函数的单调性(第一课时)
函数的单调性(第一课时)
几何特征 在单调区间上，增函数的图象是上升的， 在单调区间上，增函数的图象是上升的，
减函数的图象是下降的. 减函数的图象是下降的
思考
那么二次函数在R上具有单调性吗？ 那么二次函数在 上具有单调性吗？ 上具有单调性吗
注：
1.函数的单调性也叫函 函数的单调性也叫函 数的增减性 2.函数的单调性是对某个区间而言 . 它是一个局部概念. 的,它是一个局部概念.
∴ f ( x1 ) > f ( x2 )
1 所以函数 f ( x) = 在(0,+ x
上是减函数. 上是减函数 ∞)上是减函数
1 1 x2 − x1 f ( x1 ) − f ( x2 ) = − = x1 x2 x1 x2
< x2 则:
课堂小结， 课堂小结，知识再现
1、函数单调性是对定义域的某个区间而言 、 的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变 化的性质. 化的性质
观察图象回答： 增大时 的值怎么变化 增大时， 的值怎么变化？ 观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
y=x
f ( x1 )
O x1
x
观察图象回答： 增大时 的值怎么变化 增大时， 的值怎么变化？ 观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
y=x
f ( x1 )
O
x1
x
观察图象回答： 增大时 的值怎么变化 增大时， 的值怎么变化？ 观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
y
100 80
60 40
20
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 艾宾浩斯遗忘曲线” 思考 艾宾浩斯遗忘曲线 从左至右是逐渐下降的，对此， 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？ 我们如何用数学观点进行解释？
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
第一课时 函数的单调性
(2)函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在 这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x单)的调_区__间_______.
A.已知区间I，若对任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x) 在I上是增函数 B.函数y＝x2在R上是增函数
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以 x21－1>0，x22－1>0，x1＋x2>0. 又 x1<x2，所以 x1－x2<0，
于是（（xx11－ 2－x12） ）（ （xx221－ ＋1x） 2）<0，即 f(x1)>f(x2)， 因此，函数 f(x)＝x2－1 1在(1，＋∞)上单调递减.
训练 2 (1)已知函数 f(x)＝25x－＋x1，，xx<≥1，1，则 f(x)的单调递减区间是_(_－__∞__，__1_)___.
解析 当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单
调递减区间为(－∞，1).
(2)画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间.
训练 1 求证：函数 f(x)＝－x1－1 在区间(－∞，0)上单调递增.
证明 ∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2<0，
因为 f(x1)－f(x2)＝－x11－1－－x12－1 ＝x12－x11＝x1x－1xx2 2，
高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第一课时 函数的单调性》课件
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么
关系？
a≤m≤b， 提示：a≤n≤b，
m＞n
⇔f(m)＞f(n)．
(2)影响二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性的因素有哪些？ 提示：a 的正负及－2ba的大小．
【学透用活】 [典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2) 若 函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ b 在 区间 [1,2] 上不 单 调 ， 则 实 数 a 的取 值 范 围为 ________．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)．
()
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单
调递增．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C. 答案：C
[方法技巧] 1．图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调区间 (1)y＝ax＋b，a>0 时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0 时，单调递减区 间为(－∞，＋∞)． (2)y＝ax，a>0 时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0 时，单调递 增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0 时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为 (m，＋∞)；a<0 时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．
5.3.1函数的单调性第一课时
学 习 目 标
01
通过具体函数的图象，发现函数的单调性与导数
的正负之间的关系，体会数形结合思想；（直观
想象）
02
能根据函数导数的正负判断函数的单调性，并会
求函数的单调区间，体会算法思想（数学运算）
单调性是函数的重要性质，它不仅反映了函数变化的趋势，还是研究函数极值与
最大(小)值的基础性问题。虽然可以通过函数图象的升降观察函数的单调性，但
当 ∈ 0, 时，ℎ′ > 0，
函数ℎ 的图像是“上升”的，函数ℎ 在 0, 内单调递增
当 ∈ , 时，ℎ′ < 0，
函数ℎ 的图像是“下降”的，函数ℎ 在 , 内单调递减
ℎ()
追问1
我们看到，函数ℎ 的单调性与ℎ′ 的正负有内在联系。
对于高台跳水问题是否有以下结论？
当1 < < 4时，′() > 0；
当 > 4或 < 1时，′() < 0；
当 = 4或 = 1时， ′ = 0；
试画出函数()图象的大致形状。
y
解答
在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
o 1
4
x
y
则在这区间内函数是增函数;
在区间 (-∞, 1)与(4, +∞) 内,f (x)<0,
A
B
D
）
C
D
02
函数 = ()的图像是下列四个图像之一，其导函数 = ′ 图
象如下右图所示，则该函数图象可能是（
B
）
例4、函数 = ()的图象如下右图所示，则 ′ < 0的
解集是（ B ）
函数的单调性第一课时-高一数学必修一课件
基本初等函数单调性判断
2-2x
2
(4)y
＝
x
(3)y＝－x ＋2x
构建数学
定义域： R
定义域： R
y
y
1
2
x
1
2
x
f x 在区间 ，
1上单调递增
f x 在区间 ，
1上单调递减
单调增区间为： ，
1
单调减区间为： ，
1
f x 在区间1，
上单调递减
y5
文字语言
4
在y轴左侧，f(x)=x2图象下降的；即当
x≤0时，即f(x)随着x的增大而减小；
3
2
在y轴右侧，f(x)=x2图象上升的；即当
x>0时，即f(x)随着x的增大而增大.
