l ：34130x y --=，则问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，如图：由图可知当P 点与B 点重合时到直线l 的距离最小，而B 点为（1，0），B 到l 的距离为d ，所以min 223013102534PQ d --====+， 答案为A. 【点睛】主要考查线性规划问题，同时也考查了参数方程与普通方程的互化．这类型题的关键在于寻找出目标函数的几何意义，然后利用数形结合的方法寻找出最优解，求出最值，属于中档题.5．C解析：C 【解析】分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：2214y x +=，与直线l 的参数方程312x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立可得：21613t =， 则124134131313t t ==-， 结合弦长公式可知：12813AB t t =-=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B 【解析】设,A B对应的参数分别为12,t t，把l的参数方程12xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x=中得：221⎛+=--⎝⎭，整理得：220t-=，()242100∴∆=-⨯-=>，1212?2,?t t t t PA PB+==-∴1212··2t t t t===，故选B.7．D解析：D【详解】因为直线3(4x tty t=-⎧⎨=+⎩为参数），所以设直线上到点(3,4)P(3,4)t t--，=1t=±，代入直线的参数方程，得点的坐标为(4,3)或(2,5)，故选D.8．D解析：D【解析】分别出圆ρ=r的直角坐标方程222x y r+=和圆ρ=-2r sin（θ+4π）（r＞0）直角坐标方程22()x y x y+=+，从而求出两圆的公共弦所在直线的方程2())x y r x y r+=+=-．再化为极坐标方程为（sinθ+cosθ）=-r，选D. 9．B解析：B【解析】3π7π2,tan(π,)26ρθθθ===∈⇒=，故选：B．点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cosxρθ=及sinyρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos,sin,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.10．D解析：D【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的距离d=，直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =. 11．C解析：C 【分析】先将直线sin()6πρθ+=A 的坐标，利用点到直线的距离求解. 【详解】由直线sin()6πρθ+=1cos 2ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭0x +-=. 又点A 是曲线2213x y +=上任意一点，设),sin Aαα则点A0x +-=的距离为：d ==≤ 当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时取得等号. 故选：C 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.12．D解析：D 【分析】设()4,P cos θθ，02θπ≤<，由题意可得：1222484d d cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论． 【详解】解：设()4,P cos θθ，02θπ≤<， 由题意可得：122248416416816886d d cos cos sin πθθθθθ⎛⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝⎭．当且仅当816sin πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时取等号． 122d d ∴+的最小值为8．故选：D 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】根据曲线参数方程为（为参数）将曲线先化为普通方程再利用的几何意义即可求出其范围【详解】曲线的参数方程为（为参数）将两个方程平方相加它在直角坐标系中表示圆心在半径为的圆又的几何意义是表示原点与解析：⎡⎢⎣⎦【分析】根据曲线参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线先化为普通方程，再利用yx 的几何意义即可求出其范围. 【详解】曲线的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），∴2cos x θ+=，sin y θ=，将两个方程平方相加，∴22(2)1x y ++=，它在直角坐标系中表示圆心在(2,0)-半径为1的圆.又yx的几何意义是表示原点与圆上一点(,)P x y 连线的斜率， 画出图象，如图：当过原点的直线与圆相切时，设切线的斜率为k ，切线方程l 为：y kx =联立l 与圆的方程：22(2)1x y y kx ⎧++=⎨=⎩，消掉y 可得()22(2)1x kx ++= 直线与圆相切，可得0∆=，解得33k =± ∴当过原点的直线与圆相切时，切线的斜率是3 ∴y x 的取值范围为33⎡⎢⎣⎦. 故答案为：3333⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画出可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．14．【分析】将直线的参数方程化为普通方程圆的极坐标方程转化为普通方程再求解【详解】直线参数方程为(t 为参数)转化为普通方程：圆转化为普通方程为将直线方程代入圆的方程中整理得设交点为中点坐标则即则线段BC 解析：4433,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程，转化为普通方程，再求解.【详解】直线参数方程为355435x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，转化为普通方程：11433y x =-， 圆5ρ=转化为普通方程为2225x y += ，将直线方程代入圆的方程中，整理得225881040x x --= ，设交点为()()1122,,,x y x y ，中点坐标()00,x y ， 则1208844252225x x x +=== ， ()1212012114114112333333223325x x y y y x x -+-+===-+= ， 即则线段BC 中点直角坐标为4433,2525⎛⎫⎪⎝⎭ . 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，以及一元二次方程根和系数关系的应用. 参数方程转化为直坐标方程，常用方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，极坐标方程转化为直角坐标方程，常通过转化公式直接代入，或先将已知式子变形，如两边同时平方或同时乘以ρ，再代入公式. 15．