2018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.2二次函数的图象第3课时二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象及特征同步练
二次函数的图象和性质 (第3课时)人教数学九年级上册PPT课件
x
-2
探究新知
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
a>0
a<0
h>0 图象
h<0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
直线x=h （h,k）
直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而减小； 当x<h时，y随x增大而增大；
当x>h时，y随x增大而增大. 当x>h时，y随x增大而减小.
解：由函数顶点坐标是（1，-2）， 设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2. 因为图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2， 解得a=2. 所以这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
课堂检测
拓广探索题
某某在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y= 1 x2+3.5的一
5
部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B )
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 （第3课时）
素养目标
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、 对称轴、顶点.
2. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 1. 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
y - 12（Oxy +1）2
-4 -2
2 4x
-2 -4
y
-
1 2
x2
-6
y - 12（x+1）2-1
y
-
1 2
2018年秋九年级数学上册第1章二次函数专题训练二次函数表达式的三种常见求解方法(新版)浙教版
二次函数表达式的三种常见求解方法►方法一已知图象上任意三点，通常设一般式1．已知二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，则这个二次函数的表达式是( )A．y＝－10x2＋x B．y＝－10x2＋19xC．y＝10x2＋x D．y＝－x2＋10x2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1，0)，(－1，－6)，(2，6)，则该抛物线与y 轴交点的纵坐标为________．3．如图1－ZT－1所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点．(1)观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出抛物线的函数表达式；(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴．图1－ZT－14．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图1－ZT－2所示的平面直角坐标系，设此抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋0.9.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如果小明站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小明的身高；(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象写出t的取值范围．图1－ZT－2►方法二已知二次函数图象的顶点和图象上另外一点，通常设顶点式5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，5)，那么该抛物线的函数表达式为( )A．y＝－2x2＋4x＋5 B．y＝2x2＋4x＋5C．y＝－2x2＋4x－1 D．y＝2x2＋4x＋36．已知抛物线经过点(3，0)，(2，－3)，并以直线x＝0为对称轴，则该抛物线的函数表达式为_____________________．图1－ZT－37．如图1－ZT－3所示，直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B.若抛物线y ＝ax2＋bx＋c以A为顶点，且经过点B，则这条抛物线的函数表达式为____________．。
浙教版数学九年级上册第1章《1.2 二次函数的图象(3)》课件
（3）顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
（4）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点.
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点.
例题探究
【例1】求抛物线 y 1 x2 3x 5 的对称轴和顶点坐标.
2
2
解： a 1 , b 3, c 5 ,
复习回顾
【复习2】填空. 若把二次函数 y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象先向左平移 2 个单 位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 y＝－1(x＋1)2－1 的图 象，则 a＝___－__12_____，m＝___－__1_____，k＝_2___－__5____.
新知探究
【探究1】你能求出抛物线 y 2x2 4x 5 的顶点坐标和对称轴吗？
【例4】将函数y＝ax2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向上平 移3个单位后得到的表达式为y＝2x2－x＋3，求a＋b＋c的值．
解：∵二次函数
y＝2x 2－x ＋3
可化为
y＝2
x－1 4
2＋23， 8
∴由题意可得原二次函数的表达式为 y＝2 x－14＋2 2＋23－3， 8
整理得 y＝2x2＋7x＋6，
∴a＝2，b＝7，c＝6.
∴a＋b＋c＝2＋7＋6＝15.
学以致用
【1】将抛物线y＝x2－4x＋5先向上平移3个单位，再向左平移2个单
位后得到的抛物线的顶点坐标是( A )
A．(0，4) B．(5，－1) C．(4，4) D．(－1，－1)
学以致用
【2】一次函数 y＝ax＋b 和反比例函数 y＝c在同一平面直角坐标系中的 x
九年级数学上册-二次函数的应用第3课时利用二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题课件沪科版
x
2
32,x求 53小明这次试掷的成绩及铅球
出手时的高度.
试掷的成绩：10m
铅球出手时的Biblioteka 度：5 3m课堂小结
一般地,当a>0(a<0)时,抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点
有最低（高）点,也就是说,当x=
（大）值
4。ac4a b2
时,2二ba 次函数有最小
m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t －5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时,小球最高？小球 运动中的最大高度是多少？
分析： ①由a=-5可得,图象的开口向下； ②结合自变量t的取值范围0≤t≤6,画函 数图象的草图如图； ③根据题意,结合图象可知,小球在抛 物线的顶点时为最大高度。
第3课时 利用二次函数模型解决抛物线 形运动轨迹问题
新课导入
问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度 h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的 关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是 多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
推进新课
问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：
随堂练习
1.把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹 出,它在空中高度h(m)与时间t(s)满足关系 ：h=20t-5t2,当h=20时,小球的运动时间为 （ ）B
A.20s
B.2s
C.(2 2 + 2)s
D.(2 2 2)s
2.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)
竖直向上抛出,咋不计空气阻力的情况下,其上升高
度s(m)与抛出时间t(s)满足：
s
v0t
九年级数学下第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质第3课时二次函数y=a2的图象与性质习题湘教
(2)求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．
解：由(1)可知抛物线的表达式为 y＝－(x－2)2. 当 y＝0 时，－(x－2)2＝0，解得 x1＝x2＝2， 所以抛物线与 x 轴的交点坐标为(2，0)． 当 x＝0 时，y＝－4，所以抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，－4)．
17．如图，已知直线 l 经过 A(4，0)和 B(0，4)两点，抛物线 y＝ a(x－h)2 的顶点为 P(1，0)，直线 l 与抛物线的交点为 M，连 接 PM.