1
- 4 -3
-2
从左向右看
-1 0
1
2 3
4
-1
图像语言 上升或下降
x
如何用符号语言刻画函 数的单调性呢？
新知引入——二次函数f(x)=x2的单调性
新知学习：单调性的定义
特别地，当函数 () 在它的定义域上单调递减增时，我们就称它为增函数.
如：() = 就是在R上的增函数.
特别地，当函数 () 在它的定义域上单调递减减时，我们就称它为减函数.
如：() = −就是在R上的减函数.
注意：增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数
这时我们就说函数() = ||在区
间(−∞, ]上是单调递增的.
新知学习：单调性的定义
单调递增
单调性是局部性质
单调递减
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，
函数的单调性(第一课时)-高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必修一)
−
②
−
<
⇔
在D上为减函数；
③ − −
>
⇔
在D上为增函数；
④ − −
<
⇔
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；
自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；
(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2.
(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,
转化为易判断正负的式子.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.
(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.
提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.
区间D为f(x)的单调递增区间.
y
y f ( x)
f ( x2 )
y f ( x)
y
f ( x1 )
f ( x1 )
0
∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2),
则称函数f(x)在区间D上单调递减,
区间D为f(x)的单调递减区间.
f ( x2 )
x1
x2 x
0
x1
x2
x
② ≥ 时,
任取 , ∈ −∞, ，当 < 时
有( ) < ( ) ∴ ()
概念讲解
思考：函数() = , () = − 2 各有怎样的单调性
作出函数图象可以看出
() = 在（ − ∞，0）递减，
在（0， + ∞）递增。
作出函数图象可以看出
函数的单调性(第一课时 课件
(-∞,1] (3)二次函数 y=x2﹣2ax+1 的单调递增区间是：
[a,+∞) (4)二次函数 y=ax2+bx+c 的单调递增区间是：
定义法证明单调性
例2、证明函数f ( x)=x3+3在( ,+)上是增函数.
解：任取x1，x2 ( ,+)，设x1<x2，
A 2、 下列函数，在区间(0,1)上是增函数的是（ ）
A. y | x | B. y 3 x
C. y 1 D. y x2 4 x
C 3、 函数y | x 2 | 在区间[3, 0]上是（ ）
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
四、课堂小结
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
当x<0时，f(x)=x2图象下降的， 即f(x)随着x的增大而减小；
f (x) x2
思考2:“当x<0时，f(x)随着x的增大而减小”,“x增大了”怎么用符
号语言来表示?“对应的函数f(x)减小了”呢？结合以下表格，你能给出
具体的描述吗？
x
... -5 -4 -3 -2 -1 ...
f(x)=x2 ... 25 16 9 4 1 ...
在[0,1]和(1, 2]这两个区间的并集(即[0, 2])上也是增函数。
(2)函数f(x)在区间A、B上均为增(减)函数，一般不能简单认为f(x)
在A ∪ B上是增(减)函数 ——单调区间之间不能用“∪”
3、函数f ( x)=x2在区间[1,3]上是增函数.