【解析】试题分析：依题意点M 的直角坐标为曲线C 的普通方程为圆心（10）半径则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为考点：参数方程与极坐标解析：5【解析】试题分析：依题意点M 的直角坐标为()4,4，曲线C 的普通方程为22(1)2x y -+=，圆心（1,0M 到曲线C上的点的距离的最小值为5考点：参数方程与极坐标16．【分析】由题意设利用两点之间的距离公式表示出进而可得结论【详解】由题意得圆的参数方程为（为参数）设则∴其中当时有最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式圆的参数方程的应用属于基础题 解析：36【分析】由题意设()32cos ,42sin P θθ++，利用两点之间的距离公式表示出22PA PB +，进而可得结论.【详解】由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），设()32cos ,42sin P θθ++， 则()()22262cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++， ()()2222cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+，∴()227624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++，其中3tan 4ϕ=， 当()sin 1θϕ+=-时， 22PA PB +有最小值为36. 故答案为：36.【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.17．3【解析】根据题意抛物线参数方程为其普通方程为y2=4x 其焦点坐标为（10）准线方程为x=﹣1动点P 在抛物线上设P 到准线的距离为d 则d=|PF|圆的参数方程为（α为参数）其普通方程为（x ﹣3）2+y解析：3【解析】根据题意，抛物线参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩，其普通方程为y 2=4x ， 其焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，动点P 在抛物线上，设P 到准线的距离为d ，则d=|PF|，圆的参数方程为3x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），其普通方程为（x ﹣3）2+y 2=1， 动点Q 在圆上，则|PF|+|PQ|=d+|PQ|，分析可得：当P 为抛物线的顶点时，|PF|+|PQ|取得最小值，且其最小值为3， 故答案为：3．18．【解析】圆C1的方程为的直角坐标方程为：(x−2)2+(y−2)2=8圆心C1(22)半径圆C2的参数方程为参数）的普通方程为：(x+1)2+(y+1)2=a2圆心距两圆外切时∴正数【解析】圆C 1的方程为)4πρθ=-的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −2)2=8， 圆心C 1(2,2),半径1r = 圆C 2的参数方程1(1x acos y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数）的普通方程为：(x +1)2+(y +1)2=a 2.圆心距12C C =两圆外切时,1212C C r r a =+==，∴正数a =19．【解析】直线l 的参数方程为（t 为参数）普通方程为x ﹣y+1=0圆ρ=﹣4cosθ即ρ2=﹣4ρcosθ即x2+y2+4x=0即（x+2）2+y2=4表示以（﹣20）为圆心半径等于2的圆∴圆C 的圆心到 解析：12． 【解析】直线l的参数方程为1{12x y t =-+=（t 为参数），普通方程为x，圆ρ=﹣4cosθ 即ρ2=﹣4ρcosθ，即 x 2+y 2+4x=0，即 （x+2）2+y 2=4，表示以（﹣2，0）为圆心，半径等于2的圆．∴圆C 的圆心到直线l=12， 故答案为：12． 20．【分析】先消去参数得到曲线的普通方程再利用直角坐标与极坐标的互化公式得到直线的直角坐标方程利用点到直线的距离公式结合图象即可求解【详解】将曲线的参数方程为化为直角坐标方程可得曲线表示圆心在原点半径为解析：1b ≤<【分析】先消去参数θ得到曲线的普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式，得到直线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，结合图象，即可求解.【详解】将曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[]0,πθ∈， 化为直角坐标方程，可得221x y +=，曲线1C 表示圆心在原点，半径为1的上半圆，（如图所示）曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos b ρθθ=-，即sin cos b ρθρθ-=， 可得曲线2C 的直角坐标方程为0x y b -+=， 由圆心到直线的距离得：12bd ==，解得2b =±，结合图象，可得实数b 的取值范围是12b ≤<. 故答案为：12b ≤<.【点睛】本题主要考查了极坐标和直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题21．（1）221124x y +=（2）56πα= 【分析】（1）消去参数β，即可得曲线的普通方程；（2）利用点差法求出直线的斜率k 的值，从而求得直线的倾斜角.【详解】（1）由32sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩得cos 23sin 2yββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β得221124x y +=，所以曲线C 的普通方程为221124x y +=； （2）直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标为． 设直线l 与曲线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则122x x +=1212y y +=，2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②， 由-②①得222221210124x x y y --+=， 所以()211221123y y x x x x y y -+=-==-+，即tan 3l k α=-=， 又∵[0,)απ∈，∴直线l 的倾斜角为56π． 【点睛】本题考查参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标的互化、点差法的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.22．（Ⅰ）2220x y x +--=；（Ⅱ.【分析】（Ⅰ）曲线2C 的极坐标方程l转化为22cos sin ρρθθ=+，由此能求出曲线2C 的直角坐标方程．（Ⅱ）将曲线1C 的参数方程代入曲线2C的直角坐标方程，可得210t -=，设,A B对应的t 值分别为12t t 、，利用韦达定理可得12121t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩ 【详解】解：（Ⅰ）21:4cos 4cos 32C πρθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos sin ρρθθ=+即2220x y x +--=（Ⅱ）由题意，联立2221202230x y x y x x ⎧=+⎪⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩得2610t t -=设,A B 对应的t 值分别为12t t 、，则121261t t t t ⎧+=⎪∴⎨⋅=-⎪⎩ 1212||AB t t t t ∴=+=- ()()221212124t t t t t t =-=+-⋅()26410=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.23．