4.Lagrangian网格

xQ t NI XQ xI t
n
为应力张量的独立分量数目，
在二维平面应力问题中，由于应力张量对称，n 在三维问题中，n
3 ;
6。
3 UL有限元离散
离散方程
半离散运动（动量）方程为关于时间的常微分方程
M ijI J v jJ f iIint f iIext
ij XQ ij Dkl XQ , etc.
初始条件：可以是速度和应力，或者是位移和速度。第一组初 始条件更适合于大多数工程问题，因为确定一个物体的初始位移通 常是很困难的。初始应力通常为已知的残余应力，有时候可以测量 或者通过平衡解答估算。例如，当一个钢件经过铸锭成型后确定其 位移几乎是不可能的。对于在工程部件中的残余应力场，经常能够 给出较准确的估计。类似地，在埋置管道中，靠近管道周围的土壤 或岩石的初始位移的概念是毫无意义的，而初始应力场可以通过平 衡分析估计出来。因此，以应力形式的初始条件更加实用。
一个单元的三个域：
1. 2. 母单元域 当前单元域 □
e e t
3.
初始（参考）单元域
e 0
3 UL有限元离散
单元坐标
相关的映射
通过映射的合成描述每一单元的运动
x xX, t x ξ e X, t


3 UL有限元离散
单元坐标
运动近似给出为
xi ξ , t xiI t N I ξ
M ijIJ ij N I N J d
内部节点力代表着物体的应力。以上这些表达式既可以应用于整体网格，也 可以应用于任意单元或单元集。这些表达式包含形状函数对应于空间坐标的 导数和在当前构形上的积分。在非线性有限元方法中，对于更新的 Lagrangian网格，这是一个关键的方程；它也应用于Eulerian和ALE网格。
2 UL控制方程
弱形式
2 UL控制方程
弱形式
边界条件：在二维问题中，面力或速度的每个分量都必须预先 指定在整个边界上；但是，在边界上同一点处不能同时指定面力和 速度分量。其分量可以指定在不同于总体坐标系的局部坐标系上。
速度边界条件等价于位移边界条件：如果给定了位移，可以通 过时间微分得到速度；给定了速度，可以通过时间积分得到位移。
2 UL控制方程
弱形式
虚功率原理是动量方程，面力边界条件和内部力连续性条件的弱 形式。微分方程的积分形式一般称为弱形式。 强形式或广义动量平衡，包括动量方程，力边界条件和力连续性 条件。微分方程一般称为强形式 。
3 UL有限元离散
有限元近似
在有限元方法中，运动 xX, t 近似地表示为
xi X, t N I XxiI t
i
N I ji d x j
i
外部节点力 惯性节点力
f iIext N I bi d N I t i d t
f iIkin N I vi d
f iIkin N I N J dviJ
f iIkin M ijI J v jJ
vi X, t
ui X, t uiI t N I X viI t N I X t
N I viI N I , j x j
变形率给出为
Dij 1 Lij L ji 1 viI N I , j v jI N I , i 2 2
在任何指定速度的地方，虚速度必须为零。
利用除
v
以外的节点上虚节点速度的任意性，则动量方程的弱形式为
i
nSD N I ji d N I bi d N I t i d N I vi d 0 ti i 1 x j
I,i v
3 UL有限元离散
有限元近似
当一个节点具有初始位置 X J ，有：
N I X J I J
xX J , t x I t N I X J x I t I J x J t
节点J总是对应于相同的材料点XJ ，在L网格中，节点总是和材料点保持一致
定义节点位移：
当前构形中的节点坐标
小写的下标表示分量，如三维 大写的下标表示节点号
xiI xI , y I , z I
I 1 ~ nN
默认对重复的指标求和；在小写指标的情况下，对空 间的维数进行求和，而在大写指标的情况下，对节点的编 号进行求和。 在求和中的节点数目取决于所考虑的域：当考虑整个 域时，对整个域中的所有节点求和；当考虑一个单元时， 对这个单元的所有节点求和。
vi X, t u i X, t u iI t N I X viI t N I X t
3 UL有限元离散
有限元近似
加速度是速度的材料时间导数
ui X, t uiI t N I X
速度梯度为
Lij vi , j viI
计算固体力学
非线性有限元
第4章 Lagrangian网格
庄茁
2009.10
第4章 Lagrangian网格
1
2 3
4
5
6
引言 UL控制方程，弱形式 UL有限元离散 编制程序 旋转公式 TL格式，弱形式，有限元半离散化
1 引言
在Lagrangian网格中，节点和单元随着材料移动， 边界和接触面与单元边缘保持一致，处理较为简单。 积分点也随着材料移动，本构方程总是在相同材料点 处赋值，这对于历史相关材料是有利的。基于这些原 因，在固体力学中广泛地应用Lagrangian网格。 UL格式，Eulerian（空间）坐标和Cauchy应力； TL格式，名义应力，PK2应力，Green应变张量。
XQ
i
Dij X Q
1 Lij L ji 2
Lij N I , j X Q viI
这是真正意义的离散平衡方程。如果本构方程是率无关 的，那么离散平衡方程是关于应力和节点位移的非线性代数 方程组。对于率相关材料，为了获得非线性代数方程组，任 何率形式都必须在时间上离散。
对于线性问题，控制方程也可以写成 KU＝F 矩阵位移 法的刚度方程形式。
1 1 1 1 Q1 1 Q2 1 nQ nQ 1 2