函数的单调性(第一课时)(Word)
函数的单调性（第一课时）【学习目标】1．了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法．2．能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点．【学习障碍】1．由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质，实质上是区间内的性质． 2．利用定义论证单调性时，推理过程不严密不规范． 3．函数单调性的应用意识不强．【学习策略】 Ⅰ．学习导引1．预习课本第P 58~59页2．本课时重点是单调性的概念，难点是判断函数的单调性．3．对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出函数解析式时，会确定函数在其定义域内的单调区间．③会利用单调性作图．Ⅱ．知识拓宽应用函数的单调性可以求解不等式，求函数的最值等． Ⅲ．障碍分析1．若函数f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，f （x ）一定是D 1∪D 2上的增函数吗？ 单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．若 f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，但f （x ）不一定在区间D 1∪D 2上是增函数．例如y ＝－x 1在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是增函数，f （1）＜f （－1）便是一例． 2．函数的单调性定义中的x 1，x 2能否用特殊值来代替？单调性是函数在某一区间上的“整体性质”，因此，定义中的x 1，x 2具有任意性，不能用特殊值替代．3．函数的单调性可解决什么样的问题？已知函数在某区间内的单调性，可以比较两个函数值的大小，也可用来求函数在某区 间内的值域或最大（小）值，这时常结合函数的图象，运用数形结合的思想方法．［例1］判断函数f （x ）＝x ＋x 1在区间（0，＋∞）上的单调性，并求出函数的值域．解：任取x 1，x 2∈（0，＋∞），且x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝（x 1＋11x ）－（x 2＋21x ）＝212121)1)((x x x x x x ⋅--∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0． 且当1≤x 1＜x 2时，x 1x 2－1＞0， 当0＜x 1＜x 2≤1时 x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0∴当x 1，x 2∈［1，＋∞］时，f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）∴函数y ＝x ＋x 1在区间（0，1）上是减函数，在区间［1，＋∞］上是增函数．易知y ＝x ＋x 1（x ＞0）时恒有y ＞0且当x ＝1时，y min ＝2． 从而值域为［2，＋∞）点评：函数y ＝x ＋x a（a ≠0）是一类经常用到的函数，当a ≠0时，它有两个减区间［－a ，0］，（0， a ）．同时有两个增区间［a ，＋∞），（－∞，－a ］． ［例2］判断下列函数的单调性（1）f （x ）＝－x 2＋3x －2；（2）f （x ）＝3|x |．解：（1）f （x ）＝－（x －23）2＋41∵f （x ）＝－（x －23）2＋41的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝23∴f （x ）在（－∞，23）上是增函数，在［23，＋∞］上是减函数．（2）f （x ）＝⎩⎨⎧<-≥)0(3)0(3x x x x ∴由f （x ）的图象可知，f （x ）在（－∞，0］上是减函数，在［0，＋∞）上是增函数． Ⅲ．思维拓展［例3］判定并证明下列函数在指定区间内的单调性 （1）y ＝－x 3＋1（x ∈R ）．（2）y ＝12+x －ax （a ∈［1，＋∞），x ∈［0，＋∞））．（1）解法一：在（－∞，＋∞）上任取x 1、x 2，使x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝（－x 13＋1）－（－x 23＋1）＝x 23－x 13＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12） ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0若x 1·x 2＞0，则x 22＋x 1x 2＋x 12＞0， 若x 1·x 2＝0，由x 1≠x 2，则x 12＋x 22＞0 也有x 22＋x 1x 2＋x 12＞0若x 1·x 2＜0，x 22＋x 1x 2＋x 12＝（x 1＋x 2）2－x 1x 2＞0 ∴对于任意的x 1＜x 2都有x 22＋x 1x 2＋x 12＞0∴f （x 1）－f （x 2）＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）＞0即f （x 1）＞f （x 2） ∴y ＝f （x ）＝－x 3＋1在R 上是减函数．解法二：在（－∞，＋∞）上任取x 1、x 2，使x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝x 23－x 13＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）＝（x 2－x 1）［（x 2＋21x ）2＋43x 12］∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，且x 1，x 2不同时为零，∴（x 2＋21x ）2与43x 12不同时为零，即（x 2＋21x ）2＋43x 12＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2） ∴y ＝f （x ）＝－x 3＋1在R 上是减函数． （2）解：任取x 1，x 2∈［0，＋∞），且x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝（121+x －ax 1）－（122+x －ax 2） ＝（112221+-+x x ）－a （x 1－x 2）＝11))((22212121++++-x x x x x x －a （x 1－x 2）＝（x 1－x 2）（11222121++++x x x x －a ）∵x 1，x 2∈［0，＋∞］，且x 1＜1,122221+<+x x x ∴x 1＋x 2＜112221+++x x从而11222121++++x x x x ＜1，又a ∈［1，＋∞］∴11222121++++x x x x －a ＜0∴f （x 1）－f （x 2）＝（x 1－x 2）（ 11222121++++x x x x －a ）＞0即f （x 1）＞f （x 2）∴y ＝f （x ）＝12+x －ax （a ∈［1，＋∞））在区间［0，＋∞）上是单调减函数． 点评：证明函数单调性的一般步骤为：①取点 ②作差 ③变形 ④定号．Ⅴ．探究学习已知函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数，且满足f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），f （2）＝91，试求不等式f （x ）f （3x 2－1）＜271的解集．