（1）25(25x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数）. （2）11,(3,4).【解析】试题分析：（1）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到圆C 的直角坐标方程，从而可得圆C 的一个参数方程；（2）由（1）可设点(25,25)P ϕϕ，借助辅助角公式即可得2x y +，从而可得2x y +的最大值及点P 的直角坐标. 试题(1)因为24(cos sin )3ρρθθ=+-，所以22+4430x y x y --+=，即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的直角坐标方程，所以圆C的一个参数方程为2(2x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由(1)可知点P的坐标可设为(2,2)ϕϕ，则224x y ϕϕ+=+++65sin()6ϕϕϕα=++=++其中cos 55αα==，当2x y +取最大值时，sin()1ϕα+=，2,2k k Z πϕαπ+=+∈，此时cos cos()sin 25πϕαα=-==，sin sin()cos 2πϕαα=-==2x y +的最大值为11，此时点P 的直角坐标为()3,4.24．（1cos sin 0θρθ-=（2）167AB =【详解】（1）直线l0y -=，代入互化公式cos {sin x y ρθρθ==可得直线lcos sin 0θρθ-=（2）椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得22)12(1)124t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-， 所以12167AB t t =-=． 考点：极坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可求线段的长 25．（1）()()22219x y -++=；（2）34y x =和0x =. 【分析】 （1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程； （2）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程.【详解】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程得曲线C 的直角坐标方程为22442x y x y +-=-，即()()22219x y -++=；（2）将直线的参数方程代入曲线方程：()()22cos 2sin 19t t αα-++=，整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-=设点A 、B 对应的参数为1t 、2t ，解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=-， 则12||AB t t =-===得23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<，得2πα=或3tan 4α=，直线l 的普通方程为34y x =和0x =. 【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题. 26．（1）10x y --=；2214x y +=（2【分析】（1）利用公式，即可实现极坐标方程和直角方程之间的转化；消去参数，则可得直线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的直角方程，根据韦达定理，结合参数几何意义，即可容易求得.【详解】（1）因为曲线C 的方程，()222cos 4sin 4ρθθ+=， 故可得2244x y +=，即2214x y +=； 因为直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，则其直角方程为10x y --=.（2）将直线参数方程代入曲线C的直角方程，可得2580t ++=，设点,A B 对应的参数12,t t t t ==，则121285t t t t +==，故可得12AB t t =-====故弦长AB = 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，以及利用参数的几何意义求弦长，属综合基础题.。
2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材数学(理) 坐标系与参数方程(选修4—4)(含解析)
考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2020·全国Ⅱ·理22)已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:{x =t +1t,y =t -1t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0. (1)求C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程.(2)若P 为C 上任意一点,A 为l 上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =t 2,y =2t (t 为参数),以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为2cos α-sin α=4ρ. (1)求曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ≥0),M 为该曲线上一动点. (1)当|OM|=12时,求M 的直角坐标;(2)若射线OM 逆时针旋转π2后与该曲线交于点N ,求△OMN 面积的最大值.5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=acos2θ(a>0,ρ∈R ). (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线θ=π4(ρ∈R )与直线l 交于点M ,直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于点A ,B ,且AM ⊥BM ,求实数a 的值.6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2sinα,y =2cosα+1(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的直角坐标方程为x+√3y-2√3=0. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于A ,B 两点,与直线l 交于点M ,求|MA|·|MB|的值.7.(2022·河南郑州二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).