3．(1)当 a__＞____0 时，抛物线 y＝a(x－h)2 开口向上，若 x＜h(对 称轴左侧)，则函数值 y 随 x 的增大而减小；若 x＞h(对称轴 右侧)，则函数值 y 随 x 的增大而增大．
(2)当 a__＜____0 时，抛物线 y＝a(x－h)2 开口向下，若 x＜h(对称 轴左侧)，则函数值 y 随 x 的增大而增大；若 x＞h(对称轴右 侧)，则函数值 y 随 x 的增大而减小．
【点拨】A.y＝ax＋c 中，a＞0，c＞0，y＝a(x＋c)2 中，a＜0，c ＜0，故 A 错误；B．y＝ax＋c 中，a＜0，c＞0，y＝a(x＋c)2 中， a＜0，c＞0，故 B 正确；C．y＝ax＋c 中，a＞0，c＜0，y＝a(x ＋c)2 中，a＞0，c＞0，故 C 错误；D．y＝ax＋c 中，a＜0，c＞ 0，y＝a(x＋c)2 中，a＞0，c＜0，故 D 错误．
(2)将抛物线 y＝(x－3)2 向上平移 1 个单位，再向左平移 t(t＞0) 个单位得到新抛物线，若新抛物线的顶点 E 在△DAC 内， 求 t 的取值范围； 解：由题意可知：新抛物线的顶点坐标为(3－t，1)， 设直线 AC 的表达式为 y＝kx＋b(k≠0)． 将(1，4)，(3，0)代入 y＝kx＋b 中， 得3kk＋＋b＝ b＝4， 0. 解得kb＝ ＝－6. 2，
【推荐精选】2018年秋九年级数学上册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象 第2课时 二次函数y=a(x-m)2+k(
第2课时二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及特征知识点一二次函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象及其特征图象特征：函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象的顶点坐标是_____________，对称轴是直线________．图象的开口方向：当a>0时，开口________，当a<0时，开口________．1．已知抛物线y＝(x－2)2，下列说法正确的是( )A．顶点坐标是(0，2)B．对称轴是直线x＝－2C．开口向下D．顶点坐标是(2，0)知识点二二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及其特征图象特征：抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的顶点坐标为________，对称轴为直线________；抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的开口方向：当a>0时，开口________，当a<0时，开口_________．2．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是_____________．3．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的函数表达式为____________．类型一利用函数图象的平移规律解题例1 [教材补充例题] 已知一条抛物线的开口方向及形状与抛物线y＝3x2相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)求将这条抛物线向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的函数表达式．【归纳总结】y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中，m是抛物线左右平移的标志，当m>0时，抛物线向右平移m个单位，当m<0时，抛物线向左平移|m|个单位；而k则是抛物线上下平移的标志，当k>0时，抛物线向上平移k个单位，当k<0时，抛物线向下平移|k|个单位．类型二y＝a(x－m)2＋k(a≠0)型二次函数图象的特征例2 [教材补充例题](1)二次函数y＝4－(x＋1)2的图象的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是________．(2)已知二次函数y＝a(x＋k)2＋k(a≠0)，无论k取何值，其图象的顶点都在( )A．直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上类型三应用y＝a(x－m)2＋k(a≠0)确定抛物线的函数表达式例3 [教材补充例题] 根据下列条件求y关于x的二次函数表达式．(1)抛物线的顶点坐标为(－1，－2)，且过点(1，10)；(2)抛物线过点(0，－2)，(1，2)，且对称轴为直线x ＝32.【归纳总结】用顶点式求函数表达式的三种情况 (1)题中出现顶点坐标和另一点的坐标； (2)已知对称轴和两个点的坐标； (3)已知最值和两个点的坐标．二次函数y ＝a (x －m )2的图象与二次函数y ＝a (x －m )2＋k 的图象有何联系？详解详析【学知识】知识点一 (m ，0) x ＝m 向上 向下 1．[答案] D知识点二 (m ，k) x ＝m 向上 向下 2．[答案] (2，5)[解析] 由于抛物线y ＝a(x －m)2＋k 的顶点坐标为(m ，k)，可知此函数图象的顶点坐标为(2，5)．3．[答案] y ＝2(x ＋1)2－2[解析] 将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为y ＝2(x ＋1)2，将抛物线y ＝2(x ＋1)2向下平移2个单位，所得抛物线的函数表达式为y ＝2(x ＋1)2－2.【筑方法】例1 解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝a(x －m)2＋k. ∵该抛物线与抛物线y ＝3x 2的开口方向及形状相同， ∴a ＝3.又该抛物线的顶点与抛物线y ＝(x ＋2)2的顶点相同，∴m ＝－2，k ＝0， ∴所求抛物线的函数表达式为y ＝3(x ＋2)2.(2)将抛物线y ＝3(x ＋2)2向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为y ＝3(x ＋2－4)2－3，即y ＝3(x －2)2－3.例2 [答案] (1)向下 直线x ＝－1 (－1，4)(2)[解析] B 二次函数y ＝a(x ＋k)2＋k 的图象的顶点坐标为(－k ，k)，当x ＝－k 时，y ＝k ＝－(－k)＝－x ，所以图象的顶点在直线y ＝－x 上．故选B.例3 解：(1)设函数表达式为y ＝a(x ＋1)2－2. 将x ＝1，y ＝10代入，得4a －2＝10，∴a ＝3. ∴函数表达式为y ＝3(x ＋1)2－2. (2)设函数表达式为y ＝a(x －32)2＋h.把x ＝0，y ＝－2；x ＝1，y ＝2代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧94a ＋h ＝－2，14a ＋h ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，h ＝52， ∴函数表达式为y ＝－2(x －32)2＋52.【勤反思】[小结] x ＝m (m ，0) x ＝m (m ，k)[反思] 它们的开口方向相同，对称轴都为直线x ＝m ；前者的顶点坐标为(m ，0)，后者的顶点坐标为(m ，k)，前者可由二次函数y ＝ax 2的图象向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位得到，后者可由二次函数y ＝ax 2的图象向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位、再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到，即前者向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位可得到后者．。
2018年秋九年级数学上册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象 第1课时 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及特征同步
第1章 二次函数1．2 二次函数的图象第1课时 二次函数y ＝ax 2(a≠0)的图象及其特征知识点1 二次函数y ＝ax 2(a≠0)的图象的画法及 特征1．在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象： ①y ＝13x 2；②y ＝－13x 2.(1)画图： ①列表：②描点； ③连线．图1－2－1(2)根据图象填空：①二次函数y ＝13x 2的图象是一条________，开口向________，对称轴是________(或________)，顶点坐标是________，抛物线上的点(除顶点外)都在x 轴的________方；②二次函数y ＝－13x 2的图象是一条________，开口向________，对称轴是________(或________)，顶点坐标是________，抛物线上的点(除顶点外)都在x 轴的________方．2．下列函数中，图象的最高点是原点的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 2C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝5x3．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝2x 2，y ＝－x 2，y ＝12x 2的图象的共同特点是( )A ．都关于x 轴对称B ．都关于y 轴对称，且开口向下C ．都关于原点对称D ．