参考答案：解：函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数且满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）∴f （2）＝f （1＋1）＝f （1）·（1）＝91＜f （1） ∴f （1）＝31由f （x ）·f （3x 2－1）＜271得f （x ＋3x 2－1）＜271而271＝31×91＝f （1）f （2）＝f （3）∴f （x ＋3x 2－1）＜f （3），x ＋3x 2－1＞3解得x ＜－34或x ＞1故所求不等式的解为{x |x ＜－34或x ＞1＝【同步达纲练习】一、选择题1．在区间（－∞，0）上为增函数的是A ．y ＝－（x ＋1）2B ．y ＝1＋x 2C ．y ＝x -1D ．y ＝x x-12．若函数f （x ）＝x 2＋2（a －1）x ＋2在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a 的取值范围是A ．a ≥3B ．a ≥－3C ．a ≤－3D ．a ≤5 3．函数y ＝245x x --的单调递增区间是A ．（－∞，－2）B ．［－5，－2］C ．（－2，＋∞）D ．［－2，1］ 4．已知函数y ＝f （x ）定义在［－2，1］上，且有f （－1）＞f （0），则下列判断正确的是A ．f （x ）必为［－2，－1］上的单调增函数B ．f （x ）不是［－2，－1］上的单调增函数C ．f （x ）必为［－2，－1］上的单调减函数D ．f （x ）不是［－2，－1］上的单调减函数二、填空题5．已知f （x ）在定义域内是减函数，且f （x ）＞0在其定义域内，y ＝a －f （x ）的单调性为______________函数．y ＝)(x f 的单调性为____________函数．6．函数y ＝x x+-11的减区间为______________．7．已知（－∞，a ）是函数f （x ）＝11-x （x ≠1）的反函数的一个单调递减区间，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题8．函数f（x）当x＞0时有意义，且满足f（2）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（1）求证：f（1）＝0．（2）求f（4）．（3）如果f（x）＋f（x－3）≤2，求x的取值范围．9．已知函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数，a和b为实数．（1）求证：命题“如果a＋b≥0，那么f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）”成立．（2）判断（1）的逆命题是否成立，并说明为什么．参考答案【同步达纲练习】一、1．D 提示：y ＝－（x ＋1）2在（－∞，0）上是先增后减的函数，y ＝1＋x 2，y ＝x-1在（－∞，0）上为减函数，故选D ．2．C 提示：由－2)1(2-a ≥4得a ≤－33．B 提示：由5－4x －x 2≥0得－5≤x ≤1且5－4x －x 2在［－5，－2］上是增函数，故y ＝245x x --的单调递增区间为［－5，－2］．4．B 提示：根据增函数的定义知选B二、5．增 减 提示：由定义知y ＝a －f （x ）为增函数y ＝)(x f 为减函数6．（－∞，－1）及（－1，＋∞） 提示：作出y ＝x x+-11的图象知减区间为（－∞，－1）及（－1，＋∞） 7．a ≤0 提示：由反函数图象可得a ≤0三、8．（1）由f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），令x ＝2，y ＝1，得f （2）＝f （2）＋f （1），∴f （1）＝0．（2）令x ＝y ＝2，∴f （4）＝f （2）＋f （2）＝2． （3）f （x ）＋f （x －3）＝f （x （x －3）），且f （4）＝2，∴f （x ）＋f （x －3）≤2＝f （4）可化为f （x （x －3））≤f （4）．依题有⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,4)3(,03,0x x x x 解得3＜x ≤4．9．（1）a ＋b ≥0，则a ≥－b 或b ≥－a ．∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，∴f（a）≥f（－b），f（b）≥f（－a），∴f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．（2）逆命题为“若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0”．反证法：假设a＋b＜0，则a＜－b或b＜－a，依题有f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a），∴f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b），与已知矛盾，∴假设不成立，a＋b≥0．友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
函数的单调性教学设计(教案)
2.3 《函数的单调性》教学设计(第一课时)一、教材分析(一)本节内容的地位与作用中学生对函数单调性的学习分为三个阶段，分别为初中通过简单函数的感性认识、高一的严格定义及高二利用导数解决函数的单调性.因此，高一函数单调性概念的学习，起到了承前启后的作用.函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言刻画的概念.因此，单调性的研究方法非常重要，它为以后函数奇偶性、周期性等其它性质的学习提供了方法依据.它是解决函数定义域、值域、数列、不等式、三角函数等问题的有力工具，是高考重点考查的内容之一，同时也是培养学生逻辑推理能力的绝佳素材.(二)教学目标1、知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法．2、能力目标：培养学生自主探索能力、分析归纳能力及逻辑推理能力．3、情感目标：通过层层设问，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的自信心，提高学生学习数学的兴趣.(三)教学重难点重点：函数单调性的概念.难点：（1）函数单调性概念的生成中，如何从图象的直观认识过渡到用符号语言表述；（2）运用定义证明函数的单调性．二、学情分析（一）认知水平1、知识学生通过初中的学习对函数的升、降有了初步的感知；函数的概念及表示的学习为本节内容做好了知识铺垫．2、技能他们初步具备了分析概括能力，但科学的思维方法尚未形成．（二）心理特征他们好奇心强，追求成功的愿望强烈．他们渴望老师给他们提供自主探索的时间及展示自我的空间．但他们抽象思维能力相对薄弱．三、教法分析本着新课改下以学生为主体，教师为主导的教学理念，结合本节课的知识特点及学情分析，决定采用问题式、启发式、探究式相结合的教学法．主要体现在新课引入时的层层设问，概念生成时的启发引导，总结证明步骤时的探究发现等．因幻灯片直观形象且教学容量大，故决定采用多媒体辅助教学．四、学法分析新课标要求学生不仅仅要“学会”，还应当让学生“会学”、“乐学”.在这种理念的指引下，我在教学设计上强调了让学生主动参与，积极探究，同时让学生相互交流与合作．让学生在与老师、同学之间的交流、讨论中完成知识的构建及难点的突破.五、教学过程教学环节教学内容设计思路创设情境引入新课(1)生活常识“糖水加糖味更甜”(2)焦作市某日全天气温图像问题：（1）观察图像，能得出哪些信息？（2）说说一天中气温的变化趋势？由生活情境引入新课，以此激发学生的学习兴趣。
函数的单调性 第一课时 高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.