4 编制程序
完全积分
在非线性分析中，采用积分点数的规则一般基于在线性分析中的 相同规则；对于一个规则的单元，积分点数目的选择是能恰好积分内 部节点力。一个单元的规则形式，是指仅通过母单元的拉伸而不是剪 切能得到的形式；例如，二维等参单元的一个矩形。
在 Voigt 标记中，将应力和变形率表示为列向量的形式。 从指标表示到矩阵形式的转换是比较任意的，并取决于个人 的偏爱。在大多数情况下，将单指标的变量解释为列矩阵；当 解释为行矩阵时，其过程就会有所不同。
4 编制程序
4 编制程序
数值积分
节点力、质量矩阵和其它单元矩阵的积分不是解析计算的， 而是应用数值解答，称为数值积分。最广泛应用的是Gauss积分
3 UL有限元离散
单元坐标
单元坐标是时间不变的，可以将位移、速度和加速度表示 为形状函数的形式：
ui ξ , t uiI t N I ξ uξ , t u I t N I ξ
ui ξ , t vi ξ , t viI t N I ξ , uξ , t vξ , t v I t N I ξ
3 UL有限元离散
离散方程
半离散运动（动量）方程
MijI J v jJ fiIint fiIext
是关于节点速度的 n DOF 个常微分方程系统。
n DOF 是不受约束的节点速度分量的数目，称作自由度的数目。
为了完成这个方程系统，要附加上单元积分点处的本构方程 n nQ 和以节点速度形式表示的变形率。 在网格中nQ个积分点表示为 积分点与材料点是一致的。
通过任何常微分方程的积分方法，如Runge－Kutta法或中心差分 法，可以对这个常微分方程系统进行时间积分；见第6章。
3 UL有限元离散
离散方程
对于平衡问题，加速度为零，控制方程成为
f iIint f iIext
ij XQ ij Dkl XQ , etc.
I ,i v
f d w f
1 nQ 1 Q 1 Q Q
式中nQ个积分点的权重wQ 和坐标值ξQ有表可查；见附录3。
指定方程在母单元域上进行积分，其积分区间为[－1，1]。
一个二维单元的Gauss积分为
□ f d□ f , dd wQ1 wQ2 f Q1 ,Q2
形状函数仅是母单元坐标的函数；运动的时间相关性完全反映在节点 坐标上。上式为在单元的母域和当前构形之间的一个时间相关映射。
在t＝0时写出这个映射，得到
X i ξ xi ξ ,0 xiI 0N I ξ X iI N I ξ
在L单元中，材料坐标和单元坐标之间的映射是时间不变的。 如果这个映射是一对一的，则在L网格中可以将单元坐标代替材料 坐标，因为在一个单元中的每一材料点具有唯一的单元坐标编号。 为了在Ω0中在单元坐标和材料坐标之间建立唯一的对应关系，单元 数目必须成为编号的一部分。如果单元坐标不能代替材料坐标，则 网格不是L格式(如ALE)。应用初始坐标X作为材料坐标主要源于解 析过程；在有限元中，应用单元坐标作为材料编号是更自然的。
2 UL控制方程
弱形式
考虑一个物体，占有域Ω，边界为Г。 连续体力学行为的控制方程是： 1 质量（或物质）守恒，标量方程； 2 线动量和角动量守恒，张量方程，包含n个偏微分方程（n－维数）； 3 能量守恒，通常称作热力学第一定律，标量方程； 4 本构方程，应力－应变或应变率的关系，对称张量； 5 应变－位移方程。
i
离散运动（动量）方程为
M ijI J v jJ f iIint f iIext I ,i v