都关于y 轴对称，且原点是抛物线的顶点 4．将图1－2－2中图象的代号填在横线上．图1－2－2(1)y ＝3x 2的图象是______； (2)y ＝13x 2的图象是______；(3)y ＝－x 2的图象是______； (4)y ＝－34x 2的图象是______．知识点2 二次函数y ＝ax 2(a≠0)的图象特征的应用5．若抛物线y ＝(2m －1)x 2开口向下，则m 的取值范围是( ) A ．m <0 B ．m <12C ．m >12D ．m >－126．若抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝2x 2关于x 轴对称，则a ＝________．图1－2－37．已知二次函数y ＝12x 2的图象如图1－2－3所示，线段AB ∥x 轴，交抛物线于A ，B两点，且点A 的横坐标为2，则AB 的长为________．8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点(－3，2)． (1)求这个抛物线的函数表达式；(2)说出这个抛物线的开口方向和所在位置．9．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图1－2－4，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点O 与水面的距离为2.4 m ，ED 离水面的高FC ＝1.5 m ，则涵洞ED 宽多少，是否会超过1 m ？[提示：设涵洞所成抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ＜0)]图1－2－410．2017·新罗区校级期中赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图1－2－5所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是2 m 时，这时水面宽度AB 为( )图1－2－5A ．－10 mB ．－5 2 mC ．5 2 mD ．10 2 m11．在图1－2－6中，函数y ＝－ax 2与y ＝ax ＋b 的图象可能是( )图1－2－6图1－2－712．如图1－2－7，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y ＝13x 2与y ＝－13x 2的图象，则阴影部分的面积是________．13．如图1－2－8所示，直线l 经过点A(4，0)，B(0，4)，它与抛物线y ＝ax 2在第一象限内相交于点P ，且△AOP 的面积为4，求a 的值．图1－2－814．如图1－2－9，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1＝x 2(x≥0)与y 2＝x23(x≥0)的图象于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交函数y 1的图象于点D ，直线DE∥AC，交函数y 2的图象于点E ，求DEAB的值．图1－2－9详解详析1．(1)略(2)①抛物线 上 y 轴 直线x ＝0 (0，0) 上 ②抛物线 下 y 轴 直线x ＝0 (0，0) 下2．B [解析] 图象有最高点，所以一定是开口向下的抛物线．故选B. 3．D4．(1)③ (2)① (3)④ (4)②5．B [解析] ∵抛物线开口向下，∴2m －1<0，∴m <12.6．－2 7.48．解：(1)∵抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴， ∴设此抛物线的函数表达式是y ＝ax 2.把(－3，2)代入y ＝ax 2中，得2＝9a ，解得a ＝29，∴这个抛物线的函数表达式是 y ＝29x 2.(2)∵a ＝29>0,∴这个抛物线的开口向上，在x 轴上方(除顶点外)． 9．解：设涵洞所成抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ＜0)， ∵点B 在抛物线上，∴将点B (0.8，－2.4)代入y ＝ax 2(a ＜0)， 求得a ＝－154，∴抛物线的函数表达式为y ＝－154x 2.2．4－1.5＝0.9(m)．设D 点坐标为(x ，－0.9)，则－0.9＝－154x 2，解得x ＝±65，故宽度为2×65＝2 65(m)＜1 m. 答：涵洞ED 宽2 65 m ，不会超过1 m.10．D [解析] 由题意得－2＝－125x 2，解得x ＝±5 2，即点A 的坐标为(－5 2，－2)，点B 的坐标为(5 2，－2)， 这时水面宽度AB 为10 2 m. 故选D. 11．D12．8 [解析] y ＝13x 2和y ＝－13x 2的图象开口方向相反，开口大小相同，形状相同，故它们的图象关于x 轴对称．又因为图中正方形也关于x 轴对称，故S 阴影＝12S 正方形＝12×4×4＝8.13．解：∵OA ＝OB ＝4， ∴△AOB 的面积为8. 又∵△AOP 的面积为4， ∴P 是AB 的中点，从而可得△OAP 是等腰直角三角形． 过点P 作PC ⊥OA 于点C ， 可得OC ＝2，PC ＝2，∴P (2，2)． 将P (2，2)代入y ＝ax 2中，得a ＝12.14．解：设点A 的坐标为(0，a )(a >0)．令x2＝a，解得x＝±a，∴点B的坐标为(a，a)．令x23＝a，解得x＝±3a，∴点C的坐标为(3a，a)．∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为3a，∴y D＝(3a)2＝3a，∴点D的坐标为(3a，3a)．∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，令x23＝3a，∴x＝±3 a，∴点E的坐标为(3 a，3a)，∴DE＝3 a－3a，∴DEAB＝3 a－3aa＝3－ 3.。
2018年秋九年级数学上册第一章二次函数1.2二次函数的图象(第1课时)a课件(新版)浙教版
当一个物体自由地沿着斜面作直线运 动时，路程s与时间t有怎样的关系？请 设计一个实验探讨这一问题，并写一份 实验报告，介绍实验的过程和所获得的 结果.
可从以下几个方面进行指导： (1)以4~6人为一组. (2)时间宜安排在课外. (3)教师应给学生先介绍一些相关的知识，如自由落体这样的匀加速运动，给学生设计实 验的整体构想以启迪。由于设计题要求的实验是匀加速运动，这样对实验器具就有一定的要求，比如 在斜面运动的物体与斜面的摩擦力应尽可能地小，物体运动路线尽可能为直线，为了使规律容易发现， 应使物体运动的初速度为零，这些都应给学生作交代。s与t之间应具s=at2（a≠0，a为常数）的形式. (4)教师应亲自参加其中一组的全过程，并留心其余各组的实验设计方案和实验、获取数据，画图象、 猜想函数式以及检验等各个环节。画图象时还可以选择以t2为横坐标，s为纵坐标，从而得出s与t2成正 比例. (5)应组织各组之间的有关实验，操作过程和获得结果的相互交流.
2018年秋九年级数学上册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象 第2课时 二次函数y=a(x-
第1章 二次函数1．2 二次函数的图象第2课时 二次函数y ＝a (x －m )2＋k (a≠0)的图象及其特征知识点1 二次函数y ＝a (x －m )2＋k (a≠0)的图象 及特征1．2017·长沙抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4)2．对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2，下列说法中，正确的是( )A ．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是(－1，2)C ．图象最高点的坐标是(1，2)D ．图象与y 轴的交点坐标为(0，2)3．二次函数y ＝(x ＋2)2－1的图象大致为()图1－2－104．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x ＋2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－3D ．y ＝(x ＋2)2－35．填写下表：知识点2 抛物线的平移6．二次函数y ＝－12(x －3)2＋1的图象可以由二次函数y ＝－12x 2的图象先向________(填“左”或“右”)平移________个单位，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位得到．7．将抛物线y ＝3x 2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ) A ．y ＝3(x －2)2－1 B ．y ＝3(x －2)2＋1 C ．y ＝3(x ＋2)2－1 D ．y ＝3(x ＋2)2＋18．2017·丽水将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A (1，4)的是( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位知识点3 根据二次函数的顶点式求表达式9．2017·雁塔区月考已知抛物线的顶点坐标是(2，1)，且抛物线经过点(3，0)，则这条抛物线的函数表达式是( )A ．y ＝－x 2－4x －3B ．y ＝－x 2－4x ＋3 C ．y ＝x 2－4x －3 D ．y ＝－x 2＋4x －310．某抛物线的顶点坐标为(2，1)，它的形状和开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个抛物线的函数表达式为__________．11．2017·湖州模拟在体育测试时，九年级的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分(如图1－2－11所示)．