3、定号：确定(1 ) − (2 )的符号.
4、结论：根据(1 ) − (2 )的符号及定义判断单调性.
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是易判断正负的形式.
(1 −1)(2 − 1)
(1 −1)(2 − 1)
∴ (1 ) > (2 ).
∴ () =
x1-x2<0
(1，＋∞)
上是 减 函数.
课堂小结
1、理解增函数、减函数、函数的单调性的定义（难点）
2、掌握求函数单调区间的方法（定义法、图像法）（重点）
3、掌握定义法判断函数单调性的步骤（重点）
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
3．证明：函数 =
在(－1，＋∞)上是增函数．
+1
C
)
×)
下课啦！
(2)如何表示函数的单调区间？
(3)函数的单调性和单调区间有什么关系？
知识点一、函数单调性的定义
( ) < ( )
增函数
图像呈上升趋势
( ) > ( )
减函数
图像呈下降趋势
增函数
减函数
知 识 点 二 、 单调性 与单调 区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数（或减函数），那么就说
在初中曾经接触过。
如上图，从正比例函数 = 2的图像可以看出，当x由小变大时，这个函
数的函数值逐渐变大，即y随着x的增大而增大；
从反比例函数() =
1
的图像可以看出，在（-∞，0）和（0，+∞）内，
这个函数的函数值y都随着x的增大而减小。
【课件】函数的单调性(第1课时)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
抽象概括：由特殊函数f (x)=x²到一般函数的单调性f(x)=x² 类比 一般函数f(x)定义域为R 定义域为Dy 轴右边：(0 ,+0)) 区间IC D
总结新知用定义证明函数单调性的步骤：1.取值 即设x₁,x₂是该区间内的任意两个值，且x₁ <x₂2.作差变形 即作差f(x₁)-f(x₂) (或f(x₂)-f(x₁)), 并 通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差 的符号的方向变形；(变形至利用x₁,x₂ 可以判断)3.定号 确定差f(x₁)-f(x₂) ( 或f(x₂)-f(x₁) 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；4.判断根据定义作出结论
=—x —6—
y65433 -2 0-1
2+1十-1-1+-2+-3-4
-3 -22 4 6 x
v=2x
s手
4
2
单调区间为定义域单调递增单调区间为定义域单调递减
增函数减函数
函数的单调性
学习新知【 例1】根据定义，研究函数 f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.解：函数f(x)=kx+ b(k≠0) 的定义域是R,Vx ₁,x₂∈R, 且x₁<x₂, 则f(x₁)-f(x₂)=(kx₁+b)-(kx₂+b)=k(x₁-x₂)由x₁<x₂ , 得x₁-x₂<0. 所以①当k>0 时，k(x₁—x₂)<0. 于是，f(x₁)-f(x₂)<0, 即f(x₁)<f(x₂ ).这时f(x)=kx +b 是增函数 .② 当k<0 时 ，k(x₁-x₂)>0. 于是，f(x₁)-f(x₂)>0, 即f(x₁)>f(x₂). 这时f(x)=kx +b 是减函数 .