已知M是曲线C 1上的动点,将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ,设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)设点Q (1,0),若射线l :θ=π3与曲线C 1,C 2分别相交于异于极点O 的A ,B 两点,求△ABQ 的面积.8.(2022·山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-2+35t ,y =2+45t (t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρsin θ-3=0,点P 的极坐标为2√2,3π4.(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求点P 到线段AB 的中点M 的距离.考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.解 (1)C 1的普通方程为x+y=4(0≤x ≤4). 由C 2的参数方程得x 2=t 2+1t2+2,y 2=t 2+1t2-2, 所以x 2-y 2=4.故C 2的普通方程为x 2-y 2=4. (2)由{x +y =4,x 2-y 2=4得 {x =52,y =32,所以P 的直角坐标为(52,32). 设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0),由题意得x 02=(x 0-52)2+94,解得x 0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ.2.解 (1)因为曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数),所以C 的普通方程为x 216+y 29=1.又因为直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0,所以直线l 的直角坐标方程为x+y-12=0. (2)设P (4cos θ,3sin θ),|PA|的最小值即点P 到直线l 的距离的最小值,由√2=√2≥7√22,其中tan φ=43.当且仅当θ+φ=π2+2k π,k ∈Z 时取等号,故|PA|的最小值为7√22. 3.解 (1)由{x =t 2,y =2t (t 为参数),得{x =t 2,y 2=t (t 为参数),消去参数t ,得y 2=4x ,即曲线C 的普通方程为y 2=4x.(2)由2cos α-sin α=4ρ,得2x-y=4, 联立{y 2=4x ,2x -y =4得A (1,-2),B (4,4),所以AB 的中点坐标为52,1,|AB|=√45=3√5,故以AB 为直径的圆的极坐标方程为(x -52)2+(y-1)2=454,即x 2+y 2-5x-2y-4=0,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入,得ρ2-5ρcos θ-2ρsin θ-4=0.4.解 (1)令ρ=12,可得sin θ=12,所以θ=π6或θ=5π6,M 的直角坐标为±√34,14.(2)△OMN 的面积S=12ρ1ρ2=12(1-sin θ)1-sin θ+π2=12(1-sin θ)(1-cos θ)=12[1-(sin θ+cos θ)+sinθcos θ],令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4∈[-√2,√2], S=121-t+t 2-12=14(t-1)2,当t=-√2时,S 取得最大值3+2√24. 5.解 (1)由{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数)得x+y=2,∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2.由ρ2=acos2θ,得ρ2cos 2θ=a ,∴ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=a ,ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=a , ∴x 2-y 2=a ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2=a.(2)直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,将θ=π4代入直线l 的极坐标方程得ρ=√2,∴点M 的极坐标为√2,π4.将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程ρ2=acos2θ,得ρ1=√2a ,ρ2=-√2a ,∴|AB|=|ρ1-ρ2|=2√2a . ∵AM ⊥BM ,且O 为线段AB 的中点, ∴|OM|=12|AB|=√2a ,即√2a =√2,得a=1.6.解 (1)由{x =2sinα,y -1=2cosα(α为参数),得曲线C 的普通方程为x 2+(y -1)2=4.由x+√3y-2√3=0,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ-2√3=0,即ρsin θ+π6=√3.(2)(方法1)曲线C :x 2+(y-1)2=4的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ-3=0,将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程,得ρ2-ρ-3=0,∴ρ1+ρ2=1,ρ1·ρ2=-3. 将θ=π6代入直线l 的极坐标方程,得ρ=2.|MA|·|MB|=|ρ-ρ1|·|ρ-ρ2|=|(2-ρ1)·(2-ρ2)|=|4-2(ρ1+ρ2)+ρ1·ρ2|=1.(方法2)直线θ=π6的普通方程为y=√33x ,与直线l :x+√3y-2√3=0的交点为M (√3,1),直线θ=π6的参数方程为{x =√3+√32t ,y =1+12t(t 为参数),代入曲线C :x 2+(y-1)2=4,得t 2+3t-1=0,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1.7.解 (1)C 1的普通方程为(x-1)2+y 2=1,则x 2+y 2-2x=0,由ρ2=x 2+y 2,x=ρcos θ,得ρ2=2ρcos θ,故C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ.设N (ρ,θ),则M ρ,θ-π2,将M ρ,θ-π2代入ρ=2cos θ,得ρ=2cos θ-π2=2sin θ,即C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)将θ=π3分别代入曲线C 1,C 2的极坐标方程,得|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3, 所以|AB|=||OB|-|OA||=√3-1. 又Q 到射线l 的距离d=|OQ|sin π3=√32,故△ABQ 的面积为S=12×(√3-1)×√32=3-√34. 8.解 (1)点P 的极坐标为2√2,3π4,由{x =ρcosθ,y =ρsinθ可得点P 的直角坐标为(-2,2),曲线C :ρ2cos2θ+4ρsin θ-3=0,即ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ+4ρsin θ-3=0, 于是得曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2+4y-3=0. (2)显然点P (-2,2)在直线l 上,将直线l 的参数方程{x =-2+35t ,y =2+45t代入方程x 2-y 2+4y-3=0,得-2+35t 2-2+45t 2+42+45t -3=0,整理得725t 2+125t-5=0,。