如果这名男同学出手处A 点的坐标是(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标是(6，5)．求这个二次函数的表达式．图1－2－1112．若抛物线y＝(x－m)2＋m＋1的顶点在第一象限，则m的取值范围为( ) A．m>1 B．m>0C．m>－1 D．－1<m<013．已知二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图1－2－12所示，图1－2－12则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限14．二次函数y ＝x 2＋1的图象过A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为(a ，294)，(b ，294)，则线段AB 的长度是( )A.254 B.292 C ．5 D.29215．把二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数表达式为__________．16．已知某抛物线以点A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)． (1)求该抛物线的函数表达式；(2)将该抛物线向下平移几个单位，可使抛物线经过原点？17．如图1－2－13，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴的对称点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A (1，0)及点B .(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．图1－2－1318．如图1－2－14，抛物线y ＝a (x －1)2＋c 与x 轴交于点A (1－3，0)和点B ，将抛物线沿x 轴向上翻折，顶点P 落在点P ′(1，3)处．(1)求原抛物线的函数表达式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x 轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型图案．请你计算这个“W”型图案的高与宽CD的比．图1－2－14详解详析1．A 2.C3．D [解析] 因为a＝1＞0，所以抛物线开口向上，由表达式可知对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，－1)．4．C5．解：填表如下：6.右 3 上 17．C．D [解析]89.D [解析] 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2＋1，把(3，0)代入得a ×(3－2)2＋1＝0， 解得a ＝－1，所以抛物线的函数表达式为y ＝－(x －2)2＋1＝－x 2＋4x －3. 故选D.10．y ＝－2(x －2)2＋111．解：依题意设这个二次函数的表达式为y ＝a (x －6)2＋5(a ≠0)， ∵点A (0，2)在此二次函数的图象上， ∴36a ＋5＝2，解得a ＝－112，∴这个二次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋5.12．B [解析] ∵抛物线的顶点坐标为(m ，m ＋1)，而它在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ＋1>0，∴m >0.故选B.13．C [解析] ∵抛物线的顶点在第四象限，∴－m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第二、三、四象限．14．C15．y ＝－(x ＋1)2－2 [解析] 二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象的顶点坐标为(1，2)，图象绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，所以旋转后的新图象的函数表达式为y ＝－(x ＋1)2－2.16．解：(1)设该抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋1)2＋4. ∵抛物线过点B (2，－5)， ∴－5＝a ·(2＋1)2＋4，得a ＝－1.∴该抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4.(2)设平移后的抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4－k ，将(0，0)代入函数表达式，得0＝－(0＋1)2＋4－k ，解得k ＝3.∴将该抛物线向下平移3个单位，可使抛物线经过原点． 17．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1， ∴二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1. 当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3， ∴C (0，3)．∵点B 与点C 关于直线x ＝2对称， ∴B (4，3)．将点A ，B 的坐标代入y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，∴一次函数的表达式为y ＝x －1. (2)x 的取值范围是1≤x ≤4.18．解：(1)∵点P 与P ′(1，3)关于x 轴对称， ∴点P 的坐标为(1，－3)．∵抛物线y ＝a (x －1)2＋c 过点A (1－3，0)，顶点是P (1，－3)，∴⎩⎨⎧a ·（1－3－1）2＋c ＝0，a ·（1－1）2＋c ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.则抛物线的函数表达式为y ＝(x －1)2－3， 即y ＝x 2－2x －2.(2)∵CD 平行于x 轴，点P ′(1，3)在CD 上， ∴C ，D 两点的纵坐标均为3.由(x －1)2－3＝3，得x 1＝1－6，x 2＝1＋6，∴C ，D 两点的坐标分别为(1－6，3)，(1＋6，3)，∴CD ＝2 6，∴“W ”型图案的高与宽CD 的比为32 6＝64.。
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第3课时)》示范教学课件
向上
观看动图，思考抛物线 y＝ax²＋k(a＞0)与抛物线 y＝ax²(a＞0)有什么关系？
归纳
开口方向
顶点坐标
最大（小）值
对称轴
增减性
二次函数 y＝ax2＋k(a＞0)的图象性质
向上
(0，k)
当 x＝0 时，y最小值＝k
y 轴
当 x＞0 时，பைடு நூலகம் 随 x 的增大而增大；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
4
－4
x
y
x
y
O
y＝－2x2－1
y＝－2x2＋1
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
思考
（1）抛物线 y＝－2x²＋1，y＝－2x²－1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
函数
y＝－2x²＋1
y＝－2x²－1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
y 轴
x
y
y＝－2x2＋1
O
y＝－2x2－1
2
－2
－4
－6
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y＝－2x²＋1， y＝－2x²－1 的图象．
解：先列表，然后描点，再分别画出它们的图象．
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
y＝－2x2＋1
y＝－2x2－1
O
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
2
－2
－4
－6
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1. 填空：
(1) y 1 x 52的对称轴是_x_=__5_，顶点坐标是_(_5_，__0_).
3
(2) y = -3(x+2)2的对称轴是 x = -2 ，顶点坐标是(_-_2，__0_). (3) 抛物线 y= -2(x+3)2是把抛物线 y = -2x2沿 x 轴向＿左＿
平移 3 个单位得到的．
练一练 指ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 2x 32
向上
直线 x = 3 ( 3，0 )
y 2 x 22
y 3 x 12
4
向上 向下
直线 x = 2 直线 x = -1
( 2，0 ) ( -1，0)
问题4 如何画出 y = a(x- h)2 的图象呢？
二次函数 y = a(x+h)²的图象与性质
探究
问题1
把二次函数
y
1 2
x2的图象
E
向右平移
1个
单位，得到图形 F，图形 F 有什么特点？
l l'
8 6 4 2
EF
由于平移不改变图 形的形状和大小， 所以它仍是一条开 口向上的抛物线
对称轴为直线l'
－4 －2 O' 2 4
顶点为O'(1，0)
问题2 抛物线 F是哪个函数的图象呢？
根据“列表、描点、连线”画出对称轴及图象在对称 轴右边的部分，再利用对称性画出图象在对称轴左边 的部分.
典例精析
例1
画函数 y 1 x 12 的图象.
2
解：抛物线的对称轴是 x = -1，顶点坐标是(-1，0).
列表：自变量 x 从顶点的横坐标 -1 开始取值.