函数的单调性第1课时
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
必修1
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1．3 1．3.1
函数的基本性质 单调性与最大(小)值 函数的单调性
第பைடு நூலகம்1 课时
1 .理解单调函数的定义，理解增函数、减 课 函数的定义．(重点) 标 2 .掌握定义法判断函数单调性的步骤． (重 解 点) 读 3 .掌握求函数单调区间的方法(定义法、 图 象法)．(难点)
菜 单
2
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单
必修1
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
如图 1－3－1 是定义在区间[－4，7]上的函数 y＝f(x)的
[－1.5，3)，[5，6) 图象， 则函数 f(x)的单调增区间是______________________ ，
2 2 f(fx (1 x)1＝ )＝ x2 x， f(fx (2 x)2＝ )＝ x2 x， 当 当 x1 x< x2 x2 时 时 ， ， 有 有 f(fx (1 x)< f(fx (2 x)2． )． 1 1， 2 2， 1< 1)<
菜 单
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析
f(x)在区间 D 上是减函数
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
菜
单
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单
【教案】函数的单调性(第1课时)教学设计人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用《5．3．1 函数的单调性》教学设计第1课时◆教学目标1．通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养．2．能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：理解函数的单调性与导数的正负之间的关系．教学难点：运用导数判断函数的单调性◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第84~87页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习函数的单调性；（2）学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备．函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图象、单调性定义来研究函数的单调性，在学习导数的基础上利用导数相关知识研究函数单调性是导数的一个重要应用，也为下一节学习函数的极值打下基础，因此，本节内容具有承上启下的作用．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质．在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？ 设计意图：通过回顾以前的知识，提出问题，引导学生探究利用函数的求导来研究函数的性质．发展学生数学抽象、数学建模的核心素养．问题3：如图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象，图（2）是跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数()()9.8 4.8v t h t t ==-+'的图象．2449a =，b 是函数()h t 的零点．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？师生活动：学生思考，教师讲解．设计意图：通过熟悉的问题，引导学生思考、探究，进而引入新课：利用函数的求导来研究函数的性质．发展学生数学抽象、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：函数的单调性与导数的符号之间的关系观察图象可以发现：（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 单调递增．相应地，()()0v t h t '=>．（2）从最高点到入水，运功员的重心处于下降状态，画水面的高度h 随时间t 的增加而减小，即()h t 单调递减．相应地，()()0v t h t '=<．问题4：从以上观察中发现，函数()h t 的单调性与()h t '的正负有内在联系．那么，我们能否由()h t '的正负来判断函数()h t 的单调性呢？师生活动：学生思考，教师讲解．预设的答案：在问题3中，可以发现：当(0)t a ∈，时，()0h t '>，函数()h t 的图象是“上升”，函数()h t 在(0)a ，上单调递增； 当()t a b ∈，时，()0h t ，函数()h t 的图象是“下降”，函数()h t 在()a b ，上单调递减． 设计意图：通过前面的问题，进一步引导学生思考、探究导函数的正负与原函数的单调性的关系．发展学生数学抽象、数学建模的核心素养．问题5：观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．师生活动：学生分组讨论，派代表回答，教师完善．预设的答案：从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系：导数f '(x 0)表示函数f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线的斜率． 设计意图：让学生结合一次函数、二次函数、三次函数和反比例函数的图象（直观），探讨函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，进一步感受可用函数的导数的正负来判断函数的单调性．教师讲解：如下图，导数0()f x '表示函数()y f x =的图象在点00(())x f x ，处的切线的斜率．可以发现：在0x x =处，0()0f x '>，切线是“左下右上”的上升式，函数()f x 的图象也是上升的，函数()f x 在0x x =附近单调递增；在1x x =处，0()0f x '<，切线是“左上右下”的下降式，函数()f x 的图象也是下降的，函数()f x 在1x x =附近单调递减．结论：一般地，函数()f x 的单调性与导函数()f x '的正负之间具有如下的关系： 在某个区间()a b ，上，如果0()0f x '>，那么函数()y f x =在区间()a b ，上单调递增； 在某个区间()a b ，上，如果0()0f x '<，那么函数()y f x =在区间()a b ，上单调递减．【想一想】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )在区间(a ，b )上都有f ′(x )＜0，则函数f (x )在这个区间上单调递减． ( )(2)判断函数单调性时，在区间内的个别点 f ′(x )＝0，不影响函数在此区间的单调性．( )师生活动：学生讨论后回答，教师完善．预设的答案： (1)√ 函数f (x )在区间(a ，b )上都有f ′(x )＜0，所以函数f (x )在这个区间上单调递减，故正确．(2)√ 若f ′(x )≥0(≤0)，则函数f (x )在区间内单调递增(减)，故f ′(x )＝0不影响函数单调性．【巩固练习】例1 利用导数判断下列函数的单调性：（1）3()3f x x x =+；（2）()sin (0π)f x x x x =-∈，，；（3）1()x f x x-=． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：（1）因为3()3f x x x =+，所以22()33(310)f x x x ==+'+>． 所以，函数3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图（1）所示．（2）因为()sin (0π)f x x x x =-∈，，，所以()cos 10f x x -'=<．所以，函数()sin f x x x =-在(0π)，上单调递减，如图（2）所示．（3）因为1()1(0)(0)f x x x =-∈-∞+∞，，，，所以21()0f x x =>'． 所以，函数1()1f x x=-在区间(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，如图（3）所示．设计意图：通过具体函数，体会研究导数判断函数单调性的基本原理，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．方法总结：用解不等式法求单调区间的步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导函数f´（x）；（3）解不等式f′´（x）＞0或f′（x）＜0，并写出解集；（4）根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间．例2．已知导函数f′(x)的下列信息，试画出函数f(x)的图象的大致形状．当1 <x < 4 时, f′(x)>0;当x > 4 , 或x < 1时, f′(x)<0;当x = 4 , 或x = 1时, f′(x)=0．师生活动：学生分组讨论，派代表回答，教师完善．预设的答案：当1 <x < 4 时, ,f′(x)>0 可知f(x)在此区间内单调递增;当x > 4 , 或x < 1时, f′(x)<0; 可知f(x)在此区间内单调递减;当x = 4 , 或x = 1时, f′(x)=0．综上, 函数f(x)图象的大致形状如右图所示．