总复习题

18．设有推理： (a)没有不守信用的人是可信赖的； (b)有些可以信赖的人是受过教育的人； (c)因此有些受过教育的人是守信用的。 试构造推理的证明，要求把推理的前提，结论符号化为谓词形式，并写出推理过程。 （个体域：人的集 合）提示：设 F（x）表示 x 是守信用的人；G（x）表示 x 是可信赖的人；H（x）表示 x 是受过教育的人。 19．符号化命题“每个学术会的成员都是工人并且是专家，有些成员是青年人，所以有的成员是青年专 家” ；并用演绎方法证明上面推理。 （F(x)：x 是学术会成员；H(x)：x 是工人；G(x)：x 是专家；R(x)：x 是青年人） 20．用ＣＰ规则证明： （１） ( S ∧ Q) → R , ¬R ∨ P , ¬P ⇒ S → ¬Q ； （２） (∀x)( P ( x) → Q( x )) ⇒ (∃x) P ( x ) → (∃x )Q ( x) 。 21．用推理规则证明下式： 前提: (∃x) P ( x ) → ∀x (( P ( x) ∨ Q ( x)) → R ( x )) , (∃x ) P ( x ) , (∃x)Q( x ) 结论： (∃x)(∃y )( P ( x ) ∧ R ( y )) 证明 R 为等价关系。 22． 设 R 为 N×N （N 非空） 上的二元关系, ∀ <a,b>,<c,d>∈N×N,<a,b>R<c,d> ⇔ a=c。 证明 R 为等价关系。 23． 设 R 为 N×N （N 非空） 上的二元关系, ∀ <a,b>,<c,d>∈N×N,<a,b>R<c,d> ⇔ b=d。 24．设 A = {1 , 2 , 3 , L , 9} ，在 A × A 上定义关系 R : << a, b >, < c, d >>∈ R 当且仅当 a + d = b + c ，证明 R 是 A × A 上的等价关系。 25．设 R 是 A 上的一个自反关系，证明：R 是一个等价关系，当且仅当若<a,b>∈R，<a,c>∈R，则<b,c> ∈R。 26．设 R 是集合 A 上的自反、传递的二元关系，又设 T 也是 A 上的二元关系，且满足：
42．设 G1 =< R + ,× > 是正实数关于乘法构成的群， G2 =< R ,+ > 是实数加群，令 f : R + → R, f ( x) = ln( x) ，证明 f 是 G1 到 G2 的同构。 43．已知 n 阶 m 条边的无向图 G 是 k ( k ≥ 2) 棵树组成的森林，证明 m=n-k。 44．证明：若无向图 G 中恰有两个奇度顶点，则这两个奇度点必连通。 45．证明：完全二元有向树（每个非叶结点的出度均为 2）中的边的总数 m = 2(k − 1) ，其中， k 为该完全 二元有向树的树叶数。 46．证明：含有 n 个结点的完全二元有向树（每个非叶结点的出度均为 2）的树叶数为
0 1 0 5． 设集合 ｛1,2,3｝ 上的关系 R 的关系矩阵为 MR= 0 0 1 ， 求关系 r(R)、 s( R)、 t( R)、 s(r( R)) 和 t(s(r( R))) 0 0 1
各自对应的关系矩阵。 6．设 A = {a , b , c} ，A 上的关系 ρ = {< a , a > , < a , b > , < b , c > , < c , b >} ，求出 r ( ρ ) , s( ρ ) 和 t ( ρ ) 。 7．集合 A = {1 , 2 , 3 , 4} 上的关系 R = {< 1 , 1 > , < 1 , 3 > , < 2 , 2 > , < 3 , 3 > , < 3 , 1 > , < 3 , 4 > , < 4 , 3 > , < 4 , 4 >} ，写出 关系矩阵 M R ，画出关系图并讨论 R 的性质。 8．设 A={a,b,c,d}，R={<a，b>，<a，d>，<b，c>，<c，a>，<d，a>}，求 R 的传递闭包。 9．设 X={1,2,3,4,5}，X 上的关系 R={<1,1> , < 1 , 2 > , <2 , 4 > , < 3 , 5 > , <， 求 R 的传递闭包 t (R)。 10． 