配套K122018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.2二次函数的图象第2课时二次函数y=a(x_m
[1.2 第2课时二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及特征]一、选择题1．抛物线y＝(x－1)2－2的顶点坐标是( )A．(－1，－2) B．(－1，2)C．(1，－2) D．(1，2)2．2017·滨州将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的函数表达式为链接学习手册例1归纳总结( )A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－53．如图K－3－1所示，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－m)2－k，则下列结论正确的是( )图K－3－1A．m>0，k>0 B．m<0，k>0C．m<0，k<0 D．m>0，k<04．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)25．2017·丽水将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是链接学习手册例1归纳总结( )A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位6．如图K －3－2，抛物线y ＝x 2与直线y ＝x 相交于点A ，沿直线y ＝x 平移该抛物线，使得平移后的抛物线的顶点恰好为点A ，则平移后抛物线的函数表达式是( )图K －3－2A ．y ＝(x ＋1)2－1 B ．y ＝(x ＋1)2＋1 C ．y ＝(x －1)2＋1 D ．y ＝(x －1)2－17．2017·盐城如图K －3－3，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A (1，m )，B (4，n )平移后的对应点分别为点A ′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )图K －3－3A ．y ＝12(x －2)2－2B ．y ＝12(x －2)2＋7C ．y ＝12(x －2)2－5D ．y ＝12(x －2)2＋4二、填空题8．抛物线y ＝－(x －8)2＋3的开口方向________，对称轴为直线________，顶点坐标为________．9．如图K －3－4，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．图K－3－410．若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位后，得到函数y＝2(x＋h)2的图象，则h＝________．11．将一条抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为y＝2x2，则原抛物线的函数表达式为______________.12.2017·上海已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的表达式可以是________．(只需写一个)13．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a>0)，其图象过点A(0，2)，B(8，3)，则h的值可以是________(写出一个即可)．三、解答题14．已知抛物线y＝(x－1)2－1.(1)求该抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)选取适当的数据填入下表，并在图K－3－5中的直角坐标系内描点画出该抛物线．图K－3－515．二次函数图象的顶点坐标是(－2，4)，与x轴的一个交点坐标是(－3，0)．(1)求该二次函数的表达式；(2)根据抛物线的对称性，请直接写出抛物线与x轴的另一个交点坐标为________；(3)请你给出一种平移方案，使平移后的抛物线经过原点．16．已知一条抛物线与抛物线y＝2(x－3)2＋1关于x轴对称，求这条抛物线的函数表达式.17．如图K －3－6，抛物线y ＝a (x －1)2＋4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点D ，连结BD .已知点A 的坐标为(－1，0)．(1)求该抛物线的函数表达式； (2)求梯形COBD 的面积．图K －3－6思维拓展如图K －3－7所示，已知直线y ＝－12x ＋2与抛物线y ＝a (x ＋2)2相交于A ，B两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点．(1)请直接写出点A 的坐标及该抛物线的函数表达式；(2)若P 为线段AB 上一个动点(A ，B 两端点除外)，连结PM ，设线段PM 的长为l ，点P 的横坐标为x ，请求出l 2与x 之间的函数表达式，并直接写出自变量x 的取值范围．图K－3－7详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] C 2．[答案] A3．[解析] D ∵抛物线y ＝－2(x －m)2－k 的顶点坐标为(m ，－k)，由图可知抛物线的顶点坐标在第一象限，∴m ＞0，k<0.4．[解析] A 二次函数y ＝(x ＋2)2的图象的对称轴为直线x ＝－2，A 正确；二次函数y ＝2x 2－2的图象的对称轴为直线x ＝0，B 错误；二次函数y ＝－2x 2－2的图象的对称轴为直线x ＝0，C 错误；二次函数y ＝2(x －2)2的图象的对称轴为直线x ＝2，D 错误．5．[答案] D6．[解析] C ∵抛物线y ＝x 2与直线y ＝x 相交于点A ，∴x 2＝x ，解得x 1＝1，x 2＝0(舍去)，∴A(1，1)，∴平移后抛物线的函数表达式为y ＝(x －1)2＋1.7．[解析] D 如图，连结AB ，A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB′A′.由平移可知，AA ′＝BB′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B ′B 交x 轴于点M ，N.因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN ＝4－1＝3.因为S ▱ABB′A′＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即沿y 轴向上平移了3个单位，所以新图象的函数表达式为y ＝12(x －2)2＋4.8．[答案] 向下 x ＝8 (8，3) 9．[答案] 直线x ＝2 10．[答案] 211．[答案] y ＝2(x ＋1)2－3[解析] 因为一条抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为y ＝2x 2，所以将抛物线y ＝2x 2向左平移1个单位，向下平移3个单位即可得到原抛物线，其函数表达式为y ＝2(x ＋1)2－3.12．[答案] 答案不唯一，形如y＝ax2－1(a>0)即可13．[答案] 答案不唯一，如314．解：(1)∵抛物线的函数表达式是y＝(x－1)2－1，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为 (1，－1)．(2)列表：15．解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋4.把(－3，0)代入得a＋4＝0，解得a＝－4，所以二次函数的表达式为y＝－4(x＋2)2＋4.(2)(－1，0)(3)答案不唯一，如向右平移3个单位或向右平移1个单位或向上平移12个单位等．16．解：∵抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是(3，1)，抛物线y＝2(x－3)2＋1关于x轴对称的图象的顶点坐标为(3，－1)，∴这条抛物线的函数表达式为y＝－2(x－3)2－1.17．解：(1)将A(－1，0)代入y＝a(x－1)2＋4中，得0＝4a＋4，解得a＝－1，则抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4.(2)对于抛物线的函数表达式y＝－(x－1)2＋4，令x＝0，得到y＝3，即OC＝3.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴CD＝1.又∵A(－1，0)，∴B(3，0)，即OB ＝3， 则S 梯形COBD ＝（1＋3）×32＝6.[素养提升]解：(1)把x ＝0代入y ＝－12x ＋2，得y ＝2，即点A 的坐标是(0，2)．把点A(0，2)代入y ＝a(x ＋2)2，得a ＝12，∴抛物线的函数表达式是y ＝12(x ＋2)2.(2)如图，P 为线段AB 上任意一点，连结PM ，过点P 作PD⊥x 轴于点D ， 点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－12x ＋2， 则在Rt △PDM 中，PM 2＝DM 2＋PD 2，即l 2＝(－2－x)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋22＝54x 2＋2x ＋8，x 的取值范围是－5<x<0.。
数学九年级上册《二次函数-第三课时》教案
板书设计：22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象和性质
二次函数y=ax2+k的性质
教学后记（反思成败、总结经验）：
3、二次函数y=ax2+k（a，k是常数），当x取值x1、x2时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视
五、能力提升：（7分钟）
独立完成学思练巩固提升
六、课堂小结(2分钟，学生回答)
二次函数y=ax2+k的性质及平移规律
七、作业布置
教材习题22.1第5（1）题
（1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7 （3）y=2x2-1
5.完成学思练自学检测部分
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视
四、巩固练习（8分钟）
1、二次函数y=ax2+k的图象经过点A（2，3）， B（3，5），求这个函数的解析式。
2、已知二次函数y=2x2+3，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小？