设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握运用导数判断函数单调性的步骤和方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养．方法总结：研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点：研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．练习：教科书P87练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5．3．1 函数的单调性（第1课时）新知探究巩固练习知识点1：函数的单调性与导数符号之间的关系例1例2 2．总结概括：定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )： f ′(x )的正负f (x )的单调性 f ′(x )＞0单调递增 f ′(x )＜0单调递减师生活动：学生总结，老师适当补充． 3．课堂作业：教科书P 97习题5．31教科书P 87练习3【目标检测设计】1．导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )A B C D设计意图：进一步巩固导函数的符号与原函数的单调性之间的关系．2．下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( )A ．sin y x =B ．e x y x =C ．3y x x =-D ．ln y x x =- 设计意图：进一步巩固利用导函数的符号来判断原函数的单调性．3．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为( )A ．,0,1()(),-∞+∞B ．(),0,)1(-∞⋃+∞C ．(1,)+∞D ．()0,1 设计意图：进一步巩固如何利用导函数的符号来求原函数的单调区间．4．已知函数()()252ln 2f x x x x =-+，则()f x 的单调递增区间为_____________． 设计意图：进一步巩固函数导数的求法、复合函数的求导法则以及利用导函数的符号来求原函数的单调区间．参考答案：1．D 当x ＞0时，f ′(x )＞0；当x ＜0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D ．2．B B 中，()e e e e (1)''0x x x x y x x x ==+=+>在(0,)+∞上恒成立，e x y x ∴=在(0,)+∞上为增函数．对于选项A ，C ，D ，都存在00x >，使0'0x x y =<的情况．故选B ． 3．C 由题可得11()1'(0)x f x x x x -=-=>，令)'(0f x <，即10x x-<，解得1x >或0x <，又因为0x >，所以1x >．故选C ．4．10,,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭因为2()52ln(2)f x x x x =-+，0x >， 所以2225'2(21)(2)()25x x x x f x x x x x-+--=-+==． 由()'0f x >可得()()2120x x -->，所以2x >或102x <<， 即()f x 的单调递增区间为10,,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．。
【课件】函数单调性第一课时课件
象表示的函数不是一个单调函数.
x0
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y=f（x）是增函数还是减函数?
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
<x 1
x 2
2.作差变形 （一般地） 即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解
、配方法、有理化等方法化为积商形式，向有利于判断
差的符号的方向变形，直到可以判断符号为止。
3.判定正负 确定f(x1)-f(x2)的正负
4.判断 根据定义作出结论
即“取值-作差-定号-判断”
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
三、练习
(1)判断函数f (x) 1 在(,0)上是增函数还是减函
x
数 ? 并证明你的结论.
减函数
证明:设x1, x2是(,0)上任意的两个实数,且x1 x2
则：f (x1) f (x2 由x1, x2 (,0),
11
)
得x1xx12
x2 0
x2 x1 x1x2
又由x x ,得x x 0
g(x)在区间[ ,
),[
,
2 22 ]上是减函数，
2
22
在区间[ , ]上是增函数。
22
例2：证明函数f (x) 1 在(0,)上是减函数 x
证明:
设x 1
,
x 是(0, 2
)上任意的两个实数,
高中数学：2.1.3《函数的单调性》(第一课时)(新人教B版必修一) (1)
2.1.3函数的单调性（第一课时）学习目标1.函数单调性的概念2.由函数图象写出函数单调区间3.函数单调性的证明重点：1.能运用函数的图象理解函数单调性和最值难点：1.理解函数的单调性2.会证明函数的单调性知识梳理：阅读课本44页到例1的上方，完成下列问题1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________-2不看课本，能否写出函数单调性的定义？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3对区间的开闭有何要求？4如何理解定义中任意两个字？5一个函数不存在单调性，如何说明？6完成课后练习A 第1，2题【例题解析】阅读课本例1与例2，完成下列问题1．不看课本你能否独立完成两个例题的证明（1） 证明函数()21f x x =+在R 上是增函数（2） 证明函数1()f x x=，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数完成课后练习A 第3，4题，习题2-1A第5题 【巩固提高】1根据图象判断单调区间（1） 课后练习A 第5题E2定义证明函数的单调性（1）课后练习B 第1题(2)证明函数1y x x=+在[1，+∞）上是增函数 (3)证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数（4）证明函数3y x =在（-∞，+∞）上是增函数（5）利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．3.一次函数)0(≠+=k b kx y 的单调性（1）0>k 单调递增，0<k 单调递减（2）若函数n x m x f +-=)12()(在),(+∞-∞上是减函数，则m 的取值范围是______. 4二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的单调性（1）0>a 时，在_______________单调递增，在_____________单调递减； 0<a 时，在_______________单调递增，在_____________单调递减；（2）函数163)(2+-=x x x f ，)4,3(∈x 上的单调性是_____________________.（3）已知函数582++=ax x y 在),1[+∞上递增，那么a 的取值范围是________. 题型一：函数单调性的判断与证明例1：求证函数f(x)=-x 3+1（x ∈R ）为减函数。
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问题提出
生产总值 （亿元）
30 1971 20 10 467 1985 756 1990 1995 2000
东莞市年生产总值统计表
3360
年份
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据：
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 t 后 后 月后 忆完 钟后 钟后 小时 后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)
增(减)函数。 （2）判断函数单调区间的常用方法； 方法一：分析函数值大小的变化。 方法二：分析函数的图象。 方法三：利用定义证明
作业：
P39习题1.3(A组) # 1 ,# 4
判断函数单调区间的常用方法：
方法一：分析函数值大小的变化。 方法二：分析函数的图象。 方法三：利用定义证明
知识探究（二）
考察下列两个函数: 2 （1） f ( x) x ； (2) f ( x) x ( x 0)
y y
o
x
o
x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
x1
O
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
x1 O
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
x1 O
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
x1 O
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O x1
x
结论：x∈(-∞,0]，y随x的增大而减小；
-1
-3
1 1
3 4
[练习2] 判断函数f ( x) x 2 x 的单调性。 y 2 f ( x) x 2 x 单调递减区间为：
2
(, 1]
1
单调递增区间为：
2
o
x
[1 ,)
练习3：P32 练习#1，#2，#3
例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们, 对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.