设集合Ａ＝{a,b,c,d,e}上的关系Ｒ＝{<a,b>,<b,c>,<b,d>,<d,e>}写出它的关系矩阵和关系图， 并用矩阵 运算方法求出Ｒ的传递闭包。 11．设集合 A={ a ,b , c , d }上关系 R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >} ，要求 （1）写出 R 的关系矩阵和关系图。 （2）用矩阵运算求出 R 的传递闭包。 12． 若集合Ｘ＝ ｛ （0,2） ， （１,２） ， （2， 4） ， （３， ４） ， （５， ６） ， …｝R = {<< x1 , y1 >, < x 2 , y 2 >>| x1 + y 2 = x 2 + y1 } （1）证明 R 是 X 上的等价关系。 （2）求出 X 关于 R 的商集。 13．设 A = {1 , 2 , 3 , L , 9} ，在 A × A 上定义关系 R : << a, b >, < c, d >>∈ R 当且仅当 a + d = b + c ，证明 R 是 A × A 上的等价关系，并求出 [< 2,5 >] R = ? 14．设 X={1， 2， 3， 4}， R 是 X 上的二元关系， R={<1,1>,<3,1>,<1,3>,<3,3>,<3,2>,<4,3>,<4,1>,<4,2>,<1,2>}。 （1）画出 R 的关系图；
n +1 。 2
二、
解析题
1．用等值演算法和真值表法求命题公式(p→q)∧(q→r)的主析取范式和主合取范式中的一个，然后写出 另一个。 2．用等值演算法和真值表法求命题公式 ( p → q ) ↔ r 的主析取范式和主合取范式中的一个，然后写出 另一个。 3．分别用真值表法和等值演算法求命题公式 ¬( p → ¬q ) ∧ q ∨ r 的主析取范式和主合取范式中的一个，然 后写出另一个。 4．某科研所要从 3 个项目 A、B、C 中选择 1～2 个项目上马，由于某种原因，立项时要满足以下条件： (1)若 A 上，则 C 也要上； (2)若 B 上，则 C 不能上； (3)若 C 不上，则 A 或 B 可以上。 请找出所有的立项方案。
x, y ∈ T ⇔ x, y ∈ R ∧ y, x ∈ R 。求证：T 是 A 上的等价关系。
27．设 A={<a，b>|a，b∈Z+，Z+为整数集}，A 上的关系 R={<<a，b>,<c，d>>|ad=bc}，证明 R 是等价 关系。 28．如果集合 A 上的关系 R 和 S 是反自反的、对称的和传递的，证明： R ∩ S 是 A 上的等价关系。 29．设 A 是一个集合，X=P（A） ，R 是 X 上元素之间的包含关系，试证明<X,R>是偏序集。 （注：P（A） 为 A 的幂集） 30．A,B,C 都是集合，证明 A ⊕ B = A ⊕ C ⇒ B = C 。 （其中， X × Y 表示集合 X 与 Y 的笛卡尔乘积） 31．证明集合等式 A × ( B I C ) = ( A × B ) I ( A × C ) 。 32．对代数系统<A,*>，*是 A 上二元运算，e 为 A 中幺元，如果*是可结合的且每个元素都有右逆元， 则（1）<A,*>中的每个元素在右逆元必定也是左逆元。 （2）每个元素的逆元是唯一的。 33．设 ϕ 是群 G1 到群 G2 的同态， H 是 G1 的子群。证明： ϕ ( H ) 是 G2 的子群。 34．设 H 是群 G 的子群， a ∈ G 。证明： aHa −1 是 G 的子群。 35．设 G 是群， a ∈ G ， a 2 = e ， H = {x ∈ G ax = xa} 。证明： H 是 G 的子群。 36．设 H 是群 G 的子群， a ∈ G 。证明： aHa −1 是 G 的子群。 37．素数阶群必为循环群。 38．证明 6 阶群 G 中必有 3 阶元。 39．证明 14 阶群 G 中必有 7 阶元。 40．证明 10 阶群 G 中必有 5 阶元。 41．设<G，*>是一个群，x∈G，定义：a o b=a*x*b， ∀ a,b∈G。证明：<G, o >也是一个群。
2011 级计算机《离散结构》总复习综合练习
一、 证明题