会作函数的图象．
教学难点
能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
教学方法与手段
自主学习——合作交流——当堂训练
教学准备
课件、教材、三角板
第 一 课时
课时数
1 课时
教学流程
二次备课(标、增、改、删、调)
一、旧知回顾：（3分钟）
二次函数y=ax2有什么性
二、自主探究：（12分钟）
探究：
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=x2，y=x2+2 , y=x2-2
初中20-20学年度第一学期教学设计
九年级上册数学二次函数
九年级上册数学二次函数二次函数是数学中的一种重要类型的函数，也是九年级上册数学中的一个重要内容。
下面我将为大家详细介绍九年级上册数学的二次函数。
二次函数是一种以x的平方项为最高次的多项式函数。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数，且a 不等于零。
在二次函数中，a决定了函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；而b决定了函数的对称轴位置，c决定了函数的平移位置。
一、函数的图像特征二次函数的图像是一个平滑的曲线，称为抛物线。
根据二次函数的a值，可以判断抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
对称轴是垂直于y轴的一条直线，过顶点。
顶点坐标为(-b/2a , f(-b/2a))，其中-f(-b/2a)为函数的最小值或最大值。
二、零点和交点二次函数的零点是指函数取0值的x的值。
根据函数f(x) = ax^2 + bx + c = 0，可以通过求解二次方程来求得二次函数的零点。
当二次方程有两个根时，表示函数与x轴有两个交点；当二次方程有一个根时，表示函数与x轴有一个交点；当二次方程没有实根时，表示函数与x轴没有交点。
三、函数的增减性根据二次函数的开口方向，可以判断函数的增减性。
当a>0时，二次函数是向上开口的，函数在开口处左右是递减的；当a<0时，二次函数是向下开口的，函数在开口处左右是递增的。
四、函数的平移与拉伸我们可以通过改变二次函数的常数项c来使函数平移，改变一次项系数b来使函数斜拉伸或压缩，改变二次项系数a来使函数横向拉伸或压缩。
具体来说，当我们将常数项c增大或减小时，函数的图像将上下平移；当我们将一次项系数b增大或减小时，函数的图像将左右移动；当我们将二次项系数a增大或减小时，函数的图像将变得更瘦或更胖。
五、二次函数的应用二次函数在现实生活中有很多应用，例如抛物线的运动轨迹、抛物线天线的接收范围等等。
[小初高学习]2018年秋九年级数学上册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象 第3课时 二次函
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第1章二次函数1．2 二次函数的图象第3课时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及其特征知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及特征1．将二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是( ) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋42．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是( )A．直线x＝1 B．直线x＝－1C．直线x＝－2 D．直线x＝23．抛物线y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( )A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)B．开口向下，顶点坐标为(1，4)C．开口向上，顶点坐标为(1，4)D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)4．下列图象为二次函数y＝2x2－8x＋6的图象的是( )图1－2－155．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．6．二次函数y＝(k＋2)x2的图象开口向下，则k的取值范围是________．7．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．y＝x2＋3x－2，y＝1－6x－x2，y＝3x2－2x＋4.知识点2 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的平移8．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的函数表达式是( )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋39．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有________(填写所有正确选项的序号)．10．如果将抛物线y＝x2－4平移到抛物线y＝x2－4x的位置，那么平移的方向和距离是__________________．知识点3 求二次函数的表达式11．根据已知条件，求二次函数表达式：(1)抛物线的顶点是(3，－1)，且过点(2，3)；(2)抛物线过(0，1)，(－1，0)，(1，0)三点；(3)抛物线的对称轴是直线x＝2，且过点(1，4)和(5，0)．12．2017·贵港将如图1－2－16所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式是( )图1－2－16A．y＝(x－1)2＋1 B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝2(x－1)2＋1 D．y＝2(x＋1)2＋113．将抛物线y＝x2＋bx＋c先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值为( )A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝214．2017·遵义如图1－2－17，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴l如图所示．则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中所有正确的结论是( )图1－2－17A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④15．已知点A(a－2b，2－4ab)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为( )A．(－3，7) B．(－1，7)C ．(－4，10)D ．(0，10)16．2017·广东改编如图1－2－18，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋ax ＋b 交x 轴于A (1，0)，B (3，0)两点，P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP 与y 轴相交于点C .(1)求抛物线y ＝－x 2＋ax ＋b 的函数表达式； (2)当P 是线段BC 的中点时，求点P 的坐标．图1－2－1817．2017·东阳模拟我们知道，对于二次函数y ＝a (x ＋m )2＋k 的图象，可由二次函数y ＝ax 2的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到，我们称二次函数y ＝ax 2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y ＝a (x ＋m )2＋k 为“基本函数”y ＝ax 2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为“朋友路径”，对应点之间的线段长度m 2＋k 2称为“朋友距离”．由此，我们所学的函数：二次函数y ＝ax 2，正比例函数y ＝kx 和反比例函数y ＝kx都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．如一次函数y ＝2x －5是“基本函数”y ＝2x 的“朋友函数”，由y ＝2x －5＝2(x －1)－3可知“朋友路径”可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，“朋友距离”＝12＋32＝10.(1)探究一：小明同学经过思考后，为函数y ＝2x －5又找到了一条“朋友路径”：由“基本函数”y ＝2x 先向________，再向下平移7单位，相应的“朋友距离”为________；(2)探究二：已知函数y ＝x 2－6x ＋5，求它的“基本函数”“朋友路径”和相应的“朋友距离”；(3)探究三：为函数y ＝3x ＋4x ＋1和它的“基本函数”y ＝1x 找到“朋友路径”，并求相应的“朋友距离”．详解详析1．B 2.B3．A [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋2x －3的二次项系数为a ＝1＞0， ∴抛物线开口向上．∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4， ∴顶点坐标为(－1，－4)． 4．A5．4 6.k <－27．解：(1)y ＝x 2＋3x －2＝x 2＋3x ＋(32)2－(32)2－2＝(x ＋32)2－174，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝－32，顶点坐标为(－32，－174)．(2)y ＝1－6x －x 2＝－x 2－6x ＋1 ＝－(x 2＋6x ＋9－9)＋1 ＝－(x ＋3)2＋10，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝－3，顶点坐标为(－3，10)． (3)y ＝3x 2－2x ＋4 ＝3(x 2－23x ＋19－19)＋4＝3(x －13)2－13＋4＝3(x －13)2＋113，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝13，顶点坐标为(13，113)．8．C9．