高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题
高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题（时间：120分钟，总分：150分） 姓名： 学号:一．选择题（每小题5分，共50分）1.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）。
A.4)2(22=++y xB. 4)2(22=-+y xC. 4)2(22=+-y xD. 4)2(22=++y x 2.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）。
A.1=ρ B. θρcos = C. θρcos 1-= D. θρcos 1= 3.直线12+=x y 的参数方程是（ ）。
A.⎩⎨⎧+==1222t y t x B.⎩⎨⎧+=-=1412t y t x C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x 4.方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线是（ ）。
A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分5.参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）。
A.042=+-y xB. 042=-+y xC. 042=+-y x ]3,2[∈xD. 042=-+y x]3,2[∈x6.设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A.(23，π43) B. (23-，π45) C. (3，π45) D. (-3，π43) 7.直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）。
A.43-≤k B. 43-≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k 8.在极坐标系中，曲线)3sin(4πθρ-=关于（ ）。
A.直线3πθ=对称 B.直线65πθ=对称 C.点(2，3π)中心对称 D.极点中心对称9.若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x ，直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x ，则直线与圆的位置关系是（ ）。
极坐标与参数方程带答案(教师版)
选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐 标 系1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2．极坐标的概念 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。
(2)极坐标：对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)。
当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值。
(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了。
3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。
(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ4．常见曲线的极坐标方程1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程。
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ)互化公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点P 的极坐标为)4,2(π，则点P 的直角坐标为 （ ）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ）A ．3)4πB ．5()4π-C ．5(3,)4πD ．3(3,)4π-3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝15．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．题型二 极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP|＝________.3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，则实数a 的值是________．二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .题型二 直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C所截得的弦长．2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．综合应用 1、曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A 21(0,)(,0)52、 B 11(0,)(,0)52、 C (0,4)(8,0)-、 D 5(0,)(8,0)9、3、参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 3．判断下列结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是（2，－π3）( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )4.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2xC ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x15.参数方程()为参数θθθ⎩⎨⎧+==cot tan 2y x 所表示的曲线是（ ）A ．直线B ．两条射线C ．线段D ．圆16.下列参数方程（t 是参数）与普通方程y x 2=表示同一曲线的方程是： ( )A ．x t y t ==⎧⎨⎩2B ．x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2C ．x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪D ．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t y t t x tan 2cos 12cos 13.由参数方程()⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎩⎨⎧=-=202tan 21sec 22ππθθθ为参数，y x 给出曲线在直角坐标系下的方程是 。
选修4-4 极坐标与参数方程(极坐标)01
)
1.
