数学分析第二学期期末考试题及答案

数学分析第二学期考试题
一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，
共32分）
1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ b ） A 、连续 B 、有界 C 、无间断点 D 、有原函数
2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ b ） A 、⎰
⎰=-a
a
a dx x f dx x f 0
)(2)( B 、
0)(=⎰
-a
a dx x f
C 、
⎰⎰
-=-a a
a
dx x f dx x f 0
)(2)( D 、)(2)(a f dx x f a
a
=⎰-
3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ a ） A 、
⎰
1
1dx x
B 、 ⎰
∞
+1
1dx x
C 、 ⎰+∞
sin xdx D 、⎰
-1
13
1
dx x 4、级数
∑∞
=1
n n
a
收敛是
∑∞
=1
n n
a
部分和有界且0lim =∞
→n n a 的（ c ）
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充分必要条件
D 、无关条件 5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ） A 、
1
0arcsin xdx ⎰
B 、1
1
ln e
e
dx x x ⎰ C 、
1
-⎰
D 、10sin x dx x ⎰ 6、下面结论错误的是（ b ）
A 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界；
B 、若)(x f 在),(b a 内连续，则
)(dx x f b
a
⎰
存在；
C 、 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在]
,[b a 上必可积；
D 、 若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积。

7、下列命题正确的是（ d ） A 、
)(1x a
n n
∑∞
=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛
B 、
)(1
x a
n n
∑∞
=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛
C 、 若0|)(|lim =∞
→x a n n ，则
)(1
x a
n n
∑∞
=在[a ，b ]必绝对收敛
D 、
)(1x a
n n
∑∞
=在[a ，b ] 条件收敛必收敛
8、
∑∞
=++-0121
21
)1(n n n x n 的和函数为（ c ） A 、x
e B 、x sin C 、)1ln(x + D 、x cos
二、计算题：（每小题7分，共28分）
9、
⎰
=9
1
4)(dx x f ，求⎰+2
2)12(dx x xf 。

10、计算
⎰
∞
++0
2
221
dx x
x 。

11、计算∑∞
=11n n x n 的和函数，并求∑∞
=-1
)1(n n
n 。

12、计算
⎰x x dx
22cos sin
三、讨论题与应用：（每小题10分，共20分）
13、讨论
∑∞
=+-2
21
sin 2)
1(n n n n n
x
的敛散性 14、抛物线x y 22
=把圆82
2
≤+y x 分成两部分，求这两部分面积之比。

四、证明题：（每小题10分，共20分）
15、设f(x)是以T 为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明
⎰⎰
=+T
T
a a
dx
x f dx x f 0
)()(
16、设)(x f 在[a ，b ]连续，证明
⎰
⎰=
π
π
π
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并求
⎰
+π
2cos 1sin dx x
x
x
参考答案
一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、
⎰⎰
++=
+20222
2)12()12(2
1)12(x d x f dx x xf （3分）令122
+=x u ，⎰⎰
==+9
1
2
2
2)(21)12(du u f dx x xf （3分）
2、
⎰
∞
++0
2221dx x x =4
)1arctan(lim )1()1(11lim 002π
=
+=+++∞→∞→⎰A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =∑∞
=11n n x n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('
x f =x x n n -=∑∞
=-111
1，
)(x f =)1ln(110x dt t x
-=-⎰（2分），令1-=x ，得2ln )1(1
=-∑∞
=n n
n 4、解：两边对x 求导02232=--x x xz z z z （3分）x z z z x 2322-=（2分）2
)
1,1,1(=∂∂x z
（1分）
5、解：x y
x y
x ≤+≤||0222（5分）0lim 2
220
0=+→→y x y x y x （1分） 由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）
三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=0
00)(4),(22222
222
224y x y x y x y y x x y
y x f x （2分）
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++--=0
00)(4),(22222
222
224y x y x y x y y x x x
y x f y (4分）
1)0,0(),0(lim )0,0(02-=∆-∆=∂∂∂→∆y f y f x y z
x x y
1)0,0()0,(lim )0,0(02=∆-∆=∂∂∂→∆x
f x f y x z
y y x （6分）
2、解：由于x n
x n n n n n 221
sin 2|sin 2)
1(|lim =-+∞
→（3分）
，即1sin 22
<x 级数绝对收敛1sin 22=x 条件收敛，1sin 22>x 级数发散（7分）
所以原级数发散（2分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：因为)(1x f 在[a ，b ]上可积，故在[a ，b ]上有界，即0>∃M ，使得]),[()(1b a x M x f ∈∀≤，
（3分）从而)(|)(|)(12a x M dt t f x f x
a -≤≤⎰一般来说，若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n （5分）则)()!
1()()(1
∞→--≤-n n a b M x f n n ，所以
)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0（2分）
⎰⎰⎰
=+++=+a
a T
a T
dt t f T t d T t f t T x dx x f 0
)()()()(（2）
（4分） 将式（2）代入（1）得证（2分）
2、 y
e x z y x 1=∂∂，2y x e y z
y x -=∂∂，
（7分）则012=-=∂∂+∂∂y x ye y xe y z y x z x y x
y x （3分） 3、 证明：令t x -=π
⎰⎰⎰
⎰-=---=π
ππ
π
πππ0
)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7分）
8cos 1sin 2cos 1sin 2
020
2ππππ
=+=+⎰⎰
dx x x dx x
x x （3分）忽略此处..。