①③ [解析] 函数y ＝x 2＋2x －3可化为y ＝(x ＋1)2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y ＝x 2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y ＝(x ＋1)2－4的图象，故①正确；函数y ＝(x ＋1)2－4的图象开口向上，函数y ＝－x 2的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y ＝(x －1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y ＝(x ＋1)2－4的图象，故③正确．10．向右平移2个单位 [解析] ∵抛物线y ＝x 2－4的顶点坐标是(0，－4)，抛物线y ＝x 2－4x ＝(x －2)2－4的顶点坐标是(2，－4)，而把点(0，－4)向右平移2个单位得到点(2，－4)， ∴平移方法是向右平移2个单位．11．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(3，－1)， ∴设表达式为y ＝a (x －3)2－1. 把(2，3)代入，得a ＝4，∴二次函数表达式为y ＝4(x －3)2－1. (2)设二次函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c . 将(0，1)，(－1，0)，(1，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a －b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，c ＝1，∴二次函数表达式为y ＝－x 2＋1. (3)设二次函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，a ＋b ＋c ＝4，25a ＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2，c ＝52，∴二次函数表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋52.12．C [解析] 设原抛物线的函数表达式为y ＝ax 2－2，把(1，0)代入，得a －2＝0，解得a ＝2，所以抛物线的函数表达式为y ＝2x 2－2，抛物线y ＝2x 2－2向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得y ＝2(x －1)2－2＋3，即y ＝2(x －1)2＋1.故选C.13．B14．D [解析] ∵开口向下，∴a ＜0.∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，即b ＞0.∵抛物线与y 轴正半轴相交，∴c ＞0，即abc ＜0，结论①错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，结论②正确；∵当x ＝2时，y ＜0，即4a ＋2b ＋c ＜0，又b ＝a ＋c ，∴4a ＋2(a ＋c )＋c ＜0，即2a ＋c ＜0，结论③正确；∵a －b ＋c ＝0，∴c ＝b －a .又∵4a ＋2b ＋c ＜0，∴4a ＋2b ＋b －a ＜0，∴3a ＋3b ＜0，∴a ＋b ＜0，结论④正确．15．D [解析] ∵点A (a －2b ，2－4ab )在抛物线y ＝x 2＋4x ＋10上，∴2－4ab ＝(a －2b )2＋4(a －2b )＋10，化简得a 2＋4b 2＋4a －8b ＋8＝0，(a ＋2)2＋4(b －1)2＝0，∴a ＋2＝0且b －1＝0，∴a ＝－2，b ＝1，∴A (－4，10)．∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋10的对称轴为直线x ＝－2，则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为(0，10)．故选D.16．解：(1)将点A ，B 的坐标代入抛物线的函数表达式y ＝－x 2＋ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12＋a ＋b ，0＝－32＋3a ＋b ， 解得a ＝4，b ＝－3，∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x －3. (2)∵点C 在y 轴上， ∴点C 的横坐标为0. ∵P 是线段BC 的中点， ∴点P 的横坐标x P ＝0＋32＝32.∵点P 在抛物线y ＝－x 2＋4x －3上， ∴y P ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋4×32－3＝34，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34. 17．解：(1)左平移1个单位 5 2 (2)“基本函数”为y ＝x 2.∵原抛物线的顶点坐标为(0，0)，新抛物线的顶点坐标为(3，－4)， ∴“朋友路径”为先向右平移3个单位，再向下平移4个单位， 相应的“朋友距离”为32＋42＝5. (3)∵函数y ＝3x ＋4x ＋1可化为y ＝1x ＋1＋3，∴“朋友路径”为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，相应的“朋友距离”为＝12＋32＝10.。
2018年秋九年级数学上册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象 1.2.3 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及特
1.2 第3课时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及特征一、选择题1．抛物线y＝2x2＋4x＋5的顶点坐标为( )A．(1，3) B．(1，－3)C．(－1，－3) D．(－1，3)2．2017·宁波抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如果抛物线y＝x2－ax＋1的对称轴是y轴，那么a的值为( )A．0 B．－2 C．2 D．±24．2017·淄博将二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位，得到的函数表达式是( )A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋2C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－25．已知点A(－3，7)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为( )A．(0，7) B．(－1，7)C．(－2，7) D．(－3，7)6．设计师以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计的杯子如图K－4－1所示．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为( )图K－4－1A．17 B．11C．8 D．7二、填空题7．若抛物线y＝x2＋(a－4)x＋c的顶点在y轴上，则a的值为________．8．若某条抛物线的顶点坐标为(－3，5)，形状大小、开口方向与抛物线y＝2x2－1完全相同，则此抛物线的函数表达式为____________．9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________．10．用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出了如下表格：那么该二次函数在x＝0时，y＝________．三、解答题11．若二次函数y＝ax2＋2x＋a2－1(a≠0)的图象如图K－4－2所示，求a的值．图K－4－212．已知抛物线y＝x2＋4x＋5.(1)求其顶点坐标及对称轴；(2)请说明如何平移才能得到抛物线y＝x2. 13．下表给出了某个二次函数的一些取值情况：(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0?14．当一枚火箭被竖直向上发射时，它的高度h(米)与时间t(秒)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示，经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？15．已知抛物线y＝x2－2 ax＋a2的顶点到x轴的距离为2.(1)求a的值；(2)该抛物线通过怎样的平移后经过原点？16．如图K－4－3，已知抛物线y＝x2－2x＋a的顶点A在直线y＝－x＋3上，直线y＝－x＋3与x轴的交点为B，O为直角坐标系的原点．(1)求点B的坐标与a的值；(2)求△AOB的面积．图K－4－317．如图K－4－4，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图K－4－418如图K－4－5，已知二次函数y1＝ax2＋bx的图象过(－2，4)，(－4，4)两点．(1)求二次函数y1的表达式；(2)将抛物线y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y＝m(m＞0)交抛物线y2于M，N两点．求线段MN的长度(用含m的代数式表示)．图K－4－51．[答案] D2．[解析] A 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ，∵－b 2a ＝－－22＝1＞0，4ac －b 24a ＝4（m 2＋2）－44＝m 2＋1＞0，故此抛物线的顶点在第一象限．故选A. 3．[解析] A ∵抛物线y ＝x 2－ax ＋1的对称轴是y 轴， ∴－b 2a ＝－－a2＝0，解得a ＝0.故选A.4．[解析] D 二次函数y ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，其图象沿x 轴向右平移2个单位后，得到的函数表达式为y ＝(x －2＋1)2－2＝(x －1)2－2.5．[解析] B 抛物线的对称轴为直线x ＝－42×1＝－2，设点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为(x ，7)，则－3＋x2＝－2，解得x ＝－1，所以点A 关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为(－1，7)．