（1）求点
(4,
4
)
的直角坐标系下的坐标与直线的普通方程；
（2）求点
(4,
4
)
到直线
sin(
4
)
1的距离.
【练 1】坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别为
4sin ,
cos
N
，求 C2MN
的面积.
【练
4】已知曲线
C1
的参数方程为
x y
4 5
5 5
cos t sin t
,
（
t
为参数），以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ＝2 sin ．
（1）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
（2）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ 0, 0 ＜2 ）．
4
2
2.
（1） 求 C1 与 C2 交点的极坐标;
x t3 a
（2）设
P
为
C1
的圆心，
Q
为
C1
与
C2
交点连线的中点，已知直线
PQ
的参数方程为
y
b 2
t3
(t 1
R
为，参
数) 求 a, b 的值.
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【练 2】坐标系与参数方程
y2
4
高二级数学选修4-4《极坐标与参数方程》考试卷
高二级数学选修4-4《极坐标与参数方程》考试卷一、选择题1.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为 （ ）A 4)2(22=++y xB 4)2(22=-+y xC 4)2(22=+-y xD 4)2(22=++y x2.已知点P 的极坐标是),1(π，则过点P 且垂直极轴的直线方程是 （ ）A 1=ρB θρcos =C θρcos 1-=D θρcos 1= 3.在极坐标系中，圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A.=0()cos=2∈R θρρ和B.ρρπθ=(∈R)和cos =22 C. πθ=(ρ∈R)和ρcos =12D.θ=0(ρ∈R)和ρcos =1 4.直线12+=x y 的参数方程是 （ ） A ⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数） C ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数）5.圆5cos ρθθ=-的圆心是 （ ）A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 6.参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是 （ ） A 042=+-y x B 042=-+y xC 042=+-y x ]3,2[∈xD 042=-+y x ]3,2[∈x7.设点P 对应的复数为i 33+-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为 （ ） A (23，π43) B (23-，π45) C (3，π45) D (-3，π43) 8.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是 （ ） A 34k <- B 43-≥k C R k ∈ D R k ∈但0≠k9.已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是 ( )A （3，4）B 1212(,)55--C (-3，-4) D1212(,)5510.若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是 （） A 相交过圆心 B 相交而不过圆心 C 相切 D 相离11.直线112()x tt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标（）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,12.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为 （） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆二、填空题13.在极坐标系中，以)2,2(πa 为圆心，2a为半径的圆的极坐标方程是 。
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极坐标与参数方程练习1一．选择题（每题5分共60分）1．设椭圆的参数方程为()πθθθ≤≤⎩⎨⎧==0sin cos b y a x ，()11,y x M ，()22,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为21,θθ且21x x <，则A ．21θθ<B ．21θθ>C ．21θθ≥D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=ty tx 235211 B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=ty tx 235211 C. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=ty tx 235211 D. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 235211 4.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线5．若动点(x ,y )在曲线14222=+by x(b >0)上变化，则x 22y 的最大值为(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ；(C)442+b(D) 2b 。
6．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29 D 、57．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线8． 已知动园：),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨迹是A 、直线B 、圆C 、抛物线的一部分D 、椭圆9． 在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是10．设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin cos r y r x 的位置关系是A 、相交B 、相切C 、相离D 、视的大小而定 11． 下列参数方程（t 为参数）中与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的是12．已知过曲线()⎩⎨⎧≤≤==πθθθθ0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是A 、（3，4）B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛22223， C 、(-3，-4) D 、⎪⎭⎫⎝⎛512512，二．填空题（每题5分共25分）13．过抛物线y 2=4x 的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的取值范围是________________________________。