例1.如图是定义在[-5,5]上的函数y f x）的 （ 图象,根据图象说出函数的单调区间以及在每 一个单调区间内,它是增函数还是减函数?
3 -2
-5
1
3
5
练习1.如图是定义在[-3, 4]上的函数y f x）的 （ 图象, 根据图象说出函数的单调区间以及在每一 个单调区间内, 它是增函数还是减函数 ?
思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量 x1 , x2 的值，若当 x1 x2 时，都有
f ( x1 ) f ( x2 )
,则函数
f ( x) 在区间D上是增函数还
是减函数？
思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数，则称函数 f ( x) 在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数 f ( x) 的 f ( x) 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？ f ( x) ( x 1) 2 的单调区间如何？ 函数
上的单调性.
x 1 例3 试确定函数 f ( x) 在区间 (0, ) x
小结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.
复习小结：
（1）函数单调性的概念； 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I：
1. 如果对于定义域为I内的某个区间D上的任意 两个自变量 x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), ( f ( x1 ) f ( x2 )) 称函数 f(x)在这个区间上是 或
以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.
y
100 80
60 40
20
o
1
2
3
t
思考1:当时间间隔t逐渐增 y 大你能看出对应的函数值y 100 80 有什么变化趋势？通过这个 60 试验，你打算以后如何对待 40 20 刚学过的知识? o 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？
增(减)函数。 （2）判断函数单调区间的常用方法； 方法一：分析函数值大小的变化。 方法二：分析函数的图象。 方法三：利用定义证明
作业P32 练习：4，5
P39 A组 1、2、3； B组 1
同学们再见
k 例2 物理学中的玻意耳定律 P (k为正常数) V
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性 证明.
减函数
思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数，那么怎样定 义“函数 f ( x) 在区间D上是减 函数”？
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x2 x
o
x1
对于函数f (x)定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值，若当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) > f ( x2 ), 则称函数 f ( x) 在区间D上是减函数.
证明: 1 2 3 1.取值 2.作差 3.变形 4.定号 4 5 5.结论
小结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.
k 反比例函数f(x)= (k 0) 的单调性如何？ x
课堂小结：
（1）函数单调性的概念； 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I：
1. 如果对于定义域为I内的某个区间D上的任意 两个自变量 x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), ( f ( x1 ) f ( x2 )) 称函数 f(x)在这个区间上是 或
y ax2 bx c 当a>0时，在 二次函数
b b , 上 , 上是减函数， 在 2a 2a b 是增函数；当a<0时，在 , 上是 2a b , 是增函数；在 2a 上是减函数。
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
x1
x2
x
思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数， 那么怎样定义“函数f ( x) 在区间D上是增函数”？
对于函数f (x)定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值，若当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是增函数.
1 [探究1] 判断函数f ( x) 的单调 x 性，并加以证明。
y
1 y x
O
单调递减区间：
x
(, 0), (0 , )
1 2.证明函数f ( x) x 在 (1, )上是 x 增函数.
一次函数f(x)=ax+b,当 a>0 时,在 (,) 是 增函数 ; 当 a<0 时，在 (,) 是 减函数
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O x1
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O
x1
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O
x1
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O
x1
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O
x1
x
结论： x∈[0，+∞），y随x的增大而增大。
增函数
思考3:如图为函数 f ( x) 在定义域 I内某个区间D上的图象，对于该 区间上任意两个自变量x1和x2， f 当 x1 x2时， ( x1 )与 f ( x2 ) 的大小 关系如何？
1
2
3
t
知识探究（ x ； (2) f ( x) x ( x 0)
2
y
y
o
x o x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？ 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的 变化情况如何？