故选B.6．[解析] B ∵y＝2x 2－4x ＋8＝2(x －1)2＋6，∴抛物线的顶点D 的坐标为(1，6)． ∵AB ＝4，∴点B 的横坐标为x ＝3. 把x ＝3代入y ＝2x 2－4x ＋8，得到y ＝14， ∴CD ＝14－6＝8， ∴CE ＝CD ＋DE ＝8＋3＝11. 7．[答案] 4[解析] 由抛物线的顶点横坐标公式得x ＝－a －42＝0，解得a ＝4.8．[答案] y ＝2(x ＋3)2＋5[解析] ∵所求抛物线的顶点坐标为(－3，5)， ∴可设此抛物线的函数表达式为y ＝a(x ＋3)2＋5.又∵它的形状大小、开口方向与抛物线y ＝2x 2－1完全相同， ∴a ＝2.∴此抛物线的函数表达式为y ＝2(x ＋3)2＋5.9．[答案] 010．[答案] 3[解析] 由上表可知函数图象经过点(1，0)和点(3，0)，∴对称轴为直线x＝2，∴x＝0时的函数值等于x＝4时的函数值．∵当x＝4时，y＝3，∴当x＝0时，y＝3.故答案是3.11．解：∵抛物线y＝ax2＋2x＋a2－1经过点(0，0)，∴0＝a·02＋2×0＋a2－1，∴a＝±1.又∵抛物线的开口向下，∴a＝－1.12．解：(1)y＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1，∴抛物线y＝(x＋2)2＋1的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2.(2)将抛物线y＝x2＋4x＋5向右平移2个单位，再向下平移1个单位可得到抛物线y＝x2.13．解：(1)如图所示．(2)根据图象知，当x＜1或x＞3时，y＞0.14．解：∵－b2a ＝－1502×（－5）＝15，4ac－b24a＝4×（－5）×10－15024×（－5）＝1135.故经过15秒时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米． 15．解：(1)由题意得4a 2－4a4＝2或－2，即a 2－a －2＝0，解得a 1＝－1，a 2＝2；或a 2－a ＋2＝0，方程无实数根， 又由a 得a≥0，∴a ＝2.(2)该抛物线向下平移4个单位后经过原点(答案不唯一)．16．[解析] (1)根据所给的抛物线的函数表达式，易求其图象顶点的横坐标为1，再把x ＝1代入y ＝－x ＋3，可求y ＝2，于是可得顶点A 的坐标是(1，2)，再把(1，2)代入y ＝x 2－2x ＋a ，易求a ＝3.(2)根据三角形的面积公式进行计算即可． 解：(1)∵y＝x 2－2x ＋a ， ∴此函数图象的顶点的横坐标为1. 把x ＝1代入y ＝－x ＋3， 可得y ＝－1＋3＝2，∴二次函数图象顶点A 的坐标是(1，2)． 把(1，2)代入y ＝x 2－2x ＋a ，可得2＝1－2＋a ， 解得a ＝3.当y ＝0时，0＝－x ＋3，解得x ＝3， ∴点B 的坐标是(3，0)． (2)过点A 作AE⊥OB 于点E ，则AE ＝2，S △AOB ＝12OB·AE＝12×3×2＝3.17．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝0，∴函数表达式为y ＝－12x 2＋x.(2)由y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，可得抛物线的对称轴为直线x ＝1. ∵O(0，0)，B(2，0)，∴抛物线的对称轴垂直平分OB ， ∴AM ＋OM ＝AM ＋BM.如图，连结AB 交直线x ＝1于点M ，则此时AM ＋OM 的值最小．过点A 作AN⊥x 轴于点N.在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝4 2， 因此AM ＋OM 的最小值为4 2.18解：(1)将(－2，4)，(－4，4)分别代入y 1＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＝4，16a －4b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－3.∴y 1＝－12x 2－3x.(2)将y 1配方，得y 1＝－12(x ＋3)2＋92，∴抛物线y 1的顶点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－3，92.此顶点沿x 轴翻折，再向右平移2个单位后的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－92.∵翻折、平移后抛物线的开口方向改变，但开口大小不变，∴翻折、平移后抛物线的函数表达式的二次项系数是12，∴y 2＝12(x ＋1)2－92，11 即y 2＝12x 2＋x －4.令y 2＝m ，得12x 2＋x －4＝m ， 即x 2＋2x －2(4＋m)＝0. 设此方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2， x 1x 2＝－2(4＋m)． ∵x 1，x 2分别是点M ，N 的横坐标， ∴MN ＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4＋8（4＋m ）＝29＋2m.。
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第3课时二次函数y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)的图象及特征
知识点一用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c变成y＝a(x－m)2＋k的形式
二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为顶点式为y＝____________．
1．用配方法将二次函数y＝－3x2＋6x＋2化成y＝a(x－m)2＋k的形式．
知识点二二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条________，它的对称轴是直线________，
顶点坐标是________．
2．对二次函数y ＝3x 2
－6x 的图象及性质，下列说法不正确的是( )
A ．开口向上
B ．对称轴为直线x ＝1
C ．顶点坐标为(1，－3)
D ．图象经过点(－1，－3)
3．若抛物线y ＝2x 2
－bx ＋3的对称轴是直线x ＝－1，则b 的值为________．
类型一 求抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 由抛物线y ＝ax 2
通过怎样的平移得到
例1 [教材例4针对练] 请说出抛物线y ＝12x 2＋4x －3可由抛物线y ＝12x 2
经过怎样的平
移得到．
【归纳总结】由函数的表达式判定图象的平移 (1)把一般式化为顶点式；
(2)平移前后，表达式中的a 相同，比较平移后的函数表达式与原函数表达式的平方底数和括号后的数的大小，括号内的数变大表示向左平移，减小表示向右平移，括号后的数变
大表示向上平移，减小表示向下平移，即上加下减，左加右减．
类型二先确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达
式，再求它的对称轴和顶点坐标
例2 [教材补充例题] 已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点(0，0)，(1，3)，求抛物线的函数表达式，并求出抛物线的顶点坐标和对称轴．
类型三根据实际问题中的条件确定二次函数表
达式，并利用图象解决实际问题
例3 [教材补充例题] 有一个抛物线形的拱形立交桥，桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它放在如图1－2－1所示的直角坐标系里．若要在离跨度中心点M5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，则铁柱应取多长？
图1－2－1
【归纳总结】确定实际问题中的二次函数表达式的关键是把实际问题中的数据转化为抛物线上的点的坐标，然后用待定系数法求抛物线的函数表达式，得到两个变量之间的具体关系．
确定抛物线的平移情况，你觉得应抓住图象上的哪些关键点？
详解详析
【学知识】
知识点一 y ＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 2a 2
＋4ac －b 2
4a
1．解：y ＝－3x 2
＋6x ＋2＝－3(x 2
－2x)＋2＝－3[(x －1)2
－1]＋2＝－3(x －1)2
＋5. 知识点二 抛物线 x ＝－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－b 2a
，4ac －b 2
4a
2．[解析] D ∵二次函数y ＝3x 2
－6x 的二次项系数为3＞0，∴其图象的开口向上，A
选项正确；∵y ＝3x 2－6x ＝3(x －1)2
－3，∴其图象的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－3)，B ，C 选项正确；当x ＝－1时，y ＝9，D 选项错误．
3．[答案] －4
[解析] 令－－b
2×2＝－1，解得b ＝－4.
【筑方法】
例1 解：y ＝12x 2＋4x －3＝12
(x ＋4)2
－11，
∴抛物线y ＝12x 2＋4x －3可由抛物线y ＝12x 2
向左平移4个单位，再向下平移11个单位
得到．
例2 解：分别将(0，0)，(1，3)代入函数表达式，得到二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，
1＋b ＋c ＝3，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝2，
c ＝0.
所以抛物线的函数表达式为y ＝x 2
＋2x.
该二次函数的表达式y ＝x 2
＋2x 可化为y ＝(x ＋1)2
－1， 所以该抛物线的顶点坐标为(－1，－1)，对称轴为直线x ＝－1.
例3 解：由题意可知抛物线的顶点坐标为(20，16)，且抛物线经过坐标原点， 故设该抛物线的函数表达式为y ＝a(x －20)2
＋16. 把(0，0)代入，得400a ＋16＝0， 解得a ＝－0.04，
所以y ＝－0.04(x －20)2
＋16.
当x ＝15时，y ＝－0.04×(15－20)2
＋16＝15. 答：铁柱应取15 m 长． 【勤反思】
[小结] x ＝－b 2a (－b 2a ，4ac －b 2
4a ) 一半的平方 一次项系数一半的平方
[反思] 抛物线的平移主要找一个特殊点——顶点或对应点的平移情况．。