14．直线()为参数t ty t x ⎩⎨⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是15．圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是16．直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM的长为17．曲线⎩⎨⎧==ααtan sec b y a x （α为参数）与曲线⎩⎨⎧==ββsec tan b y a x （β为参数）的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＋e 2的最小值为_______________.三．解答题（共65分18．上截得的弦长。
为参数）被双曲线（求直线13222=-⎩⎨⎧=+=yx t ty tx19．已知方程。
（1）试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； （2）θ为何值时，该抛物线在直线x=14上截得的弦最长？并求出此弦长。
20．已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 5cos 4y x 上两个相邻顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上的两个动点，且B 、D分别在直线AC 的两旁，求四边形ABCD 面积的最大值。
21.已知过点P(1，-2)，倾斜角为6π的直线l 和抛物线x 2=y+m(1)m 取何值时，直线l 和抛物线交于两点?(2)m 取何值时，直线l 被抛物线截下的线段长为3234-.极坐标与参数方程练习1参考答案13．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈434ππα， ;14．()()2,1,4,3-- ; 15．13139±=y ;16．3610+;17．22 18．解：把直线参数方程化为标准参数方程为参数）（ 23 212t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+= 1 23 21212222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-t t y x ，得：代入06 4 2=--t t 整理，得： ，则，设其二根为 21t t 6 4 2121-=⋅=+t t t t ， ()()10240644 4 22122121==--=-+=-=t t t t t t AB 从而弦长为19（1）把原方程化为())cos 4(2sin 32θθ-=-x y ，知抛物线的顶点为()θθsin 3,cos 4它是在椭圆191622=+yx上；（2）当时，弦长最大为12。
20、22021．(1)m ＞123423+,(2)m=3极坐标与参数方程单元练习2(一)选择题：[ ] A．(2，-7) B．(1，0)A．20° B．70° C．110° D．160°[ ] A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆[ ]C．5 D．6(二)填空题：8．设y=tx(t为参数)，则圆x2+y2-4y=0的参数方程是______．10．当m取一切实数时，双曲线x2-y2-6mx-4my+5m2-1=0的中心的轨迹方程为______．(三)解答题：时矩形对角线的倾斜角α．13．直线l经过两点 P(-1，2)和Q(2，-2)，与双曲线(y-2)2-x2=1相交于两点A、B，(1)根据下问所需写出l的参数方程；(2)求AB中点M与点P的距离．14．设椭圆4x2+y2=1的平行弦的斜率为2，求这组平行弦中点的轨迹．15．若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线．现测得我炮位A与炮击目标B在同一水平线上，水平距离为6000米，炮弹运行的最大高度为1200米．试求炮弹的发射角α和发射初速度v0(重力加速度g=9.8米/秒2)．极坐标与参数方程单元练习2参考答案(一)1．C 2．C 3．D 4．B 5．A(二)6．(1，0)，(-5，0)7.4x2-y2=16(x≥2)9．(-1，5)，(-1，-1)10．2x+3y=0(三)11．圆x2+y2-x-y=0．14．取平行弦中的一条弦AB在y轴上的截距m为参数，并设A(x1，设弦AB的中点为M(x，y)，则15．在以A为原点，直线AB的x轴的直角坐标系中，弹道方程是它经过最高点(3000，1200)和点B(6000，0)的时间分别设为t0和2t0，代入参数方程，得极坐标与参数方程单元练习3一．选择题（每题5分共50分） 1．已知⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 2．点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是 A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π 5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛--ππ则ABO ∆为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆 8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直D 、与有关，不确定9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是 A.214-πB.2-πC.12-πD.2π10.已知点1P 的球坐标是)4,,32(1πϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P .A ．2B ．3C ．22D ．22二．填空题（每题5分共25分）11．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是12．圆心为⎪⎭⎫⎝⎛6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为13．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是14、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。
15、与曲线01cos =+θρ关于4πθ=对称的曲线的极坐标方程是________________________。
三．解答题（共75分）16．说说由曲线x y tan =得到曲线x y 2tan 3=的变化过程，并求出坐标伸缩变换。
（7分）17．已知⎪⎭⎫⎝⎛π32,5P ，O 为极点，求使'POP ∆是正三角形的'P 点坐标。
（8分）18．棱长为1的正方体''''C B AD OABC -中，对角线'OB 与'BD 相交于点P ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在轴轴y x ,的正半轴上，已知点P 的球坐标()θϕρ,,P ，求θϕρs in ,ta n ,。
（10分）19．ABC ∆的底边,21,10B A BC ∠=∠=以B 点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程。
（10分）20．在平面直角坐标系中已知点A （3，0），P 是圆珠笔()122=+y x 上一个运点，且AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。
（10分）21、在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎪⎭⎫⎝⎛6,3π，半径=1，Q 点在圆C 上运动。