1．用命题逻辑中的附加前提法证明如下推理（每一步均要求写出推理规则） ： 前提： ¬p ∨ (¬q ∨ r ) ， q → ( r → s ) ，p 结论： q → s 结论： r → s 2．用命题逻辑中的附加前提法构造证明：前提： p → ( q → s ) ， q , p ∨ ¬r 3．用命题逻辑中的归谬法证明如下推理（每一步均要求写出推理规则） ： 前提： p → ¬q ， ¬r ∨ q ， r ∧ ¬s 结论： ¬p 4．用推理规则证明： ( A → B ) ∧ (C → D) , (¬B ∨ E ) ∧ (¬D ∨ F ) , ¬( E ∧ F ) , A → C ├ A 5．用反证法证明 ( P ∨ Q) ∧ ( P → R ) ∧ (Q → S ) ⇒ S ∨ R 。 6．用 CP 规则证明 P → (Q → R ), R → (Q → S ) ⇒ P → (Q → S ) 。 7．构造下面推理的证明： 只要 A 曾到过受害者房间并且 11 点以前没离开，A 就犯了谋杀罪。A 曾到过受害者房间。如果在 11 点 以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以 A 犯了谋杀罪。 8．构造下面推理的证明： 如果今天是星期六，我们就要到颐和园或圆明园去玩。如果颐和园游人太多，我们就不去颐和园玩。今 天是星期六，颐和园游人太多，所以我们去圆明园玩。 9．公安人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案，已知侦察结果如下： （1）营业员 A 或 B 盗窃了钻石项链； （2）若 B 作案，则作案时间不在营业时间； （3）若 A 提供的证词正确，则货柜未上锁； （4）若 A 提供的证词不正确，则作案发生在营业时间； （5）货柜上了锁。 试问：作案者是谁？要求写出推理过程。 10．或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑并不难学。因此，如果许多 学生喜欢逻辑，那么数学并不难学。 11．已知前提： (∃x)( Fx ) → (∀y )(( F ( y ) ∨ Q( y )) → R ( y )), (∃x ) F ( x); 结论(∃x ) R ( x) 12．用推理规则证明 ¬P ( a) ∧ G( a ) 是 ∀x ( P ( x ) → (Q( x) ∧ R ( x))) , ¬(Q(a ) ∧ R (a )) , S ( a ) , ∀x ( S ( x ) ↔ G ( x )) 的有效结论。 13．用谓词逻辑构造如下推理的证明： 如果 A 努力工作，那么 B 或 C 感到愉快；如果 B 愉快，那么 A 不努力工作；如果 D 愉快，那么 C 不愉快。所以，如果 A 努力工作，则 D 不愉快。 14．用谓词逻辑构造如下推理的证明（每一步均要求写出推理规则） ： 已知前提： （1）任何能阅读者都识字； （2）海豚都不识字； （3）有些海豚是有智力的。结论：某些 有智力者不能阅读。试用谓词逻辑证明上述推理的正确性。 （证明时须写出推理依据） 15．用谓词逻辑构造如下推理的证明（每一步均要求写出推理规则） ： 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车,每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车,并非每个人都喜欢骑自行 车,因而有人不喜欢步行。 （个体域为人类集合） ． 16．用谓词公式将下列命题符号化，并证明结论的有效性： （1）所有有理数都是实数，某些有理数是整数。因此，某些实数是整数。 （2）所有的有理数都是实数，所有的无理数也是实数，虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数， 也不是无理数。 17．符号化下列各命题，并说明结论是否有效（用推理规则） 。 凡 15 的倍数都是 3 的倍数，凡 15 的倍数都是 5 的倍数，所以有些 5 的倍数是 3 的倍数。 （证明时必须写出推理依据）